ELEKTROSTATICKÉ POLE VE VAKUU ELEKTRICKÝ NÁBOJ ZÁKLADNÍ ELEKTROSTATICKÉ JEVY Janta elekton ( ecký název) stav p itahování dobných p ed t - elektický stav, zelektovaná t lesa (sklen ná ty + k že, novodu + sst) elektický náboj ía zelektování (skalání veli ina), Q (e) jednotka = Coulob (C), (definovaný poocí Apéu) Dva duhy elektických náboj kladný (na sklen né ty i), záponý (na novoduu) Elektické náboje neohou existovat saostatn jsou vázány na hotné ástice elekton, poziton, poton, ion aj eleentání elektický náboj (poton +, elekton -) e =,6-9 C Elekticky neutální ato stejný po et elekton v obalu a poton v jád e, kladný ion ztáta jednoho nebo n kolika elekton, záponý ion p ebytek jednoho nebo více elekton Elekticky neutální t leso ovno n ozložené kladné a záponé náboje (kopenzace obou typ náboje) Elektování t lesa naušení ovnosti po tu kladných a záponých náboj (t leso je zelektováno, nabito) lze povést nap t ení, dotyke, p enesení náboje, elektostatickou indukcí apod Elektostatické pole nabité ástice jsou vzhlede k pozoovateli v klidu, Elektodynaické pole vzniká p i pohybu nabitých ástic Bodový náboj oz y nabitého t lesa jsou zanedbatelné vzhlede ke vzdálenosti ostatních nabitých objekt inteagujících s uvažovaný t lese Hustota náboje veli ina chaakteizující ozložení náboje na "v tších" nabitých t lesech: a) Objeová hustota náboje dq ρ = [ C ] () dv b) Plošná hustota náboje dq σ = [ C ] () ds c) Délková (lineání hustota náboje) [ C ] Celkový náboj t lesa (hustota náboje jako funkce sou adnic) dq τ = () dl
Q = dq (integace p es celý obje V, esp plochu S nebo délku l) V Souhn Elektický náboj je vždy vázán na hotný objekt Existují náboje kladné a záponé Po silové ú inky nabitých t les platí pincip supepozice 4 Zákon kvantování elektického náboje íká, že všechny náboje jsou násobke e 5 Zákon zachování náboje celkový náboj v izolované soustav je oven algebaickéu sou tu všech náboj a ne ní se (p íklad: anihilace elektonu a pozitonu zánik v páu) 6 Invaiantnost náboje elativistický invaiant (na ozdíl od hotnosti) 7 Pohybující se náboje budí pole elektodynaické (elektoagnetické) 8 Zákon silového p sobení náboj Coulob v zákon COULOMB V ZÁKON Ch A Coulob (785) ení náboje poocí tozních vah, polohové vektoy náboj Q a Q, = udává polohu Q vzhlede k Q (ob ) Vyjád ení F Q Q = obdobn k F tedy F = F Q Q =, (5) (6) k QQ = Coulob v zákon ve tvau F k k konstanta ená znýi etodai (EB Rosa, NE Dosey) k= 8,98776 9 C - N =, (7)
Vyjád ení poocí peitivity vakua k = ε = 8,854 - C - N - - 4πε (8) QQ acionalizovaný tva Coulobova zákona F = 4πε (9) Aplikace Coulobova zákona a) Silové p sobení soustavy bodových náboj (ob ) F = 4πε n j= Q Q b) Silové p sobení spojit ozloženého náboje (ob ) j j ( ) j ()
F Q = 4πε V ρ( ) dv ( ) () INTENZITA ELEKTROSTATICKÉHO POLE Náboje v klidu na sebe p sobí post ednictví svých polí Elektostatické pole se pojevuje silový p sobení na nabité! ástice Intenzita elektostatického pole (v íst" P, kde je Q ) E F = [ N C ], [ V ] () # Q Q "zkušební" náboj Nebo platí F = Q E () Výpo% et intenzity elektostatického pole v & zných p' ípadech a) Intenzita elektostatického pole bodového náboje Q (ob 4) Z Coulobova zákona ( QQ F = ( 4πε Dosazení do vztahu () dostanee po intenzitu elektostatického pole bodového náboje Q v bod) E = + (4) 4πε Z toho plyne, že E á oientaci (po záponý náboj je oientace opa ná) Takové pole se nazývá adiální b) Intenzita elektostatického pole soustavy bodových náboj/ po soustavu bodových náboj podle ob platí n Q j E = ( j ) (5) 4πε j= j
7 E DCBB E E A@?? Velikost i s E se ní bod od bodu pole nehoogenní E v dané bod E = E + E + + En (6) pole elektického dipólu (viz ob5) elektický oent dipólu ešení v soustav x, y (ob 6) p = Q l (7) Poloha vyšet8 ovaného bodu P je dána polohový vektoe = i x + jy Polohové vektoy náboj: +Q a Q l jsou ; + = j < = j l Podle (5) esp (6) výsledná intenzita E v bod> P VyjádF íe vektoy Q Q E = 4πε (8)
Z Z v ba` ba` _^ _^ W YX W W YX W nl nl v M T M T kj i kj i M T } M T LKJ SRQ YX W q YX W IH PO N VyjádU ení jenovatelv zlokv neboc G M T l = + = i x + j y, l = = i x + j y + (9) l [Z\ yl l = x + y = +, [Z\ ] 4 l [Z\ yl l = x + y + = + +, [Z\ ] x = + y Po l 4 l geg ded, je f len 4 a je ožné ho zanedbat Použití ph ibližného vzoce [po alé a platí (+a) n = ( + na)] dostanee yl +, yl () Po dosazení (9) a () do (8) a po úpavo dostanee tsu Qyl( i x + jy) p v = jql 5 4πε E Výaz v kulaté závoce je oven, Qyl = p a j Ql = p, takže po intenzitu E ve velké vzdálenosti od dipólu dostanee Diskuze: V bod na ose dipólu je E ~ ( p ) p { = 5 4πε ( p E = 4πε p ) = p a po intenzitu dostanee () V bod P na ose sou nosti dipólu je skalání sou in p = a po E platí p E = 4πε c) Intenzita elektostatického pole spojitš ozloženého náboje Náboj Q je ozložený v oblasti V s objeovou hustotou ρ ( ) Intenzita pole vzbuzeného náboje Q v bodœ P, u eného (viz ob ) E = 4πε V ( ) ρ dv ( ) ()
Podobn bycho ohli postupovat p i výpo tu intenzity elektostatického od náboje spojit ozloženého σ ( ) ds na ploše S E = ( ), () 4πε na k ivce l E = 4πε V ( ) τ ds ( ) (4) V 4 ZNÁZORN NÍ ELEKTROSTATICKÉHO POLE a) Silo áy elektostatického pole M Faaday zavedl po znázonš ní elektostatického pole poje silo áa Silo áa elektostatického pole oientovaná kœ ivka pobíhající postoe tak, že v každé její bodš á souhlasnš oientovaná te na sš intenzity elektostatického pole Vlastnosti silo a: Souhlasnš oientované s E Mateatický zápis pœ edchozího tvzení E ( ) d = Silo áy elektostatického pole vycházejí z kladných elektických náboj a kon í na záponých 4 Silo áy se nikde nepotínají (kdyby se potínaly, existovaly by zde dv zné te ny) Každý bode pochází jedna silo áa 5 Po znázon ní používáe jen n kolika silo a (viz ob8a až 8e adiální+, adiální- ) 6 Na velikost pole E žee usuzovat z hustoty silo a Po et silo a dn pocházejících eleente plochy ds = hustota silo a dn = nueicky E (8) ds
b) Tok intenzity elektostatického pole plochou Z ovnice (8) vyplývá, že po et silo a pocházejících eleente Po p ípad, že poto dn = nueicky EdS ds je n svíá s E úhel α (ob9) je t eba uvažovat kolý p ª t dn = EdS nueicky d S = EdS cosα zavedee-li ísto N tok intenzity elektostatického pole plochou platí dφ e = E ds = EdS cosα, (9) Φ e = E ds = S EdS cosα () Tok vektou E plochou S je skalání veli± ina = po± tu silo± a Má-li E v každé bod² S stejnou velikost a svíá-li s d S stejný úhel α, pak Φ = E cos α ds = ES cosα () Po tok uzavµ enou plochou Φ e e = S EdS = S S S EdS cos α ()
Ä Ã È Ç Ñ Ï Ï Ç ÎÍÌÌ È Ï ½ Ï ËÊ ÉÉ Ç 5 GAUSSOVA V TA ELEKTROSTATIKY Vyjad¹ uje vztah ezi toke intenzity elektostatického pole Φ e uzav¹ enou plochou S a náboje Q uvnit¹ této plochy (náboj º že být ozložen º zný zpº sobe) (ob ) jeden náboj Q (ob ) budí adiální pole o E, kteá závisí na (4) dosazení (4) do () Q ds Q ds cosα Φ e = ½ = 4πε 4πε S Avšak ds cosα ds = = dω vyjad uje velikost eleentáního postoového úhlu Po celou uzav enou plochu S (4π steadiánà ) S Platí po libovolnou uzav enou plochu 4π Q Q e = dω = 4π = πε 4πε Q Φ Á () 4 ε Po n bodových nábojà uvnit uzav ené plochy S platí po výslednou intenzitu E a po tok intenzity E( ) E = n E j j= Ä uzavæ enou plochou S dostanee Φ e = n E ds = j S j= j= n OznaÐ ení celkového náboje Q celk = Q j Ò žee psát j= n S E ds j = ε n j= Q j
Ø Ø Ý Φ e Q = Ó E ds = ε což je tzv Gaussova võ ta v integální tvau S celk, (4) po náboj Q ozložený spojitö uvnit uzav ené plochy S esp Q = ρ dv, (5) celk V Q = σ ds nebo Q = Ù τ dl celk S Gaussova vú ta: Tok intenzity elektostatického pole libovolnou uzavû enou plochou je ve vakuu oven podílu celkového náboje uvnitû plochy a peitivity vakua Využití Gaussovy ateatické vü ty Ý dive dv = a odtud V ε ε V ρdv celk ρ div E = (6) Gaussova elektostatická và ta v difeenciální tvau l Pá íklady použití Gaussovy vâ ty Výpoã et velikosti intenzity elektostatického pole náboje ozloženého na ovinâ s konstantní plošnou hustotou σ (ob ) tok pláštä je nulový podle () je tok intenzity základnai Φ e = E S Uvnitå uzavå ené plochy je náboj Q = σ S
dosazení do Gaussovy væ ty (4) obdžíe σ S σ E S = a odtud E = (7) ε ε Poznáka: Po pç ípad dvou ovnobè žných ovin nabitých náboji opaé ných znaének ozloženýi s plošnou hustotou stejné velikosti ( σ + = σ = σ ) (viz ob ) E = E + E + σ σ V postou ezi ovinai se pole sé ítají E = =, (8) ε ε kdežto v okolní postou se obæ pole uší E = Intenzita elektického pole uvnitç nabitého vodië e a v tè sné blízkosti jeho povchu uvnitì vodié e Náboj nabitého vodié e je ozložen jen na povchu (uvnitì jsou náboje kopenzovány) Uvažuje uzavì enou plochu S vedenou tæ snæ pod povche nabitého vodié e (ob )
î Podle Gaussovy ví ty S E ds Tok intenzity libovolnou uzavð enou plochou S, ležící uvnitð vodiñ e, je oven nule, pouze tehdy je-li v celé objeu vodiò e intenzita E = Pozn: pokud by E, pô sobila by na volné elektony síla F = ee, což by vedlo k jejich pö eis ování v tø sné blízkosti povchu (ob 4) Tok intenzity základnou nad povche vodiù e je Φ e = E S dosazení Q = σ S do Gaussovy vø ty a úpavou σ S E S = ε ε σ E = dostanee Coulobovu vú tu (9) Poznáka: Plošná hustota náboje σ (x, y, z) neusí být ve všech ístech povchu nabitého vodiù e stejná Møö ení bycho se ohli pö esvø dù it, že nejvø tší hustota náboje je na hanách a na hotech nabitého vodiù e, nejenší hustota (téøö nulová) je v dutinách, (ob 5)
V okolí hotû dochází k sšení náboje (sání elektü iny hote hoosvod) Elektický vít Výpoý et intenzity E elektostatického pole nabité vodivé koule Koule o poloþ u R nabitá náboje Q a veli vzdálená od okolních tþ les Plošná hustota bude (stejná kü ivost) Q σ = 4πR Intenzita elektostatického pole ve vzdálenosti od stü edu: Po < R (uvnitü ) E = Po = R (v tþ sné blízkosti povchu) podle Coulobovy vþ ty σ Q E = = ε 4πε R silo áy ají sþ noály k povchu (adiální pole) Po > R û žee velikost intenzity u it poocí Gaussovy vþ ty tok intenzity Φ e = ES = 4π, Q takže E 4π = ε Q a odtud E = 4πε Závþ : Elektické pole nabité vodivé koule ve vzdálenosti > R je stejné jako pole bodového náboje Q, kteý by byl uíst n upost ed 4 Výpo et velikosti intenzity elektostatického pole od náboje ozloženého na veli dlouhé válcové ploše s konstantní plošnou hustotou σ Poloþ nabité válcové plochy ozna íe R a využijee Gaussovu vþ tu po stanovení E ve vzdálenosti > R od osy válcové plochy (ob 6) Tok intenzity pláštþ válce Φ = = Eπv e ES pl Náboj Q uvnitü uzavü ené plochy je náboj na ásti nabité válcové plochy výšky v
Q = πrvσ Dosazení do Gaussovy v ty (4) obdžíe odtud πrvσ E πv = ε σr E = (4) ε Poznáka: Gaussova v ta platí i po pole stacionání i nestacionání a je i jednou ze ty základních Maxwellových ovnic popisujících elektoagnetické pole 6 POTENCIÁL ELEKTROSTATICKÉHO POLE Skalání veli ina, kteá souvisí s potenciální enegií náboje v elektostatické poli Páce p i p enášení náboje v elektostatické poli P sobí-li na náboj ko síly F = Q E sou asn vn jší síla = F = Q E, je výsledná F v síla p sobící na náboj Q ovna nule P i p eíst ní náboje Q podél oientovaného eleentu dáhy d l (ob 7) se vykoná páce da = F dl = Q E dl P i p eíst ní náboje Q z bodu M do N po k ivce l bude celková páce A dána dáhový integále N A = Q E dl (4) M Vn jší síla p i toto p eíst ní náboje Q z bodu M do N po k ivce l vykoná páci Ob páce se liší jen znaénke A v N = Q E dl (4) M Potenciální enegie náboje v elektostatické poli Náboje vzbuzující pole E a náboj Q lze považovat za soustavu, ve kteé p sobí vnit ní síly Síla F = QE je výslednicí vnit ních sil p sobící na náboj Q V této soustav lze zavést potenciální enegii W p dw = F dl = Q E dl (4) p v P i p eíst ní náboje Q v poli z bodu N do bodu M po k ivce l je páce vn jší síly dána vztahe (4), takže p í stek potenciální enegie náboje Q je M W p = WpM WpN = Q E dl (44) N
* *!!! & & & & Rovnice (44) u uje ozdíl potenciální enegie náboje Q v bodech M a N Potenciální enegie náboje je touto ovnicí u ena až na konstantu Tuto neu itost odstaníe volbou ísta nulové potenciální enegie (Zpavidla v, pakticky povch Ze ) Po N je W pn = potenciální enegie náboje Q v libovolné íst M elektostatického pole je funkcí ísta (polohy bodu M) v elektostatické poli M WpM = Q E dl = Q E dl (45) Potenciální enegie náboje Q je ovna páci, kteou vykoná vn jší síla p i p enesení tohoto náboje z nekone na do daného bodu M (nebo opa n ) M Potenciál elektostatického pole M W pm! ϕ M = = E dl = E dl (46) Q Potenciál elektostatického pole v bod M je: íseln oven potenciální enegii kladného jednotkového náboje v dané íst pole, íseln oven páci vykonané vn jší silou p i p enesení kladného jednotkového náboje z nekone na do daného bodu pole, íseln oven páci vykonané pole p i p enesení kladného jednotkového náboje z bodu pole do nekone na Potenciál je skalání veli" ina JC - = V (volt) Rozdíl potenciál# ϕ M - ϕ N nazýváe elektické nap$ tí U MN ezi bod M a N pole E M N WpM WpN U MN = ϕ ϕ N = = % E dl = % E dl (47) Q Q V hoogenní poli (E = konst) platí U MN = N N N % Edl α = E% dl cosα = E% d = M M M N cos Ed (48) d = dlcosα je velikost p# ' tu vektou posunutí do s' u E, d vzdálenost bod# M a N Páce A je p( ío ú' ná velikosti p( enášeného náboje a elektického nap' tí ezi body M a N N A = Q ) E dl = Q ϕ = M M ( ϕ M N ) Q U MN 4 Výpo+ et potenciálu elektostatických polí n, kteých soustav náboj- Po E( ) M (49) E = / žee potenciál vyjád it jako funkci sou adnic, tj ϕ = ϕ( x, y, z)
? pole bodového náboje Q (uíst ný v po átku), poloha bodu M je u ena polohový vektoe M (ob8) dosazení vztahu po dl = dl cosα = d Po dosazení E do vztahu 46 dostanee Q ϕ = dl 5, M 4 πε 5 6 M = 8 8 ϕ Q d d M = 4πε = πε 4πε M 4 M Q M (5) Poznáka: stejný výsledek platí po potenciál elektického pole vodivé koule o polo9 u R Je-li Q záponý poto potenciál je ovn9 ž záponý potenciál pole buzeného soustavou n bodových náboj: Q, Q, Q n ozíst9 ných v bodech,,, n Po potenciál v bod9 M u< ené M platí > n Q j? ϕ M = (5) 4πε j= M potenciál buzený náboje spojit@ ozložený s objeovou hustotou náboje ρ ( ) (ob 9) j
ZYXX [ [ K L G C M WV UU B ρ( ) dv ϕ M = (5) 4πε V M C Potenciál buzený náboje spojitd ozložený na ploše S s plošnou hustotou náboje σ ( ) F σ ( ) ds ϕ M = (5) 4πε S M G Potenciál buzený náboje spojith ozložený na ki ivce l s lineání hustotou náboje τ ( ) τ ( ) dl ϕ M = (54) 4πε l M L 5 Vztah ezi intenzitou a potenciále elektostatického pole dϕ je úplný difeenciál Vektoy E a d l ve složkách: dwp dϕ = = EM dl, (55) Q ϕ ϕ ϕ dϕ = dx + dy + dz x y z Po skalání sour in E = i E + je + ke d l = i dx + jdy + kdz x y z E dl = E x dx + E ydy + Ezdz dosazení do (55) a poovnání výazt na obou stanách ovnice ϕ ϕ ϕ E[ = i dx + j dy + k[ dz = gadϕ (56) x y z Gadient potenciálu vekto, jehož velikost se v každé bod\ elektostatického pole ovná axiálníu p] ít stku potenciálu p] ipadající na jednotkovou vzdálenost a á s\ axiálního T stu potenciálu Poznáka: znaénko ínus vyjad] uje, že s\ axiálního T stu potenciálu jde poti s\ u intenzity pole 6 Ekvipotenciální plochy Plocha, ve kteé á potenciál stejnou hodnotu Rovnice této plochy je ϕ ( x, y, z) = C kde C je konstantní hodnota potenciálu (bodový náboj soust] edné koule, hoogenní pole ovnob\ žné oviny kolé k silo^ áá) Vlastnosti ekvipotenciálních ploch: p] eíst\ ní náboje po ekvipotenciální ploše páce sil elektostatického pole = (viz49)
Z toho plyne, že α (úhel ezi vektoy E a dl) bude 9, tj E je kolý k ekvipotenciální ploše Elektické silo` áy jsou všude kolé na ekvipotenciální plochy Každý bode pochází jediná siloa áa (ekvipotenciální plochy se nikde nepotínají) Ekvipotenciální plochy v adiální poli jsou soustb edné kulové plochy Siloa áy jsou kolé k povchu nabitého vodia e c ve všech bodech povchu vodia e á elektický potenciál stejnou hodnotu ϕ S Uvnitb vodia e je E = a podle (56) i gadϕ = Z toho vyplývá, že elektický potenciál je v celé objeu vodi` e konstantní a je oven potenciálu na jeho povchu 7 Další vlastnosti elektostatického pole Páce, kteou vykoná elektostatické pole pb i pb enesení náboje Q po libovolné uzavb ené kb ivce l zpe t do poa átea ní polohy (M N) je oven Poto f E dl = (57) Tato pole nazýváe konzevativní nebo potenciálová Využití Stokesovy vh ty i E d S = l S ot Platí ot E = l Pole nevíové (58) 7 NENABITÝ VODI V ELEKTROSTATICKÉM POLI Kovové vodin e V kovových to lesech volné elektony (valenp ní elektony atoq ) Není-li to leso nabito, je náboj volných elektonq kopenzován zcela kladnýi ionty kystalové ížky kovu Kladné ionty jsou vázány na uzlové body kystalové íže a nepohybují se Pos et volných elektont u kovt : 64 9 Cu 9 volných elektonu (slupky, 8, 8 a ), M = 6,54 - kgol -, ρ Cu = 89 kg - ol látky obsahuje 6, atou pov et volných elektonu v Cu 6, 8,9 8 n = = 8,4 6,54 Celkový náboj volných elektonu v Cu je n e =, C (zcela kopenzován náboje kladných iontu ) Elektostatická indukce
Pw i vložení nenabitého vodix e do pole o intenzity E p{ sobí na nabité x ástice s náboje q síly F = } volné náboje (v kovech elektony) se budou pw eis~ ovat elektostatická qe indukce (ob ) Indukované náboje vytváw í vlastní pole o intenzity E i (oientovaná poti vny jšíu poli) Ustálený stav E E + E (59) = i = Pole indukovaných náboj na povchu vodi e uší uvnitƒ vodi e vn jší pole E (za cca - s) P vodn nenabité t leso se z ní v elektický dipól Poocí elektostatické indukce je ožné povád t nabíjení vodi ˆ (ob ) Elektostatické stín ní využívá skute nosti, že uvnitƒ vodi e (i s dutinou) je E = Potože uvnitƒ vodi e je E = je potenciál v celé objeu vodi e konstantní a je oven potenciálu na jeho povchu Povch vodi e je ekvipotenciální plochou silo áy elektostatického kole jsou kolé na povch vodi e (ob skládání adiálního pole s pole indukovaných náboj na vodi i K)
VodiŠ ve tvau tenké kovové desky (ob ) V d sledku elektostatické indukce se na stœ nách indukují náboje s plošnou hustotou + σ i, σ i Velikost intenzity elektostatického pole indukovaných náboj i σ i ε E = (vekto Ei á opaš nou oientaci k E ) Výsledná intenzita pole uvnit vodiš e usí být nula, takže E σ (6) i = σ i = ε E ε Poznáka: V MaxwellovŒ teoii koœ E zavádíe vekto elektické indukce D D = ε E (6) Z toho vyplývá, že D = σ [ C ] i 8 KAPACITA VODI KONDENZÁTORY T lesa zného tvau ají p i nabití stejný náboje zný potenciál (závisí na tvau, vzdálenosti okolních vodiš a na post edí, kteý jsou obklopena) Kapacita osaoceného vodiœ e Q = σ ds Potenciál ϕ v libovolné bodž N na povchu (podle 54) S S
ϕ S 4πε Ÿ S σds kde N je vzdálenost bodu N od eleentu plochy ds na povchu vodi e Zv tšení náboje n-kát Q = nq = nσds a také σ = nσ Potenciál na povchu vodi e S N, nσds σds ϕ S = = n = nϕ S 4πε πε S N 4 Celkový náboj na osaocené vodi i a potenciál na jeho povchu jsou p ío ú né veli iny Q = Cϕ (6) S Konstanta ú nosti C se nazývá kapacita osaoceného vodi e (ve vakuu je C funkcí geoetického tvau) Jednotka kapacity je F a platí F = C V - ( F je pª íliš velká jednotka) Používají se díl í jednotky: µf = -6 F, nf = -9 F, pf = - F Q C = (6) ϕ S Kapacita schopnost jíat elektický náboj Pª íklad: Kapacita osaocené koule o polo u R Q ϕ S =, Q = 4πε Rϕ S, poovnání s (6) C = 4πε R 4πε R Kapacitu F by usela ít koule o R = 7 k Kapacita soustavy dvou vodi«ˆ S N Kapacita osaoceného vodi e A nabitého náboje Q na potenciál ϕ A Q C = ϕ A V blízkosti nech je nenabitý vodi b (ob )
³ Potenciál elektostatického pole indukovaných náboj v íst A á opa né znaénko jako ϕ A, takže potenciál na povchu vodi e A je nyní ϕ A ( ϕ ± ϕ ) P² i stejné náboji Q se zv tšila kapacita C A Poznáka: Q Q C = = C A A ϕ A ϕ A uze ní vodi e B se ješt více sníží ϕ A a tí zv tší C A Bude-li tva vodi e B takový, že bude obklopovat vodi A, nebo bude-li v t sné blízkosti vodi e A, bude kapacita ješt v tší Sestava takových vodi se nazývá kondenzáto Kapacita kondenzáto Vodi A nabitý náboje Q, vodi B á náboj -Q (tok intenzity z kladn nabitého vodi e vstupuje celý do duhého vodi e) Poto kapacita kondenzátou nezávisí na okolních vodi ích Kapacita kondenzátou Q Q C = = ϕ A ϕ B U AB (65) a) deskový kondenzáto Náboj Q je ozložen s plošnou hustotou náboje σ, plocha desek S, vzdálenost desek je d Nap tí ezi deskai Q = σs U = Ed, kde σ E = takže ε σ U = d ε S Dosazení do (65) C = ε (66) d b) válcový kondenzáto Dv souosé válcové elektody (viz ob 4) s polo y R, R A A
¹ ¹ Pµ i dostate n dlouhých elektodách jsou silo áy kolé na osu kondenzátou Intenzita elektostatického pole na veli dlouhé válcové ploše σr E = ε Nap tí U ezi elektodai kondenzátou podle (48) R R σr d σr = E dl = = ln ε ε R R R U R Je-li délka kondenzátou l, pak náboj na vnitµ ní elektod Q = πr lσ Dosazení do (65) dostanee po kapacitu vztah πrlσ πε l C = = (67) σr R R ln ln ε R R Poznáka: je-li posto ezi deskai vypln n dielektike (izolante) pak C = ε C (68) Bezoz ná veli ina ε se nazývá elativní peitivita a chaakteizuje dané dielektiku 4 Spojování kondenzátoº a) Paalelní spojení kondenzáto» (po získání v tší kapacity než á kteýkoliv z kondenzáto¼ spojených) (ob 5) Celkový náboj Q je dán Q = Q + Q + Qn = CU + CU + + CnU (69) C = C + C + + C n (7)
