Řešení úloh kola 50 ročníku fyzikální olympiády Kategorie A Autořiúloh:JJírů(),PŠedivý(,,5,6,7),úlohajepřevzatazMoskevskéFO a) Zvolme vztažnou soustavu podle obr R Po přestřižení vlákna koná kulička šikmý vrhspočátečnírychlostí v 0 aelevačnímúhlem αvelikostpočátečnírychlosti určíme ze zákona zachování energie: mgrcos α mv 0 v 0 grcos α,877m s () Během vrhu platí pro souřadnice kuličky xrsin α+v 0tcos α, () y h+r( cos α)+v 0tsin α gt () y r α v 0 α v x0 h O L v x β x v Obr R Vokamžikudopaduje y0ztohourčímedobuvrhu: úloze vyhovuje kladný kořen gt v 0sin α t h r( cos α)0; t v0sin α+ v0 sin α+g[h+r( cos α)] g grcos αsin α+ grcos αsin α+g[h+r( cos α)] g 0,779s ()
Dosazením do() dostaneme hledanou vzdálenost L,96 m body b) Velikost rychlosti dopadu určíme užitím zákona zachování mechanické energie: mg(h+r) mv v g(h+r)5,9m s Vodorovná složka rychlosti je během vrhu konstantní a má velikost v x v 0x v 0cos α,97m s Rychlost dopadu je odchýlena od vodorovného směru o úhel βarccos vx v 60,0 body c) Dosazením vzorců() a() do tabulky Excelu, jejich kopírováním a postupným zjemňováním dělení intervalu dostaneme výsledek: α t / s /P α t / s /P α t / s /P Kuličkadopadnedonejvětšívzdálenosti L max,00 m,00 m, jestliže vláknopřestřihnemepřidosaženíúhlu α, body
a) Jestližetřetízávažíklesnedohloubky h,vystoupíoběkrajnízávažídovýšky d + h d Soustavabudemítpotenciálníenergii E pmg( d + h d) mghmg( d + h d h) body b) Kinetická energie soustavy se nejprve zvětšuje, pak zmenšuje a v dolní úvrati je opět nulová Jsou-li splněny podmínky zadání, můžeme ztráty mechanické energie během prvního pohybu dolů zanedbat a použít zákon zachování mechanické energie V dolní úvrati tedy platí d + h m d h m0 Úpravoudostanemerovnici h m h md0 Úlozevyhovujekořen h m d Délkavlákenmezikladkouatřetímzávažímvdolníúvratije d + 6 9 d 5 d <d Krajní závaží se tedy zastaví před dosažením kladek(obr R) d body h m Obr R c) V rovnovážné poloze(obr R) jsou výslednice sil působících na jednotlivá závaží nulové Tahová síla vlákna má stejnou velikost jako tíha závaží a platí mgtsin αmgsin α sin α, α0, h 0 dtg α d Soustava získává kinetickou energii na úkor energie potenciální Během pohybu je tedy celková potenciální energie záporná Platí [ ] de p dh mg (d + h ) h Snadnosepřesvědčíme,žepro hh 0 d je dep dh 0, pro 0 < h < h 0 je dep dep <0 apro h0 < h < hm je >0 Vrovnovážné dh dh poloze je tedy potenciální energie soustavy minimální a má hodnotu
( ) E p(h 0)mgd mg d mgd( ) body α d h 0 T T T T F G F G F G Obr R d) Druhým derivováním dostaneme [ ] d E p dh mg (d + h ) h h+(d + h ) mgd (d + h ) Vbodě h 0 d je d E p dh mg d V okolí rovnovážné polohy tedy platí E mg p(h 0+dh)E p(h 0)+ (dh) d 8 body e) Energie, kterou získá soustava malým vychýlením třetího závaží z rovnovážné polohy působením vnější síly, je rovna energii kmitání, které následuje po jeho uvolnění Výchylka třetího závaží je rovna amplitudě jeho kmitů Označme ji y mkrajnízávažíbudouvdůsledkuneroztažitelnostivláknakmitatsamplitudou y msin0 y m/připrůchodurovnovážnoupolohoubudemíttřetízávaží rychlost v m ωy m,krajnízávažíbudoumítpřiprůchodurovnovážnýmipolohami rychlost poloviční Energie kmitů je Ztoho mg y d 8 m ( m+ mv m vm ) mω y m ω p T g d, Tp d g body
