Lineární diferenciální rovnice n tého řádu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Lineární diferenciální rovnice n tého řádu"

Transkript

1 Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty, rovnice s proměnnými koeficienty, pravá strana rovnice, homogenní rovnice, nehomogenní rovnice, Cauchyova úloha, počáteční okamžik, počáteční hodnota, počáteční podmínka, počáteční úloha, řešení rovnice, řešení Cauchyovy úlohy Matematický popis dynamiky fyzikálních systémů 1. Budeme vyšetřovat pohyb kuličky o hmotnosti m, která se působením pružiny pohybuje po pevné tyči, jak je načrtnuto na obrázku 2.1 a). u(t) R S L C a) æ i(t) u(t) b) æ Obrázek 2.1: Schémata vyšetřovaných fyzikálních systémů Předpokládejme, že rovnovážný stav kuličky je ve středu S tyče. Označme u(t) vzdálenost středu kuličky od bodu S v okamžiku t. Pak derivace u(t) udává rychlost pohybu kuličky v okamžiku t a druhá derivace ü(t) udává její zrychlení. Na pohybující se kuličku působí v okamžiku t jednak síla pružiny, jejíž velikost označíme F 1 (t), a jednak odpor prostředí, jehož velikost označíme F 2 (t). Předpokládejme navíc, že kulička je při svém pohybu vystavena působení nějaké vnější časově proměnné síly (např. větru). Velikost její složky působící podél tyče označme F 3 (t). Z fyziky víme, že síla pružiny působí podél tyče vždy ve směru ke středu S a je přímo úměrná výchylce u(t), tj. F 1 (t) = ku(t), kde číslo k > 0 se nazývá koeficient pružnosti pružiny. Odpor prostředí působí rovněž podél tyče, avšak proti směru pohybu kuličky a je přímo úměrný rychlosti kuličky, tj. F 2 (t) = q u(t), q > 0. Podle druhého Newtonova pohybového zákona je celková síla působící na pohybující se kuličku v okamžiku t rovna součinu hmotnosti m kuličky a jejího zrychlení ü(t) v okamžiku t. Oud a z předchozí úvahy 39

2 40 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU plyne rovnost a tedy mü(t) = F 1 (t) + F 2 (t) + F 3 (t) = ku(t) + q u(t) + F 3 (t), ü(t) q m u(t) + k m u(t) = 1 m F 3(t). Označme ještě F 3(t) m = b(t). Dostali jsme tak vztah ü(t) q m u(t) + k u(t) = b(t), (2.1) m který musí splňovat funkce u(t) popisující pohyb kuličky po tyči. Vztah (2.1) vyjadřujeme také slovy, že funkce u(t) je řešením obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu ẍ q m ẋ + k x = b(t). (2.2) m Uvědomme si, že při odvození vztahu (2.1) jsme podstatně využili druhého Newtonova pohybového zákona. Tento úzký vztah mezi zákony dynamiky a diferenciálními rovnicemi dává tušit, proč mají diferenciální rovnice 2. řádu při vyšetřování dynamických jevů takovou důležitost. 2. Analogickou rovnici dostáváme i při vyšetřování časového průběhu intenzity elektrického proudu v jednoduchém RLC obvodu. Vyšetřujeme časový průběh proudu i(t) protékajícího v okamžiku t elektrickým obvodem, jehož schéma je na obrázku 2.1 b). Předpokládejme, že sériový RLC obvod je v okamžiku τ připojen na zdroj střídavého napětí u(t). Pak v každém okamžiku t τ protéká každým prvkem obvodu tentýž proud i(t), ale na každém prvku je obecně jiné napětí. Označme u L (t), resp. u R (t), resp. u C (t) velikost napětí v okamžiku t na cívce, resp. na odporu, resp. na kondenzátoru. Z fyziky je známo, že mezi těmito napětími a proudem i(t) platí vztahy u L (t) = L di(t) du C (t), u R (t) = Ri(t), kde L je indukčnost cívky, R je velikost ohmického odporu a C je kapacita kondenzátoru. Podle druhého Kirchhoffova zákona je u L (t) + u R (t) + u C (t) = u(t), t τ. (2.4) Oud derivováním dostáváme du L (t) Z prvních dvou rovností v (2.3) plyne du L (t) + du R(t) = L d2 i(t) 2, + du C(t) du R (t) Oud a z (2.3) dosadíme do (2.5). Dostaneme tak rovnost L d2 i(t) 2 + R di(t) Označíme-li di(t) i(t) = v(t), = v(t), můžeme rovnost (2.6) přepsat na tvar = du(t) = R di(t) = 1 i(t), (2.3) C, t τ. (2.5), t τ. + 1 du(t) i(t) =, t τ. (2.6) C d 2 i(t) 2 = v(t), 1 L v(t) + R L v(t) + 1 v(t) = b(t), t τ. LC du(t) = b(t), Vidíme, že časový průběh intenzity elektrického proudu v uvažovaném sériovém obvodu se dvěma dynamickými prvky vyhovuje lineární diferenciální rovnici 2. řádu ẍ + R L ẋ + 1 x = b(t). (2.7) LC

3 2.1. CAUCHYOVA ÚLOHA PRO LINEÁRNÍ ROVNICI N TÉHO ŘÁDU 41 Jak uvidíme později, má tato rovnice nekonečně mnoho řešení popisujících nekonečně mnoho možných časových průběhů intenzity proudu ve vyšetřovaném obvodu. Zadáme-li však pevně hodnoty napětí v počátečním okamžiku τ například na odporu a na cívce, je tím už jednoznačně zadána i počáteční hodnota napětí na kondensátoru u C (τ) = u(τ) u R (τ) u L (τ), ale i počáteční hodnoty intenzity proudu a její derivace i(τ) = 1 R u R(τ), di(τ) = 1 L u L(τ). Těmito hodnotami je jednoznačně určen i časový průběh intenzity proudu i(t) pro všechna t τ. Označíme-li ξ 1 = i(τ), ξ 2 = di(τ), můžeme říci, že tato funkce i(t) je řešením Cauchyovy úlohy ẍ + R L ẋ + 1 LC x = b(t), x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2. (2.8) V našich úvahách jsme předpokládali, že parametry R, L a C jsou konstanty. Kdyby některý z nich měnil s časem svoji hodnotu, mluvili bychom pak o rovnici s proměnnými koeficienty Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Budeme se zabývat obyčejnou lineární diferenciální rovnicí n tého řádu x (n) + a n 1 (t)x (n 1) + + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), (2.9) kde funkce a n 1 (t),, a 1 (t), a 0 (t) a b(t) jsou definovány a spojité na nějakém intervalu I. Jsou-li všechny koeficienty a k (t), k = 0, 1,..., n 1, konstanty, mluvíme o lineární diferenciální rovnicí n tého řádu s konstantními koeficienty. V opačném případě, tj. závisí-li alespoň jeden z těchto koeficientů na proměnné t, mluvíme o lineární diferenciální rovnicí n tého řádu s proměnnými koeficienty. Je-li funkce b(t) v rovnici (2.9) tzv. pravá strana rovnice identicky nulová na intervalu I, pak říkáme, že rovnice (2.9) je homogenní. V opačném případě mluvíme o nehomogenní rovnici. m rovnice (2.9) rozumíme reálnou funkci u(t) definovanou a mající n-tou derivaci na intervalu I a splňující podmínku u (n) (t) + a n 1 (t)u (n 1) (t) + + a 1 (t) u(t) + a 0 (t)u(t) = b(t), t I. (2.10) Jsou-li navíc dána reálná čísla τ I (tzv. počáteční okamžik) a ξ 1, ξ 2,..., ξ n R (tzv. počáteční hodnoty), pak mluvíme o Cauchyově (také počáteční) úloze pro rovnici (2.9) a zapisujeme ji x (n) + a n 1 (t)x (n 1) + + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2,..., x (n 1) (τ) = ξ n. (2.11) m úlohy (2.11) nazýváme každé řešení u(t) rovnice (2.9), které splňuje počáteční podmínky u(τ) = ξ 1, u(τ) = ξ 2,..., u (n 1) (τ) = ξ n. (2.12) Dá se ukázat, že úloha (2.11) má pro každou volbu počátečního okamžiku τ I a počátečních hodnot ξ 1, ξ 2,..., ξ n právě jedno řešení a že toto řešení je definováno na celém intervalu I. Budeme pro ně používat označení u(t; τ, (ξ 1, ξ 2,..., ξ n )), nebo, označíme-li ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ), stručně u(t; τ, ξ). Příklady

