Reprezentace kone ných grup

Masarykova univerzita P írodov decká fakulta Bakalá ská práce Martin mérek Reprezentace kone ných grup Vedoucí bakalá ské práce doc. RNDr. Martin ƒadek, CSc. Studijní program: Matematika Studijní obor: Obecná matematika 2011

Pod kování Rád bych pod koval vedoucímu své bakalá ské práce doc. RNDr. Martinovi ƒadkovi, CSc. za v novaný as a velmi p ínosné konzultace, které mi nez ídka odhalily do té doby skrytá zákoutí nejen tohoto zajímavého tématu, ale i matematiky v bec. Dále bych rád pod koval své snoubence Ir e za trp livost, pochopení a lásku. Prohlá²ení Prohla²uji, ºe jsem svou bakalá skou práci napsal samostatn a výhradn s pouºitím citovaných pramen. V Brn, dne 31. kv tna 2011 Martin mérek

Abstrakt Název práce: Reprezentace kone ných grup Autor: Martin mérek Ústav matematiky a statistiky P írodov decké fakulty, MU Vedoucí bakalá ské práce: doc. RNDr. Martin ƒadek, CSc. Abstrakt: Tato práce se zabývá teorií reprezentací kone ných grup. Reprezentací grupy rozumíme homomorsmus grupy do grupy lineárních automorsm vektorového prostoru. Cílem práce je poskytnout ucelený úvod do této oblasti s d razem na reprezentace grup permutací kone ných mnoºin. Jsou zde popsány základní pojmy pouºívané v této teorii, jako nap íklad ireducibilní reprezentace, charakter reprezentace a Youngovy diagramy. Výklad je demonstrován na p íkladech. Klí ová slova: Reprezentace kone ných grup, reprezentace grupy permutací kone ných mnoºin, ireducibilní reprezentace, charakter, Young v diagram Title: Representation of nite groups Author: Martin mérek Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: doc. RNDr. Martin ƒadek, CSc. Abstract: The thesis deals with nite group representation theory. A group representation is a homomorphism between the group and the automorphism group of a vector space. The main goal is to give an introduction to this area with emphasis to representations of nite permutation groups. The thesis describes basic notions of the theory, such as irreducible representation, character of a representation and Young diagrams, and demonstrates them on examples. Keywords: Finite group representation, nite permutation group representation, irreducible representation, character, Young diagram

Obsah Úvod 2 1 Základní pojmy 3 2 Reprezentace kone ných grup 6 2.1 Operace nad vektorovými prostory...................... 8 2.2 Ireducibilita a Schurovo lemma........................ 10 2.3 Permuta ní a regulární reprezentace...................... 15 3 Charaktery reprezentací 19 3.1 Projekce a její d sledky............................ 24 3.2 Po et ireducibilních reprezentací grupy.................... 27 3.3 Ireducibilní reprezentace grupy S 4...................... 29 4 Youngovy diagramy a Frobeniova formule 31 4.1 Ireducibilní reprezentace grupy S d...................... 32 4.2 Frobeniova formule............................... 38 Literatura 42 1

Úvod Algebra je odv tvím matematiky zabývajícím se vlastnostmi abstraktních struktur a jejich vzájemnými vztahy. Tato práce se zabývá teorií reprezentací kone ných grup [2, 3] s d razem na reprezentace grup permutací kone ných mnoºin, které jsou práv takovými strukturami. Z pohledu studenta matematiky je tato teorie sama o sob elegantním a zajímavým spojením lineární algebry a teorie grup. Navíc m ºe slouºit jako odrazový m stek ke studiu pokro ilej²ích algebraických struktur, jakými jsou nap íklad Lieovy grupy a algebry. Cílem práce je poskytnout úvod do této oblasti zájemc m, kte í mají znalosti na úrovni p edm t algebra I a lineární algebra II vyu ovaných na P írodov decké fakult Masarykovy univerzity. V první kapitole uvedeme, p ípadn stru n zopakujeme základní pojmy a v ty, které p ímo nesouvisí s teorií reprezentací, ale které budeme v práci pouºívat. Následující kapitola popisuje základní pojmy teorie reprezentací kone ných grup. Nejprve se tato kapitola podrobn zabývá dv ma moºnými denicemi reprezentace kone né grupy G, která m ºe být vnímána jako homomorsmus grupy G do grupy v²ech lineárních automorsm vektorového prostoru V nebo jako levá akce grupy G na prostoru V. Dále jsou popsány základní vlastnosti reprezentací kone ných grup a ireducibilní reprezentace, ze kterých jsou sloºeny v²echny ostatní reprezentace grupy. V t etí kapitole se zam íme na charakter reprezentace a s pomocí tohoto elegantního nástroje odvodíme dal²í vlastnosti reprezentací, zejména pak po et ireducibilních reprezentací grupy. ƒtvrtá kapitola se jiº výhradn zabývá reprezentacemi grupy S d permutací kone né mnoºiny. P edstavíme zde kombinatorické struktury zvané Youngovy diagramy, jimiº lze pom rn jednoduchým zp sobem popsat a zkonstruovat v²echny ireducibilní reprezentace grupy S d. Nakonec v této kapitole uvedeme Frobeniovu formuli, která popisuje charaktery ireducibilních reprezentací a s jejíº pomocí lze snadno odvodit dimenze v²ech ireducibilních reprezentací S d. Jako hlavní zdroj p i tvorb této práce poslouºila první ást knihy W. Fultona a J. Harrise Representation theory: a rst course [2]. Základní struktura druhé aº tvrté kapitoly práce odráºí strukturu této knihy na n kolika místech je ale postupováno v zájmu lep²í srozumitelnosti a p ístupnosti podrobn ji i jiným zp sobem, nap íklad tvrzení a d - kazy 3.2 a 3.3, nebo 4.3 aº 4.7. Na kone nou podobu práce mají vliv i ostatní uvedené zdroje. Sou ástí práce jsou také e²ení patnácti cvi ení r zné obtíºnosti z vý²e uvedené publikace. Tato cvi ení, a uº v podob p íklad nebo tvrzení, jsou v textu ozna ena. Hlavním p ínosem práce jsou tedy zejména podrobn ji a p esn ji zpracované d kazy a vy e²ené úlohy z [2]. 2

O 5 Kapitola 1 Základní pojmy V této kapitole uvedeme základní pojmy, které budeme ve zbytku práce pouºívat. Denice 1.1 (Duální prostor). Nech U je vektorový prostor nad t lesem K. Vektorový prostor lineárních forem se nazývá duální vektorový prostor k prostoru U a ozna ujeme jej U = Hom(U, K). Zobrazení (, ) : U U K denované (u, f) = f(u) je bilineární a nazývá se dualita. Denice 1.2 (Tenzorový sou in). Nech U 1,..., U n jsou vektorové prostory kone né dimenze nad t lesem K. Jejich tenzorový sou in denujeme jako vektorový prostor v²ech n-lineárních zobrazení z U 1... U n do K, tedy Sou asn denujeme zobrazení U 1... U n = Hom n (U 1... U n, K). t : U 1... U n U 1... U n, t(u 1,..., u n ) = u 1... u n p edpisem u 1... u n (f 1,..., f n ) = (u 1, f 1 ) (u n, f n ), kde f 1 U1,..., f n Un. V ta 1.3 (Univerzální vlastnost tenzorového sou inu). Nech U 1,..., U n, V jsou vektorové prostory a Φ : U 1... U n V je n-lineární zobrazení. Pak existuje práv jedno lineární zobrazení ϕ : U 1... U n V takové, ºe ϕ(u 1... u n ) = Φ(u 1,..., u n ), tedy, ºe následující diagram komutuje U 1... U n t U 1... U n!ϕ Φ / V D kaz uvedené v ty lze nalézt nap íklad v [1]. Pokud V je vektorový prostor a n N, pak z vlastnosti tenzorového sou inu plyne, ºe pro kaºdou permutaci σ prvek S n grupy permutací n-prvkové mnoºiny existuje izomorsmus ρ σ : U 1... U n U 1... U n denovaný vztahem 3

