Přednáška 8 Obecná trojosá napjatost Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace Střední hydrostatické napětí Objemová deformace Rozklad napětí a deformace Příklady Copyright (c) 11 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
Napětí V každém bodě kontinua eistuje napětí. Jeho 9 složek v maticovém tvaru se nazývá tensor napětí: =[ y ] y y y Tensor napětí je tensor. řádu, každá jeho složka může nabývat libovolné hodnoty. Při rotaci tensoru napětí platí transformační vztah, v maticovém zápisu σ'=aσa T. Matice A je ortogonální, neboť A T =A 1. Pro znázornění napětí definujeme normálu k libovolné ploše. Na každé normále eistují 3 složky napětí, tzv. vektor napětí: z Vektor napětí pro normálu n, která je souhlasná s osou. =[ y y y y ]{ 1 } ={ y } n y y
Složky napětí na elementárním kvádru z y y y y y Někdy se pracuje s polem napětí ve tvaru, složky mohou být proházené Směr normály k ploše Směr osy, se kterou je napětí rovnoběžné ={ y y} 3
y Tensor napětí při zvláštních případech napjatosti z Prut tah/tlak Rovinná napjatost Rovinná deformace =[ ] =[ z ] =[ z y ] Obecný tvar =[ y ] y y y 4
Příklad transformace napětí v rovinné napjatosti, = A A T [,, ]=[ cos sin 1,, sin cos ] [ ] [ z cos sin ] 1 sin cos s=sin,c=cos [,, ]=[ cos sin ] [cz s szc c] 1,, sin cos c s s [,,, ]=[ c cz ssz c z s c sz cs z s z c, s c sc c s s s cc s c] Další úprava vede na vztahy odvozené v přednášce o rovinné napjatosti. 5
Rovnováha na elementárním kvádru směr y y y,, z, y, z y z,, y y y z,, y Podmínka rovnováhy : z y y y y,, z, y, z y, y z y,, y z, y V těžišti působí dále objemová síla X, y, z y y, y y, z y, y y, z : y, y, z y, y, z yx, y, z y = 6
Tři statické (Cauchyho) rovnice rovnováhy pro 3D, y z,, y z, y y y,, z y y y, y y z,, y z,, X, y, z =, y, z, y, z, y, z, y, z!,z y y z X = y y y y z Y = y z Z= Rovnice odvozeny z analogických součtových podmínek rovnováhy ve směrech y,z. 7
Rovnováha na elementárním kvádru moment Momentová podmínka rovnováhy okolo osy z y y, y, z y y y y,,z [,z ] y y y,,z y y, y, z y : y, y, z y y, y, z y y, y y,z y y, y y, z y = : y 8
Věty o vzájemnosti smykových napětí y, y, z y, y, z y, y y,z y, y y, z = y, y, z y, y, z y, y, z y, y, z! Věty o vzájemnosti smykových napětí y = y =y = Rovnice odvozeny z analogických momentových podmínek rovnováhy okolo os,y. Ze vzájemnosti smykových napětí plyne symetrie tensoru napětí. 9
Složky posunutí ve 3D V prostorové napjatosti definujeme tři složky posunutí u(,y,z) posun ve směru osy v(,y,z) posun ve směru osy y w(,y,z) posun ve směru osy z y [,y,z] v(,y,z) w(,y,z) u(,y,z) z 1
Složky deformace v rovnině z dz z ε normálová deformace d (1+ε )d ve směru (změna objemu) α γ z zkosení v rovině z, dz d β z = smyková deformace, (změna úhlu, stejný objem) V prostoru je deformace elementárního kvádru popsána Normálovými složkami Smykovými složkami, y,,, y 11
Objemová deformace Počáteční objem elementárního kvádru dv =d dy dz Objem elementárního kvádru po deformaci dv ' =1 1 y 1 d d y d z Relativní změna objemu pro malé deformace V = dv ' dv dv =1 1 y 1 1 V y 1
Šest geometrických rovnic Vztah mezi polem posunů a polem deformace Odvození viz přednáška o rovinné napjatosti Normálové složky (protažení) = u y = v y = w z Smykové složky (zkosení) = v z w y = w u z y = u y v 13
Zobecněný Hookeův zákon Jednoosé namáhání Ve směru osy Ve směru osy y Ve směru osy z = 1 E y = 1 E y = 1 E y = = E = E y = E = = E = E y y = E = 1 E y y = 1 E y = 1 E y Modul poddajnosti ve smyku [1/Pa] = 1 E = 1 E y = 1 E y 14
Závislost deformace na napětí matice poddajnosti Lineárně pružný izotropní materiá ve 3D { y y }= 1 E [ 1 1 y 1 1 1 1]{ y} =C matice poddajnosti elastického materiálu 15
Závislost napětí na deformaci matice tuhosti Lineárně pružný izotropní materiál ve 3D { [1 y 1 E 1 }= 11.5.5.5 ] { y y y} =D G= E 1 modul pružnosti ve smyku [Pa] matice tuhosti elastického materiálu Pozn. Eliminací příslušných složek napětí a deformací obdržíme Hookeův zákon pro jednoosou či rovinnou napjatost. 16
Příklad odvoďte součinitel zemního tlaku v klidu Vztah mezi σ =σ y a σ z y Předpokládáme, = = y = = = y = y = = y z,,, y == 1 E y 1 = = y = 1 Součinitel zemního tlaku v klidu Poissonovo číslo Součinitel zemního tlaku v klidu...5.5.333.3.49.5 1. 17
