1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník = 9m, = 4m, = 6m. Odhdni, která z výšek ude nejdelší, která nejkrtší. Poté výšky nrýsuj, oznč změř jejih velikosti. Protínjí se přímky, n kterýh výšky leží, v jednom odě? Odhd délek výšek: v > v > v. 1
V 0 0 v v 0 Délky výšek: v = 3, 2 m, v = 4,8m, v = 2,1m. Přímky, n kterýh leží výšky se protínjí v jednom odě (oznčen jko V). Přímky, n kterýh leží výšky trojúhelníku, se protínjí v jenom odě (který většinou oznčujeme V). Př. 2: Nrýsuj liovolný rovnormenný trojúhelník se zákldnou. Které jeho výšky udou shodné? Výšky nrýsuj, změř ověř tk svůj odhd. Trojúhelník, který rýsuješ zvol tk, y o nejméně podoný trojúhelníku, který rýsuje Tvůj soused. Odhd: Trojúhelník je rovnormenný se zákldnou rmeny jsou strny shodné udou výšky v v (výšky kolmé n rmen trojúhelníku). 0 0 v v 0 Délky výšek: v = 5, 2 m, v = 5, 2m, v = 3,2m náš předpokld, že udou shodné výšky v v se potvrdil. Pedgogiká poznámk: Žái smozřejmě čstěji rýsují ostroúhlé trojúhelníky, ož v žádném přípdě není n závdu. 2
Př. 3: Nrýsuj liovolný prvoúhlý trojúhelník XYZ s prvým úhlem u vrholu Y. Odhdni, ve kterém odě se protnou jeho výšky. Výšky nrýsuj odhd ověř. Z X Y Výšk v x má ýt kolmá n strnu YZ proházet odem X musí ýt shodná se strnou XY (t je tké kolmá n strnu YZ prohází odem X), výšk v z má ýt kolmá n strnu XY proházet odem Z musí ýt shodná se strnou YZ (t je tké kolmá n strnu XY prohází odem Z), výšky se zřejmě protnou ve vrholu Y. Z Y 0 v z X v x Y= = X 0 Z 0 Pedgogiká poznámk: Největším prolémem v předhozím příkldu je ov, zd výšk může ýt zároveň strnou. Pokud se žái přímo ptjí, zd je možné, y výšk yl zároveň strn, ptám se jih, jestli to ylo někde zkázné, neo jestli to vyplývá z vlstnosti výšek (strn). V nprosté většině přípdů se pk rozhodnou smi ( správně). Př. 4: Poloh průsečíku výšek závisí n druhu trojúhelníku. Ve kterýh trojúhelnííh leží průsečík výšek uvnitř, ve kterýh vně ve kterýh n hrnii trojúhelníku? Poloh průsečíku výšek závisí n velikosti největšího vnitřního úhlu v trojúhelníku: ostroúhlé trojúhelníky: průsečík výšek leží uvnitř trojúhelníku, prvoúhlé trojúhelníky: průsečík výšek leží ve vrholu, u kterého leží prvý úhel, tupoúhlé trojúhelníky: průsečík výšek leží mimo trojúhelník. Pedgogiká poznámk: Prvidlo formulují žái sešiteh teprve poté si ho ukzujeme n modelu v Geogeře. Pedgogiká poznámk: 3
Př. 5: Měřením úhlů je možné určovt i vzdálenosti, které nemůžeme změřit přímo. Urči šířku řeky, jestliže n jedné strně řeky yl změřená vyznčená vzdálenost dv zkreslené úhly. 74 42 70 m šířk řeky 74 42 70 m Šířk řeky odpovídá výše trojúhelníku kolmé n změřenou strnu nrýsujeme si zmenšený vyznčený trojúhelník, změříme výšku v přepočteme její velikost. Rýsujeme trojúhelník : = 7m, α = 74, β = 42. Výšk 0 v = 5m skutečná šířk řeky je 50 m. Př. 6: Přečti si zdání elého příkldu, rozmysli řešení (nčrtni si ho) teprve poté zčni rýsovt. Nrýsuj liovolný ostroúhlý trojúhelník. Vyznč v něm výšku v. Nrýsuj liovolný tupoúhlý trojúhelník KLM, jehož výšk v m je shodná s výškou v trojúhelníku. Náčrtek: 4
M K L O trojúhelníky musí mít stejně dlouhé výšky stčí nrýsovt o tk, strny KL ležely n stejné příme vrholy M n příme s ní rovnoěžné. Pedgogiká poznámk: Následujíí příkld je určen zájemům. Př. 7: Nrýsuj liovolný trojúhelník. Sestroj všehny jeho výšky. Všemi vrholy trojúhelníku veď rovnoěžky s protějšími strnmi trojúhelníku. Sestrojené rovnoěžky vytvoří trojúhelník XYZ. Jkou roli hrjí přímky, n kterýh leží výšky trojúhelníku v trojúhelníku XYZ? 0 Y v 0 v X 0 Z Přímk, n které leží výšk v je kolmá n strnu ZY (protože je kolmá n strnu ) prohází středem strny YZ (změřeno) jde o osu úsečky YZ. Přímk, n které leží výšk v je kolmá n strnu XZ (protože je kolmá n strnu ) prohází středem strny XZ (změřeno) jde o osu úsečky XZ. Přímk, n které leží výšk v je kolmá n strnu XY (protože je kolmá n strnu ) prohází středem strny XY (změřeno) jde o osu úsečky XY. přímky n kterýh leží výšky trojúhelník jsou osmi strn trojúhelník XYZ. Pedgogiká poznámk: Neočekává se, že y žái skutečnost, že přímky proházejí středy strn trojúhelník XYZ dokzovli, jde o záležitost postřehu, měření přesnosti rýsování. 5
Shrnutí: Výšk je úsečk spojujíí vrhol s ptou kolmie n protější strnu. 6