b) Séiové spojení kondenzáto½ (ob 6) (použití - chcee-li vytvo¾ it kondenzáto na vyšší nap tí než je jenovité nap tí jednotlivých kondenzátoà ) P¾ i nap tí U se nabijí kondenzátoy stejný náboje Q (vnit¾ ní elektody se nabíjí elektostatickou indukcí) Q Q U = U + + U + + U n = + + (7) C C Cn = + + + (7) C C C C n Výsledná kapacita je vždy enší než nejenší kapacita zapojená v séii (celkové nap tí se ozd lilo a zenšilo se jejich elektické naáhání) 5 NÁ kteé typy kondenzáto½ Svitkové kondenzátoy Kondenzátoy s po nnou kapacitou (dolaâ ovací tiy) Elektolytické kondenzátoy Keaické kondenzátoy (velká kapacita p¾ i alých oz ech) Q 9 ELEKTROSTATICKÉ POLE V DIELEKTRIKU Elektický dipól ve vnã jší elektostatické poli Možnost popisu vlastností elekticky nevodivých látek (dielektik) a) Elektický dipól v hoogenní elektostatické poli: Pole o intenzit E vyvolává na náboje+q a -Q síly F + = QE a F = QE, kteé tvoç í dvojici sil (ob 7)
OtáÈ ivý úè inek této dvojice sil je chaakteizován oente dvojice sil M = l F = l QE = Ql E = p E, (7) kde p je elektický oent dipólu Po pë ípad, kdy p je souhlasnì oientované s E hovoë íe o stabilní poloze M = Po pë ípad, kdy p á opaè nou oientaci vzhlede k E ( p E ) je M =, ale poloha je labilní b) Elektický dipól v nehoogenní elektostatické poli (ob8): náboj -Q je v ístì o intenzitì Ea náboj +Q v ístì o intenzitì E Síly pñ sobící na dipól jsou F + = QE a F = QE Po E Ô E bude F Ô F+ Síly pñ sobí jednak: otáõ ivý úõ inke, chaakteizovaný oente M = p E, tanslaõ ní silou F (vtahuje dipól do íst o vø tší intenzitø pole) c) Elektický kvadupól útva složený ze 4 nábojù d) Elektické ultipóly obecnø jší útvay Poznáka: VýpoÚ et tanslaû ní síly: UÜ ení z enegetické bilance, neboý platí vztah F = gadw p Potenciální enegii dipólu uü íe jako souü et potenciálních enegií náboje +Q a -Q W p = Q( ϕ ), ϕ kde ϕ,ϕ jsou potenciály vnø jšího pole v ístech nábojù +Q a -Q Po kátký dipól: ϕ ϕ l gadϕ, takže = W p = Ql gadϕ = p gadϕ = p E Po tanslaá ní sílu: F gadw p = gad ( p E) Polaizace dielektika = (74) Dielektiku (nevodiá, izolant) za noálních podínek neobsahuje vã tší poá et volných nábojä Nabité á ástice v dielektiku jsou vázány na atoy nebo olekuly látky (nepå eisæ ují se) Polaizace dielektika odezva dielektika na på ítonost elektického pole Dielektika polání, nepolání Polání dielektika ají nenulový dipólový oent ( p a ) i bez på ítonosti vnã jšího pole Nepolání dielektika vyznaá ují se stå edovou souã ností a ají nulový dipólový oent ( p = )
ó ò Dielektika akoskopicky na povchu ají vázaný náboj (nelze ho od té lesa oddé lit Náboj z nabitých vodiê ë lze odvést na jiné vodiê e (volný náboj) a) Elektonová polaizace posunutí "té žišté " záponého náboje vzhlede k "té žišti" kladného náboje v atou ( p ) Defoace elektonových obalë sleduje zé ny E až a do kitoê të -5 Hz b) Iontová polaizace zé ní se elativní polohy iontë v olekulách dielektika Molekulová polaizace se uplatí uje i v polích o zé né kitoê tu do - Hz c) Oientaî ní polaizace pojevuje se u dielektik s poláníi olekulai (nenulový oent bez pï ítonosti pole) Elektické oenty se natoð í ve sé u pole Vekto elektické polaizace P : Popis polaizace dielektika akoskopicky pa V P = li V V, (75) Vekto elektické polaizace P se ovná elektickéu oentu objeové jednotky dielektika (jednotka C - ) Põ i popisu uvažuje, že všechny eleentání dipóly pa jsou stejn velké a stejn oientované Elektická polaizace je dána souø te všech oentù p v objeové jednotce dielektika P n p a n poû et olekul v objeové jednotce Jiné vyjádü ení fyzikálního význau P (ob9): a = (76) Posun kladných nábojþ pü i pÿ sobení pole o x, záponých nábojþ o vzdálenost l - x opaû ný s e Tí se v dielektiku vytvoü í eleentání dipóly s náboji q a -q posunutýi o l ve s u elektického pole Uvažuje v dané íst plošku ds, kolou ke s u posunutí elektických nábojÿ Pü i polaizaci pojdou plochou ds všechny kladné náboje, kteé byly od enší než x (poti s u pole) viz ob 9 Pü i polaizaci n eleentáních dipólÿ : kladný náboj dq p + = n q xds, záponý náboj (opaû n ) dq p + = n q( l x) ds ds ve vzdálenosti
Celkový náboj plochou ds : dq p = dq p+ + dq p = n q xds + nq ( l x) ds = nqlds Sou in q l je velikost st edního elektického oentu p a olekul dielektika dq p = n qlds = n pa xds (77) Podle (76) je n p = a P, takže dq P = p (78) ds Velikost vektou polaizace je ovna náboji, kteý p i polaizaci dielektika pošel jednotkovou plochou, kolou k vektou polaizace V p ípad, že ploška ds není kolá a její noála svíá s P úhel α, poto její p t do kolého s u á velikost Celkový náboj Q P ds = ds cosα Rovnice (77) á tva dq P = PdS cos α = P ds Q = P ds (79) P S Další úvaha k objasn ní fyzikálního význau P : ozd lení elektického náboje na elektodách deskového kondenzátou +σ a -σ, hoogenní elektostatické pole o intenzit E, ezi elektodai je dielektická deska o tlouš ce l (ob), vznik vázaného náboje na povchu desky σ P, + σ P, ze silo a vytvo íe tenkou tubici o plochách podstavy ds ds = ds Vázané náboje na t chto ploškách + dq = σ ds P a dq = σ PdS tvo í akoskopický dipól s elektický oente dp = dql = σ dsl, P = kde l je vekto u ující polohu náboje +dq vzhlede k náboji -dq Obje tohoto akoskopického dipólu je dv=dsl d p = vektoový sou et všech eleentáních dipól v objeu dv, poto V p a dp σ dsl P dv dsl l je jednotkový vekto ve s u l Velikost vektou polaizace P se ovná plošné hustot dielektika (je kolý ke s u vn jšího pole) p = = = σ Pl, (8) 4 Elektostatické pole v dielektiku Uvažuje situaci znázon nou na obázku (ob ) σ P vázaného náboje na povchu
% & & Vázané náboje vytvo í uvnit dielektika pole o intenzit E P, kteé á opa nou oientaci než intenzita E od volných náboj! na elektodách kondenzátou Intenzita výsledného elektostatického pole E v dielektiku E = E + E P (8) P íklad dielektické desky σ P EP = l (8) ε Použití ovnice (8) P = (8) E P ε výsledná intenzita pole v dielektiku P E = E (84) ε Intenzita E v dielektiku je enší než E ve vakuu Uvažuje dále "lineání dielektika" po n) ž p a = αe (85) α polaizovatelnost dielektika (konstanta po dané dielektiku) dosazení (85) do (76) dostanee P = n αe (86) použití (8), žee vyjád- it n α EP = E = κ ee, (87) ε kde konstanta α κ = n e ε (88)
4 se nazývá elektická susceptibilita dielektika (nezáponé bezoz/ né íslo) Výsledná intenzita E pole v lineání dielektiku s využití (8) vychází E = E κ E, odtud e e E E = + κ Konstanta + κ e = ε (89) se nazývá elativní peitivita dielektika a platí ε (bezoz/ né íslo) Intenzita elektostatického pole v dielektiku je E E =, (9) ε tedy je ε - kát enší než intenzita E pole od volných náboj6 ve vakuu Poznáka: ozdíl ezi elativní peitivitou plyn6 a vakua je iniální (nepatn7 se odlišují od ), poto je zanedbáváe 5 Síly ezi elektickýi náboji v dielektiku V plynech a kapalinách je situace jednodušší V pevné dielektiku ko7 elektických sil p6 sobí síly vyvolané defoací kystalové 8 ížky (izotopní dielektiku se v blízkosti ozhaní stává anizotopní) Uvažuje p8 ípad (ob ) vodivá koule K nabitá náboje +Q uíst7 ná v nekone9 né hoogenní izotopní dielektiku Na ozhaní dielektika a koule se objeví vázaný náboj -Q P, jehož pole se skládá s pole volného náboje +Q na vodivé kouli Pole volného náboje bude zeslabeno Intenzita elektostatického pole v bod7 u9 ené bude Q QP E = ; (9) 4 πε Podle (9) je intenzita pole v dielektiku E Q E = = (9) < ε 4πε ε < Poovnání obou ovnic dostanee po ú9 inný náboj Q Q QP = (9) ε
H J M V D J Ú= inný náboj v hoogenní, izotopní dielektiku je ε - kát enší než volný náboj Q Coulob> v zákon po dielektiku: QQ F = QE = (94) 4πε ε? je tedy nutné uvažovat ú= inný náboj, kteý je ε - kát enší než volný náboj Q Veli= ina = ε ε peitivita post@ edí (oza C - N - - ) (95) ε 6 ZobecnB ná Gaussova vb ta Vekto elektické indukce Uvažuje vodivé ta leso v dielektiku, nabité volný náboje Q Dojde k polaizaci dielektika a uzavc enou plochou S pojde náboj Q = P ds (96) P S UvnitF uzavf ené plochy bude vázaný náboj -Q P Celkový náboj (volný i vázaný) uvnitf plochy S bude Q - Q P a Gaussovu vg tu (4) je nutno pf epsat vetvau S E ds = ε ( Q ) Po vynásobení této ovnice ε a dosazení do (96) dostanee S Q P ε E ds = Q P ds a po úpavl ( E + P) ds = Q S S (97) ε (98) Na pavé stanl je celkový volný náboj Q (uvnito plochy S) Na levé stanl ovnice v závoce je vekto elektické indukce D = ε E + P (99) Vztah platí i po nehoogenní, po ípadnl anizotopní dielektika Po lineání dielektika D = ε E + ε ε E = ε ( + κ e ) E = ε ε E, tedy D = ε ε E () Obdobný zpr sobe jako byly zavedeny elektické silos áy a tok intenzity plochou definujee elektické indukt ní T áy a tok vektou elektické indukce Φ d plochou S (elektický induks ní tok) Φ d = S D ds () ZobecnW ná Gaussova vw ta v integální tvau dosazení (99) do (98) X D ds = Q () S Tok vektou elektické indukce libovolnou uzavz enou plochou S je oven celkovéu náboji Q, kteý je touto plochou obklopen Difeenciální tva zobecn[ né Gaussovy v\ ty div D = ρ, () kde ρ je hustota volného náboje v dané íst[ Poznáka:
d e d d Zobecn^ ná Gaussova v^ ta platí nejen po d^ je elektostatické, ale i po peiodicky nebo nepeiodicky po^ nná elektická pole a je poto jednou ze základních ovnic elektoagnetického pole 7 Elektostatické pole na ozhaní dvou dielektik Uvažuje ozhaní dvou dielektik chaakteizovaných ε, ε V obecné p_ ípad^ usíe vektoy chaakteizující pole ozložit na složky Zkoueje, jak se tyto složky ^ ní na ozhaní (viz ob ) E, D a n n t Dt E, Te` né složky: v blízkosti ozhaní uzav_ ená dáha tvau obdélníka ABCD Platí a E dl = ABCDA Rozepsaný integál podle jednotlivých úsekc uzav_ ené dáhy B C D A d E dl + E dl E dl E dl = A t n t n B C D Po p_ ípad situace v t^ sné blízkosti ozhaní (BC, DA ) se a 4 integál blíží k nule B D e E dl E dl = A t t C Po AB = CD vyplývá E t = E t (4)
o n o n n Velikost tef né složky intenzity elektostatického pole se na ozhaní dvou dielektik neg ní Podle () h žee tei né složky intenzity vyjádj it poocí tei ných složek elektické indukce D t Dt D t ε = a po úpavk = (5) ε ε ε ε Dt ε Velikost tef né složky vektou elektické indukce se na ozhaní dvou dielektik zg ní v pog u elativních peitivit Po noálové složky volíe válcovou plochu oientovanou kolo k ozhaní (základny S zasahují do obou dielektik) Podle Gaussovy zobecnk né vk ty l D ds = Integál ozepíšee (tok základnai a tok plochou pláštk ) S S D ds + DdS + D ds = n n Spl S U pvního integálu - znaená vstup induki ních i a dovnitj plochy, velikost S pl (duhý integál se blíží nule) Po úpavk S D ds + D ds = n n S odtud D n = Dn (6) Velikost noálové složky vektou elektické indukce se na ozhaní dvou dielektik nep ní Vyjádq ení noálové složky vektou E n ε En ε ε En ε = En ε a odtud = (7) En ε Velikost noálové složky vektou elektické intenzity se na ozhaní dvou dielektik p ní skoke a to v obácené pop u elektických peitivit Poznáka: V pq ípads, kdy elektické pole není kolé k ozhaní dvou dielektik, dochází k lou ε u ε ) elektických silot a i elektických indukt ních t a (ob po pq ípad 8 Anizotopní a nelineání dielektika V lineání izotopní dielektiku je vekto polaizace P pw ío úx ný intenzitx E P = ε E κ e, (8) kde elektická susceptibilita κ e nezávisí na intenzitx E Vektoy P, E a D ají poto v lineání dielektiku stejný sx Neizotopní dielektiku: závislost P na E se vyjadw uje složitx ji V libovolné soustavx x, y, z:
kde P, x, Py Pz a E x E y, Ez P P x y z = ε κ E = ε κ E x P = ε κ E x x + ε κ E + ε κ + ε κ E E y y y + ε κ E z + ε κ E + ε κ E, jsou velikosti vekto{ P, E a koeficienty κ ( i, j,,) se nazývají elektické susceptibility Z 9 koeficient{ je 6 nezávislých potože platí κ = ij κ ji z z, i, j = Poznáka: Pouze v tiklinické kystalogafické soustav} budou všechny elektické susceptibility { zné od nuly Po~ et elektických susceptibilit { zných od nuly se bude zenšovat s ostoucí syetií kystalu Elektické susceptibility jsou složkai syetického tenzou Lze nalézt soustavu sou adných os, kde se všechny nediagonální složky κ ( i, j,,) po i j ovnají nule Tyto osy se nazývají hlavní osy Poto = ε κ E, P = ε κ E P = ε κ E, Px x y y, z z i, j = kde κ, κ, κ se nazývají hlavníi susceptibilitai Obdobn} lze v anizotopní dielektiku vyjád it velikosti složek vektou elektické indukce D ovnicei D = ε ε E + ε ε E + ε ε E D D x y z = ε ε E = ε ε E x x x + ε ε E y + ε ε E y y z + ε ε E + ε ε E kde ε ( i, j,,) jsou složky dielektického tenzou Vektoy i, j = E, P, D v anizotopních dielektikách nejsou ovnob žné (ají { zné s} y) z z Po technické aplikace jsou význané kystalické látky s ε = 4 feoelektické látky tzv seignettoelektické Seignettova s{ l (vínan sodno-daselno-aonný NaKC 4 H 4 O 6 4H O), kyselý fosfoeƒ nan daselný (KH PO 4 ) a jeu p íbuzné látky Po výobu kondenzáto, v elektooptických a elektonických za ízeních á význa baiu titaniƒ itá keaika (BaTiO ) Feoelektické látky se vyzna ují doénovou stuktuou (oblasti s ovnob žnýi eleentáníi dipólovýi oenty) spontánnˆ polaizované P sobení vn jšího pole se doény oientují do s u pole (poto velké hodnoty ε ) Vlastnosti n kteých feoelektických látek Nelineání závislost P na E tzv hysteeze (zpožd ní), závislost ε na s u, teplot a kito tu (ob), p sobení elektického pole na iontové kystaly dochází p i polaizaci k defoaci kystalové Š ížky Elektostikce obácený piezoelektický jev (použití u geneáto ultazvuku a kystalových elektonických oscilátoech)
Vlastní piezoelektický jev (ob 4) echanický naáhání kystalu (tah, tlak, ohyb, apod) se objeví ezi defoovanýi plochai elektické nap tí Pojevuje se u látek s elekticky nesyetickou kystalovou buœ kou (nap baiu-titanová keaika, kž een SiO ) ENERGIE SOUSTAVY NÁBOJ A ELEKTROSTATICKÉHO POLE Potenciální enegie náboje Q v bod M W = Qϕ PM M P i buzení pole soustavou náboj v klidu je tato enegie jen ástí celkové potenciální enegie a) Enegie soustavy bodových náboj Po dvojici bodových náboj Q a Q ve vzdálenosti od sebe
Q ϕ = 4πε a potenciální enegie náboje Q v toto íst je Q W p = Qϕ = Q (9) 4 πε stejnou enegii bude ít náboj Q v poli náboje Q Q W p = Qϕ = Q () 4 πε Celková enegie soustavy dvou bodových náboj W p = ( Wp + Wp ) () Zobecn ní po soustavu n náboj n n Wp = Wpi = Qiϕ i, () i= i= kde ϕ i je potenciál elektostatického pole v íst náboje Q n Q j ϕ i = 4πε j= j i ji b) Enegie osaoceného nabitého vodi e P edstava postupného nabíjení vodiš e po nožstvích dq do koneš né hodnoty Q q Je-li vodiš nabit náboje q, je potenciál na jeho povchu ϕ = S, kde C je kapacita vodiš e C Páce vykonaná vn jší silou p i p eíst ní dq z nekoneš na na jeho povch q da = ϕ S dq = dq, C kteá se pojeví p í stke enegie dw = da Celková páce na nabití vodiš e náboje Q je ovna souš tu eleentáních pací, š ili Q Q Q A = Wp = da = qdq = C C Analogicky lze vztah vyjád it v zných tvaech Q Wp = = Cϕ S = Qϕ S () C c) Enegie nabitého kondenzátou Použití p edchozího postupu náboj dq je postupn p enášen z jedné desky na duhou Je-li kondenzáto nabit náboje q, je ezi elektodai nap tí U = q C a vn jší síla vykoná páci da = dqu = qdq C Celková páce na nabití kondenzátou náboje Q je ovna jeho enegii (enegii jeho pole)
A = W p = Q Q œ da = œ qdq = Q, C analogicky W Q = = CU = QU p C (4) Poznáka: Za nositele enegie žee spíše pokládat elektostatické pole, než saotné náboje d) Enegie elektostatického pole Vyjádž ení enegie elektického pole poocí vekto pole Potenciální enegie náboj na elektodách kondenzátou Wp = CU souvisí s existencí pole o stejné enegie We = CU Uvažuje po jednoduchost nabitý deskový kondenzáto s hoogenní pole S C = ε ε a U = E d d dostanee S We = ε ε E d = Eε ε ESd d SouŸ in Sd = V obje pole v kondenzátou a ε ε E = D Takže W e = EDV (5) V pž ípad anizotopního postž edí, kdy E a D neají stejný s W e = E DV (6) We VeliŸ ina we = = E D (7) V se nazývá hustota enegie elektostatického pole Znáe-li závislost hustoty enegie w e (x, y, z) na poloze, žee celkovou hodnotu enegie elektostatického pole stanovit W e = wedv = E DdV (8) V V Poznáka: K vytvo ení elektostatického pole je nutno odd lit od sebe kladné a záponé náboje a dosáhnout p evahy kladných náboj na jedno t lese a p evahy záponých na jiné t lese P ito je t eba p ekonávat p itažlivé síly ezi souhlasnýi náboji a vykonaná páce se pojeví jako enegie elektostatického pole Za ízení, kteýi toho dosahujee se nazývají elektostatické zdoje nebo geneátoy (nap Van de Gaaf v geneáto
STACIONÁRNÍ ELEKTRICKÉ POLE USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD VZNIK A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ELEKTRICKÉHO PROUDU Elektický poud a jeho duhy Uvažujee jevy související s uspoª ádaný pohybe elektického náboje Uspo«ádaný pohyb elekticky nabitých ástic nazýváe elektický poude T i duhy elektického poudu: a) Konduk ní poud Vzniká p sobení elektického pole ve vodi i na nositele náboje Podínka vzniku konduk ního poudu: E K udžení pole ve vodi i nutnost zdoje elektootoického nap± tí Význaný ú inek konduk ního poudu vznik Joulova tepla b) Konvek ní poud Vzniká p i pohybu nabitého akoskopického t² lesa (nap nabité kuli ky, pásu Van de Gaafova geneátou apod) Konvek ní poud neá tepelné ú inky c) Posuvný poud Vzniká v dielektiku p i asové z² n² polaizace dielektika Základní chaakteistiky elektického poudu Fyzikální veli ina elektický poud (poud) zavedení Uvažuje oientovanou plochu S, kteou pocházejí náboje P edpokládáe, že za t pojde v kladné s² u Qkl a v záponé s² u Qzap Celkový náboj Q za as t oientovanou plochou S Q = Qkl ( Qzap ) = Qkl + Qzap P³ ± ný poud Q I P = () t Okažitý poud po t Q dq I = li = () t t dt Poud I je skalání veli ina ( že být kladný nebo záponý) Po p ípad ustáleného (stacionáního) poudu je I P = I Q I = () t V soustav² SI je jednotkou poudu apé (A) základní jednotka definovaná na základ² agnetických ú ink elektického poudu Poznáky: Ze vztahu () vyplývá odvozená jednotka Coulob Ve vodi i s ustálený poude jsou náboje obou znaének ovno² n² ozložené a elektické pole v okolí vodi s poude žee zanedbat Vlive pohybu nabitých ástic vzniká v okolí vodi s poude pole agnetické S± poudu je histoicky zaveden jako s² pohybu kladných nositel náboj (tj od ísta s vyšší potenciále k ístu s nižší potenciále)
Ø V pµ ípad ustáleného poudu pochází p µ eze vodi¹ e velký náboj Q i pµ i alé napº tí, kteé na vodi¹ i udžuje zdoj (v elektostatice se nabil vodi¹ na velký potenciál i veli alý náboje) Mº¼» ící p» ístoje po ½µ ení ustáleného poudu jsou založeny na jiné pincipu (agnetické ú¹ inky poudu) než elektostatické pµ ístoje Hustota poudu Vystihuje na ozdíl od I ozložení poudu po ploše S Zavádí se vektoová veli¹ ina J hustota poudu Zvolíe v libovolné íst oientované plochy S eleentání plošku ds jejíž vekto d S = dsn Poud touto ploškou je di Po hustotu poudu J platí: di = J ds = JdS cosα, (4) kde α je úhel ezi vektoy ds a J Po velikost hustoty poudu vyplývá di di J = = ds cosα ds, (5) kde ds = ds cosα je velikost pã Ä tu eleentání plošky ds do oviny kolé k J Velikost hustoty poudu je Å íselnæ ovna velikosti poudu pocházejícího kolou plochou jednotkové velikosti Jednotkou je A - Souvislost hustoty poudu s veliç inai chaakteizujícíi uspoè ádaný pohyb nositelã poudu Rozložení náboje s objeovou hustotou náboje ρ = n q +, pocházející plochou ds ychlostí v + Za dobu dt pojdou všechny náboje ploškou ds z objeu dv = v+ dtds ( dq = ρ + v+ dtds ) Poud di ploškou ds podle () dq di = = ρ + v+ ds = ρ+ v+ ds dt Poovnání s ovnicí (5) dostanee po J J + = ρ + v+ = nqv+ obdobnou úvahou po záponí nabité Î ástice di = ρ v ds a po hustotu poudu J v = nq = ρ v Vekto J = ρ v á stejnou oientaci jako J + Z toho plyne: vekto hustoty poudu á vždy souhlasnou oientaci jako vekto ychlosti kladných nositeló poudu Bude-li poud di zpô soben souõ asnö pohybe + a nábojô poto J = J + + J = ρ + v+ + ρ v (6) Znáe-li hustotu poudu jako funkci ísta na uvažované ploše, pak pou I oientovanou plochou S I = J ds (7) S Poud I je toke vektou hustoty poudu J oientovanou plochou S
â Po J = konst a S je ovinná, pak I = J S cosα (8) V každé bodü postou, kteý pochází elektický poud lze stanovit vekto J a hovoý íe o poudové poli Poudové Þ áy vektoové ß áy tohoto pole Poudová tubice svazek poudových ß a 4 Rovnice kontinuity (spojitosti) poudu PÝ i stacionání poudu se nositelé poudu neohou nikde hoadit ani ztácet poudové ß áy jsou uzavý ené ký ivky (uzavíají se pý es zdoj EMN) Uzavà ená oientovaná plocha v poudové poli (ob ) Jednotkový vekto noály n oientujee ve syslu vnü jší noály V ístech, kde poudové ß áy vstupují dovnitý uzavý ené plochy J svíá s n úhel poud), v ístech kde vystupují z uzavý ã ené plochy J svíá s n úhel α 9 celkový poud libovolnou uzavý enou plochou je oven, I = ä J ds = S ( poud),, (9) což je Rovnice kontinuity stacionáního poudu Poocí Gaussovy (ateatické) væ ty ç divjdv = odtud div J = () V ovnice kontinuity stacionáního poudu v difeenciální tvau α 9 (+ Uvažuje jediný vodiê v izolující postë edí Jeho dvì a kolýi pí ë ezy S a S položíe uzavë enou oientovanou plochu S (ob ) S poud vstupuje, S poud vystupuje (jinde je poud oven nule izolant) Podle ovnice kontinuity platí î J ds = î J ds + î J ds = S S S
