Gymnázium Jana Nerudy. Závěrečná práce studentského projektu. Základy diferenciální geometrie v rovině a v prostoru: Studium křivek

Gymnázium Jana Nerudy Závěrečná práce studentského projektu Základy diferenciální geometrie v rovině a v prostoru: Studium křivek Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti Jiří-Jakub Zévl 2014 Markéta Červená 1

Autoři práce prohlašují, že níže uvedený text je jejich autorským dílem, citace jsou řádně označeny a nebyly použity jiné než uvedené zdroje. Zároveň děkují za vedení práce a odbornou konzultaci Mgr. Jiřímu Burešovi. Markéta Červená Jiří-Jakub Zévl 2

Práce s podtitulem Studium křivek má za cíl popsat siluetu baletky a následně vzniklou křivku analyzovat. Ve dvou hlavních částech práce je nejprve obsažena teorie ke studiu křivek a také její konkrétní využití při studiu baletky. Obsah práce reflektuje její úroveň v rámci tématu, jak je stanoveno v úvodu a základních vymezeních. Reflexe nad úrovní práce se nachází v závěru a poukazuje na případně další možnosti. Obsah práce též odpovídá fázi projektu a není tedy kompletní. Její celé znění včetně závěrů bude k dispozici nejpozději v Dubnu 2014. Klíčová slova: Křivka, plocha, těleso, analýza, diferenciální geometrie, rovina, prostor. 3

I. Úvod a základní vymezení II. Teorie ke studiu obrazců a těles v rovině a prostoru 1. Kapitola 1: Studium křivek 1.1 Zápisy křivek 1.2 Definiční obory 1.3 Základy analýzy 1.3.1 Derivování 1.3.2 Tečna v bodě 1.3.3 Spojitost 1.3.4 Integrování 1.3.5 Křivost 1.3.6 Konvexnost a konkávnost 1.4 Výpočty z křivek 1.4.1 Délka křivky 1.4.2 Obsah vymezené plochy 1.4.3 Objem rotačních těles 1.4.4 Povrch rotačních těles 1.5 Metoda hledání předpisu 2. Kapitola 2: Příklady základních rovinných křivek 2.1 Kuželosečky 2.2 Algebraické křivky 2.3 Mocninné křivky 2.4 Cyklické křivky 2.5 Spirály III. Praktická část Kapitola 3: Problém Kapitola 4: Metoda Kapitola 5: Výpočet IV. Závěr Kapitola 6: Odpovědi na otázky Kapitola 7: Úskalí a diskuze Kapitola 8: Zdroje Kapitola 9:Přílohy 9.1 Integrály: Tabulka elementárních funkcí a vzorce 9.2 Rovnice kuželoseček 9.3 Baletka 4

I. Úvod a základní vymezení S křivkami se setkáváme každý den. Již Archimedes se je pokoušel studovat a po více než dvou tisících letech zájem neupadl. Ba naopak, křivky jsou potřeba více a více. Setkáváme se s nimi v architektuře, v designu běžných věcí, či v ekonomii. Bez matematické znalosti jejich zákonitostí by svět vypadal dosti jinak. Celkově jsou křivky pojímány více způsoby, jak třeba graf funkce nebo trajektorie pohybu. V zásadě vždy se ale jedná o jednorozměrnou množinu bodů v rovině, či prostoru. Je to tedy především její charakter (respektive vlastnosti), podle kterých je rozlišujeme a klasifikujeme. V této práci se dostáváme do vyšších rovin poznání křivek. Pro chápání práce je potřeba znalosti standardně užívaných pojmů a symbolů v české matematice. Minimální úroveň vědomostí by měla odpovídat učivu vyšších ročníků na střední škole (znalost základů analytické geometrie v rovině a znalost derivací alespoň pro elementární funkce). V celé práci mluvíme o klasickém dvou či třírozměrném euklidovském prostoru, avšak otázky třetího rozměru se jen lehce dotýkáme, tudíž znalost dalších pravidel pro trojrozměrnou geometrii není nezbytná. V práci se setkáváme se základní otázkou: Jak popsat složitou rovinnou křivku? a dále: jak zkoumat její vlastnosti?. Problém má tedy více fází. V té první sestavujeme její matematický popis tak, abychom později, v druhé rovině problému, mohli křivku zpětně analyzovat. Takto se dostáváme i k jejím vlastnostem v prostoru. Jako praktický příklad si můžeme představit architekta, který nechává vyrobit speciální díly pro stavbu. Ale jak popíše tvar, aby byl absolutně přesný? A později: jsou díly správě navržené, tak aby vydržely (třeba tlak zdiva)? Práce má dvě hlavní části. V té první, teoretické, jsou obsaženy znalosti nezbytné pro řešení obou rovin problému. K němu samotnému se dostáváme následující části, kdy popisujeme křivku ve tvaru baletky a dále jej analyzujeme. 5

