6. Jehlan, kužel, koule

6. Jehlan, kužel, koule 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 6. Jehlan ( síť, objem, porch ) Jehlan je těleso, které má jednu podstau taru n-úhelníku. Podle počtu rcholů n-úhelníku má jehlan náze. Stěny toří n ronoramenných trojúhelníků se společným rcholem V (hlaní rchol jehlanu). Boční stěny. ronoramenné trojúhelníky Boční hrany... hrany, které ycházejí z hlaního rcholu Podstané hrany...strany podsta Výška jehlanu...je kolmá k podstaě a prochází jejím středem (Vzdálenost hlaního rcholu od podstay.) Porch jehlanu: S = S p + S Pl... obsah podstay... obsah pláště Objem jehlanu: V = Sp.

Síť čtyřbokého jehlanu Příklad : Je dán praidelný čtyřboký jehlan s podstanou hranou délky a = cm a ýškou = 5 cm. Vypočítejte a) ýšku boční stěny b) porch c) objem d) úhlopříčku podstay e) délku pobočné hrany f) úhel, který sírá boční stěna s podstaou Řešení : a) a ýška boční stěny + 5 + a = = 5 + 6 = = 7,8 cm b) S = S p + S pl S = a 4.. a. S = +..7,8 S = 44 + 87, S =, cm c).. V S V..5 V =.44.5 V = 40 cm p d) u = a. u =. u = 6,97 cm e) h délka pobočné hrany h = f) tg a tg h = 5 u 6,97 tg = 5 6 5 5 h = 96,06 h = 9,8 cm = 9 46

Příklad : Vypočtěte objem a porch praidelného šestibokého jehlanu, délku podstané hrany cm a délku pobočné hrany 5 cm. Řešení : podstaou jehlanu je praidelný šestiúhelník ABCDEF S střed podstay ( průsečík úhlopříček šestiúhelníku ) V rchol jehlanu a = cm b = 5 cm délka pobočné hrany Pro ASV platí : a + = b + = 5 = 4 cm Pro podstau platí : S P = 6.S a.. Pro S<, který je ronostranný platí : S = S = 4 4. Pro podstau platí : S P = 6.S = 6. 4 =,5. S P =,5. =,8 cm Objem jehlanu SP.,5..4 V = V = V = 8. cm Porch jehlanu : S = S P + S pl S pl = 6.S S obsah boční stěny jehlanu Pro boční stěnu platí : je ronoramenný trojúhelník ýška boční stěny b = (0,5a) + 5 =,5 + = 4,8 cm a. S = S =.4,8 S = 7, cm S pl = 6.S S pl = 6.7, S pl = 4, cm S = S P + S pl S =,8 + 4, S = 66,58 cm Příklad : Máme praidelný čtyřboký jehlan s podstanou hranou a = 0 cm a ýškou = 7 cm. Vypočtěte : a) obsah podstay b) obsah pláště c) porch jehlanu d) objem jehlanu Příklad : Máme čtyřboký jehlan, který má podstau obdélník s rozměry 4 cm, cm. Výška jehlanu je 8 cm. Vypočtěte : a) obsah podstay b) obsah pláště c) porch jehlanu d) objem jehlanu Příklad : Praidelný čtyřboký jehlan má objem 4 dm a podstanou hranu a = 4 dm. Vypočtěte : a) ýšku jehlanu b) ýšku pobočné stěny c) porch jehlanu Příklad 4 : Máme čtyřboký jehlan, jehož podstaou je obdélník se stranami 8 cm a 0 cm. Výška boční stěny na podstanou hranu délky 0 cm sírá s podstaou úhel 65. Vypočtěte : a) obsah podstaty jehlanu b) obsah pláště jehlanu c) porch jehlanu Příklad 5 : Objem jehlanu je 88 cm. Jeho podstaa má rozměry 6,5 mm a 8 cm. Vypočtěte ýšku jehlanu. Příklad 6 : Objem praidelného čtyřbokého jehlanu je 7,5 m, jeho ýška je 7 metr. Vypočtěte : a) obsah čtercoé podstay b) délku strany čterce podstay Příklad 7 : Praidelný osmiboký jehlan má podstanou hranu délky 6cm a ýšku 9 cm. Vypočtěte objem jehlanu. Příklad 8 : Vypočtěte porch praidelného čtyřstěnu ( podstaa a stěny jsou ronostranné trojúhelníky ), jehož hrana má délku 4 m.

