PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK. Prutové soustavy /příhradové nosníky/ - nosné konstrukce mostů, jeřábů, stožárů, střech, letadel apod. - skládají se z prutů spojených nýty, šrouby nebo svary v kloubech styčnících Výhody oproti plným nosníkům mají při stejné únosnosti menší hmotnost (úspora materiálu).. Základní pojmy Pruty označujeme čísly, styčníky písmeny velké abecedy. osamělá síla prut F C F pevná podpěra (kloub) D E F 7 0 styčník F G F volná podpěra Vnější síly - F, F,... F, (působí na konstrukci z vnějšku z jiných těles) Vnitřní (osové) síly -,,..., n (síly v prutech) Vnější síly (včetně reakcí v uložení) se na soustavu přenášejí ve styčnících. Vyvolávají v ose prutů síly vnitřní, osové Prutové soustavy mohou být rovinné nebo prostorové (viz příloha)
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK tatická a tvarová určitost prutových soustav oustava je staticky určitá, je-li počet neznámých veličin (síly v prutech a složky vnějších reakcí) roven počtu rovnovážných rovnic (podmínek rovnováhy) z nichž je možné tyto veličiny vypočítat. Podmínka statické určitosti: s p n rovinná prutová soustava s p n prostorová rovinná soustava, kde p počet prutů n počet složek vnějších reakcí ( p + n je počet neznámých) s počet styčníků (rovnic) Zdůvodnění: Každý prut soustavy představuje jednu neznámou veličinu (osovou sílu v prutu). Je-li počet prutů p, je těchto neznámých osových sil rovněž p. Další neznámé v soustavě jsou složky reakcí v uložení, jejichž počet je n. ouhrnný počet neznámých v soustavě je tedy p n. Každý kloub (styčník) představuje bod, na který působí osové síly prutů a vnější síly ve styčnících (různé zatěžující síly a síly v uložení). Tyto síly musí být v každém styčníku v rovnováze. Jde o soustavu sil procházejících jedním bodem, pro kterou platí v rovině dvě podmínky rovnováhy, v prostoru tři podmínky. Je-li počet styčníků s, máme k dispozici u rovinné prutové soustavy s rovnic, u prostorové s rovnic. Podmínkou statické určitosti soustavy je předpoklad, že počet rovnic musí být roven počtu neznámých. taticky neurčitá je soustava, kdy počet neznámých je větší než počet rovnovážných rovnic. U rovinné soustavy: s p n Jestliže samotná prutová soustava (bez rámu) je vzhledem ke kterémukoliv svému členu nehybná (tvoří tuhý celek), říkáme, že soustava je tvarově určitá. Pro staticky a tvarově určitou soustavu platí s p Prutové soustavy, které po uvolnění od rámu jsou pohyblivé, jsou tvarově neurčité. Pro rovinnou soustavu: s p Tvarově neurčitá soustava
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK.. Početní řešení rovinných prutových soustav tyčníková metoda postupné řešení rovnováhy jednotlivých styčníků (= soustavy sil se společným působištěm) ze dvou podmínek rovnováhy. Z toho je zřejmé, že řešit lze jen takové styčníky, kde kromě známých sil jsou nejvíce dvě síly neznámé. Příklad DÁNO: F kn F kn URČIT: - síly v prutech 7 Kontrola statické určitosti: s p n ( n =... neznámé složky představuje kloubové uložení, neznámou podpěra ). 7 0 0 podmínka je splněna ŘEŠENÍ:. Výpočet neznámých vnějších sil reakcí v uložení - z podmínek rovnováhy () F F F 0 () F., F.7,.0 0 () F., F.7,.,.7, F 0 0 F, kn () F F F kn kn, kn F, 7kN
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK. Řešení rovnováhy jednotlivých styčníků Předpokládejme, že neznámé osové síly táhnou ze styčníků F tyčník Podmínky rovnováhy: () cos 0 () sin F 0 () F kn,7 kn sin sin, () cos ( kn)cos,, 7kN Znaménko - u výsledku síly znamená, že skutečný smysl síly je opačný, než jsme předpokládali, a proto jej změníme. právné šipky sil doplníme do obrázku soustavy ke styčníku a na opačné konce prutů zakreslíme šipky opačné (pruty jsou v rovnováze tehdy, působí-li na jejich koncích stejné síly opačného smyslu). Na závěr zapíšeme výsledky do tabulky vypočtených hodnot. tyčník C F () cos cos 0 () F sin sin 0 () F sin, kn sin () cos cos, kn tyčník D () cos cos 0 () sin sin 0 () sin, kn sin () cos cos, 7kN tyčník 7 () cos 0 7 F 7 sin () 0 () 7, kn sin
