Využití lineárního programování při optimalizaci rozvozových tras ve firmě Aryja, s. r. o. v měnících se ekonomických podmínkách

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Ústav statistiky a operačního výzkumu Využití lineárního programování při optimalizaci rozvozových tras ve firmě Aryja, s. r. o. v měnících se ekonomických podmínkách Diplomová práce Vedoucí práce: Jméno a příjmení autora doc. Ing. Josef Holoubek, CSc. Bc. Miroslava Ptáčková Brno 2012

Zadání diplomové práce

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně pod vedením a podle pokynů vedoucího a s použitím pramenů, které uvádím v seznamu použité literatury. V Brně 17. 5. 2012...

Ráda bych poděkovala doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc., vedoucímu mé diplomové práce, za jeho cenné rady, informace a připomínky v průběhu zpracování práce. Dále děkuji společnosti Aryja, s. r. o. za poskytnutí údajů potřebných pro zpracování této diplomové práce.

ABSTRAKT Ptáčková, M. Využití lineárního programování při optimalizaci rozvozových tras ve firmě Aryja, s. r. o. v měnících se ekonomických podmínkách, Diplomová práce, Brno, 2012. Diplomová práce se zabývá možnosti využití metod lineárního programování při optimalizaci tras přepravní společnosti Aryja, s. r. o. Práce je rozdělena na dvě části. Teoretická část je zaměřena na logistiku, metody lineárního programování a využití počítačových programů při optimalizaci tras. Druhá část diplomové práce má charakter vlastní práce. Tato část se zabývá samotným optimalizováním tras společnosti Aryja, s. r. o. a vyčíslením nákladů v měnících se ekonomických podmínkách pro silniční nákladní dopravu (mýtné poplatky a cena pohonných hmot). Klíčová slova: lineární programování, rozvozové trasy, optimalizace dopravy, mýtné poplatky, časové hledisko ABSTRACT Ptáčková, M. Using linear programming to optimize routes in Aryja Company, Ltd. in changing economic conditions, Master thesis, Brno, 2012. This master thesis deals with the possibility of using linear programming methods to optimize transportation routes Aryja Company, Ltd. The work is divided into two parts. The theoretical part is focused on logistics, linear programming methods and the use of computer programs to optimize routes. The second part of this work has the character of their own work. This section deals with the actual optimization of routes Aryja and costed in the changing economic conditions for road freight transport (toll charges and fuel costs). Keywords: linear programming, wrecker routes, optimization of transport, toll charges, time perspective

Obsah 1 ÚVOD...8 2 CÍL A METODIKA PRÁCE...10 2.1 Cíl...10 2.2 Metodika práce...10 3 LITERÁRNÍ REŠERŠE...12 3.1 Logistika...12 3.1.1 Pojem logistika...12 3.1.2 Historický vývoj logistiky a její současné trendy...12 3.2 Dopravní logistika...13 3.2.1 Druhy dopravy...14 3.3 Lineární programování...15 3.3.1 Formulace ekonomického modelu...16 3.3.2 Formulace matematického modelu...17 3.3.3 Distribuční úlohy lineárního programování...18 3.4 Okružní dopravní problém...20 3.4.1 Formulace matematického modelu...21 3.4.2 Metody řešení okružního dopravního problému...22 3.5 Počítačové řešení...27 3.5.1 STORM...27 3.5.2 LINGO...28 4 VLASTNÍ PRÁCE...29 4.1 Ukázkový příklad...29 4.1.1 Vogelova metoda...29 4.1.2 Metoda nejbližšího souseda...31 4.1.3 Littlova metoda...32 4.1.4 STORM...36 4.1.5 LINGO...38 4.1.6 Porovnání zjištěných výsledků...40 4.2 Charakteristika firmy...41 4.2.1 Vozový park...42 4.3 RaalTrans...43 4.4 Vstupní údaje...44 4.4.1 Rozvozové trasy...44 4.4.2 Mýtné poplatky, průměrná spotřeba a cena PHM...45 4.5 Vlastní výpočet rozvozových tras...48 4.5.1 Trasa 1...49 4.5.2 Trasa 2...51 4.5.3 Trasa 3...52 4.5.4 Trasa 4...54 4.5.5 Trasa 5...55 4.6 Výpočet případných úspor nákladů...57 5 DISKUZE...62 6 ZÁVĚR...65

7 POUŽITÉ INFORMAČNÍ ZDROJE...67 7.1 Literatura...67 7.2 Elektronické zdroje...69 8 SEZNAM TABULEK A OBRÁZKŮ...70 8.1 Tabulky...71 8.2 Obrázky...71 9 SEZNAM PŘÍLOH...72

1 ÚVOD Snahou každého podnikatelského subjektu na trhu je být úspěšný. Ve vyspělém tržním hospodářství tohoto cíle může dosáhnout pouze podnik, který dovede uspokojit neustále se měnící, rostoucí a náročnější potřeby zákazníků seriózní nabídkou nového a kvalitního zboží nebo služeb. Stejně velkou pozornost musí věnovat i kvalitě služeb, které souvisejí s prodejem zboží. Jedině tak může úspěšně čelit tlaku ze strany konkurenčních firem i obchodních partnerů. Pokud má podnik svou akceschopností vyrovnat konkurentům a předčit je v ceně a kvalitě, musí být jeho nabídka velmi pružná. Jakmile má totiž zákazník možnost si vybrat mezi zbožím či službami se srovnatelnou cenou a kvalitou, dá vždy přednost rychlejšímu dodání. Tlak na podnikatele není vyvíjen jen ze strany konkurence, ale i ze strany obchodních partnerů, kteří požadují, aby byla dodávka dovezena ve správném čase, kvantitě i kvalitě na správné místo. Jednou z poskytovaných služeb, souvisejících s prodejem, je i distribuce zboží odběratelům. Vždyť stačí jediný pohled na silnice nebo dálnice a hned je jasné, jak důležitou roli hraje doprava. Zvláště pak pro výrobní podniky, které své výrobky rozváží pravidelně. Přitom musí správně skloubit a splnit požadavky všech svých odběratelů, kteří očekávají dodání zboží v určeném čase, místě a samozřejmě v požadované kvalitě a množství. Díky správnému naplnění těchto požadavků mohou eliminovat tlak ze strany konkurenčních firem. Přeprava zboží tvoří pro takovýto podnik také jednu z nákladových položek. Bereme-li na vědomí rostoucí ceny pohonných hmot, které v dnešní době dosahují historicky maximálních hodnot, musí se podnik při řešení distribuce a plánování dopravních tras chovat velmi zodpovědně. Nedbalé sestavení dopravních tras s sebou přináší zbytečně najeté kilometry a tím i zbytečně vysoké dopravní náklady, což se negativně promítne do hospodaření firmy. Většina podniků vytváří své distribuční trasy podle vlastního uvážení z vlastních zkušeností, pomocí mapy nebo GPS navigátorů. Takto zvolené trasy však nemusí být vždy optimální. Dopravní procesy chápeme jako komplexní zajištění fyzické přepravy zboží, materiálu a osob, a to jak interní, tak externí. Vzhledem ke stále rostoucím nákladům, jako jsou ceny pohonných hmot, mýtné, atd., které jsou doprovázeny rostoucími požadavky zákazníků na kvalitu přepravovaných služeb, je instrument dopravní optimalizace nezbytnou součástí úspěšně fungující distribuční, spediční nebo dopravní společnosti. Ke snížení nákladů může vést například vhodné umístění skladu, či nalezení optimální trasy. Problematikou dopravní optimalizace přepravy za účelem snížení nákladů s ní spojených se zabývá tato diplomová práce. 8

Nedílnou součásti všech obchodních společnosti se stalo plánování jejich obchodních činností, tak aby bylo dosaženo co nejvíce efektivních výsledků. Pro rozvíjející firmy, jako je Aryja s. r. o., je tedy efektivní rozhodování v podmínkách nejistého a nestabilního vnějšího prostředí jedním z prvních předpokladů podnikatelské úspěšnosti. Odpovědné řešení řady ekonomických otázek vyžaduje velké množství vhodné uspořádaných informací. Na jejich základě se musí stanovit varianty rozhodnutí a vyhodnotit jejich důsledky. Nesprávná rozhodnutí, přijatá na základě neúplných nebo nedostatečně využitých informací, mohou mít za následek značné ekonomické ztráty. Rozhodovací situace v ekonomické praxi lze obecně řešit dvěma způsoby. První způsob, intuitivní, se provádí na základě zkušeností. Druhý způsob, matematický, se provádí pomocí exaktních metod, např. metod operačního výzkumu. Manažeři firem se různými statistickými, matematickými a jinými kvantitativními metodami snaží omezit intuitivní rozhodování a odstranit tak negativní důsledky subjektivního řešení problémů při řízení. Jedna z disciplín operačního výzkumu, kterou lze využít při rozhodování, je lineární programování. Lineární programování patří mezi těmito disciplínami k nejčastěji používaným a teoreticky nejpropracovanějším. 9

2 CÍL A METODIKA PRÁCE 2.1 Cíl Diplomová práce se zaměřuje na využití jedné z části operačního výzkumu, a to konkrétně na uplatnění metod lineárního programování v oblasti logistiky. Předložená práce je výsledkem snahy uvést vybrané teoretické znalosti z operačního výzkumu získaného při studiu do praktického využití. Hlavním cílem je tedy zjistit, zdali současné pořadí měst v jednotlivých rozvozových trasách poskytnutých od autodopravy Aryja, s. r. o., je optimální z hlediska ujetých kilometrů či nikoliv. Optimalizace se provede pomocí vhodně zvolené metody lineárního programování zabývající se okružním problémem. Dílčím cílem bude zjistit, jaké budou finanční dopady pro autodopravu, ukáže-li se, že některá z tras se dá lépe naplánovat. Jednalo by se o vyčíslení rozdílů v nákladech, které se odvíjejí od ujetých kilometrů, např. náklady na pohonné hmoty (nafta), mýtné poplatky a dále bude uvažováno i časové hledisko. 2.2 Metodika práce Diplomová práce se skládá ze dvou částí, tj. z části teoretické a z části praktické. Podkladem pro zpracování teoretické části jsou odborné publikace, které se zabývají dopravní problematikou optimalizace. Tyto teoretické poznatky jsou pak aplikovány v praktické části diplomové práce na konkrétní podnik. Literární rešerše (kapitola 3), tj. teoretická část diplomové práce, je rozdělena na 5 podkapitol. Podkapitoly 3.1 a 3.2 se věnují tématu logistika. Nejprve je pojem logistika vymezen a dále popsána její historie a současné trendy (3.1). V další části (3.2) je popsána dopravní logistika a její jednotlivé druhy. O problematice lineárního programování pojednávají podkapitoly 3.3 až 3.5. V těchto podkapitolách je pozornost zaměřena na tvorbu modelů lineárního programování a distribuční úlohy, které do této oblasti zkoumané problematiky spadají (3.3). Z jednotlivých typů distribučních úloh je nejvíce věnována pozornost okružnímu dopravnímu problému, který nejlépe poskytuje možnosti pro řešení optimalizace tras v diplomové práci (3.4). Kromě metod ručního zpracování okružního dopravního problému existují i počítačové programy, které jsou vysvětleny v poslední podkapitole (3.5). Praktická část diplomové práce je rozdělena na dvě hlavní části obsažené v kapitolách 4 a 5. První část, tj. kapitola 4, se věnuje samotné optimalizaci rozvozových tras a vyčíslení případných úspor nákladů. Tato kapitola začíná 10

stručnou charakteristikou autodopravy Aryja, s. r. o., která zajišťuje logistické služby společnosti ABC a XYZ 1, v nichž je problematika okružního problému řešena. Pomocí vzorového příkladu je vybrána nejvhodnější metoda řešící okružní dopravní problém, která pak bude použita pro optimalizaci všech poskytnutých rozvozových tras společnosti Aryja, s. r. o.. Na konci 4. kapitoly jsou shrnuty získané výsledky. Pro každou poskytnutou trasu se pomocí zvolené metody vypočte okruh, který se následně porovná s poskytnutou trasou. Výsledkem porovnání bude zjištění, zdali je možnost tyto poskytnuté trasy od společnosti Aryja, s. r. o. naplánovat výhodnějším způsobem z hlediska ujetých kilometrů, s čímž úzce sousiví i případná možnost úspory nákladů na pohonné hmoty a úspora nákladů na mýtné poplatky. Dále budeme porovnávat i časové hledisko původní a ově navrhnuté trasy. 1 Z důvodu zachování identity obou společností spolupracujících s autodopravou Aryja, s. r. o. byly v diplomové práci pojménovány jako společnost ABC a společnost XYZ. 11

3 LITERÁRNÍ REŠERŠE 3.1 Logistika 3.1.1 Pojem logistika Podle Kubíčkové (2006, s. 3) představuje logistika nový směr myšlení, který je zaměřen na uspokojení potřeby zákazníka. Uspokojování těchto potřeb by mělo být dosaženo s co největší pružností a hospodárností. Vše se plánuje tak, aby to nejlépe sloužilo zákazníkovi, včetně logistiky a dopravy. V literatuře není pojem logistiky jednoznačně vymezen. Existuje celá řada definic lišících se jak v různých oblastech aplikací, tak i u jednotlivých autorů. Stručně lze říci, že se logistika zabývá pohybem zboží a materiálu z místa vzniku do místa spotřeby a s tím souvisejícím informačním tokem. Logistika se tedy týká všech komponent oběhového procesu, tzn. dopravy, řízení zásob, manipulace s materiálem, balení, distribuce a skladování. Hlavním úkolem logistiky je tedy zajistit, aby správné materiály byly na správném místě, ve správném čase, v požadované kvalitě, s příslušnými informacemi a s odpovídajícím finančním dopadem. (Kubíčková, 2006, s. 4) Získal a Havlíček (1999, str. 59) člení logistiku podle oblasti působení na: Makrologistiku, která se zabývá ucelenými soubory logistických řetězců v rámci regionů, např. státy. Mikrologistiku zabývající se logistickými řetězci pouze v rámci určité organizace (podniku). Obchodní logistiku, která je zaměřena na logistické řetězce důležité pro firmu v rámci obchodní činnosti. Dopravní a zasilatelskou logistiku, která koordinuje, synchronizuje a optimalizuje všechny hmotné i nehmotné procesy při pohybu zásilek po dopravní síti od místa vstupu až do místa příjmu. 3.1.2 Historický vývoj logistiky a její současné trendy Kubíčková (2006, s. 4) uvádí, že původ slova logistika není zcela jasný, ale patrně je odvozen z řeckého slova logistikon, které znamená důmysl a rozum. Jak uvádí autoři Drahotský a Řezníček (2003, s. 1) je možné se s pojmem logistika setkat již v 9. století ve vojenství. Logistika zde zajišťovala veškeré potřeby vojska, zásobování potravou, zbraněmi, municí, logističtí důstojníci připravovali vojenské akce, kontrolovali pohyby vojenských jednotek apod.. Logistika byla zprvu jako nástroj podnikového řízení využívaný k zdokonalení plánování operativního řízení na úseku distribuce, kde 12

navazovala na marketing. Logistika se tak stala jednou z podnikových funkcí. Později však, převážně u velkých podniků, se začala vyčleňovat do samostatného podnikového útvaru. Důležitá je spolupráce logistiky s marketingem a ostatními podnikovými složkami a pouze za splnění tohoto předpokladu má logistika v podnicích velký potenciál. (Kubíčková, 2006, s. 8) V posledních letech výrazně stoupl význam pružnosti uspokojování potřeb zákazníků. Celková úspěšnost na trhu závisí na třech faktorech z tzv. magického trojúhelníku, a to na snížení nákladů, zvýšení pružnosti a na zvýšení kvality. Tyto tři faktory dále souvisí s úrovní techniky a technologie, kterou podnik disponuje, dále s úrovní pracovníků a podnikové organizace. Význam uvedených faktorů se přesouvá z oblasti kvality přes snižování nákladů právě k oné pružnosti, která se stává dominantním strategickým faktorem. V současné době podniky začínají k třem faktorům magického trojúhelníku přidávat další nový faktor dělat věci jinak, čímž se magický trojúhelník mění na tzv. magický čtyřúhelník. Tím, že dělá firma věci jinak se odliší od tvrdé konkurence. Nutností bývá především individuální přístup k zákazníkovi, což je v současné logistice největším trendem. Současná logistika se tak stává tvůrčím procesem, kdy jednotlivá logistická řešení je třeba přizpůsobovat individuálnímu zákazníkovi, shrnuje ve své publikaci autorka Kubíčková (2006, s. 7). 3.2 Dopravní logistika Dopravní logistika je podle Kubíčkové (2006, s. 48) vymezena jako činnost koordinující a synchronizující a optimalizující pohyby zásilky po dopravní síti od místa a okamžiku jejich vstupu do sítě až po místo a okamžik jejich výstupu ze sítě. Dopravní logistika se mimo to zabývá také koordinací, synchronizací a optimalizací prostorového rozmístění, kapacit a pohybů všech dopravních a manipulačních prostředků a zařízení, na jehož základě jsou realizovány pohyby každé zásilky. Uvádí se, že právě doprava nejnákladnější službou v obchodní oblasti, a proto jsou aktivity v dopravní logistice prováděny s cílem minimalizovat tyto přepravní náklady. Doprava je rostoucím odvětvím dnešní ekonomiky a poptávka po těchto službách neustále roste. Růst poptávky po dopravě je podle Získala a Havlíčka (1999, s. 60) způsoben změnami ve struktuře zpracovatelského průmyslu, v metodách výroby, zmenšováním velikosti dodávek a zvyšováním jejich frekvence, nárůstem podílu odvětví služeb a demografickými změnami. Autoři jsou také přesvědčeni, že rozvoj dopravní logistiky je determinován úrovní dopravní infrastruktury daného státu či regionu. 13

3.2.1 Druhy dopravy Podle Kubíčkové (2006, s. 55) lze pro přepravu výrobků obecně použít kterýkoliv z pěti základních druhů dopravy, kterými jsou silniční, kolejová (železniční), letecká, lodní a potrubní. Dále existují různé intermodální kombinace jako kolejová-silniční, silniční-lodní, silniční-letecké či kolejová- lodní. Silniční doprava Silniční doprava nabízí rychlé a spolehlivé služby s malou pravděpodobností poškození či ztráty v průběhu přepravy. Autodopravci jsou velmi pružní a univerzální. Pružnost je dána hustou silniční sítí umožňující nabízet přepravní služby z místa na místo kdekoliv a kdykoliv. Univerzálnost znamená, že mohou přepravovat výrobky nejrůznějších velikostí, hmotnosti a na jakoukoliv vzdálenost. Pomocí silniční dopravy lze přepravovat v podstatě veškeré produkty. Objem přepravovaného zboží se neustále zvyšuje, protože nákladní automobilová doprava je ve srovnání s jinými druhy doprav lépe slučitelná s požadavky jednotlivých zákazníků. Kolejová/železniční doprava Železniční doprava postrádá pružnost a univerzálnost silniční dopravy, neboť je omezena na pevně dané tratě. Z tohoto důvodu poskytuje železniční doprava převážně přepravu typu terminál terminál, nikoliv jako silniční doprava z místa na místo. Existují však výjimky, kdy mají podniky zřízeny kolejové přípojky přímo do svých areálů, pak se tedy jedná též o přepravu z místa na místo. Doprava po železnici stojí obecně méně než doprava silniční či letecká. Naopak ve srovnání s riziky poškození a ztráty nevychází železniční doprava příznivě. (Kubíková, 2006, s. 55) Letecká doprava Autoři Drahotský a Řezníček (2003, s. 15) uvádí, že letecká doprava je stále ještě považována za nadstandardní způsob přepravy. Je sice schopna realizovat přepravu za nejkratší dobu, ale s velmi vysokými náklady. Z tohoto důvodu se používá pro přepravu zboží s vysokou hodnotou. Poskytovaný servis je díky vysoké ceně za přepravu relativně spolehlivý. Lodní doprava Kubíčková (2006, s. 57) rozděluje lodní dopravu do těchto kategorií: lodní doprava po vnitrostátních vodních cestách, po jezerech, připobřežní námořní a mezinárodní námořní doprava. Obvykle se pomocí lodní dopravy přepravují polozpracované materiály či suroviny (ruda, obilí, dřevo, uhlí, vápenec a ropa), 14

které se převážejí ve velkých objemech. Uplatňuje se v případech, kdy není rozhodující doba dodání. Potrubní doprava Tento druh dopravy je vhodný zejména pro přepravu látek plynných či kapalných jako jsou např. zemní plyn, ropné produkty, chemikálie či voda. Téměř zde nedochází ke ztrátám a poškození, protože potrubí minimalizuje vliv klimatických podmínek. Potrubní doprava je spolehlivá a z hlediska nákladů výhodná. (Drahotský a Řezníček, 2003, s. 15) Kombinovaná doprava Za kombinovanou dopravu považuje Peprný a Stejskal (2011, s. 121) přepravu nákladů v téže přepravní jednotce nebo silničním vozidle s využitím několika druhů dopravy, kde nedochází k přepravě zboží (nákladů), ale pouze přepravní jednotky nebo silničního vozidla. U tohoto druhu dopravy je podíl cesty po silničních komunikacích minimální, většina přepravy tedy probíhá po železnici nebo na vodě. Smyslem kombinované dopravy je zabránit častému překládaní nákladu (náklad je totiž v uzavřených přepravních jednotkách). 3.3 Lineární programování Podle Jablonského (2007, s. 19) je lineární programování disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů, ve kterých jde o určení intenzit realizace procesů, které probíhají nebo mohou probíhat v daném systému. Při realizaci těchto procesů je však nutno respektovat všechny podmínky, které tyto procesy ovlivňují a najít takové řešení, které bude cíl rozhodování splňovat co nejlépe. Pojem lineární programování je složenina dvou slov, a to lineární a programování, která vystihují podstatu operačního výzkumu. Slovo programování není v oboru operačního výzkumu termín spojený s programováním počítačů nějakým programovacím jazykem, nýbrž je zde spíše synonymem pro plánování nebo vytváření scénářů pro budoucí vývoje. Slovo lineární vyjadřuje, že jsou všechny matematické funkce použité v modelech funkce lineární. Jablonský (2007, s. 19) tedy shrnuje, že lineární programování je prostředek pro plánování realizace určitých procesů, který zabezpečuje dosažení optimálního výsledku ve vztahu k definovanému cíli. Postup uplatnění lineárního programování v praxi lze podle Raise (2003, s. 21) rozdělit do čtyř fází: a) formulace tzv. ekonomického modelu výběr a volba problému a jeho zjednodušení a specifikace v ekonomických souvislostech. 15

