PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Petr Konečný LPH 407/3 tel. 59 732 1384 petr.konecny@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/konecny

Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita

Doporučená literatura Benda: Stavební statika I. VŠB-TU Ostrava 2005 Šmířák: Pružnost a plasticita I VUT Brno 1999 Šmířák, Hlavinková: Pružnost a plasticita I Příklady VUT Brno 2000 Jurčíková, Krejsa, Lausová, Michalcová: Stavební statika VŠB-TU Ostrava 2013 Podmínky zápočtu: - Stavební statika (zápočet) - aktivní účast na cvičeních 70% - znalosti (bodové ohodnocení 18-35 bodů) *nepovinné testy bez opravných termínů *3 zápočtové testy správně vypracované s možnosti dvou opravných termínů - vypracované a odevzdané programy bez bodového ohodnocení

Podmínky zápočtu: Stavební statika (zápočet) aktivní účast na cvičeních 70% znalosti (bodové ohodnocení 18-35 bodů) nepovinné testy bez opravných termínů 3 zápočtové testy správně vypracované s možnosti dvou opravných termínů vypracované a odevzdané programy bez bodového ohodnocení Podmínky zkoušky: Pružnost a plasticita (zápočet) Zkouška ze Stavební statiky a prerekvizitních předmětů zápočet (bodové ohodnocení 18-35 bodů) úspěšná písemná zkouška (18-35 bodů) ústní a písemná zkouška část zkoušky dohromady min 33b.

Vnější a vnitřní síly (opakování Stavební statika) Vnější síly: objemové (působí v elementech objemu), patří k nim: vlastní tíha, odstředivé síly atd. povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako: spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly). Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné. Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány. 5

Základní typy namáhání v rovině xz (indexy vnitřních sil): Název Vnitřní síla Napětí (intenzita vnitřních sil) Osové namáhání (tah, prostý tlak) N x x Ohyb M y x Smyk V z xy, xz Kroucení T (někdy také značení M x )

Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti: Kapitola 1.2. skript včetně poznámek Tyto předpoklady jsou velmi hrubým obrazem objektivní skutečnosti, umožňují ale uplatnění některých zásadních matematicko-fyzikálních principů ve výpočtech jako např. principu superpozice (skládání účinků), který je založen na linearitě všech matematických závislostí.

Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti: Látka tělesa je homogenní, může být přitom a) izotropní b) anizotropní dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat) deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé geometricky lineární teorie pružnosti počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly. 8

Základní zákony statiky - zopakovat Issac Newton (1642-1727) 1) Princip akce a reakce: Každá akce vyvolává reakci stejně velikou, ale opačného smyslu. Tlačí-li těleso tíhy G na podložku (základ), musí tato působit na těleso stejně velikou, ale opačného smyslu. 2) Princip superpozice (skládání) účinků (platí pouze v lineární oblasti): Rozdělíme-li obecnou soustavu sil působící na těleso do dílčích silových soustav (dále jen SS) 1, 2,... n, od každé stanovíme účinky R 1, R 2,... R n, pak výsledný účinek obdržíme vektorovým součtem účinků od jednotlivých dílčích SS. 3) Princip úměrnosti: Působí-li na těleso SS F 1, F 2,..., F n vyvolávající výsledný účinek R, potom SS k.f 1, k.f 2,..., k.f n vyvolává výsledný účinek k.r pro k = konst.

Typy namáhání Základní typy namáhání: a) prosté (osové, ohyb, kroucení, smyk) b) složené Kombinace základních případů namáhání: prostorový (obecný) ohyb excentrický tah a tlak (kombinace ohybu s tahem nebo tlakem) kroucení s tahem nebo tlakem a s ohybem Díky principu superpozice, který platí v lineárně pružném oboru, pak lze řešit složené případy namáhání rozkladem na základní stavy a výsledné účinky složit superponovat.

Saint - Venantův princip lokálního účinku F neovlivněná část Jean Claude Saint-Venant (1797-1886) F F oblast poruchy Usnadňuje řešení napjatosti těles. q oblast blízkého okolí Rovnovážná soustava ovlivní stav napjatosti jen v blízkém okolí Ve vzdálenějších bodech má zanedbatelné účinky

Používá se: a) ke zjednodušení povrchového zatížení jeho náhradou - staticky ekvivalentním, pro výpočet výhodnějším zatížením (spojité zatížení na malé ploše lze nahradit osamělým břemenem) F b) skutečné rozměry prutu možno idealizovat do střednice. (síla působí na střednici prutu nikoliv na horní nebo spodní líc) R az R bz oblast blízkého okolí, nutno provést korekci R az F R bz Po provedení výpočtu, zejména jsou-li vyčíslena i napětí v průřezech, je nutno provést korekce napětí s ohledem na provedené idealizace.