4 42 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 1. Rovnice ẍ + 5ẋ + 4x = 0 má koeficienty a 1 (t) = 5, a 0 (t) = 4. Jsou to konstantní funkce, a tedy spojité pro všechna t R. Proto každé její řešení je definováno pro všechna t R. Snadno se ověří, že pro každou volbu reálných čísel c 1 a c 2 je funkce řešením této rovnice. 2. Rovnice je rovnice s proměnnými koeficienty u(t) = c 1 e 4t + c 2 e t, t R, ẍ t t 1 ẋ + 1 t 1 x = 0 a 1 (t) = t t 1, a 0(t) = 1 t 1, t 1, které jsou spojité na intervalech (, 1) a (1, ). To znamená, že i každé její řešení je definováno buď na intervalu (, 1) nebo na intervalu (1, ). Snadno se ověří, že například funkce jsou řešeními této rovnice. 3. m Cauchyovy úlohy u 1 (t) = t, t (, 1), u 2 (t) = t, t (1, ) ẍ + ẋ 2x = 0, x(0) = 2, ẋ(0) = 11 je funkce u(t; 0, (2, 11)) = 5e t 3e 2t, t R. 2.2 Homogenní lineární diferenciální rovnice Klíčová slova: vektorový prostor řešení, báze řešení, fundamentální systém řešení, obecný tvar řešení, standardní báze, standardní fundamentální systém, Wronského matice, wronskián, charakteristická rovnice, charakteristický polynom, charakteristická hodnota Struktura prostoru řešení homogenní rovnice Vektorový prostor řešení Budeme se podrobněji zabývat vlastnostmi řešení homogenní rovnice ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0. (2.13) Ukážeme, že množina všech řešení rovnice (2.13) tvoří vektorový prostor. K tomu stačí ukázat, že pro každá dvě řešení u 1 (t), u 2 (t), t I, a pro každé dvě reálné konstanty c 1, c 2 je také lineární kombinace u(t) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t), t I, řešením rovnice (2.13). To je však snadné. Podle předpokladu platí ü 1 (t) + a 1 (t) u 1 (t) + a 0 (t)u 1 (t) = 0, takže ü 2 (t) + a 1 (t) u 2 (t) + a 0 (t)u 2 (t) = 0, ü(t) + a 1 (t) u(t) + a 0 (t)u(t) = = c 1 ü 1 (t) + c 2 ü 2 (t) + a 1 (t) [ c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) ] + a 0 (t) [ c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) ] = = c 1 [ü1 (t) + a 1 (t) u 1 (t) + a 0 (t)u 1 (t) ] + c 2 [ü2 (t) + a 1 (t) u 2 (t) + a 0 (t)u 2 (t) ] = 0.

5 2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 43 Další úvahy ilustrujeme nejdříve na příkladě. Přímým dosazením do rovnice ẍ 3ẋ + 2x = 0 (2.14) snadno ověříme, že funkce u 1 (t) = e t, u 2 (t) = e 2t, t R, (2.15) jsou jejími řešeními. Jelikož jedna z nich není konstantním násobkem druhé, jsou lineárně nezávislé. To znamená, že vektorový prostor všech řešení rovnice (2.14) má dimenzi nejméně 2. Ukážeme, že každé řešení u(t) rovnice (2.14) lze vyjádřit jako lineární kombinaci řešení (2.15) u(t) = c 1 e t + c 2 e 2t, t R, (2.16) a tedy funkce (2.15) tvoří bázi dvourozměrného vektorového prostoru řešení rovnice (2.14). Víme, že řešení u(t) je jednoznačně určeno počátečními hodnotami u(0) = ξ 1, u(0) = ξ 2. Máme tedy najít konstanty c 1 a c 2 v (2.16) tak, aby byly splněny tyto počáteční podmínky, tj. u(0) = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = ξ 1, u(0) = c 1 e 0 + 2c 2 e 0 = c 1 + 2c 2 = ξ 2. Oud c 1 = 2ξ 1 ξ 2, c 2 = ξ 2 ξ 1. Ukázali jsme tak, že Cauchyova úloha má řešení Předpis na pravé straně můžeme upravit na tvar ẍ 3ẋ + 2x = 0, x(0) = ξ 1, ẋ(0) = ξ 2 (2.17) u(t; 0, (ξ 1, ξ 2 )) = (2ξ 1 ξ 2 )e t + (ξ 2 ξ 1 )e 2t, t R. (2.18) u(t; 0, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 ( 2e t e 2t) + ξ 2 ( e 2t e t), t R. (2.19) Vidíme, že hledané řešení je lineární kombinací dvou lineárně nezávislých řešení v 1 (t) = 2e t e 2t, v 2 (t) = e 2t e t, t R, vyhovujících počátečním podmínkám v 1 (0) = 1, v 1 (0) = 0 a v 2 (0) = 0, v 2 (0) = 1, tj. řešení u(t; 0, (1, 0)) = 2e t e 2t, u(t; 0, (0, 1)) = e 2t e t, t R. (2.20) Tato řešení představují velice speciální a užitečný typ báze vektorového prostoru všech řešení rovnice (2.14). Jde o tzv. standardní bázi, kterou zavedeme obecně za chvíli. Známe-li totiž standardní bázi, pak řešení Cauchyovy úlohy (2.17) píšeme rovnou bez jakéhokoliv počítání koeficientů c 1 a c 2, protože příslušné koeficienty, jak je vidět ze vztahu (2.19), jsou přímo počáteční hodnoty ξ 1 a ξ 2. Báze prostoru řešení Nyní tyto úvahy, které jsme prováděli pro konkrétní rovnici, provedeme pro obecný případ rovnice 2. řádu. Vyšetřujeme Cauchyovu úlohu pro homogenní rovnici ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0, x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2. (2.21) Nechť u 1 (t), u 2 (t) jsou řešení této úlohy splňující tzv. standardní počáteční podmínky u 1 (τ) = 1, u 1 (τ) = 0 ; u 2 (τ) = 0, u 2 (τ) = 1, (2.22) tj. u 1 (t) = u(t; τ, (1, 0)), u 2 (t) = u(t; τ, (0, 1)), t I. (2.23) Pak lze každé řešení u(t; τ, ξ) úlohy (2.21) psát ve tvaru u(t; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 u(t; τ, (1, 0)) + ξ 2 u(t; τ, (0, 1)), t I. (2.24) Skutečně, u(t; τ, (ξ 1, ξ 2 )) je řešením úlohy (2.21) a splňuje počáteční podmínky u(τ; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 u 1 (τ) + ξ 2 u 2 (τ) = ξ 1, u(τ; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = ξ 1 u 1 (τ) + ξ 2 u 2 (τ) = ξ 2.

