Banachův-Tarského paradox

seminář, Gymnázium Tachov poslední revize: 10. ledna 2004 Banachův-Tarského paradox Jiří Svršek 1 c 2004 Intellectronics Abstract Banachův-Tarského paradox je jeden z nejpodivnějších výsledků, jehož matematikové kdy dosáhli. Ve zjednodušeném vyjádření Banachova-Tarského věta tvrdí, že plnou kouli lze rozdělit na konečně mnoho částí, z nichž lze složit dvě plné koule stejné velikosti, jakou měla koule původní. 1 e-mail: natura@dkozak.cz, WWW: http://natura.eridan.cz

References [1] Frank Wikström: The Banach-Tarski theorem. http://abel.math.umu.se/ frankw/articles/bt/banach-tarski.html [2] Francis Edward Su: The Banach-Tarski theorem. Harvard University. 18 December 1990. http://www.math.hmc.edu/ su/papers.html 1

1 Banachův-Tarského paradox Banachův-Tarského paradox je jeden z nejpodivnějších výsledků, jehož matematikové kdy dosáhli. Tento paradox dokázali v roce 1924 Stefan Banach a Alfred Tarski. 2 Ve zjednodušeném vyjádření Banachova-Tarského věta tvrdí, že plnou kouli rozdělit na konečně mnoho částí, z nichž lze složit dvě plné koule stejné velikosti, jakou měla koule původní. 1.1 Paradoxy teorie množin Dříve, než se budeme zabývat důkazem Banachova-Tarského paradoxu, prozkoumáme některé jednodušší paradox, abychom získali představu, jakými způsoby se paradoxy tohoto druhu dokazují. Nejjednodušší paradoxy se týkají mohutnosti množin a pojmu nekonečna. Množinu přirozených čísel N lze zkonstruovat následujícím postupem. 0 := 1 := { } 2 := {, { }} 3 := {, {, { }}}... Relaci uspořádání na množině přirozených čísel N lze definovat následovně: m < n m n Mohutnost množiny N označíme ℵ 0. Množina M má mohuthost ℵ 0 množiny přirozených čísel, jestliže existuje prosté a vzájemně jednoznačné (bijektivní) zobrazení množiny M na množinu N. Množina sudých čísel má mohutnost ℵ 0. Existuje zobrazení m 2 m Množina racionálních čísel Q má mohutnost ℵ 0. m N 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1... 1/2 2/2 3/2 4/2... 1/3 2/3 3/3... 1/4 2/4... 1/5... Přiřazení množiny racionálních čísel Q množině přirozených čísel N je tvořeno posloupností { 1 1, 2 1, 1 2, 1 3, 2 2, 3 1, 4 1, 3 2, 2 } 3,... Množina reálních čísel R nemá mohutnost ℵ 0. Pro jednoduchost uvažujme interval (0, 1). Existuje bijektivní zobrazení intervalu (0, 1) na množiny reálných čísel R. Předpokládejme, že lze zapsat všechny možné nekonečné desetinné rozvoje reálných čísel z intevalu (0, 1). Dostaneme např. číslovaný seznam 2 Viz historická poznámka v 2. kapitole. 1 0, 2 3 4 5 6 6 7 8 9... 2 0, 5 7 5 6 0 3 7 3 7... 3 0, 4 6 3 2 1 4 5 1 6... 4 0, 8 4 6 2 1 6 3 8 0... 5 0, 5 6 2 1 9 4 6 3 2... 6 0, 4 6 6 7 3 2 2 0 1...... 2

