( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

Transkript

1 1.3.8 Intervly Předpokldy: , , , Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno mezi nimi) existuje úspornější zápis: B = x R;2 x 5 = 2;5 { } Zápis 2;5 znmená: Do zpsné množiny ptří čísl 2, 5 všechno mezi nimi význm číslic je jsný, závorky znmenjí všechno mezi nimi. Této množině říkáme intervl (uzvřený). Jk zpíšeme množinu C { x R;3 x 40} = < <? Opět nekonečně mnoho čísel (všechno mezi 3 40 ) podobné jko předtím, le bez krjních bodů (3 ni 40 mezi čísl v množině neptří) použijeme stejný systém, le změníme závorky (by bylo vidět, že krjní body do množiny neptří): { ;3 40} ( 3; 40 ) C = x R < x < =. Této množině říkáme intervl (otevřený). Př. 1: Zpiš pomocí intervlu následující množiny. ) A = { x R; 2 x < π} b) B = { x Z;1 x 5} c) C = { x R;0 x < 7} d) D = { x R; x < 2} ) A = { x R; 2 x < π} = 2; π ) b) B { x Z;1 x 5} c) C = { x R;0 x < 7} = 0; 7 ) d) D = { x R; x < 2} = ( 2; 2 ) = - nejde, x je pouze z celých čísel n ose pouze body. Pedgogická poznámk: Jediné problémy jsou s bodem b), kde studenti čsto zpomínjí, že zápis 1; 5 znmená 1 5 všechn čísl mezi nimi není možné jej použít n zápis podmnožiny celých čísel. Přehled omezených intervlů. Chrkteristická vlstnost Zápis intervlu Zkreslení n ose Název x b, b b < x b (, b b uzvřený intervl polozvřený intervl(nlevo otevřený, 1

2 nprvo uzvřený) x < b, b ) b < < (, ) x b b b polozvřený intervl(nprvo otevřený, nlevo uzvřený) otevřený intervl Pedgogická poznámk: Předchozí tbulku promítnu studentům, le do sešitu ji nepřepisujeme. Stejně jko pozdější tbulku s neomezenými intervly. POZOR: Při zápisu intervlu musí být menší číslo vlevo: (1,7) je dobře, (7,1) není intervl, le = x R;7 < x < 1. prázdná množin { } Je rozdíl mezi 1,2 { 1,2 }. { } 1,2 je množin, která obshuje pouze dvě čísl: 1 2. Množin 1,2 obshuje nekonečně mnoho čísel to 1, 2 všechn čísl mezi nimi (npř. 1,5; 1, ; 1, td.). Pedgogická poznámk: Žáci čsto pletou různé druhy závorek. Snžím se to netolerovt, zejmén tím, že si hrji n hlupák, výsledky beru doslovně nesnžím se domýšlet, co vlstně žáci zápisem chtěli sdělit. Př. 2: Znázorni n číselné ose všechn čísl, která vyhovují podmínce x N ose vnikl polopřímk, množin je ohrničená pouze z jedné strny nepíše se 1..., le 1; ). Znk (plus nekonečno) znmená, že směrem doprv jdeme pořád dál 1; ) je neomezený intervl. Př. 3: Zpiš pomocí intervlu následující množiny. A x Q; x 2 B = x R; x 2 ) = { } b) { } c) C { x R; x 1,01} = d) 2 D = x R; x > 13 ) A { x Q; x 2} = - nejde, x je pouze z rcionálních čísel n ose pouze body, ne polopřímk B = x R; x 2 = 2; b) { } ) c) C = { x R x } = ( ; 1,01 ;1, d) D = x R; x > = ;