Podle (7) vyjadð uje integál pð es S poud I ñ pò ð eze vodió e S a integál pð es S poud I ô pò ð eze vodió e S tedy I + I, nebo I + I = a tedy I = I = põ i ustálené poudu potéká každý pö õ eze vodiø e poud stejné velikosti Z ovnice kontinuity odvodíe 5 Pvní Kichhoffù v zákon V uó ité ístú je vodivú spojeno n vodió ò ( n ) uzel S, S,, S n kolé pò ð ezy vodió ò stýkajících se v uzlu a položíe jii libovolnou uzavð enou plochu S (ob) Vodió i pocházejí poudy I,,, I I n Hustota poudu je nenulová jen ve vodió ích v ovnici kontinuity I = û J ds = se integál edukuje na souý et integálþ pÿ es její ý ásti S,,, S Sn S
což lze stu n vyjád it J ds = J ds + J ds + + J nds = S S S S n n I j j= = () Pvní Kichhoff v zákon: sou et všech poud stýkajících se v uzlu je oven nule S p ihlédnutí k vzájené oientaci vektou hustoty poudu J a vektou eleentu plochy ds žee poudy vyjád it poocí velikostí poud a dostáváe I + I I I + I, 4 n = tedy poudy p itékající do uzlu jsou záponé, poudy odtékající z uzlu jsou kladné OHM V ZÁKON A JEHO APLIKACE Oh v zákon v difeenciální tvau po hoogenní vodi Zdoj nap tí U vytvá í pole E st Na volné elektony s náboje q = e p sobí pole ve vodi i F = eest P sobení této síly získá elekton ychlost v (pohyb je bžd n ionty kystalové ížky) Sážkai ástic volných a vázaných vz stá vnit ní enegie vodi se zah ívá Makoskopicky žee neovno ný pohyb elekton nahadit pohybe ovno ný s p nou ychlostí v p Po lineání vodi e je tato p ná ychlost p ío ú ná v = k E, p e st E st kde konstanta k e se nazývá pohyblivost volných elekton v dané vodivé post edí Po et volných elekton v kovu n (n 8 v ) je ozložen v objeové jednotce s ρ = en, hustota poudu ve vodi i je pak ρ v = ( en )( k E = en k E J = p e st ) Veli ina γ = en ke závisí na ateiálu vodi e a jeho fyzikální stavu a nazývá se ná vodivost (konduktivita) J = γe st () Oh v zákon v difeenciální tvau (v dané íst lineáního vodi e je hustota poudu J p" ío ú# ná intenzit# E elektického pole v toto íst# st Závisí-li # ná vodivost na intenzit#, pak hustota poudu není p" ío ú# ná intenzit# takové vodi% e nazýváe nelineání e st Est a Oh& v zákon (v integální tvau) po úsek hoogenního vodi' e V elektické obvodu se stacionání poude uvažuje úsek vodi% e ezi body M a N (nepocházející zdoje) viz ob 4
/ Uvažuje konstantní p(*) ez S Mezi body M a N zdoj udžuje konstantní ozdíl potenciál( ϕ ϕ U, je-li ve vodi+ i E st = konst po nap- tí platí M N = U Odtud vyjád) íe E st = l velikost hustoty poudu ve vodi+ i I J = S N U = E/ dl = E/ dl = E l M st Výazy po E st a J dosadíe do Ohova zákona v difeenciální tvau a obdžíe I U = γ S l Odtud po úpav- U U I = =, l R () γ S kde l l R = = ρ γ S S (4) N st M je elektický odpo uvažovaného úseku vodi+ e, veli+ ina ρ = je ný odpo ateiálu vodi+ e γ Vztah () je Oh v zákon po úsek hoogenního vodi e Po R = konst (lineání vodi ) je poud I p ío ú ný nap- tí U na toto vodi+ i Jednotka odpou v SI soustav- je oh (Ω) Oh je odpo vodi+ e, jíž pochází poud A, jeli ezi konci tohoto vodi+ e nap- tí V P) evácená hodnota odpou R je elektická vodivost G, tj G = R Jednotkou vodivosti je jeden sieens (S) Platí S = Ω - = AV - st
Ekvivalentní tva Ohova zákona (), zapsaného poocí elektické vodivosti je I I = GU nebo U = G Jednotka 4 ného odpou ρ v SI jednotkách je Ω (ohet) M4 ný odpo závisí na duhu ateiálu vodi5 e a na jeho fyzikální stavu (teplot4 ) Typické hodnoty 4 ného odpou: -8 Ω až -7 Ω kovy, -6 Ω až 7 Ω polovodi5 e, 8 Ω až 9 Ω izolanty Hodnoty ovliv6 ují p7 í4 si, echanické a tepelné zpacování Poznáka: v technické paxi se obvykle p8*7 ez vodi5 e vyjad7 uje v a délka v, poto se používá jednotka 4 ného odpou Ω - Páce a výkon stacionáního elektického poudu Páce p7 i p7 eíst4 ní náboje Q z ísta o 8 zných potenciálech A ϕ = Q( ) QU = ϕ Uvedený vztah platí i po stacionání elektické pole E st, kteé ve vodi5 i vyvolává ustálený poud A = QU = UIt, což lze vyjád7 it poocí Ohova zákona U A = UIt = RI t = t (5) R Výkon elektického poudu ve vodi5 i je A U P = = UI = RI = (6) t R Jednotka výkonu v SI soustav4 je watt (W); W = Js - = VA (v paxi µw, W, kw, MW, GW) Jednotka páce v SI soustav4 je joule (J) P7 i odb4 u se 5 asto vyjad7 uje sou5 ine výkonu Pt Poto se páce vyjad7 uje ve wattsekundách (Ws) nebo násobcích (kws, Wh, kwh apod) P8 chode poudu vodi5 e se vodi5 zah7 ívá Vzniklé (Jouleovo) teplo ve vodi5 i U Q j = UIt = RI t = t (7) R tento vztah se nazývá Joul: v zákon (Objevil jej v oce 844 anglický fyzik JP Joule) Poznáka: Pozitivní paktický význa oh7 ev v odpoových pecích, topení, sušení apod, ozžhavená vlákna žáovek jako zdoj sv4 tla Negativní d8 sledky ztáty elektické enegie Nutnost zajišt4 ní odvodu tepla u 8 zných elektických spot7 ebi5;8 Spot7 ebi5 e cháníe nap7 tavnýi pojistkai 4 Závislost odpou na teplot< Odpo všech vodivých látek závisí na teplot4 Po kovy a v4 tšinu vodivých látek platí závislost
RQPP YXW ON LKJ IH G BA@@?> LKJ VU T IH G YXW VU T T T R = R e ==, (8) T T B kde R T je odpo vodic e pd i teplote T, R T odpo pd i teplote T, B je konstanta ateiálu vodic e, kteá á oze teploty (po kovy je záponá, po polovodic e kladná) Závislost odpou vodic e na teplote chaakteizujee tzvteplotní souf initele odpou α T, kteý se C íselne ovná ze ne odpou Ω pd i ze ne teploty o K, tedy drt α T = (9) RT dt RozE teplotního souc initele odpou α T je K - Stanovení souvislosti α T s konstantou B Povedee deivaci odpou R T podle T dr dt B = T T T = M M B RT e = RT B T T B Dosazení do (9) α T = () T Po D adu vodic;s je konstanta B alá a S žee poto vztah (8)zjednodušit, pokud ozdíl ( T T ) není pd íliš velký Rozvoj ocniny ve vztahu (8) podle vzoce x x x e x = + + + +!!! T T T T tedy RT = RT + B + = R B + T TT TT Pokud se T pz íliš neliší od T [ žee se v ozvoji oezit na pvní dva \ leny a ozna\ it sou\ in TT T Poto B = α T T a po dosazení do pz edchozího výazu dostanee po odpo vodi\ e R R [ ( T T T = T + α T )] () Rozdíl je stejný v absolutní i Celsiov] teplotní stupnici Obdobná závislost platí i po ] ný odpo ρ [ ( t t t = ρt + αt )] () Po kovy je teplotní sou\ initel odpou kladný ( - K - ) odpo kovového vodi\ e s teplotou oste Po uhlík, elektolyty a polovodi\ e α T ^,tj odpo s ostoucí teplotou se zenšuje
Gafické vyjád_ ení závislosti nap` tí U na poudu I pocházejícího vodia e (esp I na U) se nazývá voltapéová (apévoltová) chaakteistika daného vodia e Po lineání vodia (R = konst) p_ íka pocházející poa átke (ob5 a) U S` nice tg α = = R se ovná odpou R daného vodia e I Po nelineání vodia e (R konst) je závislost U na I složit` jší funkcí U = f(i) a voltapéovou chaakteistika je ua itá k_ ivka (ob 5 b) a c)) ua ujee `b_ ení Nelineaita c že být zpc sobena vnit_ ní stavbou látky, odpo c že záviset i na s` u poudu ve vodia i Supavodivost P_ i jisté kitické teplotd T K se zenší odpo vodia e té`b_ k nule 9 HKaeling Onnes (holadský fyzik) poved pokus na tuti (T K = 4, K), 9 Meissne a Ochsenfeld ukázali levitaci supavodie e (vn` jší agnetické pole je "vytlaa ované" ze supavodia e a uvnit_ je B = ) Dc ležitý paaete je i kitická agnetická indukce B K, kteá c že naušit supavodivý stav D` lení supavodia;c : Supavodif e typu jedná se v` tšinou o a isté kovy s jedinou hodnotou B K jejíž hodnota je nízká (supavodivý stav je ožné naušit slabý agnetický pole) Supavodif e typu dv` hodnoty B K ( Bk g Bk ) Vhodné po konstukci supavodivých elektoagnetc a veli silný agnetický pole Vysokoteplotní supavodif e keaické oxidy s T K od K do 5 K (LN 77 K) Vysv` tlení supavodivosti kvantov` echanický popis systéu elektonc ve vodia i (957 J Badeen, L N Coope aj R Schiffe) Dvojice elektonc s opaa n` oientovanýi spiny si nevy`bh ují enegii s ionty kystalové _ ížky kovu a poto se v ní ohou pohybovat té`b_ bez odpou 5 Spojování ezistoi Rezisto elektotechnická soua ástka, jejíž hlavní paaet je elektický odpo (dátové, vstvové, hotové apod)
Dvj ožnosti spojování séiové (za sebou), paalelní (vedle sebe) a) Séiové zapojení ezistok (za sebou) Rezistoy o odpoech R, R, Rn spojené séiovj výstupní svoka je spojená se vstupní svokou dalšího ezistou (ob 6) po pl ipojení ezisto ke zdoji napj tí U bude jii pocházet stejný poud I Napj tí na jednotlivých ezistoech U = R I, U = R I, U = n Rn I Sen tení dostanee celkové napj tí U U = U + U + + U n = ( R + R + + Rn ) I Po celkový odpo platí R = R + R + + R n () Dáe-li do poj u napj tí na jednotlivých ezistoech, vyjde U : U : : U n = R : R : : R n (4) Celkové napj tí se ozdj lí na jednotlivé ezistoy v pl íé poj u k jejich odpo Séiovj l azené ezistoy vytvál ejí do lip napo tí b) Paalelní zapojení ezistok (vedle sebe)
xwvv ut ss Vstupní svoky jsou spojeny do uzlu, výstupní do uzlu (ob 7) na všech ezistoech je stejné napq tí U, poudy stanovíe podle Ohova zákona U U U I =, I =,, I n = R R Rn Ozna íe-li R odpo celého obvodu ezi uzly a, pak podle Kichhoffova zákona platí I + I + I + + I n = Dosazení do této ovnice za jednotlivé poudy I = U + + + R R R n Ozna íe-li R odpo celého obvodu ezi uzly a, poto podle Ohova zákona je vodivost ovna Tedy I = = + + + (5) U R R R R n + G + Gn (6) G = G + Tedy výsledná vodivost je ovna sou tu vodivostí jednotlivých ezistoy Po poq poudy I : I : : I n = : : : = G : G : : Gn (7) R R R 6 Zdoj elektootoického napz tí Oh{ v zákon po uzav ený obvod Zdoj EMN udžuje na vodi ích p} ipojeného obvodu konstantní ozdíl potenciály nenulová intenzita stacionáního elektického pole E st n
ž š š Poudové áy se uzavíají p es zdoj EMN Elektické náboje se uvnit zdoje p esouvají poti s u elektických sil (síly neelektického p vodu echanické, cheické apod tzvvtištƒ né síly) Intenzita vtištƒ ných sil E i Na udžení elektického pole (elektického poudu) zdoj EMN koná páci na úko neelektické enegie (echanické, cheické apod) P edpokládeje galvanický lánek jako zdoj EMN (ob 8) a) Nezatížený zdoj EMN Zdoje nepochází poud Kladná svoka (A) á vyšší potenciál, záponá svoka (B) nižší potenciál ezi elektodai je elektické pole o intenzit E st Elektody jsou pono ené do vodivého post edí (elektolytu) kdyby nep sobily vtišt né síly, potenciály by se okažit vyovnaly Intenzita vtišt ných sil Ei je stejn velká, ale opa né oientace jako E st Výsledná intenzita uvnit zdoje E E st + E = = i Intenzita vn zdoje E = Est Uvažuje nyní uzav enou dáhu A-a-B-b-A z níž "a" pobíhá vnš zdoje ezi svokai A a B, ást "b" pobíhá vnit ke zdoje Cikulace E po této dáze E dl = Est dl + ( Est + Ei ) dl = U, A a B b A A a B B b A kde U je svokové nap tí nezatíženého zdoje (svokové nap tí napázdno) Jiné vyjád ení cikulace: E dl = Est dl + ( Est + Ei ) dl = Est dl + Ei dl A a B b A A a B B b A A ašœ B b Ašœ B b A = U, e
kde U e je elektootoické napÿ tí zdoje (vlive vtišt ných sil uvnit zdoje) Scheatická zna ka nezatíženého (ideálního zdoje EMN je na ob 9a b) Zatížený zdoj EMN Mezi elektodai je uvnit vodivé post edí, kteé klade pocházejícíu elektickéu poudu jistý odpo R i vnit ní odpo zdoje EMN Ideální zdoj EMN R i je veli alý nulový R i Po p ipojení vn jšího odpou R ke svoká zdoje, bude obvode pocházet poud I Tí vznikne na vnit ní odpou úbytek nap tí U i = IR i Na vn jší odpou bude nap tí U = IR, což je svokové napÿ tí zatíženého zdoje Musí platit U e = IR + IR i, (9) Vyjád íe z této ovnice poud I pocházející obvode U e I = () R + Ri c) Zkatovaný zdoj EMN Po R R je poud v obvodu oezen jen vnit ní odpoe zdoje a obvode potéká zkatový poud I zk i U I zk = () R i Tvdé zdoje napÿ tí (alý vnit ní odpo) I zk ádov stovky apé nutnost chánit je p ed poškození pojistkai nebo jisti i MŸ kké zdoje napÿ tí (velký vnit ní odpo) U d) Zat žovací chaakteistika zdoje závislost svokového nap tí U na odebíané poudu I U=f(I) Po svokové nap tí U = RI dostanee U = U e Ri I () lineání zdoj R i = konst nelineání zdoj R i konst
³²±± ³²±± µ Gafe je p íka, viz ob Sklon p íky závisí na vnit ní odpou zdoje R i, žee u«it hodnotu vnit ního odpou zdoje U = U e Ri I U = U e Ri I Po ode«tení obou ovnic a úpavª dostanee po vnit ní odpo U U R i = () I I e) Ú innost zdoje Ze dvou bod zatª žovací chaakteistiky ( U, I )( U I ) ást výkonu se spot ebuje na vnit ní odpou zdoje a zbývající «ást na vnª jší odpou Výkon P int spot ebovaný na vnit ní odpou zdoj zah ívá ztáty enegie Výkon P ext Ú«innost Po vnª jší výkon a celkový výkon Pcelk u«íe ze vztahu P = RI P P P int ext celk = R I i = RI = P P P celk int = R = R + P i ext R R + R U e R + R U e R + R ext η = = i i i,, U e = R + R R i R se ú«innost zdoje blíží, po ª kké zdoje η f) Optiální výkonové p izp sobení zát že zdoji EMN V nª kteých p ípadech (nap u zesilova«; výkonu) požadujee axiální P ext i
Hledáe exté funkce P ext = f (R) P ext = R U e R R + Ri R [ ] Dosazení a deivací ( ) Maxiální vn¹ jší výkon po = = U e R R i ( R + R ) i Úº innost je pouze 5% R = R i g) Spojování zdoj» EMN Séiové spojování záponá svoka se spojí s kladnou dalšího zdoje (ob) U e = U e + U e + + U en (4) Vnit¼ ní odpoy jsou zapojeny séiov½ R i = Ri + Ri + + Rin (5) Paalelní spojení ob jen po stejné zdoje (se stejný EMN) Výsledné EMN U e = U e Vnit¼ ní odpoy paaleln½ Ri Ri = n Spojení uožní odebíat n-kát v½ tší poud než z jednoho zdoje 7 Zdoj poudu
Ideální zdoj poudu nekone¾ n velký vnità ní odpo dodává I z = konst zna¾ ka ideálního zdoje ob a Reálný zdoj poudu jistý R i Náhadní schéa je paalelní kobinace ideálního zdoje poudu a vnità ního odpou R i (obb) a) nezatížený eálný zdoj (napázdno) Celý poud I z ideálního zdoje poudu potéká vnità ní odpoe R i Na vnità ní odpou je nap tí odpovídající U = R I i z (6) b) zatížený zdoj poudu PÀ ipojení zát že o odpou R se poud I z ozd lí do dvou paalelních v tví: I i potéká vnità ní odpoe R i, I pochází odpoe R Podle I Kichhoffova zákona usí platit I z = I i + I a podle (7) I R = Ii R i VyjádÀ ení I i a dosazení do duhé ovnice Ri I = I z R + Ri (7) Svokové nap tí zdoje poudu U = RI U RR i = RI = I z (8) R + Ri c) zkatovaný zdoj poudu
Po pá ípad, kdy R pá i zkatu bude pocházet zkatový poud I zk, kteý uâ íe z (7) po R Z (8) vyplývá I = I, U = (9) d) Ekvivalentní nahazení zdoje EMN zdoje poudu Lineání zdoj EMN U e a s R in Lineání zdoj poudu I z s vnitá ní odpoe R ip zk z Podínky, za nichž se poã y ezi poudy a napã tí v obvodu záã nou nezã ní Stavy napázdno: poovnání U = I R e U e = I z Rin Odtud vyplývají podínky po ekvivalentní náhadu zdoje EMN: U e R ip = R in, I z = (4) Rin Poznáka: použití pá i Á ešení elektických sítí z ip Ä EŠENÍ STEJNOSMÅ RNÝCH ELEKTRICKÝCH SÍTÍ Uzel ísto vodivého spojení alespoæ vodiâ;ç VÈ tev  ást obvodu spojující uzly (nepocházející dalšíi uzly) Jednoduchý uzavé ený obvod (uzavé ená syê ka vybaná z ozvã tvené sítã ) od jednoduchého uzavá eného obvodu se liší tí, že v Ç zných jejích vã tvích jsou obecnã Ç zné poudy Po uzavá ené syâ ky, libovolnã vybané z lineání ozvã tvené sítã platí II KichhoffÇ v zákon Duhý KichhoffË v zákon
Þ ã ã é Þ â ã á í à ã ì é Þ í ã î ê í Ý Ú ã é ì í ë ã ê í Þ â ã é á ì í ë à ã Ô í Þ â ã á à ã Þ â ã è ã VýbÌ z elektické sítì (ob 4) libovolné uzaví ené syî ky, napí ---4- -, oznaî ení sì Ï EMN, oznaî ení sì Ï poudu u ezistoï jiiž potékají, volby sì u postupu a výpoî et cikulace E po této syî ce platí Ñ E dl = a Ó EÔ dl = l st N M st U MN NapÕ tí U MN je kladné, když E st dl a záponé v p ípadõ E st dl a Ø žee je též vyjád it poocí Ohova zákona jako RI UpozonÕ ní: ve zdojích EMN je integál z intenzity vtištõ ných sil od elektody k + elektodõ oven U e Cikulace E kole syü ky + R I + Ù EÚ dl i = U e 4 ( E + E ) dl + E dl + E dl + ( Eß á + E ) E dl = E dl + ß à R I R I st st ± = n j= i ± R I Cikulaci E kole syü ky lze vyjádå it ještæ jiný zpç sobe l j j 4 st st st Eí dl = Est dl + Ei dl + Ei êdl = U e U e = ± U ej l j= î ë n i dl + = Levé stany pï edcházejících výazð jsou stejné, takže usí se ovnat i pavé stany, tj R I RI + RI ± = U e U e ± nebo ñ ± R I = ñ n j j j= j= n ± U ej (4) Rovnice (4) vyjadï uje II Kichhoffò v zákon: V uzavó ené syô ce libovolnõ vybané z elektické sítõ se algebaický souô et úbytkò napõ tí na jednotlivých ezistoech ovná algebaickéu souô tu všech elektootoických napõ tí ö ešení jednoduché elektické sít etodou postupného zjednodušování Jednoduchou síø s jední zdoje EMN ï ešíe postupný nahazování výslednýi odpoy séiovù ú i paalelnù ï azených ezistoð Následnù z U a celkového I vypoú ítáe poudy v jednotlivých vù tvích ö ešení elektických sítí užití Kichhoffových zákonû Analýza elektické sítõ pï i znáých hodnotách odpoð ezistoð a EMN zdojð a jejich popojeních vypoú ítat poudy pï es jednotlivé vù tve Elektická síø n uzlð, v vù tví (v nezávislých ovnic po stejný poú et poudð ) Podle I Kichhoffova zákona sestavíe u - nezávislých ovnic
podle II Kichhoffova zákona sestavíe zbytek Celkový poü et v - (u-) = v - u + ( 4) Je tedy tý eba ze sítþ vybat v - u + nezávislých uzavý ených syü ek Kosta sítÿ vþ tve sítþ a uzly v podobþ jednoduchých ü a (ob5a) Úplný sto neuzavý ená ü áa spojující všechny uzly (ob 5b) Nezávislé vþ tve nepat í do úplného stou poü et v - u + Do každé syü ky zaý adíe jednu nezávislou vþ tev, kteá ještþ nebyla použita v pý edchozích syü kách Postup ešení: sí : uzly ( u = ), 5 vþ tví (v = 5) (ob 6) Úkol: uü it 5 neznáých poud Podle I Kz = nezávislé ovnice Podle II Kz = ovnice (po vyznaü ené syü ky) a) vyznaü íe sþ y poud ve vþ tvích (libovolnþ ), b) uü íe tý i uzavý ené nezávislé syü ky a zvolíe sþ, kteý budee ve syü kách postupovat, c) Napíšee I Kz po uzly a : I + I + I = (4) I + I + I = 4 5
d) Napíšee II Kz po vyzna ené sy ky: R I + R I = U e R I + R I + R I = U 4 4 e4 R I + R I = U e U (44) 4 4 5 5 5 e4 e) ešíe soustavu 5 ovnic po 5 neznáých poud I I 5 e) Po ukon ení výpo tu opavíe s y poud, jejichž hodnoty vyšly záponé 4 V ta o náhadní zdoji nap tí (v ta Théveninova) N kdy pot ebujee znát jen poud v jedné v tvi a ostatní nás nezajíají Nahadíe celou elektickou sí vzhlede ke dv a uzl jední náhadní zdoje EMN Uvažuje sí na ob 7, ve kteé pot ebujee u it poud I jen ve v tvi ezi uzly a, jejíž odpo je R V ta o náhadní zdoji nap tí: a) Náhadní zdoj nap tí o vnit ní odpou R in a EMN U en b) Elektootoické nap tí U en náhadního zdoje je ovno nap tí ezi ozpojenýi uzly c) Vnit ní odpo R in náhadního zdoje EMN je oven odpou elektické sít ezi ozpojenýi uzly, nahadíe-li všechny zdoje spojkai nakátko (ob 7) znázon ní konkétního postupu p i u ení paaet náhadního zdoje (ob 8)
odpojení v tve ezi uzly a, stanovení (výpo te nebo ení) nap tí ezi uzly U U en = U EMN náhadního zdoje nap tí, nahazení všech zdoj EMN spojkai nakátko (siln vyzna ené), stanovení odpou sít ezi ozpojenýi uzly a (výpo te nebo ení) vnit ní odpo R náhadního zdoje nap tí in Zapojíe-li v síti ezi uzly a v tev o odpou R, platí po poud I U en I = (5) R + R in 6) ešení obvod s nelineáníi ezistoy a) Statický a dynaický (difeenciální) odpo nelineáního ezistou Elektické vlastnosti nelineáního ezistou nejlépe vystihuje jeho V-A chaakteistika (ob 9)
Statický odpo v dané bod V-A chaakteistiky U A ( RS ) A = = tgα, (5) I A v každé bod je jiná hodnota (R S ) A Nahazení ásti k ivky v okolí pacovního bodu p íkou (te na t ke k ivce ve zvolené pacovní bod ) Dynaický (difeenciální) odpo nelineáního ezistou (R d ) A U A du ( Rd ) A = =, (54) I di R = na vcholu V-A chaakteistiky, d R na vzestupné ásti V-A chaakteistiky, d R na sestupné ásti V-A chaakteistiky d P ípad Rd A A je nestabilní (p ipojení k dostate n tvdéu zdoji by poud neustále na! stal, dokud by nedošlo ke zni ení poto poud oezujee zapojení lineáního ezistou do séie s nelineání ezistoe) b) " ešení obvodu s paaleln# zapojenýi nelineáníi ezistoy Uvažuje dva nelineání ezistoy R * a R * zapojené paaleln a p ipojené ke zdoji o nap tí U (ob ) Nap tí je stejné, poud I se ozd lí na poudy I a I Podle I Kichhoffova zákona platí: I = I + I P i znáé V-A chaakteistice jednotlivých ezisto!, u íe výslednou V-A chaakteistiku gaficky (ob ) Tak! žee nahadit uvažované zapojení jediný nelineání ezistoe R * c) " ešení obvodu se séiov# zapojenýi nelineáníi ezistoy (ob ) Ob a ezistoy pochází stejný poud I, nap tí se ozd lí U=U + U
Výsledná V-A chaakteistika je nalezena se$ tení hodnot nap% tí na jednotlivých ezistoech & V-A chaakteistika celkového nelineáního ezistou R * d) Stanovení ustáleného stavu v obvodu se séiový zapojení lineáního a nelineáního ezistou Ustálený stav zjiš' ujee po p( ipojení této kobinace ke zdoji o U e (ob ) ) Vnit( ní odpo zdoje R i zahnujee do hodnoty R lineáního ezistou ešení: Stanovíe poud I po p( ipojení ke zdoji EMN Nap% tí U na lineání ezistou R a nap% tí na nelineání ezistou R * Výhodn% jší postup: Svoky a považujee za svoky zdoje o U e a vnit( ní odpou R Sestojíe zat% žovací chaakteistiku tohoto zdoje (pochází body I =, U = U e a I zk = U e /R, U = ) viz ob b Zakeslíe do soustavy os V-A chaakteistiku nelineáního ezistou U je jednak svokový nap% tí uvažovaného zdoje a nap% tí nelineáního ezistou * p+ se, ík P zat% žovací chaakteistiky s V-A chaakteistikou vyhovuje ob% a podínká Ustálený stav ode$ tee z gafu u$ íe poud I a nap% tí na lineání ezistou U a U na nelineání ezistou 4 M-/ ENÍ ZÁKLADNÍCH ELEKTRICKÝCH VELI IN M ení poudu a nap tí Využití agnetických ú4 ink5 elektického poudu Nejozší6 en7 jší systéy: depézské, elektoagnetické, elektonické 76 ící p6 ístoje s digitální indikací na displeji