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK Výsledky F,7kN F,kN,0kN 7.7kN,kN,kN,kN,kN,kN Pozn. Šipky osových sil orientované ze styčníků předznamenávají namáhání prutů na tah a naopak, šipky směřující do styčníků představují namáhání prutů na tlak, případně vzpěr. Průsečná metoda Prutovou soustavu přerušíme myšleným řezem nejvýše ve třech prutech /máme jen tři podmínky rovnováhy/, z nichž pouze dva mohou vycházet z téhož styčníku. V přerušených prutech předpokládáme neznámé osové síly, které řešíme z podmínek rovnováhy pro část soustavy na jedné straně od zvoleného řezu Příklad F DÁNO: F = 0 kn URČIT:,,, tg 0,
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK. Určení neznámých reakcí v uložení oustava zatížena symetricky, není třeba řešit pomocí podmínek rovnováhy F 0kN F kn. Výpočet neznámých vnitřních sil použijeme část soustavy (tu jednodušší, tedy levou) po zvolený řez. V přerušených prutech předpokládáme neznámé síly (táhnou ze styčníků D a C) m D C myšlený řez,m, tg 0, Podmínky rovnováhy: () cos 0 () sin 0 F ()D F,., 0 () F kn.. 0kN,, () F kn, kn sin sin, () cos 0kN, kn.cos, 0, kn (záporné znaménko znamená, že síla působí v opačném smyslu oproti předpokladu) Výsledek F 0kN, kn 0, kn
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK.. Grafické řešení Cremonův diagram Grafické řešení osových sil Cremonovou metodou spočívá v grafickém řešení rovnováhy jednotlivých styčníků (soustavy sil se společným působištěm). Podobně jako u styčníkové metody lze tedy řešit styčník, kde jsou nejvíce dvě neznámé osové síly. ilové obrazce rovnováhy jednotlivých styčníků se nekreslí zvlášť, ale přikládáním k sobě vytvářejí Cremonův diagram. Využívá se přitom skutečnosti, že osové síly jednotlivých prutů jsou zastoupeny při řešení rovnováhy dvou styčníků, ovšem s opačnou orientací. Z toho důvodu upustíme v Cremonově obrazci od kreslení šipek Příklad F C smysl obcházení F E DÁNO: F 0kN F 0kN F 7, URČIT: D,m,, F Postup řešení. Rozhodneme o smyslu obcházení soustavy a ve zvoleném měřítku délek a měřítku sil graficky určíme neznámé vnější síly (reakce v uložení). Postupně řešíme rovnováhu jednotlivých styčníků. Pořadí sil tvořících uzavřený silový obrazec volíme podle zvoleného smyslu obcházení. Orientace (šipky) zjištěných sil zakreslíme do obrázku soustavy poblíž řešeného styčníku, do tabulky výsledků nakonec zapíšeme velikosti sil. Pokračujeme řešením rovnováhy dalšího styčníku s nejvýše dvěma neznámými osovými silami. Tento postup opakujeme do vyřešení všech osových sil. 7
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK F F C F E M D : mm 00mm 7 M F : mm kn D F Výsledky 7 F F F F 7 kn F kn 7 kn kn 7 kn 7 kn 0 kn 7 kn 7 kn 7 kn kn Postupná konstrukce Cremonova diagramu na další straně
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK styčník + styčník D F F F F F F + styčník C + styčník F + styčník F F F F 7 F 7 F F F F
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK Příklady.př. F.př..př..př. 0
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK Výsledky příkladů.př..př..př..př. F,0 kn F, N F 7 kn F, kn F,0 kn F,kN F kn F,0 kn, kn, kn, kn, kn,7 kn,7 kn, kn,7 kn, kn, kn,7 kn, kn 7, kn,7 kn,7 kn,7 kn,kn, kn, kn,7 kn,7kn,7 kn 7, kn, 7,kN 7 7, kn, kn, kn, kn 7, kn, kn 0, kn
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK Přílohy Rovinná prutová soustava Prostorová prutová soustava
PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK