Unverzta Karlova v Praze Matematcko-fyzkální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Antonín Hanuš Úvod do teore pořádkových statstk Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: Studjní program: Studjní obor: doc. Mgr. Mchal Kulch, Ph.D. Matematka Obecná matematka Praha
Zde bych chtěl poděkovat svému vedoucímu doc. Mgr. Mchalu Kulchov, Ph.D. za to, že byl vždy ochotný m pomoc a poradt, obzvláště př prác s LaTeXem. Dále bych rád poděkoval své sestře Kateřně Hanušové za pomoc př opravě gramatckých a stylstckých nedostatků.
Prohlašuj, že jsem tuto bakalářskou prác vypracoval samostatně a výhradně s použtím ctovaných pramenů, lteratury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moj prác vztahují práva a povnnost vyplývající ze zákona č. / Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Unverzta Karlova v Praze má právo na uzavření lcenční smlouvy o užtí této práce jako školního díla podle 6 odst. autorského zákona. V... dne... Podps autora
Název práce: Úvod do teore pořádkových statstk Autor: Antonín Hanuš Katedra: Katedra pravděpodobnost a matematcké statstky Vedoucí bakalářské práce: doc. Mgr. Mchal Kulch, Ph.D., KPMS Abstrakt: Tato práce se zabývá teorí pořádkových statstk. Jejím cílem je shrnout základní poznatky o rozdělení pořádkových statstk náhodných velčn absolutně spojtých vzhledem k Lebesgueově míře a ty pak použít pro některá konkrétní rozdělení. V první kaptole je několka způsoby odvozena jejch dstrbuční funkce a hustota a dále se zde pracuje s některým funkcem pořádkových statstk a jejch podmíněným rozdělením. Druhá kaptola je věnována momentům pořádkových statstk, vzorcům k jejch výpočtu a vztahům mez nm. Na závěr jsou předchozí teoretcké poznatky použty na rovnoměrné, exponencální a normální rozdělení. Klíčová slova: Pořádkové statstky, momenty, rozdělení. Ttle: Introducton nto theory of order statstcs Author: Antonín Hanuš Department: Department of Probablty and Mathematcal Statstcs Supervsor: doc. Mgr. Mchal Kulch, Ph.D., DPMS Abstract: Ths thess deals wth the theory of order statstcs. Its am s to summarze the basc knowledge concernng the dstrbuton of the order statstcs of random varables that are absolutely contnuous wth respect to the Lebesgue Measure and afterwards use those order statstcs for some specfc dstrbutons. The frst chapter descrbes the dervaton of the densty and dstrbuton functon of order statstcs n several ways as well as dealng wth some functons of order statstcs and ther condtonal dstrbuton. The second chapter s devoted to the moments of order statstcs and formulae for ther calculaton and to the relatons between them. In the concluson the prevous theoretcal fndngs are appled to the unform, exponental and normal dstrbutons. Keywords: Order statstcs, moments, dstrbuton.
Obsah Úvod Základní vlastnost rozdělení pořádkových statstk 3. Dstrbuční funkce........................... 3. Rozdělení absolutně spojtých velčn................ 6.. Hustoty............................ 6.. Rozdělení medánu, rozpětí a dalších statstk.........3 Podmíněná rozdělení..................... 3 Momenty a jejch vztahy 5. Základní vzorce pro výpočet momentů............... 5. Vztahy mez momenty pořádkových statstk............ 8 3 Pořádkové statstky některých rozdělení 3. Rovnoměrné rozdělení........................ 3. Exponencální rozdělení....................... 3.3 Normální rozdělení.......................... 3 Závěr 5 Seznam použté lteratury 6 Seznam použtého značení 7
Úvod Cílem této práce je shrnout základní poznatky z teore pořádkových statstk náhodných velčn, a ty pak použít pro některá konkrétní rozdělení. V první řadě je potřeba ukázat, co pojem pořádková statstka znamená. Mějme tedy nezávslé stejně rozdělené reálné náhodné velčny X, X,..., X n. Jejch uspořádáním podle velkost získáme pořádkové statstky X () X () X (n). Mez nejčastěj používané pořádkové statstky patří například mnmum a maxmum, tedy X () a X (n). Další typckou pořádkovou statstkou je výběrový medán. Velký význam mají také lneární funkce pořádkových statstk, mez které patří například rozpětí R defnované jako rozdíl maxma a mnma, nebol X (n) X (). Pořádkové statstky mají šroké uplatnění. Jedno z jejch využtí může být například v testech hypotéz, založených na neparametrckých metodách. Zde máme X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny, ale místo jejch konkrétních hodnot se zabýváme pouze jejch vzájemným pořadím. Toho se využívá například tehdy, pokud neznáme přesné rozdělení výběru nebo pokud nemůžeme garantovat velkou přesnost naměřených hodnot náhodných velčn, ale jejch pořadím jsme s jst. Tyto metody jsou označovány jako robustní, nebot vzhledem k jejch nízkým předpokladům je jejch síla relatvně malá. Na druhou stranu, pokud jž prokážou zamítnutí nějaké hypotézy, můžeme s být takřka jst, že to není kvůl nesplnění nějakého předpokladu o rozdělení nám pozorovaných náhodných velčn. Další příklad využtí pořádkových statstk, který se týká testů spolehlvost, můžeme nalézt v []. Mějme n stejných předmětů, tedy nezávslé stejně rozdělené velčny X, X,..., X n, a zkoumejme dobu do jejch selhání. Z časových fnančních důvodů se vyplatí čekat pouze na selhání několka prvních, což jsou přesně první pořádkové statstky náhodných velčn X, X,..., X n, a z nch můžeme odvodt rozdělení ostatních velčn. Zbylé nepoškozené předměty pak mohou být dále využty. V této prác bude kladen důraz zejména na pořádkové statstky náhodných velčn absolutně spojtých vzhledem k Lebesgueově míře. V první kaptole odvodíme několka způsoby jejch margnální sdružené dstrbuční funkce a hustoty. Dále s pomocí věty o transformac náhodých velčn spočítáme rozdělení nejdůležtějších pořádkových statstk, jako například výběrového medánu č rozpětí. Na závěr první kaptoly se zaměříme na jejch podmíněná rozdělení. V druhé kaptole se budeme zabývat momenty pořádkových statstk. Odvodíme obecný vzorec pro jejch výpočet a ukážeme s postačující podmínku jejch exstence. Poté spočítáme některé konkrétní momenty, jako střední hodnotu, rozptyl nebo kovaranc dvou pořádkových statstk. V další část odvodíme několk vztahů mez momenty pořádkových statstk a původních velčn X, X,..., X n. V poslední kaptole použjeme předchozí obecné výsledky pro rovnoměrné, exponencální a normální rozdělení. Ukážeme s dstrbuční funkc a hustotu jejch pořádkových statstk, poté spočítáme jejch střední hodnotu a rozptyl, a na závěr odvodíme rozdělení jejch mnma, maxma a rozpětí.