1. Základní pojmy ρ σ (u 1 u 2... u n ) = u σ(1) u σ(2)... u σ(n). Nech t U 1... U n. Tenzor t se nazývá symetrický, jestliºe ρ σ (t) = t pro v²echny permutace σ S n. Pokud platí ρ σ (t) = sgn(σ)t pro v²echna σ S n, pak t nazýváme antisymetrický. Prostor v²ech symetrických tenzor zna íme Sym k V a prostor v²ech antisymetrických tenzor zna íme k V. Podrobnosti o vlastnostech t chto prostor jsou uvedeny nap íklad v [1]. Denice 1.4 (Stopa lineárního zobrazení). Nech V je vektorový prostor a ϕ : V V je lineární zobrazení. Stopa lineárního zobrazení Tr(ϕ) je stopa (sou et prvk na hlavní diagonále) matice zobrazení ϕ v libovolné bázi. Poznámka. Vý²e uvedená denice je korektní, nebo pro libovolné tvercové matice A a B platí Tr(AB) = Tr(BA) a pro libovolné dv matice A a A lineárního zobrazení ϕ platí A = P 1 A P, kde P je matice p echodu od α k α, coº jsou báze p íslu²né A a A. D kaz následující v ty lze nalézt v [4]. V ta 1.5. Nech V je komplexní vektorový prostor dimenze n. Potom pro kaºdé ϕ : V V existuje báze α = (v 1,..., v n ) taková, ºe matice λ 1 a 12... a 1n 0 λ 2... a 2n (ϕ) α,α =........ 0 0... λ n je v horním trojúhelníkovém tvaru. Denice 1.6 (Projekce). Nech W V jeho vektorový podprostor prostoru V. ekneme, ºe zobrazení ϕ : V W je projekcí na W, pokud platí ϕ 2 = ϕ. Denice 1.7 (Obecná lineární grupa). Nech V je vektorový prostor. Grupu v²ech lineárních automorsm vektorového prostoru V, tj. lineárních izomorsm z V do V, nazýváme obecná lineární grupa a zna íme ji GL(V ). Denice 1.8 (T ídy konjugace). Nech G je grupa. Prvky g 1, g 2 G nazveme konjugované, jestliºe existuje h G takové, ºe platí hg 1 h 1 = g 2. Konjugace je relací ekvivalence a prvky jejího rozkladu G nazýváme t ídy konjugace. Tvrzení 1.9 (T ídy konjugace grupy permutací). Nech π a σ jsou prvky S n grupy permutací n-prvkové mnoºiny S. Pak π a σ jsou konjugované práv tehdy, kdyº mají stejnou strukturu cykl. Zd vodn ní tohoto tvrzení spo ívá ve faktu, ºe pokud π = (i 1, i 2,..., i l )... (i m, i m+1..., i n ), 4

1. Základní pojmy pak pro v²echna ρ S n platí ρπρ 1 = (ρ(i 1 ), ρ(i 2 ),..., ρ(i l ))... (ρ(i m ), ρ(i m+1 )..., ρ(i n )). Odtud vidíme, ºe konjugované jsou práv permutace se stejnou strukturou cykl. Denice 1.10 (Volný vektorový prostor). Nech X je mnoºina a K t leso. Pak vektorový prostor V = { x X a xx a x K pro v²echna x} v²ech lineárních kombinací prvk X s bází (x 1,..., x n ), kde x 1,..., x n jsou v²echny prvky mnoºiny X, nazýváme volným vektorovým prostorem nad mnoºinou X a zna íme jej K[X]. Denice 1.11 (Algebra grupy). Nech G je kone ná grupa a K t leso. Volný vektorový prostor K[G] spolu s operací násobení denovanou na K[G] vztahem ( a g g)( b h h) = a g b h gh, g G h G g G nazýváme algebrou grupy G a zna íme ji KG. h G 5

Kapitola 2 Reprezentace kone ných grup V této kapitole p edstavíme základní pojmy, se kterými budeme dále pracovat. Pokud nebude e eno jinak, tak v²echny námi uvaºované grupy budou kone né a v²echny vektorové prostory budou komplexní s kone nou dimenzí. Úst edním termínem teorie reprezentací je, jak jiº název napovídá, pojem reprezentace grupy G. Denice 2.1 (Reprezentace jako homomorsmus). Reprezentace kone né grupy G na kone n rozm rném komplexním vektorovém prostoru V je homomorsmus ρ : G GL(V ) grupy G do grupy v²ech lineárních automorsm prostoru V. P íklad 2.2. Uvaºme libovolnou grupu G a vektorový prostor C. Nejjednodu²²í reprezentací G je homomorsmus ρ denovaný vztahem ρ(g) = id pro v²echna g G. Tuto reprezentaci nazýváme triviální reprezentace G. Existuje je²t jeden zp sob, jak denovat reprezentaci grupy G, a to pomocí levé akce G na vektorovém prostoru V. Denice 2.3 (Levá akce). Nech G je kone ná grupa a X mnoºina. Levou akcí grupy G na mnoºin X nazveme zobrazení ϕ : G X X, zna íme (g, x) gx, které spl uje následující podmínky: 1. g 1 (g 2 x) = (g 1 g 2 )x pro v²echna g 1, g 2 G a x X 2. 1x = x, kde 1 je jednotkový prvek grupy G, pro v²echna x X Denice 2.4 (Reprezentace jako levá akce). Nech G je kone ná grupa a V kone n rozm rný komplexní vektorový prostor. Reprezentací G na V nazveme levou akci G na V takovou, ºe navíc platí: 1. g(v 1 + v 2 ) = gv 1 + gv 2 pro v²echna g G a v 1, v 2 V 2. g(av) = agv pro v²echna a C, g G a v V P íklad 2.5. Uvaºme S d grupu permutací d-prvkové mnoºiny a vektorový prostor C. Pak levá akce S d denovaná na C jako σc = sgn(σ)c, pro v²echna σ S d a c C je reprezentací S d. Tuto reprezentaci nazýváme alternující reprezentace S d. Ob práv uvedené reprezentace jsou ekvivalentní, tedy nap íklad vý²e uvedená triviální reprezentace grupy G odpovídá levé akci G na V denované vztahem gv = v pro v²echna g G, v V. Formáln dokáºeme ekvivalenci obou denic následujícím tvrzením. 6

/ 2. Reprezentace kone ných grup Tvrzení 2.6 (Ekvivalence denic reprezentace). Denice 2.1 a 2.4 jsou ekvivalentní. D kaz. Nech ρ : G GL(V ) je homomorsmus grup. Pak odpovídající levá akce G na V je denována pomocí p edpisu (g, v) ρ(g)(v) pro v²echna g G a v V. Takto denované zobrazení je vskutku levou akcí ob podmínky z denice 2.3 jsou spln ny, nebo ρ je homomorsmus a tedy zachovává operaci a zobrazuje 1 na id. Platnost podmínek z denice 2.4 plyne ze skute nosti, ºe ρ(g) je lineární zobrazení. Na druhou stranu, pokud máme levou akci G na V, pak lze získat p íslu²nou reprezentaci ρ : G GL(V ) z denice 2.1 p edpisem ρ(g) = g pro v²echna g G. Z podmínek denice 2.4 plyne, ºe pro kaºdé g G je g lineární zobrazení. My v²ak po g navíc poºadujeme, aby se jednalo o izomorsmus. Uváºíme-li v²ak, ºe ke kaºdému g existuje inverzní zobrazení g 1, je z ejmé, ºe g je izomorsmus. Z podmínek denice levé akce dále plyne, ºe automorsmy indukované prvky g G tvo í grupu a ºe pro v²echna g 1, g 2 G a v V platí ρ(g 1 g 2 )(v) = (g 1 g 2 )v = g 1 (g 2 v) = ρ(g 1 )(ρ(g 2 )(v)) = ρ(g 1 ) ρ(g 2 )(v). Z tohoto vyplývá, ºe p edpis ρ(g) = g opravdu denuje homomorsmus z grupy G do GL(V ). Poznámka. V dal²ím textu budeme pod obratem V je reprezentace G rozum t skute nost, ºe vektorový prostor V je reprezentací grupy G podle denice 2.1, resp. 2.4. Vyuºívat pak budeme denici, která pro nás bude v dané situaci výhodn j²í. Pokud nem ºe dojít k nedorozum ní, tj. z kontextu bude chování reprezentace jasné, nebudeme p íslu²ný homomorsmus, resp. odpovídající levou akci, specikovat. Pro studium r zných reprezentací grupy G je uºite né mít k dispozici pojem, kterým lze tyto reprezentace vzájemn porovnávat. Z tohoto d vodu zavádíme pojem homomorsmu a izomorsmu reprezentací. Denice 2.7 (Homomorsmus a izomorsmus reprezentací). Nech V a W jsou reprezentace G a ϕ Hom(V, W ). ekneme, ºe ϕ je G-lineární (homomorsmus reprezentací), pokud pro v²echna g G a v V platí ϕ(gv) = gϕ(v), neboli diagram V ϕ W g g V ϕ komutuje pro v²echna g G. Pokud je ϕ navíc izomorsmus, íkáme, ºe se jedná o izomorsmus reprezentací a reprezentace V a W jsou izomorfní. 7 / W

2. Reprezentace kone ných grup 2.1 Operace nad vektorovými prostory P i práci s vektorovými prostory existuje n kolik základních operací, kterými lze z vektorových prostor vytvo it nový vektorový prostor. V následující ásti ukáºeme, ºe pro reprezentace grupy G lze pomocí t chto operací p irozeným zp sobem vytvo it novou reprezentaci. Z tohoto pohledu je nejjednodu²²í operací direktní sou et. Pokud jsou V a W reprezentace grupy G, pak V W je op t reprezentace s levou akcí shodnou s p - vodní pro vektory pouze z V nebo W a pro g G, v V a w W denovanou jako g(v + w) = gv + gw. Následující denice popisuje, jakým zp sobem získáme reprezentaci tenzorovým sou inem reprezentací. Denice 2.8 (Reprezentace tenzorového sou inu). Nech jsou V a W reprezentace grupy G. Pak tenzorový sou in V W je reprezentací denovanou g(v w) = gv gw. Skute nost, ºe vý²e uvedená denice spl uje poºadavky na reprezentaci, plyne z následující úvahy o univerzální vlastnosti tenzorového sou inu. Nech g je libovolný prvek G a Φ g : V W V W je zobrazení denované vztahem Φ g (v, w) = gv gw. Toto Φ g je z ejm bilineární. Z univerzální vlastnosti tenzorového sou inu plyne, ºe existuje práv jedno lineární zobrazení ϕ g : V W V W takové, ºe ϕ g (v w) = Φ g (v, w) = gv gw. Toto ϕ g je navíc izomorsmus a jeho chování lze pro libovolné báze (v 1,..., v k ) prostoru V a (w 1,..., w l ) prostoru W popsat vztahem ϕ g ( i,j a ij v i w j ) = i,j a ij gv i gw j. Toto zobrazení ϕ g odpovídá levé akci g na V W. Denice 2.9 (Duální prostor jako reprezentace). Nech V je reprezentací G. Pak V je také reprezentace G a p íslu²ná levá akce je pro g G denovaná vztahem pro v²echna v V, f V. (gf)(v) = f(g 1 v), Tvrzení 2.10. P edcházející denice V jako reprezentace G je korektní. D kaz. Nejprve se podívejme, jestli je vý²e denovaná opravdu levá akce ve smyslu denice 2.3. Pro g 1, g 2 G, f V a v V platí ((g 1 g 2 )f)(v) = f((g 1 g 2 ) 1 v) = f(g 1 2 (g 1 1 v)) = (g 2 f)(g 1 1 v) = (g 1 (g 2 f))(v). 8

2. Reprezentace kone ných grup Druhý poºadavek z denice 2.3 je z ejm také spln n. Linearitu této levé akce dokáºeme snadno, nebo pro libovolné g G, v V f 1, f 2 V a a 1, a 2 C platí (g(a 1 f 1 + a 2 f 2 ))(v) = (a 1 f 1 + a 2 f 2 ))(g 1 v) = = a 1 (f 1 )(g 1 v) + a 2 (f 2 ))(g 1 v) = a 1 (gf 1 )(v) + a 2 (gf 2 )(v). Podívejme se nyní, jak p sobí akce g G na dualitu. Pro libovolné v V a f V platí (gv, gf) = (gf)(gv) = f(g 1 (gv)) = f(v) = (v, f). Lze tedy navíc íct, ºe takto denovaná levá akce G na V spolu s p vodní akcí na V zachovává dualitu (coº jsme m li dokázat ve cvi ení 1.1 v [2]). K odvození denice Hom(V, W ) jakoºto reprezentace vyuºijeme skute nost, ºe prostor Hom(V, W ) je izomorfní V W. Pro tento izomorsmus platí, ºe pro f V, w W : f w ϕ Hom(V, W ) takové, ºe ϕ(v) = f(v) w. Pouºitím akce g G na ob strany rovnosti a vyuºitím denice akce G na tenzorovém sou inu dostáváme (gϕ)(v) = gf(v) gw = f(g 1 v) gw = g(f(g 1 v) w) = gϕ(g 1 v), coº je vztah, který pouºijeme v následující denici. Denice 2.11 (Hom(V, W ) jako reprezentace). Nech jsou V a W reprezentace grupy G. Pak Hom(V, W ) je také reprezentací G s levou akcí denovanou pro g G, ϕ Hom(V, W ) a v V vztahem (gϕ)(v) = gϕ(g 1 v). Pouºitím práv uvedené denice m ºeme ukázat, jaká je struktura homomorsm reprezentací. Tvrzení 2.12 (cvi ení 1.2 v [2]). Nech V a W jsou vektorové prostory nad t lesem K, které jsou zárove reprezentacemi grupy G. Pak v²echny homomorsmy t chto dvou reprezentací tvo í práv vektorový podprostor t ch prvk Hom(V, W ), které jsou pevnými body pro v²echna g G. D kaz. Nech ϕ, ψ Hom(V, W ) jsou homomorsmy reprezentací V a W. Ukáºeme, ºe i zobrazení aϕ + bψ pro libovolné a, b K je homomorsmus. Pro libovolné v V a g G dostáváme (aϕ + bψ)(gv) = aϕ(gv) + bψ(gv) = a(gϕ(v)) + b(gψ(v)) = = gaϕ(v) + gbψ(v) = g(aϕ(v) + bψ(v)), kde druhá rovnost plyne z G-linearity ϕ a ψ. Homomorsmy reprezentací V a W tedy tvo í podprostor Hom(V, W ). Z denice levé akce G na Hom(V, W ) a z G-linearity ϕ pro v²echna v V plyne (gϕ)(v) = gϕ(g 1 v) = g(g 1 ϕ(v)) = (gg 1 )ϕ(v) = ϕ(v), 9

2. Reprezentace kone ných grup a ϕ je tedy pevný bod pro v²echna g. Obrácen, pokud je zobrazení ρ zachováno v²emi g G, tedy pro v²echna v V platí (gρ)(v) = ρ(v). Pak zárove i (g 1 ρ)(v) = ρ(v). Potom ρ(gv) = (gg 1 )ρ(gv) = g(g 1 ρ(gv)) = g((g 1 ρ)(v)) = g(ρ(v)) = gρ(v), kde v t etí rovnosti vyuºíváme denici akce G na Hom(V, W ). Z dokázané rovnosti plyne, ºe ρ je G-lineární. Mnoºina G-lineárních zobrazení je tedy práv mnoºina prvk Hom(V, W ), které jsou pevnými body levé akce grupy G. Tato mnoºina zárove tvo í podprostor prostoru Hom(V, W ). Poznámka. Vý²e uvedený podprostor homomorsm reprezentací prostoru Hom(V, W ) je v t²inou zna en Hom G (V, W ). 2.2 Ireducibilita a Schurovo lemma V této podkapitole zavedeme pojem ireducibilní reprezentace. Ukáºeme, ºe kaºdou reprezentaci, která tuto vlastnost nemá, lze rozloºit na direktní sou et n kolika ve smyslu inkluze men²ích ireducibilních reprezentací a tedy ireducibilní reprezentace lze povaºovat za základní stavební kameny v²ech ostatních reprezentací. V p ípad mnohých algebraických struktur hovo íme o podstrukturách majících stejné algebraické vlastnosti jako struktura p vodní. Podobn m ºeme i v p ípad reprezentací uvaºovat pojem podreprezentace. Denice 2.13 (Podreprezentace). Nech V je reprezentace G. Nech W je podprostor W V takový, ºe pro v²echna g G a w W platí gw W, tedy ºe W je invariantní vzhledem k levé akci G, nebo zkrácen G-invariantní. Pak W nazveme podreprezentací V. V²imn me si, ºe podreprezentace W V je sama o sob vektorovým prostorem s denovanou akcí G a je tedy i reprezentací G. Denice 2.14 (Ireducibilní reprezentace). Reprezentace V grupy G se nazývá ireducibilní, pokud nemá nenulovou vlastní podreprezentaci, tedy podreprezentaci r znou od {0} a V. Poznámka. V literatu e [2, 3] se vlastní nenulová podreprezentace nazývá netriviální podreprezentací. Nyní ukáºeme základní a o ekávatelnou vlastnost homomorsmu reprezentací, a to ºe obrazy a jádro homomorsmu reprezentací jsou op t reprezentace, resp. podreprezentace. Tvrzení 2.15. Nech V a W jsou vektorové prostory nad t lesem K a zárove reprezentace grupy G a nech ϕ : V W je homomorsmus reprezentací. Pak Ker ϕ, resp. Im ϕ, je G-invariantní podprostor prostoru V, resp. prostoru W. D kaz. Z G-linearity ϕ pro v²echna v Ker ϕ a g G plyne ϕ(gv) = gϕ(v) = g0 = 0 a tedy gv Ker ϕ. Odtud plyne, ºe Ker ϕ je G-invariantní podprostor V. Dále pro libovolné w Im ϕ existuje v V takové, ºe ϕ(v) = w. Dále platí gw = gϕ(v) = ϕ(gv) Im ϕ a Im ϕ je tedy G-invariantní podprostor W. 10

