Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném Hlbertově prostoru e defnován skalární součn, my s tento budeme značt v souhlase s Dracovou notací ako. Spolu s vektory Hlbertova prostoru můžeme, č musíme, uvažovat zobrazení, která na těchto vektorech působí. Nebot se omezueme pouze na konečněrozměrné Hlbertovy prostory, představuí všechny operátory defnované na daném Hlbertově prostoru množnu omezených operátorů B(H ). Omezené operátory samotné tvoří další Hlbertův prostor, zavedeme-l na něm Hlbert-Schmdtův skalární součn následuícím způsobem. Měme dva operátory A, B B(H ), pak ech skalární součn e defnován vztahem (A, B) Tr(A B), () kde C e operátor hermtovsky sdružený k operátoru C a Tr(C) značí stopu operátoru C, vz sekc??. V prostoru můžeme dále vydělt množnu všech pozorovatelných {A B(H ) A = A} na prostoru H tvořenou hermtovským operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s čstým stavy, vektory. Operátory představuící vývo systému č měření vzaly vektor a vrátl ný vektor. Měl-l sme stou pozorovatelnou A, dostal sme eím změřením na daném čstém stavu ψ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru A a které sme nterpretoval ako výsledek měření. Pokud přtom nebyl vektor ψ vlastním vektorem pro A, obdržel sme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu. Důležté bylo s uvědomt, že vše, co o daném stavu kvantového systému sme schopn zstt, sou průměrné hodnoty nerůzněších velčn. Výsledek edného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlšume nyní na chvíl důsledně dva pomy, stav systému ψ a emu příslušný vektor ψ. Stavem systému máme na mysl soubor všech eho vlastností. Pro pops stavu kvantového systému tak e nezbytné uvést střední hodnoty A ψ všech pozorovatelných A na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla stuace ednodušší v tom, že místo vypsování všech těchto středních hodnot sme měl prostředek, ak e snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor ψ, z něhož sme odpovídaící střední hodnotu pozorovatelné A obdržel vypočtením výrazu ψ A ψ, který sme prohlásl za střední hodnotu A ψ. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazval sme ho čstým stavem. Použme analogcký postup v šrším kontextu. Opust me zažtou představu čstých stavů a defnume s stav ako zobrazení, které každé pozorovatelné přřazue reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou A a vrátí odpovídaící střední hodnotu A. Korektní defnce zní následovně. Defnce.. Stavem systému nazveme lneární funkconál S B(H ) R splňuící dodatečné podmínky:. Normalzace: S(I) =. (To est, na denttu vrátí ednčku.) 2. Poztvta: S(A A) 0, A B(H ). (To est, na každý poztvní operátor vrátí nezáporné číslo.)
Reszova věta říká, že pro každý lneární funkconál S nademe operátor ρ B(H ) tak, že S(A) = (ρ, A) = Tr(ρ A) pro každý A B(H ). O tomto operátoru s ukážeme, že e hermtovský a má ednotkovou stopu. Za tím účelem tedy uvažume lbovolný hermtovský operátor A = A B(H ). Využeme-l toho, že S( ) = S( ), kde značí komplexní sdružení, dostáváme Tr(ρ A) = (Tr(ρ A)) = Tr(ρA ) = Tr(ρA). Pro lbovolnou pozorovatelnou tedy platí Tr(A(ρ ρ)) = 0. Dále s uvědomme, že každý operátor Y B(H ) lze rozložt na lneární kombnac hermtovských operátorů Y a Y 2 způsobem Y = Y + Y 2, kde Y = (Y + Y )/2 a Y 2 = (Y Y )/2. Obdržel sme tak rovnost Tr(Y (ρ ρ)) = 0 pro obecný operátor Y, z čehož ž plyne ρ = ρ. Operátor ρ e tedy hermtovský. Z normalzační podmínky navíc vyplývá S(I) = Tr(ρ I) = Tr(ρ) =. Druhá defnční vlastnost nám přtom zašt ue 0 S(C) = Tr(ρC) pro všechny poztvní operátory C. Pokud zvolíme C = ψ ψ, tak Tr(ρC) = Tr(ρ ψ ψ ) = ψ ρ ψ 0 pro všechny ψ H. Operátor ρ e tedy dokonce poztvní. Defnce.2. Operátor z úvah výše se nazývá operátor hustoty, popř. matce hustoty. Nebot poztvta ž vynucue hermtovost, tak lze operátor hustoty charakterzovat ako poztvní operátor s ednotkovou stopou, t. ρ 0 a Tr(ρ) =. Z defnčních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyádřt ve tvaru ρ = λ ψ ψ, kde λ 0, λ = a {ψ } e ortonormální báze tvořená eho vlastním vektory. Vdíme, že ač sme s stav defnoval ako stý lneární funkconál, veškerou prác se stavem daného systému lze redukovat na počítání s emu odpovídaící matcí hustoty. V následuícím budeme pomy operátor hustoty a stav volně zaměňovat. Množnu všech stavů na daném Hlbertově prostoru H označíme S(H ). Jedná se o konvexní množnu, nebot konvexní kombnace operátorů hustoty e opět operátor hustoty. Extremálním body této množny sou přtom čsté stavy, t. stavy, echž operátor hustoty e proektor ρ = ψ ψ pro něaké ψ H. Máme-l zadán operátor hustoty, ak snadno zstt, zda popsue čstý stav? Nutnou a postačuící podmínku uvádí následuící tvrzení. Věta.. Operátor hustoty ρ S(H ) popsue čstý stav právě tehdy, když Tr(ρ 2 ) =. Důkaz. Pro důkaz mplkace zleva s stačí uvědomt, že když e operátor hustoty ρ čstý stav, tak exstue vektor ψ H takový, že ρ = ψ ψ e proektor. Platí tedy ρ 2 = ρ a z normalzace operátoru hustoty hned Tr(ρ 2 ) = Tr(ρ) =. Pro důkaz opačné mplkace uvažume obecný tvar operátoru hustoty, ρ = λ ψ ψ, kde { ψ } e ortonormální báze a {λ } tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchým výpočty zstíme, že ρ 2 = λ 2 ψ ψ, ehož stopa zní Tr(ρ 2 ) = λ 2. Nebot e λ 0 a λ =, z podmínky Tr(ρ 2 ) = už rovnou plyne, že právě edno vlastní číslo λ 0 e ednčka a ostatní sou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala λ <, což mplkue λ 2 < λ. Máme tedy = λ > λ 2, což e spor s předpoklady dokazované mplkace. Celkem tak máme ρ = λ 0 ψ 0 ψ 0 = ψ 0 ψ 0 a ρ e tak čstý stav. V případě dvourozměrného Hlbertova prostoru lze operátory hustoty vyádřt pomocí Paulho matc. Paulho matce sou tř 2 2 matce tvaru σ X = ( 0 0 ), σ Y = ( 0 0 ), σ Z = ( 0 0 ). (2) 2
. Evoluce operátoru hustoty Operátory hustoty sou pak tvaru ρ = 2 (I + τ σ X + τ 2 σ Y + τ 3 σ Z ), kde τ = (τ, τ 2, τ 3 ) R 3 e vektor, ehož velkost e τ, nak by ρ nebyl poztvní operátor. Pro τ = popsue ρ čstý stav.. Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému Výše sme uvedl, že se budeme zabývat otevřeným systémy. Uděleme na chvíl krok zpět a koukněme se, ak se operátor hustoty ρ chová v případě uzavřeného systému. Uvažume ρ(t) = λ (t) ψ (t) ψ (t) coby funkc času, kde ednotlvé bazcké vektory ψ (t) podléhaí Schrödngerově rovnc d ψ (t) = H ψ (t), (3) dt Zdervueme-l operátor hustoty ρ(t) podle času a dosadíme-l za vznklé výrazy ze Schrödngerovy rovnce, dospíváme k rovnc tvaru d ρ(t) dt = [H, ρ(t)] L(ρ(t)), (4) kde sme s defnoval zobrazení L B(H ) B(H ), ež se nazývá Louvlleův operátor. Jedná se o anthermtovský lneární superoperátor zachovávaící stopu (vz pozdě). Právě uvedenou rovnc budeme moc porovnat s evoluční rovncí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývo otevřených systémů. Časový vývo