Příklad 9 : Praidelný čtyřboký jehlan má podstanou hranu délky 7 cm a úhel určený děma protilehlými bočními hranami má elikost 40. Vypočtěte : a) porch jehlanu b) objem jehlanu Příklad 0 : Praidelný čtyřboký jehlan má délku podstané hrany 6 cm a délku boční hrany je cm. Vypočtěte : a) úhel, který sírá boční hrana s roinou podstay b) ýšku jehlanu c) objem jehlanu Příklad : Plášť praidelného čtyřbokého jehlanu se skládá z ronoramenných trojúhelníků, jejichž ramena mají délku 8cm a sírají úhel 56. Vypočtěte : a) délku podstané hrany b) porch jehlanu c) objem jehlanu Příklad : Střecha domu má tar praidelného čtyřbokého jehlanu s podstanou hranou m. Kolik m je třeba na její pokrytí, jestliže sklon střechy 45 a na spoje a odpad počítáme 0% plechu naíc? Příklad : Praidelný čtyřboký jehlan má ýšku 0 dm a objem 666,7 dm. Vypočtěte : a) délku boční hrany jehlanu b) délku podstané hrany Příklad 4 : Praidelný čtyřboký jehlan má ýšku 4 dm a délku boční hrany 8 dm. Vypočtěte : a) porch jehlanu b) objem jehlanu Příklad 5 : Vypočítejte hmotnost těžítka taru praidelného čtyřbokého jehlanu s podstanou hranou délky 4 cm, ýškou 6 cm, je-li zhotoeno z materiálu o hustotě 8 gramů/cm. Příklad 6 : Praidelný čtyřboký jehlan ze dřea má délku podstané hrany shodnou s ýškou tělesa. Vypočtěte délku hrany z níž byl yroben, íte-li, že jeho objem je 4 dm. Příklad 7 : Kolik Kč stála látka na stan taru praidelného čtyřbokého jehlanu, četně podlahy, s podstanou hranou délky metry a s tělesoou ýškou,54 metru, je-li cena m látky 5.- Kč a na překrytí a odpad počítáme 5% látky naíc? Množstí potřebné látky zaokrouhlete na celé m nahoru. Příklad 8 : U praidelného šestibokého jehlanu s délkou podstané hrany 8 cm sírají jeho boční stěny s roinou podstay úhel 50. Kolik litrů zduch pojme? Příklad 9 : Praidelný osmiboký jehlan s délkou podstané hrany 5 dm má sklon bočních stěn pláště s roinou podstay 5. Kolik bude stát natření pláště jehlanu, jestliže doukilogramoá plechoka bary stojí 0.-Kč a íme-li, že gramy bary stojí na natření 8 cm? Hodnotu práce nepočítáme. Příklad 0 : Podstaou praidelného jehlanu je šestiúhelník, kterému můžeme opsat kružnici o poloměru metr. Boční hrana měří metry. Vypočtěte : a) objem jehlanu b) porch jehlanu Příklad : Vrchol ěže je praidelný šestiboký jehlan o podstané hraně,5 metrů a ýšce 5 metrů. Kolik m plechu je třeba na pokrytí rcholu ěže, počítáme-li na odpad 8 %? Příklad : Stožár ysoký 0 metrů je poloině připeněn osmi lany, jejichž délka je 5 metrů. Konce lan jsou od sebe stejně zdáleny. Vypočtěte tuto zdálenost. 4

6.. Kužel ( síť, objem, porch ) 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule Vznikne rotací praoúhlého trojúhelníku kolem jedné jeho oděsny. Rotací oděsny zniká kruhoá podstaa, rotací přepony plášť kužele. Rozinutý plášť kužele má tar kruhoé ýseče, jejímž poloměrem je strana kužele a jejíž oblouk má délku ronu obodu podstay. Vzdálenost rcholu kužele od podstay je ýška kužele. Porch kužele: S = πr + πrs = πr.(r + s ) r poloměr podstay s strana kužele ýška kužele Objem kužele: V = πr Síť kužele 5

Příklad : Je dán kužel o průměru podstay d = 0 cm a ýšce = cm. Vypočtěte : a) obsah pláště b) obsah podstay c) porch kužele d) objem kužele e) stranu kužele f) úhel, který sírá strana kužele s roinou podstay g) úhel, který sírají liboolné dě strany kužele Řešení : a) S pl =.r.s s = r s = 0 s = 5,6 cm S pl =,4.0.5,6 S pl = 489,84 cm b) S p =.r S p =,4.0 S p = 4 cm c) S = S p + S pl S = 4 + 489,84 S = 80,84 cm d) V.. r. V =.,4.0. V = 56 cm e) s r s = + 0 s = 5,6 cm f) tg tg d 0 tg =, = 50 0 g) - úhel, který sítají liboolné dě strany kužele = 80 -. = 80-00 0 = 79 40 Příklad : Kužel má objem 46 cm a poloměr podstay 7 cm. Vypočtěte : a) ýšku b) stranu kužele c) obsah podstay d) obsah pláště e) porch kužele f) úhel, který sírá strana kužele s roinou podstay g) úhel, který sírají liboolné dě strany kužele Příklad 4 : Praoúhlý trojúhelník, jehož oděsny mají délky 6 cm a 8 cm, se otáčí kolem sé oděsny. Vypočtěte : a) objemy takto zniklých kuželů b) porchy takto zniklých kuželů c) stranu kužele Příklad 5 : Objem kužele je 07,7 cm. Jeho ýška má 6 cm. Vypočtěte : a) průměr podstay b) stranu kužele c) porch kužele Příklad 6 : Objem kužele je 9,4 cm. Jeho průměr podstay je cm. Vypočtěte : a) ýšku kužele b) stranu kužele c) porch kužele 6