Schwedlerovy vztahy opakování ze Stavební statiky Teorie vychází ze Schwedlerových vztahů, zopakovat ze stavební statiky, nebo kapitola 1.3.2 ve skriptech: d M d x y V z

Základní pojmy předmětu Pružnost a plasticita Napětí (míra intenzity vnitřních sil) dnešní hodina Deformace dnešní hodina Stabilita (štíhlé tlačené pruty kapitola 9. skript) Materiál Lineárně pružný materiál Hookeův zákon dnešní hodina Nepružný materiál Plasticita částečně dnešní hodina Zatížení (namáhání) Vnější silové zatížení částečně dnešní hodina Zatížení teplotou dnešní hodina Popuštění podpor (předmět SSKI)

Napětí Míra intenzity vnitřních sil Napětí Poměr elementární síly a velikosti plošky je napětí na této plošce: Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku. p n Fn A Zmenšuje-li se velikost plošky A k nule, získá se napětí p n v bodě: p n lim A 0 F A n n df da n n Základní jednotkou napětí je Pascal Pa [N/m 2 ], jeho násobky pak: MPa [N/mm 2 ] nebo [MN/m 2 ], kpa [kn/m 2 ] 15

Napětí, pokračování Při rozložení síly df n do směru normály n a stopy v plošky da je: n dn da nv dv da Platí přitom: pn 2 + n 2 nv n je normálové napětí, působí ve směru normály n nv je smykové napětí, působí v rovině plošky da ve směru stopy v síly df n 16

Vnitřní síly, napětí

Indexy napětí

Znaménková konvence: Pravidlo pravé ruky Konvence dle Stavební statiky

Stav napjatosti tělesa Znaménková konvence, indexy u napětí

Stav napjatosti tělesa

Věta o vzájemnosti smykových napětí - důležité

Věta o vzájemnosti smykových napětí - důležité

Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa

Deformace a posuny v tělese Poměrné deformace (přetvoření) Posuny (přemístění) konkrétních bodů zkoumaného tělesa

Poměrné deformace (přetvoření) Délkové poměrné deformace

Poměrné deformace (přetvoření) Úhlové poměrné deformace

Geometrické rovnice Popisují vztahy mezi složkami poměrných deformací tělesa a složkami posunů libovolných bodů v tomto tělese. Vysvětlení bude na osově namáhaném prutu.

Materiál - Pracovní diagramy (tady oceli a betonu osově namáhaný prut) vyjadřují vztah mezi napětím a deformací (poměrnou) kapitola 2.2 skript nebo Stavební hmoty Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení. Tažnost: plastické protažení přetržené tyče (vzdálenost /OT/), ocel 15%.

Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiálu v tahu i tlaku (platí i pro smyk viz dále) f y napětí na mezi kluzu ε x V pružné (lineární) oblasti (do hodnoty napětí na mezi kluzu) platí Hookeův zákon: x e x.e E Modul pružnosti v tahu a tlaku [MPa] (jedna ze tří materiálových konstant) Platí pro kladné hodnoty napětí (tah) i záporné (tlak)

Lineárně pružný materiál - Hookeův zákon Hookeův zákon - definuje vztahy mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti. Matematicky ho popisují fyzikální rovnice. Fyzikální rovnice pro tah a prostý tlak (zakresleno pouze pro tah): + x f y Pružná oblast ε elast. Oblast platnosti Hookeova zákona Y mez kluzu x e x.e Hookeův zákon e x... poměrné deformace [-] (prodloužení, zkrácení) x... normálové napětí [Pa] tan E e E... Youngův modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa] (jedna ze tří materiálových konstant) ε = arctg E e x = l/l Strmost přímky (arctg E) závisí na pružnosti materiálu