2. Reprezentace kone ných grup P ímým d sledkem práv dokázaného tvrzení je následující v ta, která charakterizuje homomorsmy mezi ireducibilními reprezentacemi. V ta 2.16 (Schurovo lemma). Nech V a W jsou vektorové prostory nad t lesem K a zárove ireducibilní reprezentace G. Dále nech ϕ : V W je homomorsmus reprezentací. Pak 1. ϕ je bu izomorsmus, nebo ϕ 0 2. pokud V = W a K = C, tak ϕ = λ id pro n jaké λ C D kaz. Protoºe je Im ϕ G-invariantní podprostor W, tak bu Im ϕ = {0} nebo Im ϕ = W. V druhém p ípad, tedy pokud Im ϕ = W, sta í uváºit, ºe Ker ϕ je G-invariantní podprostor V a Ker ϕ = V jen v p ípad, ºe V = {0}. Odtud Ker ϕ = {0} a ϕ je izomorsmus vektorových prostor. Protoºe je t leso C algebraicky uzav ené, má ϕ n jaké vlastní íslo λ C, pro které má ϕ λ id neprázdné jádro. ϕ λ id je ov²em lineární zobrazení z V do V a podle p ede²lého odstavce d kazu tedy platí ϕ λ id 0. Odtud dostáváme poºadovanou rovnost ϕ = λ id. D sledek 2.17. Nech V je ireducibilní reprezentace G, W reprezentace G a ϕ : V W homomorsmus reprezentací. Pak bu ϕ(v ) = {0}, nebo ϕ(v ) = V. D kaz. Z tvrzení 2.15 víme, ºe ϕ(v ) je G-invariantní podreprezentací W. Pokud ϕ(v ) = {0}, pak je dokazované tvrzení spln no. V opa ném p ípad, pokud by ϕ(v ) nebyla ireducibilní reprezentace, by existovala nenulová podreprezentace U, U ϕ(v ). Vzor U by pak byl podle 2.15 nenulová vlastní podreprezentací reprezentace V, coº je spor s p edpokladem, ºe V je ireducibilní. Protoºe V i ϕ(v ) jsou ireducibilní, z Schurova lemmatu plyne, ºe V = ϕ(v ). K tomu, abychom byli schopni dokázat, ºe kaºdou reprezentaci lze rozloºit na direktní sou et ireducibilních reprezentací, pot ebujeme nejprve vhodný nástroj, který nám poskytne následující tvrzení. Tvrzení 2.18. Nech V je reprezentací G a W je podreprezentací V. Pak existuje G- invariantní podprostor W V, pro který platí V = W W. D kaz. Nech, je libovolný skalární sou in na V. Zave me na V skalární sou in, invariantní v i akci G následujícím zp sobem u, v = g G gu, gv. Nech je nyní W ortogonálním dopl kem W v prostoru V se skalárním sou inem,, tedy platí V = W W. Pak pro v²echny g G, w W a w W platí gw, w = gw, gg 1 w = w, g 1 w = 0, kde g 1 w W a tedy je kolmý na w W. Odtud plyne, ºe gw W, pro v²echna g G a w W, a W je hledaným invariantním podprostorem. 11

2. Reprezentace kone ných grup Následující v ta bývá v literatu e ozna ována jako Maschkeho v ta [3]. V ta 2.19 (Dekompozice). Pro libovolnou reprezentaci V kone né grupy G platí V = V a 1 1... V a k k, kde V i, 1 i k, k N, jsou vzájemn r zné ireducibilní reprezentace. Direktní sou et je, ve smyslu hodnot násobk výskyt jednotlivých ireducibilních reprezentací, jednozna ný. D kaz. Existenci tohoto sou tu dokáºeme indukcí vzhledem k n = dim V. Pokud n = 1, tvrzení v ty platí triviáln, nebo V je ireducibilní. P edpokládejme, ºe tvrzení platí pro v²echny reprezentace dimenze men²í neº n. Nech V je reprezentace dimenze n. V p ípad, ºe je reprezentace V ireducibilní, platí v ta triviáln. Pokud V není ireducibilní, pak existuje nenulová vlastní podreprezentace W V a z p edcházejícího tvrzení plyne existence podreprezentace W spl ující V = W W. Pro W a W platí dim W < n a dim W < n a podle induk ního p edpokladu lze reprezentace W a W vyjád it jako direktní sou ty ireducibilních reprezentací G. Odtud plyne, ºe i V lze vyjád it jako direktní sou et ireducibilních reprezentací G. P edpokládejme, ºe V lze vyjád it jako dva direktní sou ty ireducibilních reprezentací V a = V a 1 1... V a k k = V = V b 1 1... V b k k = V b, kde a i, b i N 0 = {0, 1, 2,... }, pro 1 i n. Ozna me ϕ lineární izomorsmus mezi V a a V b. P edpokládejme, ºe pro n jaké i platí a i b i. Bez újmy na obecnosti m ºeme p edpokládat, ºe a i > b i, nebo v opa ném p ípad bychom za lineární izomorsmus vzali ϕ 1. Uvaºme nyní zúºení ϕ na jednotlivé s ítance V a i i. Obraz kaºdého ze s ítanc musí být podle d sledku 2.17 ireducibilní podreprezentací V b a protoºe je ϕ izomorsmus, je obraz nenulový a tedy izomorfní s V i. Odtud plyne, ºe a i b i, coº je spor s p edpokladem, ºe existuje i takové, ºe a i b i. Poznámka. V dal²ím textu budeme direktní sou et V a 1 1... V a k k nazývat dekompozicí V. z p edcházející v ty Jak jsme jiº uvedli, studujeme reprezentace nad t lesem komplexních ísel, které je algebraicky uzav ené. D sledkem této vlastnosti je skute nost, ºe kaºdý lineární automorsmus na V má sou et násobností vlastních ísel práv dim V. Hodnoty vlastních ísel lineárních automorsm g, pro g G, velice úzce souvisí se strukturou grupy G. Konkrétní poznatky shrnuje následující tvrzení. Tvrzení 2.20 (Vlastní ísla). Nech V je reprezentací G. Nech pro n jaké λ C, v V \ {0} a g G platí gv = λv a nech n je ád prvku g v grup G. Pak platí 1. λ je n-tá odmocnina 1 C, 2. g 1 v = λ 1 v. 12

2. Reprezentace kone ných grup D kaz. Víme, ºe gv = λv. Pak v = 1v = (g n )v = g(g(... (gv)... )) = λ n v, a tedy λ n = 1 a λ je n-tou odmocninou jedni ky. Dále platí v = 1v = (g 1 g)v = g 1 (gv) = g 1 (λv) = λg 1 (v). Odtud vidíme, ºe λ 1 je vlastním íslem g 1 s vlastním vektorem v. Pov²imn me si, ºe pro libovolnou komutativní grupu G platí g(h(v)) = h(g(v)), pro v²echna g, h G a v V, kde V je libovolná reprezentace grupy G. Pro kaºdý prvek g G a reprezentaci V je tedy lineární izomorsmus g : V V homomorsmem reprezentací. Z Schurova lemmatu plyne, ºe pokud je V ireducibilní, pak kaºdé takové zobrazení je rovno násobku identity. Protoºe kaºdý podprostor tohoto prostoru V je invariantní, musí mít V dimenzi rovnu 1. Ireducibilní reprezentace komutativní grupy G jsou tedy homomorsmy z G do prostoru C v²ech komplexních lineárních forem na C. Podívejme se nyní na nejjednodu²²í p ípad nekomutativní grupy, tedy grupy S 3 permutací t íprvkové mnoºiny. Jak jsme uvedli v p íkladech 2.2 a 2.5, tato grupa má dv jednorozm rné reprezentace, kterými jsou triviální reprezentace U s levou akcí denovanou gv = v a alternující reprezentace U s levou akcí gv = sgn(g)v pro v²echna v C a g G. Protoºe se zabýváme grupou permutací, je p irozené se podívat na reprezentaci C 3 s levou akcí denovanou jako g(z 1, z 2, z 3 ) = (z g 1 (1), z g 1 (2), z g 1 (3)). Vidíme, ºe tato reprezentace obsahuje nenulovou vlastní podreprezentaci generovanou vektorem (1, 1, 1), která je izomorfní s triviální reprezentací U. Komplementární podprostor V = {(z 1, z 2, z 3 ) C 3 z 1 + z 2 + z 3 = 0}, se nazývá standardní reprezentace. Tato dvoudimenzionální reprezentace je ireducibilní, protoºe existuje pouze jeden jednodimenzionální podprostor invariantní vzhledem k (1 2), a to podprostor generovaný vektorem (1, 1, 0), který v²ak není invariantní nap íklad vzhledem k (1 3). Pokusme se nyní popsat v²echny reprezentace S 3. Jak víme z teorie kone ných grup, tato grupa je generovaná mnoºinou prvk {(1 2), (1 2 3)}. Ur it chování akce σ = (1 2) je jednoduché, nebo víme, ºe σ 2 = 1 a vlastní ísla této akce mohou být pouze 1 a 1. Pro τ = (1 2 3) platí τ 3 = 1 a vlastní ísla tedy mohou být 1, ω a ω 2, kde ω = e 2πi/3. Pokusme se nejprve uplatnit tyto znalosti p i popsání standardní reprezentace. P íklad 2.21 (Cvi ení 1.10 z [2]). Bázové vektory standardní reprezentace V jsou α = (ω, 1, ω 2 ) a β = (1, ω, ω 2 ), kde ω = e 2πi/3. Oba vektory jsou z ejm lineárn nezávislé, ov me, ºe jsou prvky V. Tedy ω+1+ω 2 = 1+ω+ω 2 = 1+e 2πi/3 +e 4πi/3 = 1+cos( 2 3 π)+i sin(2 3 π)+cos(4 3 π)+i sin(4 π) = 0. 3 13