Příklad 7: Strana rotačního kužele o elikosti 0 cm sírá s roinou podstay úhel o elikosti = 67 0. Vypočtěte : a) průměr podstay kužele b) ýšku c) objem kužele d) porch kužele Příklad 8 : U rotačního kužele platí, že numericky je stejný porch a objem ( bez ohledu na jednotky ). Vypočtěte : a) jaký musí platit ztah mezi eličinami poloměr kužele, stranou kužele a ýškou kužele b) jaký musí platit ztah mezi poloměrem podstay a stranou kužele Příklad 9 : Rotační kužel má průměr podstay 5 cm. Strana kužele sírá s osou kužele úhel 0 0. Vypočítejte : a) ýšku kužele b) objem kužele c) porch kužele Příklad 0 : U rotačního kužele jsme naměřili tyto údaje : poloměr podstay 4 cm, ýška kužele 5 cm, strana kužele 8 cm. Vypočtěte : a) objem kužele b) porch kužele Příklad : Rotační kužel má poloměr podstay 0 cm a stranu kužele 6 cm. Vypočtěte : a) objem kužele b) porch kužele Příklad : Rotační kužel má ýšku cm a stranu 5 cm. Vypočtěte : a) objem kužele b) porch kužele Příklad : Je dán praidelný kádr s ýškou 4 cm a hranou podstay 7 cm. Ve směru ýšky je do hranolu yrtán otor taru rotačního kužele s průměrem podstay 4 cm a ýškou 7 cm. Jeho střed podstay je e středu podstay hranolu. Vypočtěte : a) porch tohoto tělesa b) objem tohoto tělesa Příklad 4 : Jak se změní objem rotačního kužele, jestliže : a) ztrojnásobíte poloměr podstay b) zmenšíte ýšku o poloinu c) šestkrát zětšíme průměr podstay Příklad 5 : Ve zmrzlinoém kornoutu taru kužele o průměru 5 cm je 0,5dl zmrzliny. Vypočtěte : a) hloubku kornoutu b) nější porch kornoutu ( počítáme s tím, že tloušťka kornoutu je nuloá ) Příklad 6 : Do kterého měděného kornoutu taru kužele se ejde íce ody? Prní má ýšku 0 cm a délku strany 4 cm, druhý má poloměr podstay 0 cm a ýšku 5 cm. Příklad 7 : Z materiálu o hustotě 000kg/m je zhotoen rotační kužel, jehož hmotnost je,9 kg. Jeho ýška je 5 cm. Vypočtěte : a) poloměr podstay b) porch kužele Příklad 8 : Rotační kužel má porch 8,06 m a poloměr podstay m. Vypočtěte : a) odchylku strany kužele od podstay b) odchylku dou liboolných stran kužele Příklad 9 : Výška rotačního kužele je 56 cm a odchylka dou stran kužele je 4. Vypočtěte : a) průměr podstay b) stranu kužele c) porch kužele Příklad 40 : Nákladní auto ueze 5 m písku. Vejde se na jeho korbu písek, který je složen na hromadě taru kužele o průměru podstay 4 metry a ýšce metr? Příklad 4 : Poměr plošného obsahu podstay k plošnému obsahu pláště rotačního kužele je 4 : 9. Výška kužele je 0 dm. Vypočtěte porch kužele. 7

Příklad 4 : Z kruhoého plechu o poloměru R ystřihneme čtrtkruhoou ýseč, ze které složíme plášť kužele.vyjádřete : a) poloměr podstay kužele b) ýšku kužele 6.. Komolý jehlan ( síť, objem, porch ) Komolý jehlan znikne jestliže z jehlanu od jeho rcholu seřízneme jehlan, který má ronoběžnou podstau s půodním jehlanem. Porch komolého jehlanu se skládá ze dou podobných podsta a pláště. Plášť komolého jehlanu se skládá z bočních stěn, které mají tar lichoběžníků. Seříznutím praidelného jehlanu znikne praidelný komolý jehlan, jehož plášť je tořen ronoramennými lichoběžníky. Zpraidla značíme : S - obsah dolní podstay V objem celého jehlanu M střed dolní podstay S porch komolého jehlanu V objem komolého jehlanu S obsah horní postay V objem odříznutého jehlanu M střed horní podstay V = V V =..( S + S. S S ) S = S + S + S Pl a) praidelný čtyřboký komolý jehlan 8

