Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel LS 2012/13 Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic Motivace: volný pád bez odporu vzduchu: ma = mg v = g Volný pád s odporem vzduchu, který závisí lineárně na rychlosti: mv = mg bv Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): rovnice pro neznámou funkci jedné proměnné (zde v = v(t)), ve které se vyskytují derivace hledané funkce.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Definice (Obyčejnou) diferenciální rovnicí (ODR) pro funkci y = y(x) rozumíme rovnici tvaru F (y (n), y (n 1),..., y, y, y, x) = 0, (1) kde F je reálná funkce n + 2 proměnných. Řádem ODR (1) nazveme řád nejvyšší derivace funkce y, která se v rovnici (1) vyskytuje.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Definice Řešením diferenciální rovnice (1) rozumíme funkci y definovanou na nějakém neprázdném otevřeném intervalu I, která má v každém bodě intervalu I vlastní n-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivací splňují rovnici (1) v každém bodě intervalu I, tj. pro každé x I platí F (y (n) (x), y (n 1) (x),..., y (x), y (x), y(x), x) = 0. Řešení y diferenciální rovnice (1) je maximální, pokud neexistuje takové řešení z, pro které D(y) D(z) a které se na D(y) shoduje s y.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Definice Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru y = g(y) h(x). (2) Návod k řešení: Pokud g(c) = 0, je funkce y(x) = c řešením rovnice. Na intervalech, kde g(y) 0 uvažte y g(y) = h(x) s následným dy g(y) = h(x)dx. Nutná je diskuse o možnostech navazování řešení předchozích dvou typů!
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Definice Lineární ODR prvního řádu je rovnice tvaru y + p(x)y = q(x), (3) kde p, q jsou spojité funkce na daném intervalu (a, b), a, b R, a < b Návod k řešení: Násobte rovnici výrazem e P(x), kde P je primitivní funkce k p na (a, b). Upravte na levé straně do tvaru derivace součinu. Integrujte.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Definice Lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty je rovnice tvaru Ay + By + Cy = f (x), (4) kde A, B, C R, A 0, a funkce f (x) je spojitá na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulová na (a, b), nazýváme rovnici (5) homogenní.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Případ I: f 0, rovnice: Ay + By + Cy = 0, obecné řešení y h Pokud charakteristická rovnice Aλ 2 + Bλ + C = 0 má: 1 dva různé reálné kořeny λ 1 λ 2 : y h (x) = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x 2 jeden dvojnásobný reálný kořen λ: y h (x) = c 1 e λx + c 2 xe λx 3 dva komplexně sdružené kořeny α ± iβ, β 0: y h (x) = e αx (c 1 cos βx + c 2 sin βx)
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Případ II: f 0, rovnice: Ay + By + Cy = f (x) Pro řešení y(x) platí: y(x) = y h (x) + y p (x), kde y h (x) je obecné řešení homogenní rovnice (viz předchozí případ) a y p (x) je jedno (jakékoliv), tzv. partikulární řešení rovnice Ay + By + Cy = f (x). Některá partikulární řešení lze uhodnout podle tvaru pravé strany.
13.1 Základní typy obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Je-li f (x) = P(x)e αx, kde α R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P, že 1 α λ 1, α λ 2 = y p (x) = Q(x)e αx, 2 α λ 1, α = λ 2 = y p (x) = xq(x)e αx, 3 α = λ 1 = λ 2 = y p (x) = x 2 Q(x)e αx. Je-li f (x) = e αx (P(x) cos βx + R(x) sin βx), (P, R polynomy), existují polynomy Q, S, stupně nejvýše max(st P, st R), takové, že 1 α + iβ λ 1, α + iβ λ 2 = y p (x) = e αx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx), 2 α + iβ = λ 1, α + iβ λ 2 = y p (x) = xe αx (Q(x) cos βx + S(x) sin βx),
13.2 Aplikace obyčejných diferenciálních rovnic Lineární oscilátor y = b m y k }{{} m y + f (x) }{{}}{{} odpor prostředí odpor pružiny vnější vlivy y... odchylka od klidové polohy m... hmotnost závaží k... tuhost pružiny b... součinitel odporu
13.2 Aplikace obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Logistická rovnice y... hustota populace α... koeficient rychlosti růstu K... maximální stav populace y = αy (K y), y(0) = y 0 1 0.9 0.8 alpha=2 alpha=0.2 alpha=-0.5 alpha=-2 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 řešení: y(x) = ( K ) 1+ K y0 1 e αx
13.2 Aplikace obyčejných diferenciálních rovnic (pokrač.) Dravec-kořist y 1... množství kořisti (kráĺıcí) y 2... množství dravců (lišky) y 1 = y 1 (α βy 2 ) y 2 = y 2 (γ δy 1 ) soustava rovnic nemá explicitní řešení lze řešit přibližně nebo studovat kvalitativní vlastnosti řešení řešení jsou periodická rovnovážné řešení (y 1 = y 2 = 0)
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu Budeme se zabývat rovnicemi tvaru a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = f (t), (5) kde a 0,..., a n a f jsou funkce spojité na daném intervalu (a, b), a n (t) 0 pro t (a, b) (lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s nekonstantními koeficienty). Jsou-li všechny funkce a 0,..., a n konstantní na intervalu (a, b), jde o lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty, (f (t) nemusí být konstantní). Homogenní rovnicí k rovnici (5) rozumíme rovnici a n (t)y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 1 (t)y + a 0 (t)y = 0. (6)
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) Věta 12.1 Necht t 0 (a, b) a z 0,..., z n 1 R. Pak existuje právě jedno maximální řešení y rovnice (5) resp. (6), které splňuje tzv. počáteční podmínky y(t 0 ) = z 0, y (t 0 ) = z 1,..., y (n 1) (t 0 ) = z n 1. Toto řešení je navíc definováno na celém intervalu (a, b).