. Základní vlastnost rozdělení pořádkových statstk V této kaptole rozebereme základní vlastnost pořádkových statstk, zejména jejch dstrbuční funkce a hustoty. Pro náhodné velčny X, X,..., X n s dstrbuční funkcí F (x) a r n budeme označovat jejch r-tou pořádkovou statstku X (r). Případně, pokud budeme chtít zdůraznt, že se jedná o r-tou pořádkovou statstku z n velčn, j budeme označovat X r:n. Její dstrbuční funkc pak budeme značt F (r) (x), případně F r:n (x), a pokud jsou náhodné velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře, označíme hustotu r-té pořádkové statstky f (r) (x). Dále ještě zavedeme označení pro komplementární dstrbuční funkc F (x), kterou budeme psát jako S(x).. Dstrbuční funkce Pro odvození dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky použjeme úvahu uvedenou v [3] na straně 9. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x). Pak pro r n máme dstrbuční funkc r-té pořádkové statstky rovnu pravděpodobnost, že alespoň r velčn z X, X,..., X n je menších nebo rovno x. Tento jev je dsjunktním sjednocením jevů, že právě velčn je menších nebo rovno x, kde běží od r do n. Pravděpodobnost tohoto jevu je tedy součtem pravděpodobností jednotlvých jevů ze sjednocení a máme F (r) (x) P[Alespoň r z X j x, j,..., n] P[Právě z X j x, j,..., n] r r ( ) n F (x)s n (x). (.) K alternatvnímu tvaru dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky můžeme dospět následující úvahou. Jev, že alespoň r velčn X, kde,..., n je menších nebo rovných x, můžeme psát jako sjednocení dvou dsjunktních jevů. Prvního jevu, že alespoň r velčn X, kde,..., n je menších nebo rovných x a poslední velčna může mít lbovolnou hodnotu, a druhého jevu, že právě r velčn X, kde,..., n je menších nebo rovných x a poslední velčna je také menší nebo rovna x. Tedy F r:n (x) P[Alespoň r z X j x, j,..., n] P[Alespoň r z X j x, j,..., n ] + + P[Právě r z X j x, j,..., n ]F (x) ( ) n F r:n (x) + F r (x)s n (r ) (x)f (x) r ( ) n F r:n (x) + F r (x)s n r (x). r 3
Pro první člen výše uvedeného součtu můžeme opět použít předchozí úvahu a vyjde nám ( ) n F r:n (x) F r:n (x) + F r (x)s n r (x). r Dále postupujeme nduktvně až po F r:r (x) P[všechny velčny X,,..., r jsou menší nebo rovny x] F r (x), což jnak zapsáno dává F r:r (x) ( ) r F r (x)s (x). r Po zpětném dosazení do původní rovnce získáme alternatvní vzorec pro dstrbuční funkc r-té pořádkové statstky n r ( ) j + r + F (r) (x) F r (x) S j (x). r j Další způsob vyjádření dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky je pomocí neúplné beta funkce I p (a, b) defnované následovně I p (a, b) B(a, b) p kde B(a, b) je úplná beta funkce. t a ( t) b dt a >, b >, p [, ], Lemma.. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x), pak pro dstrbuční funkc F (r) (x) r-té pořádkové statstky X (r) platí: F (r) (x) I F (x) (r, n r + ). (.) Lemma lze bez důkazu nalézt v [3] na straně. Důkaz. Tvrzení budeme dokazovat ntegrováním pravé strany metodou per partes. Máme I F (x) (r, n r + ) B(r, n r + ) F (x) t r ( t) n r dt. Pro zjednodušení zápsu vynecháme konstantu B(r, n r + ) a budeme ntegrovat pouze následující. 4
F (x) t r ( t) n r dt F r (x)s n r (x) r F r (x)s n r (x) r + (n r)(n r ) r(r + ) F (x) (n r) + t r ( t) n r dt r (n r) + r(r + ) F r+ (x)s n r (x) + F (x) t r+ ( t) n r dt. Takto postupujeme nduktvně, až po n r krocích získáme F r (x)s n r (x) (n r) + r r(r + ) F r+ (x)s n r (x) + (n r)(n r ) + + F n (x)s(x) + r(r + ) (n ) (n r)! + r(r + ) n F n (x) F r (x)s n r (x) + r (n r)(n r ) (n ) + F (x)s n (x). r(r + ) r+ Tedy máme [ F r (x)s n r (x) I F (x) (r, n r + ) + (r )!(n r)! r ( (n r)(n r ) (n ) + r(r + ) r+ ( ) n F r (x)s n r (x) + r r+ ( ) n F (x)s n (x) r+ F (r) (x).!(n )! F (x)s n (x) )] F (x)s n (x) Nyní se budeme zabývat sdruženým rozdělením pořádkových statstk. Mějme opět X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x). Nejprve s odvodíme sdruženou dstrbuční funkc dvou pořádkových statstk. Necht r < s n. Jev, že alespoň r velčn je menších než x a alespoň s velčn je menších než y je dsjunktním sjednocením jevů, že právě velčn je menších než x a právě j velčn je menších než y, kde j běží od s do n a běží od r do j. Každý z těchto jevů může nastat!(j )!(n j)! způsoby. 5