3 Pedgogická poznámk: Povídáme si s těmi, kteří opět zpíší pomocí intervlu i množinu v bodě ). Kdo se neumí poučit s vlstních chyb. Osttní chválím. Neomezené intervly Dv speciální znky: - (minus nekonečno), (+) (plus nekonečno), u těchto znků se vždy píše kultá závork (nekonečno, jk víme, není žádné konkrétní největší číslo). Chrkteristická vlstnost Zápis intervlu Zkreslení n ose Název x, + ) x > (, + ) zprv neomezené intervly x (, x < (,) zlev neomezené intervly Speciální neomezený intervl (, ) = R. Intervly jsou množiny je možné určovt jejich průniky sjednocení (má to význm při řešení rovnic nerovnic). Př. 4: Urči sjednocení průnik následujících dvojic intervlů. ) 2;1, 1; ) b) 2; 2, 2;4 c) ( 2;2), 2;4 d) ( 2;1), 2;4 Ve všech přípdech si můžeme pomoci obrázkem číselné osy s nkreslenými intervly. ) 2;1, 1; ) 2;1 1; = 2; ) ) 2;1 1; ) = 1;1 b) 2;2, 2;4 2;2 2;4 = 2;4 2;2 2;4 = { 2} c) ( 2;2), 2;4 3

4 2;2 2;4 = 2;4 ( ) ( ( 2;2) 2;4 = d) ( 2;1), 2;4 2;1 2; 4 - nejde zpst jko intervl ( ) ( 2;1) 2; 4 = Pedgogická poznámk: S příkldem nebývjí problémy. Jenom se bvíme o zápisu průniku v bodě b) (někteří žáci píší 2 ) hlvně o sjednocení v bodě d) (chybný výsledek ( 2;4 ). Snžím se žákům vysvětlit, že v podsttě bezdůvodně porušili zákldní prvidlo pro intervly obshují všechno mezi nimi. Pro jejich budoucí mtemtiku je to vrující zlozvyk, protože ve chvílích nejistoty je potřeb se obrcet k prvidlům ne bezdůvodně opisovt předchozí výsledky. Pedgogická poznámk: Slbší žáci stihnou v hodině předchozí příkld. Ti lepší pokrčují v dlších příkldech. Kontrolu předchozího příkldu je třeb stihnout ještě v hodině. Př. 5: Všechn reálná čísl, pro něž pltí x 1 2, zpiš pomocí intervlu. Nkreslíme řešení n číselnou osu Řešením je tedy intervl 1;3. Pedgogická poznámk: Předchozí příkld by žáci měli umět, protože se probírl přibližně týden půl před touto hodinou. Už tk krátká dob stčí k tomu, by někteří červený rámeček n význm bsolutní hodnoty z rozdílu dvou čísel zpomněli. Tkže rozdávám mínusy snžím se ukázt, jký je rozdíl v obtížnosti příkldu pro ty, kteří si pmtují kteří všechno zpomněli. 4

5 Př. 6: Všechn reálná čísl, pro něž pltí x k, zpiš pomocí intervlu. Při řešení nevyužívej číselnou osu. Vymysli, co nejvíce způsobů, jk zkontrolovt správnost výsledku. x k hledáme čísl vzdálená od o k méně. Má smysl pouze pro k > 0 (neexistuje záporná vzdálenost), nejmenší hledné číslo k (vzdálené od o k směrem vlevo), největší hledné číslo + k (vzdálené od o k směrem vprvo), intervl k; + k. Kontroly 1. Doszení konkrétních čísel, pro které známe řešení. x 1 2 má řešení 1;3 Pltí = 1; k = 2, dosdíme do řešení příkldu: k; + k = 1 2;1+ 2 = 1;3. 2. Odvození jiným způsobem. Řešíme příkld x 1 2 hledáme čísl vzdálená od 1 o 2 méně intervl 1 2;1+ 2 = 1;3 - ponecháme nevypočtené řešení 1 2;1+ 2, je z něj vidět postup. Pltí = 1; k = 2 1 2;1+ 2 = k; + k. Př. 7: Petáková: strn 11/cvičení 19 strn 11/cvičení 20 Shrnutí: Intervl je způsob, jk jednoduše zpst podmnožinu reálných čísel, která je ohrničen dvěm čísly (nebo nekonečnem) obshuje všechno mezi nimi. 5