6 44 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Z rovnosti (2.24) plyne, že množina všech řešení homogenní rovnice (2.13) tvoří dvourozměrný vektorový prostor. Z lineární algebry víme, že každá dvě lineárně nezávislá řešení homogenní rovnice (2.13) tvoří tzv. bázi, nebo také fundamentální systém řešení rovnice (2.13). Nechť u 1 (t), u 2 (t) je libovolná báze řešení rovnice (2.13). Pak lze každé řešení u(t) rovnice (2.21) psát jako lineární kombinaci u(t; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t), t I. (2.25) Tuto lineární kombinaci nazýváme obecným tvarem řešení rovnice (2.13) (nebo také obecným řešením) rovnice (2.13). Hledáme-li řešení Cauchyovy úlohy (2.21) pro konkrétně zadané počáteční podmínky, musíme určit hodnoty koeficientů c 1, c 2 v (2.25) pomocí počátečních údajů τ, ξ 1 a ξ 2. Postupujeme při tom takto. Dosadíme počáteční okamžik τ do rovnosti (2.25) a do rovnosti, kterou z rovnosti (2.25) dostaneme derivováním obou jejich stran. Využijeme-li podmínek u(τ; c 1, c 2 ) = ξ 1, u(τ; c 1, c 2 ) = ξ 2, dostaneme soustavu u(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) = ξ 1, u(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) = ξ 2 (2.26) dvou lineárních algebraických rovnic, jejíž matice je tzv. Wronského matice. Dá se ukázat, že její determinant, zvaný wronskián ( ) u1 (τ), u W [u 1, u 2 ](τ) = det 2 (τ) u 1 (τ), u 2 (τ) (2.27) je nenulový pro všechna τ I. Můžeme tedy ze soustavy (2.26) jednoznačně určit koeficienty c 1, c 2 a dosadit je do (2.25), abychom dostali hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.21). Zvolíme-li za bázi prostoru řešení rovnice (2.13) funkce (2.23), pak právě popsaný postup hledání hodnot parametrů c 1, c 2 pomocí soustavy (2.26) odpadá, protože, jak vidíme z rovnosti (2.24), je c 1 = ξ 1, c 2 = ξ 2. (2.23) představují tzv. standardní bázi, nebo také standardní fundamentální systém řešení rovnice (2.13). Vztah (2.24) ukazuje, že standardní báze má mezi všemi bázemi výjimečné postavení. Všechny pojmy a tvrzení tohoto odstavce se velice přirozeně dají přenést na rovnice obecně n tého řádu. Příslušné modifikace formulací přenecháváme čtenáři. Příklady 1. Máme najít řešení Cauchyovy úlohy ẍ + 9x = 0, x(0) = 5, ẋ(0) = 6, standardní bázi prostoru řešení a vyjádřit řešení Cauchyovy úlohy pomocí standardní báze, známe-li dvě lineárně nezávislá řešení u 1 (t) = cos 3t, u 2 (t) = sin 3t, t R, příslušné rovnice. Nejdříve ukážeme, že funkce cos 3t a sin 3t jsou lineárně nezávislé. Skutečně, má-li platit rovnost c 1 cos 3t + c 2 sin 3t = 0 pro všechna t R, pak například pro t = 0 musí být c 1 = 0 a pro t = π/6 musí být c 2 = 0. Tvoří tedy funkce cos 3t a sin 3t bázi řešení a u(t, c 1, c 2 ) = c 1 cos 3t + c 2 sin 3t, t R, je obecný tvar řešení. Nejdříve najdeme řešení zadané Cauchyovy úlohy. Koeficienty c 1 a c 2 spočítáme ze soustavy u(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 = 5, u(0) = c 1 ( 3 sin 0) + c 2 3 cos 0 = 6, takže c 1 = 5, c 2 = 2 a hledaným řešením je funkce u(t; 0, (5, 6)) = 5 cos 3t 2 sin 3t, t R.

7 2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 45 Nyní najdeme standardní bázi u 1 (t) u(t; 0, (1, 0)), u 2 (t) u(t; 0, (0, 1)) a ukážeme, že platí rovnost u(t; 0, (5, 6)) = 5u 1 (t) 6u 2 (t). Abychom našli standardní bázi řešení, sestavíme soustavy rovnic u(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 = 1, u(0) = c 1 ( 3 sin 0) + c 2 3 cos 0 = 0, u(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 = 0, u(0) = c 1 ( 3 sin 0) + c 2 3 cos 0 = 1. Z první soustavy dostáváme c 1 = 1, c 2 = 0, z druhé soustavy dostáváme c 1 = 0, c 2 = 1/3. Hledanou standardní bázi tedy tvoří funkce u 1 (t) = cos 3t, u 2 (t) = 1 sin 3t, t R. 3 Vidíme, že skutečně platí u(t; 0, (5, 6)) = 5u 1 (t) 6u 2 (t) = 5 cos 3t 2 sin 3t, t R. 2. Máme najít řešení Cauchyovy úlohy ẍ t t 1 ẋ + 1 t 1 x = 0, x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2, τ, t (1, ) a standardní bázi prostoru řešení, známe-li dvě řešení příslušné rovnice. u 1 (t) = t, u 2 (t) = e t, t (1, ) Nejdříve ukážeme, že funkce t a e t jsou lineárně nezávislé. Skutečně, má-li rovnost c 1 t + c 2 e t = 0 platit pro všechna t > 1, pak například pro t = 2 a t = 4 dostáváme soustavu 2c 1 + e 2 c 2 = 0, 4c 1 + e 4 c 2 = 0, která má zcela zřejmě pouze triviální řešení c 1 = c 2 = 0. Tvoří tedy funkce t a e t bázi řešení a u(t) = c 1 t + c 2 e t, t (1, ), je obecný tvar řešení. Koeficienty c 1 a c 2 pro příslušnou Cauchyovu úlohu spočítáme ze soustavy Je takže u(τ) = c 1 τ + c 2 e τ = ξ 1, u(τ) = c 1 + c 2 e τ = ξ 2. c 1 = 1 τ 1 (ξ 1 ξ 2 ), c 2 = e τ τ 1 (τξ 2 ξ 1 ), u(t; τ, (ξ 1, ξ 2 )) = 1 τ 1 (ξ 1 ξ 2 )t + e τ τ 1 (τξ 2 ξ 1 )e t = Hledanou standardní bázi řešení tvoří funkce t e t τ = ξ 1 τ 1 + ξ τe t τ t 2, t > 1. τ 1 u 1 (t; τ, (1, 0)) = t et τ τ 1, u 2(t; τ, (0, 1)) = τet τ t, t > 1. τ 1

8 46 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Lineární diferenciální rovnice n tého řádu s konstantními koeficienty Nyní se budeme zabývat homogenní lineární diferenciální rovnicí n tého řádu s konstantními koeficienty x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = 0, (2.28) kde všechny koeficienty a n 1,, a 1, a 0 jsou reálné konstanty. Podle definičního vztahu (2.10) je funkce u(t) řešením rovnice (2.28) na intervalu I právě tehdy, když splňuje rovnost u (n) (t) + a n 1 u (n 1) (t) + + a 1 u(t) + a 0 u(t) = 0 pro všechna t I. (2.29) Z této rovnosti vidíme, že funkce u(t) a její derivace jsou lineárně závislé. Takovou vlastnost má exponenciální funkce. Pokusíme se proto hledat řešení rovnice (2.28) ve tvaru exponenciální funkce Do vztahu (2.29) dosadíme derivace funkce (2.30) a dostaneme rovnost u(t) = e λt, t R. (2.30) λ n e λt + a n 1 λ n 1 e λt + + a 1 λe λt + a 0 e λt = 0. Po zkrácení nenulovým faktorem e λt dostaneme algebraickou rovnici n tého stupně λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0. (2.31) Vidíme, že funkce (2.30) vyhovuje podmínce (2.29) právě tehdy, když číslo λ je kořenem algebraické rovnice (2.31). Rovnice (2.31) se nazývá charakteristická rovnice, polynom na levé straně rovnice (2.31) se nazývá charakteristický polynom a kořeny charakteristického polynomu se nazývají charakteristické hodnoty rovnice (2.28). Z algebry víme, že algebraická rovnice n tého stupně s reálnými koeficienty má n kořenů, které mohou být jak reálné tak i komplexní, jednoduché nebo vícenásobné. Přitom platí, že když komplexní číslo λ = σ+iω je k násobným kořenem, pak také číslo komplexně sdružené λ = σ iω je k násobným kořenem. Nyní popíšeme tvar řešení rovnice (2.28) pro jednotlivé typy charakteristických hodnot. Je-li charakteristická hodnota λ reálné číslo, pak funkce (2.30) je řešením rovnice (2.28). Je-li charakteristická hodnota λ = σ + iω komplexní, pak funkce u(t) = e λt = e (σ+iω)t = e σt cos ωt + ie σt sin ωt, t R, (2.32) vyhovuje sice podmínce (2.29), ale není řešením rovnice (2.28), jelikož je to komplexní funkce. Abychom našli řešení i v tomto případě, dosadíme do vztahu (2.29) derivace funkce (2.32) u (k) (t) = dk k (eσt cos ωt) + i dk k (eσt sin ωt). Po rozdělení na reálnou a imaginární část zjistíme, že obě funkce e σt cos ωt, e σt sin ωt, t R, (2.33) splňují podmínku (2.29), a představují tedy dvě řešení rovnice (2.28) příslušející dvěma komplexně sdruženým charakteristickým hodnotám λ = σ + iω, λ = σ iω. Snadno se ukáže, že funkce (2.33) jsou lineárně nezávislé. Skutečně, má-li platit rovnost c 1 e σt cos ωt + c 2 e σt sin ωt = 0 pro všechna t R, pak po dosazení t = 0 dostaneme c 1 = 0 a po dosazení t = π/2ω dostaneme c 2 = 0, čímž je lineární nezávislost řešení (2.33) dokázána.