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) Věta 12.2 (o struktuře všech řešení) (i) Maximální řešení rovnice (6) jsou definována na celém intervalu (a, b) a tvoří vektorový podprostor prostoru C n ((a, b)) dimenze n. Jeho jakoukoli bázi nazýváme fundamentálním systémem rovnice (6). (ii) Necht y p je maximální řešení rovnice (5). Pak funkce y je jejím maximálním řešením, právě když ji lze zapsat ve tvaru y = y p + y h, kde y h je vhodné řešení rovnice (6).
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) I. Hledání fundamentálního systému Pro rovnici (6) s konstantními koeficienty lze použít tzv. metodu charakteristického polynomu. Pro rovnici (6), kde alespoň jeden z koeficientů je nekonstatní, nelze obecně explicite najít její fundamentální systém. Definice Necht jsou koeficienty homogenní rovnice (6) konstantní. Charakteristickým polynomem rovnice (6) rozumíme polynom P(λ) = a n λ n + a n 1 λ n 1 + + a 1 λ + a 0.
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) Věta 12.3 Necht jsou koeficienty homogenní rovnice (6) konstantní. Necht λ 1,..., λ s jsou všechny různé reálné kořeny charakteristického polynomu P, s násobnostmi r 1,..., r s. Necht α 1 + β 1 i,..., α l + β l i jsou všechny navzájem různé kořeny polynomu P, s kladnou imaginární částí a násobnostmi q 1,..., q l.
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) Pak funkce e λ 1t, te λ 1t,... t r 1 1 e λ 1t,. e λst, te λst,... t rs 1 e λst, e α1t cos β 1 t, te α1t cos β 1 t,... t q1 1 e α1t cos β 1 t, e α1t sin β 1 t, te α1t sin β 1 t,... t q1 1 e α1t sin β 1 t,. e αlt cos β l t, te αlt cos β l t,... t ql 1 e αlt cos β l t, e αlt sin β l t, te αlt sin β l t,... t ql 1 e αlt sin β l t tvoří fundamentální systém homogenní rovnice (6) (s konstantními koeficienty).
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) II. Hledaní partikulárního řešení Věta 12.4 (o uhodnutí partikulárního řešení) Necht (5) je rovnice s konstatními koeficienty. Necht f (t) = e αt (P(t) cos βt + Q(t) sin βt), kde α, β R a P, Q jsou polynomy. Pak existuje řešení rovnice (5) ve tvaru y p (t) = t m e αt (R(t) cos βt + S(t) sin βt), kde R, S jsou vhodné polynomy stupně ne většího než max{stupeň P, stupeň Q} a m N {0} udává, jakou násobnost má číslo α + iβ jakožto kořen charakteristického polynomu.
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) Následující Lemma je základem tzv. metody variace konstant pro hledání partikulárního řešení lineární (nehomohenní) ODR, a to jak s konstantními tak s nekonstantními koeficienty. Lemma 1 Necht y 1,..., y n tvoří fundamentální systém homogenní rovnice (6) ( s obecně nekonstatními koeficienty). Potom matice y 1 (t) y 2 (t)... y n (t) y 1 U(t) = (t) y 2 (t)... y n(t)...... y (n 1) 1 (t) y (n 1) 2 (t)... y n (n 1) (t) je regulární pro každé t R.
13.3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu (pokrač.) Věta 12.5 (variace konstant) Necht y 1,..., y n tvoří fundamentální systém rovnice (6) ( s obecně nekonst. koeficienty), U(t) bud jako v předchozí větě. Necht c 1 (t),..., c n (t) řeší soustavu c 1 (t) 0 Pak funkce U(t). c n 1 (t) c n(t) =. 0 f (t)/a n. y p (t) := c 1 (t)y 1 (t) + + c n (t)y n (t) je (partikulární) řešení rovnice (5).