Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární transformace kabelu 1 Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton 1. Silové působení kabelu na beton Osamělou silou v místech zakotvení Silami v místech změny směru kabelu Obecně - výslednice Rozklad na složky do vodorovného a svislého směru 2
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Parabolický kabel Přesné řešení - předpínací síla se mění po délce vlivem ztrát předpětí třením - radiální síly působí ve směru normály Rozklad sil pro přesné řešení H = P cos α α V = P sin α P Rozklad sil pro zjednodušené řešení H = P = konst α V = P tg α 3
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení 2. Ekvivalentní zatížení Přímý kabel prostý nosník - přesné řešení Silové působení kabelu: Pouze koncové účinky: H = P cos α α V = P sin α P Ohybový moment lze spočítat přímo: M P x = P e(x) (za předpokladu, že P je kladné číslo) Ekvivalentní zatížení statické schéma: idealizace nosníku pomocí těžišťové osy tvoří pouze koncové účinky, výsledné síly musí být vztaženy k těžišti!!! reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové 4
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení Přímý kabel prostý nosník - přesné řešení konzola - přesné řešení Protože reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové, průběh vnitřních sil nezávisí na způsobu podepření (platí pouze u staticky určitých konstrukcí). 5
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení Přímý kabel prostý nosník - přesné řešení prostý nosník zjednodušené řešení H = P cos α α V = P sin α P H = P = konst α V = P tg α 6
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení Lomený kabel prostý nosník - přesné řešení prostý nosník zjednodušené řešení 7
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení Parabolický kabel - geometrie Souřadný systém x,y, kde e(x) = y(x) Parametry paraboly: délka L vzepětí f v L/2 (s příslušným znaménkem) excentricitou na počátku paraboly e a a na konci paraboly e b (s příslušným znaménkem) rovnice paraboly: e x = 4f L 2 x2 + 4f L x + e b e a x + e L a rovnice tečny paraboly, tj. směrnice tečny = tg (γ): tg γ x = de(x) dx = 8f 4f L2 x + L + e b e a L a odtud sklony tečen na začátku a na konci paraboly tg α = tg γ x = 0 tg β = tg γ x = L = 4f L + e b e a L = 8f 4f L + L2 L + e b e a L = 4f L + e b e a L = 8
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení Parabolický kabel účinky předpětí Předpoklad: H = P = konstantní (plochý kabel, vliv změn předpětí po délce zanedbán) P je kladná reakce nulové!!! Silové působení: koncové účinky (rozklad na svislou a vodorovnou sílu): P h = P = konst α P v = P tg α radiální síly po délce kabelu představují rovnoměrné spojité zatížení působící na nosník v úseku paraboly: Ohybový moment lze spočítat přímo, protože platí: M P x = P e(x) p = d2 M P x dx 2 = P d2 e x dx 2 = P 8f L 2 9
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce ekvivalentní zatížení Parabolický kabel účinky předpětí P = 1000 kn p = d2 M P x dx 2 = P d2 e x dx 2 = P 8f L 2 10
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce - ekvivalentní zatížení Nosníky s proměnným průřezem 11
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce 3. Účinky předpětí na staticky neurčitých konstrukcích staticky určitá konstrukce vazby nebrání deformaci nevznikají reakce 1x staticky neurčitá konstrukce přidaná vazba (zabránění pootočení v bodě a) brání deformaci vznikají reakce 12
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Postup výpočtu silová metoda (uvolnění pootočení v podpoře a) 1x staticky neurčitá konstrukce základní staticky určitá konstrukce M a s přidáme tolik stupňů volnosti (tedy odebereme vazby), kolikrát je konstrukce staticky neurčitá v bodě a odebereme vetknutí a nahradíme pevnou podporou odebraná jedna vazba každou odebranou vazbu nahradíme deformační podmínkou uvolnili jsme pootočení v uzlu a deformační podmínka bude φ celk ab = 0 v místě každé odebrané vazby přidáme příslušnou sílu (moment) neznámou veličinu v našem případě moment v bodě a: M a s Poznámka kolik odebereme vazeb, tolik vznikne deformačních podmínek a tolik bude neznámých sil soustava rovnic (silová metoda) 13
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Postup výpočtu silová metoda 1x staticky neurčitá konstrukce primární stav účinky předpětí na základním staticky určitém nosníku p φ ab primární stočení v uzlu a od předpětí (pomocí ekvivalentního zatížení od předpětí) primární vnitřní síly od předpětí N p, V p, M p základní staticky určitá konstrukce primární stav primární účinky předpětí sekundární stav sekundární účinky předpětí sekundární stav s φ ab sekundární stočení v uzlu a od s momentu M a v bodě a (neznámá veličina) s φ ab = M a s α ab kde α ab je stočení v uzlu a od jednotkového momentu působícího v uzlu a celkové účinky součet primárních a sekundárních účinků φ celk ab = φ p s ab +φ ab = 0 φ p ab + M s s a α ab = 0 výpočet M a a zbylých reakcí a vnitřních sil N s, V s, M s výpočet celkových účinků N c, V c, M c 14