Nyní vezmeme diagonálně všechny číslice vyznačené tučně. Dostaneme číslo 0, 2 7 3 2 9 2... Toto číslo nyní pozměníme tak, že ke každé číslici jeho desetinného rozvoje přičteme jedničku (číslici 9 zaměníme číslicí 0). Dostaneme: 0, 3 8 4 3 0 3... Toto nové číslo se však v původním seznamu nemůže vyskytovat, protože se od každého čísla v tomto seznamu odlišuje nejméně o jednu číslici. Jsme tedy ve sporu s původním předpokladem, že lze zapsat všechny možné desetinné rozvoje reálných čísel z intervalu (0, 1) do číslovaného seznamu. Interval (0, 1) proto nemůže mít mohutnost ℵ 0 Jeho mohutnost (stejně jako mohutnost množiny reálných čísel) označíme ℵ 1 a budeme ji nazývat mohutnost kontinua. George Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845-1918) s dalšími autory položil základy teorie kardinality (mohutnosti), která se těmito tématy zabývá. Na základě této teorie lze například dokázat, že mohutnost jednorozměrného intervalu 0, 1 je stejná, jako mohutnost dvojrozměrného intervalu 0, 1 0, 1. Snadno lze dokázat, že muhutnost intervalu 0, 1) je stejná, jako mohutnost intervalu 0, 2) použitím prostého a vzájemně jednoznačného zobrazení (bijekce) f(x) = 2x. Interval 0, 2) je tedy sjednocením dvou intervalů se stejnou mohutností, jako má tento interval, neboť 0, 2) = 0, 1 1, 2). Pokud bychom se v uvedených úvahách omezili na konečný počet podmnožin a na pouze isometrické transformace, pak se dostaneme k paradoxům, které zcela překračují naši představivost. 1.2 Zjednodušená verze Banachovy-Tarského věty Ještě než přistoupíme k důkazu Banachovy-Tarského věty, pomocí paradoxních grup a axiomu výběru, dokážeme jinou neméně absurdní větu v množině reálných čísel R 1. Před vyslovením věty a jejím důkazem uvedeme několik potřebných pojmů. Binární relace r na množině X se nazývá relace ekvivalence, právě tehdy, když r je reflexivní, symetrická a transitivní. Je-li e relace ekvivalence na množině X, pak pro každé x Df(e) nazveme množinu třídou ekvivalence e. e[x] = {y X : yex} Věta: Existuje podmnožina intervalu [0, 2], kterou lze rozdělit na spočetně mnoho po dvou disjunktních částí a tyto části uspořádat tak, aby jejich sjednocení bylo rovno celé množině R 1. Poznamenejme, že existuje silnější verze této věty, která používá konečný počet po dvou disjunktních částí. Avšak její důkaz je složitější. Definujme relaci ekvivalence na intervalu [0, 1] vztahem x y x y Q 3

Tato relace ekvivalence rozdělí jednotkový interval na nespočetný počet tříd ekvivalence, z nichž každá je spočetná. Použitím axiomu výběru nalezneme X [0, 1] takovou, že obsahuje přesně po jednom prvku z každé třídy ekvivalence (intuitivně řečeno, s každé třídy ekvivalence vybereme libovolný jeden prvek a vložíme jej do množiny X). Tato množina je tím, co logikové nazývají nekonstruktivní množina, protože není dán žádný předpis, jak takovou množinu sestrojit. Protože množina X neobsahuje dva nebo více prvky z jedné třídy ekvivalence, vidíme, že množiny X + q = {y : y = x + q, x X, q Q [0, 1]} jsou po dvou disjunktní pro každé racionální číslo q Q [0, 1]. Množiny X +q proto tvoťí disjunktní pokrytí nějaké podmnožiny Y [0, 2]. Množinu Y si lze představit jako všechny malé racionální translace množiny X. Množiny Q [0, 1] a Q jsou spočetné a proto existuje mezi nimi vzájemně jednoznačné zobrazení q f(q). Množina Y je sjednocením všech translací X + q množiny X. Tyto translace můžeme nahradit translacemi X +f(q) a získáme tak sjednocení všech racionálních translací množiny X. Každý prvek y R 1 ale leží v některé třídě ekvivalence. Prvek y je nějakým racionálním posunutím množiny X, protože X obsahuje po jednom prvku z každé třídy ekvivalence. Tím je výše uvedená věta dokázána. 1.3 Paradoxní grupy Nejschůdnějším způsobem, jak vysvětlit Banachovu-Tarského větu, je zformulovat ji pomocí akce grupy. Nechť G a nechť je definována binární operace násobení, pro níž platí: 1. a, b, c G : a (b c) = (a b) c asociativní zákon 2. 3. e G : a G : a e = e a = a existence jednotkového prvku a A : a 1 G : a a 1 = a 1 a = e existence inverzních prvků Množina G s operací násobení, která splňuje vlastnosti 1, 2, 3 nazývá grupa. Nechť G je grupa a X je nějaká množina. Říkáme, že grupa G je akce na množině X, jestliže ke každému prvku g G existuje bijektivní zobrazení na X (označené také g), takové, že platí: g, h G : x X : g(h(x)) = (gh)(x) e(x) = x kde e G je jednotkový prvek grupy G. Tuto definici objasníme na několika příkladech. Příklad 1. 4

