Lekce 3 Sojitá náhodná veličina Příad sojité náhodné veličiny je komlikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní Je to dáno ředevším tím, že jednotková ravděodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně mnoho realizací sojité náhodné veličiny (každý interval reálné osy obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel) To neumožňuje oužít ravděodobnostní funkci, která sloužila jako jeden z rostředků oisu rozdělení ravděodobnosti diskrétní náhodné veličiny Pravděodobnostní funkce byla analogií četnostní funkce ři bodovém třídění datového souboru Alternativou četnostní funkce ři intervalovém třídění datového souboru byla četnostní hustota V souvislosti se sojitou náhodnou veličinou budeme hovořit o hustotě ravděodobnosti Vedle hustoty ravděodobnosti lze k oisu rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny využít také distribuční funkci, jejíž definice je na tyu náhodné veličiny nezávislá distribuční funkce; eonenciální rozdělení; Gaussova křivka; hustota ravděodobnosti; medián; nezávislost; normální rozdělení; normované normální rozdělení; normování; kvantil; ravděodobnostní element; arametry; rovnoměrné rozdělení; rozdělení ravděodobnosti; sojitá veličina; směrodatná odchylka; střední hodnota; variační koeficient; zákon rozdělení ravděodobnosti 31 Rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny U sojitých náhodných veličin řejdeme od ravděodobnosti k hustotě ravděodobnosti, což je množství ravděodobnosti řiadající na jednu (určitou) jednotku šířky intervalu možných hodnot sojité náhodné veličiny Hustota ravděodobnosti je ovšem sojitou veličinou, takže její jednotkovou hodnotu (říslušející jistému jevu) vyjadřujeme jako určitý integrál Hustota ravděodobnosti nemá vlastnosti ravděodobnosti Označíme-li hustotu ravděodobnosti jako f (), latí f ( ) (hustota tedy může nabýt i hodnoty větší než jedna, což uvidíme ozději) Pomocí hustoty ravděodobnosti může být rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny vyjádřeno vzorcem nebo graficky Příklad 31 Dobu trvání výrobní oerace ovažujeme za konstantní s délkou trvání minut Pozorovatel řichází v náhodně zvoleném okamžiku Sojitou náhodnou veličinou X je doba, která ulyne od říchodu ozorovatele do skončení oerace Náhodná veličina se může realizovat v intervalu (;) a její výskyt na celém intervalu je všude stejně možný Pravděodobnost, řiadající na jednotku intervalu čekací doby, je konstantní a je rovna 1 Hustota ravděodobnosti 1 ro < < f ( ) = a její grafické znázornění je na obr 31 jinak Všimněme si ještě hranic intervalu ro sojitou náhodnou veličinu Nezáleží na tom, zda jedna či obě krajní hodnoty do intervalu atří či neatří, takže ro sojitou (ale výhradně ro sojitou!) náhodnou veličinu jsou záisy P( 1 X ) a P ( 1 < X < ) narosto ekvivalentní Co můžeme říci o náhodné veličině, ro kterou P ( X 3) > P( < X < 3) (3 1)
Obr 31 Hustota ravděodobnosti sojité náhodné veličiny f() Distribuční funkce sojité náhodné veličiny je (analogicky jako ro diskrétní veličinu) definována jako ravděodobnost F( ) = P( X ), tentokrát ovšem ro < < Dolníme nyní říklad 31 o distribuční funkci, která (odobně jako hustota) ro sojitou náhodnou veličinu se vyskytuje v odobě vzorce nebo grafu Příklad 31 okračování Distribuční funkce na intervalu ( ;) lineárně roste, zatímco ro nabývá nulové hodnoty a ro ro hodnoty jedna, tj F ( ) = ro < < 1 ro Obr 3 Distribuční funkce sojité