2. Reprezentace kone ných grup Z toho plyne, ºe α a β opravdu tvo í bázi V. Dále se podívejme na to, jakým zp sobem se chovají na t chto vektorech permutace, resp. akce, σ = (1 2) a τ = (1 2 3): τα =(ω 2, ω, 1) = ωα, τβ =(ω 2, 1, ω) = ω 2 β, σα =(1, ω, ω 2 ) = β, σβ =(ω, 1, ω 2 ) = α. Zde m ºeme vid t, ºe τ má opravdu jako vlastní ísla mocniny ω, konkrétn ω pro α a ω 2 pro β. Dále vidíme, ºe τ(σ(α)) = ω 2 β = ω 2 1 σ(α) a τ(σ(β)) = ωα = ω 2 2 σ(β). Dále je v [2] podrobn popsáno, jakým zp sobem lze nalézt dekompozici reprezentace grupy S 3, ili pro danou reprezentaci najít izomorfní reprezentaci tvaru U a U b V c. Oproti nástroj m, které budeme mít k dispozici v následujících kapitolách, je tato technika pom rn t ºkopádná a výpo etn náro ná, a není proto ú elné ji podrobn popisovat. Ilustrujme si ji alespo na následujícím p íkladu. P íklad 2.22 (Cvi ení 1.11 z [2]). Zkusme nalézt dekompozici vektorových prostor Sym 2 V a Sym 3 V, kde V je standardní reprezentace S 3. Nejprve uvaºme prostor Sym 2 V. Báze tohoto prostoru je tvo ena tenzory α 2 = α α, αβ = 1 2 α β + 1 2 β α a β2 = β β. Pro permutaci τ = (123) a tyto tenzory platí τα 2 = (ωα) (ωα) = ω 2 α 2, ταβ = 1 2 ωα ω2 β + 1 2 ω2 β ωα = αβ, τβ 2 = (ω 2 β) (ω 2 β) = ωβ 2, z ehoº vidíme, ºe vlastní ísla pro τ jsou ω 2, 1 a ω. Dále vidíme, ºe pro σ = (12) platí σα 2 = β 2, σαβ = αβ a σβ 2 = α 2. Odtud vidíme, ºe α 2 a β 2 jsou bází podreprezentace izomorfní se standardní reprezentací V a tenzor αβ ur uje podreprezentaci izomorfní s triviální reprezentací U. Celkem tedy dostáváme Sym 2 V = U V. Báze prostoru Sym 3 V je tvo ena tenzory α 3, α 2 β, αβ 2 a β 3. Pro akci τ dostáváme τα 3 = α 3, τα 2 β = ωα 2 β, ταβ 2 = ω 2 αβ 2 a τβ 3 = β 3. Bázové tenzory jsou tedy vlastní vektory pro τ s vlastními ísly 1, ω, ω 2 a 1. Pro permutaci σ dostáváme σα 3 = β 3, σα 2 β = αβ 2, σαβ 2 = α 2 β a σβ 3 = α 3. Celkov z chování permutací τ a σ na tenzorech vidíme, ºe α 2 β a αβ 2 tvo í bázi podreprezentace izomorfní se standardní reprezentací V, dále α 3 + β 3 ur ují podreprezentaci izomorfní triviální reprezentaci U a α 3 β 3 je báze podreprezentace izomorfní alternující reprezentaci U. Celkem tedy dostáváme dekompozici Sym 3 V = U U V. 14

2. Reprezentace kone ných grup P i popisu ireducibilních reprezentací grupy S 3 jsme narazili na pojem standardní reprezentace. Nyní si ukáºeme, ºe pro v²echna d > 1 je standardní reprezentace grupy S d ireducibilní. Tvrzení 2.23. Nech d N, d > 1. Pak je vektorový prostor V = {(x 1,..., x d ) C d x 1 + + x d = 0}, ireducibilní reprezentací grupy S d s akcí denovanou g (x 1,..., x d ) = (x g 1 (1),..., x g 1 (d)). D kaz. D kaz povedeme indukcí vzhledem k d. Pro d = 2 má V dimenzi 1 a je tedy ireducibilní. P edpokládejme, ºe tvrzení platí pro d 1. V m ºeme zapsat jako reprezentaci grupy S d 1 ve tvaru V = {(x 1,..., x d 1, 0) V } {( y,..., y, (d 1)y) V } = V T, kde V je standardní reprezentace grupy S d 1 a T je triviální reprezentace. Jestliºe tedy V jakoºto reprezentace grupy S d má vlastní nenulovou podreprezentaci, musí být V = U W, kde dim U = d 1 a dim W = 1. Pak pro libovolný nenulový v W platí, ºe pro kaºdé g S d existuje λ 0 takové, ºe gv = λv. Odtud v = (y, y,..., y) a protoºe v V, musí být v = 0, coº je spor a V je ireducibilní. 2.3 Permuta ní a regulární reprezentace Nyní si p edstavíme jednu z nejd leºit j²ích reprezentací kaºdé grupy, regulární reprezentaci, kterou m ºeme vnímat jako konkrétní p ípad obecn j²ího pojmu permuta ní reprezentace. Denice 2.24 (Permuta ní reprezentace). Nech X je kone ná mnoºina, S(X) mnoºina v²ech permutací X, G kone ná grupa a σ : G S(X) homomorsmus grup. Reprezentaci denovanou na K[X] pro v²echna g G p edpisem g x X a x x = x X a x σ(g)(x), nazveme permuta ní reprezentací G pro mnoºinu X a homomorsmus σ nad t lesem K. Denice 2.25 (Regulární reprezentace). Nech G je grupa a σ : G S(G) denovaným σ(g)(h) = gh pro v²echna g, h G. Permuta ní reprezentaci grupy G pro mnoºinu G a homomorsmem σ nad t lesem C nazveme regulární reprezentací. Tuto reprezentaci zna íme R G. Poznamenejme, ºe práv uvedená denice íká, ºe regulární reprezentace je levou akcí grupy G na algeb e CG grupy G s akcí denovanou jako násobení na CG, resp. G. Tento pojem v²ak lze denovat i jiným zp sobem. 15