Tedy pro x < y máme F (r,s) (x, y) P[alespoň r z X x a zároveň alespoň s z X y,,,..., n] j P[právě z X k x a právě j z X k y, k,,..., n] js js a pro y x máme r j r!(j )!(n j)! F (x)[f (y) F (x)] j S n j (y) (.3) F (r,s) (x, y) P[alespoň r z X x a zároveň alespoň s z X y,,,..., n] P[alespoň s z X x,,,..., n] F (s) (y). Analogcky lze odvodt dstrbuční funkce vícerozměrných rozdělení. Necht r < r < < r k n. Pak pro x < x < < x k máme F (r,...,r k )(x,..., x k ) P[Alespoň r z X j x,...,..., alespoň r k z X j x k, j,..., n] k k r k r!( )! (n k )! k r k F (x )[F (x ) F (x )] [ F (x k )] n k. Pokud by pro nějaké j < l bylo x j > x l, pak by jev, že alespoň r j z velčn X,..., X n bylo menších nebo rovno x j, nastal automatcky za předpokladu, že by alespoň r l z velčn X,..., X n bylo menších nebo rovno x l. Ve výše zmíněném vzorc by se to projevlo vyřazením prvku s ndexem j a jemu odpovídající sumy.. Rozdělení absolutně spojtých velčn Zatímco předchozí tvrzení a úvahy platly pro lbovolné náhodné velčny X, nyní se budeme zabývat pouze velčnam absolutně spojtým vzhledem k Lebesgueově míře. V celé této podkaptole budeme pracovat s náhodným nezávslým stejně rozděleným velčnam X, X,..., X n, které mají dstrbuční funkc F (x) a hustotu vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Ukážeme, že pak pořádkové statstky X (r) mají hustotu vzhledem k Lebesgueově míře... Hustoty V této sekc se budeme zabývat odvozením hustot pořádkových statstk z absolutně spojtého rozdělení. Nejprve odvodíme hustotu jedné pořádkové statstky. Lemma.. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). 6
Pak pro n a r n má pořádková statstka X (r) hustotu vzhledem k Lebesgueově míře f (r) (x) (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x). (.4) Důkaz. Hustotu získáme dervací dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky. Máme [ ( ) n ( ) n f (r) (x) F (r)(x) F (x)s (x)] n (F (x)s n (x)) r r [( ) ( ) ] n n f(x)f (x)s n (x) (n )f(x)f (x)s n (x) r (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x) r!(n r )! f(x)f r (x)s n r (x) + + r!(n r )! f(x)f r (x)s n r (x) +! (n n)f(x)f n (x)s (x) (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x). K odvození hustoty r-té pořádkové statstky lze dospět jným způsoby. První z nch je uveden v [] na straně. Vezměme s jev, že právě r velčn je menších nebo rovno x, právě jedna velčna je v ntervalu (x, x + h] a zbylých n r velčn je větších než x+h pro nějaké malé h. Pravděpodobnost tohoto jevu je F r (x)[f (x + h) F (x)]s n r (x). (r )!(n r)! Tento jev skoro odpovídá jevu, že r-tá pořádková statstka X (r) je v ntervalu (x, x + h], pouze do něj musíme navíc zahrnout varantu, kdy více než velčna padne do ntervalu (x, x + h]. Pravděpodobnost tohoto zbytkového jevu je O(h ), kde symbol O označuje asymptotckou omezenost funkcí h, tedy že O(h ) lm h h. 7
Z defnce hustoty pak máme F f (r) (x) F (r)(x) (r) (x + h) F (r) (x) lm h h P[x < X (r) x + h] lm h [ h lm h (r )!(n r)! F r (x) F (r)(x + h) F (r) (x) h (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x). ] S n r (x) + O(h ) h (.5) Další způsob odvození hustoty je pomocí vzorce (.). V defnc neúplné beta funkce označíme konstantu B(r, n r + ) jako B r,n, a pak máme [ F (x) f (r) (x) F (r)(x) [I F (x) (r, n r + )] B r,n t r ( t) n r dt [P (F (x)) P ()] B r,n B r,n P (F (x))f (x) x (r )!(n r)! f(x)f r (x)s n r (x), kde P (x) je prmtvní k funkc t r ( t) n r, která je na ntervalu [, ] spojtá pro r n, a tedy má prmtvní funkc. Dále s odvodíme vzorec pro sdruženou hustotu dvou pořádkových statstk. Nejprve pomocí parcálních dervací dstrbuční funkce. Lemma.3. Necht jsou X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F(x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Pak pro r < s n a pro x < y máme sdruženou hustotu r-té pořádkové statstky X (r) a s-té pořádkové statstky X (s) rovnu f (r,s) (x, y) C r,s f(x)f(y)f r (x)[f (y) F (x)] s r S n s (y), (.6) kde konstanta C r,s označuje zlomek Důkaz. Máme (r )!(s r )!(n s)!. f (r,s) (x, y) F (r,s) (x, y) x y { j } x y!(j )!(n j)! F (x)[f (y) F (x)] j S n j (y). js r ] 8
Konstantu f (r,s) (x, y)!(j )!(n j)! označíme zkratkou K,j a máme js j K,j F (x)f(x)(j )[F (y) F (x)] j f(y)s n j (y) r js js j K,j F (x)f(x)[f (y) F (x)] j (n j)s n j (y)f(y) r j K,j F (x)(j )(j ) r [F (y) F (x)] j f(x)f(y)s n j (y) + j + K,j F (x)(j )[F (y) F (x)] j js r f(x)(n j)s n j (y)f(y). Označíme-l předchozí sčítance po řadě A,j, A,j, A 3,j, A 4,j, vdíme, že f (r,s) (x, y) j (A,j A,j A 3,j + A 4,j). js r Dále lze vypozorvat, že j s... n platí A +,j A 3,j a A +,j A 4,j. Tedy máme f (r,s) (x, y) (A r,j A r,j A 3 j,j + A 4 j,j). js Ale je vdět, že j s... n je A 3 j,j a A 4 j,j, a tedy f (r,s) (x, y) (A r,j A r,j). js Dále s lze povšmnout, že A r,j+ A r,j, tedy f (r,s) (x, y) A r,s A r,n, a protože A r,n, máme f (r,s) (x, y) A r,s C r,s f(x)f(y)f r (x)[f (y) F (x)] s r S n s (y), čímž je tvrzení dokázáno. Předchozí vzorec lze analogcky odvodt přímou úvahou z defnce hustoty. Vezmeme pravděpodobnost, že právě r velčn je menších nebo rovných x, jedna velčna je v ntervalu (x, x+g], s r velčn padne do ntervalu (x+g, y], jedna velčna je v ntervalu (y, y + h] a zbylých n s velčn je větších než y + h. Toto odpovídá pravděpodobnost, že r-tá pořádková statstka X (r) je menší nebo rovna x a s-tá pořádková statstka X (s) je menší nebo rovna y. Opět ale, stejně jako ve vzorc (.5), musíme přdat varantu, že více než jedna velčna padne do ntervalu (x, x + g] a právě jedna velčna padne do ntervalu (y, y + h], která 9
