Uspořádání doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2014 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2014/15, Lekce 4 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-zdm/ Evropský sociální fond. Praha& EU: Investujeme do vaší budoucnosti doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 1/ 16
Částečné uspořádání Co je to částečné uspořádání? Částečné uspořádání(nebo prostě jen uspořádání) je relace, která dovoluje prvky nějaké množiny porovnat podle nějakého kritéria prvek a patří před prvek b. Takové porovnání v posloupnosti různých hodnot ovšem nemusí být použitelné k získání seřazené permutace prvků dané posloupnosti, jako je tomu u problému řázení v programování. Definice 1 ( částečné uspořádání) Binární relaci R na množině X nazýváme částečným uspořádáním, pokud je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Dvojici(X, R) pak nazýváme částečně uspořádánou množinou neboli poset. Připomeneme: (RE): X R, (ANS): R R 1 X, (TR): R R R doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 2/ 16
Uspořádání- příklady Příklad 2 Následující příklady ukazují jak uspořádání, tak i relace, které uspořádáními nejsou: 1 neostré uspořádání x y čísel(přirozených, celých, racionálních, reálných) podle velikosti je relací(částečného) uspořádání 2 ostré uspořádání x < y čísel(přirozených, celých, racionálních, reálných) podle velikosti není relací(částečného) uspořádání 3 porovnání čísel podle absolutní hodnoty x y není relací (částečného) uspořádání 4 porovnání kladných přirozených čísel podle dělitenosti m n df mdělí nbezezbytku jerelací(částečného)uspořádání 5 porovnání nenulových celých čísel podle dělitenosti m n není relací (částečného) uspořádání doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 3/ 16
Odvozené ostré uspořádání Notace pro uspořádané množiny Pro odlišení používáme pro částečné uspořádání symbol a pro částečně uspořádané množiny zápis(x, ). Definice 3 ( ostré uspořádání) Nechť je částečné uspořádání na množině X. Binární relaci definovanou vztahem x y x y x y nazýváme ostrým uspořádáním odvozeným od částečného uspořádání. Vmnožinovémvyjádřenítoznamená: = X. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 4/ 16
Vlastnosti ostrého uspořádání Věta4 Nechť(A, )ječástečněuspořádanámnožinaa jeodvozenéostré uspořádání. Potom platí: 1 je ireflexivní, asymetrická a tranzitivní relace 2 ( a,b X) a b a b 3 ( a,b,c X)(a b b c) (a b b c) a c Důkaz: 1 (IR)jezřejmázmnožinovéhovyjádření,(AS)plynez(ANS)a (IR),(TR)plynezčástí2a3 2 plyne z množinového vyjádření 3 (a b b c) (a b b c) a c,přitomnemůžebýt a=c,neboťpakbybylo (a b b a) (a b b a) a=b,cožjespor.druhá část je analogická. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 5/ 16
Od ostrého k částečnému uspořádání Od částečného uspořádání jsme odvodili ostré uspořádání. Je možný i opačný postup? Věta5 Nechť R je binární relace na množině X, která je asymetrická a tranzitivní. Definujeme-lina Xrelaci = R X,pakje(X, )částečně uspořádaná množina. Navíc, relace ostrého uspořádání odvozená z částečného uspořádání je právě relace R. Důkaz: Platí R R 1 = O X a R R R,takže (R X ) (R X ) 1 = X,cožznamenáantisymetriirelace. Tatorelacejesoučasněreflexivní,neboťvzniklasjednocením Ra X. Díky tranzitivitě relace R je ovšem také tranzitivní(ověřit!). Druháčásttvrzeníplyneztoho,že =(R X ) X = R,neboť Rjeasymetrická,tudížtakéireflexivní,tedy R X = O X. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 6/ 16
Relace pokrytí Částečné uspořádání lze tedy získat zpětně z ostrého uspořádání jen přidáním diagonály. Je možné z nějaké menší relace rekonstruovat ostré uspořádání? Lze se zbavit tranzitivity- zpátky pomocí tranzitivního uzávěru! To vede k relaci pokrytí(též bezprostředního předcházení). Definice 6 (redukcerelace)nechť Rjebinárnírelacenamnožině X.Redukcírelace Rnazývámerelaci R r definovanouvztahem R r = R R 2 Je-li Rostrýmuspořádánímna X,pakjehoredukci R r nazývámerelací pokrytí nebo též bezprostředního předcházení. Protranzitivnírelaci R: = O X R r R. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 7/ 16
Hasseův diagram uspořádání Diagram relace pokrytí odpovídající uspořádání na částečně uspořádané množině(x, ) nazýváme Hasseovým diagramem(kreslíme zdola nahoru ). OBRÁZEK Věta7 Nechť(X, ) je konečná částečně uspořádaná množina a = X jeodvozenéostréuspořádánína X.Potomplatí: 1 ostré uspořádání je rovno tranzitivnímu uzávěru své redukce 2 výchozí částečné uspořádání je rovno reflexivně-tranzitivnímu uzávěru redukce odvozeného ostrého uspořádání. Jak můžeme spočítat redukci odvozeného ostrého uspořádání? doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 8/ 16
