S matematikou MF seminář a 200/20 fyzikou v Temešváru - úvod 2. 6.. 205 Svět očima matematiky aneb jemný úvod do aritmetiky a algebry totuto prezentaci najdete zde: http://fyzika.feld.cvut.cz/~zacek/, přednášejícímu můžete napsat na tento e-mail: zacekm@fel.cvut.cz Literatura: Jakov I. Pereľman: Zajímavá algebra, SNTL, Praha 985. Anna Parisiová: Magická čísla a bludné hvězdy, Albatros, Praha 2005. Adam Spencer: Kniha čísel, Albatros, Praha 2005.
Proč byla vymyšlena aritmetika? Při studiu přírodních věd jsou úlohy užitečnější než pravidla, napsal Isac Newton ve své Obecné aritmetice a doložil svá teoretická tvrzení řadou příkladů. Mezi nimi je tato Newtonova úloha o krávách na pastvě: Tráva na louce roste všude stejně hustě a stejně rychle. Víme, že 70 krav by ji spáslo za 24 dní, zatímco 30 krav by ji spáslo za 60 dní. Kolik krav spase louku za 96 dní? Řešení: Zaveďme pomocnou neznámou y jako denní přírůstek trávy v jednotkách její zásoby na louce. Bude-li na začátku na louce zásoba jednotka trávy, za 24 dní bude na louce ( + 24y) trávy. Za jeden den spase 70 krav ( + 24y)/24 trávy a jedna kráva tedy za den spase ( + 24y)/(24 70) trávy. Z druhého tvrzení naprosto stejnou úvahou zjistíme, že jedna kráva za den spase ( + 60y)/(60 30) trávy. Obě množství se ale musí rovnat, dostáváme tak, že ( + 24y)/(24 70) = ( + 60y)/(60 30), z čehož dostaneme y = /480 trávy za den. Lze nyní dopočítat, kolik trávy spase kráva za den: ( + 24/480)/(24 70) = / 600. Z třetího tvrzení sestavíme rovnici: ( + 24/480)/(24x) = / 600, z čehož x = 20. Za 96 dní louku spase 20 krav.
K čemu je nám algebra? Úloha: Tráva na louce roste všude stejně hustě a stejně rychle. Víme, že 70 krav by ji spáslo za 24 dní, zatímco 30 krav by ji spáslo za 60 dní. Kolik krav spase louku za 96 dní? Řešení: Stejnou úlohu bychom mohli vyřešit poněkud efektivněji. Zaveďme pomocné veličiny: t čas spásání trávy, n počet krav, y množství trávy vyrostlé za den. Množství trávy, které je k dispozici krávám za t dní tedy je m = + ty. Množství trávy spasené jednou krávou za jeden den je ( + ty)/tn. To je u všech tří tvrzení stejné, tedy lze napsat dvě nezávislé rovnice m = m 2 a m = m 3. První rovnice je ( + t y)/t n = ( + t 2 y)/t 2 n 2 a druhá ( + t y)/t n = ( + t 3 y)/t 3 n 3. n n2 t 2 t Z první rovnice získáme neznámou y, tu dosadíme do n 3 z druhé rovnice: n2 n nt t3 n / t2 n2 / t / n2 n nt t3 t2 n2t2 t3 t n, po úpravách, 3 n3 t t n / t n / t / n n t t t číselně 3 2 2 2 n 3 3 2 7024 96 60 3060 96 24 0 72436 36072 20 96 24 60 96 36 krav.
Výhody algebry Úloha: Tráva na louce roste všude stejně hustě a stejně rychle. Víme, že 70 krav by ji spáslo za 24 dní, zatímco 30 krav by ji spáslo za 60 dní. Kolik krav spase louku za 96 dní? Úlohu jsme formulovali nejprve matematicky jako soustavu rovnic ( + t y)/t n = ( + t 2 y)/t 2 n 2, ( + t y)/t n = ( + t 3 y)/t 3 n 3 pro neznámé y a n 3, neznámou y jsme z rovnice vyloučili a získali jsme řešení n 3 n t t t n t t t t t t 3 2 2 2 3 3 2, což nám umožní snáz získat řešení pro jakákoliv jiná číselná zadání téže úlohy. Jinými slovy, získali jsme obecný vzorec pro řešení.