b) praidelný pětiboký komolý jehlan 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule Síť praidelného čtyřbokého komolého jehlanu Příklad : Z praidelného šestibokého jehlanu s ýškou 6 cm a délkou podstané hrany 4 cm byl odříznut praidelný šestiboký jehlan s ýškou 6 cm. Vypočtěte objem a porch zniklého komolého jehlanu ABCDEFGHIJKL, kde GHIJKL je horní podstaa. Řešení : V =..( S + S. S S ) Podstaa se složena z šesti ronostranný trojúhelníků ( S ) a. a.. S = a 4. S = S = 6,9 cm 4 4 S = 6. S S = 6.6.9 S = 4,58 cm AM V ~ GM V podle Vuu a a 4 a 6 6 a =,5 cm obdobně ypočítáme S.,5. S = S = 5,84 cm ýška komolého jehlanu = = 6 6 = 0 cm V =.0.(4,5 4,5.5,84 5,84) V = 09,77 cm X střed hrany AB Y střed hrany GH x elikost ýšky ronostranného trojúhelníka dolní podstay y elikost ýšky ronostranného trojúhelníka horní podstay x = a. x = 4. x =,4 cm 9

y = a. y =,5. y =, cm Z je průsečík ronoběžky s osou komolého jehlanu procházející bodem Y a úsečky XM XZ = XM - YM XZ =,4, XZ =, cm z XZY XZ + = s s ýška boční stěny, + 0 = s s = 0, cm S Pl = 6. a a. s 4,5.0, S Pl = 6. S Pl = 68,6 cm S = S + S + S Pl S = 4,58 + 5,58 + 68,6 S = 5,79 cm Příklad 4: Praidelný komolý čtyřboký jehlan má délky podsta 8 cm a 5 cm a ýšku 0cm. Vypočtěte : a) ýšku boční stěny b) elikost boční hrany c) porch tělesa d) objem tělesa e) odchylku boční stěny od spodní podstay f) odchylku dou protilehlých pobočných hran g) odchylku dou edlejších pobočných hran Příklad 44 : Praidelný komolý čtyřboký jehlan má délky podsta 0 cm a 5 cm. Plášť má plošný obsah 540 cm. Vypočtěte : a) porch komolého jehlanu b) objem komolého jehlanu Příklad 45 : Praidelný komolý čtyřboký jehlan má délky podstaných hran,8 cm a, cm a délku boční hrany 4,5 cm. Vypočtěte jeho objem. Příklad 46 : Praidelný komolý čtyřboký jehlan má hranu dolní podstay dlouhou 4 cm, ýšku 9 cm. jeho boční hrany sírají s dolní podstaou úhel 50º. Určete jeho porch a objem. 6.4. Komolý kužel ( síť, objem, porch ) Komolý kužel znikne jestliže z kuželu od jeho rcholu seřízneme kužel, který má ronoběžnou podstau s půodním jehlanem. Porch komolého kužele se skládá ze dou kruhů a pláště. Plášť komolého kužele je ýseč mezikruží. Délka strany komolého kužele je rona rozdílu délek stran celého a odříznutého kužele Výška komolého kužele je rona rozdílu ýšek celého kužele a odříznutého kužele. Zpraidla značíme : S - obsah dolní podstay V objem celého kužele M střed dolní podstay S porch komolého kužele V objem komolého kužele Strana komolého kužele s = S obsah horní postay V objem odříznutého kužele M střed horní podstay r r 0

Objem komolého kužele V = V V V =... r r. r r Plášť komolého kužele S Pl =.s.( r + r ) Porch kužele S = S + S + S Pl S =. r r s. r r komolý rotační kužel porch komolého kužele Příklad : Určete obsah pláště m a objem komolého kužele litrech. Dolní podstaa komolého kužele má poloměr 750 mm, horní podstaa má poloměr 450 mm a ýška je 00 mm. V =... r r. r r po přeodu na decimetry V =.,4.. 7,5 7,5.4,5 4,5 V = 500,4 l S Pl =. s. r r po přeodu na metry S,4. 0,75 0,45,.. 0,75 0,45 S Pl = 5,0 m Pl Příklad 47 : Rotační komolý kužel má podstay o poloměru r = 5 mm r = 4,5 cm a ýšku 55 cm. Vypočtěte : a) stranu s komolého kužele b) odchylku strany od roiny podstay c) porch komolého kužele d) objem komolého kužele Příklad 48 : Rotační komolý kužel má poloměr podstay r =0 cm r = 7 cm a ýšku 4 cm. Vypočtěte : a) porch komolého kužele b) objem komolého kužele c) yjádřete tento porch i objem jako násobek čísla Příklad 49 : Z plechu se má zhotoit oteřená nádoba taru komolého kužele o straně 8 cm. Průměr horní části nádoby má být 0 cm, průměr dna 8 cm. Vypočtěte, kolik cm plechu bude zapotřebí.