operátoru hustoty lze explctně v případě uzavřeného systému vyádřt ve tvaru ρ(t) = U(t) ρ(0) U (t), (5) kde U(t) e ednoparametrcký systém stých untárních operátorů. Stále platí, že časovým vývoem přede čstý stav opět na čstý stav. U otevřených systémů už vývo stavu nepůde popsat pomocí untárního operátoru tímto způsobem..2 Pops složeného systému Velm důležtým konceptem v kvantové teor e poem složeného systému. Každému kvantovému systému e přdružen Hlbertův stavový prostor H. V axomatckém přístupu kvantové teore se postulue, že Hlbertův prostor systému složeného ze systémů A a B e roven tenzorovému součnu H = H A H B Hlbertova prostoru H A systému A a Hlbertova prostoru H B systému B. Množna všech omezených operátorů na prostoru složeného systému e přtom rovna B(H ) = B(H A H B ) = B(H A ) B(H B ). Víme tedy, ak ze dvou systémů udělat systém eden, akým postupem ale postupovat v opačném směru? Měme operátor hustoty ρ popsuící společný stav podsystémů A a B. Jak vypadá stav podsystému A samotného? Kdybychom ako ρ A označl stav samotného podsystému A, platla by pro lbovolnou pozorovatelnou M A působící pouze na podsystému A samozřemá rovnost M A ρa = Tr(ρ A M A ). Nebot pozorovatelná M A nak neovlvňue podsystém B, měla by platt rovnost vztažená k celému systému M A ρa = Tr(ρM), kde ρ e stav celého systému a M e pozorovatelná M A 3
.3 Schmdtův rozklad chápaná ako operátor na celém systému. Dohromady tedy Tr(ρM) = Tr(ρ A M A ). Pokud e celkový stav faktorzovaného tvaru ρ = ρ A ρ B, e zřemě M = M A I. Rovnost středních hodnot e pak splněna, nebot Tr(ρM) = Tr((ρ A ρ B )(M A I)) = Tr(ρ A M A ) Tr(ρ B ) = Tr(ρ A M A ). Exstue ný tvar vyma M = M A I? Pro všechny ρ A a ρ B musí být splněno Tr((ρ A ρ B ) M) = Tr((ρ A ρ B ) (M A I)), to znamená Tr((ρ A ρ B ) (M M A I)) = 0. Žádný ný tvar operátoru M ž tedy neexstue. Pro faktorzovaný stav systému ρ = ρ A ρ B, kde M A e pozorovatelná na podsystému A, e odpovídaící pozorovatelná M působící na celém systému tvaru M = M A I. Nebot e množna faktorzovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy ρ. Musí tedy platt Tr(ρ A M A ) = Tr(ρ(M A I)). Rozepíšeme-l s stopu explctně v ortonormální báz { (A) (B) }, dostáváme Tr(ρ(M A I)) = (A) (B) (ρ(m A I)) (A) (B) = (A) ( (B) ρ (B) )M A (A). Když s označíme ρ A = (B) ρ (B), e poslední výraz roven (A) ρ A M A (A) = Tr(ρ A M A ), kde nyní de stopa ž en přes podsystém A. Defnce.3. Vzorec (B) ρ (B), kterým sme v předchozím odstavc zavedl operátor ρ A, nazýváme částečná stopa operátoru ρ přes podsystém B (angl. partal trace over subsystem B) a značíme Tr B (ρ). Nebol ρ A = (B) ρ (B) = Tr B (ρ). (6) Dobrá, máme zavedený operátor ρ A, který splňue požadovanou rovnost středních hodnot, aký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému A? Ukážeme, že e tento operátor určen ednoznačně. K danému podsystému tedy exstue právě eden operátor schopný konzstentně popsovat střední hodnoty lbovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor necht exstue něaký ný operátor ρ A, pro něž Tr(M A ρ A ) = Tr(Mρ). Tento operátor lze rozložt do báze prostoru B(H A ) tvořené hermtovským operátory {B }. Dostáváme tak rozvo do Fourerových koefcentů způsobem ρ A = B (B, ρ A ) = B Tr(B ρ A ) = B Tr((B I)ρ) = B Tr(B ρ A ) = ρ A, (7) což e spor. Operátor ρ A e tedy určen ednoznačně a můžeme ho nterpretovat ako stav podsystému A. Poznameneme eště důležtou věc, že nformace obsažená ve stavech ednotlvých podsystémů není schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mez oběma podsystémy exstuí korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popsu systému vypadnou..3 Schmdtův rozklad Př prác se stavy př důkazech nerůzněších tvrzení e velm užtečné následuící tvrzení, díky kterému lze každý čstý stav vyádřt v stém pěkném tvaru. Tomuto vyádření se říká Schmdtův rozklad (angl. Schmdt decomposton). 4