II. Teorie ke studiu obrazců a těles v rovině a prostoru Kapitola 1: Studium křivek 1.1 Zápisy křivek Z geometrického hlediska je křivka množina bodů, jež tvoří jednorozměrný objekt. Tyto křivky můžeme popisovat pomocí vzájemné závislosti proměnných nebo jako zobrazení průběhu parametru. Podle toho zapisujeme křivky třemi způsoby: Explicitní tvar V tomto tvaru je křivka chápána jako graf funkce. y= Ne každá křivka však může být zapsána v explicitním tvaru, protože tento tvar neumožňuje pro jedno x z definičního oboru vyjádřit více než jedno y z oboru hodnot. Například kružnice nemůže být tímto způsobem zapsána a musí být rozdělena na dvě polokružnice, které zapisuje samostatně (viz příklad na konci kapitoly). Implicitní tvar Implicitní tvar zobrazuje křivku jako vzájemnou závislost dvou proměnných (x, y). =0 Touto formou lze zapsat, na rozdíl od explicitního tvaru, i křivky, jež nesplňují definici funkce, tak že pro jeden bod z definičního oboru existuje více než jeden bod z množiny hodnot. Takto již výše zmiňovanou kružnici popíšeme bez jejího dělení na polokružnice. Parametrický tvar Parametrické rovnice zobrazují křivku jako průběh parametru t na zvoleném intervalu. Toto pojetí můžeme přirovnat k dráze bodu v čase, tudíž souřadnice bodu v čase t (respektive hodnotě t) je [x(t); y(t)]. Samotné parametrické rovnice mají podobu: Výhodou tohoto zápisu je opět možnost zapsat i takové křivky, které nejsou funkcemi a zároveň se jedná o jedinou možnost jak popsat křivku v prostoru. V tomto případě existuje ještě třetí rovnice, která popisuje pozici na ose z v závislosti na parametru t, jako z = z (t). Další výhodou je poměrně jednoduché vyjádření tečny, což zjednodušuje skládání složitějších křivek (viz. 1.3.3 o spojitosti) 1 1 Obr. 1: Průběh parametru t na intervalu I Polární souřadnice 1 [Zdroj 2]: str.3 6

Posledním typem vyjádření křivky je polární rovnice. Toto vyjádření nebývá příliš časté, avšak jeho znalost je vhodná například při studiu spirál. Polární rovnice neudává souřadnice bodu kartézské soustavě souřadnic (x; y), ale v polární soustavě souřadnic, kde je pozice bodu určena úhlem (značíme φ) spojnice bodu s počátkem vůči ose x, která prezentuje úhel 0 (tudíž i 2π) nebo π, a dále vzdáleností bodu od počátku (značíme ρ). Souřadnice bodu A jsou tedy A(ρ ; φ). Polární rovnice tedy udává vzájemnou závislost vzdálenosti a úhlu, tudíž můžeme říci, že ρ=f(φ). Z praktického hlediska je vhodné ovládat převádění polárních souřadnic na parametrické, neboť zdaleka ne všechny matematické programy umožňují zadávat křivku v polárních souřadnicích. Proto tedy vytvoříme dvě parametrické rovnice (pro x a pro y): x = ρ cos(φ) y = ρ sin(φ) Následně dosadíme druhou stranu rovnice ( f(ρ) ) za ρ a rovnice příslušně upravíme. Na konec ještě zaměníme úhel φ za parametr t, který náleží Pro ilustraci všech výše zmíněných vyjádření křivky si předveďme kružnici: Explicitně: y b± ℝ Implicitně: ℝ ; Parametricky: Polárně: ℝ ρ r ; ; ℝ Platí pouze pro kružnici se středem v počátku obecná rovnice je výrazně komplikovanější 1.2 Definiční obory Základně můžeme křivky rozlišovat podle definičních oborů na ty, které jsou definované na omezeném intervalu a které i v nekonečnu. Speciálním případem jsou periodické funkce, které mohou být definovány až v nekonečnu, ale jejich průběh se opakuje v určitých intervalech. Pro vyšetření křivky, jež je definována v nekonečnu je možné zkoumat její limity pro x ±. Můžeme se dozvědět, že hodnoty křivky se limitně blíží reálnému číslu; v takovém případě nazýváme horizontální asymptotou přímku k níž se křivka blíží, ale neprotíná jí v nekonečnu. V dalším případě hodnoty na ose y míří do ±. Avšak i přesto může být nekonečné pokračování křivky ohraničeno přímkou, kterou nazýváme šikmá asymptota (např. u hyperboly). Periodické křivky typu sinus či cosinus mohou být definovány v oboru všech reálných čísel. Nicméně jejich průběh se přesně opakuje v jednotlivých intervalech. Průběh křivky lze tedy analyzovat na jednom intervalu a její průběh tak můžeme zobecnit na základě znalosti periody. V souvislosti s definičními obory se můžeme setkat i s vertikálními asymptotami. Ty jsou kolmé na osu x a protínají ji v bodě, kde křivka není definována, avšak je definována v její těsné blízkosti (lim ± ). Ve výsledku se hodnoty na ose x limitně blíží k bodu a obrazy na ose y míří k ±. 7

Pokud je křivka standardně definována na konkrétním intervalu, nic nebrání jejímu omezení na kratší interval. Tohoto postupu je možné využít v případě, že skládáme více křivek a snažíme se tak nalézt složitější tvar (viz. 1.5 Metoda hledání předpisu). Příkladem (viz Obr. 2) si uveďme explicitně zadanou křivku s vertikální asymptotou a horizontální asymptotou a dále implicitně zadanou hyperbolu s šikmými asymptotami ± Obr. 2: Asymptoty křivek Červeně: explicitní křivka y=(x 2 + 2x + 3) / (x + 1)² a její asymptoty x=-1 (vertikální) a y=1(horizontální) Zeleně: implicitní křivka (hyperbola) -24.98x² + 39.02y² + 60.92 = 0 a její asymptoty y=±,8x 1.3 Základy analýzy křivek 1.3.1 Derivování Na začátku si připomeňme základní pojmy, se kterými budeme dále operovat. Derivace v bodě odpovídá směrnici tečny ke křivce v daném bodě a jedná se tedy o vyjádření růstu křivky. Její hodnotu získáme po dosazení a vypočtení následujícího vzorce: lim Na základě tohoto obecného vzorce pro derivování určujeme derivace pro křivku jako pro celek. Nově vzniklá křivka f (x) umožňuje získat více informací o původní křivce, neboť pro hodnoty z definičního oboru, kde je derivace nulová, platí, že na nich leží lokální minimum, maximum či inflexní bod. V některých případech (viz. 1.3.6 Konvexnost a konkávnost) si nevystačíme pouze s derivací, ale je potřeba derivaci dále zkoumat. V takovém případě dále derivujeme a dostáváme se k druhé derivaci f (x) a k derivacím vyšších řádů. Pro úspěšné studium křivek je nezbytně nutné ovládat derivace elementárních křivek, které představují grafy lineárních, polynomických, exponenciálních a logaritmických funkcí. Dále je potřeba ovládat vzorce pro základní operace s derivacemi a pro složené křivky. Z našeho hlediska je derivování důležité především jako prostředek k dalším aplikacím, jako jsou tečny ke křivce nebo integrování. 8

1.3.2 Tečna a normála křivky v bodě Základním předpokladem pro hledání tečny ke křivce je znalost derivací. Tečna samotná je dost úzce spjata s derivacemi. Už v kapitole o derivování (1.3.1) jsme se dozvěděli, že derivace odpovídá směrnici tečny v daném bodě. Z obecné rovnice přímky odvodíme obecnou rovnici pro tečnu v bodě. S normálou křivky se setkáváme o něco méně často než s tečnou, avšak její znalost je nezbytná pro další práci (jako v případě oskulační kružnice viz 1.3.3: křivost). Normála křivky je přímka kolmá na tečnu v tečném bodě. Normálový vektor tečny je tedy směrovým vektorem normály. Podle obecné rovnice rovinné přímky v implicitním tvaru je normálový vektor této přímky. Jelikož skalární součin normálového a tečného vektoru je roven nule, vektory jsou opravdu kolmé. 1.3.3 Spojitost Otázka spojitosti řeší návaznost bodů křivky a mnohdy je základní podmínkou pro složitější práci s křivkami. Jelikož je křivka nekonečně velká množina bodů, můžeme jí rozdělit do nekonečně mnoha segmentů. Místo napojení jednotlivých segmentů nazýváme uzel a můžeme rozlišovat více způsobů napojení. Parametrická spojitost První, nejčastěji užívaný typ spojitosti, vyjadřuje míru přimykání dvou segmentů, tedy jak dlouho (ve smyslu parametru t) jsou křivky návazné. Rozlišujeme tedy více řádů spojitosti, podle toho, kolikáté derivace (tečné vektory) mají konce segmentů společné. Obecně můžeme říci, že křivka je spojitá řádu, pokud její derivace jsou spojité do řádu n. Spojitost dvou segmentů třídy existuje v případě, že koncový bod prvního segmentu je tentýž co počáteční bod druhého segmentu. Z grafického hlediska vnímáme spojitost řádu C0 jako výrazný zlom (křivka není hladce napojena). V situaci, kdy je zkoumaná křivka složena ze dvou křivek s různými předpisy na dvou navazujících intervalech, krajní bod uzavřeného intervalu je uzel a druhý interval je otevřený směrem k tomuto bodu. Křivky mohou navazovat, nebo se také mohou míjet. Takováto složená křivka je spojitá pokud: lim Obr. 3: Nespojitá funkce F (x) je definována na (- ; 1) a na ; + ) různými předpisy. Křivka není spojitá, protože: 9