a) Zákon zachování hybnosti a zákon zachování mechanické energie dávají pro první ráz rovnice m v 0 m u + mu, mv 0 mu + mu Z rovnic dostaneme souřadnice rychlosti levé a prostřední koule po první srážce: u m m v0, () m + m u m v0 () m + m Druhá srážka probíhá analogicky, stačí v rovnicích() a() provést substituci m m, m m, v 0 u, u w, u w : w m m m+m u, () w m m+m u () Dosazením proměnné u z rovnice() do rovnic() a() dostaneme: w w m (m m ) v0, (5) (m+m )(m+m ) mm v0 (6) (m+m )(m+m ) body Nyní budeme hledat hodnotu proměnné hmotnosti m, pro kterou bude rychlost w maximálnífunkcidanourovnicí(6)derivujemepodle m: dw dm d mm dm m v 0 +(m + m )m+m m m [ m +(m + m )m+m m ] mm(m+m + m ) [ m +(m + m )m+m m ] v 0 Derivace je nulová pro m (m m m ) [ m +(m + m )m+m m ] v 0 m m m (7) Pro m < m m je derivace kladná a funkce je tedy rostoucí, pro m > > m m je derivacezápornáafunkceje tedyklesající Nalezenýextrémje tedy maximem Ke stejnému závěru můžeme dojít užitím druhé derivace Číselně vychází m,00kg Přizáměněhmotností m a m sevýsledeknezmění body 5
b) Dosazenímvztahu(7)dovztahů(),(5)a(6)dostaneme m u m+ v m 0 5 v00,0v0, w m ( m m ) ( m + m ) v 0 6 5 v00,v0, m w ( m + m ) v 6 0 5 v0,v0 Záměnou hmotností dostaneme u 5 v0 0,0v0, w v0 0,6v0, w6 5 5 v00,6v0 c) Hledáme poměr E k E k Dosazením ze vztahů(6) a(7) dostaneme mw mv 0 body E k E k 6m m ( m + m ) 576 65 0,9 Při záměně hmotností se výsledek nezmění body a) p T min T max p-v diagram kruhového děje je na obr R Teplota během cyklu roste jen při izochorickém ohřátí aklesájenpřiizochorickémochlazení Přiizotermickýchdějíchsenemění Plynmátedyteplotu T minpřiizotermickékompresi ateplotu T maxpřiizotermickéexpanzi Teplo získané při izochorickém ohřátí je rovno přírůstku vnitřní energie: Q U nr(tmax Tmin) V V Obr R V Ztoho T max T min+ Q nr body 6
b) Přiizochorickémochlazení jeteplo Q odevzdanéplynemrovnoúbytku vnitřní energie: Q U nr(tmax Tmin)Q Teplo Q odevzdanéplynempřiizotermickékompresi jerovnopráci,kterou přiníplynspotřebujeteplo Q přijatépřiizotermickéexpanzi jerovno práci, kterou při ní plyn vykoná Obě práce jsou číselně rovny obsahu obrazce omezeného v grafu příslušnou izotermou Rovnice izoterm odvodíme ze stavové rovnice: p h nrtmax V prohorníizotermu, p d nrtmin V pro horní izotermu Prokterýkolivobjem V je p d /p h T min/t maxvestejnémpoměrujsoutedyi plochy omezené v daném úseku oběma izotermami Proto Q Tmin, Q Q T T max Q min nrtminq T max nrtmin+ Q Ke stejnému výsledku můžeme dojít také porovnáním vztahů Q nrt maxln V, Q V nrt minln V, V kde V, V jsouobjemyplynupřiizochorickémohřátíapřiizochorickémochlazení body c) Celková práce plynu během jednoho cyklu je rovna rozdílu přijatého a odevzdaného tepla: ( ) W Q + Q (Q + Q )Q Q Q Tmin Q Q T max nrtmin+ Q d) Termodynamická účinnost cyklu je η W Q + Q ( Q Q ) (Q + Q ) nrtmin+ Q body body 7