Ekonomický model má odrážet důležitá fakta zkoumané reálné problematiky. Jedná se o slovní a číselný popis daného problému, tedy o jakýsi druh slovní úlohy ; b) formulace tzv. matematického modelu ekvivalent modelu ekonomického. Jde tedy o vyjádření ekonomického modelu pomocí matematických prostředků. Slovní zadání se tedy převede do matematické podoby; c) výpočet matematického modelu pomocí vhodné matematické metody LP; d) ekonomická interpretace matematického řešení převod výsledku matematického řešení zpět do řeči ekonoma. 3.3.1 Formulace ekonomického modelu V první fázi se podle Raise (2003, s. 21) seznamujeme s konkrétními problémy, ujasňujeme si, co vlastně je třeba řešit, jaké kvalitativní charakteristiky popisují zkoumaný problém, jaké podstatné vlivy je nutno brát při řešení v úvahu a které naproti tomu lze opominout. Ekonomický model musí být vytvořen tak, aby následně bylo ve druhé fázi možno ho popsat matematickými prostředky a dále pak řešit pomocí lineárního programování. V ekonomickém modelu by tedy podle Raise (2003, s. 21, 22) měly být: a) vymezeny a popsány aktivity neboli procesy vytvářející kostru ekonomického modelu. Jedná se o reálné činnosti jako např. výroba určitého výrobku, nákup určité suroviny, o jejichž úrovni (množství) bude rozhodováno, b) definovány faktory, tj. výrobní zdroje (např. suroviny, energie, polotovary či výrobní zařízení), které jsou využívány v průběhu hospodářských aktivit a procesů a jsou označovány jako vstupy těchto činností. Uvedenými faktory mohou být také výsledky neboli výstupy hospodářských aktivit či procesů (např. polotovary, výrobky, komplety výrobků). Pro výrobní zdroje bývají určena množství, která jsou k dispozici, pro výsledky činnosti pak množství požadovaná. Důležitou součástí ekonomického modelu je soustava tzv. strukturních (technických) koeficientů, které charakterizují vztah vstup výstup neboli jednotkovou spotřebu zdrojů resp. jednotkovou produkci výsledků. Jinak řečeno, vyjádření vstupujících a vystupujících množství činitelů při jednotkové úrovni činnosti. Uvažujeme-li v ekonomickém modelu m činitelů, pak každá činnost je obecně popsána m strukturními koeficienty, z nichž některé mohou být nulové. Tato nulová hodnota strukturních koeficientů znamená, že odpovídající činitel se v průběhu této činnosti nespotřebovává ani neprodukuje. 16

c) specifikovány tzv. kritéria optimality, což je nějaký významný hospodářský ukazatel jako např. výrobní náklady, tržba, zisk, dopravní náklady aj., který při řešení daného problému má nabýt minimální či maximální možné hodnoty. 3.3.2 Formulace matematického modelu Ve druhé fázi Rais (2003, s. 22) převádí ekonomický model na matematickou úlohu, tzn. je definován matematický model. Jak uvádí Jablonský (2007, s. 13) základem pro tvorbu matematického modelu je matematické programování, což je odvětví operačního výzkumu zabývající se řešením optimalizačních úloh, ve kterých se jedná o nalezení extrému daného kritéria, definovaného ve tvaru kriteriální funkce n proměnných, na množině variant určených soustavou omezujících podmínek, které jsou zadány ve tvaru lineárních nebo nelineárních rovnic či nerovnic. Obecný tvar matematického modelu úlohy matematického modelu formuluje Gros (2003, s. 124) takto: maximalizuj (minimalizuj) z = f (x) g i (x) b i i = 1, 2,..., k g i (x) = b i i = k + 1, k + 2,..., p (3.1) g i (x) b i i = k + p + 1, k + p + 2,..., s x 0 Gros (2003, s. 124) také uvádí zvláštní případ obecného modelu (3.1) jímž je model lineárního programování. V tomto modelu jsou účelová funkce i funkce vyskytující se v soustavě omezujících podmínek lineárními funkcemi optimalizovaných proměnných. Model lze formulovat jako: n max(min) z= c j x j (3.2) n j=1 n j=1 n j=1 a ij x j b i a ij x j =b i j=1 i = 1, 2,, k i = k + 1, k + 2,..., p a ij x j b i i = k + p + 1, k + p + 2,..., s (3.3) x i 0 j = 1, 2,, n (3.4) 17

Plevný a Žižka (2010, s. 50) a také Gros (2003, s. 124) označují jednotlivé prvky modelu touto ustálenou terminologií: x j... optimalizované proměnné veličiny, jejichž optimální úroveň je podmínkou dosažení cíle řešení rozhodovací situace (např. objemy produkce jednotlivých výrobků, přepravovaná množství zboží atd.); c j... koeficienty vztahující se v účelové funkci k j -té proměnné, tzv. koeficienty účelové funkce (např. ceny výrobků, variabilní náklady na jednotku produkce, pracnost produkce apod.); a ij... technické koeficienty vyjadřující vztah mezi j -tou proměnnou a i -tou omezující podmínkou, tzv. koeficienty podmínek (např. měrné spotřeby materiálových a energetických vstupů, výkon strojů, výrobních linek apod.); b i... pravé strany i -té vlastní omezující podmínky, kterými mohou být kapacitní omezení (např. jako maximální dosažitelný objem produkce či využitelný časový fond), ale také požadavky zákazníků dané např. požadavky na minimální objem produkce, množství výrobků či maximální prodejní množství. Rašovský a Šišláková (2003, s. 19) uvádí, že obecná úloha lineárního programování je tvořena lineární funkcí (3.2), kterou označuje jako účelovou funkci. Soustavu rovnic a nerovnic (3.3) a (3.4) nazýváme soustavou omezujících podmínek úlohy lineárního programování, přičemž soustava lineárních rovnic a nerovnic (3.3) je tvořena vlastními omezujícími podmínkami a soustava nerovnic (3.4) podmínkami nezápornosti. Jestliže hledáme minimální hodnotu účelové funkce (3.2), nazýváme úlohu minimalizační úlohou, naopak chceme-li hodnoty účelové funkce maximální, pak se tato úloha nazývá maximalizační úloha. 3.3.3 Distribuční úlohy lineárního programování Jablonský (2007, s. 28) pokládá za velkou skupinu úloh lineárního programování tzv. distribuční úlohy, které se vyznačují některými speciálními vlastnostmi. Tyto vlastnosti se mohou týkat speciální struktury modelu nebo způsobu jejich řešení. Holoubek (2006, s. 80) do skupiny distribučních úloh lineárního programování řadí dopravní problém, přiřazovací problém, kontejnerový dopravní problém, obecný dopravní problém a problém obchodního cestujícího. Stručné charakteristiky jednotlivých typů problémů jsou uvedeny níže. Okružní problém neboli problém obchodního cestujícího je pak podrobněji popsán v kapitole 3.4, protože bude využit při praktickém řešení diplomové práce. 18

Dopravní problém Rais (2003, s. 52) uvádí, že při řešení typických dopravních úloh jde v podstatě o problém, kde základním úkolem je rozvézt mezi několik různých odběratelů homogenní výrobky, které jsou vyráběny nebo skladovány na různých místech. Dále musí být přeprava provedena tak, aby bylo zajištěno plné uspokojení odběratelských potřeb v rámci daných zdrojů a aby současně bylo docíleno minimálních celkových přepravních nákladů (vyjádřených např. v tunokilometrech, v Kč nebo ve spotřebě pohonných hmot apod.). Přiřazovací problém Přiřazovací problém představuje podle Jablonského (2007, s. 107) úlohu, ve které se jedná o nalezení vzájemně jednoznačného přiřazení dvojice jednotek ze dvou skupin tak, aby toto přiřazení přineslo co nejvyšší efekt. V úloze jsou vymezeny dvě skupiny jednotek, které mají stejný počet prvků. Stejného počtu prvků lze dosáhnout doplněním o fiktivní jednotky. Holoubek (2006, s. 100) uvádí, že typickým příkladem ke zkoumané problematice je jakým způsobem přiřadit pracovníky ke strojům za předpokladu, že každý pracovník je schopen pracovat na všech strojích, ale na splnění požadovaného úkolu je potřeba různé množství pracovního času nebo různé náklady. Řešením této úlohy je takový výsledek, kdy přiřazení strojů a pracovníků má spotřebu či velikost nákladů spojených se splněním úkolu minimální. Kontejnerový problém Jablonský (2007, s. 103) ve své publikaci charakterizuje kontejnerový dopravní problém jako modifikaci základní formulace dopravního problému s tím rozdílem, že u kontejnerového problému se přeprava mezi dodavateli a odběrateli realizuje pouze pomocí kontejnerů mající kapacitu K jednotek. Pelikán (1993, s. 71) dodává, že přepravní náklady jsou lineárně závislé ne na množství produktu, ale pouze na počtu využívaných kontejnerů bez ohledu na to, zdali je kontejner plný či poloprázdný. Proto se dbá na to, aby jednotlivé kontejnery, které budou přepravovány, byly využity co možná nejvíce. Obecný dopravní problém Jablonský (2007, s. 105) uvádí, že se obecný distribuční problém liší od dopravního problému hlavně tím, že kapacity zdrojů a požadavky odběratelů nejsou uváděny ve stejných jednotkách. Je tedy nutno pro jejich vzájemnou porovnatelnost doplnit model o určité převodní koeficienty. 19

Problém obchodního cestujícího Problém obchodního cestujícího, který bývá také označován jako okružní problém, má podle Jablonského (2007, s. 111) řadu společných rysů jako přiřazovací problém. Podle Raise (2003, s. 62) se jedná o nejznámější problém optimálního pořadí, ve kterém má obchodní cestující navštívit určitý počet míst tak, aby každé místo navštívil jenom jednou a aby se domů vrátil až po absolvování všech míst. Je třeba určit takové pořadí míst, aby délka okruhu byla minimální. Problematika obchodního cestujícího je podrobněji řešena v následující kapitole 3.4. 3.4 Okružní dopravní problém Okružní dopravní problém též nazývaný problém obchodního cestujícího patří mezi distribuční úlohy lineárního programování. Holoubek (2006, s. 106) ve své publikaci upozorňuje na otázku jak v praxi co nejúsporněji dodat požadované zboží odběratelům. V tomto případě se však nejedná o klasickou dopravní úlohu, kdy odběratelé mohou být zásobeni z několika míst. U tohoto typu distribuční úlohy je dodávka zboží optimalizována tak, aby zboží bylo rozvezeno všem odběratelům v rámci jedné jízdy. Základními podmínkami úlohy je skutečnost, že každá jízda začíná a končí ve stejném místě a dále to, že všichni odběratelé musí být navštíveni právě jednou. Cílem je uspořádání pořadí navštívených míst tak, aby náročnost této cesty byla minimální. Minimalizovat můžeme například délku okruhu, spotřebu času či pohonných hmot nebo náklady. Typickým příkladem okružního dopravního problému je naplánování návštěv jednotlivých klientů tak, aby se v rámci této cesty ujelo co nejméně kilometrů. Úloha tohoto typu má řadu reálných aplikací, protože problém stanovení optimálního okruhu vzniká v podnicích, které pravidelně či nepravidelně rozvážejí nebo svážejí určité produkty, zásilky atd. Problematikou obchodního cestujícího se dále také zabýval Stevenson (1992, s. 346), který uvádí, že existují dvě verze okružního problému. První verze předpokládá, že délka trasy z místa A do místa B je stejná jako délka trasy z místa B do místa A. Tato verze je označována jako symetrický problém obchodního cestujícího. Druhá verze, označovaná jako asymetrický problém, vychází z předpokladu, že délky z místa A do místa B nejsou stejně velké jako délka trasy z místa B do místa A. Pelikán (1993, s. 32, 33) hovoří v souvislosti s tímto typem dopravní úlohy o omezujících faktorech, jimiž je kapacita dopravního prostředku. Je tedy nutné předem znát množství, které může daný dopravní prostředek převést. 20

3.4.1 Formulace matematického modelu Rašovský a Šišláková (2003, s. 153, 154) uvádí, že nejjednodušší okružní problém lze obecně popsat takto. Nechť máme: n návštěvních míst, přičemž vyjíždíme z i-tého místa a jedeme do j-tého místa; n kroků trasy (k = 1, 2,, n) c ij je vzdálenost mezi i-tým a j-tým navštíveným místem; x ij je uskutečněná (x ij = 1) nebo neuskutečněná (x ij = 0) cesta mezi i-tým a j- tým navštíveným místem v k-tém kroku. Při výše uvedeném označení je zformulován matematický model úlohy takto: stanovte hodnoty proměnných x ij, při kterých: n Z min = i=1 při omezeních n i=1 n n j=1 n j=1 k=1 n n i=1 k=1 n i=1 n j=1 n c ij x ijk k=1 x ijk =1 (k = 1, 2,, n) x ijk =1 (i = 1, 2,, n) x ijk =1 (j = 1, 2,, n) n x ijk = j=1 při k = n je k + 1 = 1 x ijk+1 (i, j, k = 1, 2,, n) x ij = { 0 1 (i, j, k = 1, 2,, n) Nalezení optimálního řešení okružního problému je výpočetně velmi náročné, což je dáno velkým množstvím omezujících podmínek. V reálných aplikacích se proto často používají speciální algoritmy, které však poskytují pouze přibližné řešení. 21

