ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška
Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá: funkce napětí F(,y) Výchozí rovnice: rovnice kompatibility vyjádřená ve složkách napětí Lévyho podmínka
Silová metoda a) Statické rovnice Je-li zatížení pouze po obvodě, položíme objemové síly X = Y = Z = 0 σ τ y 1) X : + = 0 y τ y σ y ) Y : + = 0 y b) Rovnice kompatibility 3) ε ε γ y y y y + = 0 Celkem 3 neznámé: σ, σ y, τ y rovnice statické, 1 rovnice kompatibility Z fyzikálních (konstitutivních) rovnic pro rovinnou napjatost dosadíme za ε, ε y, γ y
1 E 1 ε y = σ y νσ E (1 + ν ) γ y = τ y E Fyzikální rovnice: ε = ( σ νσ y ) Po dosazení do 3) Ze statické rovnice ) ( ) σ σ y σ y σ y τ y ν + ν ( 1+ ν ) = 0 y y y σ τ σ τ y y y y = ; = y y y Ze statické rovnice 1) Zůstane σ σ y τ y + = 0 y y
Opětovným dosazením ze statických rovnic: σ σ σ y y σ + + + = 0 y y Laplaceův operátor: = + y Rovnice kompatibility ve složkách napětí Lévyho podmínka: ( σ σ ) 0 + = y
c) Řešení soustavy rovnic pomocí funkce napětí F 3 parciální diferenciální rovnice 1) ) 3) σ τ y τ y + = y σ y + = y ( σ σ y ) + = 0 0 0 3 neznámé: σ, σ y, τ y Zavedením tzv. Airyho funkce napětí F lze soustavu převést na jedinou rovnici 4. řádu: F F F σ = σ y = τ y = y y
Dosazením Airyho funkce do rovnic: 1) ) F y F = 0 0 0 y 3 3 3 3 F F + = 0 0 0 y y F F 0 0 y Stěnová rovnice 3) + = 0 ( F ) = 0 F = 0 Rozepsáním: 4 4 4 F F F F = + + = 0 4 4 y y Biharmonická rovnice
Řešení stěnové rovnice: V uzavřeném tvaru (složité, téměř nemožné) Přibližné řešení převedením na soustavu lineárních algebraických rovnic Metoda konečných prvků Metoda Rayleigh-Ritzova Metoda diferenční (metoda sítí)
d) Okrajové podmínky ke stěnové rovnici Parciální diferenciální rovnici 4. řádu odpovídají okrajové podmínky v každém bodu okraje Geometrické okrajové podmínky (např. z vetknutí stěny) jsou v silové variantě řešení komplikované Omezíme se pouze na úlohy s předepsanými statickými okrajovými podmínkami Znaménková konvence: Složky zatížení: p, p y kladné složky ve směru kladných poloos,y Složky napětí: σ, σ y, τ y podle působení na kladných či záporných plochách
Mezi složkami zatížení a napětí platí podmínka ekvivalence. Mezi složkami napětí a Airyho funkcí F platí definiční vztahy F Např. okraj BC: F y p = σ = F F py = τ y = = y y n Pro snazší vyjádření okrajových podmínek lze využít podobnosti mezi průběhem funkce napětí F na okraji stěny a průběhem ohybového momentu na rámu, který má stejný tvar, rozměry, zatížení a podepření; tzv. L Hermitova analogie
L Hermitova analogie Průběh funkce napětí F na hranici stěny je stejný jako průběh ohybových momentů M na náhradním rámu. M > 0 táhne vnitřní vlákna rámu. (F ~ M) Průběh derivace funkce napětí F podle vnější normály F/ n je stejný jako průběh normálových sil na náhradním rámu. N > 0 je tahová síla. ( F/ n ~ N) I při staticky určitém podepření rámu je výpočet M, N úlohou 3 staticky neurčitou (uzavřený rám) Rám přetneme a vnitřní síly v řezu nahradíme neznámými silami
L Hermitova analogie Moment v obecném průřezu: M = M* + M 0 + N 0 y Q 0 Moment od vnějšího zatížení Momenty od staticky neurčitých veličin (lineární průběh) Při výpočtu napětí derivujeme funkci F dvakrát (a tedy i M): Lineární funkce nemá na napjatost vliv Náhradní rám můžeme kdekoli přetnout a hodnoty M 0, Q 0, N 0 libovolně volit (např. 0). Změní se funkce napětí, ale napjatost zůstane stejná.
e) Řešení stěnové rovnice metodou sítí Metoda sítí převádí řešení diferenciální rovnice ( F = 0) na soustavu lineárních algebraických rovnic Postup řešení: 1) Řešenou oblast (stěnu) pokryjeme sítí ) Stěnovou rovnici zapisujeme v jednotlivých uzlech sítě, za neznámé považujeme hodnoty Airyho funkce napětí F v uzlech sítě (F1, F, ) 3) Parciální derivace nahrazujeme vhodnými algebraickými výrazy (diferenčními náhradami)
1. Diferenční náhrady a) Funkce jedné proměnné Nahrazení parabolou. stupně + věta o střední hodnotě Diferenční náhrada za 1. derivaci: h diferenční krok dfi Fi + 1 Fi 1 = tanα = (1) d h
Diferenční náhrada za. derivaci: h / poloviční diferenční krok d F d df d d d = = F F h h i+ i = = h = F F F F h h i+ 1 i i i 1 h d Fi Fi + 1 Fi + Fi 1 d h = ()
Všechny diferenční náhrady za vyšší derivace lze odvodit aplikací výrazů (1) a (), např.: F F + F F F + F i+ i+ 1 i i i 1 i 3 d F d d F F i+ 1 F i 1 h h = 3 = = d d d h h 3 d F i F i + F i + 1 + F i 1 F i = 3 3 Liché derivace v bodě i = neobsahují F d h i d F d d F d d F F 4F + 6F 4F F d d d d d h 4 3 i i i i+ i+ 1 i i 1 i = 4 3 = = 4
b) Funkce dvou proměnných Obyčejné derivace přechází na parciální. Značení: čárkou derivace podle, tečkou derivace podle y. 4 Fi, j Fi +, j 4Fi + 1, j + 6Fi, j 4Fi 1, j Fi, j = h 4 4 4 Fi, j Fi, j+ 4Fi, j+ 1 + 6Fi, j 4Fi, j 1 Fi, j y = h 4 4 y Čtvrtá derivace smíšená: F F F&& F&& + F&& 4 i, j i, j i+ 1, j i, j i, j = = ( F&& i, j ) = y y h
c) Diferenční náhrada za stěnovou rovnici 4 4 4 F F F F = + + = 0 4 4 y y Pro čtvercovou síť (h = h y = h) dostaneme diferenční schéma: 1 Fi, j = F = h 0
.Řešení stěny metodou sítí Diferenční schéma pro stěnovou rovnici uplatníme ve všech vnitřních uzlech sítě Při zápisu rovnic v bodech blízko hranice padne diferenční schéma jednak: do uzlů uvnitř (1,, ) do uzlů na hranici (a, b, ) do uzlů vnějších (mimo oblast) (A, B, ) Hodnoty funkce napětí F v těchto bodech vyjádříme pomocí okrajových podmínek
Okrajové podmínky L Hermitova analogie poskytuje: a) Hodnoty F přímo na hranici oblasti (F ~ M na náhradním rámu) b) Hodnoty F v bodech vně oblasti v závislosti na hodnotách v bodech hraničních ních a v bodech uvnitř oblasti (z první derivace funkce F podle vnější normály) ( F/ n ~ N na náhradním rámu) F FA F4 = Na FA = hna + F n h a F FB F3 = Nb FB = hnb + F n h b F F a b 4 3 = = M M a b
Po uplatnění okrajových podmínek se základní soustava stane nehomogenní. Jejím netriviálním řešením jsou funkční hodnoty ve všech vnitřních bodech sítě (F 1, F, F 3,, F 1 ) Složky napětí řešíme pomocí diferenčních náhrad.
Složky napětí pomocí diferenčních náhrad: σ F = y F F + F i, j+ 1 i, j i, j 1 h 1 h σ y F = F F + F i+ 1, j i, j i 1, j h 1 h τ y F = y F + F F F i+ 1, j 1 i 1, j+ 1 i+ 1, j+ 1 i 1, j 1 4h 1 4h
Děkuji za pozornost a těším se s vámi na shledanou za týden.