Příklady Hasseova diagramu Příklad 8 1 Uvažujmepodmnožinu X= {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12}množiny přirozených čísel uspořádanou relací dělitelnosti m n. Redukce odvozeného ostrého uspořádání bude obsahovat dvojice (1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(2,10),(3,6),(3,9),(4,8),(4,12), (5, 10),(6, 12).(viz HASSEŮV DIAGRAM) 2 Uvažujme potenční množinu tříprvkové množiny uspořádanou relací množinové inkluze(p({a, b, c}), ). Redukce odvozeného ostrého uspořádání(tj. ostré inkluze) bude obsahovat dvojice podmnožin (,{a}),(,{b}),(,{c}),({a},{a,b}),({a},{a,c}),({b},{a,b}), ({b},{b,c}),({c},{a,c}),({c},{b,c}),({a,b},{a,b,c}), ({a,c},{a,b,c}),({b,c},{a,b,c}).(vizhasseůvdiagram) doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 9/ 16
Úplné uspořádání Definice 9 ( úplné uspořádání) Nechť(A, ) je částečně uspořádaná množina. Řekneme,že a,b Ajsouporovnatelné,jestliže a bnebo b a. Řekneme,že a,b Ajsouneporovnatelné,jestližeani a bani b aneplatí. Řekneme, že je úplné uspořádání(též lineární uspořádání), jestliže jsou každé dva prvky z A porovnatelné. Které z následujících jsou úplně uspořádané množiny? Které prvky z neúplně uspořádaných množin jsou porovnatelné? (N, ), (N +, ), (Z, ), (P(X), ) Věta 10 Pro každou konečnou částečně uspořádanou množinu(a, ) existuje rozšířenínaúplnéuspořádání u. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 10/ 16
Uspořádání a kartézský součin Definice 11 Nechť(A 1, 1 ),(A 2, 2 ),...,(A m, m )jsoučástečněuspořádané množiny.namnožině A=A 1 A 2... A m definujemebinárnírelaci direktní součin takto: (a 1,...,a m ) (b 1,...,b m ) platíprávětehdy,jestliže a i i b i pro všechna i=1,2,...,m. lexikografickéuspořádání L takto: (a 1,...,a m ) L (b 1,...,b m ) platíprávětehdy, jestliže a i = b i provšechna i=1,2,...,m neboexistujeindex ktakový,že a k k b k asoučasně a i = b i pro všechna 1 i k 1. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 11/ 16
Direktní součin a lexikografické uspořádání Jaké mají vlastnosti a jak se od sebe liší direktní součin částečných uspořádání a lexikografické uspořádání? Direktní součin je částečné uspořádání(ověřit!). uspořádání musí platit ve všech složkách lzepoužítkčástečnémuuspořádání n-témocniny A n uspořádané množiny(a, ) nelze použít k porovnání uspořádané n-tice s uspořádanou m-ticí Lexikografické uspořádání je rovněž částečné uspořádání(ověřit!). lexikografické uspořádání odvozené od úplných uspořádání je také úplné definici lexikografického uspořádání lze doplnit tak, že bude možné porovnávat uspořádané n-tice s uspořádanými m-ticemi lexikograficky můžeme(úplně) uspořádat i množinu A = A 0 A 1 A 2... doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 12/ 16
Minima a jiné podobné prvky Definice 12 Nechť(A, )ječástečněuspořádanámnožinaa jeodvozenéostré uspořádání. Nechť M A je neprázdná podmnožina množiny A. prvek a Ajenejmenšíprvekmnožiny M,jestliže a Mapro všechna x Mplatí a x prvek b Ajenejvětšíprvekmnožiny M,jestliže b Mapro všechna x Mplati x b prvek c Ajeminimalniprvekmnožiny M,jestliže c Ma neexistuje x M: x c(značíme c=min(m)) prvek d Ajemaximalniprvekmnožiny M,jestliže d Ma neexistuje x M: d x(značíme d=max(m)). Určíme nejmenší, největší, minimální a maximální prvky(pokud existují) posetů({2,3,4,5,6,8,9,10,12}, )a(p({a,b,c}), ). doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 13/ 16
Vlastnosti minim, maxim, apod. Věta 13 Nechť(A, )ječástečněuspořádanámnožina, M Anějakájejí neprázdná podmnožina. 1 Jestližeexistujenejmenšíprvek M,pakjejediný. 2 Jestliže m 1 = min(m),m 2 = min(m)am 1 m 2,pak m 1 = m 2. 3 Jestližeje mnejmenšíprvek M,pak m=min(m)ajinéminimum užmnožina Mnemá. 4 Obdobná tvrzení platí pro největší/maximální prvky. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 14/ 16
Minima a maxima na konečných množinách Věta 14 1 Každá konečná neprázdná podmnožina M částečně uspořádané množiny(a, ) má(alespoň jeden) minimální a(alespoň jeden) maximální prvek. 2 Nechť(A, )jeúplněuspořádanámnožinaamjejíneprázdná podmnožina.je-li a=min(m),pakje anejmenšíprvek M. Podobněje-li b=max(m),pakje bnejvětšíprvek M. 3 Je-li(A, )konečnáúplněuspořádanámnožinaamjejíneprázdná podmnožina, pak má M nejmenší i největší prvek. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 15/ 16
Dobře uspořádaná množina Definice 15 ( dobře uspořádaná množina) Nechť(A, ) je částečně uspořádaná množina. Řekneme, že(a, ) je dobře uspořádaná množina, jestliže každá neprazdná podmnožina M A ma nejmenší prvek. Věta 16 Každé dobré uspořádání je současně uspořádáním úplným. Princip dobrého uspořádání (N, ) je dobře uspořádaná množina. Věta 17 Principy indukce jsou ekvivalentní s principem dobrého uspořádání. doc. Josef Kolář (FIT ČVUT) Uspořádání ZDM, ZS 2014/15, Lekce 4 16/ 16