M8:9 idla poudu apéety (iliapéety, ikoapéety apod), galvano; y (s citlivostí enší než -6 A) M8:9 idla nap8 tí voltety (ilivoltety, kilovoltety apod) M;< ící systé á vnit< ní odpo R i P< i p= chodu poudu I títo odpoe je na svokách ;< ícího systéu nap; tí U = R i I > lze tedy stejný systée ;< it i nap; tí (ocejchování stupnice) Základní poudový ozsah I zakl > poud egistovaný na poslední? íslované dílku stupnice Základní nap8@ ový ozsah U zakl > nap; tí na svokách ;< ícího systéu, kteé zp= sobí výchylku na poslední? íslované dílku stupnice Oba paaety spla ují Oh= v zákon U zakl = R i I zakl b) ZB na ozsahu BC icích pc ístojd Nutnost ;< it nap; tí a poudy v šiokých ozezích hodnot Z8 na 8:9 ícího ozsahu apéetu (ob a) Zv; tšení ozsahu n kát (I = ni zakl ), p< ipojení boe níku o odpou R b (paaleln; ), poud bo? níke (n )I zakl, poudy paaleln; zapojenýi ezistoy Rb I zakl =, Ri ( n ) I zakl odtud hodnota odpou bo? níku Ri Rb =, (55) n
ZF na ozsahu voltetu (ob b) ZvG tšení ozsahu n kát (U = nu zakl ), zapojení ph edh adného ezistou do séie s GI ící systée, napg tí na séiovg zapojených ezistoech jsou ve stejné pog u jako jejich odpoy R p ( n ) U zakl =, Ri U zakl odtud hodnota odpou pi edi adného ezistou R = ( n ), (56) P R i b) Zapojování JK ících pk ístojl do elektického obvodu PI i GI ení poudu ezistoe R s : apéet do séie VnitI ní odpo R A usí být co nejenší (aby nedošlo k podstatné zg ng poudu) Apéet nem žee pi ipojit pi ío ke svoká tvdého zdoje napg tí (zkatový poud by ho znin il) O oezení poudu v obvodu do séie zapojený spoti ebin e (ezistoe R S ), viz ob 4a MGI ení napg tí: voltet do paalelnf VnitI ní odpo voltetu R V usí být co nejvg tší (zapojený paalelng ) jinak se zenší celkový odpo GI ené N ásti obvodu a dojde k poklesu napg tí v této N ásti obvodu Elektonické voltety odpo MΩ Voltet lze pi ipojit pi ío ke svoká zdoje EMN c) TK ída pk esnosti JK idla Konstanta pk ístoje Nejistoty zpm sobené náhodnýi pi ín inai < nejistoty zpm sobené použití GI ícího pi ístoje TH ída ph esnosti vyznan ení v pavé dolní ohu stupnice nad znan kou poudu (,;,;,5;,;,5; 5,) PH ístoje noálové ti ída pi esnosti, nebo, slouží po kalibaci laboatoních a technických GI idel PI íklad: ti ída pi esnosti p =,5 (%) na ozsahu V O každá hodnota napg tí na toto ozsahu á absolutní nejistotu δu =,5 V Relativní nejistota po U = 5 V ±,5 V O 5 %, po U = 5 V ±,5 V O %
ObecnP : / výchylky stupnice Q elativní nejistota p %, /4 výchylky stupnice Q elativní nejistota 4p %, / výchylky stupnice Q elativní nejistota p %, z toho plyne: snažíe se PR it v duhé polovinp stupnice U digitálních PR idel (dnes nejbp žnp jší) bývá absolutní nejistota PR ených hodnot udávána výobce v technické dokuentaci Konstanta ps ístoje: na dané ozsahu udává hodnotu PR ené velit iny pr ipadající na jeden dílek stupnice Po 6 A pr i stupnici dílku je konstanta iliapéetu K 6 K = = 5A / dílek PR i PR ení odet ítáe PR ené hodnoty v dílcích stupnice a pozdp ji je vynásobíe konstantou pr ístoje (hodnoty v A) MVW ení odpox Základní etody (paktická cvit ení) a) PW íá etoda ZPR íe U R, I R a odpo R x ut íe z Ohova zákona VylouT ení soustavné chyby PR ení v úvahu beee vnitr ní odpoy PR idel Zapojení podle ob 5a Voltet V PR í napp tí U R pr ío na ezistou R x avšak apéet PR í celkový poud I ezistoe a voltete Poud voltete podle Ohova zákona U R I R = I RV MPR ený odpo U R U R Rx = = (57) I U R R I R V
Po I YZY V Zapojení je vhodné po I R R [Z[ X U R = R X I R V Zapojení podle ob 5b Apéete \] íe poud I R pocházející \] ený ezistoe avšak voltet V \] í celkové nap\ tí U na séiové kobinaci odpou apéetu a \] eného odpou Nap\ tí na \] ené ezistou je U R = U RAI R, hodnota odpou \] eného ezistoe vypo^ tee z Ohova zákona U R U RAI R RX = = (58) I I Po nap\ tí A U R Zapojení je vhodné po U _Z_ ` žee ^ len R A I R zanedbat R aza R A X R b) Substitub ní etoda cd ení odpoe Vychází z podínky: dvf a ezistoy pochází stejný poud I pg i stejné napf tí U na ezistoech v pg ípadf, že odpoy obou ezistoh jsou stejné, viz zapojení na ob 6 R Pg i konstantní napf tí zfg íe I fg ený ezistoe R X Pg epnutí pg epínai e P do polohy odpovídající zag azenéu R n (odpoová dekáda) Vyhledání takové hodnoty R n až obvode pochází stejný poud I jako v pg ípadf R X R X = R n c) Me stková etoda (Wheatstonee v e stek), ob 7 Pokud pochází galvanof e poud I G nevyvážený j stek Dosažení ovnováhy zf nou odpoh R nebo R, tedy I G = vyvážený j stek
Podle II Kichhoffova zákona platí po vyznak ené uzavl ené syk ky: I RX I R = tedy IR = X I R, vyd lení obou ovnic I Rn I R = tedy IR = n I R R R = X Rn R (59) Odpoy a n žee nahadit odpoový dáte s posuvný kontakte l Poto R = X Rn l Mn stkové etody jsou pl esné a používají se i po l ení kapacit a indukk ností v obvodech stl ídavého poudu Mop ení výkonu Poocí voltetu a apéetu P = UI Wattet po pl íá l ení (dv cívky: poudová a napq ová, kteé se ovlivs ují svýi agnetickýi poli) Poznáka: poudová cívka se zapojuje séiov a napq ová paaleln do obvodu 4 Regulace napo tí a poudu V pl ípad zdoje konstantního nap tí používáe po egulaci poudu a nap tí posuvných válcových ezistot (odpoová dát navinutý na keaické válci dv stejn oznak ené svoky) Jezdec posuvný kontakt vyvedený na tl etí odlišn oznak ené svoku Na štítku je uvedena: hodnota celkového odpou R, hodnota axiálního pl ípustného poudu I ax a) Do liu napo tí (potencioet), ob 8a Nap tí zdoje se ozd lí v po u odpou jednotlivých k ástí
U U = U + a U R = Do polohy "", kde U = uisv ujee jezdce pw ed zax átke yw ení V poloze "" je U = U Na ob 8b je zatížený dy lix napy tí spotw ebix e o odpou R S V toto pw ípady pochází spotw ebix e poud U I S RS U = a honí x ástí dy lix e poud R U U = + = + I I P I S R RS Celkový poud I usí být enší (axi oven) axiálníu poudu I ax Poznáka: Po R je egulace napy tí na spotw ebix i výazny nelineání R S zzz b) Reostat Zy na poudu v obvodu pw i konstantní napy tí zy nou odpou obvodu, viz ob9 V poloze "" (celý odpo R) pochází obvode nejenší poud I Celkový odpo obvodu R + R S U a poud I = R + R S Posune jezdce sy e k poloze "" poud zvyšujee Nejv{ tší hodnota poudu I po úplny vyw azený posuvný válcový ezisto U I = R S
5 TERMOELEKTRICKÉ JEVY Pásový odel pevných látek Výstupní páce elektonu z kovu Elektony v látce se nachází v poli kladných jade ato Elektony -e ají v toto poli záponou potenciální enegii W P = eϕ W W K } P tedy jejich celková enegie je záponá Elektony (feiony) jsou ~ ástice se spine / a tedy jejich enegie je kvantovaná (v osaocené atou tvo í diskétní enegetické hladiny) V pevné látce (inteakce více ato ) se tyto hladiny ozpadají do pás (velký po~ et veli blízkých hladin enegie), viz ob Elektony ve valen~ ní slupce ato jsou v elektické poli o v tší potenciálu (ají tedy potenciální enegii nižší než volné elektony, kteé se v kystalové ížce pohybují a zp sobují vodivost látky) Pásový diaga dielektik a polovodi~, ob a Enegie elektonvolt, ev =,6-9 J valen ní pás vyjad uje povolené hodnoty enegie valen~ ních elekton v atoech látky Volný elekton ƒ p echod z valen~ ního pásu p es zakázaný pás (nutná dostate~ ná enegie)do vodivostního pásu Ší ka zakázaného pásu: u dielektik veli šioká (více než ev) ƒ neobsazené hladiny ve vodivostní pásu a tedy látka nevede elektický poud, u polovodi ší ka kole ev ƒ za pokojové teploty jistá ~ ást elekton z valen~ ního pásu p echází do vodivostního a zp sobuje áste nou vodivost látky Pásový diaga u kov, ob b,c vodivostní pás navazuje (p ekývá se) s valen~ ní páse ƒ vodivost kov je veli dobá Zp sob obsazení hladin závisí na teplot látky U kov p i teplotách blízkých K se nejvyšší obsazená hladina ve vodivostní pásu ozna~ uje W F Feiho enegie Poznáka: u izolant a polovodi~ pochází hladina Feiho enegie W F st ede zakázaného pásu
Vn kovu je ϕ = a tedy i W P = Výstupní páce A V enegie potˆ ebná po uvoln ní volného elektonu ze systéu hladin (A V je dáno ozdíle enegií ezi hladinou W = a hladinou Feiho enegie W = W F R zné kovy ají zné hodnoty výstupní páce elekton z kov Š pˆ i dotyku t chto kov vzniká kontaktní potenciál Kontaktní ozdíl potenciál Elektony pˆ echázejí z kovu o enší A V do kovu s v tší A V Š kov s enší A V se nabíjí kladnœ a kov s v tší A V se nabíjí záponœ Rozdíl jejich potenciál se nazývá kontaktní ozdíl potenciál (kontaktní napœ tí) Konce 8 stol A Volta expeientáln sestavil následující ˆ adu kov : + Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd Každý kov v ˆ ad pˆ i dotyku s libovolný následující kove se nabíjí kladn (Ž í je v tší vzdálenost v této ˆ ad, tí je v tší kontaktní ozdíl potenciál ) Uvažuje ˆ adu kov A, B, C a D (ob a) Kovy se nabíjí na potenciály ϕ A ϕ B ϕ C ϕ D a jejich kontaktní nap tí U = ϕ ϕ, U BC = ϕ B ϕc, UCD = ϕ C ϕ D AB A B Kontaktní nap tí ezi pvní a poslední kove je U AD = U AB + U BC + U CD = ϕ A ϕ B + ϕ B ϕ C + ϕ C ϕ D = ϕ A ϕ D KN Závisí na ateiálu pvního a posledního kovu v ˆ ad a nezávisí na složení vnitˆ ních kov ˆ ady Uzavˆ ený obvod, ob b Celkové kontaktní nap tí U U = U AB + U BA = ϕ A ϕ B + ϕ B ϕ A = Sou et všech kontaktních napœ tí v uzav ené obvodu je oven nule v p ípadœ, že teplota T všech spoj je stejná ) Seebeck v jev Velikost kontaktního ozdílu potenciál závisí na teplot
V obvodu z kov A a B na ob a je jeden konec udžován na teplot T a duhý na teplot T > T ( AB ) T ( U BA ) T U obvode bude pocházet teoelektický poud (objevil Seebeck 8) Teoelektický poud v uzav ené obvodu je zp soben teoelektický nap tí U t (d sledke ozdílných teplot spoj velikost závisí na ateiálu a na T ezi spoji) P ibližn platí U t = ( a a ) T ( b b )( T ) A B + A B (6) Koeficienty a A, a B, b A, b B Seebeckovy koeficienty kovu A a kovu B Gafe této závislosti je paabola znázon ná na ob b Neutální teplotní ozdíl T n odpovídá vcholu paaboly, kde U t dosahuje axiu, sle je álo závislé na z nách teploty P i invezní teplotní ozdílu T i je U t ovno nule Další zvýšení ozdílu teplot se dosáhne z ny polaity U t Teo lánek za ízení po egula ní ú ely nebo k ení teploty (znáe-li p b h závislosti U t na T žee stanovit teplotu)v paxi se teo lánek ealizuje t ei dáty (kajní jsou ze stejného ateiálu), ob
Refeen ní spoj se udžuje na konstantní teplot C (s s vody a ledu) Mš ný spoj je v tepelné kontaktu s p ed te, jehož teplotu zjišœ ujee ) Peltié v jev Jedná se invezní Seebeckž v jev objevený JPeltiee 84 Za adíe-li do uzav eného obvodu složeného ze dvou kovž zdoj EMN U e, kteý v obvodu vyvolá poud I, zaÿ ne se jeden spoj zah ívat a duhý ochlazovat, ob 4(Vyvolá-li zdoj EMN poud stejného s u jako p i Seebeckov jevu, zaÿ ne se ochlazovat spoj, kteý l p i Seebeckov jevu vyšší teplotu) Peltieovo teplo Q P = pit p Peltiéž v koeficient Kontaktní nap tí v jedno spoji elektony uychluje (zah ívá se) v duhé bzdí (teplo se odníá ížce a spoj se ochlazuje) Peltieovy bateie spojení kovu s polovodiÿ e Ochlazované spoje jsou na jedné stan a zah ívané na duhé (chladí se) Lze dosáhnout snížení až o C od okolní teploty Peltieova bateie se napájí velký poude (až A) p i alé nap tí napájecího zdoje ) Thoson v jev W Thoson 85 zjistil, že p i vyvolání teplotního spádu na vodiÿ i jednoho duhu vznikne na koncích nepatné teoelektické nap tí (neá paktický význa) Elektické pole ve vodiÿ i E s uje od teplejšího konce ke studen jšíu st Intenzita vtišt ných sil E i vyvolaná teplotní spáde a zpž sobující p eíst ní elektonž á s opaÿ ný (ob5)
dt E i = ϑ gadt = ϑ, dl kde ϑ je Thoson v koeficient (kladný nebo záponý, po olovo nulový) Thosonovo teoelektické nap tí U T = T dt E dl = ϑ dl = ϑdt = ϑ( T i l l dl T T ) 6 VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V POLOVODI ÍCH M ný elektický odpo polovodi -6 Ω 8 Ω Silná závislost vodivosti polovodi na: teplot, osv tlení, istot látky, jiných fyzikálních faktoech Do skupiny polovodi pat í ada anoganických a oganických látek, Nejv tší paktické využití ají Se, PbS, CuO, Ge, Si, GaAs, CdTe atd Teoie polovodi po Si (Ge) Dva echanisy vodivosti: vlastní vodivost a nevlastní vodivost Vlastní polovodiª e Vlastní vodivostí se vyzna«ují všechny polovodi«e Nevlastní vodivost existuje jen u p í sových polovodi Vlastní polovodi«se p i K podobá izolantu (pázdný vodivostní pás) P i vyšších teplotách dochází k tepelné excitaci n± kteých ato² polovodi«e (elektony p ejdou z valen«ního do vodivostního pásu) Elekton usí z excitace (tepelné nebo jiné) získat enegii pot ebnou k p ekonání ší ky zakázaného pásu enegií (Ge,7 ev, Si, ev) Po«et uvoln± ných elekton² ychle oste s ostoucí teplotou ³ ± ný elektický odpo s ostoucí teplotou ychle klesá Día neobsazené ísto po elektonu ve valen«ní pásu (p esouvá se v elektické poli jako kladný náboj) Ve vlastní polovodi«i jsou nosi«i poudu elektony a díy (vznikají v páech) Ge a Si pvky ve 4 sloupci Mend± lejevova peiodického systéu ³ «ty ocné pvky (kystalizují v diaantové ížce ob 6a)
Kole každého atou jsou v postou syeticky ozíst né µ ty i atoy (ob 6b), se kteý je st edový ato vázán kovalentní vazbou Nevlastní polovodi e Nevlastní vodivost zabudování jiných ato s odlišný poµ te valenµ ních elekton do kystalové ížky Zabudování ocného atou (Al, B, In) do kystalové ížky se 4 ocnýi atoy (Si) ¹ vznik díy akcepto(ob 7) Polovodiº typu P v polovodiµ i dotované ocnýi atoy p evládá d» ová vodivost Nahazení atou Si 5 ocný atoe (As, P) ¹ vznik volného elektonu (vazební enegie jen,5 ev) dono Polovodiº typu N polovodiµ s p evládající elektonovou vodivostí Majoitní (ve v tšin ) a inoitní (enšinoví nositelé poudu opaµ ného znaénka) Jevy na p¼ echodu PN
Elektony p½ echázejí z íst o velké koncentaci do íst o nižší koncentaci, tedy z polovodi¾ e N do polovodi¾ e P, díy difundují z polovodi¾ e P do polovodi¾ e N (ϕ P < ϕ N ) na p½ echodu vznikne potenciálová p½ ehada, viz ob 8a) P½ ivedení nap tí na PN p½ echod: Záponý pól k P polovodi¾ i, kladný pól k N polovodi¾ i (ob 8b), ajoitní nositelé budou odpuzování od p½ echodu À ší½ ka potenciálové baiéy se ozší½ í vlive nap tí U zapojení v zává né sá u Kladný pól zdoje k P polovodi¾ i, záponý pól k N polovodi¾ i (ob 8c), potenciálová baiéa se sníží a zúží (ajoitní nositelé jsou odpuzováni s e k p½ echodu PN) zapojení pâ echodu v popustné sá u P½ echod PN á nesou nou vodivost záleží na polait p½ ipojeného zdoje nap tí (základ polovodi¾ ových diod) 4 Polovodià ové diody V-A chaakteistika, ob 9
V popustné sä u poud pochází po på ekonání potenciálové baiéy (Ge dioda, V až, V, Si dioda,65 V) Po každý typ diody výobce udává I ax v popustné sæ u (jinak på ehå átí a zniç ení) V závä né sä u alý závè ný poud tvoå ený inoitníi nosiç i PÅ ekoç ení U zavax dojde k lavinovitéu naé stání poudu (destuktivní pé az) Zeneova dioda speciálnæ zkonstuovaná dioda s alou šíå kou på echodu PN a nedestuktivní pé aze v závæ né sæ u (po snížení napæ tí se på echod vátí do pé vodního stavu) Ê stabilizace napè tí Využití diod: UsÄ Ë ování stì ídavých poudí využití nesyetické vodivosti polovodiç ových diod Plošné diody usæ næ ní væ tších poudé technických fekvencí (velká kapacita på echodu), hotové diody usæ næ ní alých poudé (alá kapacita på echodu), kapacitní diody (vaikapy) velikostí závæ ného napæ tí lze Å ídit šíå ku på echodu (kapacitu på echodu) Pacuje jako poæ nný kondenzáto Å ízený napæ tí, luiniscenî ní diody po indikaç ní a signalizaç ní úç ely (napæ tí vyvolá na på echodu eisi svæ tla), fotodiody svæ tlo dopadající na på echod vyvolá zvæ tšení napæ tí na på echodu PN Scheatické znaç ky jednotlivých typé polovodiç ových diod, ob 4 7 VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V ELEKTROLYTECH Elektolyty Elektolytická disociace a ekobinace Elektolyty oztoky vedoucí elektický poud vodiî e II tï ídy,
Schopnost ozpouštð del vytváñ et vodivé oztoky závisí na ε (vð tší ε Ò vð tší schopnost H O á ε = 8), Elektolytická disociace ozštð pení Ó ásti olekul na kladné a záponé ionty vlive pô sobení olekul ozpouštð dla RozpouštÐ ní heteopoláních látek (dva ionty opaó ných znaének), nenulový elektický dipólový oent olekul ozpouštð dla olekula +H O (ob 4a) Solváty ionty ozpuštð né látky obklopené olekulai ozpouštð dla, Hydáty totéž ve vodných oztocích (ob 4b), V elektické postñ edí se útvay pohybují jako celek (pñ ekonávají odpo postñ edí) Rekobinace iontõ spojování kladných a záponých iontô na neutální olekuly Po n olekul ozpuštð né látky v elektolytu a n disociovaných olekul v n stupeö disociace α = α (6) n poó et disociovaných olekul n a nedisociovaných olekul n n α n = n n = α, (6) n =, ( ) n poó et disociujících olekul olekul n n + = n = n, n za s v je úð ný poó tu dosud nedisociovaných d ( α ) nd = kdn, (6) poó et ekobinujících olekul dynaická ovnováha ezi disociací a ekobinací po úpavð n za s v je úð ný jak poó tu + tak - iontô (n ) n = kn α, (64) k ( α ) k n n α d = α α, k = n = konst kd n d = n n (65)
Je-li oztok koncentovaný n je velké a poto i výaz na levé stan usí být velký (α<<) v silnø koncentovaných oztocích je nízký stupeù disociace V slabø koncentovaných oztocích jsou téø:ú všechny olekuly ozpuštø né látky disociovány Koncentaci oztokû vyjadü ujee jako: hotnostní koncentaci (kg -, gl - ), olání koncentace (ol -, ol/l) Voda je slab disociována (obsahuje H + OH - ), koncentace vodíkových iontû [H + ]= -7 ph oztoku ph= -log[h + ], (66) U neutálních oztoký (napü voda) ph = 7, zásadité oztoky ph > 7, kyselé oztoky ph < 7 Vedení elektického poudu v elektolytu katoda (záponá elektoda) a anoda (kladná elektoda) v elektolytu Þ pole E st viz ob 4c náboj iontû ± q = ± ze, z ocenství iontu Elektické síly F e = ±zeest zpá sobí pohyb iontá záponé ionty (anionty), kladné ionty (kationty) Poti pohybu iontá -solvátá pá sobí síly odpou postâ edí F t (pâ íoúä nä ychlosti iontá ) Ustálený stav síly odpou postâ edí F t+ = k + vp+, F t = k vp Ustálený stav F F =, F F = e+ + t+ Po dosazení ze E k v =, st + p+ ze E k v = st p e + t Odtud pé ê né ychlosti pohybu kladných a záponých ionté : ze vë p+ = Est = u+ Est, k+ ze vì p = Est = u Est, k kde u + a u - jsou pohyblivosti ionté Hustotu poudu v elektolytu J = J + + J = n α ze( u+ + u ) E st = γest (67) tj Ohé v zákon v difeenciální tvau po elektolyty Elektolýza Pohyby iontî k elektodá Neutalizace iontï pð edání náboje elektodá,
Elektolýza vylouñ ení iontò na elektodách, cheická eakce s ateiále elektod, eakce s elektolyte Pó chod elektického poudu v elektolytu je zpostô edkován anionty a kationty Põ íklad : Vodný oztok kyseliny síové H SO 4 a Pt elektody, disociace SO -- 4 (anionty) a H + (kationty), Po põ ipojení na napö tí: kationty se neutalizují na katodö, anionty na anodö (cheicky eagují s vodou, s Pt neohou) K: H + e H A: (SO 4 -- + e + H O) H SO 4 + O Na katodö se vyluñ uje vodík, na anodö kyslík (v elektolytu ubývá olekul vody) elektolytický ozklad vody Põ íklad : vodný oztok odé skalice (CuSO 4 ), A Cu, K C), disociace Cu ++ a SO 4 -- Po põ ipojení napö tí: Cu ++ se neutalizují na katodö (vylouñ í se jako atoy ö di), SO 4 -- eagují s anodou (olekula CuSO 4 ) K: Cu ++ - e Cu, A: SO 4 + e + Cu CuSO 4 Möø ubývá na anodö a poñ et olekul odé skalice a ani olekul vody se neö ní Zaö níe-li Cu elektodu za C nebo Pt elektodu, ionty SO 4 -- neeagují s ateiály elektod, ale s vodou v okolí anody podle scheatu A: (SO 4 -- + e + H O) H SO 4 + O V elektolytu ubývá ö di a põ ibývá olekul kyseliny síové, jejíž olekuly disociují a dochází ovnö ž k elektolytickéu ozkladu vody 4 Faadayovy zákony elektolýzy Uvažuje jednu elektody (katodu), na kteé se põ i elektolýze za s vylouñ í p iontò látky Oznañ e z ocenství iontu, ze náboj iontu, hotnost iontu, M hotnost vylouñ ené látky za dobu t, I poud pocházející elektolyte Platí M = p t, I = zep Vydö lení obou ovnic a po úpavö po M M = It = AIt = AQ, (68) ze kde Q = It je celkový náboj pošlý elektolyte za ñ as t, A je elektocheický ekvivalent
= (69) ze A Jednotkou A je kgc - Faadayù v zákon elektolýzy hotnost vylouú ené látky je pû ío úü ná náboji, kteý pošel elektolyte Jiné vyjádý ení A ozšíý ení zloku Avogadovou konstantou (N A = 6, ol - ) N A M A = =, (7) N Aez Fz kde M je olání hotnost, F je Faadayova konstanta F= N A e = 9,64867 4 Col - (7) F vyjadý uje náboj, kteý by se vylouþ il jeden ol jednoocné látky Vyjádý ení Faadayova zákona (68) M M = It (7) Fz Pojde-li dvÿ a elektolyty pý i elektolýze týž náboj Q = It, pak podíl hotností vylouþ ených látek je M M Q M Fz z B = = = (7) M M M Q B Fz z B a B jsou kilovaly (kilogaekvivalenty) pý íslušných látek Faadayù v zákon hotnosti látek vylouú ených týž náboje jsou v poü u jejich kilovalù 5 Elektodový potenciál Pý i tanspotu iont ezi elektodou a elektolyte po þ ase nastane dynaická ovnováha poþ et iont pý icházejících z elektody do elektolytu bude stejný jako poþ et iont vacejících se zpÿ t na elektodu Elektoda se ozpouští kationty katody pý echází do elektolytu elektoda se nabíjí záponü pokud kationty pý echází z elektolytu na elektodu elektoda se nabíjí kladnü, Poznáka: echanizus závisí na cheické složení elektody, elektolytu, ozdíle potenciál Elektodový potenciál potenciál elektody vzhlede k elektolytu Standadní elektoda (napý vodíková) vzhlede k této elektodÿ ÿý íe potenciály ostatních elektod (standadní elektodové potenciály) Tabulka : Standadní elektodové potenciály zných kov Elektoda Standadní elektodový potenciál [V] Elektoda Standadní elektodový potenciál [V]
