Metoda analýzy datových obalů (DEA)

Kapitola 1 Metoda analýzy datových obalů (DEA) Modely datových obalů slouží pro hodnocení technické efektivity produkčních jednotek na základě velikosti vstupů a výstupů. Hodnocenými jednotkami mohou být pobočky bank, supermarkety, nemocnice, školy, úřady apod. Protože vstupů a výstupů, podle kterých příslušné jednotky hodnotíme, může být více druhů, řadí se DEA mezi metody vícekriteriálního rozhodování. Analýza datových obalů je vhodná ke zjišťování technické efektivity jednotek, které jsou vzájemně srovnatelné. To znamená, že používají stejné vstupy k produkování stejných výstupů, avšak v jejich výkonech jsou jisté rozdíly. Jednotky jsou porovnávány mezi sebou a zjišťuje se, které z nich jsou efektivní a které nefektivní. V případě neefektivních jednotek lze metodou datových obalů zjistit, jak má taková jednotka redukovat své vstupy, popřípadě navýšit své výstupy, aby se stala efektivní. Příklad 1. Obchodní řetězec má patnáct poboček, přičemž každá z těchto poboček je charakterizována počtem zaměstnanců, režijními náklady, celkovými náklady, prodejní plochou, počtem obsloužených zákazníků a denními tržbami. Které z patnácti poboček jsou a které nejsou efektivní? Které vstupy a do jaké míry je nutné u neefektivních jednotek redukovat, popřípadě které výstupy navyšovat? Počet porovnávaných jednotek musí být dostatečně velký, protože při malém počtu srovnávaných jednotek a velkém počtu kritérií by byly považovány všechny jednotky za efektivní. Velkou pozornost je nutné věnovat výběru vhodných kritérií, podle kterých jsou jednotky hodnoceny. Důležité je vybrat kritéria, která jsou pro výkon jednotky zásadní, jsou známy jejich hodnoty u všech jednotek a zároveň to jsou kritéria, která spolu příliš nekorelují. 1.1 Podstata metody DEA Cílem této metody je rozdělení zkoumaných objektů na efektivní a neefektivní podle velikosti spotřebovávaných zdrojů a množství vyráběné produkce nebo jiného typu výstupů. DEA porovnává jednotky vzhledem k nejlepším jednotkám. Modely DEA vycházejí z Farrelova modelu pro měření efektivity jednotek s jedním vstupem a jedním výstupem, který rozšířili Charnes, Cooper a Rhodes (CCR) a Banker, Charnes a Cooper (BCC). DEA modely jsou založeny na tom, že pro daný problém existuje množina produkčních možností, tvořená všemi přípustnými kombinacemi vstupů a výstupů. Množina produkčních možností je určena efektivní hranicí. Pokud kombinace vstupů a výstupů u příslušné jednotky leží na této hranici, jedná se o efektivní jednotku. Jednotka je efektivní, pokud spotřebovává malé množství vstupů na velké množství výstupů. V případě, že jednotka efektivní není (neleží na hranici produkčních možností), je nutné upravit velikost jejích vstupů, popřípadě výstupů. Jak snížit vstupy nebo jak zvýšit výstupy lze zjistit opět pomocí řešení modelů DEA. 1

2 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) 1.2 Hodnocení jednotek s jedním vstupem a jedním výstupem V případě, že uvažujeme pouze jeden vstup a jeden výstup, efektivita jednotek je dána vztahem: efektivita = výstup vstup Příklad 2. Obchodní řetězec má osm poboček, přičemž každá z těchto poboček je charakterizována počtem zaměstnanců a denními tržbami v 10 tisících Kč. Potřebné údaje naleznete v následující tabulce: A B C D E F G H Zaměstnanci (x) 2 3 3 4 5 5 6 8 Tržby (y) 1 3 2 3 4 2 3 5 y/x 0.5 1 0.67 0.75 0.8 0.4 0.5 0.63 Čím je podíl y/x větší, tím je pobočka efektivnější (větší objem tržeb na zaměstnance). 1.2.1 Výnosy z rozsahu Efektivní hranice může mít různý tvar podle toho, zda v úloze uvažujeme konstantní či variabilní výnosy z rozsahu. Konstantní výnosy z rozsahu (Constant returns to scale - CRS) Je-li kombinace vstupů a výstupů (x,y) prvkem množiny produkčních možností, pak je prvkem této množiny i kombinace této množiny (αx, αy), kde α > 0. Neboli pokud je jednotka s určitou kombinací vstupů a výstupů efektivní, pak bude efektivní i jednotka, jejíž vstupy a výstupy jsou α násobky vstupů a výstupů původní efektivní jednotky. (1.1) Množina produkčních možností a efektivní hranice pro příklad 2 jsou znázorněny na obrázku 1.1 Efektivní hranici tvoří přímka a jedinou efektivní jednotkou, která na této hranici leží, je jednotka B. Neefektivní jednotky by měly snížit množství vstupů nebo zvýšit množství výstupů. Například aby se neefektivní jednotka A stala efektivní, musela by udělat jedno z následujících opatření: Zvýšit hodnotu výstupu na hodnotu y (y = 2) při zachování současné výše vstupu x. Získáme tak virtuální jednotku U s virtuálním vstupem a výstupem (x, y ) = (2, 2). Tato virtuální jednotka je pak vzorová pro neefektivní jednotku A. Pokud by tedy jednotka A měla být efektivní a zaměstnávala dva zaměstnance, musela by zvýšit tržby z 10 tisíc Kč na 20 tisíc Kč. Toto je tzv. výstupově orientovaný model. Snížit hodnotu vstupu na hodnotu x (x = 1) při zachování současné výše výstupu y. Získáme tak virtuální jednotku U s virtuálním vstupem a výstupem (x, y) = (1, 1). I tato virtuální jednotka je pak vzorová pro skutečnou jednotku A. Pokud by tedy jednotka A měla být efektivní a měla tržby 10 tisíc Kč, musela by zaměstnávat pouze jednoho zaměstnance. Tento model je vstupově orientovaný. Kombinovat oba předchozí způsoby, například zaměstnat jednoho zaměstnance na plný úvazek, druhého na poloviční a tržby navýšit na 15 tisíc Kč. Relativní míru efektivity neefektivních jednotek lze vypočítat porovnáním tržeb na jednoho zaměstnance s tržbami na jednoho zaměstnance u efektivní jednotky. Výpočet pro jednotku A by pak byl: 0, 5/1 = 0, 5. Tato míra efektivity je relativní, neboť závisí na souboru hodnocených jednotek. Míru efektivity jednotky A můžeme počítat i z velikosti vstupů a výstupů této jednotky a virtuálních jednotek U, U :

1.2. HODNOCENÍ JEDNOTEK S JEDNÍM VSTUPEM A JEDNÍM VÝSTUPEM 3 Obrázek 1.1: Hranice efektivity - CRS Pokud vezmeme v úvahu výstupově orientovaný model, virtuální jednotku U, míru efektivnosti vypočteme jako y/y = 1/2 = 0, 5. Je to tedy podíl tržeb neefektivní jednotky A a tržeb virtuální jednotky U. Vzhledem k tomu, že se jedná o výstup a my chceme zjistit, jak se má výstup upravit - navýšit, je vhodné pracovat s převrácenou hodnotou y /y = 2/1 = 2. Pokud vezmeme v úvahu vstupově orientovaný model, virtuální jednotku U, míru efektivnosti vypočteme jako x /x = 1/2 = 0, 5. Je to tedy podíl počtu zaměstnanců virtuální jednotky U a skutečné neefektivní jednotky A. Zjistili jsme, jak se má vstup jednotky A upravit - snížit, a to na 1/2 původní hodnoty. Variabilní výnosy z rozsahu (Variable returns to scale - VRS) Zde neplatí požadavek, že α násobek vstupů musí být vyvážen nárůstem výstupů o stejný násobek. Jednotka tedy může být efektivní, i když poměrný nárůst výnosů bude nižší nebo vyšší než nárůst vstupů. Pro příklad 2 je množina produkčních možností a efektivní hranice znázorněna na obrázku 1.2. Efektivní hranici zde tvoří konvexní obal množiny produkčních možností (obal dat). Všimněme si, že nyní jsou efektivní jednotky tři, a to B, E a H. Obecně platí, že míra efektivity hodnocených jednotek za předpokladu VRS je stejná nebo vyšší, než za předpokladu CRS. Vezměme neefektivní jednotku D. Za předpokladu CRS je míra efektivity 0, 75/1 = 0, 75 a nezáleží na tom, zda uvažujeme vstupově či výstupově orientovaný model. V případě variabilních výnosů z rozsahu lze opět dosáhnout efektivní hranice třemi způsoby: Zvýšit hodnotu výstupu na hodnotu y (y = 3, 5) při zachování současné výše vstupu x. Získáme tak virtuální jednotku U s virtuálním vstupem a výstupem (x, y ) = (4; 3, 5). Tato virtuální jednotka je pak vzorová pro neefektivní jednotku D. Pokud by tedy jednotka D měla být efektivní a zaměstnávala čtyři zaměstnance, musela by zvýšit tržby z 30 tisíc Kč na 35 tisíc Kč. Toto je tzv. výstupově orientovaný model. Snížit hodnotu vstupu na hodnotu x (x = 3) při zachování současné výše výstupu y. Získáme tak virtuální jednotku U s virtuálním vstupem a výstupem (x, y) = (3, 3).

4 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Tržby 5 Hranice efektivity H 4 U` E 3 U``= B D G 2 C F 1 A Množina produkčních možností 1 2 3 4 5 6 7 8 Zaměstnanci Obrázek 1.2: Hranice efektivity - VRS I tato virtuální jednotka je pak vzorová pro skutečnou jednotku D. Všimněte si, že velikost vstupů a výstupů u virtuální jednotky U je shodná s velikostí vstupů a výstupů u jednotky B. V tomto případě můžeme vynechat pojem virtuální jednotka. Vzorovou jednotkou pro neefektivní jednotku D je skutečná jednotka B. Pokud by tedy jednotka D měla být efektivní a měla tržby 30 tisíc Kč, musela by zaměstnávat pouze tři zaměstnance. Tento model je vstupově orientovaný. Kombinovat oba předchozí způsoby. Míru efektivity jednotky D můžeme počítat i u tohoto modelu z velikosti vstupů a výstupů této jednotky a virtuálních jednotek U, U : Pokud vezmeme v úvahu výstupově orientovaný model, virtuální jednotku U, míru efektivnosti vypočteme jako y/y = 3/3, 5 = 0, 85714. Je to tedy podíl tržeb neefektivní jednotky D a tržeb virtuální jednotky U. Vzhledem k tomu, že se jedná o výstup a my chceme zjistit, jak se má výstup upravit - navýšit, je vhodné pracovat s převrácenou hodnotou y /y = 3, 5/3 = 1, 16667. Pokud vezmeme v úvahu vstupově orientovaný model, virtuální jednotku U, míru efektivnosti vypočteme jako x /x = 3/4 = 0, 75. Je to tedy podíl počtu zaměstnanců virtuální