náhodné veličiny F() Vlastnosti distribuční funkce (solečné ro df diskrétní i sojité nv) Distribuční funkce je ravděodobnost, z čehož lyne F ( ) 1 Distribuční funkce je neklesající (ravděodobnost je nezáorná) a tudíž ro > 1 je F( ) F( 1) Z toho lyne užitečný vztah: P < X ) = F( ) F( ) ( 1 1 V bodech lus a mínus nekonečno je distribuční funkce F ( ) =, F( ) = 1, i když z našich říkladů vidíme, že je běžné, že těchto hodnot distribuční funkce nabývá odstatně dříve, než v nekonečnu Pokud je na nějakém intervalu náhodná veličina X sojitá, je sojitá i distribuční funkce Na grafu distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny vidíme, že do libovolných bodů na distribuční funkci lze dosět z jejich ravého (nikoli již levého) okolí Z toho lyne formulace, že distribuční funkce je vždy alesoň zrava sojitá 3
Nyní zbývá zabývat se vztahem distribuční funkce a hustoty sojité náhodné veličiny Je-li distribuční funkce F() sojitá, tudíž k ní eistuje derivace Derivací F () je hustota ravděodobnosti df( ) f ( ) = A oačně distribuční funkce je rimitivní funkcí k hustotě Mezi oběma funkcemi d je tedy vzájemně jednoznačný vztah a F ( t) = f ( ) d t Vlastnosti hustoty ravděodobnosti Hustota je derivace neklesající funkce, nemůže tedy být záorná a f ( ) Shora není hodnota hustoty ravděodobnosti nijak omezena f ( ) d = 1 Jde o ravděodobnost jistého jevu, která odovídá jednotkové loše od křivkou hustoty ravděodobnosti P ( X ) = 1 f ( ) d Pravděodobnost realizace sojité náhodné veličiny na intervalu ( ) 1 1; nebo 1; je určitým integrálem v hranicích 1, Plochu od křivkou hustoty ravděodobnosti lze interretovat jako součet loch elementárních obdélníků, tzv ravděodobnostních elementů f ( ) d f ( ), kde je délka vodorovné strany obdélníku 3 Charakteristiky sojité náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která ro sojitou náhodnou veličinu X je definována jako E ( X ) = f ( ) d Charakteristikou variability náhodné veličiny je roztyl, který je ro sojitou náhodnou veličinu X definován jako ( X ) E[ E( X )] = [ E( X )] o úravě jako D = f ( ) d Alternativně lze roztyl vyjádřit E ( X ) E ( X ) = f ( ) d f ( ) d Druhou odmocninou roztylu je směrodatná odchylka D (X ) Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) = D( X ) E( X ) Pro sojitou náhodnou veličinu z odstavce 31 vyočteme hodnoty charakteristik Příklad 3 Charakteristiky sojité náhodné veličiny 1 Střední hodnota E ( X ) = f ( ) d = d = =, 1 4
3 1 Roztyl (o úravě vzorce) D ( X ) = d, =, =, 833 1 Směrodatná odchylka D ( X ) =,833 = 1, 4434 Čemu je roven variační koeficient z náhodné veličiny z říkladu 3? (3 ) Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme omocí střední hodnoty a roztylu, říadně od něj odvozených charakteristik směrodatné odchylky a variačního koeficientu O Vlastnosti střední hodnoty a roztylu Tyto jsou ro sojitou náhodnou veličinu identické s vlastnostmi charakteristik diskrétní náhodné veličiny Kvantily sojitých náhodných veličin Pojem kvantilu je nám neochybně znám (včetně ojmů jako medián, dolní kvartil, rostřední decil, horní ercentil aod) Omezíme se ouze na kvantily sojitých náhodných veličin (ro diskrétní náhodné veličiny kvantily eistují také, ale my je nebudeme v žádné souvislosti oužívat) S kvantily některých sojitých náhodných veličin budeme naoak ozději racovat zcela běžně kvantil (nebo také 1% kvantil) sojité náhodné veličiny X je číslo, které dělí obor