9 2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 47 Zbývá najít řešení pro případ vícenásobných charakteristických hodnot. Je-li λ reálná k násobná charakteristická hodnota, pak jí přísluší k lineárně nezávislých řešení u 1 (t) = e λt, u 2 (t) = te λt,..., u k (t) = t k 1 e λt, t R. (2.34) Pro důkaz tohoto tvrzení viz např. 1 věta My zde ověříme toto tvrzení pro rovnici druhého řádu. Aby rovnice ẍ + a 1 ẋ + a 0 x = 0 měla dvojnásobnou charakteristickou hodnotu λ, musí pro její koeficienty platit a 1 = 2λ, a 0 = λ 2. Podmínka (2.29) má pak tvar ü(t) 2λ u(t) + λ 2 u(t) = 0 pro všechna t R. Čtenář si přímým dosazením snadno ověří, že tuto podmínku splňuje jak funkce u(t) = e λt, tak i funkce u(t) = te λt. Důkaz lineární nezávislosti je rovněž jednoduchý, protože rovnost c 1 e λt + c 2 te λt = 0 pro všechna t R je ekvivalentní s rovností c 1 + c 2 t = 0 pro všechna t R, která je splněna pouze pro c 1 = c 2 = 0. Je-li charakteristická hodnota λ = σ + iω k násobná, pak funkce (2.34) splňují podmínku (2.29) i v tomto případě, a tedy funkce u 1 (t) = e σt cos ωt, v 1 (t) = e σt sin ωt, u 2 (t) = te σt cos ωt, v 2 (t) = te σt sin ωt, u k (t) = t k 1 e σt cos ωt, v k (t) = t k 1 e σt sin ωt, t R, (2.35) představují 2k lineárně nezávislých řešení rovnice (2.28). Důkaz tohoto tvrzení lze najít např. ve výše citovaném textu, lemma Příklady 1. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy ẍ + ẋ 2x = 0, x(0) = 2, ẋ(0) = 11. (2.36) Charakteristická rovnice λ 2 + λ 2 = 0 má dva různé reálné kořeny λ 1 = 1, λ 2 = 2. Těmto dvěma různým reálným charakteristickým hodnotám přísluší podle (2.30) dvě lineárně nezávislá řešení rovnice (2.36), a to u 1 (t) = e t, u 2 (t) = e 2t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.36) je dvouparametrický systém funkcí u(t, c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 2t, t, c 1, c 2 R. (2.37) Abychom našli řešení Cauchyovy úlohy (2.36), musíme najít hodnoty koeficientů c 1, c 2. Ty najdeme podle (2.26) jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic u(0) = c 1 e 0 + c 2 e 2 0 = 2, u(0) = c 1 e 0 2c 2 e 2 0 = 11, takže c 1 = 5, c 2 = 3. Nalezené konstanty dosadíme do (2.37) a dostaneme hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.36). Je to funkce u(t; 0, (2, 11)) = 5e t 3e 2t, t R. 1 Nagy, J.: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, SNTL Praha, 1978

10 48 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 2. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy ẍ 4ẋ + 4x = 0, x(τ) = 1, ẋ(τ) = 0. (2.38) Charakteristická rovnice λ 2 4λ + 4 = 0 má jeden dvojnásobný reálný kořen λ 1 = λ 2 = 2. Této reálné charakteristické hodnotě přísluší podle (2.34) dvě lineárně nezávislá řešení rovnice (2.38), a to u 1 (t) = e 2t, u 2 (t) = te 2t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.38) je dvouparametrický systém funkcí u(t, c 1, c 2 ) = c 1 e 2t + c 2 te 2t, t, c 1, c 2 R. (2.39) Abychom našli řešení Cauchyovy úlohy (2.38), musíme najít hodnoty koeficientů c 1, c 2. Ty najdeme podle (2.26) jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic u(0) = c 1 e 2τ + c 2 τe 2τ = 1, u(0) = 2c 1 e 2τ + c 2 (1 + 2τ)e 2τ = 0, takže c 1 = (1 + 2τ)e 2τ, c 2 = 2e 2τ. Nalezené konstanty dosadíme do (2.39) a dostaneme hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.38). Je to funkce 3. Hledejme řešení Cauchyovy úlohy u(t; τ, ( 1, 0)) = [ 2(t τ) 1 ] e 2(t τ), t R. ẍ 2ẋ + 2x = 0, x(0) = ξ 1, ẋ(0) = ξ 2. (2.40) Charakteristická rovnice λ 2 2λ + 2 = 0 má dva komplexně sdružené kořeny λ 1 = 1 + i, λ 2 = 1 i. Těmto dvěma komplexně sdruženým charakteristickým hodnotám přísluší podle (2.33) dvě lineárně nezávislá řešení rovnice (2.40), a to u 1 (t) = e t cos t, u 2 (t) = e t sin t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.40) je dvouparametrický systém funkcí u(t, c 1, c 2 ) = e t (c 1 cos t + c 2 sin t), t, c 1, c 2 R. (2.41) Abychom našli řešení Cauchyovy úlohy (2.40), musíme najít hodnoty koeficientů c 1, c 2. Ty najdeme podle (2.26) jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic c 1 = ξ 1, c 1 + c 2 = ξ 2, takže c 1 = ξ 1, c 2 = ξ 2 ξ 1. Nalezené konstanty dosadíme do (2.41) a dostaneme hledané řešení Cauchyovy úlohy (2.40). Je to funkce u(t; 0, (ξ 1, ξ 2 )) = [ ξ 1 cos t + (ξ 2 ξ 1 ) sin t ] e t, t R. Úlohy Máme najít řešení Cauchyovy úlohy 1. ẍ + ẋ 2x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 3. [u(t; 0, (0, 3)) = e t e 2t, t R.] 2. ẍ + 8ẋ + 15x = 0, x(0) = 2, ẋ(0) = 2. [u(t; 0, ( 2, 2)) = 2e 5t 4e 3t, t R.] 3. ẍ 5ẋ + 6x = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 3. [u(t; 0, (1, 3)) = e 3t, t R.]

11 2.2. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ẍ + 8ẋ + 16x = 0, x(0) = 4, ẋ(0) = 0. [u(t; 0, (4, 0)) = (4 + 16t)e 4t, t R.] 5. ẍ 6ẋ + 9x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 13. [u(t; 0, (0, 13)) = 13te 3t, t R.] 6. ẍ + x = 0, x(0) = 3, ẋ(0) = 4. [u(t; 0, (3, 4)) = 3 cos t + 4 sin t, t R.] 7. ẍ + 4x = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 4. [u(t; 0, (1, 4)) = cos 2t 2 sin 2t, t R.] 8. ẍ + 6ẋ + 13x = 0, x(0) = 0, ẋ(0) = 2. [u(t; 0, (0, 2)) = e 3t sin 2t, t R.] 9. ẍ 2ẋ + 5x = 0, x(π/2) = 0, ẋ(π/2) = 1. [u(t; π/2, (0, 1)) = 1 2 et π/2 sin 2t, t R.] Snižování řádu rovnice Popis metody V předchozích úvahách jsme úlohu řešit homogenní rovnici převedli na úlohu najít bázi řešení této rovnice. Pro hledání báze řešení neexistují, bohužel, žádné obecné metody. Známe-li však jedno netriviální řešení homogenní rovnice 2. řádu, můžeme tuto rovnici převést na rovnici 1. řádu. Používá se k tomu algoritmus snižování řádu rovnice, který nyní popíšeme. Nechť v(t) je známé nenulové řešení homogenní rovnice ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0. (2.42) V této rovnici provedeme záměnu proměnné x za novou proměnnou y pomocí vztahu Dostaneme rovnost a po zřejmé úpravě x = v(t)y. (2.43) v(t)y + 2 v(t)ẏ + v(t)ÿ + a 1 (t)[ v(t)y + v(t)ẏ] + a 0 (t)v(t)y = 0, v(t)ÿ + [2 v(t) + a 1 (t)v(t)]ẏ + [ v(t) + a 1 (t) v(t) + a 0 (t)v(t)]y = 0. Podle předpokladu je funkce v(t) řešením homogenní rovnice, a tedy koeficient u y je roven nule. Dostali jsme tak rovnici ÿ + 2 v(t) + a 1(t)v(t) ẏ = 0. v(t) Provedeme v ní další záměnu proměnné y za novou proměnnou z, která vede na rovnici 1. řádu m této rovnice je funkce z(t) = exp ż + 2 v(t) + a 1(t)v(t) v(t) ẏ = z, (2.44) z = 0. ( ) 2 v(t) + a1 (t)v(t), t I. (2.45) v(t) Vrátíme-li se nyní přes transformace (2.44), (2.43), můžeme psát y(t) = z(t), x(t) = v(t)y(t), t I. (2.46) v(t) a x(t) jsou lineárně nezávislá. Tvoří bázi řešení homogenní rovnice (2.42). Příklady