Každá grupa je akcí sama na sebe levým součinem. Příklad 2. Grupa rotací SO(3) v trojrozměrném prostoru je kanonická akce na dvojrozměrné sféře S 2. Příklad 3. Grupa posuvů G 3 v trojrozměrném prostoru (generovaná translacemi a rotacemi) je kanonická akce na trojrozměrném prostoru. Nechť G je grupa, která je akcí na množině X. Nechť A, B X. Říkáme, že množiny A, B jsou G-kongruentní, jestliže existuje prvek g G takový, že g(a) = B. Kongruenci množin A, B budeme označovat symbolem A = G B. Tento pojem je silnějším pojmem než klasická geometrická kongruence, protože požaduje bodové zobrazení množin. Představme si například kruh rozdělený svým průměrem. V klasickém smyslu jsou získané dvě části samozřejmě kongruentní, protože ignorujeme jejich hranici. Aby však byly G 2 kongruentní, je nutné určit, co provedeme s body ležícími na průměru. Říkáme, že množiny A, B jsou G-ekvidekomponovatelné (tuto vlastnost budeme označovat symbolem A G B), jestliže lze nalézt po dvou disjunktní množiny A 1,..., A n A a po dvou disjunktní množiny B 1,..., B n B takové, že platí: A = n A i B = i=1 n i=1 B i i = 1,..., n : A i =G B i Zhruba řečeno, množiny A, B jsou ekvidekomponovatelné, jestliže lze množinu A rozkrájet takovým způsobem, že pomocí různých posuvů (tj. použitím akcí grupy G) lze vytvořit kopii množiny B. Říkáme, že množina A je G-paradoxní, jestliže existují množiny B, B A, B B = takové, že platí: A G B A G B Lze ukázat, že množina A je G-paradoxní, jestliže lze nalézt množiny B, B, které pokrývají celou množinu A. Zajímavou otázkou je, které grupy jsou paradoxní působením na sebe. Na tuto otázku nelze jednoduše odpovědět, ale lze nabídnout alespoň částečný výsledek. Věta: Nechť (G, ) je grupa, M G. Pak existuje nejmenší podgrupa (M, ) v (G, ), která obsahuje množinu M. Nechť S je systém všech podgrup (G, ) grupy (G, ), pro něž je M G. prázdný, protože (G, ) S. Pak (M, ) = (G, ) (G, ) S Tento systém není Každá podgrupa G je generována nějakou množinou, např. sama sebou. V aplikacích se hledají 5

co nejmenší generující množiny, které se nazývají množinou generátorů. Například grupa celých čísel je generována množinou {1}. Množina (M, ) = (G, ) S (G, ) se nazývá podgrupa generovaná množinou M. Množina M se nazývá množina generátorů. Grupa s jednoprvkovou množinou generátorů se nazývá cyklická. Nechť (G, ) je grupa, a G. Mocnina a m pro m Z je definována následovně: 1. a 0 = e 2. 3. Pro počítání s mocninou prvku a G platí: m N : a m = a }. {{.. a } právě m-krát m N : a m = a } 1. {{.. a 1 } právě m -krát a m+n = a m a n Poznámka: Tvar cyklické grupy (G, ) s generátorem x závisí na tom, zda existuje číslo n N takové, že x n = e. Je-li n nejmenší takové přirozené číslo, je Pokud takové n N neexistuje, je G = {e, x,..., x n 1 } G = {x n : n Z} Term (slovo) z množiny M je každý prvek tvaru g n1 1 gn2 2... gn k k g 1,..., g k M, n 1,..., n k Z Podgrupa M v grupě G generovaná množinou M je právě množina všech termů množiny M. Vazba mezi prvky množiny M je každá rovnost mezi termy z M, tj. rovnost tvaru g n1 1 gn2 2... gn k k = h m1 1 h m2 2... h n s s Věta: Nechť G je grupa se dvěma volnými generátory. Pak G je G-paradoxní. 6