možných hodnot této veličiny na dvě části, z nichž do levé adá tato veličina s ravděodobností a do ravé s ravděodobností 1, tj P( X ) =, P( X ) = 1 Přitom ravděodobnost můžeme cháat jako lochu od křivkou hustoty ravděodobnosti nebo jako bod na křivce distribuční funkce Situace je znázorněna na obr 33, kde má součastně růběh hustoty ravděodobnosti a jí odovídající distribuční funkce reálnou odobu (my jsme se ovšem s odobným rozdělením zatím nesetkali) Obr 33 kvantil sojité náhodné veličiny f () F ( ) 1 Situaci na obr 33 můžeme současně vyjádřit: Pomocí hustoty ravděodobnosti Pomocí distribuční funkce P ( X ) = f ( ) d = ) = F( = P( X )
Příklad 33 Vyočteme libovolný kvantil sojité náhodné veličiny z odst 31 (zatím žádnou jinou k disozici, nemáme) Zvolíme-li nař =, (tj určíme % kvantil dolní kvartil), bude 1 d =,, Z toho =, a nakonec, = 1, Pro říklad 33 určete 9% kvantil Zatímco medián (, ) může být vhodnou charakteristikou úrovně, tak krajní kvantily mohou sloužit k vymezení intervalu, kam náhodná veličina adá rakticky jistě (nař 1% a 99% kvantil solečně vymezí interval, kam náhodná veličina adá s ravděodobností,98 ro ředstavu si to ukažte na obr 33) Pokud je ravděodobnost,98 ro daný říad stanovenou ravděodobností rakticky jistého jevu, můžeme ředokládat, že jev adnutí náhodné veličiny mimo interval vymezený oběma kvantily je jevem rakticky nemožným a nekalkulujeme, že skutečně nastane, i když je nař X, a náhodná veličina může ve skutečnosti (ovšem velmi vzácně) nabýt jakkoli velké záorné či kladné hodnoty Tento trik s náhodnou veličinou budeme využívat ozději Nezávislost sojitých náhodných veličin V říadě dvojice sojitých náhodných veličin X, Y je jejich solečné rozdělení osáno hustotou ravděodobnosti a distribuční funkcí, funkcemi dvou roměnných f (, y), F(, y), které se oět nazývají sdružené Platí-li f (, y) = f ( ) f ( y) a F (, y) = F( ) F( y), jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny 33 Některé zákony rozdělení sojitých náhodných veličin Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení jsme již oznali, rotože nám osloužilo jako modelový říad sojité náhodné veličiny v odst 31 Nabývá-li sojitá náhodná veličina X hodnot z intervalu α; β a její výskyt na tomto intervalu je všude stejně možný, má rovnoměrné rozdělení s hustotou ravděodobnosti 1 roα β f ( ) = β α Čísla α, β, kterými se jednotlivé rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny vzájemně liší, jsou arametry Rovnoměrné rozdělení označíme R [ α;β ] Řekli jsme jinak sice, že se oužívá nař ři stanovení doby čekání na v ravidelných intervalech se oakující jevy nebo že si jím vyomáháme za situace, kdy skutečný tvar rozdělení sojité veličiny není znám, ale jeho význam je hlavně metodický, rotože je nejjednodušším sojitým rozdělením Z tohoto titulu není obtížné na něm ukázat nař výočet charakteristik omocí integrálů (říklad 3) Tento výočet není ovšem nutné rovádět, rotože jeho charakteristiky lze snadno určit z arametrů: α + β ( β α) E ( X ) =, D ( X ) = 1 vztahu = α + ( β α) kvantil rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny určíme ze 6