Li -,4 H, Al -,66 Cu +,4 Zn -,76 Ag +,8 Fe -,44 Hg +,8 Cd -,4 Au +,5 Ni -,5 Pt +,6 Pb -, O +,68 Skute nost, že elektody zných kov ají zný elektodový potenciál, uož uje konstukci galvanických lánk 6 Polaizace elektod Nastane tehdy, když p vodn stejné elektody (nap C) se stanou elektodai z zných ateiál Polaiza ní nap tí nap tí na ené ezi zpolaizovanýi elektodai Polaiza ní nap tí p i elektolýze p sobí poti nap tí p iloženého zdoje Aby elektolyte pocházel elektický poud, usí být nap tí p ipojeného zdoje v tší než polaiza ní nap tí ezi elektodai nep íznivý vliv u galvanických lánk, + zá né vyvolání polaizace elektod u akuuláto 7 Galvanické lánky a akuulátoy 8 století A Volta Volt v galvanický lánek Anoda Cu, katoda Zn ve vodné oztoku H SO 4 U e,5 V (odb e poudu dochází k polaizaci elektod, anoda se pokyje bublinkai H a na katod je O Polaizací elektod nap tí klesne té na Daniel v lánek potla ení polaizace elektod (Cu je v CuSO 4 vodné oztoku, Zn je v ZnSO 4 vodné oztoku) Elektolyty jsou odd lené polopopustnou vstvou popoušt jící jen ionty SO 4 -- P i zát ži Cu z elektolytu na Cu anodu, Zn z elektody do elektolytu (složení elektod se ne ní) Mono lánky a suché bateie úpavou Laclanchéova lánku ob 4 a Kladnou elektodu tvo í uhlíková ty inka Záponou elektodu Zn nádobka, elektolyt vodný oztok saliaku (NH 4 Cl) Zabán ní polaizace elektod buel a tuha EMN lánku =,5 V, Plochá bateie lánky séiov = 4,5 V Weston v noálový lánek U e,794 V ob 4 b
lánek je neklopný (nesí se poíchat tekutiny), M í se s ní v bezpoudové stavu (ax zatížení poude I = µa) Piání galvanické lánky elektocheické d je jsou v nich nevatné, Sekundání galvanické lánky akuulátoy Akuuláto využívají se v n vatné elektocheické d je, využívá se polaizace elektod (zá n se vytvá í p i nabíjení akuulátou) Olov ný akuuláto Dv soustavy Pb elektod Elektolyt H SO 4 (hustota,8 gc - ) Nabití akuulátou (+ na +, na ) p edepsaný poude (katoda se pokyje póovitý Pb, anoda PbO ) Sou asn dochází k ozkladu vody (vody ubývá, hustota elektolytu oste +, gc - ) U e je asi V (p i poklesu pod,85 je t eba ji nabít) Pb akuuláto á veli alý R i <, Ω ( že kátkodob dodat do obvodu velký poud statování autoobilu) P i zkatu však že zp sobit požá (oztavení vodi ) Ú innost Pb akuulátou je asi 8% Kapacita (náboj) akuulátou se udává v Ah (jak dlouho žee odebíat poud A) Alkalický oceloniklový akuuláto (NiFe) K Fe, A Ni, elektolyt vodný oztok % KOH + 5% LiOH U e =, V, p i stejné hotnosti á v tší kapacitu, x delší životnost, že po jistou dobu z stat nenabitý, á velký R i Další typy aku: NiCd, HgAg
8 VEDENÍ ELEKTRICKÉHO PROUDU V PLYNECH VÝBOJ V PLYNECH Výboj v plynu ozna ení po p chod elektického poudu plyne Za noálních podínek jsou isté plyny veli dobýi izolanty (vzduch obsahuje v c jen iont vznikajících vlive adioaktivního a kosického zá ení) Ioniza ní inidla u lé vytvo ení nositel poudu (zah átí, p sobení UV zá ení, RTG zá ení, adioaktivního zá ení apod) Nesaostatné vedení poudu v plynu vedení podín né p sobení vn jšího ioniza ního inidla Saostatné vedení poudu nositelé poudu vznikají v plynu vlive poces vyvolaných elektický pole Ionizace, ekobinace a neutalizace iont Na vedení poudu v plynu se podílí kladné a záponé ionty a volné elektony Ioniza ní enegie enegie W i pot ebná na odtžení elektonu z atou nebo olekuly Ioniza ní enegie se asto vyjad uje poocí eleentáního náboje e a ioniza ního potenciálu ϕ i W i = eϕ i, tedy ϕ i = (74) e Tabulka Pvní ioniza ní potenciály n kteých plyn Pvek ϕ i [V] Pvek ϕ i [V] H,6 Ne,56 He 4,56 K 4, O,6 Xe, A 5,76 Na 5,4 Kladn a zápon nabité ástice vznikají ve dvojicích (po et se ovná po tu ionizovaných ato nebo olekul) n + = n - = n, (75) n po et ionizovaných olekul v Rekobinace iont vytvo ení neutálního iontu nebo olekuly po setkání + a iontu nebo + iontu a elektonu P edpokládeje, že za dobu dt ubude ekobinací v dn pá iont dn = γ = dt koeficient ekobinace konstanta ú nosti γ dn sepaací po nných = γ dt n, integací = γ t + C n Intega ní konstanta je u ena z po áte ní podínky: po t = je po et + a iont n C = /n W i n+ n γ n, (76)
% n n = (77) + nγ t Rychlost úbytku iont se zvyšuje s ase a závisí na koeficientu ekobinace, kteý závisí zejéna na tlaku plynu (nízký tlak podloužení st ední volné dáhy iont snížení pavd podobnosti setkání) P sobení elektického pole jsou ionty uychlovány elektický pole a zkacuje se tak doba inteakce ezi ionty Rovnovážná koncentace iont! ( vzniká ni pá iont v za sekundu, zaniká ekobinací γ n pá iont po ustálený stav platí ni = γ n (78) Rovnovážná koncentace iont (bez elektického pole) n n = i (79) γ Neutalizace iont" úbytek iont p i výboji odevzdání náboje iont na elektodách Nesaostatný výboj v plynu Uvažuje elektody ve vzájené vzdálenosti d o ploše desek S s p iložený nap tí U Úbytek n j pá iont vlive neutalizace Na celé výbojové dáze ezi elektodai ubude Poud I pocházející plyne I = n Sde, j n j Sd pá iont I J odtud n j = = (8) Sde de V plynu nastává ionizace, ekobinace i neutalizace a po ustálený stav platí n = n + n, i j J po dosazení n n i = γ + (8) ed Zavedení pohyblivosti iont" u + a u - vyjád íe hustotu poudu J podobn jako u elektolyt J = en( u u )E (8) + + a) Nesaostatný výboj v slabé elektické poli Rychlost iont je alá ekobinace p evažuje nad neutalizací (zanedbáe duhý $ len v 8) % % Oh v zákon v difeenciální tvau J = e ni ( u+ + u ) E = γe γ (8) b) Nesaostatný výboj v silné elektické poli Rychlost iont& je elativn' velká alá pavd' podobnost ekobinace (γ je alé) zanedbáe pvní ( len v 8 J = n i ed (84)
Hustota nasyceného poudu J S nejv) tší hodnota hustoty poudu p* i dané p+ sobení ioniza, ního, inidla Závislost hustoty poudu J na intenzit) elektického pole E p* i p+ sobení daného ioniza, ního, inidla (ob4) Oblast platnost Ohova zákona, Oblast s ostoucí intenzitou E p* estává uplat- ování ekobinace iont+, Oblast oblast nasyceného poudu, Oblast 4 p* echod v saostatný výboj ionty v plynu vznikají p+ sobení elektického pole Saostatný výboj Ionizace náaze Ionizace náaze vznik iont+ p* i sážce elekton+ uychlených elektický pole s neutální atoe nebo olekulou kinetická enegie elektonu W k > W i, pokud W k < W i dostane se ato do vybuzeného stavu o enegiích W, W, < W i Kátká doba života -8 s a následný p* echod do základního stavu dopovázený vyzá* ení fotonu fotoionizace foton UV ionizuje další olekulu plynu, foton viditelného zá* ení = sv) telné efekty P* i dostate, n) velké nap) tí ezi elektodai p* echází nesaostatný výboj v saostatný (lavinovitá tvoba elekton+ ) Rovinou ve vzdálenosti x pojde za sekundu N elekton+ (x +dx N +dn) po dn platí dn = Nαdx α Townsend+ v koeficient Po integaci αx N = N e (85) po, et elekton+ oste exponenciáln) s ostoucí x αd Na anodu dopadne N a = N e (86) Plyne pochází poud αd I = en = en e a
Podínka po ustálený stav: N elekton/ eitovaných z katody vytvo í na dáze k anod za sekundu N a - N nových kladných iont/ p itahovaných katodou Po udžení saostatného výboje usí za sekundu vyvolat eisi N nových elekton/ z katody Podínka udžení saostatného výboje: β N a N = N, ( ) dosazení za N a β ( e αd ) = β koeficient po tu eitovaných elekton/ k po tu dopadajících kladných iont/ 4 Doutnavý výboj Nastává p i nízké tlaku a nap tí ádov V Pa povazcový výboj ezi ob a elektodai, 5 Pa ozší ení na celý p/ ez tubice, 7 Pa doutnavý výboj (ob44) Oblasti doutnavého výboje: Aston4 v tavý posto kinetická enegie elekton/ z katody nesta í na ionizaci ani na p evedení ato/ plynu do excitovaného stavu Svítící katodová vstva kinetická enegie elekton/ z katody sta í na p evedení ato/ plynu do excitovaného stavu, ale nedosta uje na ionizaci Cookes4 v tavý posto zna né uychlení elekton/ vysoký gadiente potenciálu 4 Doutnavé katodové sv5 tlo 5 Faaday4 v tavý posto 6 Anodový sloupec Poznáka: P i alé vzdálenosti anody od katody (doutnavky) svítí jen katodová svítící vstva Ve výbojkách po eklaní ú ely (velká vzdálenost) svítí anodový sloupec V zá ivkách pobíhá výboj ve s si agonu a tu6 ových pa, eitované zá ení obsahuje UV složku, kteá budí luiniscenci luinofou 7 bílé sv tlo
5 Obloukový výboj Vzniká ezi C nebo kovovýi elektodai p8 i nap9 tí U z > 5 V Vysoká teplota plazatu ezi elektodai 6 K a více Elektický oblouk á záponý difeenciální odpo R d,, (p8 i zvyšování poudu klesá nap9 tí a oblouk by se p8 eušil) Je nutné p8 ipojit stabiliza: ní odpo R > R d (ob 45) K udžení stabilní foy obloukového výboje je nutný iniální poud 5 A až A (po sva8 ování oblouke A až A) Obloukový výboj ; že pobíhat za noálních at tlak; i za z8 ed9 ného tlaku (n9 kolik Pa) i za vysokého tlaku ( do 8 ) Použití: p8 i sva8 ování, dnes již z8 ídka k osv9 tlení 6 Jiskový výboj V9 tšinou k n9 u dochází ve vzduch za at tlaku (p; az vzduchové vstvy po p8 eko: ení elektické pevnosti vzduchu E p = 6 V/) P< azné nap= tí U p nap9 tí ezi elektodai p8 i p8 eko: ení elektické pevnosti V p8 íod9 je jiskový výboje blesk (délka jisky až k, p;8 ez výbojového kanálu,4, doba tvání -4 s a okažitá hodnota poudu 5 A, nap9 tí ezi ísty, kde blesk vznikne až 8 V) V siln9 nehoogenní elektické poli (v okolí hot; ) je intenzita 8 ádov9 6 V/ a vzniká koonový výboj 9 ELEKTRICKÝ PROUD VE VAKUU Vakuu: nízké ( 5 Pa Pa), st8 ední ( Pa - Pa), vysoké ( - Pa -6 Pa), ultavysoké ( -6 Pa a én9 ) Vakuu je veli dobý izolante (neobsahuje té9 8 žádné nabité : ástice) P; chod elektického poudu vakue je ožný eisí elekton< z kov< Poud ve vakuu = poud konvek> ní (je ovliv? ován jen elektickýi a agnetickýi poli)
Výstupní páce A v enegie nutná k uvoln@ ní elektonu z kovu Duhy eise elektona z kovu: tepelná eise (teoeise), fotoeise (vyvolaná absopcí fotonu), sekundání eise (vyvolaná dopade ychlých elektona nebo ionta ), 4 autoeise neboli studená eise (vyvolaná silný elektický pole) Tepelná eise elektonb a její využití Katoda žhavená elektický poude: pc ío žhavená W vlákno zahc áté pocházející poude a eitující elektony, nepc ío žhavená ozžhavené vlákno odd@ lené izolad ní vstvou od váled ku pokytého oxide baia, thoia nebo stoncia (snížení A v ) Vakuová dioda PC i dostated n@ vysoké žhavicí nap@ tí U z se kole katody vytvoc í záponý postoový náboj (Eisí elektona se katoda nabíjí kladn@ a D ást elektona je tak pc itažena zp@ t na katodu) PC ipojení anodového nap@ tí U a ezi katodu a anodu (ϕ a > ϕ b ) jsou elektony pc itahovány k anod@ a anodový obvode pochází poud I a (ob46a) Závislost I a na U a vyjadc uje V-A chaakteistika vakuové diody (ob 46b): Oblast nábe hového poudu n@ kteé elektony pc ekonají (pc i alé anodové nap@ tí) záponý potenciál anody a poniknou na anodu Oblast postoového náboje elektony jsou anodou pc itahovány tí víc, D í je v@ tší anodové nap@ tí I a = ku a (88) Oblast nasyceného poudu zvyšování anodového nap@ tí oblak elektona kole katody zanikne (vyd epá se) Zvýšení hodnoty nasyceného poudu lze dosáhnout zv@ tšení pod tu eitovaných elektona (zv@ tšení teploty katody) RichadsonA v DushannA v vztah (závislost J s na T) J s = BT e Av kt, (89)
kde B eisní konstanta daného kovu, k Boltzannova konstanta, T absolutní teplota katody B po F zné kovy v ezích 5 6 5 AK - (zjištg no expeientálng ) Tioda Elektonka s th etí elektodou (H ížkou) ZG nou potenciálu H ížky se G ní anodový poud Dnes využití naph v obvodech vysílaif Teoeise se využívá stále v obazovkách, entgenkách, elektonových ikoskopech Obazovka osciloskopu s elektostatickou fokusací a vychylování (ob 47a) : žhavicí vlákno, katoda, WehneltF v válec (jeho potenciále se G ní poi et elektonf a tí jas stopy), 4 elektostatická J oj ka (ovlivk ování svazku elektonf potenciále anod a a a ) (ϕ > ϕ ), 5 vetikálng vychylující destii ky, 6 hoizontálng vychylující destii ky, 7 luinisceni ní stínítko V televizních obazovkách se svazek vychyluje agnetický pole Rentgenka SpeciálnG konstuované vakuové tubice s uychlovací napg tí vg tší jak kv (ob48a) 895 objev Röntgenova záh ení (X-ay) WCRöntgene
Kinetická enegie uychleného elektonu se zl ásti pm en ní na anodn na enegii entgenového zám ení a zl ásti na vnitm ní enegii anody (zvýšená teplota O nutnost chlazení) NapN tí ezi anodou a katodou je vysoké 5 V Po enegii fotonp tg zám ení platí c W f = hf = h, (9) λ kde h = 6,66-4 Js je Planckova konstanta, f fekvence zám ení, c ychlost svn tla, λ vlnová délka elektoagnetického zám ení Kinetická enegie uychleného elektonu ezi anodou a katodou W e = v = eu a (9) PM i pudké zabždn ní elektonu se celá kinetická enegie pm en ní v enegii fotonu entgenového zám ení (W f = W e ) Kátkovlnná ez entgenového záq ení c hc h = λ in eu a (9) Elekton je bždn n postupnn O bzdné entgenové záq ení, kteé á spojité spektu konl ící u λ in Chaakteistické záq ení L áové spektu (závisí na ateiálu anody) Tvdé entgenové záq ení tg zám ení o kátkých vlnových délkách (vn tší W) MR kké entgenové záq ení tg zám ení o delších vlnových délkách (enší W) "Tvdost" zám ení se nastavuje napn tí U a ezi anodou a katodou Využití tg zám ení v lékam ské diagnostice, pp yslové defektoskopii pm i hledání vad, stanovení stuktuy kystalických ateiálp apod Elektonové ikoskopy popis pozdn ji (ovnn ž využití agnetického pole)
Fotoeise elektons a její užití UvolnT ní elektonu z povchu kovu úv inke dopadajícího elektoagnetického záw ení vhodné vlnové délky Teoetické zdx vodny ní A Einsteine (Nobelova cena 9) SvT tlo á kvantovou povahu a šíw í se v kvantech o enegii W f = hf nazývaných fotony Einsteinova ovnice po vnt jší fotoefekt kde hf A + v v h je Planckova konstanta, f kitov et elektoagnetického záw ení (svt tla), A v výstupní páce, hotnost elektonu, v ychlost elektonu =, (9) Mezní fekvence f celá enegie fotonu se spotw ebuje na výstupní páci A v (elekton á nulovou ychlost) hf = A v, upavená fotoelektická ovnice hf = hf + v (94) V pw ípadt, že f dopadajícího svt tla < f fotoeise nenastane Vakuová fotonka skládá se z fotokatody FK a anody A (ob 49a) Fotonka po viditelnou oblast FK tvow í vstva s nízkou výstupní pací (Cs-Sb, CsO) Fotonka po UV oblast á baz ka okénko z kw eenného skla a FK tvow í vstvu s vt tší výstupní pací (Ni, Ag, W) Fotonásobi[ (ob49b) Optoelektonický pvek po egistaci slabých svt telných toku Spojení vakuové fotonky s násobiv e elektonu (V innost založena na sekundání eisi) Na V elní okénku je nanesena fotokatoda s alou výstupní pací Elektony jsou uychleny elektický pole na další elektody dynody
Dynody (po\ et 6 ) jsou pokyty látkou s alou výstupní pací ] každý dopadající elekton vyazí dalších až sekundáních elekton^ Postupný násobení po\ et elekton^ voste až 8 kát Poslední elektoda anoda zachycuje vynásobený svazek elekton^
l i i i k i i i j p o n g STACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Magnetické jevy znáé ze staov_ ku: agnetovec (agnetit, Fe O 4 ) Aistoteles Podle ineálu odvozeny názvy: Magnetické síly, agnetické pole 8 HCh Oested v okolí vodi` e potékaného poude existuje agnetické pole (da kaz agnetkou) RELATIVISTICKÉ TRANSFORMACE SÍLY ZÁKON BIOTb V SAVARTb V LAPLACEb V Uvažuje ineciální soustavu x, y, z v níž je pozoovatel v klidu (ob ) Soustava x, y,z se vac` i soustav_ x, y, z pohybuje ve s_ u osy x konstantní ychlostí v V íst_ u` ené v soustav_ x, y, z polohový vektoe se nachází náboj Q, kteý se pohybuje ve s_ u osy x ychlostí u V soustav_ x, y,z je uíst_ no v ose x dlouhé pf íé vlákno nabité náboje s lineání hustotou τ Pohyb nabitého vlákna ychlostí v vzhlede k pozoovateli pf edstavuje poud I = τv, náboj na eleentu vlákna dl považujee za bodový náboj dq = τdl V pf ípad_, že je náboj v klidu pa sobí elektostatickou silou df elstat dqq τdlq = g = 4πε πε 4 V pf ípad_, že se dq a Q vac` i pozoovateli pohybují (teoie ealtivity) tansfoace df elstat do soustavy pozoovatele Po v << c zjednodušený tva df c = dfelstat u qs + v df elstat agnetickásíla ()
ž ~ } ƒ Š Ž } ~ Š ~ y x w ~ Ž Š Ž ~ Ž Ž kot síly elektostatické tedy pu sobí ještt síla agnetická Úpavou Dosazení za {z d F} = u v df} elstat c d F dqq df~ = u v dfelstat u v c c ~ = 4πε dq = τdl a úpavou dq df = Qu v () c πε 4 cha ástice ˆ cha ag pole duhý Œ len chaakteizuje agnetické pole agnetická indukce B dq dl dl db = τ µ τ vž = v = v c 4πε 4πε c 4π ( ) ( ) Konstanta 7 = 4 c µ = π ε NA - peeabilita vakua Další úpavy: výpo et v v = i v, = i x + jy, tedy i j k v = v = kvy x y Pak µ τvkdly µ Ikdl sin β db = =, 4π 4π v kde τ v = I a = sin β Pon vadž k dl sin β = dl, lze psát µ Idl µ Idl d B = = () 4π 4π což je Biot v Savat v Laplace v zákon p íspš vek k agnetické indukci agnetického pole, kteý budí eleent poudovodi e dl v bodš u ené polohový vektoe ( d B dl, ) Jednotkou agnetickou indukce je tesla (T) Platí T = NA - - Magnetická indukce pole od tenkého vodi e µ dl B = I (4) 4π l Magnetickou sílu F p sobící na ástici s náboje Q pohybující se ychlostí u v agnetické poli vodi e s poude dostanee integací vztahu (), tj µ dl F = Qu I = Qu B (5) 4π P sobení elektického i agnetického pole na pohybující se ástici l
¾ ¹ ³ ² ¼» ºº ¾ µ F = QE + Qu B (6) Tato síla se nazývá Loentzova síla UŽITÍ LAPLACEOVA ZÁKONA K VÝPO TU MAGNETICKÉ INDUKCE MAGNETICKÉHO POLE R ZNÝCH VODI S PROUDEM Magnetická indukce od úseku p íého vodiª e s poude Usnadn«ní výpo tu p íý vodi s poude I je v ose x sou adné soustavy (x, y, z), ob Užití vztahu (4) vypo ítáe indukci v bod«p na ose y, p i kolé vzdálenosti od vodi e d Uvažuje úsek p íého vodi e od X do X Ve vzdálenosti X od po átku je eleent d l = i dl Polohový vekto = i X + jd Vektoový sou in d l = i dx ( i X + jd ) = kddx Po dosazení (4) a integaci µ B = Ikd ³ 4π X dx ( X + d ) X Zavedení substituce X d = cot gα, X = d cot gα, dx = α d α d sin Výpo et jenovatele integandu Po dosazení ( d ) cos α cos α sin α d X + = d + d = d = sin α sin α sin α µ I = ½ 4π d α ¹+ B¾ k ( sin α ) dα = k ( cosα cosα ) α µ I 4π d Vekto B je kolý na ovinu uà enou bode P a poudovodià e Lze nahadit jednotkový vekto k jednotkový vektoe t teã ny ke kužnici se stä ede na vodiã i (pocházející uvažovaný bode a ležící v ovinå vodiã e s poude)
Apéovo pavidlo pavé uky µ I B = tæ ( cosα cosα) (7) 4π d Magnetická indukce od kuhového závitu s poude Kuhový závit (R, stç ed v poè átku x, y, z) ležící v oviné (x, z) potékaný poude I UÈ ujee B v bodé P na ose závitu (z) vzdálené d od stç edu (ob) V bodé na závitu [ X, Z], zvole d l oientovaný ve sé u I Polohový vekto bodu P vzhlede k dl je = ( ) ( ) i X + jd kz = X + d + Z = R + d Eleent poudovodiî e d l = i dx + kdz Zavedee polání souð adnice X = R sin β Z = R cos β dx = R cos βdβ dz = R sin βdβ Vektoový souî in d l
ã Ò Ò Ò é Ú Ü Ú ã Ú Ú Û é Ò Ö Ý â Ó Ó Ó Ó Ó â ã Õ Ó Ý Ó Ó Ó â ã Ó Ô Þ Þ Ù Ø dl = R cos βdβ R sin β = i Rd sin βdβ + j i j d k R sin βdβ = R cos β ( R sin βdβ + R cos βdβ ) + krd cos βdβ Ò R dβ Dosazení do (4) a integací po délce závitu podle β od do π, tj π µ I B = i Rd Þåá sin Þæß βdβ + jr Þåá Þäß dβ + krd Þàá Ý cos Þàß βdβ 4π ( R + d ) Po B na ose kuhového závitu v bodè P IR B = j µ (9) ( R + d ) Po bod ležící ve stê edu závitu µ I B = j () R Magnetická indukce na ose jednovstvé cívky (solenoidu) Paaety solenoidu: l, N, R, I Osu cívky ztotožì ujee s osou x souê adného systéu (x, y) a poí ítáe agnetickou indukci B v bodè P na ose cívky v poí átku souê adného systéu (ob 4) π π π Využijee výsledek po kuhový závit (9) Ve vzdálenosti X od poí átku bude eleent cívky dx Na jednotku délky pê ipadá N/l závitï, takže na délce dx je poí et závitï N dx (beee jako jeden závit) l
û û ò ð ò ð ùø ú ñ öõ ôô ú Integací od X do X db = i µ µ IR N B = i l IR ( R + d ) X N l dx dx ( R + X ) X Po výpoó et zavedee substituci R X = R cot gα, dx = α α d sin Dále vypoó tee Po dosazení Po integaci Diskuse výsledký : po P uvnitþ : po P na okaji: cos α R R + X = R + = sin α sin α R α α µ IR N α µ IN B = i sin dα = i sin l R û l α α sin α ( α ) dα µ NI B = i ( cosα cosα ) () l α π, α π α π, α NI = i µ () l B B = i µ NI l polovi ní hodnota je zpý sobena ozptyle agnetického pole VLASTNOSTI MAGNETICKÉHO POLE Magnetické induk ní áy Ztván ní agnetického pole Magnetická induk ní áa je oientovaná postoová k ivka, jejíž souhlasn oientovaná te na v každé její bod á s vektou agnetické indukce (oientace poocí Apéova pavidla pavé uky) Magnetické áy jsou uzav ené k ivky D vod: neexistují z ídla agnetického pole "agnetické náboje" (v elektostatické poli elektické náboje) Ob 5 p íklady agnetických induk ních a po: a p íý dlouhý vodi s poude b kuhový závit s poude