1.3. HODNOCENÍ JEDNOTEK SE DVĚMA VSTUPY A JEDNÍM VÝSTUPEM 5 jednotky U a skutečné neefektivní jednotky D. Zjistili jsme, jak se má vstup jednotky D upravit - snížit, a to na 3/4 původní hodnoty. Z výsledků je patrné, že za předpokladu VRS se míra efektivity mění v závislosti na zvoleném modelu (vstupově či výstupově orientovaný). 1.3 Hodnocení jednotek se dvěma vstupy a jedním výstupem Efektivitu jednotek, které spotřebovávají dva vstupy k produkci jednoho výstupu lze zjistit graficky i metodou, která bude popsána v kapitole 1.5. Řešený příklad 1. Obchodní řetězec má devět poboček, přičemž každá z těchto poboček je charakterizována počtem zaměstnanců, režijními náklady v tisících Kč a denními tržbami v 10 tisících Kč. Potřebné údaje naleznete v následující tabulce. A B C D E F G H I Zaměstnanci 12 7 16 8 4 5 18 20 12 Režijní náklady 9 3 2 4 8 2 12 10 5 Prodej 3 1 2 2 2 1 3 4 2 Řešení. Proto, aby se úloha nechala graficky znázornit, je nutné znormovat vstupy na jednotku výstupu. Vydělíme počet zaměstnanců a režijní náklady velikostí prodeje pro každou jednotku. Například pro jednotku A budeme počítat 12/3 a 9/3. Graficky pak znázorňujeme velikost dvou vstupů potřebných pro dosažení jednotky výstupu. Grafické řešení je znázorněno na obrázku 1.3 A B C D E F G H I Zaměstnanci 4 7 8 4 2 5 6 5 6 Režijní náklady 3 3 1 2 4 2 4 2.5 2.5 Prodej 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z grafu je patrné, že efektivní jsou jednotky C, D a E. Jsou to jednotky, ke kterým v hodnoceném souboru jednotek neexistuje žádná jednotka s lepšími hodnotami obou vstupů na jednotku výstupu. Uvedené efektivní jednotky tvoří efektivní hranici. Jednotky A, B, F, G, H, I jsou neefektivní. Modely DEA se liší tím, jak měří vzdálenost neefektivní jednotky od efektivní hranice. Jeden z možných způsobů je měření radiální, které budeme používat v našem textu. Radiální způsob měření určuje redukci obou (všech) vstupů nutnou pro dosažení efektivní hranice a realizuje se tak, že je spojena neefektivní jednotka s počátečním bodem. Tam, kde se protne tato spojnice s hranicí efektivity, zjistíme velikost vstupů, která je potřebná pro dosažení efektivity. Mohou nastat dva základní případy: Skutečná jednotka je vzorovou (peer) jednotkou, jako je tomu například v případě neefektivní jednotky H, pro kterou je vzorovou jednotkou jednotka D. Zde můžeme vynechat termín hypotetická jednotka, protože vzorová jednotka je jednotkou skutečnou, spojnice prochází bodem D. Efektivitu jednotky H pak vypočítáme jako podíl vzdálenosti jednotky D od počátku a jednotky H od počátku, tedy 0D / 0H = 0, 7996. Můžeme říci, že pro dosažení efektivity by jednotka H měla snížit své vstupy na 79,96% původní velikosti vstupů. Vzorovou jednotkou je hypotetická jednotka, která je tvořena kombinací skutečných vzorových jednotek. Například spojnice neefektivní jednotky A s počátkem protíná efektivní hranici mezi dvěma efektivními jednotkami D a E. V tomto průsečíku leží hypotetická jednotka U, která udává velikost vstupů pro jednotku A, aby dosahovala efektivity. Efektivitu jednotky A počítáme jako podíl vzdálenosti jednotky U od počátku a vzdálenosti bodu A od počátku, tedy

6 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Režijní náklady 5 4 Hranice efektivity E Množina produkčních možností G 3 2 U`` D A H F I B 1 C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Zaměstnanci Obrázek 1.3: Hranice efektivity pro dva vstupy a jeden výstup 0U / 0A. Vstupy této hypotetické jednotky mohou být počítány jako kombinace velikosti vstupů dvou sousedních efektivních jednotek D a E. Tento postup si ukážeme později. 1.4 Hodnocení jednotek s jedním vstupem a dvěma výstupy Efektivitu jednotek, které spotřebovávají jeden vstup k produkci dvou výstupů, lze zjistit graficky i metodou, která je popsána v kapitole 1.5. Řešený příklad 2. Obchodní řetězec má sedm poboček, přičemž každá z těchto poboček je charakterizována počtem zaměstnanců, počtem obsloužených zákazníků za hodinu a denními tržbami v 10 tisících Kč. Potřebné údaje naleznete v následující tabulce. A B C D E F G Zaměstnanci 2 3 1 1 2 2 4 Zákazníci 2 6 2 4 8 10 24 Prodej 10 21 3 3 12 10 8

1.4. HODNOCENÍ JEDNOTEK S JEDNÍM VSTUPEM A DVĚMA VÝSTUPY 7 Řešení. Nejprve si znormujeme velikosti výstupů na jednotku vstupu. Provede se to tak, že vydělíme oba výstupy vstupem. Například pro jednotku A dělíme počet zákazníků a velikost tržeb počtem zaměstnanců, tedy 2/2 a 10/2. A B C D E F G Zaměstnanci 1 1 1 1 1 1 1 Zákazníci 1 2 2 4 4 5 6 Prodej 5 7 3 3 6 5 2 Grafické řešení tohoto příkladu naleznete na obrázku 1.4 Tržby 7 Q B Hranice efektivity 6 E 5 A F 4 U` 3 2 C D H G 0 1 Množina produkčních možností 1 2 3 4 5 6 7 8 Zákazníci Obrázek 1.4: Hranice efektivity pro jeden vstup a dva výstupy Z grafu je patrné, že efektivní jsou jednotky B, E, F, G. Jsou to jednotky, ke kterým v hodnoceném souboru jednotek neexistuje žádná jednotka s lepšími hodnotami obou výstupů na jednotku vstupu. Uvedené efektivní jednotky tvoří efektivní hranici. Jednotky A, C, D, H jsou neefektivní. I v tomto případě budeme používat radiální způsob dosažení efektivní hranice. Radiální způsob měření určuje navýšení obou (všech) výstupů, nutné pro dosažení efektivní hranice, a realizuje se tak, že je spojena neefektivní jednotka s počátečním bodem. Tam, kde se protne tato spojnice s hranicí efektivity, zjistíme velikost výstupů, která je potřebná pro dosažení efektivity. Mohou nastat dva základní případy:

8 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Skutečná jednotka je vzorovou (peer) jednotkou, jako je tomu například v případě neefektivní jednotky C, pro kterou je vzorovou jednotkou jednotka E. Zde můžeme vynechat termín hypotetická jednotka, protože vzorová jednotka je jednotkou skutečnou, spojnice prochází bodem E. Efektivitu jednotky C vypočítáme pak jako podíl vzdálenosti jednotky E od počátku a jednotky C od počátku, tedy 0E / 0C = 2. Můžeme říci, že pro dosažení efektivity by jednotka C měla zvýšit své výstupy na dvojnásobek původní velikosti výstupů. Vzorovou jednotkou je hypotetická jednotka, která je tvořena kombinací skutečných vzorových jednotek. Například spojnice neefektivní jednotky D s počátkem protíná efektivní hranici mezi dvěma efektivními jednotkami F a G. V tomto průsečíku leží hypotetická jednotka U, která udává velikost výstupů pro jednotku D, aby dosahovala efektivity. Efektivitu jednotky D počítáme jako podíl 0U / 0D, což je vzdálenost jednotky U od počátku a vzdálenosti bodu D od počátku. Výstupy této hypotetické jednotky mohou být počítány jako kombinace velikosti vstupů dvou sousedních efektivních jednotek F a G. Tento postup si ukážeme později. Poznámka. Všimněte si zvláštního případu vzorové jednotky Q (pro neefektivní jednotku A). 1.5 Hodnocení jednotek s více vstupy a výstupy V případě více spotřebovávaných vstupů na produkci více výstupů se používá míra efektivity: efektivita = vážená suma výstupu vážená suma vstupu, (1.2) což lze vyjádřit vztahem: e k = u j y jk, k = 1, 2,..., p, (1.3) v i x ik kde u j, v i jsou jednotné váhy vstupů a výstupů pro všechny hodnocené jednotky, x ik je velikost i- tého vstupu pro k-tou jednotkou a y jk je velikost j -tého výstupu pro k-tou jednotkou (celkem je hodnoceno p jednotek). Vstupní údaje můžeme zapsat do tabulky, která má charakter kriteriální matice (sloupce vstupů odpovídají hodnocení podle minimalizačního kritéria a sloupce výstupů podle maximalizačního kritéria). Je akceptována kompenzace (vyšší výstupy potřebují více vstupů při zachování efektivity spotřeby). Předpokládejme, že zkoumaný objekt zahrnuje p jednotek, jsou označeny S 1, S 2,..., S p. Každá z nich spotřebovává m vstupů na produkci n výstupů. Potom x ik je množství spotřebovávaného i-tého vstupu k-tou jednotkou a y jk je množství j-tého výstupu produkovaného k-tou jednotkou. Vstupy a výstupy lze zapsat do přehledné tabulky, viz tabulka 1.1. Vzhledem k tomu, že každé středisko je jinak zaměřené, lze uvažovat váhy odděleně pro každé středisko. Tyto váhy nejsou odvozené od ceny, ale spíše od používané technologie v jednotlivých střediskách. Z tohoto důvodu se používá termín technická efektivita, kterou vyjadřuje vztah 1.4: e k = u jk y jk, k = 1, 2,..., p, (1.4) v ik x ik

1.5. HODNOCENÍ JEDNOTEK S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY 9 Tabulka 1.1: Obecné zadání vstupní matice pro metodu DEA Vstupy Výstupy X 1 X 2 X m Y 1 Y 2 Y n S 1 x 11 x 21... x m1 y 11 y 21... y n1 S 2 x 12 x 22... x m2 y 12 y 22... y n2.......... S p x 1p x 2p... x mp y 1p y 2p... y np u jk a v ik jsou individuální váhy vstupů a výstupů pro hodnocené jednotky, x ik je velikost i-tého vstupu pro k-tou jednotkou a y jk je velikost j -tého výstupu pro k-tou jednotkou (celkem je hodnoceno p jednotek). Modely DEA tedy hledají individuální váhy pro jednotlivé hodnocené jednotky. Tyto váhy jsou hledány tak, aby byla maximalizována efektivita jednotek. V souboru hodnocených jednotek jsou některé jednotky efektivní a jiné neefektivní. Pro neefektivní jednotky lze určit tzv. hypotetickou (virtuální) jednotku, která je charakterizována jako vážený průměr určitých skutečných efektivních jednotek (peer jednotek). Tato jednotka (velikost jejích vstupů a výstupů) slouží jako vzor pro skutečnou neefektivní jednotku, která produkuje méně výstupů nebo spotřebovává více vstupů než její virtuální jednotka. V některých případech může být vzorovou jednotkou některá z efektivních skutečných jednotek. Pro hodnocení efektivity jednotek s více vstupy a výstupy bylo vyvinuto mnoho metod, které byly již dále modifikovány. V rámci našeho kurzu se budeme zabývat pouze metodami CCR a BCC (viz dále). 1.5.1 CCR vstupově orientovaný model U modelů CCR předpokládejme konstantní výnos z rozsahu. Koeficient technické efektivity je definován jako poměr vážené sumy výstupů a vážené sumy vstupů. Jsou hledány takové váhy (koeficienty), aby koeficient technické efektivity byl z intervalu 0, 1. Jednotka s koeficientem technické efektivity rovným 1 je efektivní, koeficient menší než 1 ukazuje na neefektivní jednotku a určuje míru potřebného snížení vstupů k zajištění efektivity jednotky. Model CCR hodnotí efektivitu jednotek pro libovolný počet vstupů a výstupů. Neznámými jsou v tomto modelu váhy přidělené vstupu i a váhy přidělené výstupu j jednotkou k. Váhy jsou hledány individuálně, proto je nutno vyřešit p modelů. Tento počet modelů se řeší proto, že celkem v hodnoceném souboru je p jednotek a pro každou jednotku se sestavuje zvláštní model. Matematický model pro jednotku H (jedna z p jednotek) se skládá: z účelové funkce e H = u jh y jh max, v ih x ih (1.5) která maximalizuje poměr vážených výstupů a vážených vstupů,