Jaká je ravděodobnost, že rovnoměrně rozdělená náhodná veličina R[ ;1 ] E ( X ) ± D( X )? (3 3) adne do intervalu Eonenciální rozdělení Podobně jako Poissonovo rozdělení, má i eonenciální rozdělení význam ředevším ro technické jevy Tak jako diskrétní Poissonovský roud jevů charakterizuje toky událostí okud jde o četnost jejich výskytů (očet oruch za jednotku času, očet ožadavků na obsluhu, očet růjezdů vozidel, očet vad na výrobcích), eonenciální rozdělení sojité náhodné veličiny X ( > ) charakterizuje dobu (říadně vzdálenost), která ulyne mezi výskyty těchto událostí (doba mezi dvěma oruchami, doba od objevení do odstranění oruchy, doba mezi růjezdy vozidel, ale také vzdálenost sousedních vad na ásu tkaniny aod) Za eonenciálně rozdělenou můžeme za jistých okolností ovažovat i životnost součástí a výrobků (zejména okud k ukončení života výrobku dojde v důsledku náhodné události tyicky žárovky, akumulátory automobilů a další elektrické součástky, k jejichž smrti dochází v důsledku zkratu, řeětí elektrické sítě aod) Hustota ravděodobnosti eonenciálního rozdělení je monotónní klesající funkce 1 ( ) = e δ f ro >, kde δ > je jediný arametr tohoto rozdělení Jeho význam je δ jinak E ( X ) = δ, D ( X ) = δ Distribuční funkcí eonenciálního rozdělení je funkce ro F( ) = 1 e δ ro > Příklad 34 % součástek neselže ani o dosažení 36 měsíců rovozu Doba, za kterou součástka selže, je náhodná veličina s eonenciálním rozdělením Jaká část součástek selže až o ulynutí dvou let rovozu? Při řešení místo určitých integrálů hustoty ravděodobnosti využijeme rovnou dosazení do vzorce distribuční funkce: 36 4 F (36) = 1 e δ =,, z čehož δ = a 1 F (4) = e =, 633 Hranici 4 měsíců řekoná 63 % součástek (37 % součástek selže řed ulynutímm 4 měsíců) Jakou střední hodnotu by musela náhodná veličina mít, aby hranici dvou let rovozu řekonalo 9 % součástek? δ = 8 Obr 34 Distribuční funkce dvou eonenciálních rozdělení 4 1 F (4) =,9 = e δ F(), z čehož získáme δ = 8 měsíců, což je 19 let 7 δ = Obě eonenciální rozdělení (skutečné a ideální) viz obr 34, kde je ro rvní rozdělení vyznačena hodnota F ( 36) =, a ro druhé F ( 4) =, 1 1 1 7
Znázorněte graficky hustoty ravděodobností náhodných veličin, jejichž distribuční funkce jsou na obr 34! Normální rozdělení Hustota ravděodobnosti normálního rozdělení ve zcela obecném říadě je dána jako funkce ( µ ) 1 ( ) = e σ f, ro < < Funkce má symetrický zvonovitý tvar se dvěma infleními body a jmenuje se Gaussova křivka (viz obr 3) Konstanty ve vzorci hustoty ravděo- σ π dobnosti, tj čísla µ,σ, jsou arametry normálního rozdělení Jejich geometrický význam je atrný z obr 3 a jejich vztah k charakteristikám rozdělení je jednoduchý: Obr 3 Normální rozdělení N[ ; ], N[;1], N[1;, ] E ( X ) = µ, D ( X ) = σ f() F() 7 σ = µ = 7-7 -6 - -4-3 - -1 1 3-7 -6 - -4-3 - -1 1 3 První z arametrů tedy rerezentuje střední hodnotu (arametr olohy) a druhý je roztyl Je zřejmé, že σ = D(X ) (arametr měřítka, vzdálenost souřadnice infleního bodu od souřadnice vrcholu křivky) je směrodatnou odchylkou Obecné normální rozdělení zaisujeme jako N [ µ ; σ ] Vzorec distribuční funkce (vyjadřuje lochu od křivkou hustoty), která je ravidelnou esovitou křivkou s inflením bodem o souřadnici [µ;,] (viz obr 3), neuvádíme (i když tabelované hodnoty této funkce budeme často využívat) Z grafů hustot i distribučních funkcí na obr 3 vylývá, že ravděodobnost odlehlých hodnot je skutečně zanedbatelná a za odlehlou můžeme nař rohlásit už hodnotu, která je od střední hodnoty vzdálena více než ± σ > Normované normální rozdělení Je zřejmé, že obecných normálních rozdělení je nekonečně mnoho, rotože každé kombinaci arametrů µ a σ vyhovuje nějaké normální rozdělení Při normování zavedeme normovanou veličinu