12 50 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU 1. Máme najít bázi řešení rovnice ẍ známe-li jedno její řešení u(t) = e t, t > 1. t t 1 ẋ + 1 t 1 x = 0, t > 1, V rovnici provedeme transformaci proměnné x = e t y. Po dosazení a jednoduchých úpravách dostaneme rovnici ( ÿ ) ẏ = 0. t 1 Další transformace proměnné z = ẏ vede na rovnici 1. řádu ( ż ) z = 0, t 1 mající řešení [ ( z(t) = exp 1 1 ) ] = e t+ln(t 1) = (t 1)e t, t > 1. t 1 Pak y(t) = z(t) = (t 1)e t = te t, t > 1. Konečně, hledané druhé řešení je x(t) = e t y(t) = e t ( te t ) = t, t > 1. Hledanou bázi řešení pak tvoří například funkce e t a t, t > Jako příklad ukažme, jak se dá snížit řád rovnice 3. řádu na rovnici 1. řádu, známe-li dvě lineárně nezávislá řešení. Budeme hledat bázi řešení lineární diferenciální rovnice... x + a 2 (t)ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0, t I, (2.47) známe-li dvě lineárně nezávislá řešení v 1 (t) > 0 a v 2 (t) > 0. Substitucí x = yv 1, a tedy ẋ = ẏv 1 + y v 1, ẍ = ÿv 1 + 2ẏ v 1 + y v 1,... x =... y v 1 + 3ÿ v 1 + 3ẏ v y v 1 převedeme rovnici (2.47) na rovnici v 1... y + (3 v 1 + a 2 v 1 )ÿ + (3 v 1 + 2a 2 v 1 + a 1 v 1 )ẏ + (... v 1 + a 2 v 1 + a 1 v 1 + a 0 v 1 )y = 0. Vidíme, že koeficient u y je nulový, neboť funkce v 1 je řešením rovnice (2.47). Nyní substitucí z = ẏ dostáváme rovnici z + 3 v 1 + a 2 v 1 ż + 3 v 1 + 2a 2 v 1 + a 1 v 1 z = 0. (2.48) v 1 v 1 Jelikož je y = x, je z(t) = ẏ(t) = d ( ) x(t), takže z dvou známých řešení v 1 (t) a v 2 (t) zadané v 1 v 1 (t) rovnice můžeme sestavit jedno řešení rovnice (2.48), a to w(t) = d ( ) v2 (t). v 1 (t) V rovnici (2.48) provedeme opět substituci z = wu, ż = ẇu + w u, z = ẅu + 2ẇ u + wü a po jednoduché úpravě dostaneme rovnici ( 2ẇ ü + w + 3 v ) 1 + a 2 v 1 u = 0. v 1

13 2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 51 Oud pomocí substituce q = u dostaneme lineární diferenciální rovnici 1. řádu ( q + 2 ẇ w + 3 v ) 1 + a 2 v 1 q = 0, v 1 jejímž řešením je například funkce q(t) = 1 w 2 (t)v1 3(t) e a 2(t). Převedeme nyní toto nalezené řešení q na hledané třetí řešení x(t) rovnice (2.47) pomocí zpětných substitucí. Je (vynecháváme drobnější úpravy) u(t) = q(t), z(t) = w(t)u(t) = d ( ) v2 (t) v 1 (t) q(t), y(t) = z(t) = v 2(t) v 1 (t) v2 (t) q(t) q(t), v 1 (t) x(t) = v 1 (t)y(t) = v 2 (t) v2 (t) q(t) v 1 (t) q(t). v 1 (t) 2.3 Nehomogenní lineární diferenciální rovnice Klíčová slova: obecný tvar řešení nehomogenní rovnice, partikulární řešení, kvázipolynomiální pravá strana, metoda odhadu, metoda variace konstant Struktura prostoru řešení nehomogenní rovnice Struktura řešení Naše úvahy budeme provádět nejdříve pro rovnice 2. řádu. Nechť u 1 (t) a u 2 (t) je libovolný fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu Pak kromě jiného platí rovnosti ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = 0. (2.49) ü 1 (t) + a 1 (t) u 1 (t) + a 0 (t)u 1 (t) = 0, ü 2 (t) + a 1 (t) u 2 (t) + a 0 (t)u 2 (t) = 0. (2.50) Z rovnosti (2.25) víme, že každé řešení této rovnice má tvar u(t; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t), kde c 1 a c 2 jsou vhodné reálné konstanty. S podobnou situací se setkáváme i u nehomogenní rovnice ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), t I. (2.51) Množina všech řešení nehomogenní rovnice (2.51) netvoří sice vektorový prostor, (nepatří do ní např. nulová funkce, protože nehomogenní rovnice nemá triviální řešení), přesto však zde jistá analogie s homogenní rovnicí je. Je-li totiž w(t) jedno libovolné řešení nehomogenní rovnice (2.51), pak každé její řešení v(t) lze psát ve tvaru v(t; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t) + w(t), t I, (2.52) kde c 1 a c 2 jsou reálné konstanty. Důkaz tohoto tvrzení je obdobný jako u každé lineární rovnice. Dosazením do rovnice (2.51) se snadno přesvědčíme, že (2.52) je řešením. Dále nechť je v(t) libovolné řešení rovnice (2.51). Pak rozdíl v(t) w(t) je řešením homogenní rovnice, a tedy existují konstanty c 1, c 2 R takové, že v(t) w(t) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 2 (t).

14 52 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Nyní stačí psát v(t) = v(t; c 1, c 2 ). Funkci (2.52) nazýváme obecným tvarem řešení (také obecným řešením) nehomogenní rovnice (2.52). Ukažme, že pro jakkoli zvolené počáteční údaje τ, ξ 1, ξ 2 lze určit hodnoty koeficientů c 1 a c 2 tak, že příslušná funkce v(t) bude řešením Cauchyovy úlohy ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), x(τ) = ξ 1, ẋ(τ) = ξ 2. (2.53) Podobně jako jsme postupovali u homogenní rovnice, i nyní vytvoříme pomocí počátečních údajů τ, ξ 1, ξ 2 a rovnosti (2.52) soustavu dvou lineárních algebraických rovnic v(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) + w(τ) = ξ 1, v(τ; c 1, c 2 ) = c 1 u 1 (τ) + c 2 u 2 (τ) + ẇ(τ) = ξ 2, jejíž matice je opět, jako v případě homogenní rovnice, Wronského matice, a je tedy regulární. Z této soustavy můžeme nyní jednoznačně vyjádřit hledané hodnoty koeficientů c 1 a c 2 a dosadit je do (2.52). Všechny pojmy a tvrzení tohoto odstavce se velice přirozeně dají přenést na lineární diferenciální rovnice obecně n tého řádu. Příslušné modifikace formulací přenecháváme čtenáři Metoda odhadu Metoda odhadu pro b(t) = Q r (t)e σt V předchozím odstavci jsme ukázali, že k získání obecného tvaru řešení nehomogenní rovnice potřebujeme znát jedno její konkrétní (říká se také partikulární) řešení. Nyní popíšeme metodu odhadu tvaru řešení, která umožňuje pro jistou poměrně rozsáhlou a z hlediska praktického použití významnou třídu pravých stran takové řešení najít. Jde o pravé strany vytvořené jako součty součinů funkcí t k, e σt, sin ωt a cos ωt. Takové funkce nazýváme kvázipolynomy a mluvíme pak o diferenciální rovnici s kvázipolynomiální pravou stranou. Budeme hledat partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n tého řádu s konstantními koeficienty x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e σt, (2.54) kde všechny koeficienty a n 1,, a 1, a 0 jsou reálné konstanty, Q r (t) je polynom stupně r. Důležitou roli při hledání odhadu tvaru partikulárního řešení hraje exponent σ exponenciální funkce na pravé straně. Tvar odhadu totiž závisí na tom, zda toto číslo σ je či není charakteristickou hodnotou příslušné homogenní rovnice. V případě, že je charakteristickou hodnotou, závisí na její násobnosti. V dalším textu budeme v této souvislosti říkat, že číslo σ je k násobná charakteristická hodnota, přičemž v případě, že σ není charakteristickou hodnotou, klademe k = 0. V souladu s definicí (2.10) je reálná funkce w(t) řešením rovnice (2.54) právě tehdy, když splňuje rovnost w (n) (t) + a n 1 w (n 1) (t) + + a 1 ẇ(t) + a 0 w(t) = Q r (t)e σt pro všechna t R. (2.55) Dosadíme-li do levé strany diferenciální rovnice (2.54) za x a jeho derivace funkci t j e σt a její derivace, dostaneme pro j < k nulovou funkci a pro j k funkci tvaru p(t)e σt, kde p(t) je polynom stupně j k. Můžeme tedy partikulární řešení rovnice (2.54) hledat ve tvaru w(t) = t k R(t)e σt, t R, (2.56) kde R(t) je polynom stupně r, jehož koeficienty můžeme najít např. metodou neurčitých koeficientů. Analogicky postupujeme i při řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice n tého řádu s konstantními koeficienty x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = s Q rj (t)e σjt, (2.57) j=1