3.4.2 Metody řešení okružního dopravního problému Získal a Brožová (1996, s. 65) uvádí, že pro řešení okružního dopravního problému existuje více metod, jejichž princip je založen na vytvoření a zpracování posloupností sledovaných míst, v nichž se musí každé místo objevovat právě jednou. Aby se zamezilo předčasnému uzavření okruhu, je nutno vyloučit všechny trasy, které by předčasně uzavřely okruh. Musíme tedy vyloučit takové trasy, které by okruh předčasně uzavřely. Z tohoto důvodu je v modelech zakázáno současné zařazení jednoho úseku oběma směry a zpětná vazba každého uzlu, zobrazeno na obrázku č. 1. Obrázek č. 1: Příklady zakázaných cest V následujících kapitolách bude uveden přehled nejznámějších metod při řešení okružního dopravního problému. 3.4.2.1 Vogelova aproximační metoda (VAM) Jak uvádí Rais (2003, s. 54) jedná se o nejčastěji používanou metodu v praxi a to zejména pro její jednoduchost, přesnost a rychlost nalezení řešení. Šubrt (1999, s. 37) uvádí, že u jednookruhového problému není třeba uvažovat přepravované množství zboží, a tak se před zahájením výpočtu zapíší do tabulky pouze sazby a v průběhu algoritmu se obsazované buňky jen označují (vyznačují), což znamená, že spojení odpovídající těmto buňkám jsou zařazována (přidávána) do konstruované trasy obchodního cestujícího. Pro každou řadu (tj. řádek a sloupec) vypočteme diferenci (rozdíl) mezi dvěma nejmenšími hodnotami. V případě, že jsou tyto dvě nejmenší hodnoty stejné, pak je výsledek nula. Vybereme řadu s největší diferencí a v této řadě dále označíme buňku s nejnižší sazbou. Po obsazení buňky se vyškrtne jak řádek, tak i sloupec, ve kterých se obsazovaná buňka nachází. Kromě toho je třeba vyškrtnout také ještě jednu další buňku, která s právě obsazenou buňkou a případně buňkami již dříve obsazenými uzavírá kruh, který ještě neprochází všemi místy. Přepočítáme diference a postup opakujeme, dokud nejsou do okruhu zařazena všechna místa. 22

3.4.2.2 Metoda nejbližšího souseda Princip této metody spočívá v tom, že si zvolíme výchozí místo, z kterého se vydáme do místa, z něhož je nejvýhodnější spojení ze zvoleného výchozího místa. Z tohoto nového místa se pak vydáme do dalších míst, kde jsme ještě nebyli a které má nejvýhodnější spojení z místa, kde se právě nacházíme. Po projetí všech míst se vracíme zpět do výchozího místa. Popíšeme, jak se provádí výpočet pomocí matice sazeb. Především vyškrtneme sloupec, který odpovídá výchozímu místu (do tohoto místa se vrátíme až nakonec). V řádku, který odpovídá výchozímu místu najdeme buňku s minimální (nejvýhodnější) sazbou a obsadíme (označíme) ji, toto spojení bude součástí výsledné okružní trasy. Tímto spojením se přesuneme do místa, jemuž odpovídá sloupec, v němž se nejvýhodnější buňka nachází. Tento sloupec vyškrtneme (do toho místa se již v úloze nevracíme). V řádku odpovídajícím tomuto místu vybereme z dosud nevyškrtnutých buněk ve sloupci opět tu s nejvýhodnější sazbou a celý postup opakujeme, dokud nejsou všechny sloupce vyškrtány, tzn. dokud jsme nenavštívili všechna místa. V řádku, v němž jsme se ocitli nakonec, obsadíme buňku ve sloupci, který odpovídá výchozímu místu. Postupně zvolíme všechna místa jako výchozí a pro každé najdeme výše uvedeným postupem okružní trasu. Má-li úloha nesymetrickou matici sazeb, provedeme pro každé místo také hledání trasy pozpátku, což znamená, že buď vyškrtáme řádky a hledáme minimální sazby ve sloupcích nebo můžeme původní postup aplikovat na transponovanou matici. Ze všech takto nalezených tras vybereme nejvýhodnější, tzn. trasu s nejmenším součtem sazeb. (Šubrt, 1999, s. 38) 3.4.2.3 Littlova metoda Specifickou úlohou pro řešení okružního dopravního problému je Littlova metoda. Získal a Havlíček (1999, s. 67) se shodují s Holoubkem (2006, s. 106) je tato metoda založena na metodě větví a mezí, kdy se systematicky dělí množina přípustných řešení na stále zmenšující se podmnožiny až do okamžiku nalezení optimálního řešení. Úlohy si lze podle Holoubka (2006, s. 106) zapsat do čtvercové matice, kdy v jednotlivých políčcích jsou uvedeny například délky tras mezi jednotlivými odběrateli koeficienty účelové funkce. Matice vzdáleností může být symetrická i nesymetrická, podle toho, zda předpokládáme či nepředpokládáme, že vzdálenost mezi místem i a j je v obou směrech shodná. Při řešení úlohy jsou z matice vyloučeny dva druhy tras: trasa z místa i zpět do místa i tj. políčka na hlavní diagonále matice (tyto zakázané trasy se v matici označují symbolem ); 23

trasa, která by předčasně ukončila okruh, tj. dříve než jsou do okruhu zahrnuty všechna plánovaná místa. Cestu zakázanou z tohoto důvodu si označíme symbolem. Algoritmus pro řešení okružního problému pomocí Littlovy metody: 1. Základem metody je redukce výchozí matice vzdáleností mezi jednotlivými návštěvními místy, kdy od každého řádku a každého sloupce matice odečteme nejnižší sazbu (transformační konstantu), která se nachází v příslušném řádku a sloupci. Tímto způsobem získáme v každém řádku a sloupci alespoň jednu nulovou sazbu. Řešení úlohy s takto redukovanou maticí je ekvivalentní s řešením původní úlohy. 2. Vypočteme hodnotu Z 0, o kterou se sníží hodnota účelové funkce libovolného přípustného řešení při odečtení příslušných transformačních konstant. n Z 0 = a i i=1 n + b j j=1 a i.transformační konstanta odpovídající i-tému řádku (i = 1, 2,, n) b j...transformační konstanta odpovídající j-tému sloupci (j = 1, 2,, n). 3. Pro všechny redukované vzdálenosti rovné (c ij = 0) stanovíme hodnoty φ ij = c * i,min + c * j,min c * i,min...nejmenší redukovaná vzdálenost v i-tém řádku c * j,min...nejmenší redukovaná vzdálenost v j-tém sloupci 4. Ze všech vypočtených φ ij vyhledáme takovou hodnotu, která je maximální. Za předpokladu, že platí φ max = φ ij je určena první etapa hledaného optimálního okruhu cesta z i-tého místa do j-tého místa. Je- li více φ max, pak je lze vybrat jakoukoliv z těchto cest. 5. Vypočteme hodnotu účelové funkce Z ij při nezařazení cesty z i-tého místa do j-tého místa do okruhu Z ij = Z 0 + φ max 6. Z redukované matice vzdáleností je vynechán i-tý řádek a j-tý sloupec a současně zakážeme protisměrnou jízdu mezi místy první etapy, tj. z j-tého místa do i-tého místa. Toto příslušné políčko označíme symbolem. 7. V případě, že v každém řádku a každém sloupci redukované matice vzdáleností po provedení kroku 6 není ani jedno c ij = 0, pak provedeme další redukci vzdáleností pomocí transformačních konstanta (krok 1). 24

8. Správnost zařazení cesty u i-tého místa do j-tého místa do okruhu se ověří tím, zdali platí vztah Z ij Z ij, kde Z ij je hodnota předcházející účelové funkce zvětšená o n a i i=1 n + b j j=1, kde ai a b j jsou transformační konstanty z kroku 7. 9. Dostaneme-li redukovanou matici vzdáleností typu 2 x 2, přičemž dvě ze čtyř možností jsou zakázané, uzavřeme okruh po zbývajících cestách a výpočet je u konce. V opačném případě je postup výpočtu opakován od kroku 3. (Rašovský, Šišláková, 2003, s. 154, 155) Výše popsaný algoritmus Littlovy metody je znázorněn na obrázku č. 2 na další stránce. 25

Obrázek č. 2: Algoritmus Littlovy metody 26

3.5 Počítačové řešení Holoubek (2006, s. 145) uvádí, že některé praktické problémy mohou obsahovat stovky až tisíce proměnných či vlastních omezení, u nichž pak nepřichází v úvahu ruční výpočty z důvodu možnosti numerických chyb, velké pracnosti či časové náročnosti. Z tohoto důvodu byly vyvinuty počítačové programy zabývající se zpracováním těchto složitějších problémů. Paleta těchto programů je velmi široká. Vedle jednoduchých a levnějších programů pro pedagogické účely (např. STORM) existují i profesionální programy, kterým však odpovídá vyšší cena (např. LINGO či LINDO). 3.5.1 STORM Optimalizační program STORM je produktem americké společnosti Storm Software, Inc. Lauber a Jablonský (1997, s. 27) označují STORM jako modulový systém, který umožňuje řešit úlohy lineárního programování, řízení projektů, teorie hromadné obsluhy, teorie zásob atd. Veškerá práce v tomto systému je organizovaná pomocí systému nabídek menu, což je uživatelsky přívětivé. Okružní dopravní problém je řešen v rámci modulu Distance Network Parts, Tours, Treets, který je zaměřen na vybrané optimalizační úlohy v grafech. Grafem se podle Laubera a Jablonského (1997, s. 53, 55) rozumí množina uzlů a hran, spojujících tyto uzly. Pro nalezení nejkratšího okruhu lze považovat uzly grafu za konkrétní místa. Pro řešení okružního dopravního problému stačí zadat kilometrové vzdálenosti mezi těmito místy. Pro řešení okružního problému vkládáme tyto základní parametry: Titulek (Title) obsahuje krátký popis úlohy. Počet uzlů grafu (Number of nodes) uzly jsou považovány za konkrétní distribuční místa. Počet uzlů grafu může být maximálně 40. Charakteristika matice vzdálenosti (Distance matrix type) může být buď symetrická (SYM) nebo asymetrická (ASYM). Po určení základních parametrů následuje vytvoření samotné matice vzdáleností. Lauber a Jablonský (1997, s. 55) uvádějí: Pokud je tato matice symetrická, je povolen pouze vstup prvků horní trojúhelníkové matice. Jedná-li se o nesymetrickou matici, potom lze zadávat všechny prvky matice kromě prvků hlavní diagonály. Po zadání vstupních údajů se zobrazí nabídka základních typů úloh, které je možné se zadanými údaji řešit. V případě řešení problému obchodního cestujícího vybereme úlohy typu Traveling salespersons tour. Výstupem programu STORM je poté optimální řešení znázorňující minimální vzdálenost a pořadí míst, ve kterém mají být uzly distribuční sítě navštíveny. 27

3.5.2 LINGO Programový systém LINGO je produkt společnosti LINDO Systems, Inc. Pelikán (2001, str. 109) uvádí ve své publikaci, že tento systém je určen pro řešení úloh lineárního, celočíselného i smíšeného celočíselného programování. Velkou výhodou systému LINGO je skutečnost, že obsahuje speciální jazyk pro matematické modelování. Tento zápis je pak velmi blízký a podobný klasickému matematickému modelu. Tento obecný matematický model pak podle Jablonského (2007, s. 106) stačí spojit s připraveným datovým souborem, který může být ve formě běžného textového souboru bez zvláštních požadavků na jeho formát či soubor připravený ve spreadsheetu nebo databázi. Spojením obecné části (matematického modelu) a datového souboru vzniká konkrétní model vhodný pro zpracování. Obecnou část lze používat opakovaně pro různé úlohy daného typu s různými datovými soubory. Pro řešení okružního problému obsahuje programový systém LINGO modul TSP (Traveling salesman problem), do něhož stačí zadat požadovaný počet měst, zapsat data nebo je importovat z připraveného souboru a modul je připraven provést výpočet. 28