Lineárně pružný materiál jiné znění Hookeova zákona + x f y Pružná oblast ε elast. Oblast platnosti Hookeova zákona Y mez kluzu Odvození pro tah a prostý tlak (zakresleno pouze pro tah): x e x.e Hookeův zákon tan E e do Hookeova zákona dosadit co již známo: x N A, e x l l ε = arctg E e x = l/l l Nl EA jiné znění Hookeova zákona

Lineárně pružný materiál - Hookův zákon ve smyku Hookeův zákon - definuje vztahy (fyzikální) mezi napětími a deformacemi, závisí na fyzikálních a mechanických vlastnostech materiálu, platí pouze v lineární oblasti xz xz xz G tan G xz... zkosení xz... smykové napětí [Pa] = arctan G xz G... modul pružnosti ve smyku [Pa] (jedna ze tří materiálových konstant)

Zatížení osově namáhaného prutu napětí a deformace 1. Vnější zatížení Osa x vždy osa prutu pozor u sloupu!!! R l F x N + a) Napětí taženého (tlačeného) prutu Vnější osové zatížení F vnitřní síla N normálové napětí σ x (intenzita vnitřních sil) [MPa] Tah, tlak pozor jednotky!!! (řády) Př.: Jak velké napětí vznikne, je-li N=10kN a A=10cm 2?

b) deformace taženého (tlačeného) prutu (geometrické rovnice) naučit kap.1.3 učebnice deformace podélná (bezrozměrná veličina) l e x Δl F l l x y z b b h h rozměrové změny: l = l + l b = b+ b h = h+ h deformace příčná ν 0,5 e y e Poissonův součinitel příčné deformace (jedna ze tří materiálových konstant) z e x e y b b e z h h Kruhový průřez průměr d?

Materiálové konstanty E G 2 1 + υ

2) Změna teploty +ΔT Nosník se v podpoře b posune, nevznikne N ani napětí a +ΔT b a) napětí b) deformace není-li bráněno deformaci napětí = 0 neplatí Hookeův zákon bude vysvětleno zachvíli e xt e yt e zt T T T - součinitel teplotní roztažnosti [ C -1 ] l T. T. l l = l + l b = b+ b h = h+ h ε xt = Δl/l = Δb/b = Δh/h = Δd/d

Příklad domácí úkol Určete rozměrové změny a napětí v oceli a v betonu. Konstrukce dle obrázku. N P 1 =150kN d1 = 0,03m ocel 1 P 2 =165kN beton 2 P 2 h 1 =0,5m h 2 =0,2m E 1 = 210 000MPa ν 1 = 0,3 b = 0,1m - - a = 0,15m E 2 =33 500MPa ν 2 = 0,2 d = 30,009mm, a = 150,029mm, b = 100,019mm, h 1 =499,495mm, h 2 =199,809mm, h = 699,304mm σ 1 = -212,21MPa, σ 2 = -32,0MPa normálové napětí

Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Pružnost a pevnost ve stavebním inženýrství Výchozí předpoklady klasické lineární pružnosti Pojem plasticita, teorie malých deformací,teorie II.řádu Napětí, stav napjatosti tělesa 2. Vztahy mezi napětími a vnitřními silami v průřezu prutu, diferenciální podmínky rovnováhy Základní typy namáhání - prosté a složené Saint - Venantův princip lokálního účinku 3. Deformace a posuny v tělese, geometrické rovnice 4. Fyzikální rovnice, Hookeův zákon, lineárně pružný materiál 5. Pracovní diagramy stavebních materiálů Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost 6. Deformace od změny teploty 7. Napětí při osovém tahu a tlaku 8. Přetvoření taženého a tlačeného prutu 9. Materiálové konstanty

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk Normálová síla N 0 pro průřez platí: N N x a N N b + R ax tah F a N N b - R ax tlak F

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk Ohybový moment M y, M z 0 pro rovinu xz platí: M M y R az R az a a M tlak tah tah tlak M F F M M b R bz b R bz + -

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk F 3 F 2 2 3 1 n v = 6 F 1 Např. prostorově lomený nosník Kroutící (torzní) moment T 0 +y Při kroucení platí: T M x +z +x Vnitřní síly na prutu 2 od vnějšího zatížení: F 1 : N, M z F 2 : V y, M z F 3 : V z, M x, M y

Základní typy namáhání 1. Osové namáhání 2. Ohyb 3. Kroucení 4. Smyk Posouvající síla V y, V z 0 pro rovinu xz platí: V V z F V + V V - V a b R az R bz