Příklad odvoďte vztah pro oedometrický modul Vztah mezi σz a ε z Oedometr y Předpokládáme, = = y = = = y = = y = = y Vzorek Tuhý prstenec z Ø75 mm, h= mm,,, y == 1 E y 1 =, = y = 1 = 1 E = z 1 E 1 = E 1 1 E oed Zemní tlak v klidu Jemnozrnné zeminy Písky Štěrky E oed [MPa] 1 3 5 1 5 V prai se často uvažuje závislost oedometrického modulu na úrovni napětí. 18
Hlavní napětí V úloze rovinné napjatosti vždy eistuje takové pootočení souřadnic, při kterém vymizí smykové napětí. Zbylá normálová napětí jsou hlavní napětí. z' α 1 ' 1 α 1 1, z = Matematicky jsou hlavní napětí σ 1, σ vlastní čísla matice A=[ ] A =, A I =, A I =, det A I = 19
Výpočet hlavních napětí pomocí vlastních čísel det[ ] = z = z = 1, = ± Pro trojosou napjatost vede problém hlavních napětí na kubickou rovnici. Řešením jsou tři reálná hlavní napětí. det[ y y y y ]=
Výpočet hlavních deformací 1 y 1 1 1 det[ y y 1 1 z y z ]= Koeficienty ½ jsou nezbytné pro zachování tenzorového charakteru, tj. nezávislost vlastních čísel na rotaci souřadnic. Řešením jsou tři reálné hlavní deformace. Pro rovinnou napjatost jsou hlavní deformace 1 det[ y y det 1 ]=, 1 [ 1 z ]= 1, = ±, 3 = y 1
Objemová část napětí a deformace Normálové deformace Objemové deformace ε V = 1 E y y = 1 E y = 1 E y Konstitutivní vztah m = E 3 1 Objemový modul pružnosti K [Pa] V V = y = 1 E V = 31 E y 3 y Střední hydrostatické napětí σ m m =K V
Složky napětí { y = y} Rozklad napětí a deformace Hydrostatická část (změna objemu) { m m } m Deviatorická část (změna tvaru) {s= m s y = y m } s z = m y Nebude ve zkoušce Složky deformace { y y} = Volumetrická část (změna objemu) /3 {V V /3 V /3 } Deviatorická část (změna tvaru) /3 {e= V e y = y V } /3 e z = V /3 y 3
Příklad napětí od ohřátí vody v ocelové trubce Součinitel objemové teplotní roztažnosti vody Součinitel délkové teplotní roztažnosti oceli H O =e-4 K 1 ocel =1e-6 K 1 Součinitel objemové teplotní roztažnosti oceli ocel =1 T 3 1 3 T =3.6e-5 K 1 Objemový modul pružnosti vody K H O =.15 GPa Ohřátí vody o +4 K. Výpočet zanedbává objemovou roztažnost oceli (řádově nižší) a pružnost ocelové nádoby (řádově vyšší). Celková objemová deformace bude proto v uzavřené nádobě přibližně nulová. V == m K T H O H O m = K H O H O T =.15e+3 e-4 4= 17. MPa Změna objemu vody, pokud by mohla volně epandovat V = H O T =.8 4
Příklad napětí od ohřátí vody v ocelové trubce Nyní uvažujte nekonečně dlouhou ocelovou trubku o středním poloměru 3 mm a o tloušťce stěny t=1 mm. Uvažujte teplotní roztažnost trubky spolu s kapalinou i její poddajnost. Výsledek porovnejte s předešlým řešením. Prodloužení obvodu trubky o= N r EA r T T Zvětšení poloměru trubky r= o = r E r T = m r T r Et T T = r m t m r=3 mm t=1 mm Objemová deformace vnitřního prostoru ocelové trubky V ocel =1 rr r r r r V ocel = V H O, m r Et 1 K H O = m r Et T T = H O T T T Objemová deformace vody H O V = m K T H O H O m = H O T T T [ r Et 1 K H O ] 1 = 9.38 MPa, =81 MPa Pozn. Pro α T = a E dává řešení předchozí výsledek 17. MPa. 5
Základní rovnice pro trojosou napjatost Přemístění u, v, w Laméovy rovnice (3 rovnice) Vnější síly X,Y, Z 6 Geometrických rovnic 3 Statické rovnice = u = u z w 15 nezávislých rovnic pro 15 neznámých y y X = z y y y y Y = z y z Z= Přetvoření, y,,, y 6 Materiálových rovnic = E [1 y ] 11 = E 1 Napětí, y,,, y 6
Otázky 1. Definujte tensor napětí a nakreslete vektor napětí na normále, která je orientována souhlasně s osou y.. Odvoďte statickou podmínku rovnováhy ve směru. Jak se výsledná rovnice zredukuje, pokud se použije na čistě tažený prut? 3. Uvažujte tažený prut jako 3D kontinuum. Které složky napětí a deformace jsou nulové? 4. Dokažte, že matice tuhosti lineárně elastického materiálu je inverzí matice poddajnosti. Pro výpočet inverzní matice využijte rozdělení matice na 4 submatice. 5. Odvoďte hlavní napětí pro případ rovinné deformace pomocí transformace tensoru napětí. 6. Proč jsou v tenzoru deformace koeficienty ½ u inženýrských deformací? 7. V jakých rovnicích vystupuje modul pružnosti ve smyku a objemový modul pružnosti? 8. Jaký je vztah hydrostatického napětí u kapalin vůči složkám napětí σ,σ y,σ z? Jsou kapaliny opravdu nestlačitelné? Vytvořeno 4/11 v OpenOffice 3., Ubuntu 1.4, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami. 7