Označme σ a τ volné generátory grupy G. Dále označme W (ρ) = {redukovaná slova z grupy G začínající zleva prvkem ρ G} kde ρ může být σ, σ 1, τ, τ 1. Pak G = {e} W (σ) W (σ 1 ) W (τ) W (τ 1 ) Nechť Zřejmě Z Z Z = W (σ) W (σ 1 ) Z = W (τ) W (τ 1 ) =. Přitom však platí W (σ) σw (σ 1 ) = G W (τ) τw (τ 1 ) = G Nyní zvolme rozklad grupy G tak, aby uvedené čtyři množiny v paradoxní dekompozici pokrývaly celou grupu G, tedy množinu {e} zahrneme do jedné z těchto čtyř množin, například do W (σ). Jenže potom musíme z množiny W (σ 1 ) odstranit prvek σ 1, neboť prvek {e} se vyskytuje duplicitně v množině σw (σ 1 ). Indukcí dostáváme, že musíme z množiny W (σ 1 ) odstranit prvek σ n, aby se prvek σ n+1 nevyskytoval duplicitně v množině σw (σ 1 ). Náš nový rozklad je shodný s původním rozkladem až na jednu výjimku Tyto množiny splňují vztah W (σ) = W (σ) {e} {σ n : n N } W (σ 1 ) = W (σ 1 ) \ {σ n : n N } W (σ) σw (σ 1 ) = G Tento příklad paradoxní množiny je na první pohled nevinný, ale přitom je hlavním nástrojem pro důkaz Banachovy-Tarského věty. 1.4 Hausdorffův paradox Nyní se propracujeme k ještě překvapivějším výsledkům. Důkaz následující věty vyžaduje axiom výběru. Věta 1.: Nechť G je paradoxní grupa působící na množinu X bez netriviálních pevných bodů. Pak množina X je G-paradoxní. Nechť A i, B j G, g i, h j G jsou realizací G-paradoxity. Podle axiomu výběru existuje množina M, která obsahuje právě jeden prvek pro každou G-dráhu v množině X. Množina {g(m) : g G} tvoří rozklad množiny X (zde potřebujeme, aby množina X neobsahovala netriviální pevné body). Označme: A i = {g(m) : g A i } B j = {g(m) : g B j } Pak {A i } {B j } 7

je soubor po dvou disjunktních podmnožin množiny X a platí: X = i g i A i = j h j B i Abychom tuto větu mohli využít, potřebujeme najít některé užitečné paradoxní grupy. Věta 2.: Je-li n 3, pak grupa SO(n) obsahuje nějakou volnou podgrupu řádu 2. Postačuje ukázat, že existují dvě rotace kolem počátku soustavy souřadnic v prostoru R 3, které generují volnou grupu. Existuje řada příkladů takovéto konstrukce. Věta 3. (Hausdorffův paradox): Existuje spočetná podmnožina D S 2 taková, že dvojrozměrná sféra S 2 \ D je SO(3)-paradoxní. Podle věty 2. existuje volná podgrupa G řádu 2 grupy SO(3). Větu 1. však nelze použít přímo, protože každá netriviální rotace v grupě G obsahuje právě dva pevné body množiny S 2. Pokud je grupa G spočetná, pak množina D obsahuje právě ty body, které jsou při nějaké rotaci g G pevné v S 2. Proto je množina D také spočetná. Grupa G působí na S 2 \ D bez pevných bodů a proto na tuto množinu lze použít větu 1. Výše uvedenou větu dokázal Hausdorff v roce 1914. 1.5 Banachova-Tarského věta Hausdorffův paradox je dalším krokem k důkazu Banachovy-Tarského věty. Musíme však najít způsob, jak odstranit špatnou množinu D, abychom ukázali, že celá koule je paradoxní. Věta 1.: Nechť D je spočetná podmnožina množiny S 2. Pak platí: S 2 SO(3) S 2 \ D Jestliže nalezneme rotaci ρ SO(3) takovou, že množiny jsou po dvou disjunktní, pak platí: kde D, ρ(d), ρ 2 (D),... S 2 = D (S 2 \ D ) SO(3) ρ(d ) (S 2 \ D ) = S 2 \ D D = ρ n (D) n=0 Nechť nyní L je přímka procházející počátkem, která neprotíná množinu D. Nechť A je množina úhlů θ takových, že pro nějaké n > 0 a pro nějaké P D bod ρ(p ) leží také v D, kde ρ je rotace kolem přímky L o úhel nθ. Pak množina A je spočetná a lze nalézt úhel θ 0, který není prvkem množiny A. Pokud ρ 0 je k tomuto úhlu odpovídající rotace, pak vidíme, že ρ 0 splňuje požadavky 8

