I. MECHANIKA 3. Energie a silové pole II

Transkript

1 I. MECHANIKA. Enegie a silové pole II

2 ákladní typy konzevativních polí hoogenní pole pole centální síly

3 Hoogenní pole vektoové pole F á ve všech odech stejnou hodnotu F (,, g) intenzita pole I (,, g) naísto souřadnice z se užívá výška h h E p( ) F( ) d E p Ep ( h) g dz Eh g( h h ) Eh efeenční výška ha aditivní konstanta E h se volí tak, ay E p ( h ) pak vyjádření potenciální enegie ( h) gh a potenciálu ( h) gh E p h I g h h

4 Centální pole počátek sféické s.s. v centu síly na pozici půsoí síla F f ( ) půsoící síla á nenulovou pouze adiální složku skalání součin vektou síly F a difeenciálu d nezávisí na úhlových souřadnicích hledáe fouli závislou pouze na adiální souřadnici d píšee F( ) d f ( ) f ( ) d, kde skalání difeenciál d značí nikoliv velikost vektou d, nýž velikost půětu d do adiálního sěu analogicky: oecná foule E ( ) F( ) d po P.E. se zjednoduší na tva E ( ) f ( ) d p E p p E p 4

5 Newtonův gavitační zákon ezi ody o hotnostech a ve vzdálenosti půsoí přitažlivá síla F, kde gavitační konstanta 6.67 kg s zákon všeoecné gavitace ve vektoové tvau: ( ) silou F půsoí pvní od na duhý silou F F půsoí duhý od na pvní F F O 5

6 Gavitační pole veli hotného ojektu po lze uístit počátek vztažné soustavy do pozice pvního h.. a zanedat zpětné silové půsoení duhého odu na pvní pak se vztažná soustava pohyuje ez zychlení a je tedy ineciální hotnost centálního hotného odu udee značit M, hotnost testovacího tělesa a jeho polohový vekto M na testovací těleso pak půsoí síla F, což odpovídá oecnéu tvau centálního silového pole F f ( ) intenzita gavitačního silového pole odu o hotnosti M á intenzitu F M I (intenzita gavitačního pole je ovna gavitačníu zychlení) M potenciální enegie E p ( ) f ( ) d E p, kde f ( ), takže E p d ( ) M E p M E p M E p 6

7 Gavitační pole veli hotného ojektu oecné řešení E p ( ) M E p ěžně se volí efeenční úoveň a potenciální enegie na této úovni ovna M E p, takže pak platí E p ( ) E p( ) M potenciál ( ) ekvipotenciální plochy jsou kulové, siločáy adiální I 7

8 Gavitační pole ojektu konečných ozěů diskétní ozložení hotnosti: spojité ozložení hotnosti: F M I M ( ) i i I i ( ) i F M I ( ) I M ( ) dv V V dv Mateatická poznáka: ojeový integál se často zapisuje také jako M ( ) dv jednoduchý, oa následující zápisy ají stejný význa M V V ( ) dv oecný výpočet složitý s výhodou lze využít syetie (Rozložení hotnosti, kteé je závislé pouze na vzdálenosti od středu, vytvoří pole, jehož intenzita také závisí jen na vzdálenosti od středu.) 8

9 Tok vektoového pole plochou koueje tok vektoového pole A uzavřenou plochou (počet vycházejících siloča) na uzavřené ploše vyeee eleentání plošku velikosti ds noálový vekto n k plošce oientován sěe ven z uzavřené olasti oientovaný eleent plochy ds n ds eleentání tok ploškou učen půěte vektou pole do sěu noály k povchu d A n ds A ds vola sěu noálového vektou učuje význa znaénka toku: d... tok sěe ven d... tok sěe dovnitř d... A A n 9