Vyšším stupněm spojitosti je třída, kdy tečný vektor v koncovém bodě prvního segmentu je totožný s tečným vektorem v počátečním bodě druhého segmentu. Graficky to znamená, že napojení křivek je hladší. Dále se napojení zjemňuje, když první a druhá derivace v tomto bodě je pro oba segmenty stejná. V takovém případě mluvíme o spojitosti třídy. 2 Geometrická spojitost Pro spojitost nejnižší třídy opět platí, že křivka je spojitá, pokud jsou koncový s počátečním bodem totožné. Avšak u spojitosti prvního řádu již vektory nemusí Obr. 4: Grafická interpretace parametrické spojitostí být totožné, ale stačí pouze jejich lineární řádů C0 až C2 závislost, tedy:. Jelikož mají tečné 0 vektory stejný směr, ale rozdílnou velikost, geometrická spojitost řádu C má za podmínku shodné tečny. 2 1.3.4 Integrování Jak jsme se už zmínili v souvislosti s derivacemi, tak integrování je s nimi blízce spjato. Její princip si ukážeme na explicitně zadaných křivkách, jakožto grafech funkcí. S úpravami můžeme derivovat i implicitně a parametricky zadané křivky, avšak to již spadá do vyšších než základních úrovní diferenciální geometrie. Základním principem celé disciplíny je hledání primitivních funkcí, což jsou funkce, jejichž derivace odpovídá původní funkci. Mluvíme o neurčitém integrálu, který zapisujeme: Integrál označujeme stylizovaným písmenem S (jako suma), po kterém přichází integrovaný výraz a dx označuje proměnnou, podle níž operaci provádíme. V praxi a v příslušném kontextu bývá primitivní funkce označována zjednodušeně F(x). Hledání primitivní funkce však přináší svá úskalí, neboť absolutní člen funkce (respektive konstanta bez proměnné) se po zderivování rovná nule, a je tedy nekonečně mnoho funkcí, jejichž derivace odpovídá integrované funkci a které se liší pouze o aditivní konstantu z množiny všech reálných čísel, obvykle značenou C. Reálně tedy hledáme jednu z primitivních funkcí. 2 [Zdroj 1]: str.24 10

ℝ Nejjednodušší uvedení integrálů do praxe přichází s užitím tzv. určitého integrálu. Který označuje plochu mezi křivkou na intervalu a osou x.3 Obsah plochy získáme dosazením do následujícího vzorce, kde F (x) je primitivní funkce k f (x). 3 Obr. 5: Plocha pod křivkou Přesto že jsme již naznačili další možnosti užití integrálů, ještě se musíme vrátit zpět a povědět si základy k metodám výpočtu primitivních funkcí. K tomu je vyžadována znalost derivací elementárních funkcí. Nejjednodušší integrování probíhá u polynomických funkcí. Ze vzorce že, dále: A tedy obecný vzorec pro integrování polynomických funkcí typu odvodíme, je4: ℝ Podobným způsobem lze odvodit vzorec i pro další typy funkcí. Tabulka integrálů elementárních funkcí je přílohou (viz. 9.1). Dále jsou přiloženy i vzorce pro práci s integrály, jež viditelně vycházejí ze základních pravidel derivování, tedy: integrál součtu a součin funkce a konstanty.5 Méně viditelně jsou pak odvozeny i další mnohem složitější vzorce jako pro součin funkcí nebo pro funkce typu f g. K řešení těchto případů se užívají metody zvané integrování per partes a substituce. Vzorce jsou opět v příloze (viz. 9.1). 1.3.5 Křivost V souvislosti s křivkami se okamžitě naskýtá otázka, co přesně je křivost a jak jí měřit. Předpokládejme, že přímka má nejmenší křivost, tím pádem je křivost výchylka od přímého směru. Tuto výchylku snadno znázorníme pomocí tečen a úhlů mezi nimi. Tečny přímky splývají s přímkou, avšak zakřivením se úhel mezi nimi zvětšuje.6 3 Obrázek: http://cs.wikipedia.org/wiki/soubor:integral_as_region_under_curve.svg [Zdroj 5]: str. 6 odvození vzorce 5 [Zdroj 5]: str. 9 - vzorce 6 [Zdroj 7]: str. 5 4 11

Na obrázku č. 6 vidíme dvě křivky, jejichž zakřivení je různé, avšak úhel mezi tečnami je totožný. Křivost mezi dvěma body tedy závisí i na vzdálenosti. Proto průměrná křivost oblouku MM je: Hledáme-li křivost v konkrétním bodě, musíme brát v potaz jeho blízké okolí. Zvolíme tedy další dva body v těsné blízkosti a oblouk křivky nahradíme obloukem kružnice. Pokud se vzdálenost mezi body blíží nule, tak kružnice poměrně přesně odpovídá křivce v blízkosti bodu. Mluvíme o tzv. Oskulační 9 Obr. 6: Zakřivení křivky kružnici. Poloměr kružnice má stejný směr jako normála křivky v bodě a jeho velikost je závislá na křivosti v bodě. Pro představu, přímka má nulovou křivost a příslušná oskulační kružnice prochází třemi body vedle sebe, je její poloměr nekonečně velký. Vztah pro křivost a poloměr oskulační kružnice vychází z nepřímé úměrnosti a je tedy: Obecný vzorec křivosti (podrobné odvození viz. [Zdroj 7]: str. 7) umožnuje přímo spočítat křivost v bodě y(y0; f(y0)) po dosazení první a drué derivace v bodě. Jak si můžeme všimnout z vzorce, tak křivost může vyjít jak s kladným, tak se záporným znaménkem. Toto specifikum křivosti závisí na tom, zda je křivka vypouklá či vydutá (konvexní či konkávní viz 1.3.6). 1.3.6 Konvexnost a konkávnost Stejně jako nám tečny prozradí, zda je funkce rostoucí, či klesající, tak nám také prozradí, jestli jsou vypouklé, či vyduté. Pokud jsou body v okolí tečného bodu v polorovině nad tečnou, křivka je konvexní. Pokud jsou v polorovině pod tečnou, křivka je konkávní. Opět jako jsou křivky na různých částech definičního oboru rostoucí i klesající, stejně může být jedna křivka konvexní a konkávní na různých intervalech. Bod, kde tečny přecházejí z jedné strany křivky na druhou, se nazývá inflexní bod. Pokud při analýze křivky hledáme intervaly, kde je křivka konvexní a kde konkávní, využíváme druhou derivaci funkce. V inflexním bodě je druhá derivace nulová (pozor nemusí platit naopak! (Př. y=x4). Inflexní bod poznáme tak, že kromě nulové druhé derivace se navíc mění její znaménko. Pro pozitivní druhou derivaci je křivka konvexní a pro negativní je konkávní. 12