10 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) z omezující podmínky u jh y jk 1, k = 1, 2,..., p, v ih x ik (1.6) která zajištuje, aby poměr výstupů a vstupů s váhami pro k-tou jednotku byl u ostatních jednotek v hodnoceném souboru menší nebo roven jedné, z podmínek nezápornosti u jh 0, j = 1, 2,..., n, (1.7) v ih 0, i = 1, 2,..., m, které požadují nezápornost hledaných neznámých (vah). Model lze upravit na lineární tak, že čitatele účelové funkce budeme maximalizovat za předpokladu, že jmenovatel se bude rovnat hodnotě 1. e H = v ih x ik + u jh y jh max v ih x ih = 1 u jh y jk 0, k = 1, 2,..., p, (1.8) u jh 0, j = 1, 2,..., n, v ih 0, i = 1, 2,..., m. Poznámka. První index představuje vždy číslo vstupu a výstupu, druhý index číslo jednotky, pro kterou je model sestaven. Předpokládejme, že jednotka H není efektivní. Když sestavíme k primárnímu modelu model duální, zjistíme, které jednotky tvoří množinu peer jednotek neefektivní jednotky H a zároveň získáme koeficienty λ kh kombinace peer jednotek, které tvoří virtuální efektivní jednotku k jednotce H. Duální model se skládá z účelové funkce a omezujících podmínek x ih z H z H min (1.9) p λ kh x ik 0; i = 1, 2,..., m, (1.10) k=1 p λ kh y jk y jh, j = 1, 2,..., n, k=1 Proměnná z H může nabývat libovolných hodnot. λ kh 0, k = 1, 2,..., p.

1.5. HODNOCENÍ JEDNOTEK S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY 11 Poznámka. První index je číslo jednotky, ke které se vztahuje příslušná λ - koeficient kombinace, druhý index je číslo jednotky, pro kterou je model sestaven. Velikost vstupů a výstupů virtuální jednotky lze vypočítat jako kombinaci vstupů a výstupů peer jednotek. Pro vstupy: a pro výstupy x ih = y jh = p λ kh x ik ; i = 1, 2,..., m, (1.11) k=1 p λ kh y jk ; j = 1, 2,..., n. (1.12) k=1 Řešený příklad 3. Obchodní řetězec má sedm poboček, přičemž každá z těchto poboček je charakterizována počtem zaměstnanců, režijními náklady v tisících Kč, počtem obsloužených zákazníků za hodinu a denními tržbami v 10 tisících Kč. Potřebné údaje naleznete v následující tabulce. Pobočka A B C D E F G Zaměstnanci 4 7 8 4 2 5 6 Režijní náklady 3 3 1 2 4 2 4 Zákazníci 1 2 3 4 4 5 6 Tržby 5 7 4 3 6 5 2 Řešení. Vzhledem k tomu, že budeme hodnotit sedm poboček, je nutné sestavit sedm modelů. Primární model pro první pobočku - pobočku A: Výsledky: e 1 = u 11 + 5u 21 max 4v 11 + 3v 21 = 1 4v 11 3v 21 + u 11 + 5u 21 0 7v 11 3v 21 + 2u 11 + 7u 21 0 8v 11 v 21 + 3u 11 + 4u 21 0 4v 11 2v 21 + 4u 11 + 3u 21 0 2v 11 4v 21 + 4u 11 + 6u 21 0 5v 11 2v 21 + 5u 11 + 5u 21 0 6v 11 4v 21 + 6u 11 + 2u 21 0 u j1 0, j = 1, 2, v i1 0, i = 1, 2. Proměnná Hodnota e 1 0,869565189 v 11 0,086956523 v 21 0,217391297 u 11 0 u 21 0,173913047 Z výsledků je patrné, že jednotka A (první) není efektivní, neboť hodnota e 1 je menší než 1. Proto přistoupíme k sestavení duálně sdruženého modelu, jehož vyřešením získáme vhodnou kombinaci

12 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) vzorových jednotek pro dosažení efektivity neefektivní jednotky A. Duální model pro první jednotku - jednotku A: z 1 min 4z 1 4λ 11 7λ 21 8λ 31 4λ 41 2λ 51 5λ 61 6λ 71 0 3z 1 3λ 11 3λ 21 λ 31 2λ 41 4λ 51 2λ 61 4λ 71 0 λ 11 + 2λ 21 + 3λ 31 + 4λ 41 + 4λ 51 + 5λ 61 + 6λ 71 1 5λ 11 + 7λ 21 + 4λ 31 + 3λ 41 + 6λ 51 + 5λ 61 + 2λ 71 5 Proměnná Hodnota z 1 0,869565189 z 1 0,869565189 λ 11 0 λ 21 0 λ 31 0 λ 41 0 λ 51 0,380434781 λ 61 0,543478251 λ 71 0 λ k1 0, k = 1, 2,..., 7 Z výsledků vyplývá, že vzorovými (peer) jednotkami pro jednotku A jsou jednotky pátá (E) a šestá (F), neboť hodnoty proměnných λ 51 a λ 61 jsou nenulové. Proměnná λ 51 se vztahuje k páté jednotce (E) - první index je 5, proměnná λ 61 se vztahuje k páté jednotce (F) - první index je 6. Známe tedy koeficienty kombinace. Nyní musíme vstupy efektivních jednotek E a F pronásobit koeficienty a pro každý vstup zvlášť tyto výsledky sečíst, abychom získali optimální velikost vstupů pro jednotku A. Konkrétně pro první vstup: Pro druhý vstup: x 11 = λ 51 x 15 + λ 61 x 16 = 0, 380434781 2 + 0, 543478251 5 = 3, 478260815 x 21 = λ 52 x 25 + λ 62 x 26 = 0, 380434781 4 + 0, 543478251 2 = 2, 608695626 Jednotka A by měla snížit svůj první vstup - počet zaměstnanců z původních 4 na 3,5 (jednomu pracovníkovi snížit úvazek zhruba na polovinu). Druhý vstup - režijní náklady by měla snížit z původních 3 tisíc Kč na zhruba 2,6 tisíc Kč. Potom bude jednotka A efektivní. Stejně jako pro jednotku A je nutné sestavit modely pro všechny ostatní jednotky a vyřešit stejným způsobem. V tabulce 1.2 jsou uvedeny výsledky pro všechny jednotky. Neuvádíme hodnotu účelové funkce duálního modelu, neboť je shodná s hodnotou účelové funkce primárního modelu. 1.5.2 CCR výstupově orientovaný model Vychází ze stejných předpokladů, jako vstupově orientovaný model. Zde je koeficient technické efektivity určen jako poměr vážené sumy vstupů a vážené sumy výstupů. Jsou hledány takové váhy, aby hodnota tohoto koeficientu byla větší nebo rovna 1. Neznámými jsou v tomto modelu váhy přidělené vstupu i a váhy přidělené výstupu j jednotkou k. I v tomto modelu jsou váhy určovány individuálně, proto je nutno vyřešit p modelů (hodnotíme soubor p jednotek). Matematický model pro jednotku H (jedna z p jednotek) se skládá:

1.5. HODNOCENÍ JEDNOTEK S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY 13 Tabulka 1.2: Výsledky primárních a duálních modelů Primární model Duální model e k v 1i v 2i u 1j u 2j λ 1k λ 2k λ 3k λ 4k λ 5k λ 6k λ 7k A 0,8696 0,087 0,2174 0 0,1739 0 0 0 0 0,3804 0,5435 0 B 0,9655 0,069 0,1724 0 0,1379 0 0 0 0 0,0603 1,3276 0 C 1 0,0682 0,4545 0 0,25 0 0 1 0 0 0 0 D 0,9412 0,1765 0,1471 0,2353 0 0 0 0 0 0,1176 0,7059 0 E 1 0,0834 0,2083 0 0,1667 0 0 0 0 1 0 0 F 1 0,15 0,125 0,2 0 0 0 0 0 0 1 0 G 0,8571 0,1071 0,0893 0,1429 0 0 0 0 0 0,4286 0,8571 0 z účelové funkce e H = v ih x ih min, u jh y jh (1.13) která minimalizuje poměr vážených vstupů a vážených výstupů, z omezujících podmínek v ih x ik 1, k = 1, 2,..., p, u jh y jk (1.14) která zajištuje, aby poměr vstupů a výstupů s váhami pro k-tou jednotku byl u ostatních jednotek v hodnoceném souboru větší nebo roven jedné z podmínek nezápornosti u jh 0, j = 1, 2,..., n, v ih 0, i = 1, 2,..., m, které požadují nezápornost hledaných neznámých (vah). Model lze upravit na lineární tak, že váženou sumu výstupů položíme rovnou jedné a minimalizuje váženou sumu vstupů: e H = v ih x ih min v ih x ik u jh y jh = 1 u jh y jk 0, k = 1, 2,..., p (1.15) u jh 0, j = 1, 2,..., n v ih 0, i = 1, 2,..., m

14 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Poznámka. První index představuje vždy číslo vstupu a výstupu, druhý index číslo jednotky, pro kterou je model sestaven. Duální model má tvar z H max p y jh z H λ kh y jk 0, j = 1, 2,..., n, (1.16) k=1 p λ kh x ik x ih, i = 1, 2,..., m, k=1 Proměnná z H může nabývat libovolných hodnot. λ kh 0, k = 1, 2,..., p. Poznámka. První index je číslo jednotky, ke které se vztahuje příslušná λ - koeficient kombinace, druhý index je číslo jednotky, pro kterou je model sestaven. Velikost vstupů a výstupů virtuální jednotky lze vypočítat jako kombinaci vstupů a výstupů peer jednotek. Řešený příklad 4. Vyhodnoťte efektivitu jednotek z příkladu 3, použijte výstupově orientovaný CCR model. Řešení. Primární model pro první pobočku - pobočku A: Výsledky: e 1 = 4v 11 + 3v 21 min u 11 + 5u 21 = 1 4v 11 + 3v 21 u 11 5u 21 0 7v 11 + 3v 21 2u 11 7u 21 0 8v 11 + v 21 3u 11 4u 21 0 4v 11 + 2v 21 4u 11 3u 21 0 2v 11 + 4v 21 4u 11 6u 21 0 5v 11 + 2v 21 5u 11 5u 21 0 6v 11 + 4v 21 6u 11 2u 21 0 u j1 0, j = 1, 2, v i1 0, i = 1, 2. Proměnná Hodnota e 1 1,15 v 11 0,1 v 21 0,25 u 11 0 u 21 0,2 Z výsledků je patrné, že jednotka A (první) není efektivní, neboť hodnota e 1 je větší než 1. Proto přistoupíme k sestavení duálně sdruženého modelu, jehož vyřešením získáme vhodnou kombinaci