10 Tok vektoového pole plochou celkový tok vektou A plochou S (celkový počet siloča vycházejících z části uzavřené plochy) eleentání plošky konečných ozěů A i S (část nohostěnu) infiniteziální eleentání plošky A( ) znaénko toku:... tok sěe ven (více siloča sěe ven)... tok sěe dovnitř (více siloča sěe dovnitř)... nulový celkový tok (stejný počet siloča dovnitř i ven); speciální případy A A n S i ds celkový tok uzavřenou plochou A( ) S ( V ) ds

11 Tok intenzity vyvolaný hotný ode Po zjednodušení výpočtu oklopíe h.. kulovou plochou: e syetie plyne, že intenzita pole I je všude kolá k ploše a á stejnou velikost I. Pak platí I n I ds I ( ) n( ) ds I povchkoule povchkoule I( ) ds I ( ) ds I( ) 4 4 povchkoule povchkoule Tok intenzity gavitačního pole vyvolaný jediný h.. hotnosti je oven I ds 4. S(V) ávislost na vzdálenosti se kopenzuje, potože ocnitel v Newtonově gavitační zákonu je oven přesně. Celkový tok uzavřenou plochou ude stejný po každou uzavřenou plochu liovolného tvau. I I I

12 Tok intenzity plochou liovolného tvau Odvodili jse, že celkový tok intenzity gavitačního pole kulovou plochou se střede v hotné odě nezávisí na poloěu. e syetie plyne, že totéž platí po části kulových ploch vyezené společný postoový úhle. Dále je zřejé, že tok intenzity ovinai pocházejícíi hotný ode je nulový. Potože oecnou plochu je ožno s liovolnou přesností apoxiovat koinací eleentáních soustředných kulových ploch a částí ovin pocházejících hotný ode, ovná se tok oecnou plochou toku kulovou plochou.

13 Gaussův zákon oecnění (Gaussův zákon) po diskétní ozložení hoty uvnitř uzavřené plochy: S(V) I ds 4 i i po spojité ozložení hoty uvnitř uzavřené plochy: S(V) I ds 4 V dv Důsledky: ), pokud uvnitř uzavřeného ojeu neleží žádná hota ) siločáy vyvolané hotou ležící vně uzavřeného ojeu sěřují dovnitř i ven a kopenzují se Gaussův zákon je ekvivalentní Newtonovu gavitačníu zákonu (připoeňe, že při jeho odvození haje důležitou oli skutečnost, že ocnitel v NG je pávě ; důsledke je nezávislost na tvau a velikosti uzavíající plochy)

14 Gaussův zákon V případě spojitého ozložení hoty (deivace jsou všude spojité) lze použít Gaussovu větu: I ds div I dv Pak platí S I ds S V 4 dv div I dv div I 4 dv V V div I 4 usí platit v každé odě (Gaussův zákon v difeenciální tvau) V Pozn.: Odoou po elektický náoj je Couloův zákon, kde také vystupuje závislost přesně na převácené kvadátu vzdálenosti. Ta také platí G 4

15 Gavitační pole syetického ojektu Naznačený způso lze použít po výpočet pole v okolí syetického ojektu: Rozložení hotnosti (celkové velikosti ), kteé je závislé pouze na vzdálenosti od středu, vytvoří pole, jehož intenzita také závisí jen na vzdálenosti od středu. Na kulové ploše poloěu (od středu syetie) oklopující celou geneující hotu ude ít intenzita pole stejnou velikost I. Aplikuje G. I ds 4 dv S(V) V I 4 I (Povšiněe si, že v toto vztahu není vzdálenost od hotného eleentu, nýž poloě kulové plochy. Přío ve středu syetie se neusí nacházet žádný hotný ojekt.) 5

16 Gavitační pole syetického ojektu Příklady:. hoogenní kulová slupka hotnosti : vně pole stejné jako pole h.. hotnosti uvnitř pole I =, potenciál konstantní. hoogenní koule poloěu R a hotnosti vně pole stejné jako pole h.. hotnosti uvnitř pole jako h.. hotnosti, tedy R I a potenciál ( ) R R d R R z ovnosti oou vztahů po = R platí ( R ) R R ( ) R R R 6