c jednovstvá cívka s poude Magnetický induk ní tok Φ Magnetické induk ní áy nedávají infoaci o velikosti B Poto se zavádí úluva o po tu induk ních a pocházejících kolou jednotkovou plochou dφ = B ds Odtud dφ = BdS = BdS cosα, kde α je úhel, kteý svíá noála k eleentu plochy ds ve s u B Zavedení vektou eleentu plochy ds = nds lze psát BdS cos α = B ds Tedy dφ = B ds Magnetický tok celou plochou Φ = S B ds () je agnetický induk ní tok plochou S (tok vektou agnetické indukce plochou S) Jednotkou agnetického induk ního toku je webe ( Wb) [Φ ] = T = Wb Tok uzav enou plochou S (vstupující induk ní áa usí n kde z plochy vystoupit) B ds =, (4) S tedy agnetické induk ní áy jsou uzav ené k ivky Vyjád ení (4) v difeenciální tvau s využití Gaussovy ateatické v ty B ds = divbdv = S V
- - ; ;, ; Odtud div B = (5) Apé v zákon (zákon celkového poudu) U ení ú inku B po uzav! ené k! ivce l Dlouhý p! íý vodi potékaný poude I V ovin" kolé na vodi volíe libovolnou uzav! enou k! ivku l (vodi pochází plochou uzav! enou touto k! ivkou)viz ob 6 Na l volíe vektoový eleent dl jehož vzdálenost je dána p$ vodi e Eleentu p& ísluší vzhlede k vodi' i st& edový úhel dγ dl cosα dγ =, takže dl cos α = dγ, kde dl cosα je velikost p( ) tu eleentu dl do s) u kolého k (α úhel, kteý svíají B a d l Hodnota k& ivkového integálu,,, π µ I µ B dl = Bdl cosα = dγ = I dγ π π l l dl = µ I (6) l B což je Apé v zákon, kteý vyjad uje vlastnost agnetického pole = pole víové (není pole potenciálový a nelze zavést skalání potenciál) Zobecn ní Apéova zákona Po p ípad, že plochou pochází více vodi54 s poudy I, I, I n, bude po každý platit 6 dl = µ, Bk I k l kde B k je agnetická indukce od k tého vodi9 e s poude Magnetické pole spl: uje pincip supepozice n + B + + Bn = < Bk Bcelk k = B ; = ; l
E Q B C Q B M= žee psát? B dl =?A> B dl = >@? B dl = µ > OznaD ení Dostáváe n l l k= n k= I = I + I + + I = I k k n k k= l k= n celk n (celkový poud) F dl = µ (7) l B I celk ApéH v zákon (zákon celkového poudu) Bude-li pocházet poud I celk plochou S ohanii enou kj ivkou l s hustotou poudu J, pak I = L J ds celk, S tedy N B dl = µ N J ds l S Použití Stokesovy vp ty z vektoové analýzy S S ot B ds = µ J ds, odtud otb = µ J (8) 4 což je ApéT v zákon v difeenciální tvau I k 4 SÍLY PU SOBÍCÍ V MAGNETICKÉM POLI NA NABITÉ V ÁSTICE A VODIV E S PROUDEM Pohyb nabité W ástice v agnetické poli Na pohybující se náboj Q px sobí agnetická síla kde F = Qu B, F u je vekto ychlosti pohybu uvažované \ ástice, B agnetická indukce v íst^ \ ástice S^ vektou agnetické síly je u\ en vektoový sou\ ine neovlivní velikost ychlosti u) u B (kolá k u i B tedy Pohyb v p` ía né agnetické poli (kolo k indukb ní b aá), ob 7
Magnetická síla bude v každé bodc dáhy kolá ke sc u její ychlosti d síla doste edivá d pohyb po kužnici o poloc u u F = R Pf i pohybu v pf íg né agnetické poli je F = Q ub Dosazení Doba obc hu T po kužnici T nezávisí na u, u Q ub = odtud R u R = (9) Q B πr T = = π, () u Q B závisí na podílu Q h ný náboj i ástice a nepf ío úc nc B Pf ípad, kdy g ástice vstupuje do pole pod úhle α (ob 8): Vekto ychlosti u á složku u ve sl u agnetických induk ních a
u kolou na induko ní o áy Složka u nezpq sobí žádnou agnetickou sílu ( B = pohyb konstantní ychlostí Složka u zpq sobí, že F nutí o ástici pohybovat se po kužnici u R = Q B u ) s pt íoo aý ovnou ný Výsledná tajektoie je šoubovice s konstantní stoupání u h = ut = π () Q B Využití silového pw sobení agnetického pole na nabité x ástice: Televizní obazovka Elektonový ikoskop (ob 9) Hotnostní spektogaf, ob
Síla py sobící v agnetické poli na vodiz s poude P{ sobení agnetické síly na nosi e náboje, kteé se ve vodi i uspo} ádan~ pohybují U kov{ p{ sobení na volné elektony p} enos na celý vodi P} íklad p} íého vodi e s poude I v agnetické poli B n po et volných nosi 5{ náboje v jednotkové objeu, q náboj ástice, dl eleent vodi e, ds kolý p{ } ez vodi e, dv = S dl obje eleentu vodi e, dq náboj nosi 5{ v eleentu dq n Síla p{ sobící na náboj dq n qv p = J hustota poudu ve vodi i, J S = I poud ve vodi i, q dv = n q S dl = df = dqv p B = n qs dlv p B, Zavedení poudu I v podob vektoového eleentu dl oientovaného ve s u hustoty poudu J Pak df = S dlj B = Idl B () Z toho plyne, že síla p sobící v agnetické poli na eleent poudovodi e je kolá na tento eleent dl i na B Integací dostanee sílu na celou délku vodi e F = I dl B () F = Il B, velikost této síly F = IlB sin α, kde α úhel, kteý svíá vodiž se s e agnetických indukž ních Ž a Po: α = na vodiž nep sobí síla, α = 9 síla je axiální l S síly p sobící na p íý vodiž s poude v hoogenní agnetické poli už íe Fleingový pavidle levé uky (psty s poudu, agn indukž ní Ž áy do dlan, vztyž ený palec s síly F Závit s poude v agnetické poli Magnetický oent Uvažuje obdélníkový závit podle ob Na stanu l a l p sobí agnetické síly F a F (leží v p íce, v ose otá ení závitu) jejich výslednice i oent jsou nulové Na stany l a l pœ sobí agnetické síly F a F (tvoÿ í dvojici sil) Tyto síly se snaží závit oto it tak, aby vekto plochy závitu S zaujal s B
= F Il B aeno dvojice uvažovaných sil je l Moent dvojice sil je M = l F = Il l B Vektoový sou in takže l l = S vekto plochy závitu, M = IS B (5) Apéª v agnetický oent A = IS (6) Takže po oent dvojice sil p sobících na závit s poude v agnetické poli M = A B (7) Jednotkou Apéova agnetického oentu A Coulobª v agnetický oent C = µ IS (8) Jednotkou je kg s - A - = T= Wb Nenulový agnetický oent á každý zdoj agnetického pole Platí to i po atoy a olekuly a eleentání ástice Stabilní poloze ( A á s± shodný s B ) odpovídá iniu agnetické enegie dané skalání sou³ ine
W = B (9) A Paktické využití u elektootoµ nebo u depézských ících p ístojµ 4 Vzájené silové p¹ sobení vodiº»¹ s poudy Uvažuje dlouhé p íé vodi¼ e ve vzájené vzdálenosti d, potékané poudy I a I (ob a) Pvní vodi¼ v íst duhého vodi¼ e vyvolá agnetické pole o agnetické indukci µ I B = k π d Na délku l = i l duhého vodi¼ e bude pµ sobit síla µ II µ II F = I l B = [ i ( k )] l = j l () π d π d ObdobnÀ duhý vodiá v ístà pvního vodiá e vyvolá agnetické pole o agnetické indukci µ I B = k π d Na délku l = i l pvního vodiá e bude pä sobit síla µ II µ II F = Il B = [ i k ] l = j l () π d π d ObÀ síly ají stejnou velikost ale opaá nou oientaci Æ vodiç e se pè itahují (SÉ y obou sil je ožné uê it Fleingový pavidle levé uky V pë ípadé, že poudy I a I ve vodiê ích budou ít nesouhlasný sé (ob b), zé ní síly F, F svou oientaci a vodiç e se budou odpuzovat Definice jednotky elektického poudu A v SI soustavé jednotek Jeden apé je poud, kteý pë i stálé pî toku dvé a ovnobé žnýi, pë íýi, nekoneê né dlouhýi vodiê i, zanedbatelného pî Ë ezu, uísté nýi ve vakuu, ve vzájené vzdálenosti, vyvolá ezi vodiê i sílu -7 N na jeden et délky vodiê e
ß ã ZaÏ ízení po paktickou aplikaci této definice se neealizuje poocí dlouhých pï íých vodið5ñ, ale poocí válcových cívek (solenoidñ ), z nichž jedna je pevná a duhá je zavò šena na vahadle pï esných analytických vah Apéovy váhy (chyba je Ï ádovò ikoapéy) 5 HallÓ v jev 879 E H Hall objevil jeden z nejznáò jších galvanoagnetických jevô Vznik Hallova napò tí U H na ploché vodið i ve sò u kolé ke sò u poudu I i ke sò u agnetického pole, do kteého je vodið vložen, ob 4 Hallovo napò tí je zpñ sobeno silai, pñ sobícíi na pohybující se nosið e náboje ve vodið i Poud je tvoï en uspoï ádaný pohybe Ð ástic s náboje q, kteé se pohybují pñ Ò nou ychlostí v p ve sò u poudu, pak v agnetické poli o indukci B na nò pñ sobí síla F = q v B p Tato síla zpø sobí vù tší koncentaci nosiú5ø poudu u stù ny S (+), zatíco stù na S ( )Û vznik elektického pole o intenzitù E a na nosiú e náboje bude souú asnù pø sobit síla elektická Po ustálený stav Po pà ípad H Fe qe H = Fe = F q EH = qeh = q v p B v p B bude velikost intenzity vyjádà ené Hallový napâ tí U H U E = H H d, po dosazení do pà edešlých ovnic U H = v pb U H = dv pb d Po n volných nosiä5å náboje v jednotkové objeu vodiä e je velikost hustoty poudu ve vodiä i = n q v Odtud J p J v p = n, q
takže U H dbj = dv pb = djb = B n q n q b db = S kolý pæ ç ez vodiè e, tedy dbj = S J = I je velikost poudu vodiè e Konstanta = R H () n q Hallova konstanta (nepç ío úé ná koncentaci volných nosiè5æ náboje n q po Hallovo napé tí platí vztah I U = H RH B b () Poznáka: U polovodiè5æ je n alé (opoti kovæ ) ê R H je velká a poto se Hallæ v jev na polovodiè ích dobç e é ç í U kovæ se Hallæ v jev é ç í obtížné je nutné použít tenké vzoky a citlivé é ç iè e napé tí Ze vztahu () vyplývá, že po danou vodivou nebo polovodivou destiè ku a konstantní poud I je U H pç ío úé né velikosti agnetické indukce B Lze tedy stupnici voltetu ocejchovat v jednotkách agnetické indukce a dostanee pç ístoj zvaný teslaet 5 MAGNETICKÉ POLE V LÁTKOVÉM PROSTë EDÍ Intenzita agnetického pole Po vektoový popis agnetického pole jsou zavedeny vektoy: B agnetická indukce, H intenzita agnetického pole Z fyzikálního hlediska ají obdobný význa E a B (nikoliv B a D ) poocí nichž vyjadï ujee síly pð sobící v elektických a agnetických polích na elektické náboje (viz vztah po Loentzovu sílu) Ve vakuu je intenzita agnetického pole definovaná vztahe B H = (4) ñ µ Význa této veliò iny vynikne zejéna pï i studiu agnetického pole v látkové postï edí po intenzitu agnetického pole v dutinó solenoidu dostanee NI H = i (5) l Z tohoto vztahu vyplývá jednotka po H apé na et ( A - ) Obdobnó jako byly definovány agnetické indukò ní ò áy, lze po názoné zobazení vektoového pole intenzity H definovat obdobné kï ivky agnetické siloõ áy (oientované postoové kï ivky, jejíž souhlasnó oientovaná teò na v kteékoliv její bodó á só vektou intenzity agnetického pole H Vliv látkového post edí na agnetické pole
Každá látka je schopna se ve vnø jší agnetické poli agnetizovat, tj získat nenulový akoskopický agnetický oent, ù íž se stává zdoje agnetického pole o agnetické indukci B i B i se skládá s agnetický pole B od vodiù5ü s poude B = B + (6) B i Pvní vysvø tlení podal Apé existence uzavþ ených poudü v látce Hypotéza olekuláních poudÿ agnetický stav látky se zachovává i pþ i dø lení na enší ù ástice Pohybe elektonü kole jade atoü vznikají v olekulách kuhové elektické poudy, kteé jsou zdoje agnetického pole a pþ ísluší ji uù itý agnetický oent ai (Apé v agnetický oent atou nebo olekuly) Bez vn jšího pole jsou tyto oenty oientovány chaoticky B i = a výsledný agnetický oent akoskopického objeu V je oven nule = = i ai V P sobení vn jšího agnetického pole se agnetické oenty olekul ai oientují do jednoho s u a výsledný agnetický oent je nenulový a agnetické pole Bi Podle sou asných p edstav je agnetický oent ato dán vektoový sou te obitálních a spinových agnetických oent elekton v elektonových obalech ato (kvantová fyzika) Apéova p edstava se stále používá po popis agnetického pole v látce Magnetická polaizace a agnetizace Po popis použijee odel látky v agnetické poli tooidní cívky (vázané elektické náboje vzniklé p i polaizaci byly eálné, Apéovy olekulání poudy jsou odele) Uvažuje hust navinuto tooidní cívku (ve vakuu nebo ve vzduchu) o N závitech, kteou pochází poud I (ob5) poud p ístupný Velikost agnetické indukce v íst st ední induk ní áy NI B = µ = µ H l
Vypln ní dutiny cívky látkou se agnetická indukce z ní B = µ H + B i (7) Podobn jako v p ípad polaizace dielektika byl zaveden P e, zavedee v p ípad agnetizace látky vekto agnetizace M (sou et všech Apéových agnetických oent olekuláních poud v jednotkové objeu látky V) ai V M = (8) V Uvažujee-li Coulob v agnetický oent ci olekuláního poudu atou nebo olekuly = µ, ci ai žee obdobn jako v p ípad vektou agnetizace definovat vekto agnetické polaizace ci V V = µ M (9) P = Jednotkou agnetizace je A - (stejná jednotka jako po intenzitu agnetického pole) a jednotkou agnetické polaizace je T (tesla - stejná jednotka jako agnetická indukce) Tedy [ M ] = [ H ] = A, [ P ] = [ B] = T Po další úvahy naha e výsledné agnetické pole olekuláních poud akoskopický nep ístupný (vázaný, povchový) poude I i (poud pocházející pod závity cívky na povchu látky a vyvolává stejnou indukci B jako olekulání poudy) ob 6 i Magnetické pole v tooidní cívce kde NI B i = µ (4) l NI NI i B = t# µ + t µ, l l t je jednotkový vekto te% ny ke st& ední induk% ní % á& e v tooidní cívce, I poud její vinutí, I i povchový (nep& ístupný) poud na povchu látky
4 / 9 Vztah ezi B i a P nebo M Ozna* e: S = St vekto plochy kolého p,- ezu tooidní cívky, l eleentání úsek, N l l po5 et závit6 povchových poud6 I i, I i S Apé6 v agnetický oent každého závitu, Celkový Apé6 v agnetický oent látkového post8 edí v = Podle (8) dostanee po M A ai V A i < l tooidní cívky NI M = = t V l a vekto agnetické polaizace NI i P = µ M = µ t= = Bit= (4) l Poovnání (4) a (4) vekto agnetické polaizace P je oven agnetické indukci B i agnetického pole olekuláních poud@ B = P = µ M (4) i 4 Popis agnetického pole v látkové postb edí Magnetickou indukci B v látce @ žee vyjádd it B = B + P = µ H + µ M = µ H + ) (4) ( M PD i vyplnf ní dutiny cívky látkou se intenzita agnetického pole v tooidní cívce H nezh ní, zh ní se jen B Jiná situace nastane v pj ípadh válek kl, tyk inek, koulí apod, kteé budou vloženy do dutiny cívky V toto pj ípadh H v látce se odlišuje od H intenzity vnh jšího agnetického pole kde H = H +, (44) H D H D je intenzita deagnetizap ního pole pq sobící poti vnr jšíu agnetickéu poli, a platí H H Po vzoky typu elipsoidu, koule, desky a dlouhé tyt e (uvnitu je pole hoogenní) H D = DM, (45) kde D je deagnetizap ní fakto (koule D = /, deska kolá na indukt ní T áy D =, dlouhá tyt ovnobr žná s indukt níi T aai D = ) P a M chaakteizují stupey uspoz ádání agnetických oent[ ai ] chaakteizují stupey agnetizace látky Po lineání agnetika M = κ H a tedy P = κ H, (46) µ
c v w c s u kde κ je agnetická susceptibilita (bezoz` ná velia ina, po vakuu ) Vyjádb íe-li agnetickou susceptibilitu z (46) a s pb ihlédnutí k (4) lze psát P Bi κ = = nebo po tooidní cívku µ H µ H = B i B κ, kde B je velikost agnetické indukce vn` jšího agnetického pole Dosazení za agnetizaci M z (46) do (4), dostanee vztah po agnetickou indukci B v látkové postb edí B = µ H + µ κ H = µ ( l + κ ) H = µ µ H, (47) kde velia ina µ = + κ je tzv elativní peeabilita postb edí (bezoz` ná velia ina) Magnetická indukce B v látkové postb edí je Peeabilita postn edí µ = µ µ gkj µ gih µ - kát v` tší než ve vakuu B U anizotopních látek P neá obecno stejný so jako H Poto κ je tenzoe agnetické susceptibility 5 Magnetické vlastnosti látek Látky siln agnetické, Látky slab agnetické slabo vtahovány do agnetického pole ( κ ), slabt vypuzovány z agnetického pole ( κ ) Paaete po ozdt lení látek podle jejich agnetických vlastností je κ nebo µ Látky paaagnetické κ, µ v, Látky diaagnetické κ, µ w, Látky feoagnetické κ xyx, tj µ xyx Tabulka Paaagnetika Diaagnetika 6 6 κ κ vzduch,7 dusík -,4 kyslík,8 heliu -,7 hliník,7 ethylakohol -7,4 cho, voda -9,48 chloid nikelnatý, t{z -9,7 kapalný kyslík 6, bisut -75, Feoagnetické látky se obvykle chaakteizují elativní peeabilitou µ, kteá však není konstantní a zna nt závisí na intenzitt agnetického pole v látce (udává se po áte ní elativní peeabilita po H Dosahuje hodnot až 5 i více a) Látky diaagnetické
atoy nebo olekuly diaagnetických látek ají bez p} ítonosti vn~ jšího agnetického pole nulový agnetický oent (elektony jsou spáovány a jejich agnetické oenty jsou vzájen~ vykopenzovány), B =, ai =, i = P sobení vn~ jšího pole získá každý elekton indukovaný agnetický oent, oientovaný poti vn~ jšíu poli b) Látky paaagnetické atoy nebo olekuly ají vlastní nenulový agnetický oent Bez vn~ jšího agnetického pole chaoticky oientované agnetické oenty ají = = V ai i Ve vn~ jší poli dojde k ƒ ásteƒ néu uspo} ádání do s~ u B (uspo} ádání je naušeno tepelný pohybe olekul) κ paaagnetických látek závisí na T κ = C T, (49) C je tzv Cuieova konstanta (objevená PCuie) Poznáka: Magnetická polaizace P ve slabých agnetických polích je p} i dané teplot~ lineání funkcí H c) Feoagnetické látky Skupina siln agnetických látek (Fe, Ni, Co, Gd, ) Odlišnosti opoti p edchozí: velké hodnoty κ, µ již ve slabých agnetických polích B Š B, κ, µ nejsou konstantní, ale obecn nelineání funkcí intenzity H (poto i P závisí nelineán na H ), feoagnetické látky dosahují nasyceného stavu již ve slabých agnetických polích, agnetická susceptibilita feoagnetické látky závisí na H i na p edchozí agnetování látky jeví hysteezi, κ závisí na teplot látky Po každou feoagnetickou látku existuje tzv Cuieova teplota T C, p i jejíž p ekoœ ení se stává látka paaagnetickou (Fe T C = 769 C, Ni T C = 58 C) V paaagnetické oblasti platí po κ Cuie v Weis v zákon C κ = T TP platí po T >> T C T P je tzv paaagnetická Cuieova teplota (nž kolik desítek stup vyšší než T C
Doény alé spontánn zagnetované oblasti ve feoagnetické látce (ob 7) Obje doén - až Zah átí nad T C se doénová stuktua zuší (není-li látka v agnetické poli látka je odagnetovaná) Magnetická hysteeze Vložení odagnetované feoagnetické látky do agnetického pole o H : M = f(h), B = f(h), viz ob 8a dojde k nevatný z ná v oientaci doén: k ivka pvotní agnetizace, nasycený stav, hysteezní k ivka, eanentní agnetická indukce (po H =, B = B ), koecitivní intenzita (z na s u p i B =, H = H k ) Celý cyklus hysteezní sy ka feoagnetika Tva hysteezní sy ky
Velikost plochy páce pot ebná na p eagnetování jednotkového objeu agnetika (cyklus) Magneticky tvdé látky šioká hysteezní sy ka (peanentní agnety) Magneticky š kké látky úzká hysteezní sy ka ob 8b (jáda tansfoáto, tluivek, kotvy elektooto ) 6 MAGNETICKÝ OBVOD Magnetické indukœ ní tubice (uzav ené útvay jejichž povch je tvo en agnetickýi induk níi aai) Její kolý p eze pochází stejná induk ní tok Φ V paxi bývá agnetická induk ní tubice vypln na látkai s vysokýi hodnotai µ P íklad: cívka navinutá na pstencové jád e z feoagnetického ateiálu (ob9a) l délka st ední induk ní áy Φ = BS agnetický induk ní tok tubicí (po hoogenní agnetické pole) Podle Apéova zákona celkového poudu v látkové post edí
»º¹ ¼ ¼ ± ¼ Vyd lení µ µ ž B dl = µ (5) l µ I celk H dl = I celk = NI, (5) l kde I celk = NI je poud ve vinutí cívky, kteý N kát pojde uvažovanou plochou Analogie se stacionání elektický pole E dl = l Magnetootoické nap tí M = H dl = I = NI (5) P i integaci po induk ní á e l je Úpavou Dosazení do (5) Φ H U e celk H dl, tedy H dl = Hdl = B S HS = µ µ = Φ µ µ S M = H dl = Φ l dl (54) µ µ S Integál á analogický tva jako vztah po elektický odpo vodi e Magnetický odpo obvodu M = Φ R (55) Hopkins v zákon agnetootoické nap tí v agnetické obvodu je ovno agnetickéu induk níu toku násobeného agnetický odpoe obvodu Je-li S konstantní ( S není funkcí l) R = µ dl = µ S µ l µ S (56) Bude-li agnetická induk ní tubice pocházet ² znýi látkovýi post³ edíi o µ, µ, µ n (ob9b) pak vzhlede k tou, že Φ je v libovolné íst tubice konstantní lze psát M = H dl = H dl + H dl + + H ndl = Φ l l dl S + l dl S µ l µ µ l µ µ ln µ n ln + + dl S = Φ [ R + R + + R ] V p½ ípad¾, že agnetický induk ní tok pochází postupn¾ À znýi látkovýi post½ edíi (obdoba zapojení ezistoà v séii), je celkový agnetický odpo obvodu R = R + R + + Rn (57) P½ íklad séiového ½ azení agnetických odpoà, viz ob a n
Š Pstencové jádo z feoagnetického ateiálu je pá eušeno vzduchovou ezeou ( µ j, µ v ), bude RvÊà Rj PÁ i konstantní M = NI se usí podle Hopkinsonova zákona snížit Φ Toho se využívá u nä kteých tluivek a nízkofekvenå ních tansfoátoæ, kde agnetizaå ní vinutí pochází jak stá ídavý, tak i stejnosä ný poud VytvoÁ ení alé vzduchové ezey se dosáhne, že tafo pacuje io oblast nasycení PÁ ípad na ob b ukazuje na paalelní spojení agnetických obvodæ, kdy do dvou vä tví Paalelní zapojení ezistoæ = + + (58) R R R Φ se ozdä lí
Ù 4 NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE Jevy v elektických obvodech s Ç asovè poè nnýi poudy, kdy elektická i agnetická pole jsou funkcei Ç asu a tvoé í elektoagnetické pole Elektoagnetické ozuchy se šíé í podél vodiçëê ychlostí svè tla ( 8 s - ) Kvazistacionání elektoagnetické pole zè ny poudu v obvodu natolik poalé, že jsou ve všech ístech obvodu stejné (ozè y elektického obvodu jsou nohe enší než vlnová délka elektoagnetického ozuchu) 4 FARADAYÌ V ZÁKON ELEKTROMAGNETICKÉ INDUKCE A JEHO APLIKACE Odvození Faadayova zákona elektoagnetické indukce 8 ji objevil M Faaday pé i pokusech s cívkai a peanentníi agnety Jev elektoagnetické indukce každá Ç asová zè na Φ pocházejícího uzavé ený elektický obvode vyvolá v toto obvodu indukovaný poud Uvažuje pé íý vodiç délky l, uístè ný kolo k indukç ní Ç aá hoogenního agnetického pole o indukci B = kb Pohyb kolo k indukç ní Ç aá v = i v (ob 4) VolnÈ pohyblivé nosiç e poudu q (pohybují se ychlostí v = i v ) F = q v (pé eístí je k honíu konci vodiç e Magnetická síla pê sobící na nosiç e B Ð +, dolní konec snížení koncentace nosiñëò Ð poudu ) Pole o intenzitó Ustálený stav Odtud E i podél vodiñ e bude bánit dalšíu põ eisö ování nábojò vlive F F q Ei = q v B e = E i = v B F
