7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

Podobné dokumenty
7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

Shodná zobrazení v rovině

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

3.1.2 Polorovina, úhel

4.2.4 Orientovaný úhel I

P L A N I M E T R I E

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

Základní geometrické tvary

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

( B A) ( ) Počítání s vektory. Předpoklady: 7204, 7205

Analytická geometrie lineárních útvarů

Další polohové úlohy

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

19 Eukleidovský bodový prostor

Vektorový součin I

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

14. přednáška. Přímka

u. Urči souřadnice bodu B = A + u.

5. P L A N I M E T R I E

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

7.5.3 Hledání kružnic II

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

M - Příprava na 12. zápočtový test

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

9 Kolmost vektorových podprostorů

Parametrická rovnice přímky v rovině

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

7.1.3 Vzdálenost bodů

VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY

2.3.9 Lineární nerovnice se dvěma neznámými

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus I

( ) Příklady na středovou souměrnost. Předpoklady: , bod A ; 2cm. Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;3cm)

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

5.1.8 Vzájemná poloha rovin

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

4.3.3 Goniometrické nerovnice

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

. Najdi parametrické vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadnic a najdi její další vyjádření.

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Úhly a jejich vlastnosti

0.1 Úvod do lineární algebry

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

( ) Obecná rovnice elipsy. Předpoklady: Př. 1: Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí ( x ) ( y )

1.3.2 Množinové operace

3.2.4 Podobnost trojúhelníků II

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

4.3.3 Goniometrické nerovnice I

PLANIMETRIE úvodní pojmy

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Parabola a přímka

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

2.3.7 Lineární rovnice s více neznámými I

2.8.6 Parametrické systémy funkcí

Kótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu

4.3.2 Goniometrické nerovnice

Vybrané kapitoly z matematiky

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

1.3.3 Množinové operace

6.1 Vektorový prostor

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

Transkript:

7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí. Orientovaná úsečka: úsečka s vyznačeným počátečním a koncovým bodem (označený šipkou). Na obrázku je orientovaná úsečka : velikost: délka orientované úsečky, směr: směr orientované úsečky. Nulové orientované úsečky: počáteční bod splývá s koncovým nulová velikost. Orientovaná úsečka obsahuje víc informací než jenom velikost a směr, určuje i umístění (stejnou velikost a stejný směr má nekonečně mnoho shodných rovnoběžných úseček v různých místech roviny). Nenulový vektor u je množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Nulový vektor je množina všech nulových úseček. odatek: Podobně zavádíme: racionální číslo je množina všech zlomků, které je možné 4 0 14 zkrátit do stejného základního tvaru ( = = = ) racionální číslo není 3 6 30 1 jeden konkrétní zlomek, ale to, co mají všechny shodné zlomky společné. Stejně tak vektor není jedna konkrétní orientovaná úsečka (šipka), ale to, co mají společné všechny orientované úsečky se stejnou délkou a směrem. Vektor zapisujeme dvěma způsoby: tučné malé písmeno u, nebo malé písmeno se šipkou u. 1

Př. 1: Rozhodni, které z orientovaných úseček na obrázku představují stejné vektory. Kolik různých vektorů je na obrázku znázorněno? N L O P F M H K E G I J vektor u orientované úsečky, EF vektor v orientované úsečky IJ,, OP vektor w orientovaná úsečka LK vektor x orientovaná úsečka HG vektor y orientovaná úsečka MN Osm orientovaných úseček znázorňuje pouze pět různých vektorů. Libovolnou úsečku, která určuje vektor u, nazýváme umístění vektoru u. U předchozího příkladu říkáme: orientované úsečky, EF jsou umístěním vektoru u, umístěním vektoru x je orientovaná úsečka HG, apod. Často se mluví i o vektoru. V takovém případě je třeba dávat pozor: orientovaná úsečka je svázána se dvě konkrétními body, nemůžeme ji umístit jinam, vektor je body a pouze reprezentován, můžeme ho umístit i kamkoli jinam (musíme však zachovat velikost s měr původní úsečky ).

Př. : V rovině je dán vektor u orientovanou úsečkou ( [ 1; ], [ 3;3] obrázku umístění vektoru orientovanou úsečkou: a), 1;3 1; 1 ). Zakresli do b), kde [ ], c) EF, kde F [ ], d) GH, kde [ 0;0] G. Která čísla charakterizují vektor u? Jak je možné tato čísla vypočítat ze souřadnic krajních bodů libovolné orientované úsečky, která vektor představuje? y 4 [1;4] [-1;3] [1;] H[;1] [3;3] - G[0;0] F[1;-1] 4 x E[-1;-] - Všechna umístění vektoru jsme kreslili podle jednoho z krajních bodů tak, aby šipka představovala posun o dvě pole doprava a jedno pole nahoru. Vektor charakterizují v rovině dvě čísla (posun ve vodorovném a posun ve svislém směru) mohli bychom u = ;1. psát ( ) Posun z počátečního do koncového bodu orientované úsečky je určen tím, jak se od sebe liší souřadnice krajních bodů zkusíme souřadnice vektoru vypočítat jako rozdíl souřadnic: u = = 3;3 1; = 3 1;3 = ;1, [ ] [ ] ( ) ( ) = = [ ] [ ] = ( ) = F E [ ] [ ] ( ) ( ) u = H G = [ ;1] [ 0; 0] = ( 0;1 0) = ( ;1). ( ) ( ) ( ) ( ) u 1;4 1;3 1 1 ;4 3 ;1, u = = 1; 1 1; = 1 1 ; 1 = ;1, Postřeh: Čísla charakterizující vektor u z předchozího příkladu se shodují se souřadnicemi bodu H orientované úsečky GH (úsečky, která začíná v počátku soustavy souřadnic její počáteční bod má souřadnice [ 0;0 ]). Př. 3: Orientovaná úsečka je dána body [ a ; a ] a [ b ; b ] 1 1 charakterizující vektor určený touto orientovanou úsečkou.. Urči čísla Pouze obecně zapíšeme závěr předchozího příkladu. Vektor charakterizují dvě čísla, která popisují, jak jsme se posunuli z bodu do bodu. Tento posun odpovídá rozdílům souřadnic b1 a1 a b a. 3