17 Gavitační pole kulové vstvy polé pole hoogenní kulové vstvy řešil už Newton: plošná hustota postoový úhel d plošný eleent ds hotnostní eleent d d ds d d ds E d ds d d ds E E E d ds d d ds d ds d ds Příspěvky od potilehlých plošných eleentů vyezených na vstvě eleentání postoový úhle d jsou stejně velké a opačně oientované, tj. kopenzují se. Intenzita gavitačního pole hoogenní kulové vstvy je uvnitř všude nulová, potenciál je konstantní. 7

18 Gavitační pole eě - přilížení hoogenní pole 8 potenciální enegie v alé výšce R h nad povche eě: h a h R R h a h R R R h R R a h R R R a M R M h R M E h E h E g g g g p p p ) ( () ) ( ) ( splněno jen v alých olastech

19 Gavitační pole eě - přilížení centální pole přiližný tva koule ozěy eě dříve geodetická ěření dnes GPS efeenční elipsoid WGS-84 (Wold Geodetic Syste 984) apy, navigace histoie apy vztažené k ůzný elipsoidů ozdíly i poloě eě: R = 678 k (ovníkový) R = 656 k (polání) R = 67 k (poloě koule stejného ojeu) geoid EGM96 (Eath Gavity Model 996) ekvipotenciální plocha tíhového pole co nejvíce se přiyká k hladině oceánu pochází v podzeí kontinentů Eathostenovo ěření ovodu eě

20 Gavitační pole eě - přilížení centální pole Jak se ění gavitační zychlení v okolí zeského povchu (užití difeenciálu)? a g M M da d g M a g ag a g i ez znalosti gavitační konstanty a hotnosti eě ůžee zjistit, že např. v nadořské výšce 678 etů (/ poloěu eě) se gavitační zychlení zenší opoti úovni ořské hladiny o / hodnoty, což je přiližně. s - ke zenšení gavitačního zychlení o. s - dojde při zvýšení nadořské výšky o 5 etů.

21 Tíhové zychlení na povchu eě tíhová síla půsoí v těžišti, uychluje těleso pozo na teinologii: tíha půsoí na okolní tělesa (podložka, závěs,...) a její půsoiště leží v ístě styku s podložkou, ukotvení závěsu,... z hlediska neineciální v.s. spojené pevně se eí je tíhová síla vektoový součte gavitační síly a odstředivé síly (setvačná síla) platí: cos R F s F G F g F s F g F s cos stav eztíže nepojevuje se půsoení tíhy na okolní tělesa v příslušné neineciální v.s. dojde k vyizení tíhové síly díky setvačný silá například: v případě neineciální v.s. spojené se stanicí na oěžné dáze se vektoově skládá gavitační síla a odstředivá síla ty ají stejnou velikost, takže výsledná tíhová síla je nulová v případě n.v.s. spojené s padající zdviží se vektoově skládají gavitační síla a setvačná síla ty ají stejnou velikost

22 Standadní hodnota tíhového zychlení Jako standadní yla na. Geneální konfeenci po íy a váhy v. 9 stanovena tzv. noální hodnota tíhového zychlení g s (přesně) ěření lokálního tíhového zychlení n evezní kyvadlo doa kyvu kyvadla závisí na g (paktiku) alistický gaviet volný pád ve vakuu (nejistota řádu -8 s - ) expeientální závislost tíhového zychlení na zeěpisné šířce na úovni oře Intenational Gavity Foula 967: g ( ) 9.787(.54sin.58sin odtud vychází g (45') s ) s

23 apočtení odstředivé síly Na ovníku je tíhové zychlení enší než gavitační o hodnotu a s s 4 6 6s (což odpovídá zvýšení nadořské výšky o cca k) Expeientálně zjištěná hodnota tíhového zychlení na ovníku je 9.78 s -. Gavitační zychlení pak vychází přiližně 9.84 s -.