ç å ë á á å ç á á á á á á Poocí E i vypoü ítáe U i (pý edpoklad: v a B jsou konstantní) U i + ( v B) dl = ( v B) l = vlb = à E dl = à dx Rychlost vodiü e v =, plocha opsaná vodiü e za Ü as dt: dx l = ds, dt dxl dsb poto dostanee: U i = B = dt dt ds B = Φ agnetický indukü ní tok plochou ds za Ü as dt i dφ tedy Ui = (4) dt Faadayâ v Zákon elektoagnetické indukce v integální tvau Vysvã tlení záponého znaénka Lenzovo pavidlo: Sã indukovaného poudu v obvodu je vždy takové, že se svý agnetický pole snaží zabánit zã ná agnetického indukä ního toku, kteé jej vyvolávají Zákon elektoagnetické indukce v difeenciální tvau: d E dl = B ds dt S využití Stokesovy vã ty: l S d ot E ds = B ds dt S Na pavé stané jsou integály stejného typu, ê žee poovnat integandy B ote = (4) t Indukované elektické pole je víové (jeho siloì áy jsou uzaví ené) Zî na agnetického pole vyvolává pole elektické, obî pole spolu vzájenî souvisí a nelze je poto studovat oddî lenî Vzájená indukce (jev) Vznik indukovaného elektootoického napé tí v jiné obvodu zpê sobený ì asové poé nný agnetický pole v okolí pvního obvodu Uvažuje: dva obvody (cívky), pvní pochází ì asové poé nný poud I (t) (ob4) l S poì et závitê pvní cívky N, poì et závitê duhé cívky N Velikost agnetické indukce v dutiné pvní cívky je
ñ ó ø NI( t) B = µ µ = ki( t) l Vnï cívky dochází k ozptylu agnetických indukð ních ð a a ð ást Φ bude pocházet závity duhé cívky ást Φ, kteý pochází k tý závite vyjádò íe koeficiente c, tedy k Φ k = c k B Sk ckk I ( = t) Sk, S k plocha k tého závitu Magnetický indukð ní tok Φ všei závity duhé cívky Φ N = k k = k= ( c S k ) I t) MI ( t) ( k (4) Celkový agnetický indukð ní tok Φ je pò ío úï ný okažité hodnotï poudu I (t) v pvní obvodu Koeficient M je koeficient vzájené indukô nosti (vzájená indukô nost) Jednotka vzájené indukð nosti [M]= WbA - = H (heny) Dosazení Φ do zákona elektoagnetické indukce dostanee po U (t), kteé se indukuje ve duhé obvodu pò i zï nách I (t) v pvní obvodu Pò enos enegie z jednoho obvodu do duhého je zpostò edkován agnetický pole Hovoò íe o induktivní vazbõ ezi obvody: tõ sná vazba téïöò celý indukð ní tok pochází duhý obvode, volná vazba pochází jen alá ð ást z celkového indukð ního toku Pò íklad: Tï sná indukð ní vazba u dvou solenoid (navinutých tï snï na feoagnetické jádò e) Po všechny závity c k = P ò ez jáda S, poð et závit N, N Magnetický indukð ní tok k - tý závite duhého obvodu Φ = = NI t B S ( ) S k µ µ l Celkový agnetický indukð ní tok NN Φ ( = Φ k N = µ µ S I t) l Vzájená indukð nost NN M = µ µ S (45) l Vlastní indukce Zï ny agnetického indukð ního toku vyvolávají ve vlastní obvodu indukované napï tí U i Uvažuje cívku, kteou pochází ð asovï poï nný poud I(t) (ob 4) Magetický indukð ní tok Φ (t) k-tý závite je pò ío úï ný I(t) pocházejícíu cívkou Φ k ( t) = ck I ( t) Magnetický indukð ní tok všei závity cívky je k Φ N ( t) = c I ( t) = LI( t) (46) k= L je vlastní indukù nost (indukù nost) cívky k
Jednotka indukú nosti H (heny) Zû ny poudu v cívce vyvolají i zû ny agnetického indukú ního toku Vlastní indukcí se v cívce indukuje napû tí dφ ( t) di( t) Ui = = L (47) dt dt Znaénko " " vyjadü uje, že indukované napû tí pý sobí poti zû ná poudu v obvodu Magnetická indukce v jednovstvé tooidní cívce NI ( t) B( t) = µ µ l Magnetický indukú ní tok každý závite je Φ NS ( t) = B( t) S = µ µ k I ( t) l, agnetický indukú ní tok všei závity N S Φ ( t) = Φ k ( t) N = µ µ I ( t) l Po indukú nost tooidní cívky dostanee N S L = µ µ (48) l Indukú nost cívky závisí na agnetických vlastnostech jáda ( µ ), geoetické tvau cívky (S,l) a oste s N Poznáka: Vinutí cívky á vždy jistý odpo R L Reálnou cívku znázoþ ujee jako séiovou kobinaci odpou a ideální indukú nosti L (ob 44)
4 Pÿ echodný d j v obvodu R,L pÿ i zapnutí a vypnutí zdoje stejnos ného elektootoického nap tí Uvažuje obvod znázon ný na ob 45a (do hodnoty R zahnujee i odpo vinutí cívky R L ) P ipojení zdoje (U e ) za ne pocházet asov po nný poud I(t), kteý vyvolá Φ (t ), a tí i U i Podle Kichhoffova zákona platí RI(t) = U e + U i Difeenciální ovnice po poud I(t) di ( t) RI( t) = U e L, (49) dt kteou upavíe di ( t) R U e + I ( t) = (4) dt L L U e Poud I(t) je supepozicí poudu ustáleného Iust = a poudu pÿ echodného i(t) (vyizí po R u ité dob až se agnetický induk ní tok ustálí) U e I( t) = i( t) + Iust = i( t) + (4) R Dosazení do (4) dostanee po p echodný poud i(t) di( t) R U U e + i( t) + e =, dt L L L odtud di( t) R + i( t) = dt L ešení difeenciální ovnice etodou sepaace po nných di( t) R di( t) R = i( t) = dt dt L i( t) L
! Integací odtud R ln i( t) = t + ln K, L R t L i( t) = Ke Po celkový poud R t U L e I( t) = Ke + R Intega ní konstanta K: Po áte ní podínky po t = je I(t) = Dosazení do p edchozí ovnice U e U e = K + K = R R Poud v obvodu je R t U t e U L e τ I( t) = e = e R R, (4) L kde τ = je asová konstanta obvodu R V ase t = τ je e - =,7, takže poud I(t) =,67 I ust V ase t = τ je e - =,5, takže poud I(t) =,95 I ust (poud se od ustálené hodnoty liší o 5%) Indukované nap tí v cívce vlive vlastní indukce je U i di( t) U e = L = L dt R a celkové elektootoické nap tí p sobící v obvodu je asové p b hy jsou znázon né na ob 45b τ T R L e t τ = U U + U = U e (4) e i e P" i vypnutí zdoje U e poud pudce poklesne na (ychle poklesne Φ ) v cívce se indukuje nap$# ový ipuls, vyvolá se jisk" ení na kontaktech spína% e, indukované nap tí á souhlasnou polaitu jako nap tí zdoje EMN Využití u induktou, kteý p" eušování stejnos ného poudu v piání cívce vyvolává ychlé z ny agnetického induk% ního toku v sekundání cívce induktou, ve kteé se indukují ipulzy veli vysokého nap tí 5 Enegie agnetického pole! ást enegie dodaná zdoje dodaná do obvodu na ob 45a se spot" ebuje na vytvá" ení agnetického pole v cívce a % ást na zvýšení vnit" ní enegie ezistou (Jouleovo teplo) e e t τ, Za dobu dt dw = dw J + dw
* užití vztahu po vynásobení výaze di ( t) U i = RI( t) + L, dt I ( t) dt obdžíe U e I ( t) dt = RI ( t) dt + LI( t) di( t) Výaz na levé stan& je enegie dw dodaná do obvodu zdoje za ' as dt Pvní výaz na pavé stan& je enegie dw J spot( ebovaná na zvýšení tepla v ezistou Duhý výaz na pavé stan& enegie na zvýšení enegie agnetického pole v cívce dw = LI ( t) di ( t) P( i ná) stu poudu I(t) na hodnotu I vytvo( í se pole o enegii W I = LI ( t) di ( t) = LI (44) Enegie agnetického pole cívky o induk' nosti L, kteou pochází poud I Po p( ípad tooidní cívky N W = µ µ S I l úpavou (' itatele i jenovatele vynásobíe l) N I W = µ µ S l H V BHV = µ µ =, l kde V je obje postou s agnetický pole, B je agnetická indukce a H je intenzita agnetického pole Hustota enegie agnetického pole W w = = BH = B H (45) V Skalání sou' in vekto) B H zavádíe z d) vodu, že v agneticky anizotopních post( edích ohou ít vektoy ) zný s& Poznáka: Hustota enegie elektického pole obdobn& w e = D E 6 Ví ivé poudy (Foucaltovy) Ví/ ivé poudy vznikají v asivních vodi ích pohybujících se v agnetické poli nebo jsou v klidu v asov po nné agnetické poli (ví/ ivé nelze p/ esn u it jejich s ) Ú inky ví/ ivých poud : Vodi je bžd n využití u tluících systé / idel (u oto elektooto jsou tyto ú inky nežádoucí) Vodi je zah/ íván vysokofekven ní oh/ ev (vložení do dutiny cívky potékané vysokofekven ní poude) Po potla ení ví/ ivých poud skládání vodi$ z tenkých izolovaných plech
? 7 Vznik st4 ídavého poudu Nejvýznan5 jší aplikace Faadayova zákona elektoagnetické indukce Z5 na agnetického induk6 ního toku tí, že se 5 ní s5 vektou plochy závitu S vzhlede ke s5 u vektou agnetické indukce B Φ = 9 B ds = 9 S BdS cosα S 4 ST; ÍDAVÝ PROUD St< ídavý elektický poud (nap= tí) je peiodickou funkcí > asu I ( t) = I( t + nt ), kde n =, ±, ±, T peioda St< ední hodnota st< ídavého poudu (nap= tí) b= he peiody T usí být ovna t+ T I( t) dt = T t tj plocha ležící nad osou > asu usí být stejn= velká jako plocha ležící pod osou > asu (poovnej ob 46a nejsou st< ídavé a ob46b st< ídavé p@ b= hy poud@ ) Vyjád< ení peiodického signálu (st< ídavý poud nebo nap= tí) jako Fouieova A ada I t) = a sin ω t + a sin ωt + a sin ωt + + b cosωt + b cosωt + b cosωt ( + ω základní úhlová fekvence, ω, ω úhlové fekvence vyšších haonických složek st< ídavého poudu Nejjednodušší jsou haonické poudy o úhlové fekvenci ω (popis funkcei sinωt, cosωt) Vznik haonického stb ídavého napc tí a poudu
OtáD ení cívky (ω) v hoogenní agnetické poli B Uvažuje závit (ob 47) V D ase t = vekto S plochy závitu svíá s indukd níi D aai úhel ϕ V D ase t vekto S plochy závitu svíá s indukd níi D aai úhel α = ωt + ϕ Magnetický indukd ní tok Φ (t ) se G ní s D ase Φ ( t) = B S = BS cosα = BS cos( ωt + ϕ ) Podle Faadayova zákona elektoagnetické indukce se v závitu indukuje napg tí dφ ( t) d U = = BS cos( ω t + ϕ ) = BSω sin( ωt + ϕ ) dt dt sti ídavé haonické napg tí u, sti ídavý haonický poud i i VyjádI ení ovnicí u = U sin( ω t + ϕ ), (46) u okažitá hodnota napg tí, U axiální (vcholová) hodnota napg tí, aplituda, π ω úhlová fekvence = πf =, T ϕ pod áted ní fázový úhel, pod áted ní fáze, ( ω t + ϕ ) fázový úhel, fáze Gaf závislosti, ob 48
R ] TS Z R ϕ poj átej ní fázový úhel, T peioda, U axiální hodnota napk tí PL ipojení zdoje stl ídavého napk tí u k ezistou R, bude jí pocházet stl ídavý poud u U i = = sin( ω t + ϕ) = I sin( ωt + ϕ) (47) R R Po axiální (vcholovou hodnotu stl ídavého poudu platí U I = R (48) Zjednodušení ateatického vyjádl ení stl ídavých poudm a napk tí po ϕ = i = I sin ωt Efektivní hodnota stn ídavého poudu a napo tí Efektivní hodnota I stp ídavého poudu je definována jako: hodnota stejnosk ného poudu, kteý pl i pm chodu ezistoe o odpou R vyvine za dobu jedné peiody stejné Jouleovo teplo jako uvažovaný stl ídavý poud Platí T RI T = Q Ri dt Odtud vyjádl íe Rozepsání integálu Po efektivní hodnotu st[ ídavého poudu I T cosωt = I sin ω tdt = I dt T T T I I = I dt I T cos UYX UWV ω tdt = T T I T I = (49) Vyjád[ ení Jouleova tepla vyvinutého v ezistou R poocí nap\ tí U T = R R T U dostanee po efektivní hodnotu st[ ídavého nap\ tí U T sin ω tdt, U = (4) Poznáka: M\[ ící p[ ístoje na \[ ení st[ ídavého poudu nebo nap\ tí ají stupnici ocejchovanou v efektivních hodnotách (stejn\ tak jsou uvád\ ny údaje na elektických spot[ ebi^ ích) Maxiální hodnota je tedy U = V, fekvence v síti f = 5 Hz Rezisto, cívka a kondenzáto v obvodu st_ ídavého poudu Pasivní pvky ezisto, cívka, kondenzáto, T
Aktivní pvky zdoje st` ídavého napa tí, tanzistoy Ideální pasivní pvky nap` považujee R L vinutí cívky za zanedbatelna alý, L odpoového vinutí ezistou za zanedbatelna alou, nekoneb na velký odpo ideálního dielektika v kondenzátou a) Rezisto o odpou R v obvodu stc ídavého poudu Uvažuje obvod znázona ný na ob 49a s p` ipojený R ke zdoji st` ídavého napa tí u = U sin ωt, takže podle Kichhoffova zákona platí Ri = u Vyjád` ení poudu i u U i = = sin ωt = I sin ωt, R R kde U I = R Poud ezistoe je ve fázi s napa tí Odpo R lze vyjád` it U U U R = = = (4) I I I b) Cívka o indukd nosti L v obvodu stc ídavého poudu Cívkou p` ipojenou ke zdoji pochází st` ídavý poud i = I sin ωt (4) Vlive vlastní indukce se na cívce indukuje napa tí u L (ob4a)
f pon l k Pe i zanedbatelné odpou vinutí cívky ( R L ) podle Kichhoffova zákona platí di u + ul = u = ul = L dt Dosazení za i dostanee napg tí u d u = LI sin ωt = I Lω cosωt = U cosωt, dt kde U = I Lω "Zdánlivý" odpo cívky (odpo, kteý klade pocházejícíu ste ídavéu poudu) U X L = = Lω (4) I Indukh ní eaktance nebo stui ng induktance cívky Jednotkou je oh ( Ω ) Po lepší poovnání (i asový pj bg h poudu funkce sin ωt, i asový pj bg h napg tí funkce cos ωt ) π u = U cosωt = U sin ωt + (44) napq tí na cívce p edbíhá poud o 9 (π/) (poud induki ností se opožs uje za napg tí), viz ob 4b c) Kondenzáto o kapacitt C v obvodu stu ídavého poudu Poznáka: Pe ipojení kondenzátou ke zdoji stejnosg ného napg tí obvode pojde poudový ipuls, kteý kondenzáto nabije na napg tí zdoje a stejnosq ný poud nebude obvode s kondenzátoe pocházet Pe ipojení kondenzátou ke zdoji ste ídavého napg tí u bude obvode pocházet nabíjecí a vybíjecí poud kondenzátou, což se jeví, jako by ste ídavý poud i kondenzátoe pocházel Podle ob 4a je kondenzáto pe ipojen ke zdoji ste ídavého napg tí u = U sin ωt (45) Podle Kichhoffova zákona usí platit takže u + u C =, kde Q u C =, C
~} {z y Q = U sin ωt C Po deivaci dq = U ω cosωt C dt dq = i tedy i = U C ω cos ω t = I cosω t, (46) dt kde I = U Cω "zdánlivý odpo", kteý klade kondenzáto stv ídavéu poudu U X C = = (47) I Cω X C se nazývá kapacitní eaktance stuw nx ji kapacitance Jednotkou je oh ( Ω ) Vyjádv ení ovnice (46) poocí sinu π i = I sin ωt + (48) Poud v obvodu s kondenzátoe pv edbíhá napx tí o π/ (napx tí se opož uje za poude o 9 4 Páce a výkon st ídavého poudu Uvažuje obecný pv ípad, kdy u je vzhlede k poudu i fázovx posunuto o úhel ϕ u = U sin( ωt + ϕ), i = I sin ωt Vypow tee stv ední výkon za jednu peiodu Úpavou integálu obdžíe P = T T U I uidt = T T sin( ω t + ϕ )sin ωtdt sin α sin β = cos( α β ) = cos( α β ) cos( α + β ) U I P = T T T U I cosϕ dt cos(ωt + ϕ) T Duhý integál je oven a po ƒ inný výkon spot ebovaný v zát ži dostáváe U I P = cosϕ = UI cosϕ (49) cos ϕ úƒ iník UI zdánlivý výkon 4 EŠENÍ OBVOD STˆ ÍDAVÉHO PROUDU R, L, C žee spojovat séiov, paaleln nebo kobinovan ZnázonŠ ní st ídavých napš tí a poudœ poocí fázoœ M je st ídavé nap tí
u = U sin( ω t + ϕ ) Fázo oientovaná úse ka v ovinž x, y,kteá á po áte ní bod v po átku sou adnic a délku úž nou aplitudž napž tí U (ob 4a) V ase t = svíá úse ka s osou x úhel ϕ V ase t svíá s osou x úhel ( ω t + ϕ ) P Ž t otujícího fázou do osy y je U sin( ω t + ϕ) okažitá hodnota napž tí u PodobnŽ ešíe i st ídavý poud i Fázoy v ítku aplitud Fázoy v ítku efektivních hodnot Sybolická koplexní etoda vyjád ení st ídavých veli in Po paktické výpo ty je výhodnž jší vyjád it st ídavé veli iny koplexníi ísly Každý fázo je jednozna nž u en svý koncový bode Nahazení oviny x,y Gaussovou ovinou koplexních ísel žee p i adit každéu fázou koplexní íslo (ob4b koplexní íslo U ) Absolutní hodnota koplexního ísla je ovna velikosti polohového vektou (aplitudž st ídavé veli iny) ešení séiového RLC obvodu Séiový RLC obvod, p ipojený ke zdoji napž tí u = U sin ωt je na ob 4a Podle Kichhoffova zákona je sou et elektootoických napž tí p sobících v obvodu v každé okažiku oven sou tu napž tí na ezistoech di Q Ri = ul + uc + u, kde u L = L a u C = = idt dt C C Po dosazení di Ri = L idt + U sin ωt dt C Deivací podle š asu, pod lení L a úpavou dostanee difeenciální ovnici œ ádu d i R di U ω + + i = cos ωt dt L dt LC L
²± µ což je difeenciální ovnice po vynucený poud v obvodu a) ešení séiového RLC obvodu poocí fázož V Ÿ ítku efektivních hodnot Pvky obvodu pochází stejný poud i (znázoníe ho fázoe ležící v ose x) U R = RI je ve fázi s poude, π U = IX ILω p edbíhá poud o, (4) U L L = C π = IX C = I opož uje se za poude o (4) Cω Gafický sou te napÿ tí na jednotlivých pvcích(4b) U = Vytknutí I p ed odocninu U = I U R + ( U L Z U C ) = R L«ª + ω Cω ( RI ) + ILω I Cω Ipedance odpo séiového R L C obvodu U ³ Z = = R + Lω (4) I Cω Jednotkou ipedance je oh ( Ω ) Fázový úhel fázový posun nap¹ tí u vzhlede k poudu i Diskuse: º a) L ω Cω Lω tgϕ = Cω (4) R, v obvodu p» evládá induktance nad kapacitancí nap¹ tí p» edbíhá poud
¼ b) L ω, v obvodu p½ evládá kapacitance nad induktancí nap¾ tí se opož uje za Cω poude c) L ω = u a i jsou ve fázi, ipedance je iniální À poud je axiální Cω SouÁ et u L a u C je v každé okažiku oven Tento stav séiového RLC obvodu nazýváe séiová ezonance (ezonance napâ tí) Rezonanà ní fekvence Lω = Cω odtud ThosonÄ v vztah po ezonaná ní fekvenci ω =, LC f = (44) π LC Názon¾ jší p½ ehled o vlastnostech obvodu p½ i Å zných fekvencích kitoã tové chaakteistiky (aplitudové nebo fázové) Z = Z( ω), U = U( ω) p½ i napájení konstantní poude I I = I(ω) p½ i napájení obvodu ze zdoje konstantní efektivní hodnoty U (ob 44a) Na ob 44b gaf kitoá tové fázové chaakteistiky (závislost fáze na fekvenci) Po p½ esn¾ jší stanovení ω je výhodn¾ jší fázová chaakteistika b) Æ ešení séiového RLC obvodu sybolickou koplexní etodou Poudu i p½ i½ adíe (v ¾½ ítku efektivních hodnot) koplexní Á íslo Î (koplexní efektivní poud) Nap¾ tí na ezistou, induká nosti a kondenzátou p½ i½ adíe Uˆ R, Uˆ L, Uˆ C (koplexní efektivní nap¾ tí) Celkové koplexní efektivní nap¾ tí Uˆ = Uˆ + Uˆ + Uˆ (45) R L C
áàß ç Ð Î Î Î Ï Ú Ü ÞÝ ÖÕÔ ÑÍ Ë Ë ÓÒ Ë Ì NapÇ tí na ezistou je ve fázi s poude, takže Uˆ R není vzhlede k Î pootoè eno Uˆ R = RIˆ NapÇ tí na indukè nosti pé edbíhá poud o 9 Uˆ L = Zˆ LI ˆ= jlωiˆ (46) NapÇ tí na kondenzátou se opožê uje za poude o 9 Uˆ C = Zˆ C Iˆ = j Iˆ (47) Cω Dosazení Uˆ = RIˆ + jlω Iˆ j Iˆ = Iˆ R + j LÙ ω Ø (48) Cω Cω Ẑ koplexní ipedance séiového RLC obvodu OhÛ v zákon po sté ídavý poud Uˆ= ZI ˆ (49) Koplexní ipedance = âæå âäã á eálnou È ást R = Re(Zˆ ) ezistance, iaginání È ást X = I(Zˆ ) eaktance Zˆ Z ˆ R + j Lω = R + jx Cω Velikost ipedance [ ] [ ] Fázový posun X Z = Zˆ = Re( Zˆ) + I( Zˆ ) (44) I( Zˆ) tg ϕ = (44) Re( Zˆ) Poznáka: doazení za eálnou a iaginání È ást koplexní ipedance dostanee vztahy (4) a (4) odvozené poocí fázoû 4 è ešení paalelního RLC obvodu Uvažuje paalelní RLC obvod podle ob 45a Na vé tvích obvodu je stejné napé tí u Celkový poud i ze zdoje se ozdé lí na poudy i R il, ic, poud i R bude ve fázi s napé tí, poud i L cívkou se fázové opožê uje za napé tí o 9, poud i C kondenzátoe bude pë edbíhat napé tí u o 9 Po celkový poud usí v každé okažiku platit Kichhoffì v zákon
ö üûú ó ÿþ ý óùø ó ó üûú õ ó ó ó ÿþ ó ôùø i = i + i + i R L C Celkový posun poudu i opoti napí tí u oznaî íe ψ = ϕ a) ï ešení paalelního RLC obvodu poocí fázoð Spoleî néu napí tí u pñ iñ adíe v íñ ítku efektivních hodnot fázo U, kteý uístíe do osy x (ob45b) Vektoový souî te fázoò I R, I L, I C obdžíe fázo I pñ iñ azený celkovéu poudu i Velikost I podle Pythagoovy ví ty ( I I ) I = I + (44) R C L Vyjádñ íe velikosti poudò poocí napí tí U U U U U I R =, I L = =, IC = = UCω, R X L Lω X C dosazení do pñ edchozího vztahu I = U + Cω (44) R Lω Veliî ina Y ý Y = + Cω (444) R Lω pñ edstavuje "vodivost" paalelního obvodu po stñ ídavý poud aditance Jednotkou aditance je Ω = S( sieens) po fázový posuv celkového poudu vzhlede k napí tí platí Cω ψ = Lω tg = R Cω (445) Lω R Diskuse: a) C ω, v obvodu p evládá poud kondenzátoe nad poude cívkou, Lω
ψ, i p edbíhá nap tí u o úhel ψ b) C ω, v obvodu p evládá poud induk ností nad poude kondenzátoe, Lω ψ, poud i se opož uje za nap tí u o úhel ψ c) C ω =, pak ψ =, nap tí u a poud i jsou ve fázi, aditance Y je iniální a je Lω ovna vodivosti ezistou, Y = R Sou et poudu i, i je v každé okažiku paalelní ezonance (ezonance poudu) L C Rezonan ní fekvence z podínky Cω =, Lω ω =, f = (446) LC π LC Kito tové chaakteistiky paalelního RLC obvodu, P i ezonanci je aditance iniální a nap tí je poto p i I = konstaxiální (ob46a) Rezonan ní obvody obvody RLC, kteé pacují v blízkosti své ezonan ní fekvence, ezonan ní k ivka aplitudová kito tová chaakteistika ezonan ního obvodu, viz ob 46b í je ezonan ní k ivka užší, tí je ezonan ní obvod kvalitn jší initel kvality ezonan ního obvodu Q Q = p p Na ob 47 je znázon ná kito tová fázová chaakteistika paalelního RLC obvodu
/ *)( -, ' &! b) ešení paalelního RLC obvodu koplexní etodou Nap tí u p i adíe koplexní íslo Û a poud v obvodu koplexní ísla I,ˆ Iˆ, R Iˆ, L Iˆ C Podle Kichhoffova zákona usí platit Iˆ = Iˆ + Iˆ + Iˆ (447) R L Koplexní poudy ve v tvích poocí koplexního nap tí Û Uˆ U Iˆ R =, Iˆ L = j, Iˆ C = jcωuˆ R Lω Po dosazení Iˆ Uˆ #"$ % = + j Cω, (448) R Lω kde veli ina Yˆ = + j Cω Lω + (449) R se nazývá koplexní aditance paalelního RLC obvodu Koplexní aditance paaleln azených pvk je dána sou te koplexních aditancí jednotlivých pvk, tj sou te Reálná ást Re(Yˆ ) C Yˆ Yˆ R =, Yˆ L = j, Yˆ C = jcω (45) R Lω G = konduktance, Iaginání ást B = I(Yˆ ) susceptance Y ˆ = G + jb 5 Deiva ní a intega ní obvody Obvody, kteé povád jí asovou deivaci nebo integaci vstupního nap tí (ealizace poocí ezisto4, kondenzáto4 nebo ezisto4 a cívek, Nap tí U neusí ít haonický p4 b h a) Deiva ní obvod (ob 48a)
Podínka deiva5 ního obvodu X C676 R Q poto U ( t) + U C, kde U C = = 8 I ( t) dt C C Tuto ovnici deivujee podle 5 asu a vyjád9 íe poud I(t) du( t) I( t) = C dt Výstupní nap: tí U (t) je nap: tí na ezistou, takže podle Ohova zákona du( t) U ( t) = RI( t) = RC (45) dt Nap: tí na výstupu obvodu je ú: né 5 asové deivaci vstupního nap: tí b) Intega; ní obvod (ob48b) Podínka intega5 ního obvodu R<7< X C U( t) Pak I( t) = R Výstupní nap: tí U ( t ) je nap: tí na kondenzátou, takže Q U ( t) = UC = = = I ( t) dt = = U( t) dt (45) C C RC Nap> tí na výstupu obvodu je ú> né? asovéu integálu vstupního nap> tí 4 4 TRANSFORMACE ST@ ÍDAVÉHO NAPA TÍ A PROUDU Tansfoátoy zab ízení k povád> ní pb e> ny stb ídavého poudu na poud téže fekvence a jiného nap> tí Magnetický obvod (jádo tansfoátou) tvob í základ tansfoátou: tenké izolované plechy z feoagnetické látky s úzkou hysteezní sy? kou, piání cívka (do ní pb ivádíe poud k tansfoaci), sekundání cívka (odvádíe z ní tansfoovaný poud), tc sná indukd ní vazba ezi ob> a cívkai