4 VLASTNÍ PRÁCE 4.1 Ukázkový příklad Pro řešení různých variant okružního problému existuje řada metod, z nichž některé jsou popsány v podkapitole 3.4.2 v literární rešerši. V této kapitole bude vypočten ilustrační příklad níže uvedenými metodami pro řešení okružního problému. Na základě výsledků získaných pomocí tohoto ilustračního příkladu bude vybrána nejvhodnější metoda, která pak bude použita pro optimalizaci tras autodopravy Aryja, s. r. o. v této diplomové práci. Údaje do ilustračního příkladu jsou částečně převzaty z odborné literatury (Šubrt, 1999, str. 39). V tabulce č. 1 jsou uvedeny vzdálenosti mezi jednotlivými městy v kilometrech. Matice vzdáleností je v tomto ilustračním příkladě symetrická. Tabulka č. 1: Matice vzdáleností ilustračního příkladu (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 Ostrava 362-346 454 456 České Budějovice 140 346-232 133 Ústí nad Labem 92 454 232-146 Plzeň 94 456 133 146 - Zdroj: Vlastní zpracování na základě vybraných údajů od Šubrta (1999, s. 39) 4.1.1 Vogelova metoda V případě Vogelovy metody je pro každý řádek a každý sloupec vypočten rozdíl mezi dvěma nejmenšími hodnotami (vzdálenostmi). Tabulka č. 2: První krok Vogelovy metody (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 2 Ostrava 362-346 454 456 16 České Budějovice 140 346-232 133 7 Ústí nad Labem 92 454 232-146 54 Plzeň 94 456 133 146-39 Zdroj: Vlastní zpracování 2 16 7 54 39 29

Největší diference jsou v tabulce č. 2 v 4. řádku a 4. sloupci a jsou rovny 54. Vybereme např. 4. sloupec a označíme buňku s nejnižší hodnotou (vzdáleností), tj. buňku Praha Ústí nad Labem, jejíž sazba činí 92. Znamená to tedy, že během cesty po okruhu zamíříme z Prahy do Ústí nad Labem. Zakážeme zpětnou cestu (vyškrtneme buňku Ústí nad Labem Praha). Dále musíme vyškrtnou všechny sazby v 4. sloupci (z žádného jiného města už nemůžeme jet do Ústí nad Labem) a ještě vyškrtneme 1. řádek (z Prahy už také nemůžeme jet do žádného jiného města). Tabulka č. 3: Druhý krok Vogelovy metody (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 2 - Ostrava 362-346 454 456 16 16 České Budějovice 140 346-232 133 7 7 Ústí nad Labem 92 454 232-146 54 86 Plzeň 94 456 133 146-39 39 Zdroj: Vlastní zpracování 2 16 7 54 39 46 108 99-13 Největší diference v druhé kroku zobrazeného v tabulce č. 3 je 108 a nachází se v 2. řádku. Opět označíme v tomto sloupci nejnižší sazbu, tj. 346 a znamená to, že další cesta okruhu je České Budějovice Ostrava. Nyní vyškrtneme 3. řádek a 2. sloupec. Musíme také zakázat zpětnou cestu. Tabulka č. 4: Třetí krok Vogelovy metody (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 2 - - Ostrava 362-346 454 456 16 16 94 České Buděj. 140 346-232 133 7 7 - Ústí nad Labem 92 454 232-146 54 86 86 Plzeň 94 456 133 146-39 39 39 Zdroj: Vlastní zpracování 2 16 7 54 39 2 108 99-13 268-99 - 310 30

V tabulce č. 4 je největší diference v posledním sloupci a je rovna 310. V tomto sloupci vybereme nejmenší sazbu, která je 146 a zobrazuje trasu Ústí nad Labem Plzeň. Vyškrtneme 4. řádek a poslední sloupec. Nemusíme již vyškrtávat zpětnou cestu, protože už je vyškrtnuta. Z tabulky č. 4 je dále zřejmé, po výše popsaném kroku, kdy jsme zařadili do okruhu trasu Ústí nad Labem Plzeň, že z Ostravy můžeme jet pouze do Prahy, proto je tedy další cesta Ostrava Praha. Do Prahy už tímto krokem nemůžeme jet z jiného města, což znamená, že u řádku Plzeň nám tedy zbývá pouze možnost trasy Plzeň České Budějovice. Výsledná trasa je dlouhá 1 079 km a vypadá takto: Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha 4.1.2 Metoda nejbližšího souseda Tabulka č. 5: Matice vzdáleností ilustračního příkladu (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 Ostrava 362-346 454 456 České Budějovice 140 346-232 133 Ústí nad Labem 92 454 232-146 Plzeň 94 456 133 146 - Zdroj: Vlastní zpracování na základě vybraných údajů od Šubrta (1999, s. 39) Vzhledem k faktu, že se jedná o optimalizaci rozvozových tras pražské autodopravy, zvolíme jako první výchozí bod Prahu. V řádku, kde se nachází Praha vybereme minimální sazbu (vzdálenost), tj. Praha Ústí nad Labem a je rovna hodnotě 92. Vyškrtneme 1. řádek (z Prahy už nemůžeme jet do jiného města), 4. sloupec (do Ústí už nemůžeme jet z jiného města) a zakážeme zpětnou cestu z Ústí nad Labem do Prahy. Tento první krok je zobrazen v následující tabulce č. 6. Tabulka č. 6: První krok metody nejbližšího souseda (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 Ostrava 362-346 454 456 České Budějovice 140 346-232 133 Ústí nad Labem 92 454 232-146 Plzeň 94 456 133 146 - Zdroj: Vlastní zpracování 31

V tabulce č. 7 je zobrazen druhý kroku, v němž se přesuneme do 4. řádku (Ústí nad Labem), kde opět vyhledáme nejnižší sazbu, kterou je v tomto případě hodnota 146, tj. cesta Ústí nad Labem Plzeň. Vyškrtneme 4. řádek a 5. sloupec. Zpětnou cestu z Plzně do Ústí nad Labem nemusíme vyškrtávat, protože už se tak stalo v prvním kroku. Musíme zakázat cestu z Plzně do Prahy, jinak by se nám předčasně uzavřel okruh. Vyškrtneme tedy 5. řádek, 4. sloupec. Tabulka č. 7: Druhý krok metody nejbližšího souseda (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 Ostrava 362-346 454 456 České Budějovice 140 346-232 133 Ústí nad Labem 92 454 232-146 Plzeň 94 456 133 146 - Zdroj: Vlastní zpracování V třetím kroku (tabulka č. 8) se přesuneme do posledního řádku (Plzeň), kde je nejnižší sazba 133, tj. cesta Plzeň České Budějovice. Tabulka č. 8: Třetí krok metody nejbližšího souseda (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 Ostrava 362-346 454 456 České Budějovice 140 346-232 133 Ústí nad Labem 92 454 232-146 Plzeň 94 456 133 146 - Zdroj: Vlastní zpracování Nyní hledáme nejnižší sazbu ve 3. řádku. V tomto kroku si musíme dát opět pozor, abychom předčasně neuzavřeli okruh tím, že vybereme jako nejnižší sazbu 140, která vede z Českých Budějovic do Prahy. Z tabulky č. 8 je tedy patrné, že další trasy tohoto okruhu budou České Budějovice Ostrava a Ostrava Praha. Tímto je celý okruh projet a uzavřen. Výsledná trasa Praha má celkem 1 079 km a vypadá takto: Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha 32

Aby bylo dosaženo co nejlepšího výsledku, budou takto postupně propočteny všechny trasy s počátečními místy v každém městě z matice vzdáleností. Získané výsledky jsou zobrazeny v následující tabulce č. 9. Tabulka č. 9: Výsledky okružní trasy s různými počátečními místy Počáteční město Okružní trasa Praha Ostrava České Budějovice Ústí nad Labem Plzeň Zdroj: Vlastní zpracování Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha Ostrava České Budějovice Praha Ústí nad Labem Plzeň Ostrava České Budějovice Plzeň Praha Ústí nad Labem Ostrava České Budějovice Ústí nad Labem Praha Plzeň České Budějovice Ostrava Ústí nad Labem Plzeň Praha Ústí nad Labem České Budějovice Ostrava Plzeň Délka (v km) 1 079 1 180 1 169 1 119 1 220 Z těchto tras vybereme tu nejkratší, která se stane výslednou trasou metody nejbližšího souseda. Tato trasa je vyznačena červeně v tabulce č. 9. Vybraná trasa je úplně stejná jako trasa zjištěná pomocí Vogelovy metody. 4.1.3 Littlova metoda Tabulka č. 10: Matice vzdáleností ilustračního příkladu (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň Praha - 362 140 92 94 Ostrava 362-346 454 456 České Budějovice 140 346-232 133 Ústí nad Labem 92 454 232-146 Plzeň 94 456 133 146 - Zdroj: Vlastní zpracování na základě vybraných údajů od Šubrta (1999, s. 39) V prvním kroku Littlovy metody provedeme redukci matice vzdáleností, tzn. od každého řádku a sloupce odečteme nejnižší sazbu, která se v daném řádku či sloupci nachází. Tímto postupem získáme matici, kde musí být v každém řádku a sloupci alespoň jedna nulová hodnota. Pokud tak není, 33

postup redukce opakujeme s nově získanými hodnotami. Pro všechny nulové buňky vypočteme hodnoty, které získáme jako součet nejnižších sazeb v daném řádku a sloupci, na nichž se tato nulová buňka nachází. Tyto hodnoty jsou vždy zvýrazněny tučně. Tabulka č. 11: První krok Littlovy metody (v km) Praha Ostrava Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň a i Praha - 362 270 57 140 48 92 0 54 94 2 92 Ostrava 362 16-346 0 55 454 108 456 110 346 České Budějovice 140 7 346 213 0 57-232 99 133 0 2 133 Ústí nad Labem 92 0 54 454 362 149 232 140-146 54 92 Plzeň 94 0 39 456 362 149 133 39 146 52-94 b j - 213 - - - 757 213 Zdroj: Vlastní zpracování V takto zredukované matici (tabulka č. 11) vybereme z tučně označených hodnot tu nejvyšší (v příkladech bude označena červeně). V ilustračním příkladu je to hodnota 57 a znázorňuje první trasu okruhu, a to České Budějovice Ostrava. Musíme zakázat zpětnou cestu pomocí symbolu. Vypočteme hodnoty Z 0 = 757 + 213 = 970 a Z ČB,OSTR = 970 + 57 = 1 027. V dalším kroku zredukujeme matici vynecháním řádku České Budějovice a sloupce Ostrava. Tímto krokem dostaneme novou matici, v které použijeme zredukované hodnoty. I v této matici musíme mít v každém řádku a sloupci alespoň jednu nulovou hodnotu. Tento krok je zobrazen v následující tabulce č. 12. 34

Tabulka č. 12: Druhý krok Littlovy metody (v km) Praha Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň a i Praha - 48 9 0 52 2 0 52 - Ostrava 16 0 92 108 92 110 94 92 16 Ústí nad Labem 0 52 140 101-54 52 - Plzeň 0 0 39 0 52 - - b j - 39-2 Zdroj: Vlastní zpracování 16 41 Maximální hodnota v nově vzniklé matici je tedy 92 a zařazuje do okruhu trasu Ostrava Praha. Zakážeme zpětnou cestu, vyškrtneme řádek Ostrava a sloupec Praha. Vypočteme hodnoty Z ČB,OSTR a Z OSTR,PH. Z ČB,OSTR = 970 + 16 + 41 = 1 027 (Z ČB,OSTR Z ČB,OSTR 1 027 = 1 027); Z OSTR,PH = 1 027 + 92 = 1 119. Tabulka č. 13: Třetí krok Littlovy metody (v km) Č. Buděj. Ústí n./l. Plzeň a i Praha 0 52 0 0 - Ústí nad Labem 101 49-52 0 49 52 Plzeň 0 101 52 - - b j - - - Zdroj: Vlastní zpracování 52 0 V redukované matici (tabulka č. 13) musíme navíc ještě zakázat cestu z Prahy do Českých Budějovic, protože by tak došlo k předčasnému uzavření okruhu. Maximální hodnota je zde 101 a zařazuje do okruhu trasu Plzeň České Budějovice. Opačnou cestu zakážeme, vyškrtneme řádek Plzeň a sloupec České Budějovice. 35