24 Hotnost eě hotnost eě M se učuje na základě gavitační inteakce nejjednodušší výpočet na základě zěřeného gavitačního zychlení a g na ovníku a g M F g M I R ag R M 9.84s (678 ) kg kg s ůžee spočítat oje eě (užijee střední hodnotu poloěu) a vypočítat střední hustotu 4 M 5.98 kg kg 4 R (67 ) využili jse znalosti gavitační konstanty 4

25 Měření gavitační konstanty po její učení ylo nutno povést skutečné ěření síly půsoící ezi tělesy definované hotnosti tozní váhy, kde tíhová síla půsoí na tělesa kolo k ose otace vah, takže nevlivní ěření Heny Cavendish (7 8, Anglie) ěřil v. 798 poocí tozních vah gavitační konstantu v jiných jednotkách po přepočtu 6.74 kg s po něj to ale yl nepříliš podstatný ezivýsledek konečný pulikovaný výsledke jeho expeientu yla pávě půěná hustota planety eě (5.448 g c ) 5

26 Co jse neuvažovali eě není hoogenní slupky výazně odlišné hustoty (víe, že to y nevadilo, pokud y slupky yly hoogenní) "RadialDensityPREM" y AllenMcC. - Own wok, Pape: File/People/dla/DLApepi8.pdf. Licensed unde Ceative Coons Attiution. via Wikiedia Coons File:RadialDensityPREM.jpg#edia viewe/file:radialdensityprem.jpg 6

27 Gavietická apa světa neovnoěné ozložení hoty ve slupkách (naušuje pavidelnost pole) 7

28 Gavietická apa světa "GRACE gloe aniation" y NASA/JPL/Univesity of Texas Cente fo Space Reseach. Licensed unde Pulic doain via Wikiedia Coons loe_aniation.gif#ediaviewe/file:grace_glo e_aniation.gif 8

29 Gavietická apa České epuliky 9

30 Pohy v hoogenní poli vhy pohy v gavitační poli: F, g d x d y pohyové ovnice:, g dt dt d x d y explicitní foulace:, g dt dt pvní integály: dx dy k, gt k dt dt gt oecné řešení: x kt d, y kt d počáteční podínky: v t ) ( v, v ), t ) ( x, x ) ( ( gt poovnání s poč. podínkai: x vt x, y vt x vh vodoovný v( t ) ( v,) ( v,) ( t ) (, x) (, h) p t ) ( v,) (

31 Pohy v hoogenní poli vhy vh vodoovný ( t ) [ p] v h z z E k ( t ) v E p ( t ) gh v( t) ( v, gt) ( t) ( vt, h gt ) p( t) ( v, gt) z ( t) [ p] z vgt vh E k ( t) ( v g t ) E p ( t) g( h gt ) t J ( t) Fdt (, gt) p( t) p()... ipuls tíhové síly oven náůstu hynosti M z ( t) E ( t) E k t p F dt ( t) z ( v v g t g t t dt v ) g( h gt gt ) ( t) () z v k p z... ipuls oentu tíhové síly gh E () E oven náůstu oentu hynosti ()... ME o celková echanická enegie se zachovává o hynost a oent hynosti se ění půsoení tíhové síly

32 Pohy v hoogenní poli vhy vh šiký v( t ) ( v, v) ( v cos, v sin ) ( t ) (,) p( t ) ( v cos, v sin ) v( t) ( v cos, v sin gt) ( t) ( vt cos, vt sin gt ) p( t) ( v cos, v sin gt) J ( t) Ft (, gt) p( t) p()... ipuls tíhové síly oven náůstu hynosti

33 Pohy v centální poli - Kepleova úloha centální pole F M F d. N: M v konst dt zachovává se ovina pohyu vektoy a v stále ve stejné ovině zvolíe katézskou s.s. tak, že x v pak složky oentu hynosti: přejdee do poláních souřadnic: x x cos sin v v x x cos sin sin cos ( x v ( x v xv x v ) ) x x x actg x v v adiální složka aziutální složka cos( sin cos) sin ( cos sin ). složka o. hynosti cos sin cos sin cos sin cos sin (cos sin )