7Obr. 7: Konvexní a konkávní části křivky Příkladem si uveďme funkci s grafem Cf a její druhou derivaci s nulovým bodem. Jelikož je lineární funkce s kladnou směrnicí, tak je tím pádem rostoucí na celém definičním oboru a v nulovém bodě se mění její znaménko. Platí tedy, že bod na intervalu je jediným inflexním bodem křivky Cf. A dále platí, že je druhá derivace záporná a Cf je konkávní. Na druhém intervalu je křivka naopak konvexní. Obr. 8: Graf funkce f(x), její druhé derivace f (x) a inflexní bod I. 1.4 Výpočty z křivek 1.4.1 Délka křivky Znalost výpočtu délky křivky patří již k praktickým aplikacím znalostí, jež byly obsažené v kapitole o základech analýzy křivek. Délka spojité křivky zadané explicitní rovnicí na intervalu je8: Jako příklad si uveďme explicitně zadanou funkci s kladnou hodnotou na intervalu. Z výše uvedeného vzorce vidíme, že délka křivky je určitý integrál funkce na uvedeném intervalu. Po dosazení do vzorce, kdy dostáváme tvar: Délka křivky se tedy rovná 7 8,. Pomocí substituční metody získáváme primitivní funkci [Zdroj 6]: str. 1 [Zdroj 4a]: str. 2 13

1.4.2 Obsah plochy Obsahu plochy jsme se již věnovali v souvislosti s určitým integrálem. Víme, že obsah plochy mezi křivkou a osou x se rovná: V praxi se však nespokojíme pouze s tímto vzorcem. Plocha může být ohraničena i jinak než křivkou a osou. V praxi můžeme hledat plochu, která nesahá až k ose, ale je ze spodu ohraničena. V tom případě počítáme rozdíl ploch pod jednotlivými křivkami: V dalším případě je možné, že osa prochází plochou. V tom případě počítáme obdobným způsobem součet obsah ploch pod a nad křivkou. Jako příklad si uveďme opět funkci s primitivní funkcí a plochu vymezenou kladnou částí křivky a osou x. Hranice intervalu, v němž se pohybujeme, tedy odpovídají průsečíkům funkce s osou x (tedy hodnoty ), což nám dává interval Obsah plochy je tedy podle vzorce: = =4 1.4.3 Objem rotačních těles Nyní se dostáváme k další aplikaci našich vědomostí o křivkách. Tentokrát si už nevystačíme pouze s rovinou, ale přesouváme se i do prostoru, který je oproti rovině definován navíc osou z, kolmou na x a y. Máme-li plochu v rovině a otáčíme ji podle jedné z os, vymezíme tím prostor tzv. rotačního tělesa. Můžeme si představit, že každým bodem rovinného útvaru prochází kružnice, jejíž střed je na ose podle níž těleso 9 rotujeme a její poloměr je kolmý na rovinu Máme-li křivku y= na intervalu, tak těleso vzniklé jejím rotováním kolem osy x má objem: 9 Obr. 9: Rotační těleso Jako příklad si uveďme kužel, vzniklý rotováním plochy mezi křivkou intervalu. Podle vzorce hledáme integrál funkce a násobíme jej. Vyplývá tedy, že: 9 [Zdroj 4b]: str. 3 14 a osou x na, což je,

1,1 1.4.4 Povrch rotačních těles Rotační těleso samotné vzniká rotací plochy kolem osy. Křivka ohraničující plochu opisuje při rotaci plášť rotačního tělesa. Obsah tohoto pláště má velikost: Příkladem si opět uveďme kužel, jehož plášť vznikl rotací přímky na intervalu kolem osy x. Dle vzorce hledáme nejprve integrál funkce, jenž následně násobíme 2. Po dosazení předpisu přímky a derivace dostáváme. Jelikož je konstanta, nepodléhá integrování a primitivní funkce je tedy: Objem je tedy součin 2 a určitého integrálu na intervalu : 1.5 Metoda hledání předpisu Doposud jsme studovali křivky se znalostí jejich předpisu. Nyní se však dostáváme do situace, že máme zakreslenou křivku, jejíž předpis neznáme. Z nákresu křivky získáme souřadnice bodů, kterými prochází. Abychom mohli nalézt odpovídající předpis, je nezbytné mít dostatečné znalosti, co se základních křivek týče. Máme-li zadané body (například výsledy fyzikálního měření), rozlišujeme dva typy křivek. Aproximační křivka neprochází jednotlivými body, ale její tvar je jimi ovlivňován. Naopak interpolační křivka prochází všemi body. Tato křivka již dosahuje spojitosti vyšších řádů. Její odchylka je závislá na množství bodů, které máme. Ty se spojí a vzniká tzv. diskrétní křivka, což je lomená čára spojitosti C 0, která křivku přibližně nahrazuje (aproximuje). Čím více máme bodů, tím je křivka hladší. Pokud se počet bodů blíží k nekonečnu, tak úsečky spojující body přecházejí v tečny. Hledáme-li předpis křivky, vycházíme ze znalosti elementárních křivek a hledáme pomocnou křivku s velmi podobným průběhem alespoň na některém z intervalů. Z praktického hlediska je tento postup jednodušší, než křivku popisovat pomocí diskrétní křivky, která začíná být přesná až při obrovském množství spojnic mezi body. Hledáním odpovídajících pomocných křivek si vystačíme s výrazně menším počtem intervalů, na kterých původní křivku aproximujeme. Stručně řečeno, na jednotlivých intervalech je křivka popsána různými předpisy. Na hraních mezi intervaly, v uzlech (viz. 1.3.3 o spojitosti), dáváme pozor na řád spojitosti. V praxi se tyto úkony nechávají na počítačích. Výpočty provedou matematické programy typu Maple, Geogebra, nebo dokonce MS Exel. Při hledání spojnice trendu, je někdy potřeba vědět, podle jakého typu křivek se má hledané křivka aproximovat. 15