Vypočteme hodnoty Z OSTR,PH a Z PLZ,ČB. Z OSTR,PH = 1 027 + 52 + 0 = 1 079 (Z OSTR,PH Z OSTR,PH 1 079 1 119); Z PLZ,ČB = 1 079 + 101 = 1 180. Touto další redukcí dostáváme požadovanou konečnou matici o velikosti 2 x 2, která je zobrazena v následující tabulce č. 14. Z tabulky je nyní zřejmé, že z Prahy pojedeme do Ústí nad Labem a odsud pak do Plzně. Tímto krokem jsou všechna místa v matici vzdáleností projeta a okruh uzavřen. Tabulka č. 14: Čtvrtý krok Littlovy metody (v km) Ústí n./l. Plzeň a i Praha 0 - Ústí nad Labem - 0 - b j - - Zdroj: Vlastní zpracování 0 0 Z PLZ,ČB = 1 079 + 0 = 1 079 (Z PLZ,ČB Z PLZ,ČB 1 079 1 180). Výsledná okružní trasa má délku 1 079 km a vypadá takto: Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha 4.1.4 STORM Po spuštění programu vybereme z nabídky úloh Distance Network (Paths, Tours, Trees) a výběr potvrdíme tlačítkem enter. Obrázek č. 3: Hlavní menu programu a výběr úlohy 36

Z následující nabídky zvolíme zadání nových dat Create a new data set a opět potvrdíme klávesou enter. V další nabídce musíme zadat název úlohy (Title), počet uzlů (Number of nodes) a zdali je matice symetrická nebo asymetrická. Poté vyplníme názvy měst a vzdálenosti mezi nimi. Tento postup je zobrazen na obrázku č. 4. Obrázek č. 4: Zadání vstupních parametrů a dat Po zadání všech potřebných údajů stiskneme klávesu F7 a zobrazí se nabídka základních typů úloh, z nichž vybereme problém obchodního cestujícího Traveling salesperson s tour (obrázek č. 5). Obrázek č. 5: Volba úlohy obchodního cestujícího Po potvrzení předchozího kroku se již provede samotný výpočet okružní trasy podle námi zadaných kritérií. Výsledná trasa získaná pomocí programu STORM je 1 079 km dlouhá a je projeta v tomto pořadí (obrázek č. 6): Praha Ostrava České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Praha 37

Obrázek č. 6: Výsledná okružní trasa 4.1.5 LINGO V programu LINGO existuje algoritmus, který je přímo určen pro řešení problému obchodního cestujícího. Do programu tedy stačí zadat pouze počet míst, která se mají navštívit a uvést zdrojový soubor, ze kterého se data o vzdálenostech jednotlivých míst mezi sebou mají čerpat. Soubor vstupních dat vzdáleností je pořízen v MS Excel a je tedy nutné pro správný výpočet definovat název těchto dat (obrázek č. 7). Obrázek č. 7: Nadefinování názvu vstupních dat Na obrázku č. 8 je zobrazen algoritmus pro výpočet problému obchodního cestujícího. V ukázkovém příkladě je uvažováno pět míst, proto je třeba změnit v původním algoritmu tento údaj. Dále je nutno pozměnit název souboru, ze kterého se data budou načítat a také název dat, který se nadefinoval v MS Excel. Název souboru je v tomto příkladě matice vzdalenosti.xls a název dat vzdalenosti. 38

Obrázek č. 8: Algoritmus pro řešení vzorového příkladu Po nadefinování potřebných úprav v algoritmu je jako další krok zvoleno tlačítko Solve v lištové nabídce programu. Tímto tlačítkem se spustí samotný výpočet příkladu. Obrázek č. 9: Zobrazení tlačítka Solve Na obrázku č. 10 je pak zobrazen výsledek příkladu získaný pomocí programu LINGO, ze kterého se vyčte pořadí míst, jak mají být za sebou navštívena a počet ujetých kilometrů. Výsledkem je tedy trasa, která má celkem 1 079 km. Jednotlivá města budou projeta v tomto pořadí: Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha 39

Obrázek č. 10: Výsledek vzorového příkladu pomocí programu LINGO 4.1.6 Porovnání zjištěných výsledků Tabulka č. 16: Zjištěné výsledky pomocí jednotlivých metod Metoda Vogelova aproximační Nejbližší soused Littlova LINGO Okružní trasa Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Ostrava Praha Délka (v km) 1 079 1 079 1 079 1 079 STORM Praha Ostrava České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Praha Zdroj: Vlastní zpracování 1 079 40

Jak je vidět v tabulce č. 16, všechna ruční i počítačová řešení okružního dopravního problému v ukázkovém příkladě vyšla shodně, pouze s tím rozdílem, že u počítačového programu STORM je výsledná trasa projeta v opačném pořadí. Je tedy zcela na subjektivním názoru, kterou metodu si pro následné optimalizování zvolíme. Pro optimalizaci všech rozvozových tras v diplomové práci byl nakonec vybrán počítačový program STORM. 4.2 Charakteristika firmy Firma ARYJA s. r. o. byla založena 1. února 1995 a sídlo má v Praze. Oba majitelé a zároveň jednatelé společnosti již v předchozích letech podnikali samostatně v oblasti autodopravy. Do společného podnikání ve společnosti Aryja, s. r. o. již oba majitelé vstupovali s určitou praxí v oblasti autodopravy. Předmětem podnikání je autodoprava. Firma se zabývá nejen tuzemskou autodopravou, ale i mezinárodní autodopravou, a to především do zemí střední a západní Evropy, např. Německo, Rakousko, Slovensko, Maďarsko, Polsko, Nizozemí, Belgie a Francie. V případě potřeby mohou jet v autě i dva řidiči s praxí v oblasti mezinárodní kamionové dopravy (MKD). Každý nákladní automobil je vybaven systémem GPS pro potřeby majitelů, kteří tak mají přehled, kde se dané nákladní auto pohybuje. Společnost je držitelem certifikátu ISO 9001: 2001. Tento certifikát specifikuje základní požadavky na management řízení jakosti v organizacích, které chtějí prokázat svou schopnost trvale poskytovat služby a produkty v souladu s příslušnými pravidly a normami, a které usilují o zvýšení spokojenosti svých zákazníků. Už od samého počátku se společnost specializuje zejména na chladírenskou a mrazírenskou přepravu. Hlavní náplní její práce jsou tedy převoz chlazených či mražených potravin, ale výjimkou nejsou ani náklady odlišné povahy. Jediné, co nemohou převážet jsou nebezpečné náklady ADR 2, protože všichni současní řidiči nemají příslušné zkoušky, které by je opravňovaly takto označené náklady převážet. Majitelé firmy jsou oba sportovně založení a mají velmi dobrý vztah k národní házené, kterou buď hráli nebo ještě hrají, jsou proto sponzory národní házené TJ Avia Čakovice účastníka I. ligy mužů a držitele mistrovského titulu r. 2002 2003. 2 ADR (Accord Dangereuses Route) Evropská dohoda o mezinárodní silniční přepravě nebezpečných věcí, která ukládá podmínky přepravy nebezpečného nákladu. Dohoda ADR vznikla v roce 1957 v Ženevě a tehdejší ČSSR k ní přistoupila v roce 1987. Dohoda upravuje, jakým způsobem má být tento druh zboží přepravován a rozděluje zboží do několika tříd podle nebezpečnosti. 41

Společnosti, pro které Aryja, s. r. o. provádí pravidelné rozvozy jsme označili v diplomové práci ABC a XYZ. Společnost ABC se zabývá velkoobchodním prodejem řezaných květin a floristických potřeb. Aryja pro tuto společnost rozváží řezané květiny 2 dny v týdnu (pondělí a čtvrtek) pomocí 3 nákladních automobilů IVECO. Pro společnost ABC budou v této diplomové práci optimalizovány 3 rozvozové trasy. Druhá společnost XYZ poskytuje svých zákazníkům velkoobchodní služby s elektromontážním materiálem pro potřeby výstavby, údržby a obnovy nemovitostí. Autodoprava Aryja pro tuto firmu rozváží zejména elektrické zásuvky, vypínače, dráty a různé kabely. Společnost XYZ využívá služby autodopravy 2 dny v týdnu (úterý a středa). Rozvoz se uskutečňuje pomocí jednoho nákladního automobilu IVECO. Společnost Aryja nemá pouze tyto dvě společnosti jako obchodní partnery, ale pro ostatní partnery neprovozuje pravidelné rozvozy, proto je v této diplomové práci není potřeba uvádět. Všechny výše uvedené informace jsou pro lepší přehlednost zobrazeny v tabulce č. 17 v podkapitole 4.5. 4.2.1 Vozový park V posledních letech probíhá obnova vozového parku a vybavování jednotlivých automobilů (např. vysílačky, navigace a modernější termografy). Firma má vozový park skládající se z menších dodávek a z vozů do celkové užitečné hmotnosti 4,2 t brutto a maximálně 17 europalet. Nyní společnost Aryja, s. r. o. vlastní tyto nákladní automobily: Iveco 120E25 4 ks, nosnost 4,2 tun; Iveco 65 C 15 1 ks, nosnost 2,5 tun; Iveco 100E18-1 ks, nosnost 3,8 tun; Iveco 90E17 1 ks, nosnost 3,2 tun; MAN 12.240 1 ks, nosnost 4,2 tun; MAN 12.210 1 ks, nosnost 4,2 tun; Ford Transit 350L 6 ks, nosnost 1,0 tuna; Transit 190L 2 ks, nosnost 1,0 tuna; Fiat Ducato 2.3 2 ks, nosnost 1,4 tun;. Společnost počátkem roku 2010 a 2011 koupila dva nové vleky typu Svan, které mohou táhnout pouze auta typu MAN, protože jako jediné mají potřebné tažné zařízení. Oba vleky uvezou navíc náklad o nosnosti 5,5 t. 42

V diplomové práci nás budou zajímat jen nákladní automobily Iveco 120E25, jimiž se rozváží náklady na zkoumaných rozvozových trasách. Tento typ nákladního automobilu může přepravit náklad o hmotnosti až 4,2 t. Vzhledem k těmto skutečnostem hmotnost automobilu převyšuje 3,5 t a musí se tedy platit mýtné poplatky na zpoplatněných silnicích. Obrázek č. 11: Nákladní automobil Iveco 120E25 společnosti Aryja, s. r. o. 4.3 RaalTrans Aryja, s. r. o. má jen málo stálých rozvozových tras a některé z nich budou v diplomové práci zkoumány z hlediska možné optimalizace. Použity budou trasy, které nemají žádné striktně dané pořadí rozvozu a je tedy jedno v jakém pořadí trasa proběhne. Ostatní vozy, na které nejsou stálé práce vytěžují majitelé autodopravy pomocí licencovaného softwaru RaalTrans. Princip databanky RaalTrans je založen na pořízení vlastních nabídek uživatelem na jeho počítači a zaslání této nabídky do centra pomocí programu RaalTrans Editor, a dále na možnosti stažení nabídek od ostatních uživatelů z databanky RaalTrans. V tomto systému si může uživatel také zobrazit veškeré podrobnosti a recenze o firmě, se kterou se rozhodl spolupracovat. Program kromě těchto funkcí umožňuje párování vlastních nabídek s nabídkami od ostatních uživatelů databanky a také kilometrovník, kde si může uživatel spočítat délku plánované trasy. Funkce kilometrovník je však samostatně placená. Tuto funkci společnost Aryja nemá k základnímu balíčku navíc přikoupenou, protože by ji ani nevyužila, a to z důvodu, že málokdy se jim podaří naplánovat práci na auto na celý týden dopředu nebo se musí striktně dodržet časové omezení nakládky a vykládky a tudíž není možné trasu přehodnotit z hlediska úspory kilometrů. 43