15 2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 53 kde Q rj (t), j = 1, 2,..., s, je polynom stupně r j a σ j je k j násobná charakteristická hodnota. V tomto případě můžeme úlohu (2.57) převést na s úloh typu (2.55). Snadno se totiž ověří, že pro lineární rovnice platí toto tvrzení: Jsou-li funkce w j (t) pro j = 1, 2,..., s řešeními rovnice x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = g j (t), j = 1, 2,..., s, (2.58) pak funkce w(t) = w 1 (t) + w 2 (t) + + w s (t) je řešením rovnice x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = g 1 (t) + g 2 (t) + + g s (t). (2.59) Tato vlastnost lineárních rovnic se také nazývá princip superpozice. Podle tohoto tvrzení stačí najít pro každé j = 1, 2,..., s řešení w j (t) rovnice (2.55) s Q r (t)e σt = Q rj (t)e σjt a součet w 1 (t) + w 2 (t) + + w s (t) takto nalezených řešení bude řešením rovnice (2.57). Často však postupujeme při výpočtu tak, že i řešení rovnice (2.57) hledáme najednou ve tvaru w(t) = t k1 R 1 (t)e σ1t + t k2 R 2 (t)e σ2t + + t ks R s (t)e σst, t R, (2.60) kde R j (t) je polynom stupně r j a σ j je k j násobná charakteristická hodnota. Příklady 1. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ + 2ẋ + x = te t. (2.61) Hledáme obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.54). Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 2 + 2λ + 1 = 0 má dvojnásobný kořen λ = 1, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi e t, te t. Jelikož koeficient σ = 1 v exponentu pravé strany je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení w(t) podle (2.56) ve tvaru Vypočteme první a druhou derivaci w(t) = t 2 (at + b)e t = (at 3 + bt 2 )e t. (2.62) ẇ(t) = (2bt + 3at 2 bt 2 at 3 )e t, ẅ(t) = (2b + 6at 4bt 6at 2 + bt 2 + at 3 )e t a dosadíme do rovnice (2.61). Po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (2b + 6at)e t = te t. Oud porovnáním koeficientů u stejných funkcí dostaneme rovnice 6a = 1, 2b = 0. Je tedy a = 1 6, b = 0. Dosadíme do (2.62) a dostaneme partikulární řešení w(t) = 1 6 t3 e t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.61) je tedy dvouparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 te t t3 e t, t, c 1, c 2 R. 2. Máme najít obecný tvar řešení rovnice... x 2ẋ + 4x = te 2t. (2.63)

16 54 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU Hledáme obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.54). Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 3 2λ+4 = 0 má tři jednoduché kořeny λ 1 = 2, λ 2 = 1+i, λ 3 = 1 i, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi e 2t, e t cos t, e t sin t. Jelikož koeficient σ = 2 v exponentu pravé strany je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení w(t) podle (2.56) ve tvaru w(t) = t(at + b)e 2t = (at 2 + bt)e 2t. (2.64) Vypočteme první, druhou a třetí derivaci funkce w(t) a dosadíme do rovnice (2.63). Po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (20at 12a + 10b)e 2t = te 2t. Zkrátíme exponenciální funkcí a porovnáme koeficienty u stejných mocnin. Dostaneme rovnice 12a 10b = 0, 20a = 1. Je tedy a = 1 20, b = 3. Dosadíme do (2.64) a dostaneme partikulární řešení 50 w(t) = (6t + 5t2 )e 2t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.63) je tedy tříparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2, c 3 ) = c 1 e 2t + c 2 e t cos t + c 3 e t sin t (6t + 5t2 )e 2t, t, c 1, c 2, c 3 R. 3. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ ẋ = e t + e 2t + t. (2.65) Hledáme obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.57) s s = 3, r 1 = r 2 = 0, r 3 = 1, σ 1 = 1, σ 2 = 2, σ 3 = 0. Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ 2 λ = 0 má kořeny λ 1 = 0, λ 2 = 1, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi 1 a e t. Exponenty σ 1 = 1 a σ 3 = 0 jsou jednoduchými charakteristickými hodnotami, takže partikulární řešení w(t) hledáme podle (2.60) ve tvaru w(t) = tae t + be 2t + t(ct + d). (2.66) Vypočteme první a druhou derivaci funkce w(t) a dosadíme do rovnice (2.65). Po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (a 1)e t + (2b 1)e 2t (2c + 1)t d + 2c = 0. (2.67) Jelikož funkce e t, e 2t, t, 1 jsou lineárně nezávislé, musí být koeficienty v lineární kombinaci (2.67) vesměs nulové. Je tedy a = 1, b = 1 2, c = 1, d = 1. Dosadíme do (2.66) a dostaneme partikulární 2 řešení w(t) = te t e2t 1 2 t2 t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.65) je tedy dvouparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2 ) = c 1 + c 2 e t + te t e2t 1 2 t2 t, t, c 1, c 2 R. Úlohy 1. Uveďte, v jakém tvaru budete hledat partikulární řešení následujících rovnic. (a) ẍ 5ẋ + 6x = 3t 3 + 8t. [w(t) = at 3 + bt 2 + ct + d.] (b) ẍ 3ẋ + 2x = te 2t + e t. [w(t) = t(at + b)e 2t + ce t.] (c)... x + ẍ = 1 2t + te t. [w(t) = t 2 (at + b) + t(ct + d)e t.]

17 2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 55 (d)... x + 2ẍ + ẋ = 1 + 2t 2 e t. [w(t) = at + (bt 2 + ct + d)e t.] (e)... x 3ẍ + 3ẋ x = (1 t)e t + 2. [w(t) = t 3 (at + b)e t + c.] 2. Máme najít obecný tvar řešení následujících rovnic. (a) ẍ 3ẋ + 2x = 2t [ v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 2t + 1 ] 4 (4t3 + 18t t 15), t, c 1, c 2 R. (b) ẍ 4ẋ + 4x = 3e 2t + e t + 1. [ v(t; c 1, c 2 ) = (c 1 + c 2 t)e 2t t2 e 2t e t + 1 ] 4, t, c 1, c 2 R. (c) ẍ + x = 2t 3 t + 2 2e t [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + 2t 3 13t + 2 e t, t, c 1, c 2 R.] (d)... x 3ẋ + 2x = (4t 2 + 4t 10)e t. [v(t; c 1, c 2, c 3 ) = (c 1 + c 2 t)e t + c 3 e 2t + (t 2 + t 1)e t, t, c 1, c 2, c 3 R.] (e)... x 6ẍ + 11ẋ 6x = 12t 2 e 3t e 2t. [v(t; c 1, c 2, c 3 ) = c 1 e t + c 2 e 2t + c 3 e 3t + (2t 3 9t t)e 3t + te 2t, t, c 1, c 2, c 3 R.] 3. Nalezněte řešení následujících Cauchyových úloh. (a) ẍ ẋ = 2(1 t), x(0) = 1, ẋ(0) = 1. (b) ẍ + ẋ = 2t 3, x(0) = 0, ẋ(0) = 1. [u(t; 0, (1, 1)) = e t + t 2, t R.] [u(t; 0, (0, 1)) = 6(1 e t ) + t 2 5t, t R.] (c) ẍ + 6ẋ + 9x = (2t + 1)e t, x(0) = 5, ẋ(0) = 1 8. [u(t; 0, (5, 1 8 )) = e 3t (5 + 15t) tet, t R.] (d) ẍ 2ẋ = (t 2 + t 3)e t, x(0) = ẋ(0) = 2. [u(t; 0, (2, 2)) = e 2t (t 2 + t 1)e t, t R.] [ ] (e) ẍ 4x = 4e 2t, x(0) = ẋ(0) = 0. u(t; 0, (0, 0)) = te 2t sinh 2t, t R. 2 (f) ẍ + x = t 3 + 6t + e t, x(0) = ẋ(0) = 0. [ u(t; 0, (0, 0)) = t ( sin t cos t + e t ) ], t R. 2 (g)... x ẋ = 6 3t 2, x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 1. [u(t; 0, (1, 1, 1)) = t 3 + e t, t R.] Metoda odhadu pro b(t) = Q r (t) cos ωt Postupem popsaným výše můžeme hledat také partikulární řešení rovnice resp. x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t) cos ωt, (2.68) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t) sin ωt, (2.69) kde Q r je polynom r tého stupně a ω je libovolné reálné číslo. Vyjdeme-li z rovnosti Q r (t)e iωt = Q r (t) cos ωt + iq r (t) sin ωt, (2.70) pak vidíme, že pravá strana rovnice (2.68), resp. (2.69) je reálná, resp. imaginární složka funkce (2.70). Nalezneme-li komplexní funkci z(t), která vyhovuje rovnici x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e iωt, (2.71)