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Postup výpočtu silová metoda (uvolnění svislého podpření v bodě b) 1x staticky neurčitá konstrukce základní staticky určitá konstrukce primární stav primární účinky předpětí sekundární stav sekundární účinky předpětí 15
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Účinky předpětí 16
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Příklad Ekvivalentní zatížení svislé složky sil Pootočení od ekvivalentního zatížení v bodě b Deformační podmínka v bodě b Předpoklad směru působení momentu dopočet reakcí v sekundárním stavu např. z momentové podmínky z rovnováhy svislých sil 17
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Příklad dtto jako předchozí ale uvolněná jiná vazba (svislý posun v bodě a) s Vnitřní síly viz předchozí strana 18
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Spojitý nosník Nosník ab Nosník bc reakce 19
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Spojitý nosník Svislé složky sil Rovnice paraboly a tg úhlů tečen na začátku a konci paraboly Ekvivalentní zatížení 20
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Spojitý nosník deformační podmínka Sekundární moment vyšel se záporným znaménkem, tzn. že působí opačným směrem, než bylo předpokládáno 21
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce staticky neurčité konstrukce Příklad Celkové účinky získáme: součtem účinků primárních a sekundárních nebo výpočtem účinků od ekvivalentního zatížení a reakcí sekundárního stavu na prostých nosnících kombinací obou 22
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Staticky neurčité účinky předpětí ještě jednou Reakce od sekundárních účinků jsou nulové R/2 R/2 Reakce od sekundárních účinků sekundární primární celkový celkový 23
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce 4. Tlaková čára V průřezu (x) působí celkové účinky předpětí M c a N c e c sekundární celkový x Bod, ve kterém působí síla N c, je působiště tlakové síly v průřezu Spojnice působištˇ tlakové síly v průřezech po délce nosníků tlaková čára - poloha tlakové čáry měřená od těžiště nosníku: e c = M c N c - poloha tlakové čáry měřená od těžiště kabelu ν = e c e p = M c N c M p N p = M s N c pro N p = N c 24
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce 5. Konkordantní kabel Vzdálenost tlakové čáry od polohy kabelu je dána vztahem ν = M p N c Pokud jsou sekundární účinky od předpětí nulové, poloha tlakové čáry se shoduje s polohou kabelu (e p = e c ν = 0) a takovému kabelu se říká konkordantní kabel. Poznámka: z praktického hlediska to nemá význam, ale je výhodný právě proto, že jsou sekundární účinky nulové. Polohu takového kabelu lze nalézt, a pokud se upraví do proveditelného tvaru, lze předpokládat že sekundární účinky budou malé. 25
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Jak nalézt polohu konkordantního kabelu? Mějme momentový obrazec od vnějšího zatížení na spojitém nosníku. Vydělíme-li průběh momentů konstantou, dostaneme průběh tlakové čáry. Umístíme-li do této tlakové čáry kabel, bude konkordantní. M a /k = e a k = e a /M a M b /k = e b k = e b /M b M c /k = e c k = e c /M c e a = e b = e c = k M a M b M c konstanta k odpovídá velikosti předpínací síly 26
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Lineární transformace kabelu Předpoklad: plochý kabel změnou geometrie se nezmění velikost ztrát v daném místě Celkové statické účinky kabelu na nosník se nezmění, pokud se se změnou jeho geometrie nezmění ekvivalentní zatížení (kromě svislých sil, které se přenášejí přímo do podpory V a, V b, V c, V d ), tedy: zůstanou stejné koncové excentricity kabelu (e a, e d ) zůstane stejná křivost kabelu v každém místě (stejné vzepětí parabol v polích ac a bc) zůstanou stejné diskontinuity kabelu (stejná změna úhlu v poli cd) Poznámka: celkové účinky se nemění, ale změní se primární účinky a tím pádem i sekundární účinky změní se reakce 27
Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Návrh předpětí metodou vyrovnání zatížení vyrovnává se 80 až 100% ztížení stálých pomocí ekvivalentních zatížení od parabol v poli paraboly nad podporou radiální síly jdou přímo do podpory V krajním poli max e p by měla odpovídat místu s maximálním momentem momenty od stálých zatížení (uvažovaného procenta) a předpětí se odečtou a v průřezu zůstane jen tlaková rezerva daná velikosti předpínací síly, která slouží k vykrytí napětí od ostatního zatížení, tj. zbytku stálých zatížení a proměnných zatížení návrh P: p = P 8f L 2 28