4.4 Vstupní údaje Údaje potřebné pro zpracování diplomové práce poskytla pražská autodoprava Aryja, s. r. o. Těmito údaji jsou současné rozvozové trasy, tj. plán trasy měst v jakém pořadí jsou projety, počet kilometrů jednotlivých tras a s tím související mýtné poplatky každé rozvozové trasy. Počet kilometrů mezi jednotlivými městy byl zjištěn pomocí navigace TOMTOM, kterou firma používá pro zjištění kilometrů a času mezi jednotlivými místy vykládek a nakládek. V této podkapitole jsou uvedeny veškeré vstupní údaje, které jsou potřeba pro zpracování této diplomové práce. 4.4.1 Rozvozové trasy V tabulce č. 17 jsou zobrazeny dny, v nichž se jednotlivé zkoumané trasy uskutečňují. Pro společnost Aryja, s. r. o. bude tedy optimalizováno celkem pět různých rozvozových tras. Tabulka č. 17: Přehled rozvozu optimalizovaných tras IVECO 1 IVECO 2 IVECO 3 Pondělí Trasa 1 Trasa 2 Trasa 3 Úterý Trasa 4 - - Středa Trasa 5 - - Čtvrtek Trasa 1 Trasa 2 Trasa 3 Pátek - - - Zdroj: Vlastní zpracování V dny, kdy nemají tyto automobily rozvozy pro společnosti ABC a XYZ, se je snaží společnost Aryja vytížit pomocí jiných nákladů. Tyto náklady však nejsou pravidelné a hledají se pomocí databanky RaalTrans (podkapitola 4.3). 44

4.4.2 Mýtné poplatky, průměrná spotřeba a cena PHM Pro výpočet mýtných poplatků na nově vzniklých rozvozových trasách je použit mýtný kalkulátor umístěný na webových stránkách MYTOCZ.CZ. V současné době se mýto vybírá na 1 100 km dálnic a rychlostních silnic a 180 km silnic I. třídy. K nim by dle návrhu ministerstva dopravy mělo od roku 2013 nově přibýt 3 960 kilometrů mimoměstských úseků silnic I. třídy a dle návrhu samotných krajů ještě dalších 1 700 km silnic II. třídy. Tyto skutečnosti bohužel nemůžou být při zpracování diplomové práce promítnuty, protože nejsou k dispozici potřebné údaje o tom, jaké silnice se mají konkrétně zpoplatňovat. Obrázek č. 12: Mapa zpoplatněných silnic a dálnic Tabulka č. 18: Sazby mýtného v letech 2010 2012 (2 nápravy) Emisní třída EURO III a vyšší (EURO IV) Rok Dálnice a rychlostní silnice Silnice I. třídy 2010 1,67 Kč/km 0,79 Kč/km 2011 2,09 Kč/km 0,99 Kč/km 2012 2,61 Kč/km 1,23 Kč/km 2013 3 2,67 Kč/km 1,26 Kč/km Zdroj: www.mytocz.cz. 3 Zvyšování není tak razantní z důvodu zamýšleného zavedení mýtných poplatků i na další silnice I. třídy a nově i na některé silnice II. třídy od roku 2013. 45

Pro výpočet mýtného je potřeba znát emisní třídu EURO nákladních automobilů a počet náprav. O těchto údajů se odvíjí výše placeného mýta za 1 km zpoplatněných silnic. V případě nákladních automobilů IVECO, které jsou používány pro rozvoz optimalizovaných tras, se jedná o 2 nápravy a emisní třídu EURO IV, popř. EURO III a vyšší (do roku 2010). Na obrázku č. 12 jsou zobrazeny všechny dosud zpoplatněné silnice a dálnice v ČR. V tabulce č. 18 jsou uvedeny sazby mýtného od roku 2010 do roku 2012, které platí pro námi používané automobily. V tabulce nejsou zohledněny mýtné poplatky v pátek od 15:00 hodin do 21:00 hodin, a to z toho důvodu, že v této době se žádná z optimalizovaných tras nejezdí. Do konce roku 2009 se mýtné poplatky vztahovaly pouze na nákladní automobily (kamiony) nad 12 t, ostatní automobily nižší hmotnosti používaly klasické dálniční známky. Proto se v tabulce objevuje až rok 2010, kdy se mýto začalo vztahovat na automobily s hmotností nad 3,5 t. V diplomové práci nás budou zajímat pouze mýtné poplatky v letech 2012 a 2013. Z informací ze stránek Ministerstva dopravy se v roce 2013 budou mýtné poplatky zvyšovat pouze o inflaci. Při výpočtu nových sazeb bylo využito informací z České národní banky, kde se uvádí očekávaná inflace pro rok 2013 ve výši 1,9 % 2,8 %. Pro výpočet bude použita střední hodnota 2,35 %, o kterou budou navýšeny sazby mýtného, které jsou stanovené pro rok 2012. Dalším důležitým faktorem pro vyčíslení rozdílů nákladů mezi původní a vypočtenou trasou je průměrná spotřeba pohonných hmot. Nákladní automobil IVECO 120E25, který je využívám pro rozvoz všech tras v diplomové práci, má průměrnou spotřebu 21 23 l/100 km. Pro vyčíslení případných úspor spotřeby pohonných hmot budeme tedy uvažovat hodnotu 22 l/100 km, tj. 0,22 l/km. Se spotřebou pohonných hmot velmi úzce souvisí cena pohonných hmot, v našem případě nás bude zajímat cena nafty. Při vyčíslení nákladů na jednotlivých trasách budou uvažovány průměrné měsíční hodnoty cen nafty. Hodnoty průměrné ceny nafty od května 2012 do prosince 2013 jsou odhadnuté na základě měsíčních změn. Tato průměrná měsíční změna je 0,13 Kč, což tedy znamená, že každý měsíc navýším naftu o 0,13 Kč oproti minulému měsíci. Pro odhad těchto dvou ukazatelů (průměrná ceny nafty a průměrná změna v ceně nafty) byly použity údaje od ledna 2010 do dubna 2012 z webových stránek www.ccs.cz. Odhady těchto dvou ukazatelů jsou tedy reálně podloženy a získány jako aritmetický průměr ze sumy všech hodnot za období leden 2010 až duben 2012. V tabulce č. 19 jsou průměrné hodnoty pro prosinec 2011 až duben 2012, a to z důvodu velkého množství údajů. 46

Odhadnuté průměrné ceny nafty na základě připočtení 0,13 Kč ke každému měsíci, počínaje květnem 2012, byly zkonzultovány s jedním z majitelů autodopravy, který potvrdil, že v době zpracování této diplomové práce se již na některých benzinových stanicích, kde řidiči tankují, ceny nafty pohybují v rozmezí 37 40 Kč/l. Můžeme tedy říci, že odhadnuté ceny nafty nejsou v současné situaci nadceněnné. Tabulka č. 19: Průměrné ceny nafty a měsíční změny Měsíc/rok Prům. cena nafty Prům. měs. změna Měsíc/rok Prům. cena nafty Prům. měs. změna Prosinec/2011 35,52 0,29 Leden/2013 37,96 0,13 Leden/2012 36,21 0,69 Únor/2013 38,02 0,13 Únor/2012 36,57 0,36 Březen/2013 38,22 0,13 Březen/2012 36,77 0,20 Duben/2013 38,35 0,13 Duben/2012 36,79 0,03 Květen/2013 38,48 0,13 Květen/2012 36,92 0,13 Červen/2013 38,61 0,13 Červen/2012 37,05 0,13 Červenec/2013 38,74 0,13 Červenec/2012 37,18 0,13 Srpen/2013 38,87 0,13 Srpen/2012 37,31 0,13 Září/2013 39,00 0,13 Září/2012 37,44 0,13 Říjen/2013 39,13 0,13 Říjen/2012 37,57 0,13 Listopad/2013 39,26 0,13 Listopad/2012 37,70 0,13 Prosinec/2013 39,39 0,13 Prosinec/2012 37,83 0,13 - - - Zdroj: Vlastní zpracování V následující tabulce č. 20 jsou uvedeny počty dnů (pondělí až čtvrtek) v jednotlivých měsících pro roky 2012 a 2013. Tyto dny budou použity pro výpočet rozdílů v nákladech na spotřebu nafty v případě zjištění možnosti výhodnějšího projetí poskytnuté rozvozové trasy z hlediska počtu kilometrů, tzn., že původní trasa bude na počet kilometrů delší než trasa vypočtená pomocí počítačového programu STORM. Pro danou rozvozovou trasu vždy sečteme příslušný počet dní v daném měsíci (podle rozpisu v tabulce č. 17) a vynásobíme průměrnou cenou nafty v daném měsíci podle tabulky č. 19. Můžeme tak porovnat případnou úsporu nákladů na spotřebu nafty pro každý měsíc zvlášť. 47

Tabulka č. 20 poslouží nejen pro výpočet případné úspory nákladů za spotřebu pohonných hmot (nafty), ale také ji využijeme pro výpočet mýtných nákladů. Princip bude obdobný jako u výpočtu nákladů na spotřebu PHM. Tabulka č. 20: Počty dní v jednotlivých měsících roku 2012 a 2013 Měsíc/2012 Počet dní Počet dní Měsíc/2013 PO ÚT ST ČT PO ÚT ST ČT Leden 5 5 4 4 Leden 4 5 5 5 Únor 4 4 5 4 Únor 4 4 4 4 Březen 4 4 4 5 Březen 4 4 4 4 Duben 5 4 4 4 Duben 5 5 4 4 Květen 4 5 5 5 Květen 4 4 5 5 Červen 4 4 4 4 Červen 4 4 4 4 Červenec 5 5 4 4 Červenec 5 5 5 4 Srpen 4 4 5 5 Srpen 4 4 4 5 Září 4 4 4 4 Září 5 4 4 4 Říjen 5 5 5 4 Říjen 4 5 5 5 Listopad 4 4 4 5 Listopad 4 4 4 4 Prosinec 5 4 4 4 Prosinec 5 5 4 4 Zdroj: Vlastní zpracování 4.5 Vlastní výpočet rozvozových tras Pro výpočet nových rozvozových tras, které jsou pak porovnány s původními trasami, je použit počítačový program STORM. V této podkapitole zjistíme, zdali jsou zkoumané trasy v současnosti naplánovány efektivně, a to nejen z hlediska ujetých kilometrů, ale také z hlediska úspory provozních a finančních nákladů, kterými jsou zejména mýtné náklady a spotřeba pohonných hmot. Pro zjištění vzdáleností mezi jednotlivými městy v každé trase bylo využito navigace TOMTOM. Pro výpočet mýtného na nově vzniklých rozvozových trasách bylo použito webových stránek www.mytocz.cz, kde se zadala města v jakém pořadí se mají projet. Na základě těchto údajů bylo zjištěno kolik placených kilometrů se ujelo a na jakých silnicích (dálnice, rychlostní silnice či silnice I. třídy) se tyto příslušné kilometry ujely. Pomocí 48

tabulky č. 18 se poté vypočítala cena mýtného pro každou trasu, která se dala projet jinak, než původní trasa. Při plánování tras se musí dbát na to, abychom nepřekročili možnou denní dobu řízení 4 (9 hodin nebo 1x za týden možno dobu prodloužit na 10 hodin) a dále maximální povolenou dobu denního výkonu 5 (13 hodin od začátku zahájení jízdy nebo 3x týdně možnost prodloužení na 15 hodin). Mezi jednotlivými výkony musí být vždy 11. hodinová pauza (při denním výkonu 13 hodin) anebo je tuto pauzu možno 3x týdně zkrátit na 9. hodinovou pauzu (při denním výkonu 15 hodin). Součet této pauzy a příslušného denního výkonu musí být vždy max. 24 hodin, aby nebyl porušen zákon. Veškeré zjištěné výsledku jsou shrnuty a poté porovnány s údaji původních rozvozových tras v podkapitole 4.6. 4.5.1 Trasa 1 Tabulka č. 21: Matice vzdáleností rozvozové trasy č. 1 (v km) Praha České Budějovice Příbram Třeboň Jindřichův Hradec Praha 0 157 61,4 145 156 České Budějovice 157 0 103 25,9 56,2 Příbram 61,4 103 0 124 116 Třeboň 145 25,9 124 0 31,1 Jindřichův Hradec 156 56,2 116 31,1 0 Zdroj: Vlastní zpracování na základě údajů od společnosti Aryja, s. r. o. Trasu č. 1 zprostředkovává autodoprava Aryja, s. r. o. pro firmu ABC dvakrát týdně, a to vždy v pondělí a ve čtvrtek. Na této trase se rozváží řezané květiny. Na trase trvá jedna vykládka zhruba 25 minut a jsou zde celkem 4 vykládky (České Budějovice, Příbram, Třeboň a Jindřichův Hradec). V Praze se pouze nakládá, a to vždy ve večerních hodinách den dopředu, aby se ráno mohlo ihned začít s rozvozem. Na základě údajů z tabulky č. 21 se zjistí, zdali se původní trasa shoduje s vypočteným okruhem podle počítačového programu STORM. (tabulka č. 22). 4 Denní doba řízení je taková doba, kdy je automobil v pohybu. 5 Doba denního výkonu je doba od začátku pohybu nákladního automobilu (po velké pauze mezi dvěma výkony) a jeho konečného zastavení. Do doby výkonu se zahrnuje denní doba řízení (9, resp. 10 hodin) a dále veškerý čas, kdy není auto v pohybu, tzn. například nakládka, vykládka, policejní kontrola, atd. 49