U = =, která má (okud veličina X má obecné normální rozdělení) normované X E( X ) X µ D( X ) σ normální rozdělení N [;1 ] Prostřední z normálních rozdělení na obr 3 je současně normovaným normálním rozdělením Jeho hustotu ravděodobnosti (kterou označujeme φ (u) ) znázorníme samostatně na obr 36 Distribuční funkci normovaného normálního rozdělení budeme označovat Φ (u) Z obr 36 znovu vylývá, že za odlehlé (a tudíž zanedbatelné) je možno rohlásit nař už i hodnoty, které se od střední hodnoty liší o více než ± (když budeme hodně řísní, tak ± 3) Smysl 8
normování je v tom, že nekonečně mnoho náhodných veličin s obecným normálním rozdělením řevedeme na náhodnou veličinu, která se ro zadané u vyznačuje stálou hodnotou vzdálenosti křivky od osy a stálou lochou od křivkou, zatímco ro zadanou hodnotu obdržíme vždy stejnou hodnotu kvantilu Tyto hodnoty, které lze ručně vyočítat jen obtížně (srovnejme nař s rovnoměrným rozdělením!), je roto vhodné tabelovat, a to dokonce i v dnešní době, která umožňuje jejich stanovení omocí k tomu určených očítačových rogramů (v MS Ecelu nař funkce NORMDIST a NORMINV ro obecné a NORMSDIST a NORMSINV ro normované normální rozdělení) Obr 36 Hustota ravděodobnosti normovaného normálního rozdělení φ(u) 4-3 - -1 1 u 34 Výočty s normálním rozdělením Při ráci s normálním rozdělením řichází v úvahu tyto tři tyy úloh: k zadané hodnotě náhodné veličiny určit hustotu ravděodobnosti, k zadané hodnotě náhodné veličiny určit distribuční funkci (lochu od křivkou hustoty ravděodobnosti), k zadané ravděodobnosti určit hodnotu kvantilu náhodné veličiny Úlohy ro obecné normální rozdělení se tradičně řeší s využitím rozdělení normovaného Proto se ři řešení všech tří tyů úloh setkáváme s tabelovanými hodnotami normovaného normálního rozdělení Stručné výtahy z těchto tabulek (které dnes už nejsou nutně jen v aírové odobě) jsou v tabulkách 31 až 33 Tab 31 Hustota normovaného normálního rozdělení u,, 1, 1,,, 3, φ (u),399,3,4,13,4,18,4 Obr 37 Náčrt k tab 31 φ(u) 4 φ ( u) = φ( u) Z hodnot v tab 31 lyne, že vrchol křivky má souřadnici,399 a že vlevo i vravo od vrcholu křivka rychle klesá k vodorovné ose Ze symetrie křivky vylývá, že není třeba tabelovat ro záorné hodnoty náhodné veličiny -3 -u -1 1 u 3 9
Tab 3 Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení U,, 1, 1,,, 3, Φ (u),,691,841,933,977,994,999 Z tabulky vylývá, že s rostoucím u se hodnoty distribuční funkce se velmi rychle blíží jedné Při tom ze symetrie lyne Φ ( u) = 1 Φ( u) Tabulkové hodnoty využijeme, okud k zadané hodnotě (hodnotám) hledáme ravděodobnost Příklad 3 Plnicí linka ři srávné funkci lní lahve takovým zůsobem, že množství roduktu v obalu je náhodná veličina s normálním rozdělením N [; ] Jaká část lahví vykáže obsah nižší než 49 ml nebo vyšší než 1 ml? Hledáme součet P ( X 49) + P( X 1) ro náhodnou veličinu N [; ] Provedeme normování obou hodnot a ro normované hodnoty stanovíme ravděodobnosti: 49 P ( X 49) = P( U ) = P( U 1) = Φ( 1) = 1 Φ(1) =,19, 1 P ( X 1) = 1 P( X 1) = 1 P( U ) = 1 P( U ) = 1 Φ() =,3 Součet obou ravděodobností je,183 Takže je to řibližně téměř každá átá láhev Na grafu hustoty ravděodobnosti normovaného normálního rozdělení 37 vyznačte obě vyočtené ravděodobnosti! Tab 33 Kvantily normovaného normálního rozdělení P,,9,9,97,99,99,999 u, 1,8 1,64 1,96,36,76 3,9 Tab 33 je inverzní k tab 3, rotože k zadaným ravděodobnostem (lochám od křivkou hustoty