má pravděpodobnost O(g h), a varantu, že více než jedna velčna padne do ntervalu (y, y + h] a právě jedna velčna padne do ntervalu (x, x + g], která má pravděpodobnost O(gh ). Pak máme P[x < X (r) x + g, y < X (s) y + h] f (r,s) lm g gh h lm g h r F (x + g) C r,s F [F (y) F (x + g)] g + O(g h) + O(gh ) gh gh C r,s f(x)f(y)f r (x)[f (y) F (x)] s r S n s (y), s r F (y + h) F (y) S n s (y) + h kde symbol C r,s označuje stejnou konstantu jako v předchozím lemmatu. Stejnou úvahu lze použít pro odvození vícerozměrných sdružených hustot. Pro r < r < < r k n máme sdruženou hustotu pořádkových statstk X (r ),..., X (rk ) pro x < < x k f r,...,r k (x,..., x k ) (r )!(r r )!... (n r k )! F r (x )f(x ) [F (x ) F (x )] r r f(x )... S n r k (x k )f(x k ). (.7).. Rozdělení medánu, rozpětí a dalších statstk V této sekc se budeme zabývat rozdělením různých funkcí pořádkových statstk. Opět mějme X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Nejprve s pomocí věty o transformac náhodných velčn, kterou můžeme najít s důkazem v [] na straně 49, odvodíme rodělení rozdílu X (s) X (r), kde r < s n. Mějme zobrazení φ : R R, defnované následovně ( ) ( ) ( ) X(r) U X φ (r), X (s) R r,s X (s) X (r) kde U má stejný nosč jako velčny X, X,..., X n a R r,s nabývá pouze nezáporných hodnot. Zobrazení φ je prosté, a tedy exstuje nverzní zobrazení φ, že ( ) ( ) ( ) X(r) U U φ. R r,s R r,s + U X (s) Absolutní hodnota jakobánu nverzního zobrazení je. Tedy podle věty o transformac náhodných velčn bude mít vektor (U, R r,s ) T sdruženou hustotu f U,Rr,s (u, v) f X(r),X (s) (φ (u, v), φ (u, v)) J φ f X(r),X (s) (u, u + v) (r )!(s r )!(n s)! F r (u)f(u)[f (u + v) F (u)] s r f(u + v)s n s (u + v).
Pomocí ntegrace přes proměnnou u pak z této sdružené hustoty získáme margnální hustotu velčny X (s) X (r) f Rr,s (v) C r,s F r (u)f(u)[f (u + v) F (u)] s r f(u + v)s n s (u + v) du, kde konstanta C r,s opět označuje zlomek (r )!(s r )!(n s)!. (.8) Jednou z nejdůležtějších funkcí tohoto typu je rozdělení rozdílu maxma a mnma, jnak označované jako rozpětí R. Jeho hustotu odvodíme dosazením do vzorce (.8) za r a s n a vyjde nám f R (v) (n )! f(u)[f (u + v) F (u)]n f(u + v) du. (.9) Dstrbuční funkc lze získat jako ntegrál z hustoty. Pokud podle Fubnovy věty prohodíme pořadí ntegrace a budeme nejprve ntegrovat přes v, získáme x { } F R (x) n(n )[F (u + v) F (u)] n f(u)f(u + v) du dv { F (u+x) } n f(u) (n )[t F (u)] n dt du F (u) (.) n f(u){[t F (u)] n } F (u+x) du n F (u) f(u)[f (u + x) F (u)] n du. Další důležtou funkcí je výběrový medán X n. Pokud je n lché, je výběrový medán defnován jako X ( n+ ) a jeho hustotu získáme jednoduše dosazením do vzorce (.4) za r n+. Vyjde nám f Xn (x) f X( n+ )(x) ( n+ )!(n n+) F n+ n+ n (x)f(x)s (x) n+ n [( n+ F (x)f(x)s (x). )!] Dstrbuční funkc můžeme získat ntegrováním hustoty nebo dosazením do vzorce (.) a máme F Xn (x) x [( n+ F X( n+ ) n+ n F (t)f(t)s (t)dt )!] ( ) n F (x)s n (x). n+ Pro n sudé máme výběrový medán defnován jako X n X ( n ) + X ( n +). Tedy k spočítání jeho hustoty budeme nejprve potřebovat sdruženou hustotu velčn
X ( n ) a X ( n +), která je podle vzorce (.6) f X( n ),X ( n +)(x, y) ( n )!( n + n )!(n n )! F n (x)f(x)[f (y) F (x)] n + n f(y)s n n (y) [( n F n (x)f(x)f(y)s n (y). )!] Dále pomocí věty o transformac získáme hustotu medánu f Xn. Necht φ je zobrazení z R do R takové, že ( ) ( ) ( ) X( n U φ ) X( n ) X X ( n +) X ( n ) +X, ( n +) n kde U nabývá stejných hodnot jako velčny X, X,..., X n a X n nabývá pouze hodnot větších nebo rovných U. Protože je φ prosté, exstuje nverzní zobrazení φ, že ( ) ( ) ( X( n ) φ X ( n ŨXn +) U X n U a absolutní hodnota jeho jakobánu je. Tedy podle věty o transformac je sdružená hustota U a X n rovna f (U, Xn) (u, v) [( n )!] F n (u)f(u)f(v u)s n (v u) a margnální hustota medánu X n je pak rovna f Xn (v) v [( n )!] F n (u)f(u)f(v u)s n (v u) du. Dstrbuční funkc medánu X n pak získáme ntegrací hustoty, př které opět použjeme Fubnovu větu a vyjde nám x { v } f Xn (x) [( n F n (u)f(u)f(v u)s n (v u) du dv )!] x [ x ] [( n F n (u)f(u) f(v u)s n (v u) dv du )!] [( n )!] ( n )!( n )! x u F n (u) [S n (u) S n (x u)] du n [ x x ] F n (u)s n (u) du F n (u)s n (x u) du. ) Poslední úvaha v této sekc se bude týkat transformace pomocí dstrbuční funkce a je uvedena v [3] na straně 5. Necht X, X,..., X n jsou opět nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Pak podle známého tvrzení, které můžeme nalézt v [] na straně 7, mají velčny U F (X ) rovnoměrné rozdělení na ntervalu