Program STORM Postup výpočtu je zobrazen v podkapitole 4.1.4, zde budou tedy prezentovány pouze výsledky pro trasu č. 1. Tyto výsledky jsou patrné z níže uvedeného obrázku č. 13, kdy výsledná trasa získaná pomocí počítačového programu STORM je v délce 377,40 km a je projeta v tomto pořadí měst: Praha Jindřich. Hradec Třeboň České Budějovice Příbram Praha Obrázek č. 13: Výsledná trasa 1 pomocí programu STORM Porovnání zjištěných výsledků Tabulka č. 22: Porovnání původní trasy č. 1 s vypočteným výsledkem Metoda Okružní trasa Délka (v km) Původní trasa Praha Příbram České Budějovice Třeboň Jindřich. Hradec Praha STORM Praha Jindřich. Hradec Třeboň České Budějovice Příbram Praha Zdroj: Vlastní zpracování 377,40 377,40 Z tabulky č. 22 je zřejmé, že poskytnutá trasa od společnosti Aryja, s. r. o. a vypočtená trasa jsou shodné. Pro tuto trasu tedy nebudeme počítat případné úspory v nákladech na pohonné hmoty či mýtné poplatky, které by se uvedly v podkapitole 4.6. 50

4.5.2 Trasa 2 Tabulka č. 23: Matice vzdáleností rozvozové trasy č. 2 (v km) Praha Beroun Plzeň Klatovy Mar. Lázně Kralovice Nepomuk Dobříš Praha 0 37,8 94,9 133 173 87,1 120 44,3 Beroun 37,8 0 60,2 98,3 138 64,5 85,8 34 Plzeň 94,9 60,2 0 42,7 76,3 34,7 36,5 71,8 Klatovy 133 98,3 42,7 0 110 76,8 27,9 110 Mar. Lázně 173 138 76,3 110 0 76 108 150 Kralovice 87,1 64,5 34,7 76,8 76 0 74,8 76,1 Nepomuk 120 85,8 36,5 27,9 108 74,8 0 64,2 Dobříš 44,3 34 71,8 110 150 76,1 64,2 0 Zdroj: Vlastní zpracování na základě údajů od společnosti Aryja, s. r. o. Trasu č. 2, stejně jako trasu č. 1, zprostředkovává autodoprava Aryja, s. r. o. pro firmu ABC, a to taky dvakrát týdně a opět v pondělí a ve čtvrtek. Na této trase se rozváží také řezané květiny. Na trase trvá jedna vykládka zhruba 20 minut, a máme zde celkem 6 vykládek (Beroun, Plzeň, Klatovy, Mariánské Lázně, Kralovice, Nepomuk a Dobříš. V Praze se opět pouze nakládá, a to vždy ve večerních hodinách den dopředu, aby se ráno mohlo ihned začít s rozvozem. Program STORM Výsledná trasa uvedená na obrázku č. 14 získaná pomocí počítačového programu STORM je v délce 433,70 km a je projeta v tomto pořadí měst: Praha Beroun Kralovice Mariánské Lázně Plzeň Klatovy Nepomuk Dobříš Praha Obrázek č. 14: Výsledná trasa č. 2 pomocí programu STORM 51

Tabulka č. 24: Porovnání původní trasy č. 2 s vypočteným výsledkem Metoda Původní trasa STORM Okružní trasa Praha Beroun Dobříš Nepomuk Klatovy Plzeň Kralovice Mariánské Lázně Praha Praha Beroun Kralovice Mariánské Lázně Plzeň Klatovy Nepomuk Dobříš Praha Délka (v km) 490,30 433,70 Zdroj: Vlastní zpracování Z tabulky je zřejmé, že pomocí počítačového programu STORM je nově vypočtená trasa kratší než poskytnutá trasa o 56,6 km. V podkapitole 4.6 budou tedy pro tuto trasu vypočteny případné úspory v nákladech na spotřebu PHM a v nákladech na mýtné poplatky. 4.5.3 Trasa 3 Tabulka č. 25: Matice vzdáleností rozvozové trasy č. 3 (v km) Praha Pardubice Nymburk Chrudim Čáslav Kutná Hora Jičín Kolín Praha 0 121 57,8 131 91,4 86,8 93,1 71,8 Pardubice 121 0 72,8 11,7 39,7 44,3 101 65 Nymburk 57,8 72,8 0 85,1 45,2 40,6 45,2 25,6 Chrudim 131 11,7 85,1 0 32,4 43,1 112 52,2 Čáslav 91,4 39,7 45,2 32,4 0 10,8 74,7 19,9 Kutná Hora 86,8 44,3 40,6 43,1 10,8 0 70 15,1 Jičín 93,1 101 45,2 112 74,7 70 0 56,5 Kolín 71,8 65 25,6 52,2 19,9 15,1 56,5 0 Zdroj: Vlastní zpracování na základě údajů od společnosti Aryja, s. r. o. Trasu č. 3 též zprostředkovává autodoprava pro firmu ABC dvakrát týdně, a to vždy v pondělí a ve čtvrtek a se rozváží řezané květiny. Na trase trvá jedna vykládka zhruba 20 minut a je zde celkem 5 vykládek, v Praze se opět pouze nakládá, a to vždy ve večerních hodinách den dopředu, aby se ráno mohlo ihned začít s rozvozem. 52

Program STORM Výsledná trasa je v délce 345,80 km a je projeta v tomto pořadí měst: Praha Nymburk Jičín Pardubice Chrudim Čáslav Kutná Hora Kolín Praha Obrázek č. 15: Výsledná trasa č. 3 pomocí programu STORM Tabulka č. 26: Porovnání původní trasy č. 3 s vypočteným výsledkem Metoda Okružní trasa Délka (v km) Praha Nymburk Kolín Čáslav Kutná Hora Původní trasa Chrudim Pardubice Jičín Praha Praha Nymburk Jičín Pardubice Chrudim STORM Čáslav Kutná Hora Kolín Praha Zdroj: Vlastní zpracování 363,00 345,80 Z tabulky č. 26 je vidět, že výsledek nově získané trasy na základě programu STORM je z hlediska počtu ujetých kilometrů výhodnější o 17, 20 km oproti původní trase. Na základě těchto výše uvedených skutečností provedeme v podkapitole 4.6 výpočet úspor nákladů na pohonné hmoty a případnou úsporu nákladů na mýtné poplatky. 53

4.5.4 Trasa 4 Tabulka č. 27: Matice vzdáleností rozvozové trasy č. 4 (v km) Praha Hradec Králové Svitavy Žamberk Rychnov nad Kněžnou Jamné nad Orlicí Lanškroun Praha 0 118 211 170 155 187 192 Hradec Králové 118 0 75,5 53,9 39 71,4 74,8 Svitavy 211 75,5 0 52 57,3 43 22,8 Žamberk 170 53,9 52 0 21,3 17,5 30,3 Rychnov nad Kněžnou Jamné nad Orlicí 155 39 57,3 21,3 0 38,7 44,6 187 71,4 43 17,5 38,7 0 20,8 Lanškroun 192 74,8 22,8 30,3 44,6 20,8 0 Zdroj: Vlastní zpracování na základě údajů od společnosti Aryja, s. r. o. Trasu č. 4 zprostředkovává autodoprava Aryja, s. r. o. pro firmu XYZ jednou týdně, a to vždy v úterý. Na této trase se rozváží elektrické zásuvky, vypínače, dráty a různé kabely. Na trase trvá jedna vykládka zhruba 20 minut a máme zde celkem 6 vykládek. V Praze se jako už předchozích tras pouze nakládá, a to vždy ve večerních hodinách den dopředu. Na základě údajů z tabulky č. 27 se zjistí, zdali se původní trasa shoduje s trasou vypočtenou. Program STORM Výsledná trasa zobrazená níže na obrázku č. 6 získaná pomocí počítačového programu STORM je v délce 430,90 km a je projeta v tomto pořadí měst: Praha Hradec Králové Svitavy Lanškroun Jamné nad Orlicí Žamberk Rychnov nad Kněžnou Praha Obrázek č. 16: Výsledná trasa č. 4 pomocí programu STORM 54

Tabulka č. 28: Porovnání původní trasy č. 4 s vypočteným výsledek Metoda Původní trasa Okružní trasa Praha Žamberk Jamné nad Orlicí Lanškroun Svitavy Rychnov nad Kněžnou Hradec Králové Praha Délka (v km) 445,40 STORM Praha Hradec Králové Svitavy Lanškroun Jamné nad Orlicí Žamberk Rychnov nad Kněžnou Praha Zdroj: Vlastní zpracování 430,90 Z výše uvedené tabulky č. 28 je vidět, že pomocí programu STORM je nová rozvozová trasa o 14,50 km kratší než trasa poskytnutá od společnosti.. 4.5.5 Trasa 5 Tabulka č. 29: Matice vzdáleností rozvozové trasy č. 5 (v km) Praha Louny Sokolov Karlovy Vary Teplice Plzeň Tachov Praha 0 61,9 148 127 89,8 94,9 158 Louny 61,9 0 108 88 36,7 133 196 Sokolov 148 108 0 88 122 86,8 59,9 Karlovy Vary 127 88 22,6 0 101 82,8 70,6 Teplice 89,8 36,7 122 101 0 171 176 Plzeň 94,9 133 86,8 82,8 171 0 176 Tachov 158 196 59,9 70,6 176 61,3 0 Zdroj: Vlastní zpracování na základě údajů od společnosti Aryja, s. r. o. 55

Trasu č. 5 zprostředkovává autodoprava Aryja, s. r. o. pro firmu XYZ jednou týdně, a to vždy ve středu. Na této trase se rozváží elektrické zásuvky, vypínače, dráty a různé kabely. Na trase trvá jedna vykládka zhruba 20 minut a máme zde celkem 6 vykládek. V Praze se jako už všech předchozích tras pouze nakládá, a to vždy ve večerních hodinách den dopředu. Na základě údajů z tabulky č. 29 zjistí, zdali se původní trasa shoduje s trasou získanou pomocí programu STORM. Program STORM Výsledná trasa získaná pomocí počítačového programu STORM je v délce 438,30 km a je projeta v tomto pořadí měst: Praha Louny Teplice Karlovy Vary Sokolov Tachov Plzeň Praha Obrázek č. 17: Výsledná trasa č. 5 pomocí programu STORM Tabulka č. 30: Porovnání původní trasy č. 5 s vypočtenými výsledky Metoda Původní trasa Okružní trasa Praha Louny Teplice Sokolov Karlovy Vary Tachov Plzeň Praha Délka (v km) 438,30 STORM Praha Louny Teplice Karlovy Vary Sokolov Tachov Plzeň Praha Zdroj: Vlastní zpracování 438,30 Z tabulky č. 30 je tedy zřejmé, že poskytnutá trasa je stejně dlouhá jako vypočtená trasa pomocí počítačového programu STORM. Nebudeme tedy počítat případné úspory nákladů. 56