2. Reprezentace kone ných grup Denice 2.26 (Alternativní denice regulární reprezentace). Nech G je grupa. Regulární reprezentace je prostor C G komplexních funkcí na G, na kterých má prvek g G akci (gα)(h) = α(g 1 h) pro v²echna h G a α C G. Tvrzení 2.27 (Cvi ení 1.4* (a) z [2]). Denice 2.25 a 2.26 jsou ekvivalentní. D kaz. Pro x, h G poloºme e x (h) = { 1 pro h = x, 0 jinak. Pak charakteristické funkce e x tvo í bázi vektorového prostoru komplexních funkcí na G a libovolnou funkci α C G lze zapsat jako α = x G a xe x, kde a x C pro v²echna x G. Pro levou akci na t chto bázových vektorech pro v²echna g, h, x G platí (ge x )(h) = e x (g 1 h), a tedy (ge x )(h) = 1 práv tehdy, kdyº g 1 h = x, coº znamená h = gx. Odtud vidíme, ºe ge x = e gx. Poºadovaný izomorsmus reprezentací ϕ : C[G] C G je pak na bázových vektorech zadán vztahem ϕ(x) = e x. Z ejm se jedná o izomorsmus vektorových prostor. Navíc platí ϕ(g x G a x x) = ϕ( x G = y G a x gx) = ϕ( y G a g 1 ye y = x G a g 1 yy) = y G a g 1 yϕ(y) = a x e gx = g x G a x e x = g x G a x ϕ(x) = gϕ( x G a x x), takºe ϕ je G-lineární a tedy izomorsmus reprezentací. Podívejme se blíºe na odpovídající si prvky prostor C[G] a C G. Prvku a x x C[G], podle denice izomorsmu reprezentací odpovídá komplexní funkce α = a x e x. x G x G Vy íslení funkce α na prvku h G α(h) = ( x G a x e x )(h) = x G a x e x (h) = a h, je rovno sou adnici odpovídající prvku h v p ípad C[G], resp. e h v p ípad C G. Pouºitím levé akce g G se tyto prvky zm ní na x G a xgx a x G a xe gx, coº jsou podle o ekávání op t prvky, které si v izomorsmu odpovídají. 16

2. Reprezentace kone ných grup Tvrzení 2.28 (Cvi ení 1.4* (b) z [2]). Reprezentace C G grupy G s levou akcí denovanou vztahem (gα)(h) = α(hg), pro v²echna g, h G a α C G, je izomorfní s regulární reprezentací. D kaz. Nejprve uvaºme, ºe vý²e uvedená reprezentace je izomorfní s C[G] s levou akcí (pro p ehlednost zna enou ) denovanou jako g x G a x x = x G a x xg 1. Tento izomorsmus je denovaný podobn jako vý²e vztahem ϕ(x) = e x. Dále, pokud existuje izomorsmus ϕ : C[G] C[G] této a regulární reprezentace, pak na bázových vektorech musí spl ovat g ϕ(x) = ϕ(g x) = ϕ(xg 1 ). Pokud denujeme ϕ(x) = x 1 pro v²echna x G, pak je vý²e uvedená rovnice spln na a ϕ je poºadovaný izomorsmus reprezentací. Poznámka. Pov²imn me si, ºe izomorsmus z p ede²lého d kazu lze denovat více zp soby. Konkrétn pro libovolné pevné nenulové λ C m ºeme denovat ϕ(x) = λx 1. Regulární reprezentace nemusí být obecn ireducibilní, jak se p esv d íme v následujícím tvrzení. Tvrzení 2.29 (Cvi ení 1.12 (a) z [2]). Pro regulární reprezentaci grupy S 3 permutací t íprvkové mnoºiny platí R S3 = U U V 2. D kaz. Nejprve se podívejme na chování akcí σ = (1 2) a τ = (1 2 3) na bázových vektorech C[S 3 ], ili vlastn na prvcích S 3 : id (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) σ (1 2) id (1 3 2) (1 2 3) (2 3) (1 3) τ (1 2 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) id Na²í úlohou je nyní nalézt vlastní vektory a ísla. Pro zjednodu²ení zápisu pouºijeme sou adnice v bázi (id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)). Vidíme, ºe pro akci τ m ºeme nalézt dva cykly délky 3. Z t ch lehce odvodíme vlastní vektory náleºící vlastnímu íslu 1 a z t chto lehce dostaneme vektory pro vlastní ísla ω a ω 2 : 1: (1, 0, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0) ω: (1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ), (0, 1, ω, ω 2, 0, 0) ω 2 : (1, 0, 0, 0, ω 2, ω), (0, 1, ω 2, ω, 0, 0) Akce σ se na vlastních vektorech τ chová následujícím zp sobem: 17

2. Reprezentace kone ných grup v σv (1, 0, 0, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0, 1, 1) (1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ) (0, 1, ω 2, ω, 0, 0) (0, 1, ω, ω 2, 0, 0) (1, 0, 0, 0, ω 2, ω) (1, 0, 0, 0, ω 2, ω) (0, 1, ω, ω 2, 0, 0) (0, 1, ω 2, ω, 0, 0) (1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ) Odtud dostáváme poºadovaný rozklad R S3 = U U V 2, kde bází podreprezentace U je vektor (1, 1, 1, 1, 1, 1), bázi U tvo í (1, 1, 1, 1, 1, 1) a báze dvou standardních podreprezentací jsou dvojice ((1, 0, 0, 0, ω, ω 2 ), (0, 1, ω 2, ω, 0, 0)) a ((0, 1, ω, ω 2, 0, 0), (1, 0, 0, 0, ω 2, ω)). Na záv r této kapitoly zmi me patrn nejvýrazn j²í rozdíl v úvodu do problematiky mezi [2] a [3]. V [3] je zaveden pojem maticové reprezentace grupy G. Jedná se o homomorsmus X : G Mat d z grupy G do grupy (Mat d, ) v²ech komplexních regulárních matic typu d d s operací násobení. Uváºíme-li, ºe regulární matice odpovídá lineárnímu automorsmu, získáváme jiº t etí moºnou denici reprezentace. Maticové reprezentace, resp. maticový zápis lineárních zobrazení, jsou v [3] hojn pouºívány nejen jako p íklady, ale i k získání dal²ího pohledu p i denování nových pojm. Jako p íklad uve me moºnou denici reducibility reprezentace. Denice 2.30 (Reducibilita reprezentace pomocí maticového zápisu). Reprezentace V grupy G je reducibilní, pokud existuje báze α prostoru V taková, ºe pro v²echna g G ( ) A(g) B(g) X(g) = (g ) α,α =, 0 C(g) kde A(g) jsou tvercové matice typu k k, kde k < dim V. 18

Kapitola 3 Charaktery reprezentací V této kapitole se budeme zabývat velice uºite ným pojmem, kterým je charakter reprezentace. Z vlastností charakter odvodíme, ºe po et (aº na izomorsmus) r zných ireducibilních reprezentací kone né grupy lze ur it pouze na základ algebraických vlastností této grupy. Jak se p esv d íme v záv ru kapitoly, charaktery nám poskytují i jednodu²²í zp - sob, jak ireducibilní reprezentace grupy nalézt. Stejn jako v p edcházející kapitole platí, ºe pokud nebude e eno jinak, tak v²echny námi uvaºované grupy budou kone né a v²echny vektorové prostory budou komplexní s kone nou dimenzí. Denice 3.1 (Charakter reprezentace). Nech V je reprezentace grupy G. Komplexní funkci χ V na grup G denovanou pro v²echna g G jako stopa lineárního zobrazení g, tedy χ V (g) = Tr(g ), nazýváme charakter reprezentace V. Z vlastností stopy vyplývá, ºe pro v²echna g, h G platí χ V (g) = χ V (hgh 1 ). To ov²em znamená, ºe charakter libovolné reprezentace G má na prvcích jedné t ídy konjugace stejné hodnoty, tedy ºe pro reprezentaci V grupy G, v²echna g G a h [g] platí χ V (g) = χ(h). Dal²í zajímavá vlastnost charakteru vychází z faktu, ºe 1 G p sobí jako identita na V a tedy χ V (1) = dim V. Uºite nou vlastnost, kterou budeme v dal²ím textu vyuºívat, formuluje následující tvrzení. Tvrzení 3.2. Nech V je reprezentace G a g prvek G. Dále nech (v 1,..., v n ) je libovolná báze V taková, ºe zobrazení g má v této bázi horní trojúhelníkovou matici A. Pak prvky na diagonále matice A leºí na jednotkové kruºnici. D kaz. G je kone ná grupa a tedy existuje k > 0, pro které platí g k = 1. Odtud tedy A k je jednotková matice a 1 0... 0 λ 1 a 1,2... a 1,n 0 1... 0...... = 0 λ 2... a 2,n Ak =...... 0 0... 1 0 0... λ n k λ k 1 b 1,2... b 1,n 0 λ k 2... b 2,n =...... 0 0... λ k n Vidíme, ºe λ 1,... λ n jsou odmocniny jedni ky a tedy leºí na jednotkové kruºnici. D sledkem práv dokázaného tvrzení je, ºe hodnoty charakteru lze zapsat jako sumu odmocnin ísla 1. Ze znalosti charakter reprezentací V a W m ºeme snadno odvodit charakter reprezentací vzniklých pouºitím operací denovaných v podkapitole 2.1. 19