[, ]. Dstrbuční funkce F (x) je neklesající, platí pro n mplkace X (r) X (s) F (X (r) ) F (X (s) ), a tedy zachovává pořadí. Z toho je hned vdět, že F (X (r) ) bude mít stejné rozdělení jako r-tá pořádková statstka standardního rovnoměrného rozdělení. Pomocí nverzní dstrbuční funkce, jnak označované jako kvantlová funkce, defnované následovně F (u) nf{x : F (x) u}, pak můžeme odvodt obrácený vztah. Tedy, že F (U ) má stejné rozdělení jako X. To plyne ze vztahu P[X x] P[F (X ) F (x)] P[U F (x)] P[F (U ) x], kde poslední rovnost platí, protože ze spojtost dstrbuční funkce zprava máme F (F (u)) u a F (F (x)) x, a tedy u F (x) F (u) x. Protože F (u) je také neklesající, a tedy zachovává pořadí, získáme vztah F (U (r) ) d X (r), (.) d kde symbol znamená, že obě velčny mají stejné rozdělení. Tohoto vztahu budeme dále využívat př výpočtech momentů pořádkových statstk...3 Podmíněná rozdělení V této část se zaměříme na podmíněná rozdělení pořádkových statstk. Opět mějme X, X,..., X n nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou f(x). Dále mějme r < s n. Ukážeme s, že podmíněná hustota pořádkových statstk X (r+),..., X (s ) za podmínky, že X () se rovná x pro r a s n je stejná jako podmíněná hustota pořádkových statstk X (r+),..., X (s ), pokud známe pouze X (r) a X (s). Podle věty o podmíněné hustotě, kterou můžeme s důkazem najít v [] na straně 56, máme f X(r+),...,X (s ) X x, r, s n(x r+,..., x s ) f X(),...,X (n) (x,..., x n ) f X(),...,X (r),x (s),...,x (n) (x,..., x r, x s,... x n ), kam dosadíme podle vzorce (.7) a vyjde nám f(x )... f(x n ) f(x (s r )! )... f(x r )f(x s )... f(x n )[F (x s ) F (x r )] s r (s r )! [F (x s ) F (x r )] s r s jr+ f(x j ) x < < x n. Z toho vdíme, že podmíněná hustota vůbec nezávsí na velčnách X (), kde < r a > s. Pro jstotu ještě spočítáme podmíněnou hustotu, pokud známe pouze 3
X (r) a X (s). f X(r+),...,X (s ) X r x r, X s x s (x r+,..., x s ) f X (r),...,x (s) (x r,..., x s ) f X(r),X (s) (x r, x s ) a opět podle vzorce (.7) máme f(x (r )!(n s)! r)... f(x s )F r (x r )S n s (x s ) f(x (r )!(s r )!(n s)! r)f(x s )F r (x r )[F (x s ) F (x r )] s r S n s (x s ) (s r )! [F (x s ) F (x r )] s r s jr+ f(x j ) x < < x n, a vdíme, že se obě podmíněné hustoty rovnají, a tedy obě podmíněná rozdělení jsou stejná. Jako konkrétní případ bychom mohl vzít podmňování pouze menším pořádkovým statstkam. Tedy podle předchozí úvahy pro r < s je pravděpodobnost, že X (s) x s za podmínky X x, kde r, rovna pravděpodobnost, že X (s) x s za podmínky X r x r, a z toho vdíme, že pořádkové statstky tvoří Markovův řetězec. 4
. Momenty a jejch vztahy V této kaptole se budeme zabývat exstencí a výpočtem momentů pořádkových statstk, zejména středním hodnotam, rozptyly a kovarancem. Zaměříme se opět pouze na náhodné velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře. Nejprve s uvedeme základní vzorce k jejch získání a poté s odvodíme některé jejch užtečné vlastnost a vztahy mez nm k usnadnění jejch výpočtu. Pro náhodné velčny X, X,..., X n budeme označovat momenty jejch pořádkových statstk následujícím způsobem. Necht pro r n a s n máme pořádkové statstky X (r) a X (s). Obecné momenty E(X(r) k ) označíme jako µk (r) a smíšené momenty E(X(r) k Xl (s)) jako µk,l (r,s). Střední hodnotu E(X (r)) budeme zapsovat zjednodušeně ve tvaru µ (r).. Základní vzorce pro výpočet momentů Mějme nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny X, X,..., X n s dstrbuční funkcí F (x) a hustotou vzhledem k Lebesgueově míře f(x). Pak pro r n se střední hodnota r-té pořádkové statstky X (r) vypočítá podle vzorce µ (r) E(X (r) ) xf (r) (x) dx. Za hustotu f (r) (x) můžeme dosadt podle vzorce (.4) a máme µ (r) (r )!(n r)! xf r (x)f(x)s n r (x) dx. Z úvahy (.) o transformac pomocí dstrbuční funkce můžeme získat ještě alternatvní vzorec pro výpočet střední hodnoty, µ (r) E(X (r) ) E(F (U (r) )) kde (r )!(n r)! F (u)u r ( u) n r du, (.) (r )!(n r)! ur ( u) n r je hustota r-té pořádkové statstky rovnoměrného rozdělení na ntervalu [, ], což pozděj odvodíme v kaptole 3. Dále s ukážeme postačující podmínku exstence střední hodnoty r-té pořádkové statstky, jak je uvedena v [3] na straně 34. Lemma.. Necht X, X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny s dstrbuční funkcí F(x) a hustotou vůč Lebesgueově míře f(x) a necht exstuje konečná střední hodnota E(X). Pak pro každé r rovno,,..., n exstuje konečná střední hodnota E(X (r) ). 5