Příklad 50 : Vědro na odu ( bez íka ) je z plechu a má tar komolého rotačního kužele. Průměr dna je 4 cm, horního okraje cm a délka strany je 0 cm. Vypočtěte : a) kolik litrů ody se ejde do ědra b) jakou hmotnost má prázdné ědro, má-li m plechu hmotnost 0,5 kg 6.5. Koule Vznikne rotací kruhu kolem osy kruhu. Koule je množina bodů prostoru, které mají od daného bodu S (střed kruhu) zdálenost menší nebo ronu r (poloměr kruhu). Síť koule neexistuje, nelze ji rozinout do roiny. Porch koule: S = 4πr r poloměr koule Objem koule: V = 4 πr Příklad : Je dána koule o průměru cm. Vypočtěte : a) objem koule b) porch koule V 4.. r S = 4..r 4 V =.,4.6 S = 4.,4. 6 V = 904, cm S = 45,6 cm Příklad 5 : Porch koule je 46 cm. Vypočtěte. a) poloměr koule b) objem koule Příklad 5 : Objem koule je,04 dm. Vypočtěte : a) poloměr koule b) porch koule Příklad 5: Do koule o průměru 0 cm je epsána krychle. Vypočtěte : a) objem koule

b) objem krychle c) kolik % z objemu koule činí objem krychle d) záisí počet % otázce c na průměru koule 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule Příklad 54 : Vypočtěte poloměr koule, která má číselně stejně elký objem i porch ( bez ohledu na jednotky eličin )? 6.6. Praoúhlé průměty jehlanu a kužele na dě k sobě kolmé průmětny Opakoání : zobrazení bodu prostoru A bod prostoru A obraz bodu půdorysně A obraz bodu nárysně Po sklopení půdorysny do nárysny je A A kolmá na přímku x. Vzdálenost A od přímky x je zdálenost bodu A od půdorysny. Vzdálenost A od přímky x je zdálenost bodu A od nárysny. Leží-li body půdorysně, pak jejich druhé obrazy leží na přímce x. Leží-li body nárysně, pak jejich prní obrazy leží na přímce x. Příklad : Zobrazte na dě nazájem kolmé průmětny : a) praidelný čtyřboký jehlan, který má elikost podstané hrany a = 4 cm a ýšku tělesa 5 cm. Hrana podstay AB je ronoběžná s roinou nárysny b) praidelný komolý čtyřboký jehlan, který má elikost podstané hrany a = 4 cm, ýška komolého jehlanu =,5 cm, což je poloina ýšky půodního jehlanu. U praidelného čtyřbokého jehlanu proeďte popis šech bodů. U praidelného komolého čtyřbokého jehlanu proeďte kótoání. Postup řešení bodu a: ) narýsujeme druhé obrazy bodů podstay ) narýsujeme druhý obraz rcholu tělesa

) zhledem k tomu, že nebyla zadána zdálenost žádné hrany podstay, umístíme liboolně zdálené body C a D od přímky x, 4) doplníme na čterec prní obraz podstay 5) dorýsujeme prní obrazy rcholu tělesa a průsečíku úhlopříček podstay 6) narýsujeme osy souměrnosti 7) ytáhneme iditelné hrany 8) popíšeme příslušné rcholy Postup řešení bodu b : ) umístíme prní obraz dolní podstay ) ododíme druhý průmět dolní podstay ) narýsujeme druhý průmět teoretického rcholu jehlanu 4) narýsujeme druhý průmět horní podstay 5) ododíme prní průmět horní podstay 6) narýsujeme osy souměrnosti 7) ytáhneme iditelné hrany 8) kótujeme a) b) Příklad 56 : Narýsujte na dě kolmé průmětny praidelný čtyřboký jehlan ABCDV, který má elikost podstané hrany a = 5 cm a ýšku tělesa = 6 cm, který je umístěn : a) podstaa leží půdorysně, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, b) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, c) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, d) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC sírá s nárysnou úhel 0, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, e) podstaa leží nárysně, AB je ronoběžná s půdorysnou, bod A je zdálen od půdorysny 7 cm a bod D má zdálenost od půdorysny menší, 4

Příklad 57 : Narýsujte na dě kolmé průmětny praidelný čtyřboký komolý jehlan ABCDEFGH, který má elikost dolní podstané hrany a = 5 cm, elikost horní podstané hrany a = cm a ýšku komolého tělesa = 6 cm, který je umístěn : a) dolní podstaa leží půdorysně, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, b) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AB je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 7 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, c) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC je ronoběžná s nárysnou, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, d) podstaa leží cm nad půdorysnou a je s půdorysnou ronoběžná, AC sírá s nárysnou úhel 0, bod A je zdálen od nárysny 0 cm a bod D má zdálenost od nárysny menší, e) podstaa leží nárysně, AB je ronoběžná s půdorysnou, bod A je zdálen od půdorysny 7 cm a bod D má zdálenost od půdorysny menší, Příklad : Zobrazte na dě nazájem kolmé průmětny : a) rotační kužel, který má průměr podstay d = 4 cm a ýšku 5 cm b) rotační komolý kužel, který má průměr dolní podstay d = 4 cm, horní podstay d = cm ýšku komolého kužele = cm U rotačního kužele proeďte popis šech ýznamných bodů. U komolého rotačního kužele proeďte kótoání. a ) b) Postup řešení bodu a : ) narýsujeme osy souměrnosti ) narýsujeme prní průmět kužele ) ododíme druhý průmět podstay a rcholu 4) popíšeme body Postup při řešení bodu b : ) narýsujeme osy souměrnosti ) narýsujeme prní průměty dolní a horní podstay ) ododíme druhé průměty horní a dolní podstay 4) dorýsujeme druhý průmět komolého kužele 5) kótujeme Příklad 58 : Narýsujte rotační kužel, který má poloměr podstay r = cm a ýšku = cm, který je umístěn : a) kužel leží půdorysně a má střed podstay zdálenost od nárysny cm b) kužel leží ronoběžné roině s půdorysnou, která je zdálena,5 cm, a má střed podstay zdálenost od nárysny cm 5