věty. Věta 2. (slabá verze Banachovy-Tarského věty): Množina S 2 je SO(3)-paradoxní. Jednotková koule B 3 je G 3 -paradoxní. Pokud zkombinujeme větu o Hausdorffově paradoxu s předchozí větou, dostaneme okamžitě důkaz pro S 2. Abychom dostali důkaz pro kouli B 3, poznamenejme, že dekompozice sféry S 2 vede k dekompozici B 3 \ {0} použítím radiálního vzájemně jednoznačného zobrazení. Pak lze ukázat, že podobným způsobem, jako jsme dokázali, že B 3 \ {0} = G3 B 3 S 2 SO(3) S 2 \ D Malou modifikací uvedeného důkazu lze stejný výsledek dokázat pro libovolnou n k-rozměrnou kouli v R n pro n 3. Tuto větu poněkud jiným způsobem dokázali Alfred Tarski a Stefan Banach v roce 1924. Nepříjemnou vlastností jinak velmi užitečné Lebesgueovy míry je existence určitých lebesgueovsky neměřitelných množin. Existuje standardní konstrukce neměřitelné množiny pomocí axiomu výběru. Stejná konstrukce ukazuje, že v podstatě neexistuje míra invariantní vzhledem ke G n, která by normalizovala jednotkou krychli a byla by definována na σ-algebře všech podmnožin množiny R n (tj. na množině Borelovských množin). Obvyklým řešením tohoto problému je použití σ-algebry pouze lebesgueovsky měřitelných množin. Jiným problémem je otázka, zda existuje konečně aditivní míra na množině všech podmnožin R n, pokud pro tuto míru nevyžadujeme spočetnou aditivitu. Banachova-Tarského věta ukazuje, že pro n 3 taková míra neexistuje. Věta 3.: Neexistuje žádná G n -invariantní konečně aditivní míra definovaná na množině všech podmnožin R n pro n 3, která by normalizovala jednotkovou kouli. Předpokládejme, že taková míra µ existuje. Nechť {A i, ρ i } k i=1, {B j, σ j } m j=1 jsou paradoxní dekompozice jednotkové koule B n. pak 1 = µ(b n ) = µ(a 1 ) +... + µ(a k ) + µ(b 1 ) +... + µ(b m ) = µ(ρ 1 (A 1 )) +... + µ(ρ k (A k )) + µ(σ 1 (B 1 )) +... + µ(σ m (B m )) = µ(b n ) + µ(b n ) = 2 Může být určitým překvapením, že taková míra existuje v R 1 a R 2. V jednorozměrném a dvojrozměrném případě Banachova-Tarského věta neplatí. Přesněji řečeno, Lindeman v roce 1926 ukázal, že žádná omezená množina v rovině nemůže mít paradoxní dekompozici. Avšak lze provést kvadraturu kruhu! Před několika lety se ukázalo, že kruh lze rozdělit na konečný počet částí, které lze konečným počtem translací (rotace nejsou potřeba) sestavit tak, aby vytvořily čtverec o stejné ploše, jako měl kruh. Tímto způsobem lze nalézt určitou skupinu řešení starověkého řeckého problému. Samozřejmě však nelze sestrojit čtverec z kruhu pouze použitím pravítka a kružítka. 9