18 56 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU pak reálná, resp. imaginární složka funkce z(t) bude řešením rovnice (2.68), resp. (2.69). Přitom funkci z(t) hledáme ve tvaru z(t) = t k R(t)e iωt, t R, (2.72) kde R(t) je polynom stupně r, jehož komplexní koeficienty můžeme najít např. metodou neurčitých koeficientů a k je násobnost čísla iω jako kořene charakteristické rovnice. rovnice (2.68) i rovnice (2.69) má tvar kde R 1 (t), R 2 (t) jsou vhodné polynomy. Analogicky postupujeme i v případě rovnice w(t) = R 1 (t) cos ωt + R 2 (t) sin ωt, (2.73) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e σt cos ωt, (2.74) resp. V těchto případech hledáme řešení ve tvaru x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = Q r (t)e σt sin ωt. (2.75) z(t) = t k R(t)e (σ+iω)t, t R, (2.76) kde R(t) je opět polynom stupně r, jehož komplexní koeficienty můžeme najít např. metodou neurčitých koeficientů a k je násobnost čísla σ + iω jako kořene charakteristické rovnice. Pro řešení rovnic tohoto typu platí následující tvrzení. Nechť je dána nehomogenní lineární diferenciální rovnice x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 ẋ + a 0 x = P r (t)e σt cos ωt + Q s (t)e σt sin ωt, (2.77) kde P r (t), resp. Q s (t) je polynom s reálnými koeficienty stupně r, resp. s, čísla σ, ω jsou reálná, ω 0, číslo σ + iω je k násobným kořenem charakteristické rovnice. Pak rovnice (2.77) má řešení ve tvaru w(t) = R 1 (t)t k e σt cos ωt + R 2 (t)t k e σt sin ωt, (2.78) kde R 1 (t), R 2 (t) jsou polynomy s reálnými koeficienty, jejichž stupeň je roven většímu ze stupňů r, s polynomů P r (t), Q s (t). Příklady 1. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ + x = sin t. (2.79) Máme najít obecný tvar řešení nehomogenní rovnice s kvázipolynomiální pravou stranou typu (2.69). Nejdříve najdeme fundamentální systém řešení příslušné homogenní rovnice. Charakteristická rovnice λ = 0 má dva komplexně sdružené kořeny λ 1 = i, λ 2 = i, a tedy fundamentální systém je tvořen funkcemi cos t, sin t. Jelikož koeficient iω = i v exponentu pravé strany je kořenem charakteristické rovnice, hledáme partikulární řešení jako imaginární část komplexní funkce z(t) podle (2.76) ve tvaru z(t) = ate it, (2.80)

19 2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 57 vyhovující rovnici ẍ + x = e it. (2.81) Vypočteme první a druhou derivaci funkce z(t) a dosadíme do rovnice (2.81). Po jednoduché úpravě zjistíme, že musí platit a = i/2. Je tedy z(t) = i t 2 eit = t 2 sin t i t 2 cos t, t R. Partikulárním řešením rovnice (2.79) je imaginární složka funkce z(t), tj. funkce w(t) = t 2 cos t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.79) je tedy dvouparametrický systém funkcí v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t t 2 cos t, t, c 1, c 2 R. w(t) jsme mohli hledat také přímo v reálném tvaru w(t) = at cos t + bt sin t. Po dosazení ẅ(t) a w(t) do rovnice (2.79) za ẍ a x a po jednoduché úpravě dostaneme rovnost (1 + 2a) sin t 2b cos t = 0 pro všechna t R. Protože funkce sin t a cos t jsou lineárně nezávislé, musí platit 1 + 2a = 0, 2b = 0, takže opět dostáváme w(t) = (t/2) cos t. 2. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ + x = (4t + 2) cos t + 6 sin t. (2.82) rovnice (2.82) můžeme hledat buď pomocí principu superpozice tak, že hledáme řešení rovnic typu (2.68), resp. (2.69) pro každého sčítance na pravé straně zvlášť, nebo ho hledáme jako pro rovnici (2.77) podle vzorce (2.78) ve tvaru w(t) = t(at + b) cos t + t(ct + d) sin t. Dosadíme-li hodnoty w(t) a ẅ(t) do rovnice (2.82) za x a ẍ, dostaneme po jednoduché úpravě rovnost 4(c 1)t cos t + 2(a + d 1) cos t 4at sin t + (2c 2b 6) sin t = 0 pro všechna t R. Funkce t cos t, cos t, t sin t, sin t jsou lineárně nezávislé, takže koeficienty lineární kombinace musí být rovny nule. Oud plyne a = 0, b = 2, c = d = 1. w(t) má tedy tvar Hledaný obecný tvar řešení je pak w(t) = (t 2 + t) sin t 2t cos t, t R. v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + (t 2 + t) sin t 2t cos t, t, c 1, c 2 R. 3. Máme najít obecný tvar řešení rovnice ẍ 3ẋ + 2x = 10e t cos 2t. (2.83) Obecný tvar řešení homogenní rovnice je c 1 e t + c 2 e 2t. Partikulární řešení w(t) hledáme podle (2.72) jako reálnou složku komplexní funkce z(t) = ae (1+2i)t, (2.84)

20 58 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU kde a je nějaké komplexní číslo, které dostaneme tak, že do rovnice (2.83) dosadíme hodnoty w(t), ẇ(t), ẅ(t) za x, ẋ, ẍ. Standardním postupem tak dostaneme a = 2 + i. Je tedy takže z(t) = ( 2 + i)e (1+2i)t = e t (2 cos 2t + sin 2t) ie t (2 sin 2t cos 2t), Hledaný obecný tvar řešení rovnice (2.83) je w(t) = e t (2 cos 2t + sin 2t), t R. v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 2t e t (2 cos 2t + sin 2t), t R. Úlohy 1. Uveďte, v jakém tvaru budete hledat partikulární řešení následujících rovnic; zde Rz, resp. Iz je reálná, resp. imaginární, část komplexního čísla z. (a) ẍ + 4ẋ + 3x = e t cos t + 5 sin 3t. [w(t) = R(pe ( 1+i)t ) + I(qe 3it ) = ae t cos t + be t sin t + c cos 3t + d sin 3t.] (b) ẍ + 6ẋ + 10x = e 3t + 2e 3t cos t. [w(t) = R ( pe 3t + tqe (3+i)t) = ae 3t + bte 3t cos t + cte 3t sin t.] (c)... x + 4ẍ + 5ẋ + 2x = e t cos 2t + te 2t sin t. [ ] w(t) = R(pe ( 1+2i)t ) + I((qt + r)e ( 2+i)t ) = = ae t cos 2t + be t sin 2t + (ct + d)e 2t sin t + (ft + g)e 2t cos t. (d)... x + 2ẍ + ẋ = sin 2 t + e t cosh t. [w(t) = R(pt + qe 2t + re 2it ) = at + be 2t + c sin 2t + d cos 2t.] 2. Máme najít obecný tvar řešení následujících rovnic. (a) ẍ + x = 6 sin 2t. (b) ẍ + 4x = sin 2t. (c) ẍ x = 2 sin t 4 cos t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t 2 sin 2t, t, c 1, c 2 R.] [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos 2t + c 2 sin 2t 1 4 t cos 2t, t, c 1, c 2 R.] [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e t + 2 cos t sin t, t, c 1, c 2 R.] (d) ẍ x = cos 2 t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e t 1 10 (cos 2t + 5), t, c 1, c 2 R.] (e) ẍ + x = cos t + cos 2t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t (3t sin t 2 cos 2t), t, c 1, c 2 R.] (f) ẍ + x = 2 sin t + 4t cos t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 cos t + c 2 sin t + t 2 sin t, t, c 1, c 2 R.] (g) ẍ + 9x = 32(1 + t) sin t + 12 sin 3t + 6 cos 3t. [ v(t; c1, c 2 ) = c 1 cos 3t + c 2 sin 3t + 4(1 + t) sin t cos t+ +t sin 3t 2t cos 3t, t, c 1, c 2 R. (h) ẍ 4x = (4 4t)e t cos t (2t + 6)e t sin t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e 2t + c 2 e 2t + te t cos t + e t sin t, t, c 1, c 2 R.] (i) ẍ 2ẋ + 2x = 2e t cos t 4te t sin t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t cos t + c 2 e t sin t + t 2 e t cos t, t, c 1, c 2 R.] (j) ẍ + 4ẋ + 5x = e 2t (1 + 2 cos t) + e t (3 5t) sin t + 32t 2 cos t. [ v(t; c1, c 2 ) = e 2t (c 1 cos t + c 2 sin t) + e 2t (1 + t sin t) + e t (2t 4) cos t e t (t 1) sin t + (4t 2 4t + 1) cos t + (4t 2 8t + 5) sin t, t, c 1, c 2 R. (k) ẍ + 5ẋ + 4x = 32 cos 4t + 8 sin 4t + 3t sin t + 5(t + 1) cos t. [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 e 4t + sin 4t cos 4t + t sin t + cos t, t, c 1, c 2 R.] (l)... x + 2ẍ + 5ẋ = e t (4 sin 2t 8 cos 2t). [v(t; c 1, c 2 ) = c 1 + e t (c 2 cos 2t + c 3 sin 2t) + te t cos 2t, t, c 1, c 2, c 3 R.] ] ]