1.5. HODNOCENÍ JEDNOTEK S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY 15 vzorových jednotek pro dosažení efektivity neefektivní jednotky A. Duální model pro první jednotku - jednotku A: z 1 max 4λ 11 + 7λ 21 + 8λ 31 + 4λ 41 + 2λ 51 + 5λ 61 + 6λ 71 4 3λ 11 + 3λ 21 + λ 31 + 2λ 41 + 4λ 51 + 2λ 61 + 4λ 71 3 λ 11 λ 11 2λ 21 3λ 31 4λ 41 4λ 51 5λ 61 6λ 71 0 5λ 11 5λ 11 7λ 21 4λ 31 3λ 41 6λ 51 5λ 61 2λ 71 0 Proměnná Hodnota z 1 1,15 z 1 1,15 λ 11 0 λ 21 0 λ 31 0 λ 41 0 λ 51 0,4375 λ 61 0,625 λ 71 0 λ k1 0, k = 1, 2,..., 7. Z výsledků vyplývá, že vzorovými (peer) jednotkami pro jednotku A jsou jednotky pátá (E) a šestá (F), neboť hodnoty proměnných λ 51 a λ 61 jsou nenulové. Proměnná λ 51 se vztahuje k páté jednotce (E) - první index je 5, proměnná λ 61 se vztahuje k páté jednotce (F) - první index je 6. Známe tedy koeficienty kombinace. Nyní musíme výstupy efektivních jednotek E a F pronásobit koeficienty a pro každý vstup zvlášť tyto výsledky sečíst, abychom získali optimální velikost výstupů pro jednotku A. Konkrétně pro první vstup: Pro druhý vstup: y 11 = λ 51 y 15 + λ 61 y 16 = 0, 4375 2 + 0, 625 5 = 4, 875 y 21 = λ 52 y 25 + λ 62 y 26 = 0, 4375 4 + 0, 625 2 = 5, 75 Jednotka A by měla zvýšit svůj první výstup - počet obsloužených zákazníků z původního 1 na zhruba 5. Druhý výstup - tržby by měla zvýšit z původních 50 tisíc Kč na zhruba 57,5 tisíce Kč. Potom bude jednotka A efektivní. Stejně jako pro jednotku A je nutné sestavit modely pro všechny ostatní jednotky a vyřešit stejným způsobem. V tabulce 1.3 jsou uvedeny výsledky pro všechny jednotky. Neuvádíme hodnotu účelové funkce duálního modelu, neboť je shodná s hodnotou účelové funkce primárního modelu. 1.5.3 BCC modely BCC model, navržený Bankerem, Charnesem a Cooperem, je vlastně modifikace předchozího CCR modelu. Tento model uvažuje variabilní výnosy z rozsahu. Jak již bylo uvedeno výše, efektivních jednotek je při použití tohoto typu modelu více. V modelech BCC je požadováno, aby virtuální jednotka pro jednotku H byla konvexní kombinací svých vzorových jednotek. Toto se projeví v duálním modelu přidanou podmínkou, aby součet λ kh pro k = 1, 2,..., p byl roven 1. V primárním modelu se

16 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Tabulka 1.3: Výsledky primárních a duálních modelů Primární model Duální model e k v 1i v 2i u 1j u 2j λ 1k λ 2k λ 3k λ 4k λ 5k λ 6k λ 7k A 1,15 0,1 0,25 0 0,2 0 0 0 0 0,4375 0,625 0 B 1,036 0,0715 0,1786 0 0,1429 0 0 0 0 0,0625 1,375 0 C 1 0,0682 0,4545 0 0,25 0 0 1 0 0 0 0 D 1,0625 0,1875 0,1563 0,25 0 0 0 0 0 0,125 0,75 0 E 1 0,0834 0,2083 0 0,1667 0 0 0 0 1 0 0 F 1 0,15 0,125 0,2 0 0 0 0 0 0 1 0 G 1,1667 0,125 0,1042 0,1667 0 0 0 0 0 0,5 1 0 tato podmínka projeví přidáním jedné proměnné, která představuje velikost odchylky od konstantního výnosu z rozsahu. Pro ilustraci zde budou uvedeny primární a duální vstupově orientované modely pro jednotku H. Primární model: e H = v ih x ik + u jh y jh + q H max v ih x ih = 1 u jh y jk + q H 0, k = 1, 2,..., p (1.17) u jh 0, j = 1, 2,..., n v ih 0, i = 1, 2,..., m q H R Duální model: z H min p x ih z H λ kh x ik 0, i = 1, 2,..., m, k=1 p λ kh y jk y jh, j = 1, 2,..., n, (1.18) k=1 p λ kh = 1 k=1 λ kh 0, k = 1, 2,..., p, z H R Řešený příklad 5. Předpokládejte, že výnosy z rozsahu u příkladu 3 jsou variabilní. Vyhodnoťte efektivitu jednotky A. Řešení. Nyní si pro první jednotku - jednotku A sestavíme primární model:

1.5. HODNOCENÍ JEDNOTEK S VÍCE VSTUPY A VÝSTUPY 17 e 1 = u 11 + 5u 21 + q 1 max 4v 11 + 3v 21 = 1 4v 11 3v 21 + u 11 + 5u 21 + q 1 0 7v 11 3v 21 + 2u 11 + 7u 21 + q 1 0 8v 11 v 21 + 3u 11 + 4u 21 + q 1 0 4v 11 2v 21 + 4u 11 + 3u 21 + q 1 0 2v 11 4v 21 + 4u 11 + 6u 21 + q 1 0 5v 11 2v 21 + 5u 11 + 5u 21 + q 1 0 6v 11 4v 21 + 6u 11 + 2u 21 + q 1 0 Výsledky primárního modelu pro jednotku A: u j1 0, j = 1, 2 v i1 0, i = 1, 2 q 1 R Proměnná Hodnota e 1 0,9189 v 11 0,1081 v 21 0,1892 u 11 0 u 21 0,0541 q 1 0,6486 Jednotka A je neefektivní (e 1 = 0, 9189), proto je nutné sestavit duálně sdružený model. Duální model pro jednotku A: z 1 min 4z 1 4λ 11 7λ 21 8λ 31 4λ 41 2λ 51 5λ 61 6λ 71 0 3z 1 3λ 11 3λ 21 λ 31 2λ 41 4λ 51 2λ 61 4λ 71 0 λ 11 + 2λ 21 + 3λ 31 + 4λ 41 + 4λ 51 + 5λ 61 + 6λ 71 1 5λ 11 + 7λ 21 + 4λ 31 + 3λ 41 + 6λ 51 + 5λ 61 + 2λ 71 5 Výsledky duálního modelu pro jednotku A: λ 11 + λ 21 + λ 31 + λ 41 + λ 51 + λ 61 + λ 71 = 1 λ k1 0, k = 1, 2,..., 7 Proměnná Hodnota z 1 0,9189 z 1 0,9189 λ 11 0 λ 21 0 λ 31 0 λ 41 0,1892 λ 51 0,3784 λ 61 0,4324 λ 71 0