P I M a) Nezatížený tansfoáto Sekundání obvod není uzave en (nepochází jí poud), i = PoF et závitg piání cívky N PoF et závitg sekundání cívky N NapH tí na piání cívce u = U sin ωt, vyvolá alý agnetizaf ní poud i (vzhlede k velké indukf nosti piání cívky) Poud vyvolá v jáde e ste ídavý agnetický indukf ní tok Φ Φ vyvolá v piání cívce indukované naph tí u L dφ ul = N (45) dt Zanedbáe-li odpo vinutí piání cívky, platí podle Kichhoffova zákona dφ u + ul =, u = ul = N, dt odtud vyjáde íe dφ = dt u, N dosazení do vztahu po indukované naph tí u v sekundání cívce dφ N N u = N = u = U sin ωt dt N N "ínus" vyjade uje, že naph tí u indukované v sekundání cívce á opaf nou fázi opoti u (dg sledek Lentzova pavidla) Vcholová hodnota sekundáního naph tí N U = U N a po poh vcholových nebo efektivních hodnot platí U U N = = = p (454) U U N TansfoaJ ní pok tansfoace nahou N L N, p, na vyšší naph tí U N U, tansfoace dolo N N p, tansfoace na nižší napq tí, P
V p = použití z bezper nostních ds vods po oddt lení sekundáu od ozvodné sítt b) Zatížený tansfoáto PU ipojení zátt že k sekundáníu vinutí (R Z ) poud sekundání vinutí i vyvolá v jádu e stu ídavý agnetický indukr ní tok Φ, Φ ps sobí poti Φ (napt tí sekundání á opar nou fázi opoti piáníu) Magnetický indukr ní tok se zenší a zenší se i napt tí u L indukované v piání cívce Poušená ovnováha ( u L u ) vyvolá další poud i (ten vyvolá v jádu e Φ ps sobící poti Φ ) až se obnoví ps vodní stav Φ + Φ Φ = Φ, Φ = Φ Podle Hopkinsonova zákona po vcholové hodnoty agnetických indikr ních toks platí N I NI =, R R I I N odtud = = = (455) I I N p Poznáka: PU i ozvodech elektické enegie dochází ke ztátá výkonu na odpou vedení R z ( P = zt RvI ) Po oezení ztát se povádí tansfoace nahou (vysoké napt tí, alý poud) PU ed ozvode do spotu ebitelské sítt se povede tansfoace dols (na napt tí V) Tansfoace dols ovnt ž povádíe: pu i svau ování elektický oblouke, u tansfoátoových plechs, u tansfoátoových pájek, tj všude ta, kde pu i alé napt tí usíe získat velký poud 4 5 TW ÍFÁZOVÝ PROUD a) Vznik a vlastnosti tx ífázového poudu TU ífázový poud se vyábí v geneátoech altenátoech Pincip altenátou je na ob 4
vut s q a`_ a`_ jih \ ^] ^] \ vut gf l k s q jih gf e jih gf e stato s tojí vinutí (cívkai) s osai pootoy enýi o, oto altenátou je silný elektoagnet otáy ející se s úhlovou ychlostí ω (indukce stz ídavých nap[ tí fázov[ posunutých o Okažité hodnoty indukovaných nap[ tí v cívkách u = U sin ωt u u = U = U sin ωt π (456) 4 sin ωt π Vhodný spojení cívek lze využít 4 vodiy e k pz enosu tz ífázového nap[ tí nulový (stb ední) vodic, fázové vodic e (L, L, L) fázová napd tí nap[ tí ezi fázovýi a nulový vodiy e (U = V, U = = V) sdužené napd tí nap[ tí ezi dv[ a fázovýi vodiy i (U, U, U ) PZ íklad: Stanovení sduženého nap[ tí U ezi L a L Po okažitou hodnotu sduženého nap[ tí platí u onp e = u u = U sin ωt sin ωt π = U cos ω π sin π t Po dosazení za ( ) sin π / = sin 6 a vyjádz ení cos jako sin dostanee u = U sin ωt π = U sin ωt + π 6 Odtud je zz ejé, že aplituda sduženého nap[ tí je tj kát v[ tší než aplituda fázového nap[ tí U U, (457)
Ž Ž Ž Ž Œ Œ ƒ Š ˆ Š ˆ ƒ { z Aplituda sduženého napw tí Efektivní hodnota sduženého napw tí U sd = 58V, U sd = = 8V Zapojení spotx ebiy e ( odpo R Z ) ezi nulový vodiy a fázové vodiy e, potey ou fázovýi vodiy i poudy o stejné aplitudw U I = vzájenw fázovw posunuty o RZ okažitá hodnota poudu i nulový vodiy e ~} 4 i = i + i + i = I sin ωt + sin ωt π + sin ωt π Po úpavu použijee vzoce sin ( α β ) = i = sin ω t sin ωt cosωt sin ωt + cosωt = Pokud zatížení fází není stejné, pochází nulový vodiy e alý vyovnávací poud b) To ivé agnetické pole Zjednodušení konstukce elektooto Stato elektooto na tx ífázový poud se skládá ze tx í cívek (posunutí ), viz ob 4 Poudy pocházející cívkai vyvolají stx ídavá agnetická pole (postoovw i fázovw posunuta o ) Okažité hodnoty vekto agnetické indukce B = B sin ωt kde po velikosti aplitud platí B B = B = B sin ωt π, 4 sin ωt π
³² ««š š ª ª ± Ÿ ž B = = B = B B Složení díl ích agnetických polí vznikne v postou ezi cívkai výsledné agnetické pole o agnetické indukci B, jako vektoový sou et indukcí B až B V sou adné systé x, y B = i B + j x x = B x B y = B = B cos sin ωt, = Bx = B cos 4 = B Seœ tee a upavíe poocí gonioetických vzoc B = B + B + B = B sin ωt sin ωt cos = B sin ωt Obdobn vyjád íe y složky vekto B až B : B =, B B + cosωt sin B = = x x x x + B B y y y = B sin = B sin 4 B B sin ωt cos 4 = = B B = = B B sin ωt π, 4 sin ωt π, cosωt sin 4 sin ωt π, 4 ωt π = Se tení y složek agnetické indukce obdžíe B = B + B + B = B y = y sin ωt cos B y cosωt y cosωt sin sin ωt cos 4 + cosωt sin 4 = Vekto výsledné agnetické indukce vyjádµ íe ve složkové tvau ( i sin ωt j cosωt) B = i Bx + jby = B (458) Výaz v závoce je jednotkový vekto, kteý otuje s fekvencí ω Vekto agnetické indukce výsledného agnetického pole á velikost B a s ase ní s otuje s ω To ivé agnetické pole agnetické pole, jehož vekto B neº ní s» ase velikost, ale º ní sº
Asynchonní t¼ ífázové otoy Kovový válec p½ i otaci v to¾ ivé agnetické poli bude ít stejnou ω jako je úhlová ychlost to¾ ivého agnetického pole (pokud nebude p½ ekonávat žádné odpoy) Bude-li válec p½ ekonávat odpo a tí konat páci (p½ i pohán ní stoje), bude se otá¾ et enší ychlostí V dà sledku toho se bude v kovové válci ychleji nit agnetický induk¾ ní tok, indukované poudy ve válci budou v tší a zv tší poto i síla, kteá uvádí válec do otace 4 6 ELEKTRICKÉ KMITY Vlastní kity oscilaá ního obvodu Uvažuje obvod sestavený z R, L, C podle ob 4 Nabijee p½ i ozpojené spína¾ i S P kondenzáto na nap tí U V ¾ ase t = sepnee spína¾ a necháe vybíjet kondenzáto p½ es cívku a ezisto Kondenzáto je zdoje elektootoického nap tí u C, kteé vyvolá poud i (¾ asov po nný) Se vzà stající poude v obvodu vzoste i agnetický induk¾ ní tok v cívce, kteý vyvolá indukované elektootoické nap tí u L Q dq di uc =, i =, ul = L C dt dt Podle Kichhoffova zákona usí být celkové EMN ovno úbytku nap tí na ezistou Ri = u C + u L a po dosazení Q di Ri = L (459) C dt dq Po deivaci a dosazení za = i À žee ovnici p½ epsat dt Rovnici vyd líe L Zave e ozna¾ ení a upave ovnici na tva d i di L + R + i = dt dt C d i R di + + i = (46) dt L dt LC R L = δ, = ω LC
Ä É ÖÕÕ ÔÓ ÒÒ ÖÕ ÔÓ Ò d i di + δ + ωi = (46) dt dt Chaakteistická ovnice této difeenciální ovnice je kvadatickou ovnicí λ + δλ + ω = Diskiinant této kvadatické ovnice je D = δ ω a její koã eny jsou = δ ± D λ, ešení ovnice (46) λt λt i = Ae + Ae, kde A a A jsou konstanty, kteé Å žee uæ it z poæ áteæ ních podínek Mohou nastat dva pã ípady: a) D, v obvodu, kdy poud i nejpve vzoste do axia a poté klesá k nule, aniž zè ní sè (kondenzáto se vybije stejnosè ný poude) b) D, tj platí δ Ê ω, koã eny kvadatické ovnice jsou koplexní a à ešení po úpavè vyjádã íe t i = I e δ sin ωt, kde koã eny kvadatické ovnice eálná Æ ísla Ä ešení ovnice vyjadã uje apeiodický dç j ω = ω δ V obvodu vzniknou tluené kity s úhlovou fekvencí ω Aplituda tè chto kitå se s ostoucí Æ ase exponenciálnè zenšuje I δt e δ koeficient tluení, OscilaË ní obvod obvod, ve kteé ohou vzniknout elektické kity PÌ eí na enegie v kitavé obvodu Vybíjející kondenzáto vyvolá v obvodu poud Î agnetické pole v dutinï cívky Î po vybití kondenzátou agnetické pole zanikne Î vznikne indukované napï tí u L na cívce Î nabije kondenzáto (s opað nou polaitou) atd se celý dï j opakuje Enegetické poñ y v oscilað ní obvodu Rovnici (459) vynásobíe poude i Ri = Qi C dq Po i = dostanee dt Dále ovnici upavíe Ri = C di Li dt dq Q dt di Li dt d Q d Ri = Li dt C dt Výazy v závokách jsou okažité hodnoty enegie kondenzátou (W e ) a agnetického pole cívky (W ) v oscilað ní obvodu
d Ri = W e + W dt Ri dt = d W e + W ( ) nebo ( ) (46) Výklad: PØ íù stek vnitú ní enegie ezistou za dobu dt (Joulovo teplo v ezistou) je oven úbytku celkové elektoagnetické enegie oscilaû ního obvodu za dobu dt Vlive úbytku enegie ozptyle polí v okolí cívky a kondenzátou klesá aplituda kitü s Û ase kity jsou tluené Geneáto tluených oscilací Ve vhodné okažiku usíe do obvodu dodat enegii (poud ze zdoje usí ít stejný sý jako poud cívkou pú i oscilacích obvodu) Osciláto Ú ízený spínaû, napú tanzisto Pincip je znázoný n na ob 4 MÝ je cívku o indukû nosti L a paalelný zapojený kondenzáto o kapacitý C (Odpo vinutí cívky zanedbáe) Ztáty enegie budee nahazovat z vný jšího zdoje U zd (stejnosý ný zdoj) pú ipojený pú es spínaû do obvodu ZajištÝ ní spávného okažiku sepnutí Cívka oscilaû ního obvodu o L je indukû ní vazbou vázána na vazební cívku L v (Poud v cívce oscilaû ního obvodu vyvolá indukované napý tí na cívce L v a toto zpü sobí po kátkou dobu sepnutí Ú ízeného spínaû e) IndukÞ ní zpß tná vazba: kladná pú ípad netluených oscilací, záponá kity okažitý zaniknou (vný jší zdoj by dodal do obvodu poud v okažiku, kdy je sý poudu v cívce obvodu opaû ný než poud zdoje)
æ Vázané oscilaà ní obvody Pá enos enegie z jednoho oscilaâ ního obvodu na duhý poocí elektoagnetické vazby ezi obvody Jeden obvod osciláto duhý obvod ezonáto Tá i základní duhy vazeb ezi oscilaâ níi obvody (ob 44) Indukã ní vazba (ob 44a) ealizuje se postá ednictví jejich agnetických polí (nenulová vzájená indukâ nost) Kapacitní vazba (ob 44b) ealizace elektický pole vazebního kondenzátou C v Galvanická vazba (ob 44c) uskuteâåä uje se ezistoe R v Pá enos enegie z oscilátou do ezonátou je axiální za podínky ω = ω, = (46) L C L C Pásová popusç pá enos uâ itého pása kitoâ tè v okolí obou ezonanâ ních kitoâ tè 4 Vynucené kity oscilaà ního obvodu Do blízkosti cívky oscilaâ ního obvodu uístíe duhou cívku (ob 45), kteou necháe pocházet poud i o úhlové fekvenci Ω i = I cosωt Pá i koeficientu vzájené indukâ nosti M je napé tí indukované postá ednictví indukâ ní vazby di u = M = M ( I Ω) sin Ωt = U sin Ωt dt Pá i poudu i v oscilaâ ní obvodu podle Kichhoffova zákona usí platit Ri = ul + uc + u Po vyjádá ení napé tí
î ôóò ñð di Q Ri = L + t + U sin Ωt dt C dq Rovnici deivujee podle ê asu a dosadíe za = i a upavíe dt d i di L + R + i = U Ω cosωt dt dt C Rovnici vydë líe L ì nehoogenní difeenciální ovnice í ádu s konstantníi koeficienty d i R di U Ω + + i = cos t dt L dt LC L Ω ešení této ovnice vyjadí uje vynucený poud i v oscilaê ní obvodu Po aplitudu I po vyí ešení a úpavë dostanee U I = (464) ï R + LΩ CΩ Výaz ve jenovateli je ipedance Z oscilaê ního obvodu pí i fekvenci Ω Bude-li se Ω vynucujícího poudu i spojitë ë nit, pak pí i jisté hodnotë Ω = Ω bude U ipedance v obvodu nejenší a aplituda bude axiální I ax = (ezonance) R pí i ezonanê ní fekvenci Ω = (465) LC Rezonanõ ní obvody oscilaê ní obvody u nichž dochází k ezonanci s vynucující signále Rezonanõ ní kö ivka gafické vyjádí ení závislosti I na Ω 4 7 NESTACIONÁRNÍ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE Vysokofekven ní poudy a napø tí Budee-li v oscilaê ní obvodu geneátou zenšovat L a kapacitu C, ù žee získat napë tí a poudy veli vysokých fekvencí (až Hz) Povchový jev pí i vedení vf poudu se pojevuje skinefekt V pí ípadë vf poudù je nejvë tší hustota poudu na povchu vodiê e a nejenší upostí ed S tí
souvisí i znaú né zvû tšení odpou vodiú e po poud vysoké fekvence, neboü po vedení je využita jen povchová vstva vodiú e (pokytí povchu vodiúþý vstvou stÿ íba nebo skládání z tenkých izolovaných dátý ) Vysvû tlení: (Ob 46) ást vodiú e s vf poude: poudové ú áy jsou ovnobû žné s povche vodiú e, každá je obklopena agnetickýi indukú níi ú aai (nû kteé pocházejí vnitÿ ke vodiú e) Uvnitÿ vodiú e existuje stÿ ídavý agnetický indukú ní tok, (û ní-li se sû poudu ve vodiú i, û ní se i sû agnetického pole títo poude vyvolaného), to zpý sobuje, že se ve vodiú i indukují kole agnetických indukú ních ú a poudy i i, sû poudý je na povchu souhlasný se sû e poudových ú a vzoste J Poudové ú áy kole osy vodiú e ají opaú ný sû než i i celková hustota poudu se uvnitÿ vodiú e zenší Rovnice kontinuity (spojitosti) poudu po nestacionání elektoagnetické pole Ve stacionání elektické poli usí být poudové ú áy uzavÿ ené kÿ ivky JdS = nebo difeenciální tva div J = S V obvodech st ídavého poudu pochází poud p es kondenzáto (s nevodivý dielektike) Obklopíe-li jednu elektodu nabitého kondenzátou uzav enou plochou S, pak p i vybíjení kondenzátou pochází obvode poud i zp sobený úbytke náboje dq na elektod kondenzátou za dobu dt dq i = dt Vyjád íe poud i plochou S poocí J, dostanee ovnici kontinuity v integální tvau po nestacionání pole dq J ds = (466) dt S Celkový náboj Q uvnit uzav ené plochy S vyjád íe poocí hustoty náboje ρ a integál na levé stan poocí div J V ρ divj dv = t Poovnání integand dostanee ovnici kontinuity poudu po nestacionání p ípad v difeenciální tvau ρ divj = (467) t a) Maxwellovy ovnice po kvazistacionání elektoagnetické pole a) Integální tva Maxwellových ovnic Gaussova zobecn ná v ta po tok vektou elektické indukce D uzav enou plochou (platí i po okažité hodnoty p íslušných veli in v nestacionání poli) S DdS = ρ dv (468) V
- ' 8 Tok vektou D uzav enou plochou S je oven celkovéu volnéu náboji uvnit této plochy Faaday v zákon elektoagnetické indukce asová z na agnetického pole vyvolává pole elektické dφ U i = E dl = (469) dt l Uzav enost agnetických induk ních a Tok vektou B uzav" enou plochou S je vždy oven nule # B ds = (47) S 4 Apé% v zákon celkového poudu (byl odvozen po stacionání pole, platí i po pole kvazistacionání) Cikulace B po uzav" ené dáze l je ovna µ µ násobku celkového poudu p" es plochu S ohani& enou k" ivkou l ' l B dl = µ µ J ds (47) S b) Difeenciální tva Maxwellových ovnic Použití Gaussovy a Stokesovy v) ty z vektoové analýzy Gaussova v* ta div D = ρ (47) Faaday, v zákon elektoagnetické indukce B ote = (47) t Uzav enost agnetických induk/ ních / a div B = (474) 4 Apé v zákon celkového poudu otb = µ µ J (475) lze upavit na tva ot H = J 4 Maxwellovy ovnice po nestacionání elektoagnetické pole Z Maxwellových ovnic po stacionání agnetické pole lze použít všechny ovnice v difeenciální a integální tvau ko4 Apéova zákona celkového poudu (á platnost po stacionání i po kvazistacionání elektoagnetické pole Po nestacionání pole neplatí je v ozpou s ovnicí kontinuity Rovnice kontinuity po nestacionání pole ρ divj = dt Rozpo: Apé6 v zákon v difeenciální tvau otb = µ µ J Po aplikaci divegence divot? B = µ µ divj, :>= :<; =
S c KJII L E c HG FF KJQQ i k i ii j c PO NN c b d h f f g c Musíe poto na pavé stan@ dosadit ísto vektou J takový vekto, jehož divegence je ovna nule Ten ub íe z Gaussovy v@ ty div D = ρ, kteou paciáln@ zdeivujee podle B asu D div = ρ t t a dosadíe do ovnice kontinuity Dostanee D divj = div t Úpava ovnice na tva div J L D + t = (476) Divegence vektou v závoce je ovna nule a tento vekto dosadíe do Apéova zákona ísto hustoty vodivého poudu J Rovnice vyhovující po nestacionání elektoagnetické pole D otb = µ µ J + (477) L t VeliR inu D J M = (478) t nazýváe hustota Maxwellova poudu (á nenulovou hodnotu jen v dielektiku nebo ve vakuu) Vekto D lze vyjádu it poocí vektou E a P vztahe D ε E + P, = poto hustota Maxwellova poudu J M á dvy složky D E P = ε + (479) t t t J M = Z P Výaz p\ edstavuje hustotu poudu zp] sobenou pohybe vázaných polaiza^ ních náboj] t p\ i ^ asové z_ n_ polaizace dielektika hustota posuvného poudu E!! ` len ε existuje i ve vakuu a není vázán na pohyb elektických náboj] t Maxwell] v poud á ovn_ ž agnetické ú^ inky e e ff Vydl lení µ µ lze ovnici upavit na tva l D B dl = µ µ J + ds (48) t S J M
u t sqq t po t nebo v difeenciální tvau D n n H dl = J + l t ds (48) t S D oth = J + (48) u t 5 Obvody s ozloženýi paaety Obvody s pvky R, L, C obvody se soustv edw nýi paaety (pole se šíx í do okolí álo) Obvody s ozloženýi paaety jsou tvox eny vodiy i s jednoduchou geoetií (dvouvodiy ové vedení, koaxiální vedení koaxiální kabel) Dvouvodiz ové vedení (ob 47) R, L, C jsou spojit{ ozloženy podél vedení Chaakteistické paaety vedení hodnoty R, L, C jsou vztažené na jednotku vedení () oznay ení R, L, C, Vodivost postx edí vztaženou ovn{ ž na jednotku vedení oznay íe G Induky ní nebo kapacitní vazbou vybudíe ve vedení elektické kity (elektické pole bude ú{ né U, agnetické I) Px i alých fekvencích oscilátou a alé délce vedení l px edpokládáe stejné okažité hodnoty u a i U vf oscilátou bude u(x, t) a i(x,t) záviset nejen na t, ale i na íst{ vedení Hodnoty po eleent dx ve vzdálenosti x od zay átku vedení (ob48) tedy vyjádx íe jako R dx, L dx, C dx, G dx
V íst x jsou okažité hodnoty nap tí a poudu ovny u(x, t) a i(x,t) (po jednoduchost (x, t) vynecháváe) vodivostní poud = G dxu (p} i nap tí u), i G náboj na kapacit C dx p} i nap tí u je Q = Cdxu, dq u poud kapacitou p} i ~ asové z n nap tí i C = = C dx dt t Poud v íst x +dx á hodnotu i i + dx x Podle Kichhoffova zákona poud p} itékající do úseku vedení se usí ovnat sou~ tu poud odtékajících i i = ig + ic + i + dx x Po dosazení u i i = G dxu + Cdx + i + dx t x Odtud po vyd lení výaze dx a úpav i u = G u + C (48) x t Podle Kichhoffova zákona (stejný úsek vedení, viz ob49) asová z na agnetického induk~ ního toku (kole vodi~ existuje agnetické pole) indukuje ve vodi~ ích nap tí i u L = L dx t Úbytek nap tí na odpou úseku vedení je u i u + R dxi + u + dx = Ldx x t Odtud po vyd lení a úpav u i = R i + L (484) x t
Budee-li ovnici (48) paciáln deivovat podle ƒ asu a ovnici (484) podle x, Bezztátové vedení zanedbatelné R, G ezi vodiƒ i Telegafní ovnice po bezztátové vedení u u LC = x t (485) i i LC = x t Po bezztátové vedení ají telegafní ovnice tva vlnové ovnice nap tí u a poud i se ší í podél vedení ve fo vln Vlna nap tí i vlna poudu se ší í po dvoudátové vedení ychlostí = L C v = (486) v L C Rychlost ší ení t chto vln je ovna ychlosti sv tla ve vakuu c Délka vlny na vedení je c λ =, f kde f je fekvence oscilátou D je na vedení v závislosti na tvau zakonˆ ení P i vhodné zakonƒ ení se vlna na konci že odážet a ší it zp t ke zdoji Supepozicí s p íou vlnou vznikne stojaté vlnš ní (uzly nebo kitny u, i) V íst vazební syƒ ky s oscilátoe je uzel nap tí a kitna poudu Podínky po vyladœ né vedení (ob4) Vedení s volný konce (zakon ené napázdno nekone nou ipedancí) na konci kitna nap tí a uzel poudu Po délku l vedení λ l = ( k ), k =,, (487) 4
Zkatované vedení (nulová ipedance) na konci kitna poudu a uzel napž tí Po délku vedení λ l = k, k =,, (488) V kitnách nap tí je nejv tší enegie W e, V kitnách poudu je nejv tší enegie W Každé vedení á u itou vlnovou ipedanci Ẑ v Po bezztátové vedení je ist eálná vlnový odpo L R v = = C L C nap R v, tedy Z ˆ = Z = R zk (489) Zakon ení vedení ipedancí Ẑ, kteá je ovna ipedanci vedení v v v Ẑ v (nebo R v ), pak initel odazu na konci vedení je oven na vedení existuje jen postupná vlna ší ící se od zdoje signálu k ipedanci Ẑ na konci vedení (celá enegie postupné vlny se spot ebuje v ipedanci Ẑ ) P izp sobení zát že a vedení po p ípad p enosu signálu od zdoje ke spot ebi i (nap od TV antény k TV p ístoji) D íve dvojlinka s vlnový odpoe R v = Ω, nyní koaxiální kabel s vlnový odpoe R v = 75 Ω 6 Obvody s otev enýi paaety U dvouvodi ového vedení je elektické i agnetické pole ozloženo podél vedení (p evážn však ezi vodi i a v blízké okolí Nejkatší délka l in vylad ného dvouvodi ového vedení (ob 4a) λ l in =, 4 Obvod s otev enýi paaety chcee-li, aby se elektické a agnetické pole ší ilo do okolního postou ealizace vodi e vylad ného dvouvodi ového vedení ozev ee na p íý vodi λ/ p lvlnný dipól (ob 4b,c)
Ÿ ª Pole p lvlnného dipólu se ší í do okolí ychlostí v ve foš elektoagnetických vln Rozložení nap tí a poudu na oscilující p lvlnné dipólu je na ob 4 Upost ed dipólu je kitna poudu (buzení vazbou oscilátou), nap tí á uzel upost ed dipólu a na koncích jsou kitny nap tí Kitny nap tí se d jí tak, že jeden konec dipólu je kladný a duhý záponý a obácen Použití: Ve sd lovací technice (antény, vysílaœ e) P i dopadu elektoagnetických vln o vlnové délce λ na p lvlnný dipól délky / dipól jako ezonáto a ozkitá se s kity odpovídající fekvence anténa p ijíaœ e elektoagnetických vln 7 ešení Maxwellových ovnic po hoogenní izotopní dielektiku P i ešení vyjdee z Maxwellových ovnic v difeenciální tvau div D = ρ, ot B =, B ote =, t D oth = J + t V dielektiku ρ =, tedy J = Po hoogenní, izotopní dielektiku lze využít "ateiálových vztah " D = ε ε E, B = µ µ H Po hoogenní, izotopní dielektiku po úpav dostanee ovnice H div E =, ote = µ µ, t E ot H =, oth = ε ε t λ pacuje
² ½ Abycho vyjád«ili ovnici po E aplikujee na ovnici opeáto otace a ovnici paciáln deivujee podle asu H otote = µ µ ot, t H E ot = ε ε t t Za výaz obsahující H na pavé stan dosadíe výaz z duhé ovnice E otote = ε ε µ µ = t Avšak otote = gad dive ³ E = E, kde je Laplaceµ v opeáto Tak dostanee ovnici po vekto elektické intenzity E E ε ε µ µ = (49) t Obdobný postupe dostanee ovnici po vekto agnetické intenzity H H ε ε µ µ = (49) t Rovnice (49) a (49) jsou vlnové ovnice popisující ší ení vektou E a H ve fo» elektoagnetické vlny v dielektiku Elektická i agnetická intenzita se ší¼ í stejnou ychlostí v = (49) ε µ µ ε Ve vakuu ε =, µ =, takže c = ε µ 8 s - (49) Rychlost ší¼ ení elektoagnetické vlny v dielektiku ( ) ε je enší než ychlost ší¼ ení ve vakuu, tj v < c Podíl ychlosti ší¼ ení vlny ve vakuu a dielektiku je tzv absolutní index lou dielektika c n = = ε µ (494) v VLASTNOSTI ELEKTROMAGNETICKÝCH VLN