Důkaz. µ (r) (r )!(n r)! (r )!(n r)! (r )!(n r)! F (u)u r ( u) n r du F (u)u r ( u) n r du F (u) du (r )!(n r)! E( F (U) ) Ale máme E( X ) <, protože E( X ) x f(x)dx (r )!(n r)! E( X ). xf(x)dx xf(x)dx, pokud pravá strana dává smysl, ale její exstence plyne z konečnost střední hodnoty E(X). Poznámka. Toto tvrzení lze analogcky použít pro jné funkce náhodných velčn X, X,..., X n, například pro vyšší obecné momenty E(X k ), centrální momenty E(X µ), atd. Pokud exstuje konečná E[g(X)], pak exstuje konečná E[g(X (r) )] pro r,..., n. Dále můžeme odvodt vzorec pro vyšší momenty pořádkových statstk µ k (r), kde k,,.... µ k (r) x k f (r) (x) dx (r )!(n r)! (r )!(n r)! [F (u)] k u r ( u) n r du. x k F r (x)f(x)s n r (x) dx (.) Rozptyl pořádkových statstk, označme ho σ (r), se pak může psát bud z defnce, jako var(x (r) ) E(X (r) µ (r) ), nebo po úpravě roznásobením jako var(x (r) ) µ (r) (µ (r)). A máme σ(r) (x µ (r) ) F r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! x F r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! [ ] xf r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! (r )!(n r)! (F (u) µ (r) ) u r ( u) n r du. 6
Nyní se zaměříme na smíšené momenty. Pro r < s n máme smíšenou střední hodnotu statstk X (r) a X (s) rovnu µ (r,s) E(X (r) X (s) ) C r,s y xyf (r,s) (x) dx dy xyf r (x)f(x)[f (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy, kde C r,s označuje stejnou konstantu jako ve vzorc (.6). Zde pak můžeme použít stejnou úvahu jako ve vzorc (.) a máme µ (r,s) E(X (r) X (s) ) E[F (U (r) )F (U (s) )] C r,s v F (u)f (v)u r (v u) s r ( v) n s du dv, kde C (r,s) u r (u v) s r ( v) n s je sdružená hustota r-té a s-té pořádkové statstky rovnoměrného rozdělení na ntervalu [,], jak bude ukázáno v kaptole 3. Analogcky lze odvodt vzorec pro smíšené momenty vyššího řádu µ k,l (r,s), kde r < s n a k, l,,... µ k,l (r,s) C r,s C r,s x k y l f (r,s) (x) dx dy y v x k y l F r (x)f(x)[f (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy [F (u)] k [F (v)] l u r (u v) s r ( v) n s du dv. Z předchozích vzorců pro smíšené momenty pak můžeme vypočítat kovaranc dvou pořádkových statstk. Nejprve z defnce máme cov(x (r) X (s) ) E[(X (r) µ (r) )(X (s) µ (s) )] C r,s (x µ (r) )(y µ (s) )f (r,s) (x) dx dy y nebo můžeme použít známý vzorec (x µ (r) )(y µ (s) )F r (x)f(x) [F (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy, cov(x (r) X (s) ) E(X (r) X (s) ) E(X (r) )E(X (s) ) µ (r,s) µ (r) µ (s) y C r,s xyf r (x)f(x)[f (y) F (x)] s r f(y)s n s (y) dx dy [ xf r (x)f(x)s n r (x) dx (r )!(n r)! ] yf r (y)f(y)s n r (y) dy. (r )!(n r)! 7
. Vztahy mez momenty pořádkových statstk V této část s ukážeme některé užtečné vztahy mez jednotlvým momenty pořádkových statstk. Necht X,..., X n jsou nezávslé stejně rozdělené náhodné velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře a necht X (),..., X (n) jsou jejch pořádkové statstky. Pak pro k, l N můžeme odvodt dvě základní dentty X() k X k (.3) a X()X k (j) l j X k Xj l, (.4) nebot levá strana je jen přerovnáním pravé. Nyní předpokládejme, že exstuje konečná střední hodnota a konečný rozptyl velčn X, X,..., X n. Střední hodnotu označme E(X) µ a rozptyl var(x) σ. Podle lemmatu. a poznámky pod ním víme, že také exstuje konečná střední hodnota a rozptyl pořádkových statstk X (), X (),..., X (n). Dosazením do vzorce (.3) za k a k a aplkováním střední hodnoty získáme násladující vztahy a µ () j ( ) ( ) E(X () ) E X () E X µ () ne(x ). E(X ) µ nµ Položením k a l a aplkováním střední hodnoty na vzorec (.4) dostaneme µ () µ (j) j ( E j ( E(X () X (j) ) E ) X X j j ) X () X (j) j E(X X j ) ne(x ) + n(n )µ. j Další vztah získáme pomocí kovarancí velčn X () a X (j) cov(x () X (j) ) j E(X () X (j) ) j µ (,j) j µ () j E(X () )E(X (j) ) j µ (j) ne(x ) + n(n )µ n µ n(ex µ ) nσ. V poslední relac, kterou zde odvodíme, budeme předpokládat pro k, l N exstenc momentů E(X k ) a E(X l ). Nejprve zobecníme úvahu o smíšených mo- 8
mentech pro vyšší řády, z čehož máme j µ k,l (,j) j ( E ( E(X()X k (j)) l E ) X k Xj l j j X k ()X l (j) E(X k Xj) l j ne(x k+l ) + n(n )E(X k )E(X l ), kde první sčítanec tvoří ty členy sumy, pro které j. Pokud vezmeme pouze druhý sčítanec, tedy členy, kde j, a použjeme úvahu, že µ k,l (,j) µl,k (j,), tedy, že každý člen je v předchozí sumě dvakrát, dostaneme vzorec ) n j+ n µ k,l (,j) j+ E(X k ()X l (j)) n(n ) E(X k )E(X l ). Potom pro k l máme n j+ n µ k,k (,j) j+ E(X k ()X k (j)) ( ) n [E(X k )]. 9