c) rchol kužele leží půdorysně, střed podstay je zdálen od půdorysny cm, od nárysny 4cm, roina podstay kužele leží nad půdorysnou ronoběžné roině d) kužel leží nárysně a střed podstay má zdálenost od půdorysny 5, cm Příklad 59 : Narýsujte komolý rotační kužel, který má poloměr dolní podstay r =,5 cm, poloměr horní podstay r =,5 cm a ýšku = cm, který je umístěn : a) komolý kužel leží půdorysně a má střed dolní podstay zdálenost od nárysny 5 cm b) komolý kužel leží ronoběžné roině s půdorysnou, která je zdálena,5 cm, a má střed dolní podstay zdálenost od nárysny 5 cm c) horní podstaa komolého kužele leží půdorysně, střed dolní podstay je zdálen od půdorysny cm, od nárysny 4cm, roina horní podstay komolého kužele leží nad půdorysnou ronoběžné roině d) komolý kužel leží nárysně a střed dolní podstay má zdálenost od půdorysny 5, cm Souhrnná cičení ) Kolik dm plátna je potřeba na ýrobu stanu taru jehlanu o čtercoé podstaě se stranou délky a =,4 m a ýšce,6 m, počítáme-li 5% na odpad. ) Vypočtěte porch praidelného čtyřbokého jehlanu s podstanou hranou a = 60 cm a ýškou 400 mm. ) Vypočtěte porch praidelného čtyřbokého jehlanu, je-li hrana podstay 6 cm a stěnoá ýška 55 cm. 4) Kolik m je potřeba k pokrytí střechy taru praidelného čtyřbokého jehlanu s podstaou délky, m a tělesoou ýškou, m? 5) Střecha rekreační montoané chaty má tar praidelného čtyřbokého jehlanu s délkou podstané hrany 8 metrů a ýškou 0,9 metrů. Kolik čterečních metrů lepenky je třeba celkem k pokrytí střechy, počítá.li se 0 % na překlady a odpad? 6) Vypočtěte porch praidelného trojbokého jehlanu, který má podstanou hranu 5 cm a ýšku tělesa také 5 cm. 7) Vypočtěte porch praidelného jehlanu, jestliže : a) je čtyřboký s podstanou hranou 8 cm a ýškou stěny cm b) je trojboký s podstanou hranou cm a ýškou stěny 5 cm c) je šestiboký s podstanou hranou 5, cm a ýškou stěny 7,4 cm d) je čtyřboký s podstanou hranou 8 cm a ýškou jehlanu cm e) je šestiboký s podstanou hranou 5 cm a ýškou jehlanu cm. 8) Vypočtěte porch a objem praidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV, je-li dáno : a) AB 5cm, ýška boční stěny s = 5 cm b) AB 4 cm, ýška jehlanu = cm c) AB 4 cm, AV = 6cm d) AB 6 cm, O ABV = 6 cm e) AB 6 cm, O ACV = 6. f) AB 5 cm, S ABV = 6,5 cm g) AB 6 cm, S Pl = 60 cm 9) Vypočtěte objem praidelného trojbokého jehlanu ABCV, je-li dáno : 6

a) AB = 8 cm, = cm b) O ABC = cm, = 6 cm c) AB = cm, A = cm, d) S P = cm 5., AV cm 6 e) S P = 7. cm, s = 5 cm 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 0 Vypočtěte porch praidelného trojbokého jehlanu ABCV, je-li dáno : a) AB = 5 cm, s = 6 cm b) AB = 6 cm, = cm c) AB = 0 cm, AV = cm, d) S ABC = 4. cm, AV =,9 cm e) =. cm, AV = 0 cm ) Vypočtěte objem a porch praidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV, je-li dáno : a) AB = 4 cm, s = 4 cm b) S P = 8. cm, s = 7 cm c) S ABV = 85. cm, s = 7 cm d) AV =,5. cm, S P =8. cm e) S ADV = cm, S P = 4. cm ) Je dán praidelný čtyřboký jehlan S = 84 cm a S p = 44 cm. Vypočtěte jeho ýšku. ) Rotační kužel má objem 0. cm a ýšku 5 cm. Vypočtěte jeho porch. 4) Vypočtěte objem a porch rotačního kužele, je-li S P = cm a S Pl =. 5 cm. 5) Vypočtěte objem a porch kužele, je-li : a) S P = 4. cm, =. cm b) S p = 9. cm, s =. cm, c) s =. 0 cm, S Pl = 4.. 0 cm, d) d =. 5 cm, S Pl =. 55 cm, e) O p = 4.. 5 cm, S Pl = 0.. 5 cm, f) S R = cm, = cm, S R obsah osoého řezu kužele g) S R = 5 cm, r =,5 cm h) S R = 4,8 cm, S P =,56. cm i) S R = 6,4 cm, O P = 8. cm j) S R = 6. cm, osoý řez je ronostranný trojúhelník k) S P : S Pl = :, r = cm l) S R : S P =, r = cm m) S R : S Pl = :., = cm n) S P : S = : ( + ), r = cm 7

