Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a) [1 b] Jaký musí být proud (velikost a směr) ve vodiči 2, aby výsledné magnetické pole v bodě P bylo nulové? Obr. 1. 2. Na obrázku 2 protéká dlouhým přímým vodicem proud 30 A a obdélníkovou smyčkou proud 20 A. Dosaďte hodnoty a = 1,0 cm, b = 8,0 cm a L = 30 cm. a) [1 b] Vypočtěte výslednou sílu působící na smyčku. 3. Čtvercovou smyčkou s délkou strany a protéká proud I. Obr. 2. a) [0,6 b] Určete velikost magnetické indukce B 1, kterou vytváří proud tekoucí jednou z jejích stran, ve středu smyčky. b) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B, kterou vytváří proud tekoucí celou smyčkou, ve středu smyčky. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a směr proudu a vektoru magnetické indukce B ve středu smyčky vyznačte. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1
16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 4. Na obrázku 3 je průřez dlouhým válcovým vodičem o poloměru a, kterým protéká homogenně rozložený proud I směrem k nám. Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm a I = 100 A. a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro r a. V obrázku vektor B vyznačte. b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro r < a. V obrázku vektor B vyznačte. c) [0,2 b] Nakreslete závislost B(r) pro 0 < r < 6, 0 cm. Obr. 3. 5. Na obr. 4 je průřez dlouhým přímým vodičem válcového tvaru o poloměru a s válcovou dutinou o poloměru b. Osy válce a dutiny jsou rovnoběžné a jejich vzdálenost je d. Proud I je ve vodiči rozložen homogenně v celém vyznačeném průřezu. a) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny. b) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B ve středu dutiny, jestliže b = 0 nebo d = 0. c) [0,4 b] Dokažte, že velikost magnetické indukce v dutině je konstantní. Obr. 4. 6. Magnetická indukce v určité oblasti prostoru je dána vztahem B = (3, 0 i + 8, 0(x 2 /d 2 ) j) mt, kde d je konstanta s rozměrem délky a x i d jsou vyjádřeny v metrech. Víme, že toto pole je způsobeno elektrickým proudem. a) [0,3 b] Vypočítejte integrál B d s po lomené Ampérově křivce c vedoucí po úsečkách z bodu (0, 0, 0) c přes (d, 0, 0), (d, d, 0) a (0, d, 0) zpět do (0, 0, 0). b) [0,5 b] Dosaďte hodnotu d = 0, 50 m do výrazu pro indukci B a pomocí Ampérova zákona vypočtěte velikost elektrického proudu I tekoucího ve směru kolmém ke čtverci o délce strany a = 0, 5 m. Čtverec leží v prvním kvadrantu roviny xy a má jeden z vrcholů v počátku soustavy souřadnic. c) [0,2 b] Určete, zda-li je tento proud ve směru jednotkového vektoru + k, nebo k.