U U 5 5 9 U, U U 9 U, U 9 U body 5 a) Označme náboje a napětí na jednotlivých kondenzátorech podle obr R5 Ze zákona zachování náboje plyne Q + Q Q + Q 5, Q Q Q 0 Ztoho CU +CU CU + CU 5, CU CU CU 0 Po úpravě Dále platí: U +U U + U 5, () U U U 0 () U + U U, () U + U 5 U, () U + U U (5) Řešením soustavy rovnic dostaneme: U U Q Q Q Q C C Q C Q U C C Q Q Q 5 Q 5 U U 5 U Obr R5 body b) Ze zdroje přejde po sepnutí spínače na soustavu kondenzátorů náboj QQ + Q CU +CU C 5 U+C 9 9 U 9 CU Soustavamátedycelkovoukapacitu 9 C body Poznámka: Výsledky řešení platí jen omezenou dobu po sepnutí spínače Při trvalém zapojení soustavy kondenzátorů ke zdroji konstantního stejnosměrného napětí se uplatní svodové odpory jednak v dielektriku kondenzátorů, jednak v konstrukci, která soustavu nese(např v desce plošných spojů) Jimi procházejí nepatrné proudy, které některé kondenzátory vybíjejí, jiné nabíjejí Po dlouhé době se napětí v jednotlivých větvích upraví, jako by zde byla jen síť svodových odporů 8
6Natyčpůsobítřisíly:tíhovásíla F G,tažná sílaprovázku F areakcepodložky F Zpodmínek rovnováhy plyne, že jejich vektorové přímky se protínají v jediném bodě(obr R6) V okamžiku, kdy konec tyče začne klouzat po podložce, splňují velikosti vodorovné a svislé složkysíly F vztah F t ff n,kde fjesoučinitel smykového tření mezi tyčí a podložkou, aproodchylku ϕtétosílyodsvisléhosměru platí tg ϕ Ft F n f Natrojúhelníky ACC, BCC použijemesinovou větu Platí 0,5l t sin ϕ sin δ sin(α β) sinβ, F F t A F n δ l F G C S l x β F α β B D l h O δ80 α β ϕ, Postupnými úpravami dostaneme t ϕ α β sin ϕ sinβsin(α β) sin(α+β+ ϕ) C Obr R6 sin(α β)[sin(α+β) cos ϕ+cos(α+β) sin ϕ], sin ϕ[sinβ sin(α β) cos(α+β)]cos ϕ sin(α β) sin(α+β), ftg ϕ sin ϕ cos ϕ sin(α β) sin(α+β) cosβ cosα sinβ sin(α β) cos(α+β) sinβ sinα Úhly αaβurčímezpravoúhlýchtrojúhelníků AODaABS: x αarcsin x + h, βarccos x + h l 9
7Nejprveurčímepoloměr R prvníkulovéplochyzpythagorovyvětydostaneme ( R r + R r ) R 5 r bod způsob řešení zobrazení prvním a druhým kulovým rozhraním vyšetříme postupně (obr R7) Vyjdeme ze zobrazovací rovnice kulového rozhraní o poloměru R, které odděluje dvě prostředíoindexechlomu n, n,zevztahuprovýpočetpředmětovéohniskovévzdálenosti a vztahu pro výpočet příčného zvětšení β: ( ( R n )n R + a a ), f nr, β f n n a f Vzhledem ke znaménkové konvenci bereme oba poloměry kulových rozhraní jako záporné rozhraní: R 5 r, n, n n,5, a r ( ) ( ) 5r + r 5r a a 5 8 r,5cm, ( 5 ) r f 5 5 r,5cm, β r 5 r+5 r 6 0,8 rozhraní: R r, n, n n,5, a5r 8 + r 9 8 r ( r + 8 ) ( 9r r ) a f ( r) a 6 5 r 6cm, r5cm, β r 8 9 8 r r 5,6 body body Výslednépříčnézvětšeníje β β β Výslednýobraztedyležípředčočkou,je zdánlivý, vzpřímený a zvětšený způsob řešení použijeme zobrazovací rovnici tlusté čočky(obr R8) Parametrytlustéčočkyjsou R 5 r, R r, d r, n, n bod 0
Nejprve určíme ohniskovou vzdálenost a polohu hlavních bodů: ( n n R R f (n n )[(n n )d+n (R R 5 ) r ( r) ( )] r + r )6r0cm, ( 5 ) n R d a (H) (n n )d+n (R R r r ) r + r r 5cm, r ( r) a (H n R d ) (n n )d+n (R R ) r + r 5 r cm Pak použijeme Gaussovu zobrazovací rovnici a + a f, kde aa a(h) r Ztoho a af a f r 6r 9r Příčnézvětšeníobrazuje β a a r, a a a (H ) 6 5 r 6cm body body bod χ χ R r R a a r A R A R a a a (H ) a (H) H H Obr R7 a a Obr R8 a a