Kapitola 2: Příklady základních rovinných křivek 2.1 Kuželosečky Kuželosečky jsou křivky znázorňující proložení pláště kuželu rovinou, přičemž rovina neprochází vrcholem. Setkáváme se s nimi poměrně často i v běžném životě. Na naší úrovni se budeme setkávat s jejich základním typem, který se vyznačuje tím, že osa souměrnsoti je rovnoběžná s jednou z os souřadnic. Obecně všechny kuželosečky tohoto typu vycházejí z implicitně zadané obecné rovnice kuželosečky, kde a, b, c, d, e jsou reálná čísla:10 13 Obr. 10: Řezy kuželem Na vyšší úrovni se můžeme setkat i s rozšířenější rovnicí, kde se navíc vyskytuje člen xy, který způsobuje rotaci kuželosečky. Pro naše potřeby však zůstaneme u výše zmíněného tvaru. U kuželoseček rozeznáváme střed, což je průsečík os soumernosti, vrcholy, které ohraničují definiční obod křivky a pevné body, ohniska, jejichž vzdálenost od středu se nazývá excentricita. Jednotlivé kuželosečky se od sebe liší velikostí koeficientů. Na jejich základě rozlišujeme nejen jednotlivé typy, ale také rozlišujeme jejich orientaci. Kuželosečka může být orientována horizontálně či vertikálně podle toho, se kterou osou souřadnic je rovnoběžná hlavní osa křivky, což je přímka na níž leží obě ohniska. Obvykle nejsou kuželosečky zapisovány v obecném tvaru, ale mnohem častěji se setkáváme s kanonickou formou, která je praktičtejší pro určování vlastností křivky. Na naší úrovni rozeznáváme čtyři kuželosečky: kružnice, elipsa, parabola, hyperbola Snad nejznámější kuželosečkou je kružnice, což je množina všech bodů, jež mají stejnou vzdálenost od středu. Její specifikum oproti ostatním kuželosečkám spočívá v nulové excentricitě, tudíž ohniska splývají se středem a jako u jediné kuželosečky nerozlišujeme orientaci. Z obecné rovnice poznáme rovnici podle koeficientů a a b, jež si jsou rovny. Na rozdíl od kružnice již elipsa nemá nulovou exentricitu, tudíž a b 0 a tudíž již rozlišujeme její orientaci. Tato křivka reprezentuje množinu všech bodů, jejichž vzdálenost od dvou ohnisek je v součtu vždy stejná. Množina bodů, jejichž vzdálenost od pevného bodu, ohniska, a přímky je vždy stejná, se nazývá parabola. Poměrně snadno ji rozeznáme, neboť její rovnice obsahuje právě jeden kvadratický člen. Poslední kuželosečkou je hyperbola, což je množina všech bodů, jejichž rozdíl vzdáleností od ohnisek je v absolutní hodnotě stejný. Oproti ostatním kuželosečkám se vyznačuje záporným znaménkem mezi kvadratickými členy a dále je její křivka ohraničena asymptotami (viz 1.2 Definiční obory). 10 Obrázek: http://cs.wikipedia.org/wiki/soubor:kuzelosecky.png 16

2.2 Algebraické křivky Do poměrně nesourodé skupiny algebraických křivek patří křivky, jež jsou vyjádřeny algebraickou rovnicí. Jako zástupce si můžeme uvést Bernoulliovu lemniskátu, Descartesův list, Dioklovu kisoidu, Strofoidu, Nikomédovu konchoidu, Pascalovu závitnici Bernoulliova lemniskáta Jedná se o křivku čtvrtého stupně definovanou na ohraničeném intervalu připomínající horizontálně zapsané číslo 8. Implicitní zápis: Parametrický zápis: Obr. 11: Bernoulliova lemniskáta o předpisu (x2+y2)2 32(x2-y2)=0 2.3 Mocninné křivky Křivky tohoto typu se dají jednoduše vyjádřit explicitní rovnicí typu, kde a ℝ. Pokud n>1, křivkou je parabola (pro sudé n) či kubická parabola (pro liché n) definovaná na ℝ. V případě, že je n záporné, odpovídající křivkou je hyperbola, jejíž definiční obor je ℝ\{-(n)}. Semikubická (Neilova) parabola Neilova parabola je mocninná křivka s předpisem y= na intervalu, jež je definována definovaná Obr. 12: Semikubická parabola s předpisem y=0,8x1,5 2.4 Cyklické křivky Křivky cyklického typu vznikají valením kružnice a k ní pevně připojeného bodu po jiné, pevné křivce. Tuto skupinu křivek ještě dále dělíme na cykloidy, epicykloidy a hypocykloidy. 17