o) S Pl : S =., r = cm 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 6) Vypočtěte stranu rotačního kužele, je-li objem kužele,76. cm a poloměr podstay,8 cm 7) Vypočtěte : a) poloměr podstay kužele, je-li V = 4,4. cm, = 5,5 cm, b) ýšku kužele, je-li V =,44. cm, d = 4,8 cm, c) stranu kužele, je-li S = 66,8. cm, r = 5, cm d) ýšku kužele, je-li S = 7,6. cm, r = 6 cm e) stranu kužele, je-li V =,68. cm, =,5 cm. 8) Je dán praidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstanou hranou a a ýškou. Do čterce ABCD je epsán kruh, který toří podstau kužele. Vypočtěte, kolikrát je objem kužele ětší než objem jehlanu, jestliže se ýška kužele roná dojnásobku ýšky jehlanu. 9) Vypočtěte objem a porch koule, je-li : a) poloměr koule cm b) průměr koule cm c) obsah řezu, který prochází středem koule, se roná 9. cm d) obod řezu, který prochází středem koule, se roná. cm e) porch koule cm se číselně roná objemu koule cm 0) Vypočtěte poloměr koule, je-li : a) objem koule 6. cm b) porch koule 00. cm c) koule je opsána krychli o hraně délky. cm d) koule epsána do krychle o objemu 8 cm e) poloměr koule cm se číselně roná porchu cm ) Vypočtěte poloměr koule, jestliže kruh, který znikne jako průnik koule a roiny, která má od středu koule zdálenost ronající se poloině poloměru, má obsah. cm. ) Určete objem dutého tělesa, které má tar rsty mezi děma soustřednými koulemi. Poloměr nější koule ( kuloé plochy ) je cm, tloušťka tělesa je cm. ) Určete porch praidelného komolého jehlanu, je-li a = 4 cm, a = 4 cm a délka boční hrany měří cm. 4 Vypočtěte porch a objem praidelného čtyřbokého komolého jehlanu, je-li dáno : a) hrany podsta 80 mm, 6 cm, ýška tělesa dm, b) hrany podsta 48 cm,,8 dm, ýška boční stěny 6 cm, c) hrany podsta 56 mm,,4 cm, délka boční hrany 5 mm, d) hrany podsta cm, 4 mm, boční hrana sírá s podstaou úhel 60º, e) hrany podsta,6 m, 50 mm, ýška boční stěny sírá úhel s podstaou 7º, f) hrana horní podstay 0cm, ýška boční stěny,5 dm, ýška boční stěny sírá úhel s podstaou 55º, g) hrana dolní podstay 60 mm, ýška boční stěny,7 cm, ýška tělesa,5 cm 5) Vypočtěte ýšku praidelného n- bokého jehlanu, který má objem,5 litru a délky podstaných hran 5 cm, 4 cm : a) n = b) n = 4 c) n = 6 8

6) V komolém kuželu označíme elikost úhlu, který sírá strana kužele s podstaou. Vypočtěte jeho porch a objem, platí-li : a) r = 6 cm, d =,8 dm, = 4 cm b) d =, dm, d = cm, s 4,5 cm ( strana kužele ) c) d = 9 mm, r =,6 cm, = 5º d) r = 4, dm, = cm, = 78º, 7) Komolý kužel má objem 58 580 cm, poloměr dolní podstay 5 dm, poloměr horní podstay4 dm. Vypočtěte obsah pláště. 8) Určete ýšku álce, který má stejný porch jako komolý kužel s poloměry podsta cm, 6 cm a ýškou 8 cm. Poloměr podstay álce je roen delšímu z poloměrů podsta komolého kužele. Výsledky příkladů: a) 00 cm, b) 7 cm, c) 7 cm, d), cm, a) cm, b) 79, cm, c) 05, cm, d) 87 cm, a) 4,5 dm, b) 4,9 dm, c) 5, dm, 4 a) 80 cm, b) 57,9 cm, c) 75,9 cm, 5) 54,9 cm, 6 a),5 m, b) 5,6 m, 7) 5,8 cm, 8) 7,46 m, 9 a) 84, cm, b) 66 cm, 0 a) 67, b) 0, cm, c),4 cm, a) 7,5 cm, b) 6 cm, c) cm, ) 4, m, a), dm, b) 0 dm, 4 a) 77 dm, b) 95 dm, 5) 56 gramů, 6) 9 dm, 7) 65.- Kč 8) 5, litru, 9) bude potřeboat dě plechoky za 40.- Kč, 0 a),5 m, b) 8,4 m, ) 5 m, ) 5, m, a) 9 cm, b),4 cm, c) 5,86 cm, d) 50,6 cm, e) 404,46 cm, f) 5, g) 75 4 a) 40 cm, 0 cm, b) 45 cm, 0cm, c) 0 cm, 5 a) 4 cm, b) 9, cm, c),54 cm, 6 a) 4 cm, b) 4,7 cm, c) 8,655 cm, 7 a) 7,6 cm, b) 9,4 cm, c) 4 cm, d) 66cm, 8 a) r s, b) r + s = 0, 9 a) 68, cm, b) 46 44 cm, c) 7 870,88 cm, 0) takoý kužel nemůže existoat, protože neplatí ztah a) 56 dm, b) 07 dm, a) 07 cm, b) 678, cm, 9 r s,