3. Pořádkové statstky některých rozdělení V této kaptole ukážeme předchozí výsledky na některých konkrétních rozděleních. Nejprve vezmeme standardní rovnoměrné rozdělení na ntervalu [, ], které bylo hojně využíváno př výpočtech momentů. Následně pak další dvě v prax důležtá rozdělení, a to exponencální a normální. Pro každé z nch spočteme dstrbuční funkc a hustotu jejch r-té pořádkové statstky, poté její střední hodnotu a rozptyl a na závěr s ukážeme rozdělení mnma, maxma a rozpětí. 3. Rovnoměrné rozdělení Necht mají náhodné velčny X, X,..., X n rovnoměrné rozdělení na ntervalu [,] s dstrbuční funkcí x (, ) F (x) x x [, ) x [, ) a hustotou f(x) pro x z ntervalu [, ] a f(x) jnak. Dstrbuční funkce jejch r-té pořádkové statstky X (r) je pak podle vzorce (.) rovna x (, ) F (r) (x) n ( n ) r x ( x) n x [, ) x [, ). Ze vzorce (.) máme také pro x [, ] F (r) (x) (r )!(n r)! x t r ( t) n r dt I x (r, n r + ) a vdíme, že r-tá pořádková statstka rovnoměrného rozdělení má beta rozdělení s parametry r a n r +. Hustotu pak snadno odvodíme dervací předchozího nebo ze vzorce (.4) a pro x [, ] máme f (r) (x) (r )!(n r)! xr ( x) n r. Nyní s ukážeme sdruženou dstrbuční funkc a hustotu dvou pořádkových statstk X (r) a X (s), kde r < s n. Pak pro < x < y < máme podle vzorce (.3) j F (r,s) (x) C,j x (y x) j ( y) n j a podle vzorce (.6) js r f (r,s) (x) C r,s x r (y x) s r ( y) n s. Dále s spočítáme střední hodnotu a rozptyl r-té pořádkové statstky. Protože víme, že velčny s rovnoměrným rozdělením na ntervalu [, ] mají konečné
momenty všech řádů, budou mít podle lemmatu. konečné momenty jejch pořádkové statstky a máme E(X (r) ) a x (r )!(n r)! xr ( x) n r dx B(r +, n r + ) B(r, n r + ) r n + E(X (r)) Z tohoto pak můžeme vypočítat rozptyl jako var(x (r) ) E(X (r)) [E(X (r) )] x (r )!(n r)! xr ( x) n r dx B(r +, n r + ) r(r + ) B(r, n r + ) (n + )(n + ). r(r + ) (n + )(n + ) r r(n r + ) (n + ) (n + ) (n + ). Na závěr s ukážeme rozdělení některých konkrétních statstk. Mnmum a maxmum získáme dosazením do vzorce pro dstrbuční funkc za r a r n. Pro x [, ] máme a F () ( ) n x ( x) n F (n) n ( ) n x ( x) n ( x) n ( x) n ( ) n x ( x) n x n. Dstrbuční funkce a hustota rozpětí R pak podle vzorců (.9) a (.) je a f R (v) v F R (x) x n(n )[u + v u] n du n(n )v n ( v) v [, ] n(n )v n ( v) dv x n [n( x) + x] x [, ]. 3. Exponencální rozdělení Nyní s vezmeme nezávslé náhodné velčny X, X,..., X n s exponecálním rozdělením s parametrem λ. Ty mají dstrbuční funkc F (x) e λx pro x a jnak. Husotota je pak f(x) λe λx opět pro x a jnak. Jejch r-tá pořádková statstka pak má podle vzorce (.) dstrbuční funkc { x (, ) F (r) (x) ) ( e λx ) (e λx ) n x [, ) n ( n r a hustotu podle vzorce (.4) f (r) (x) (r )!(n r)! λ( e λx ) r (e λx ) n r+ x [, ).
Sdružené rozdělení dvou pořádkových statstk X (r) a X (s) dostaneme pro r < s n a < x < y < ze vzorců (.3) a (.6) a F (r,s) (x, y) j C,j ( e λx ) (e λx e λy ) j (e λy ) n j js r f (r,s) (x, y) C r,s ( e λx ) r λe λx (e λx e λy ) s r λe λy (e λy ) n s. Nyní s spočítáme střední hodnotu a rozptyl. Podle vzorce (.) máme E(X (r) ) F (u) (r )!(n r)! ur ( u) n r du log( u) λ (r )!(n r)! ur ( u) n r du, log( u) kde je kvantlová funkce exponencálního rozdělení s parametrem λ. λ Použtím metody ntegrace per partes pak získáme λ [ r ( ) ] u n u ( u) n log( u) + λ u r u ( u) n du Po dosazení lmt u a u + do prvního sčítance zjstíme, že je nulový. Ve druhém sčítanc pak můžeme prohodt sumu a ntegrál a máme λ r u ( u) n du λ r n. Obdobně získáme ze vzorce (.) druhý obecný moment E(X (r) ). E(X(r)) log ( u)u r ( u) n r du λ [ r ( ] u n log ( u) )u ( u) n λ u r ( ) n log( u) u ( u) n du λ [ r log( u) λ n + r λ n r λ n j j j ( n j n + j. ( ] u n )u j ( u) n +j + j u ) u j ( u) n +j du
Z toho pak můžeme vypočítat rozptyl jako a var(x (r) ) E(X (r)) [E(X (r) )] r λ n j r λ (n ). ( n + j λ r Na závěr opět uvedeme rozdělení mnma, maxma a rozpětí. F () (x) F (n) (x) n ) n ( ) n ( e λx ) (e λx ) n (e λx ) n x [, ) ( ) n ( e λx ) (e λx ) n ( e λx ) n x [, ). Rozpětí R má pak podle vzorce (.9) hustotu f R (v) n(n )λe λu [( e λ(u + v)) ( e λu )] n λe λ(u+v) du n(n )λ e λv ( e λv ) n (e λu ) (e λu ) n du n(n )λ e λv ( e λv ) n λn (n )λe λv ( e λv ) n a podle (.) dstrbuční funkc F R (x) x (n )λe λv ( e λv ) n dv ( e λx ) n, e λx (n )( t) n dt což je stejné, jako dstrbuční funkce maxma z výběru o n prvcích. Tedy máme X n:n X :n d X n :n. 3.3 Normální rozdělení Jako poslední s vezmeme nezávslé náhodné velčny X, X,..., X n s normovaným normálním rozdělením N(, ). Jejch hustota je f(x) π e x x R a jejch dstrbuční funkc označíme Φ(x). Dstrbuční funkc a hustotu jejch r-té pořádkové statstky pak získáme ze vzorců (.) a (.4) F (r) (x) r ( ) n Φ (x)[ Φ(x)] n 3 x R