3. Charaktery reprezentací Tvrzení 3.3. Nech V a W jsou reprezentace G. Pak platí χ V W = χ V + χ W, χ V W = χ V χ W, χ V = χ V a χ 2 V (g) = 1 2 [χ V (g) 2 χ V (g 2 )]. D kaz. Uvaºme lineární zobrazení ϕ V : V V a ϕ W : W W, která odpovídají násobení prvkem g G na V, resp. W. Matice t chto zobrazení mají ve vhodných bázích (v 1,..., v n ), resp. (w 1,..., w m ), horní trojúhelníkový tvar λ 1 a 1,2... a 1,n λ 1 a 1,2... a 1,m 0 λ 2... a 2,n A ϕv =......, A 0 λ 2... a 2,m ϕ W =...... 0 0... λ n 0 0... λ m Matice zobrazení ϕ V ϕ W v bázi ((v 1, 0),..., (v n, 0), (0, w 1 ),..., (0, w m )) pak odpovídá ( ) AϕV 0 A ϕv ϕ W = 0 A ϕw a Tr(ϕ V ϕ W ) = Tr(ϕ V ) + Tr(ϕ W ), z ehoº plyne první dokazovaný vztah. Obdobn pro ϕ V ϕ W má matice v bázi (v 1 w 1,..., v 1 w m, v 2 w 1,..., v n w m ) tvar λ 1 λ 1 b 1,2... b 1,m... b 1,nm 0 λ 1 λ 2... b 2,m... b 2,nm.......... A ϕv ϕ W = 0 0... λ 1 λ m... b m,nm.......... 0 0... 0... λ n λ m a tedy platí Tr(ϕ V ϕ W ) = Tr(ϕ V ) Tr(ϕ W ), coº je druhý vztah. Podle denice duální reprezentace 2.9 odpovídá zobrazení ϕ V zobrazení ϕ V takové, ºe ϕ V (f) = f ϕ 1 V a tedy matice zobrazení ϕ V v duální bázi (f 1,..., f n ) vypadá takto λ 1 1 c 1,2... c 1,n 0 λ 1 2... c 2,n A ϕv =...... 0 0... λ 1 n Protoºe ϕ V = g, pro n jaké g G, pak podle 3.2 leºí ísla λ i na jednotkové kruºnici. To znamená, ºe stopa této matice a tedy i p íslu²ného zobrazení je Tr ϕ V = n i=1 λ 1 i = 20 n λ i = Tr ϕ V, i=1

3. Charaktery reprezentací coº jsme m li dokázat. Jako poslední nám zbývá dokázat vztah pro charakter 2 V. Op t uvaºme zobrazení ϕ V s bází (v 1,..., v n ), ve které má matice zobrazení ϕ V horní trojúhelníkový tvar. Zobrazení 2 ϕ V je tedy pro bázi (v 1 v2,..., v 1 vn, v 2 v3,..., v n 1 vn ) reprezentováno maticí λ 1 λ 2 d 1,2... d 1,(n 1)... d 1,( n 2) 0 λ 1 λ 3... d 2,(n 1)... d 2,( n 2) A 2 ϕ V =.......... 0 0... λ 1 λ n... d (n 1),( n 2).......... 0 0... 0... λ n 1 λ n a stopu této matice lze vyjád it jako λ i λ j = 1 [( ) 2 λ l 2 i<j z ehoº plyne poºadovaný tvrtý vzorec. l Tvrzení 3.4 (Cvi ení 2.2 z [2]). Nech V a W jsou reprezentace G. Pak platí χ Sym 2 V = 1 2 [χ V (g) 2 + χ V (g 2 )]. D kaz. Obdobn jako v p edcházejícího d kazu uvaºme zobrazení ϕ V s bází (v 1,..., v n ), pro kterou má matice zobrazení ϕ V horní trojúhelníkový tvar. Matice zobrazení Sym 2 ϕ V má tedy v bázi (v 1 v 1,..., v 1 v n, v 2 v 2, v 2 v 3,..., v n v n ) tvar λ 1 λ 1 d 1,2... d 1,n... d 1,( n+1 2 ) 0 λ 1 λ 2... d 2,n... d 2,( n+1 2 ) A Sym 2 ϕ V =.......... 0 0... λ 1 λ n... d n,( n+1 2 ).......... 0 0... 0... λ n λ n l λ 2 l ], a stopa této matice je λ i λ j = λ i λ j + i j i<j l λ 2 l = 1 [( ) 2 λ l 2 l l λ 2 l ] + l λ 2 l = 1 [( ) 2 λ l + 2 l l λ 2 l ]. Obdobným zp sobem, tedy rozepsáním matic zobrazení ve vhodných bázích, dostaneme následující tvrzení, které je zobecn ním pro k-té symetrické a antisymetrické mocniny. 21

3. Charaktery reprezentací Tvrzení 3.5 (Cvi ení 2.3* z [2]). Nech V je reprezentace G a λ i C, pro 1 i n, jsou vlastní ísla akce g na V. Pak platí χ Sym k V (g) = 1 i 1 i 2 i k n λ i1 λ i2... λ ik a χ k V (g) = 1 i 1 <i 2 < <i k n Následující v ta popisuje, jak vypadá charakter permuta ní reprezentace. λ i1 λ i2... λ ik. Tvrzení 3.6 (Cvi ení 2.5 z [2]). Nech grupa G má levou akci na X a C[X] je odpovídající permuta ní reprezentace G. Pak pro v²echna g G platí, ºe χ C[X] (g) je po et prvk X, které jsou pevnými body akce g. D kaz. Nech g G je libovolné pevné. Akce g rozkládá X do n kolika cykl. Nech C = (x 1,... x c ) je jeden takový cyklus. Z tohoto cyklu jsme schopni odvodit c lineárn nezávislých vlastních vektor, které jsou lineárními kombinacemi x 1,..., x c taková, ºe odpovídající vlastní ísla budou c-té odmocniny 1 C. Pro kaºdou takovou odmocninu λ vytvo íme lineární kombinaci x 1 + λ x 2 + + λ c 1 x c. Takto vzniklé vektory jsou z ejm lineárn nezávislé a po aplikaci akce g opravdu dostaneme λ-násobek p vodního vektoru. Pokud takto vytvo íme vlastní vektory pro v²echny cykly, získáme bázi C[X]. Podstatnou skute ností je fakt, ºe pokud c > 1, pak sou et odpovídajících vlastních ísel je nulový. Proto sou et v²ech vlastních ísel g je roven po tu cykl délky 1 a tedy po tu prvk X, které jsou pevnými body g. P íklad 3.7. Konstrukci z prvního odstavce p edchozího d kazu demonstrujeme pro c = 4, tedy pro cyklus C = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) délky 4. Vlastní ísla budou tvrté odmocniny 1, ili 1, i, 1 a i. Vlastní vektory odpovídající t mto ísl m jsou lineární kombinace x 1 + x 2 + x 3 + x 4, x 1 ix 2 x 3 + ix 4, x 1 x 2 + x 3 x 4 a x 1 + ix 2 x 3 ix 4. Vidíme, ºe takto vzniklé vektory jsou opravdu lineárn nezávislé a po aplikaci akce g dostaneme g(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4, g(x 1 ix 2 x 3 + ix 4 ) = ix 1 + x 2 ix 3 x 4, g(x 1 x 2 + x 3 x 4 ) = x 1 + x 2 x 3 + x 4 a g(x 1 + ix 2 x 3 ix 4 ) = ix 1 + x 2 + ix 3 x 4, tedy p íslu²ný násobek p vodního vektoru. Podívejme se na charaktery konkrétních reprezentací. Následující p íklad ukazuje, jak vypadají charaktery reprezentací S 3, p edev²ím pak ireducibilních reprezentací této grupy. 22