ravděodobnosti, hodnotám distribuční funkce) uvádí hodnotu říslušného kvantilu, tj u P( U u ) = Φ( u ) = φ ( u) du = Vzhledem k symetrii je tentokrát u 1 = u (nař,1 = u,99 =, 36 u ), takže není nutno tabelovat hodnoty ro <, Příklad 36 Určíme interval symetrický kolem střední hodnoty, ve kterém se z hlediska obsahu nachází 9 % nalněných lahví Náhodná veličina má oět N [; ] Ze zadání vylývá, že hledáme,% a 97,% kvantil této náhodné veličiny (mezi nimi leží náhodná veličina s ravděodobností,9),, 97 Provedeme normování: u, =, u,97 = a z tab 33 určíme u = u =,96, u 1,96 Dosazením do vztahů ro normované hodnoty získáme,,97 1, 97 = =, 1 Takže P ( 49 X 1) =, 9, 49, 97 = Ukažte tento interval na náčrtu hustoty ravděodobnosti rozdělení N [; ]! 3
Σ 1 Sojitá náhodná veličina může nabývat jakékoli reálné hodnoty z celé číselné osy, říadně libovolné její části Rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny může být osáno omocí hustoty ravděodobnosti, která určuje ravděodobnost, řiadající na jednotku intervalu možných hodnot náhodné veličiny 3 Rozdělení ravděodobnosti sojité náhodné veličiny může být rovněž osáno omocí distribuční funkce, která ro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví ravidlo, že se náhodná veličina realizuje nejvýše v této hodnotě 4 Pro distribuční funkci i hustotu ravděodobnosti jsme uvedli řadu důležitých vlastností Úroveň a variabilita sojité náhodné veličiny se měří omocí stejných charakteristik jako veličiny diskrétní 6 Pro sojité náhodné veličiny jsme zavedli rovněž systém kvantilů 7 Poznali jsme rovnoměrné, eonenciální, normální a normované normální rozdělení 8 Normální rozdělení je vůbec nejdůležitějším rozdělením a má mnoho alikací, mj i v oblastech, do kterých je směrován tento tet (3 1) Jde o diskrétní náhodnou veličinu, nabývající nejméně jednu z hodnot, 3 1,4434 ( = =, (3 ) V X ), 774 ( X = = (3 3) P 1,13 78,87),7887,113, 774 1 Sojitá náhodná veličina X, (1;1 ) má distribuční funkci F( ) = log Stanovte a graficky znázorněte její hustotu ravděodobnosti, vyočtěte střední hodnotu a roztyl této náhodné veličiny Určete všechny její kvartily Stanovte ravděodobnost P 4 6) ( X = X Rovnoměrné rozdělení má střední hodnotu a roztyl E ( X ) 3, D ( ) 33, 3 Určete jeho arametry α, β 3 Stanovte ravděodobnost, že veličina s eonenciálním rozdělením s arametrem δ = 1 nabude hodnoty z intervalu E ( X ) ± D( X ) 4 Stanovte ravděodobnost, že náhodná veličina s normovaným normálním rozdělením nabude hodnoty z intervalu E ( X ) ± D( X ) ( = ( = Pro náhodnou veličinu s normálním rozdělením latí P X 11), 841a sou- časně P X 7), 3 Určete arametry µ,σ Pořiďte náčrt hustoty ravděodobnosti tohoto rozdělení a zadané ravděodobnosti na něm vyznačte 6 V návaznosti na říklad 36 v tetu lekce určete intervaly rovněž ro ravděodobnosti,9 a,99 7 Šířka stavebního otvoru má normální rozdělení se střední hodnotou 81 cm a směrodatnou odchylkou cm Šířka rámu určeného ke vsazení do tohoto otvoru má nor- = 31
mální rozdělení se střední hodnotou 8 cm a směrodatnou odchylkou, cm Určete ravděodobnost, s jakou ůjde náhodně vybraný rám vsadit do náhodně vybraného otvoru Pro jednoduchost stačí, aby rozměr rámu X byl menší než rozměr otvoru Y X, Y budeme ovažovat za nezávislé náhodné veličiny a označíme-li Z = X Y, hledáme P ( Z < ) 8 Určete ravděodobnost, že náhodně vybraný rám z úlohy 7 se odaří usadit do náhodně vybraného otvoru nejvýše na třetí okus 3