.3 Schmdtův rozklad Věta.2. Schmdtův rozklad. Necht ψ H A H B e čstý stav. Pak exstue ortonormální báze { e (A) } prostoru H A a ortonormální báze { f (B) } prostoru H B takové, že ψ = d = α e (A) f (B), (8) kde d = mn{dm H A, dm H B }. Koefcenty α = (α,..., α d ) lze navíc vždy volt ako nezáporná čísla splňuící rovnost α = ψ. Důkaz. Uvažume stav podsystému A, ρ A = Tr B ( ψ ψ ). Tento lze stě rozložt do ortonormální báze vlastních vektorů, ρ A = α 2 e(a). Vlastní čísla operátoru ρ A lze psát ve tvaru kvadrátu, nebot sou díky poztvtě operátoru nezáporná. Dále určtě můžeme vyádřt vektor ψ ve tvaru ψ = e (A) ϕ (B), kde ϕ (B) sou něaké vhodné vektory z prostoru H B. Pak platí ρ A = Tr B ( ψ ψ ) = Tr B ( e (A) ϕ (B) ϕ (B) ) = e (A) Tr( ϕ (B) ϕ (B) ). Využeme-l vztahu Tr( a b ) = b a, redukue se poslední výraz na e (A) ϕ (B) ϕ (B). Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyádřením operátoru ρ A uvedeným výše, abychom shrnul ϕ (B) ϕ (B) = α 2δ. Vektory { ϕ (B) } sou tedy navzáem kolmé a po vhodném přeškálování z nch můžeme vytvořt ortonormální báz f (B) = α ϕ (B). Vektor ψ lze tak psát ve tvaru ψ = α e (A) f (B), což bylo dokázat. Defnce.4. Koefcentům α,..., α d v rozkladu (8) se říká Schmdtovy koefcenty. Počet nenulových Schmdtových koefcentů ve Schmdtově rozkladu se nazývá Schmdtovo číslo č Schmdtova hodnost (angl. Schmdt number č Schmdt rank). Schmdtovu hodnost stavu ρ budeme označovat symbolem rank ρ. Nevětším rozdílem mez obecným rozkladem operátoru a eho Schmdtovým rozkladem e v tom, že ve druhém menovaném sčítáme en přes eden ndex, ke každému bazckému vektoru prostoru H A přísluší právě eden bazcký vektor prostoru H B. Ze Schmdtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-l s vektor ψ ve vyádření (8), eho redukované stavy sou tvarů ρ A = α 2 e(a) a ρ B = α 2 (B) f f (B). Operátory hustoty obou podsystémů maí tedy stené spektrum! V souvslost se Schmdtovým rozkladem e užtečné uvést následuící proceduru. Poznámka.. Uvažume něaký systém A s operátorem hustoty ρ A = α 2 e e H A, který není obecně čstý. Potom ke studovanému systému A lze uměle přdat pomocný systém B o Hlbertově prostoru H B tak, že exstue čstý stav ψ H A H B splňuící ρ A = Tr B ( ψ ψ ). Jným slovy, ke každému operátoru hustoty ρ A z prostoru H A lze naít čstý stav ψ v prostoru H A H B tak, že ρ A lze nterpretovat ako stav podsystému A, kdy se přtom celý systém A + B nachází v čstém stavu ψ. Prostoru H B se v anglčtně říká anclla a eho dmenz lze položt rovnou Schmdtově číslu operátoru ρ A, t. dm H B = rank ρ A. Využívaíce postupu př důkazu předchozí věty lze zevně položt ψ = α e f, kde { f } e něaká ortonormální báze prostoru H B. 5