Cykloidy Cykloida je křivka, jíž opisuje bod pevně spjatý s kružnicí, která se valí po přímce. Její parametrické rovnice, kde r je poloměr, parametr t a d ℝ, jsou: sin cos Obr. 13: Prostá cykloida (d=1, r=1 a t Můžeme si všimnout, že tvar křivky závisí kromě poloměru kružnice i na koeficientu d. Podle jeho velikosti můžeme rozlišit ještě další poddruhy cykloidy. Pokud d > r, bod, který opisuje křivku, leží mimo kružnici a výsledná křivka je protažená směrem dolů, kde tvoří smyčky. V takovém případě mluvíme o prodloužené cykloidě. V případě, že d < r, bod leží uvnitř kruhu a křivka nedosahuje až na osu. Tento poddruh se nazývá zkrácená cykloida. Epicykloidy a hypocykloidy Křivky tohoto typu vznikají jako trajektorie bodu pevně spjatého s kružnicí, jež se valí po pevné kružnici. Výraz epicykloida odpovídá křivce vzniklé valením pohyblivé kružnice po vnější straně pevné kružnice. Hypocykloida pak odpovídá případu, kdy se kružnice valí po vnitřku kružnice. Stejně jako u cykloid mohou být křivky prodloužené a zkrácené v závislosti na poloměru hybné kružnice a na koeficientu d. Parametrické rovnice hypocykloidy, kde a a je poloměr pevné kružnice, jsou: cos cos sin sin ℝ ℝ, r je poloměr hybné kružnice Pro epicykloidu jsou parametrické rovnice téměř totožné, ale rovnice pro x má přímo opačná znaménka a druhá rovnice má stejná znaménka jako x v druhém případě. Obr. 14: Epicykloida zvaná kardioida pro kterou r=d=a=1 2.5 Spirály Problematikou spirál se zabývali téměř všichni velcí matematikové v historii (Descartes, Torricelli a další). Prvním, kdo prokazatelně popsal spirálu, byl řecký filosof Archimedes (viz. Archimedova spirála). Obecně je vznik spirál spojován s trajektorií bodu pohybujícího se 18

po přímce, která se otáčí kolem pevného bodu. V závislosti na vlastnostech pohybu se spirály liší. Známe klasické spirály jako Archimedova spirála, Hyperbolická spirála či logaritmická spirála, ale také mluvíme o tzv. sinových spirálách, které známe jako jiné křivky (Kardioida, Parabola, Bernoulliova lemniskáta, ). Právě v souvislosti se spirálami se setkáváme s polárními rovnicemi, neboť jsou definovány pomocí úhlu a vzdálenosti, jež podléhá nějaké jednoduché závislosti. Archimedova spirála Křivka je v tomto případě trajektorií bodu, jež se posouvá konstantní rychlostí po polopřímce, jež se otáčí konstantní úhlovou rychlostí. Tento typ spirály je snad nejběžnější spirálou obecně. Setkáváme se s ní i v praxi, například v mechanice (tzv. Archimedův šroub) nebo v biologii, kdy se popínavé květiny spirálovitě napínají k slunci. Tvar této křivky se nazývá helix. Polární rovnice křivky: ρ=aφ ; a R Obr. 15: Archimedova spirála ρ=(2/2π)φ 19