a f (r) (x) (r )!(n r)! π e x Φ r (x)[ Φ(x)] n r x R. Podle (.3) a (.6) dostaneme pro r < s n a x < y sdružené rozdělení dvou pořádkových statstk X (r) a X (s). a F (r,s) (x, y) js j C,j Φ (x)[φ(y) Φ(x)] j [ Φ(y)] n j r f (r,s) (x, y) C r,s π Φr (x)e x [Φ(y) Φ(x)] s r e y [ Φ(y)] n s. Střední hodnotu pak získáme jako E(X (r) ) x (r )!(n r)! druhý obecný moment dostaneme analogcky E(X (r)) a rozptyl pak máme a x (r )!(n r)! π e x Φ r (x)[ Φ(x)] n r dx, π e x Φ r (x)[ Φ(x)] n r dx var(x (r) ) E(X (r)) [E(X (r) )]. Nyní s opět spočteme rozdělení mnma a maxma. F () (x) F (n) (x) ( ) n Φ (x)[ Φ(x)] n [ Φ(x)] n n ( ) n Φ (x)[ Φ(x)] n Φ n (x). Na závěr s uvedeme hustotu a dstrbuční funkc rozpětí. Podle vzorců (.9) a (.) máme a f R (v) n(n ) e u [Φ(u + v) Φ(u)] n e (u+v) du π π F R (x) n e u [Φ(u + x) Φ(u)] n du. π 4
Závěr Na závěr shrneme výsledky této práce a rozebereme možnost jejího rozšíření. V první kaptole se nám podařlo odvodt dstrbuční funkce pořádkových statstk a dokázat, že pokud byly původní velčny absolutně spojté vzhledem k Lebesgueově míře, byly pak jejch pořádkové statstky spojté a spočítal jsme jejch hustotu. Dále jsme ukázal rozdělení výběrového medánu a rozpětí, a přes úvahu o transformac pomocí dstrbuční funkce jsme našl vztah mez pořádkovým statstkam lbovolného a standartního rovnoměrného rozdělení. Na závěr první kaptoly jsme spočítal podmíněná rozdělení pořádkových statstk a zjstl jsme, že pořádkové statstky tvoří Markovův řetězec, nebot rozdělení s-té pořádkové statstky pro s > r za podmínky, že známe r-tou pořádkovou statstku, vůbec nezávsí na velčnách X (), kde < r. Ve druhé kaptole jsme nalezl vzorce pro výpočet obecných momentů pořádkových statstk pomocí pořádkových statstk standardního rovnoměrného rozdělení a ukázal jsme, že pokud exstují momenty původních velčn X, X,..., X n, pak exstují momenty pořádkových statstk X (), X (),..., X (n). Dále jsme odvodl základní vzorce pro součty momentů pořádkových statstk, které plynou z přerovnání momentů původních velčn. Poslední kaptola obsahuje hlavní přínos této práce. Předchozí obecné výsledky jsme v ní použl na standardní rovnoměrné, exponencální a normální rozdělení a získal jsme konkrétní rozdělení jejch pořádkových statstk, která pak mohou být využta v prax. U rovnoměrného rozdělení jsme zjstl, že jeho r-tá pořádková statstka má beta rozdělení s parametry r a n r +, kde n je počet původních rovnoměrně rozdělených velčn. Dále jsme ukázal, že pořádkové statstky rovnoměrného rozdělení dělí pomocí svých středních hodnot nterval [, ] na n + stejných částí. U exponencálního rozdělení jsme pak odvodl, že rozpětí z výběru o n velčnách má stejné rozdělení jako maxmum z výběru o n velčnách. Celková problematka pořádkových statstk je jstě mnohem rozsáhlejší než pokrývá tato práce a stále v ní probíhá nový výzkum. Jednou z možností, jak toto dílo rozšířt, by bylo přdání teore o rozdělení pořádkových statstk dskrétních velčn, případně nestejně rozdělných velčn. Další možností by bylo zabývat se aplkcí pořádkových statstk v prax, například v teor odhadu č testech hypotéz, případně zaměřt se na asymptotckou teor př velkost výběru jdoucí k nekonečnu. 5
Seznam použté lteratury [] Anděl, Jří. Základy matematcké statstky.. vydání. Praha: Matfyzpress, 7. ISBN 8-7378--. [] Arnold, Barry C., Balakrshnan, N., Nagaraja, H.N. A Frst Course n Order Statstcs.. vydání. New York: Wlley, 99.b ISBN 987--8987-648-. [3] Davd, H.A., Nagaraja, H.N. Order Statstcs. 3. vydání. New Jersey: Wlley, 3. ISBN -47-3896-9. 6
Seznam použtého značení Zde s pro přehlednost uvedeme seznam použtého značení. X, X,..., X n Reálné náhodné velčny X (), X (),..., X (n) Jejch pořádkové statstky X :n, X :n,..., X n:n X n Výběrový medán R Rozpětí (X (n) X () ) F (x) Dstrbuční funkce S(x) Komplementární dstrbuční funkce ( F (x)) F (r) (x), F r:n (x) Dstrbuční funkce r-té pořádkové statstky F (r,s) (x, y) Sdružená dstrbuční funkce dvou pořádkových statstk f(x) hustota spojté náhodé velčny f (r) (x) hustota r-té pořádkové statstky f (r,s) (x, y) Sdružená hustota dvou pořádkových statstk I p (a, b) Neúplná beta funkce B(a, b) Úplná beta funkce C r,s (r )!(s r )!(n s)! µ (r) Střední hodnota r-té pořádkové statstky µ k (r) K-tý obecný moment r-té pořádkové statstky σ(r) Rozptyl r-té pořádkové statstky µ (r,s) Smíšena střední hodnota dvou pořádkových statstk cov(x (r) X (s) ) Kovarance dvou pořádkových statstk Φ(x) Dstrbuční funkce normálního rozdělení N(, ) 7