18 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Vzorové jednotky pro jednotku A jsou čtvrtá (D), pátá (E) a šestá (F) jednotka, protože λ 41 = 0, 1892, λ 51 = 0, 3784, λ 61 = 0, 4324, ostatní jsou nulové. Aby jednotka A byla efektivní, měla by své vstupy upravit. Konkrétně pro první vstup: x 11 = λ 41 x 14 + λ 51 x 15 + λ 61 x 16 = 0, 18918924 4 + 0, 378378361 2 + 0, 432432383 5 = 3, 675675601 Pro druhý vstup: x 21 = λ 42 x 24 + λ 52 x 25 + λ 62 x 26 = 0, 18918924 2 + 0, 378378361 4 + 0, 432432383 2 = 2, 756756693 Firma by měla zaměstnávat pouze tři zaměstnance na plný úvazek a jednoho k tomu zhruba na 70%, režijní náklady by měla snížit zhruba na 2757 Kč. Ostatní pobočky se jeví při použití BCC modelu jako efektivní, proto podrobné výsledky nebudeme uvádět. Počet efektivních jednotek při použití BCC modelu je tedy skutečně vyšší než při užití CCR modelu. Obdobně bychom mohli upravit i CCR výstupově orientovaný model a vytvořit z něj BCC výstupově orientovaný model.. Podrobnější výklad tohoto typu modelů přesahuje rámec těchto skript. V případě potřeby toto naleznete v [7].

1.6. PŘÍKLADY 19 1.6 Příklady Cvičení 1. Autoopravny provádějí přípravu aut na měření emisí. Určete graficky, které servisy jsou efektivní, když předpokládáte 1. konstantní výnosy z rozsahu 2. variabilní výnosy z rozsahu. Potřebné údaje naleznete v následující tabulce: A B C D E F G Počet techniků 10 8 4 2 2 5 7 Počet aut 25 22 8 3 5,5 9 10 Cvičení 2. Pro jednotku C z příkladu 1 za předpokladu konstantních výnosů z rozsahu určete 1. její míru efektivity 2. potřebné snížení vstupu při zachování výstupu 3. potřebné zvýšení výstupu při zachování velikosti vstupu. Cvičení 3. Pro jednotku C z příkladu 1 za předpokladu variabilních výnosů z rozsahu určete 1. její míru efektivity 2. potřebné snížení vstupu při zachování výstupu 3. potřebné zvýšení výstupu při zachování velikosti vstupu. Cvičení 4. Předpokládejme, že autoopravny uvažují dva vstupy a jeden výstup. Určete graficky, které servisy jsou efektivní. Potřebné údaje naleznete v následující tabulce: A B C D E F G Počet techniků 10 3 3 5 6 4 9 Počet PC 6 5 16 14 15 4 4 Počet aut 20 10 30 20 30 10 20 Určete, které jednotky jsou a které nejsou efektivní. Pro všechny neefektivní jednotky určete jejich peer jednotky. Cvičení 5. Autoopravny uvažují jeden vstup a dva výstupy, jejich hodnoty jsou uvedeny v následující tabulce. Graficky znázorněte, které jednotky jsou efektivní. A B C D E F Počet techniků 1 1 2 2 3 1 Počet aut 10 8 18 22 21 9 Tržby (v 10 tis. Kč ) 2 2 6 5 6 2,7 Určete, které jednotky jsou a které nejsou efektivní. Určete peer jednotky pro neefektivní jednotky. Dále spočítejte, jak by některá neefektivní jednotka musela navýšit své výstupy, aby byla efektivní. Cvičení 6. Banka chce zhodnotit výkon svých poboček v menších městech. Jako podstatné vstupy si vybrala mzdové a provozní náklady v tis. Kč na pobočce za měsíc. Jako výstupy pro hodnocení si vybrala počet běžných účtů osobních, počet běžných účtů firemních a výnosy v tis. Kč za měsíc. Hodnoty vstupů a výstupů jsou uvedeny v tabulce.

20 KAPITOLA 1. METODA ANALÝZY DATOVÝCH OBALŮ (DEA) Mzdové náklady Provoz. náklady BÚ osobní BÚ firemní Výnosy A 125 5 566 693 449 B 100 4 680 548 362 C 130 5 736 355 446 D 114 2 469 422 403 E 120 6 789 270 385 1. Sestavte primární vstupově orientované CCR modely pro všechny jednotky. 2. Vyřešte v Solveru. 3. Pro neefektivní jednotky sestavte duálně sdružené modely a tyto vyřešte. 4. Interpretujte výsledky. 5. Totéž proveďte u výstupově orientovaného modelu. 6. Vyřešte v programu Frontier Analyst. 1.7 Otázky Vysvětlete podstatu metody DEA. Vysvětlete pojmy množina produkčních možností, efektivní hranice, efektivní a neefektivní jednotka. Jak je v modelech DEA vyjádřena efektivita? Jaký je rozdíl mezi konstantními a variabilními výnosy z rozsahu? Jaký je rozdíl mezi vstupově a výstupově orientovaným modelem? Co je to virtuální jednotka? Co jsou peer jednotky?

Literatura [1] Brožová, H., Houška, M., Šubrt, T. (2003): Modely pro vícekriteriální rozhodování. ČZU, Praha. [2] Fiala, P., Jablonský, J., Maňas, M. (1997): Vícekriteriální rozhodování. VŠE, Praha. [3] Fotr J., Dědina, J. (1997): Manažerské rozhodování. Ekopress, Praha. [4] Gros, I. (2003): Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. Grada Publishing, Praha. [5] Holman, R. (2003): Ekonomie. C. H. Beck, Praha. [6] Jablonský, J. (2002): Operační výzkum. Professional Publishing, Praha. [7] Jablonský, J., Dlouhý, M. (2004): Modely hodnocení efektivnosti produkčních jednotek. Professional Publishing, Praha. [8] Soukupová, J. (2002): Mikroekonomie. Management Press, Praha. [9] Vaněčková, E. (1996): Ekonomicko-matematické metody. ZF JU, skripta, České Budějovice. [10] Vaněčková, E. (1998): Rozhodovací modely. ZF JU, skripta, České Budějovice. 21