Algebraické operace a množiny čísel Objekty, s nimiž v pracujeme (podle historického vývoje): věci přirozená čísla celá čísla racionální čísla reálná čísla Každý krok ve zobecnění vychází z nějaké nové operace, která si vynutí zavedení obecnější množiny čísel. Je mnoho kroků v dalším zobecňování, komplexní čísla, počítání se symboly pro čísla ap. operace inverzní operace důsledek pro množinu čísel sčítání (opakova- použitím) ným násobení (opakova- použitím) ným mocnění odčítání dělení odmocňování nutnost zavést záporná čísla a nulu, aby bylo definováno odečítání stejných čísel a větších čísel od menších nutnost zavést racionální čísla, jinak by nebyl obecně definován podíl celých čísel nutnost zavést iracionální čísla, jinak by nebyla obecně definována odmocnina, k odmocnině záporného čísla viz později komplexní čísla
Úpravy algebraických výrazů Co je to algebra? Je to část matematiky, v níž je určeno s jakými objekty pracujeme (množina) a jak s nimi pracujeme (oparece + jejich vlastnosti, nazývané axiomy). Například algebra s reálnými čísly a s operacemi + a. Co je to výraz? Je to číselné nebo symbolické vyjádření matematických operací, ze kterého poznáme, jaké operace, v jakém pořadí a na jakých objektech máme provést, abychom získali výsledek. Nutno si nacvičit a zafixovat různá pravidla, matematická (komutativita, asociativita, ) nebo konvenční, týkající se jen zápisu (různé zápisy téže operace, ab = a.b = a b = a b, zlomky, priorita operátorů, závorky, ). Matematika by se dala přirovnat k jazyku, kde množina, se kterou pracujeme, představuje slova, operace se svými vlastnostmi odpovídají gramatickýcm pravidlům, jak můžeme slova skloňovat a řadit do vět a konvence zápisu výrazů odpovídá pravopisu.
Matematické zajímavosti Egyptské zlomky: Egyptská dívka Nebefer, která pomáhala otci řídit hospodářství, byla postavena před úkol vyplatit nádeníky, kteří sklízeli obilí a sice měla rozdělit 5 pytlů mezi 8 nádeníků. Jak to provést? Egypťané uměli počítat jen s celými čísly. Nebefer vzala 4 pytle, každý rozdělila na dva stejné díly a pro každý díl vymyslela nový znak ½ a těmi podělila nádeníky a ještě jí jeden pytel zbyl. Nebefer byla spokojena, ne však nádeníci. Protestovali, že chtějí rozdělit i ten zbylý pytel. Nebefer zkusila rozdělit pytel na dva díly, těmi však nádeníky spravedlivě podělit nedokázala. Ani při rozdělení na tři díly, ani na čtyři ale podařilo se jí to až u osmi dílů. Pro každý takový díl vymyslela nový znak /8 a těmi podělila všech 8 nádeníků. Každý tedy získal ½ + /8 pytle. 5 Dostali jsme vztah. 8 2 8 Takový tvar se nazývá rozložení zlomku na součet egyptských zlomků, kdy všechny zlomky mají v čitateli jedničku a neopakuje se žádný jmenovatel.
Úloha: Rozložte na tvar egyptských zlomků 4/5. Řešení: 4 5 2 3 0 4 zbytek, zbytek 4 8 5 3. S ním pokračujeme podobným způsobem: 5 2 0 0 3 2 0 2 zbytek, zbytek. 0 4 40 40 20 4 Máme tedy výsledek. 5 2 4 20 Otázka: Lze na součet egyptských zlomků rozložit každý zlomek? Otázka (už hodně abstraktní): Lze na takovéto otázky vůbec získat odpovědi? Vždyť můžeme vyzkoušet třeba milión různých zlomků ale nikdy nebudeme mít jistotu, že u milión prvního zlomku metoda neselže. Odpovědí je matematický důkaz.