a) 5 cm, b) 656,69 cm, 4 a) bude 9 krát ětší, b) bude poloiční, c) bude 6 krát ětší, 5 a) 7,6 cm, b) 6,8 cm, 6) do prního ( 686,cm, 66,7 cm ), 7 a) 7,8 cm, b) 6 cm, 8 a) 4, b) 96, 9 a) 4,99 cm, b) 59,98 cm, c) 5 499 cm, 40) ano, protože písku je 4, m, 4) 005 dm, 4 ) r = 0,5.R = 0,5. 5.R = 0,96.R 4 a) 0, cm, b) 0, cm, c) 5 cm, d) 40 cm, e) 8º 7, f) 5,6º, g) 6, 44) 665 cm, 09,8 cm, 45) 9,75 cm, 46) 757,9 cm, 568,65 cm, 47 a) 6,64 cm, b) 8, c) 69,8 dm, d),4 m, 48 a) 75 cm, b) 97 cm, c) 4, d) 9, 49) 6 cm, 50 a) asi 8 litrů, b),5 kg, 5 a) 4 cm, b) 488 cm, 5 a) dm, b),04 dm, 5 a) 4 87 cm, b) 58 cm d, c) 6,7%, d) nezáisí na průměru V koule = 6 d d d 00 V krychle = x : 6,7 %, 9 9 600 54 ) cm, Souhrnná cičení ) 6,8 dm, bez podlážky 008 dm ; ) 9 600 cm, ) 5 56 cm, 4),8 m, 5) 7,6 m, 6) 49,8 cm, 7 a) 40 cm, b) 6,7 cm, c) 85,6 cm, d) 44 cm, e) 59,9 cm, 8 a) 6,08 cm, 75 cm, b) 5, cm,,9 cm, c) 8, cm, 6, cm, d),8 cm, 84 cm, e) 64,6 cm, 0 cm, f) 50 cm, 90 cm, g) 48 cm, 96 cm, 9 a) 8,45 cm, b),84 cm, c) cm, d) 0,5 cm, e) 6,8 cm, 0 a) 55,8 cm, b) 5,57 cm, c),5 cm, d) 9,5 cm, e) 8 57,4 cm, a) 7,7 cm, 89,5 cm, b) 07 cm, 69 cm, c) 076 cm, 660,8 cm, d) 7,5 cm, 6, cm, e)67,9 cm,,6 cm, ) 8 cm, ) 46,4 cm, 4) 0,7 cm,,09 cm, 5 a) 4,5 cm, 7,7 cm, b) 9,99 cm, 77,5 cm, c) 5, cm, 5,8 cm, d),9 cm, 9 cm, e) 46,9 cm,,4 cm, f) 4,7 cm, 8,84 cm, g) 9,5 cm, 70,65 cm, h) 8,07 cm, 5, cm, i) 68,67 cm,,8 cm, j) 6, cm, 50,7 cm, k),8 cm, 9,4 cm, l),9 cm,,5 cm, m),4 cm, 0, cm, n),05 cm, 7,6 cm, o),8 cm, 9,4 cm, 6) 5, cm, 0

7 a) 4,8 cm, b) 7 cm, c) 8 cm, d), cm, e),7 cm, 8) krát, tedy asi,57 krát ětší než objem jehlanu, 9. ročník 6. Jehlan, kužel, koule 9 a),49 cm, 50,4 cm, b) 4, cm, 8, cm, c),04 cm,,04 cm, d) 4,9 cm,,56 cm, e),04 cm,, 04 cm, 0 a) cm, b) 5 cm, c) 4,5 cm, d) cm, e) 0,08 cm, ) 4 cm, ) 48,88 cm, ) 07,89 cm, 4 a) 4 65,64 cm, 5 86,67 cm, b) 7 040 cm, 5 456 cm, c) 0,7 cm, 64,75 cm, d),4 cm, 5,6 cm, e) 44,4 dm, 7 74,7 dm, f) 4 00,4 cm, 56,89 cm, g) 90,7 cm, 40,88cm, 5 a) 0,7 cm, b) 8,97 cm, c),46 cm, 6 a) 5 054,4cm, 8,5cm, b) 98,54cm, 4 64,cm, c) 7,4 cm, 94,88 cm, d) 4 50,8 cm, 6560,8 cm 7) 7 069,48 cm, 8) S = 0,4 cm, = cm,