.4 Klasfkace stavů podle korelací Právě popsané matematcké hříčce vhodně přdávaící pomocný systém k původní úloze se říká purfkace č vyčšt ování (angl. purfcaton). Pro znalé přpomínáme, že právě uvedená purfkace (stavů) nemá nc společného s purfkací provázání. Poznámka.2. Monogame stavů : Čsté stavy nemohou být korelovány s ným systémem. Měme složený systém A + B ve stavu ρ S(H A H B ), přčemž stav podsystému A necht e čstý, Tr B (ρ) = ρ A = ψ ψ pro sté ψ H A. Pak stav tohoto podsystému nevykazue žádné korelace se stavem systému B. Důvod e následuící. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém C a naít vektor ω H A H B H C tak, že Tr C ( ω ω ) = ρ. Tento vektor e tedy purfkací stavu ρ, současně e ale purfkací stavu ψ. To lze en tak, že ω = ψ ϕ BC pro sté ϕ BC H B H C. Celkem tedy ρ = Tr C ( ω ω ) = ψ ψ Tr C ( ϕ BC ϕ BC ). Vdíme tedy explctně, že stav složeného systému A + B e ve faktorzovaném tvaru, enž nepřpouští žádné korelace mez oběma podsystémy..4 Klasfkace stavů podle korelací Uvažume dva Hlbertovy prostory H a H 2 a množnu stavů defnovaných na ech tenzorovém součnu, S(H H 2 ). Tuto množnu lze rozdělt na podmnožny tvořené vždy stavy, echž tvar e podobný co do ech přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čsté a smíšené stavy sme ž nastínl v předchozích sekcích, následuící seznam uvádí další podpřípady. Smíšené stavy Odpovídaící operátor hustoty není proektor. Faktorzované stavy Stav ρ e faktorzovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součnu ρ = ρ ρ 2, kde ρ S(H ). Tyto stavy zřemě tvoří podmnožnu separablních stavů. Separablní stavy Stav ρ e separablní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorzovaných stavů ρ = α ρ () ρ () 2, kde ρ() S(H ), ρ () 2 S(H 2 ) a {α } tvoří pravděpodobnostní rozdělení, t. α > 0 a α =. Takovýmto stavům se také říká statstcké směs č klascky korelované stavy. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totž popsat čstě klascky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodna stavů zásadně lší od té následuící tvořené provázaným stavy. Obecný tvar separablního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto lbovolný operátor lze rozložt do tvaru A = α E F, kde {E } e ortonormální báze v B(H ) a podobně {F } e ortonormální báze v B(H 2 ). Nedůležtěší rozdíl tohoto obecného případu od případu separablních stavů e v tom, že nyní operátory E a F samotné museí být operátory hustoty. Provázané stavy Všechny stavy, které nesou separablní, se nazývaí provázané. Tyto stavy vykazuí čstě kvantové korelace, které lze využít př kvantovém počítání. Kvantové korelace se slně využívaí například v případě kvantové teleportace. Čsté stavy Odpovídaící operátor hustoty e proektor. 6
.4 Klasfkace stavů podle korelací Neprovázané stavy Čstý stav ψ e neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru ψ = ψ ψ 2. Vdíme, že se edná o analog faktorzovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyádřl analogcky případu separablních smíšených stavů, ž nebude čstý. Zbývaí nám tak ž pouze provázané stavy. Provázané stavy Čstý stav ψ e provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně e tedy tvaru ψ = α e f, vz (8). Stav ψ e přtom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koefcenty α, t. rank ψ 2. Z množny provázaných stavů se vyděluí maxmálně provázané stavy Ω. Jedná se o stavy, pro něž sou stavy podsystémů maxmálně smíšené. Jným slovy, čstý stav Ω e maxmálně provázaný právě tehdy, když ρ Tr 2 ( Ω Ω ) = d I a ρ 2 Tr ( Ω Ω ) = d 2 I 2. Ze Schmdtova rozkladu plyne d = d 2 = d, maxmálně provázaný stav e tedy tvaru Ω = d e f. 7