Dokažme, že každý zlomek tvaru m/n, kde n > m, lze rozložit na součet egyptských zlomků. Napišme m n k z, kde k je vhodné celé číslo takové, aby zbytek z byl nejmenší možný. Tedy pokud bychom volili k o jedničku menší, bylo by /k větší než původní zlomek. m n k Tj. k volíme takové, aby platilo ale zároveň aby bylo splněno. Nyní musíme dokázat, že čitatel zbytku se zmenšil. Zbytek vyjádříme jako m mk n z mk n m n k nk. Potřebujeme dokázat, že. Vezměme podmínku pro volbu k, upravme ji vynásobením oběma jmenovateli a máme mk n. Roznásobením dostaneme mk m n, což je však totéž, jako, což je vztah, který jsme chtěli dokázat. mk n m m n k Promyslete si, že k splňující uvedené podmínky vždycky existuje pro m >. Promyslete si, že čitatel zbytků neustále klesá a že po konečným počtu kroků získáme zbytek s čitatelem rovným, který již není nutno dále rozkládat.
Matematické zajímavosti Nekonečné zlomky: Jakékoliv necelé číslo x rozložíme na celočíselnou a neceločíselnou část x = a + b. b je tedy menší než, napišme ho jako převrácenou hodnotu jiného čísla, které bude větší než a to opět rozložme na číselnou a neceločíselnou část. Dostaneme xa a b 2 2 zlomek tvaru, kde b 2 je opět číslo <. V algoritmu pokračujme a dostaneme xa a 2 a 3 a 4..., kterému říkáme nekonečný nebo také řetězový zlomek. Každému reálnému číslu x můžeme tedy jednoznačně přiřadit posloupnost čísel x a, a2,..., an, přičemž pokud je x racionální číslo, řetězový zlomek má konečný počet členů, pokud je x iracionální číslo, řetězový zlomek má nekonečně členů. K čemu je to dobré? V případě, kdy potřebujeme iracionální číslo x přibližně vyjádřit racionálním číslem.
Rozklad čísla π na řetězový zlomek Napišme několik aproximací čísla π reálným číslem: 3 7 5 292... Postup: Za libovolným celým číslem v nějakém zlomku již nepokračujeme, další zlomek zanedbáme a prohlásíme za nulu. Získáme tedy konečný složený zlomek, který můžeme postupnými úpravami na společný jmenovatel upravit na jednoduchý zlomek. 2 3 4 22 7 3.429; chyba 0,04% 333 06 3.459; chyba 0,0026% 355 3 3.45929; chyba 0,0000085% 03993 3302 3.45926530; chyba 0,00000008%
Jaké je nejiracionálnější číslo? Rozumí se z hlediska odhadu racionálním číslem.... 2 3 4 5 2; chyba 23% 3 ; chyba 7,2% 2 5 ; chyba 3,0% 3 8 ; chyba,% 5 3 ; chyba 0,4% 8 Uvedené číslo se nazývá zlaté číslo. Je to číslo, které dělí úsečku na části a a b tak, aby poměr celé úsečky a + b ku větší části a byl stejný jako je větší část a ku menší části b. a a a b a ; a, b ; a, b 0 b a b 2, 0,,2 5, 2 b S ohledem na podmínky volíme jako řešení 5,680339887498948420... 2
Odbočka k Fibonacciho posloupnosti Leonardo Pisánský, známý pod jménem Leonardo Fibonacci, cca 70 240 202 Liber Abaci (Kniha o abaku). V knize se objevuje tato úloha: Jeden muž umístil pár králíků do prostoru obehnaného ze všech stran zdí. Kolik párů králíků vznikne z tohoto páru, předpokládáme-li, že každý pár zplodí každý měsíc nový pár, který začne plodit potomky druhý měsíc po narození? Řešení: Počty králíků po měsících jsou:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, Název Fibonacciho posloupnost zavedl až v 9. století francouzský matematik Edouard Lucas (842-89). Existuje mnoho úloh, při jejímž řešení se uplatní Fibonacciho posloupnost. Zlomky aproximující zlatý řez mají v čitateli a ve jmenovateli čísla Fibonacciho posloupnosti bezprostředně následující za sebou. Tato posloupnost je definována rekurentně jako f = f 2 =, f k = f k + f k 2.
Úkol : Rozložte na egyptské zlomky číslo 2 3. Úkol 2: Najděte první tři koeficienty nekonečného zlomku čísla 7 = 4,23056256, najděte jeho první tři aproximace racionálním číslem a spočítejte jejich relativní chybu.