7. Na obr. 5 je průřez dutého dlouhého přímého válcového vodiče, jehož vnější, resp. vnitřní poloměr je a, resp. b. Vodičem protéká proud I homogenně rozložený v celém průřezu vodiče (tj. s konstantní proudovou hustotou) směrem k nám. a) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro r a, kde r je vzdálenost od osy vodiče. V obrázku vektor B vyznačte. b) [0,4 b] Určete magnetickou indukci B pro b r < a. V obrázku vektor B vyznačte. c) [0,2 b] Určete magnetickou indukci B pro r < b. V obrázku vektor B vyznačte. Obr. 5. 8. Na obr. 6 je řez dlouhým přímým koaxiálním kabelem. Každým z vodičů protéká co do velikosti stejný, ale co do směru opačný proud I homogenně rozložený v jejich průřezu. a) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r < c. b) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro c r < b. c) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro b r < a. d) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r a. e) [0,2 b] Dosaďte hodnoty a = 2, 0 cm, b = 1, 8 cm, c = 0, 40 cm a I = 120 A a vyneste závislost B(r) pro r v intervalu 0 < r < 3 cm. Obr. 6. 9. Hustota elektrického proudu J uvnitř dlouhého válcového vodiče o poloměru a má směr jeho osy a její velikost lineárně roste se vzdáleností r od osy podle vztahu J = J 0 r/a, kde J 0 je hustota proudu na povrchu vodiče. a) [0,2 b] Určete celkový proud I tekoucí vodičem. b) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r < a. c) [0,3 b] Určete velikost magnetické indukce B v závislosti na vzdálenosti r od osy kabelu pro r a. d) [0,2 b] Nakreslete závislost B(r) a vyznačte na osách všechny důležité hodnoty. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3
16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 4 10. Smyčka má tvar podle obr. 7 a protéká jí elektrický proud I. a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P. b) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce B vyznačte. c) [0,3 b] Určete velikost magnetického dipólového momentu µ smyčky. Obr. 7. 11. Dlouhým solenoidem s hustotou n = 100 závitů na centimetr protéká proud I. Elektron se pohybuje uvnitř solenoidu po kružnici o poloměru r = 2, 30 cm kolmo na osu solenoidu (osa kružnice je shodná s osou solenoidu). Velikost rychlosti elektronu je v = 0, 046c, kde c = 3 10 8 m/s je rychlost světla. a) [0,2 b] Určete velikost výsledné síly F, která působí na elektron. Nakreslete obrázek a směr pohybu elektronu a vektor síly F vyznačte. b) [0,3 b] Určete velikost indukce B magnetického pole, ve kterém se elektron pohybuje. Do obrázku dokreslete vektor magnetické indukce B. c) [0,5 b] Určete proud I, který za těchto okolností solenoidem protéká. 12. Toroid byl vytvořen stočením solenoidu s N = 500 čtvercovými závity o délce strany a = 5 cm do prstence s vnitřním poloměrem r 1 = 25 cm (vnější poloměr je tedy r 2 = 30 cm). Toroidem teče proud I. Určete a) [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro 0 r < r 1, b) [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro r 1 r r 2 a c) [0,2 b] závislost velikosti magnetické indukce B na vzdálenosti r od jeho osy pro r > r 2. d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti B(r) pro 0 r 40 cm a na osách vyznačte všechny důležité hodnoty. e) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směr proudu I a indukční čáry. Zakreslete též vektor magnetické indukce B v jednom libovolném bodě, kde je pole nenulové. 13. Na obr. 8 je průřez dlouhého vodiče obdélníkového průřezu o šířce D a zanedbatelné výšky. Vodičem protéká stejnoměrně rozložený elektrický proud I kolmo k obrázku, směrem od nás. a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P ležícím v rovině proužku ve vzdálenosti d od jeho hrany. b) [0,4 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce B v bodě P vyznačte. c) [0,1 b] Ze závislosti B(d) určené v první podúloze ukažte, že pro d >> D velikost magnetické indukce B přechází ve vztah pro magnetické pole tenkého vodiče, kterým prochází proud I. (Tip: ln(1+x). = x.) Obr. 8.
14. Na obr. 9 je přímý vodič o délce L, kterým protéká proud I. a) [0,5 b] Určete velikost magnetické indukce B v bodě P ležícím ve vzdálenosti R od středu vodiče (viz obrázek 9). b) [0,3 b] Nakreslete obrázek a vektor magnetické indukce B v bodě P vyznačte. c) [0,2 b] Určete velikost magnetické indukce B v tomtéž bodě pro případ, že L. Obr. 9. 15. Na obrázku 10 protéká dlouhým přímým vodičem proud I 1 = 30 A a obdélníkovou smyčkou proud I 2 = 20 A. Jsou dány rozměry: a = 1, 0 cm, b = 8, 0 cm a L = 30 cm. a) [0,4 b] Určete velikost magnetické indukce B od přímého vodiče ve vzdálenosti R od tohoto přímého vodiče. b) [0,4 b] Vypočtěte velikost výsledné síly F působící na smyčku. c) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vyznačte směry proudů I 1 a I 2 a vektor výsledné síly F působící na smyčku. Rovněž naznačte magnetické pole od přímého vodiče. Obr. 10. 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 5