3. Charaktery reprezentací P íklad 3.8. Z p edcházející kapitoly podle v ty 2.19 víme, ºe libovolnou reprezentaci W grupy S 3 je moºné pro vhodné a, b, c N 0 rozloºit na sou et ireducibilních reprezentací W = U a U b V c, kde U je triviální, U alternující a V standardní reprezentace. Z 3.3 vyplývá, ºe χ W = aχ U + bχ U + cχ V. Navíc, jak jsme jiº uvedli, díky vlastnostem stopy obecn platí, ºe χ W (g) = χ W (hgh 1 ) a sta í se tedy zabývat hodnotami charakteru na reprezentantech jednotlivých t íd konjugace v p ípad S 3 jsou tyto t ídy [id] = {id}, [(1 2)] = {(1 2), (1 3), (2 3)} a [(1 2 3)] = {(1 2 3)(1 3 2)}. Protoºe víme, ºe C 3 = V U, m ºeme díky 3.3 získat charakter V jako χ C 3 χ U. Charakter C 3 má podle 3.6, kdyº jako mnoºinu X uváºíme {e 1, e 2, e 3 }, hodnoty (3, 1, 0) a tedy charakter V je dán (3, 1, 0) (1, 1, 1) = (2, 0, 1). V²echny hodnoty charakter jednotlivých ireducibilních reprezentací jsou spolu s po tem prvk jednotlivých t íd uvedeny v tabulce 3.1. 1 3 2 [id] [(1 2)] [(1 2 3)] χ U 1 1 1 χ U 1-1 1 χ V 2 0-1 Tabulka 3.1: Hodnoty charakter ireducibilních reprezentací grupy S 3 Dal²í p íklad ilustruje, jak m ºeme vyuºít znalostí charakter ireducibilních reprezentací p i hledání rozkladu na sou et ireducibilních podreprezentací. P íklad 3.9 (Cvi ení 2.7* z [2]). Na²ím úkolem je nalézt dekompozici reprezentace V n pro libovolné n N. Podle 3.3 platí, ºe χ V n = χ n V a tedy chování χ V n je ur eno trojicí (2 n, 0, ( 1) n ). Nejprve uvaºme situaci pro n sudé, kdy hodnoty charakteru pro jednotlivé t ídy jsou (2 n, 0, 1). Odtud dostáváme soustavu rovnic a+b+2c = 2 n, a b = 0, a+b c = 1, která má e²ení c = 2n 1 a a = b = c+1 = 2n 1 +1. Toto e²ení je opravdu celo íselné, nebo 3 2 3 n je sudé, c = 2n 1 = (2n/2 1)(2 n/2 +1) a c je liché. Poºadovaná dekompozice je tedy 3 3 V n = U 2n 1 +1 3 U 2n 1 +1 3 V 2n 1 3. Pokud je n liché, pak dostáváme soustavu rovnic a+b+2c = 2 n, a b = 0, a+b c = 1, 23

3. Charaktery reprezentací která má e²ení c = 2n +1 a a = b = c 1 = 2n 1 1. Dokázat, ºe tato e²ení jsou celo íselná, 3 2 3 je moºno indukcí. Poºadovaná dekompozice je v tomto p ípad 3.1 Projekce a její d sledky V n = U 2n 1 1 3 U 2n 1 1 3 V 2n +1 3. Pro libovolnou reprezentaci V grupy G platí, ºe V G = {v V g G : gv = v} je podprostorem V a navíc V G je izomorfní direktnímu sou tu jednodimenzionálních triviálních reprezentací G. Pro nalezení po tu t chto podreprezentací lze pouºít zobrazení ϕ V = 1 G g, které je G-lineární, nebo pro kaºdé h G platí g G gh = g G hg. Navíc je ϕ V následujícího tvrzení projekcí V na V G. Tvrzení 3.10. Nech V je reprezentace G. Pak je zobrazení ϕ V = 1 G na V G. g G podle g G g projekcí V D kaz. Nech v V je libovolné. Pak pro libovolné h G platí hϕ V (v) = h( 1 gv) = 1 h(gv) = 1 (hg)v = 1 gv = ϕ V (v), G G G G g G a tedy ϕ V (v) V G. Dále nech w V G. Pak g G ϕ V (w) = 1 G g G a tedy ϕ V (v) = ϕ 2 V (v) pro libovolné v V. Díky zobrazení ϕ V gw = 1 G g G w = w, g G g G m ºeme velice snadno dokázat následující tvrzení. Tvrzení 3.11. Nech V je reprezentace G. Pak platí, ºe násobnost výskytu triviální reprezentace G ve V je rovna 1 G χ V (g). g G D kaz. Víme, ºe dim V G je rovno násobnosti triviálních reprezentací obsaºených ve V. P i volb báze V tak, ºe báze obsahuje m vektor tvo ících bázi V G a dim V m vektor tvo ících bázi ker ϕ V, obsahuje diagonála matice ϕ V práv m ísel 1 a dim V m ísel 0. Odtud tedy vidíme, ºe dim V G = Tr(ϕ V ) = 1 G g G Tr(g) = 1 G χ V (g). (3.1) g G 24

3. Charaktery reprezentací Poznámka. Za pov²imnutí zde stojí fakt, ºe speciáln pro ireducibilní reprezentaci V jinou neº triviální platí, ºe sou et hodnot χ V p es v²echny g G je roven nule. Tyto poznatky nám umoº ují popsat vzájemné vztahy charakter ireducibilních reprezentací libovolné grupy G. Pro libovolnou grupu G si zave me na t íd komplexních funkcí C G skalární sou in vztahem (α, β) = 1 G α(g)β(g), pro v²echna α, β C G. g G V ta 3.12 (Ortonormalita charakter ireducibilních reprezentací). Charaktery ireducibilních reprezentací grupy G jsou ortonormální, neboli pro libovolné V a W ireducibilní reprezentace G platí (χ V, χ W ) = { 1 pokud V = W, 0 jinak. D kaz. Nech V a W jsou ireducibilní reprezentace G. Z Schurova lemmatu plyne, ºe kaºdé G-lineární zobrazení ϕ : V W je bu 0 nebo izomorsmus. Pokud V a W nejsou izomorfní, pak Hom(V, W ) G = {0} a dim Hom(V, W ) G = 0. Naopak pokud V a W jsou izomorfní a ϕ je n jaký izomorsmus, pak pro kaºdé ψ Hom(V, W ) G je ϕ 1 ψ : V V podle Schurova lemmatu λ id V pro n jaké λ C a tedy ψ = λϕ. Proto dim Hom(V, W ) G = 1 a celkem dostáváme { dim Hom(V, W ) G 1 pokud V = = W, 0 jinak. Protoºe víme, ºe Hom(V, W ) = V W, platí podle 3.3 pro v²echna g G rovnost χ Hom(V,W ) (g) = χ V (g)χ W (g). Dosazením tohoto do vztahu 3.1 z tvrzení 3.11 dostáváme (χ V, χ W ) = 1 G g G χ V (g)χ W (g) = 1 G χ Hom(V,W ) (g) = g G = dim Hom(V, W ) G = { 1 pokud V = W, 0 jinak. Poznámka. Z práv dokázané v ty p ímo plyne, ºe charaktery ireducibilních reprezentací grupy jsou lineárn nezávislé. P íklad 3.13. Ilustrujme p edchozí v tu na grup S 3. Jak jsme jiº uvedli, tak tato grupa má t i t ídy konjugace [id], [(1 2)] a [(1 2 3)] a pro prvky v jedné t íd je hodnota charakteru reprezentace stejná: 25

3. Charaktery reprezentací Skalární sou iny charakter tedy jsou 1 3 2 [id] [(1 2)] [(1 2 3)] χ U 1 1 1 χ U 1-1 1 χ V 2 0-1 (χ U, χ U ) = 1 (1 + 3 1 + 2 1) = 1, 6 (χ U, χ U ) = 1 (1 + 3(1 ( 1)) + 2 1) = 0, 6 (χ U, χ V ) = 1 (2 + 3 0 + 2(1 ( 1))) = 0, 6 (χ U, χ U ) = 1 6 (1 + 3( 1)2 + 2 1) = 1, (χ U, χ V ) = 1 (2 + 3 0 + 2(1 ( 1))) = 0, 6 (χ V, χ V ) = 1 6 (22 + 3 0 + 2 1) = 1, a charaktery jsou ve smyslu vý²e denovaného skalárního sou inu opravdu ortonormální. V ta 3.12 p iná²í n kolik významných d sledk, které nám umoºní lépe pochopit strukturu reprezentací kone né grupy. D sledek 3.14 (Horní odhad po tu ireducibilních reprezentací grupy). Po et ireducibilních reprezentací grupy G je men²í nebo roven po tu t íd konjugace. D kaz. Charakter reprezentace má na prvcích jedné t ídy konjugace shodné hodnoty a tedy platí 1 χ V (g)χ W (g) = 1 [g] χ V (g)χ W (g), G G g G [g] konj G kde konj G je mnoºina t íd konjugace grupy G. Pro dimenzi prostoru komplexních funkcí respektujících t ídy konjugace platí dim C konj G = konj G a z lineární nezávislosti charakter tedy plyne, ºe jejich po et nem ºe být vy²²í, neº je práv t íd konjugace. D sledek 3.15 (Jednozna né ur ení reprezentace charakterem). Nech G je grupa. Libovolná reprezentace G je ur ena svým charakterem jednozna n aº na izomorsmus. D kaz. Nech V je reprezentace G. Pak V = V a 1 1... V a k k, kde V 1,..., V k jsou navzájem r zné ireducibilní reprezentace G s charaktery χ V1,..., χ Vk. Pro charakter V tedy platí χ V = a i χ Vi. 1 i k Z v ty 3.12 ale víme, ºe tyto charaktery jsou lineárn nezávislé a χ V tedy jednozna n ur uje koecienty a i a tedy i dekompozici V na ireducibilní reprezentace grupy G. 26