III. Praktická část Kapitola 3: Problém Tématem praktické části je studium obrázku baletky (viz příloha 9.3 Baletka). Jedná se tedy konkrétně o popis jejích křivek a o následnou analýzu. Položené otázky tedy zní následovně: Jaký je předpis křivky, jež představuje siluetu baletky? Jaká je délka siluety? Jaké jsou míry baletky (hruď-pas-boky)? Jaký je obsah plochy, jež silueta vymezuje? Jaký je její objem a povrch? Jsou boky baletky opravdu konvexní a je pas konkávní? Jaká je křivost v pase? Kapitola 4: Metoda Stejně jako teoretická část, tak i ta praktická reflektuje úroveň práce v rámci tématu. Při studiu baletky se vychází právě z informací uvedených v teoretické části, a jelikož mají omezený rozsah, tak i studium baletky má své limity. Těmito limity rozumějme přizpůsobení problému dovednostem, respektive praktická zjednodušení. Nejjasněji můžeme demonstrovat toto zjednodušení na baletce v prostoru, neboť pro její výpočet užíváme metodu rotačních těles, i když je zřejmé, že reálná baletka má do jisté míry odlišný tvar. Právě míra odlišnosti je však ovlivnitelná, neboť modelováním jednotlivých částí samostatně dosahujeme výsledků bližších pravdě. Úroveň v rámci tématu také ovlivňuje možnosti, co se týče matematických operací. Ve výsledku tedy není vždy možné používat jiné typy vyjádření křivek, než explicitní. Derivování a integrování je totiž téměř nezbytné pro jakoukoliv analýzu křivky, avšak používá-li se jiný zápis než explicitní, jsou tyto operace mimo stanovenou úroveň. Prvním, nezbytným, krokem je umístění siluety do soustavy souřadnic. Za tímto účelem vytvoříme nejdelší možnou svislou osu, jež prochází baletkou od hlavy až po chodidla. Poté baletku umístíme tak, aby tato osa byla shodná s osou x v systému rovinných souřadnic. Dále ji umístíme tak, aby její definiční obor byl v reálných číslech od nuly do + s tím, že nejkrajnější bod baletky leží v počátku. Jak již bylo avizováno v kapitole o hledání předpisu (viz 1.5 Metoda hledání předpisu), označíme body, jimiž křivka prochází. Čím více bodů označíme, tím bude výsledná křivka přesnější. Následně siluetu rozdělíme na části a pro každou část hledáme jednu ze základních křivek v příslušném tvaru tak. Naším záměrem je nalézt interpolační křivku, avšak pokud máme brát v potaz i spojitost křivky alespoň prvního řádu, musíme si mnohdy vystačit s křivkou aproximační. K aproximaci používáme z důvodu přesnosti matematické programy jako MS Excel nebo Geogebra. Na základě takto získaných křivek, jež definujeme pouze na potřebném intervalu, zodpovídáme položené otázky, jako například obvod siluety, jenž je součtem délek jednotlivých segmentů. Pro 20

další rovinnou analýzu (konvexnost a konkávnost, křivost) využíváme předpis segmentu, který odpovídá zkoumanému místu. Metodu rozkládání na úseky využíváme i v souvislosti s dalšími operacemi. Pokud hledáme obsah vymezené plochy, objem baletky nebo její povrch, nezbývá nám nic jiného, než ji rozložit na menší části, s nimiž počítáme samostatně. Přesnost výsledku opět odpovídá množství částí, na něž útvar rozdělujeme. 21

IV. Závěr Kapitola 8: Použitá literatura a zdroje 1. Prezentace Základní vlastnosti křivek RNDr. Petra Surynková http://surynkova.info/dokumenty/mff/pg2/prednasky/prednaska_2.pdf 2. Prezentace Geometrické vidění světa KMA/GVS: Rovinné a prostorové křivky, 2012 Doc. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D. http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/gvs/texty/l10_krivky.pdf 3. Prezentace Základy diferenciální geometrie křivek a ploch Bohumír Bastl http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/.../file/gpm_dg.pdf?... 4. Skripta Matematika II. Technická univerzita Ostrava a. Kapitola 3.2 Délka oblouku křivky http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola_3_2.pdf b. Kapitola 3.3 Objem rotačního tělesa http://homen.vsb.cz/ kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola 3 3.pdf c. Kapitola 5.3 Implicitní funkce a její derivace http://homen.vsb.cz/ kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola 5 3.pdf 5. Skripta Matematická analýza KMA/M2I Primitivní funkce Mgr. Jan Tomeček PhD. Univerzita Palackého v Olomouci http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/vyuka/ma2i/03 prim fce.pdf 6. Inflexní body Mgr. Jana Hoderová Ph.D., 2005 http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=91 7. Matematika křivek - Prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., PhDr. Miroslava Jarešová, Ph.D. http://fyzikalniolympiada.cz/texty/matematika/mkrivek.pdf 8. Skripta Diferenciální geometrie Doc. RNDr. František Ježek CSc. http://www.fd.cvut.cz/personal/voracsar/geometriepg/pgr020/dg_jezek01.pdf Křivky bez uvedeného zdroje byly zakreslovány volně šiřitelným matematickým programem Geogebra. 22

Kapitola 9: Přílohy 9.1 Integrály: Tabulka elementárních funkcí a vzorce Odvození vzorců je obdobné jako u příkladu uvedeného v kapitole o integrálech. Podrobný postup je uveden ve zdroji č. 5.: Mgr. Jan Tomeček Primitivní funkce Polynomní funkce typu xn ℝ Exponenciální funkce typu : ℝ Goniometrické funkce sinus a cosinus: sin cos cos ℝ sin ℝ Vzorec pro integrování součinu konstanty a funkce: Vzorec pro integrování součtu: ± ± Vzorec pro integrování per partes : Vzorec pro integrování pomocí substituce: 9.2 Rovnice kuželoseček Kružnice o ; x Kanonická forma: ;t cos cos 23 ℝ

o Parametrické vyjádření Elipsa o Kanonická forma: o Parametrické vyjádření: cos cos ; t Parabola a nebo b se rovná 0 o Kanonická forma: nebo o Parametrické vyjádření: nebo Hyperbola ; a nebo b je záporné o Kanonická forma: nebo o Parametrické vyjádření: nebo sin sin o Rovnice asymptot: ± nebo ± 9.3 Baletka Staženo z: http://www.omalovankykvytisknuti.info/wp-content/gallery/zamestnani/baletka.gif 24