34 . Kepleův zákon (zákon ploch) velikost oentu hynosti (tj. velikost jediné jeho nenulové složky) lze nalézt i jednodušeji: v vsin v aziutální složka v v v v zavedee plošnou ychlost (viz oázek) vsin v p v vyjádříe v p poocí oentu hynosti a využijee jeho konstantnosti v p konst.. Kepleův zákon (zákon ploch): Plochy opsané původiče planety za jednotku času jsou konstantní. 4

35 Kepleova úloha sestavení dif. ovnice 5 potenciální enegie gavitačního pole M F p E d d F M E p ME: konst v E E E p k ) sin (cos ) sin (cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos ) cos sin ( ) sin cos ( v v v v v E MH: E E

36 Pohy v centální poli vyloučení času Deivace invezní funkce: nechť invezní funkce k y f (x) je x g(y) a f ( x), pak dx dy f ( x) nehledáe závislosti (t) a (t) zajíá nás tva dáhy, takže ná stačí funkce () vituálně zavedee složenou funkci ( t( )) d d dt d dt d E E 6

37 Dif. ovnice se sepaovanýi poěnnýi oyčejná difeenciální ovnice. řádu dy f ( x, y) dx speciální tva funkce dy f ( x) g( y) dx dy řešení poocí sepaace poěnných g( y) f ( x) dx integály na oou stanách se ovnají dy g( y) f ( x) dx 7

38 Kepleova úloha ovnice kuželosečky E d E Q p Q d p d d d Q p d Q p výpočet piitivní funkce zde nepovádíe; spávnost lze ověřit deivování p p accos C Q p accos C p Q p p cos( C ) p toto je polání ovnice kuželosečky p cos( C ) počátek souřadnic leží v ohnisku kuželosečky, úhel C leží ezi původiče a osou kuželosečky, hodnota Qp (číselná excenticita) učuje typ kuželosečky: 8

39 . Kepleův zákon... hypeola E E... paaola E E... elipsa E E... kužnice E E E E E E platí-li E, představuje odvozená ovnice elipsy. Kepleův zákon: Planety oíhají kole Slunce po elipsách, v jejichž jedno ohnisku leží Slunce. 9

40 . Kepleův zákon 4 součin plošné ychlosti a doy oěhu je oven ploše elipsy a T využití. K dostanee a T 4 a T dále víe a p a spojení dostanee 4 a a T 4 a T po úpavě konst M a T 4 4 a to je. Kepleův zákon: Poě duhých ocnin oěžných do liovolných dvou planet je oven poěu třetích ocnin velkých poloos jejich dah.

41 Ověření výpočtu piitivní funkce p accos C Q p sustituce: p x x() Q p accos x C d dx d (accos x C) d dx d accos x x dx d Q p d d d Q Q p p p Q p 4

42 Paaety eliptické dáhy chaakteistiky oecné elipsy: číselná excenticita a, kde a a jsou delší a katší poloosa elipsy paaet p, po kteý platí p a po eliptickou oěžnou dáhu platí vzhlede k užitý sustitucí: číselná excenticita E E a paaet p značil veličinu p popojení předchozích E a a E E (připoeňe: E ) 4

43 Pvní a duhá kosická ychlost jednoduché odvození.k po kuhové dáhy (poloě = velká poloosa) gavitační síla tvoří sílu dostředivou: M M M T 4 T M T pvní kosická ychlost ychlost pohyu po kuhové dáze v lízkosti povchu eě stejná ovnice jako pve, jen vyjádříe oěžnou ychlost vi R na povchu eě v R I M R v I M, po ei v I 7.9 k/s R duhá kosická ychlost ychlost, kteou á těleso pohyující se po paaolické dáze v peigeu je-li poalejší, pohyuje se po elipse, je-li ychlejší, pohyuje se po hypeole celková enegie po paaolickou dáhu je nulová; ME: E po ei M M Ek E p v vii R v II. k/s v II M R 4