Věta 4. (Silná verze Banachovy-Tarského věty): Nechť A, B jsou dvě libovolné omezené množiny v R n, (n 3) s neprázdným vnitřkem. Pak platí: A Gn Pouze naše představivost omezuje využití této věty... 1.6 Jiné dekompozice Viděli jsme, že neexistuje žádná konečně aditivní míra, která by byla invariantní vzhledem ke grupě SO(n) pro množinu všech podmnožin R n, n 3. Přirozenou otázkou je, jak velká σ-algebra může mít takovou míru. Nedávno bylo dokázáno, že existuje Banachova-Tarského dekompozice B n, n 3 použitím částí, které mají Bairovu vlastnost. Tento důkaz dává pro Bairovy množiny zápornou odpověď. Množina A E je Bairova množina, jestliže existuje otevřená množina O taková, že symetrická diference množin O a E je spočetným sjednocením řídkých množin. V důkazu Banachovy-Tarského věty jsme použili axióm výběru. Lze ukázat, že tento důkaz nelze bez axiomu výběru provést. Proto se objevily určité snahy axiom výběru vyloučit. Na druhé straně existují jiné konstruktivní dekompozice, které jsou téměř tak absurdní jako Banachova-Tarského věta. Příkladem je Doughertyův-Foremanův výsledek, kde axiom výběru není využit. Věta 1.: Existuje konečný počet po dvou disjunktních otevřených podmnožin jednotkové koule v R n, které lze uspořádat tak, aby byly tvořily hustou podmnožinu v kouli libovolného nenulového poloměru. 2 Historická poznámka 2.1 Stefan Banach Stefan Banach (narozen: 30. března 1892 v Krakově, Rakousko-Uhersko (dnes Polsko), zemřel: 31. srpna 1945 ve Lvově, Ukrajina) navštěvoval školu v Krakově. Po ukončení školy sice chtěl pracovat v jiné oblasti, než je matematika, ale brzy svůj názor změnil. Od roku 1919 přednášel v Ústavu technologie ve Lvově, od roku 1922 přednášel na Univerzitě ve Lvově a v roce 1927 se stal profesorem této univerzity. Během druhé světové války Banach žil ve Lvově ve velmi těžkých podmínkách nacistické okupace. Po válce chtěl odejít do Krakova, kde mu bylo nabídnuto místo na Jagellonské univerzitě, avšak v roce 1945 zemřel na rakovinu plic. Stefan Banach je zakladatelem moderní funkcionální analýzy a významně přispěl k teorii topologických vektorových prostorů. Dále přispěl k teorii míry a integrálu a k teorii ortogonálních řad. Ve své disertační práci v roce 1920 axiomaticky definoval to, co dnes nazýváme Banachův prostor. Banachův prostor je reálný nebo komplexní normovaný vektorový prostor, který je úplný vzhledem k metrice d(x, y) = x y indukované jeho normou. Úplnost prostoru znamená, že každá cauchyovská posloupnost je v Banachově prostoru konvergentní. Banachova algebra je Banachův prostor, jehož norma splňuje vztah B x y x y 10

Řada důležitých vět matematické analýzy nese Banachovo jméno. Velmi zvláštní obsah má například Banachova-Tarského dekompozice koule, podle níž lze kouli pomocí posloupnosti řezů rozdělit tak, že z těchto řezů lze sestavit dvě koule stejného poloměru, jaký měla koule původní. Banachovou nejdůležitější prací je Théorie des opérations linéaires z roku 1932. 2.2 Alfred Tarski Alfred Tarski (narozen: 14. ledna 1902 ve Varšavě, Ruské impérium (nyní Polsko), zemřel: 26. října 1983 v Berkeley, California, Spojené státy americké) významně přispěl k rozvoji řady oblastí moderní matematiky, včetně metamatematiky (oblasti matematické logiky), teorie množin, teorie míry a Lebesgueova integrálu, teorie modelování a obecné algebry. Tarski přednášel na Univerzitě ve Varšavě, na Harvardské univerzitě a v roce 1942 se stal členem Kalifornské univerzity v Berkeley. V roce 1949 byl jmenován profesorem matematiky a v letech 1958 až 1960 byl výzkumným profesorem na Millerově institutu základního výzkumu ve vědě (the Miller Institute of Basic Research in Science). Pomocí sémantické metody, kterou Tarski vyvinul, byly formální vědecké jazyky podrobeny hlubšímu studiu. Tarski se zabýval teorií modelování, matematickými problémy rozhodování a obecnou algebrou. Vypracoval axiómy pro logické důsledky, zabýval se deduktivními systémy, algebrou logiky a teorií definovatelnosti. Tarski napsal více než deset knih z různých oblastí matematiky a jeho práce ovlivnila řadu mladých matematiků. Mezi jeho práce patří Geometrie z roku 1935, Metoda rozhodování pro elementární algebru a geometrii z roku 1948, Nerozhodnutelné teorie z roku 1953 a Logika, semántika, metamatematika z roku 1956. V roce 1924 společně se Stefanem Banachem Tarski objevil ekvivalenci geometrických objektů konečnou dekompozicí. Velmi zvláštní obsah má například Banachova-Tarského dekompozice koule, podle níž lze kouli pomocí posloupnosti řezů rozdělit tak, že z těchto řezů lze sestavit dvě koule stejného poloměru, jaký měla koule původní. Teoretikové teorie grup studují Tarského příšery, nekonečné grupy, jejichž existence se intuitivně jeví jako nemožná. 11