21 2.3. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 59 (m)... x 3ẍ + 3ẋ x = 6e t + t sin t. [ v(t; c1, c 2 ) = e t (c 1 + c 2 t + c 3 t 2 ) + t 3 e t t 3 9t 2 36t sin t cos t, t, c 1, c 2, c 3 R. 3. Nalezněte řešení následujících Cauchyových úloh. (a) ẍ + x = 6 sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 4. (b) ẍ + 4x = 2 cos 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 4. (c) ẍ + 9x = 5 cos 3t, x(0) = 2, ẋ(0) = 1. (d) ẍ + 4x = sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 0. (e) ẍ + x = cos t + sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = 0. (f) ẍ + x = sin 2t, x(0) = 0, ẋ(0) = Metoda variace konstant [u(t; 0, (0, 4)) = 2 sin 2t, t R.] [u(t; 0, (0, 4)) = 1 2 (t + 4) sin 2t, t R.] [u(t; 0, (2, 1)) = 2 cos 3t 1 3 sin 3t + 5 6t sin 3t, t R.] [u(t; 0, (0, 0)) = 1 8 (sin 2t 2t cos 2t), t R.] [u(t; 0, (0, 0)) = 1 6 ((3t + 4) sin t 2 sin 2t), t R.] [u(t; 0, (0, 0)) = 1 3 (2 sin t sin 2t), t R.] V předchozích odstavcích jsme ukázali, jak se dá najít partikulární řešení nehomogenní rovnice v případě, že pravá strana je kvázipolynom. Nyní popíšeme metodu variace konstant, která umožňuje takové řešení najít i v některých obecnějších případech. Z metodických důvodů budeme tento algoritmus popisovat pro rovnici 3. řádu... x + a 2 (t)ẍ + a 1 (t)ẋ + a 0 (t)x = b(t), (2.85) kde předpokládáme, že všechny koeficienty a k (t) i pravá strana b(t) jsou definované a spojité na nějakém intervalu I. Vycházíme z předpokladu, že funkce u 1 (t), u 2 (t) a u 3 (t) tvoří bázi řešení příslušné homogenní rovnice, tj. že kromě jiného platí... u k (t) + a 2 (t)ü k (t) + a 1 (t) u k (t) + a 0 (t)u k (t) = 0 pro všechna t I, k = 1, 2, 3. (2.86) Partikulární řešení w(t) rovnice (2.86) budeme hledat ve tvaru ] w(t) = c 1 (t)u 1 (t) + c 2 (t)u 2 (t) + c 3 (t)u 3 (t), t I, (2.87) kde c 1 (t), c 2 (t), c 3 (t) jsou funkce, které máme najít. Pro tyto tři neznámé máme zatím jedinou podmínku, a to, aby funkce w(t) z (2.87) vyhovovala rovnici (2.86). Další dvě podmínky budeme volit tak, aby derivace funkce w(t) měly poměrně jednoduchý tvar. V další úvaze, která popisuje vlastní algoritmus výpočtu, budeme vynechávat označení proměnné t. V derivaci v = c 1 u 1 + c 2 u 2 + c 3 u 3 + ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 položíme všude v I. Analogicky v druhé derivaci ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0 (2.88) položíme všude v I. Nyní spočteme ještě třetí derivaci v = c 1 ü 1 + c 2 ü 2 + c 3 ü 3 + ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0 (2.89)... v = c 1... u 1 + c 2... u 2 + c 3... u 3 + ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3

22 60 KAPITOLA 2. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE N TÉHO ŘÁDU a dosadíme v, v, v,... v do (2.85) za x, ẋ, ẍ,... x. Po jednoduché úpravě dostaneme c 1 (... u 1 + a 2 ü 1 + a 1 u 1 + a 0 u 1 ) + + c 2 (... u 2 + a 2 ü 2 + a 1 u 2 + a 0 u 2 ) + + c 3 (... u 3 + a 2 ü 3 + a 1 u 3 + a 0 u 3 ) + + ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3 = b(t). První tři sčítance v této rovnosti jsou vzhledem k předpokladu (2.86) nulové, takže platí všude v I. Podmínky (2.88) až (2.90) představují soustavu tří rovnic ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3 = b(t) (2.90) ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0, ċ 1 u 1 + ċ 2 u 2 + ċ 3 u 3 = 0, ċ 1 ü 1 + ċ 2 ü 2 + ċ 3 ü 3 = b(t) (2.91) pro derivace hledaných funkcí. Determinant matice této soustavy je wronskián lineárně nezávislých řešení u 1 (t), u 2 (t), u 3 (t), a je tedy nenulový, takže ze soustavy (2.91) můžeme jednoznačně určit funkce ċ 1 (t), ċ 2 (t), ċ 3 (t). Oud integrací dostaneme hledané koeficienty funkce w(t) z (2.87). Příklady 1. Máme najít partikulární řešení w(t) rovnice ẍ 2ẋ + x = et 1 + t 2. (2.92) Charakteristická rovnice λ 2 2λ + 1 = 0 má jeden dvojnásobný reálný kořen λ 1 = λ 2 = 1. Této reálné charakteristické hodnotě přísluší podle (2.34) dvě lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní rovnice, a to u 1 (t) = e t, u 2 (t) = te t, t R. Obecným tvarem řešení rovnice (2.92) je dvouparametrický systém funkcí Partikulární řešení w(t) hledáme ve tvaru v(t, c 1, c 2 ) = c 1 e t + c 2 te t + w(t), t, c 1, c 2 R. w(t) = c 1 (t)e t + c 2 (t)te t, t R, (2.93) kde funkce c 1 (t), c 2 (t) budeme hledat metodou variace konstant. Jejich derivace najdeme jako řešení soustavy (2.91), a tedy v našem případě jako řešení soustavy lineárních algebraických rovnic Jsou to funkce Oud po integraci ċ 1 (t)e t + ċ 2 (t)te t = 0, ċ 1 (t)e t + ċ 2 (t)(1 + t)e t = e t 1 + t 2. ċ 1 (t) = t 1 + t 2, ċ 2(t) = t 2. c 1 (t) = 1 2 ln(1 + t2 ), c 2 (t) = arctg t. Hledaným partikulárním řešením úlohy (2.92) je funkce [ w(t) = 1 ] 2 ln(1 + t2 ) + t arctg t e t, t R.

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

6. Lineární ODR n-tého řádu

6. Lineární ODR n-tého řádu 6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a

Více

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty 9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1

7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1 7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu

7.3. Diferenciální rovnice II. řádu Diferenciální rovnice 7 Diferenciální rovnice II řádu Ve stručném přehledu se budeme zabývat výhradně řešením lineárních diferenciálních rovnic II řádu s konstantními koeficienty Obecný tvar: ay + ay +

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice 1 Obyčejné diferenciální rovnice Příklad 0.1 (Motivační). Rychlost chladnutí hmotného bodu je přímo úměrná rozdílu jeho teploty minus teploty okolí. Předpokládejme teplotu bodu 30 o C v čase t = 0 a čase

Více

9.7. Vybrané aplikace

9.7. Vybrané aplikace Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.

DMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok. DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Leden 2015 Komplexní inovace studijních programů a zvyšování kvality výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Diferenciální rovnice a dynamické modely

Diferenciální rovnice a dynamické modely Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více