Vzorec pro výpočet souřadnic vektoru jde odvodit i exaktněji. Vezmeme dvě umístění a vektoru u na dvou různých rovnoběžných přímkách. Orientované úsečky a jsou stejně dlouhé a navzájem rovnoběžné čtyřúhelník je rovnoběžník. Úhlopříčky ve čtyřúhelníku se půlí úsečky a mají společný střed. Platí i obráceně: úsečky a mají společný střed čtyřúhelník je rovnoběžník a orientované úsečky a určují stejný vektor. u S u Toto pravidlo platí i v případě, že obě orientované úsečky leží na stejné přímce. Orientované úsečky a určují stejný vektor právě tehdy, mají-li úsečky a společný střed. Předchozí větu zapíšeme vzorcem: S = S. Předeme do jednotlivých souřadnic (zapíšeme rovnou i třetí souřadnici pro případ, že pracujeme v prostoru): a1 + d1 b1 + c1 a + d b + c = = a 3 + d b 3 3 + 3 = c a1 + d1 = b1 + c1 a + d = b + c a3 + d3 = b3 + c3 d1 c1 = b1 a1 d c = b a d3 c3 = b3 a3 Tyto rozdíly už známe, získali jsme tak čísla, která nám charakterizovala vektor (souřadnice umístění vektoru s počátečním bodem v počátku soustavy souřadnic), říkáme jim souřadnice vektoru. bychom rozlišili souřadnice vektorů a souřadnice bodů, píšeme souřadnice vektorů u = u ; u = b a ; b a. do kulatých závorek ( ) ( ) 1 1 1 Z exaktního odvození je také vidět, že souřadnice vektoru nezávisí na orientované úsečce, kterou je určen (pokud úsečky, představují stejný vektor, tvoří jejich krajní body vrcholy rovnoběžníku platí S = S platí d1 c1 = b1 a1, d c = b a, d3 c3 = b3 a3 ). Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou, nazývají se čísla u1 = b1 a1, u = b a (případně v prostoru ještě u3 = b3 a3 ) souřadnice vektoru u. = = u ; u u = u ; u ; u ). Píšeme u ( ) (případně ( ) 1 1 3 Př. 4: Jsou dány body [ ;1 ]; [ 4; ]; [ 1; 3]. Urči vektory u =, v = a w =. u = = = ( 4 ; 1) = ( ;1) v = = = ( 1 4; 3 ) = ( 5; 5) w = = = [ 1 ];1 [ 3] = 3;4 ( ) ( ) 4

Př. 5: Jsou dány body [ ;3; 7] a [ 4; ; 1] Porovnej výsledky. ( 4 [ ]; 3; 1 [ 7] ) ( 6; 5; 6) ( 4;3 [ ]; 7 [ 1] ) ( 6;5; 6) u = = = = v = = = =. Urči vektory u = a v =. Oba vektory mají opačný směr jejich souřadnice musí být navzájem opačné. Př. 6: Je dán vektor u = ( ;3) a dvě jeho umístění a KL, [ 1; ], L[ 1;1] souřadnice nezadaných bodů. Souřadnice bodu [ b1 ; b ]. Platí: u = ( u ; u ) = ( ;3 ) = = ( b a ; b a ) 1 1 1 = b1 1 b 1 = + 1 = 1 b 3 = b = 3 + = 5 [ 1;5] Souřadnice bodu [ ; ] K k k. 1 Platí: u = ( u ; u ) = ( ;3 ) = L K = ( l k ; l k ) 1 1 1 = 1 k1 k 1 = 1+ = 1 3 = 1 k k = 1 3 = K [ 1; ]. osadíme:. osadíme:. Urči Pedagogická poznámka: Někteří studenti příklad spočítají zpaměti, přesto se snažím, aby si každý alespoň jeden z příkladů rozepsal do souřadnic. elou kapitolu o vektorech je třeba dávat pozor na dvě věci: Studenti musí vnímat, že souřadnice (bodů i vektorů) patří k sobě, teprve dohromady mají smysl, který využíváme a o kterém neustále mluvíme. Studenti musí vědět, že v případě potřeby můžeme všechny vztahy, které používáme, rozepsat do souřadnic a řešit jako klasické rovnice. Výsledek však dává smysl pouze jako všechny souřadnice pohromadě. Pedagogická poznámka: Snažím se v hodině postupovat tak, abych stihl látku k tomu to místu. Zbytek hodiny by sice logicky patřil na její začátek, ale k pochopení podstaty vektorů není nutný, naopak studenty spíše odvádí od toho důležitého. Navíc stejnou problematikou se učebnice zabývá už v první hodině o posunutí. Jak poznáme stejnou velikost? Jasné - spočítáme vzdálenost krajních bodů. Jak poznáme stejný směr? Pohledem jednoduché, ale matematicky těžké. vě nenulové orientované úsečky a mají stejný směr, jestliže: přímky a jsou rovnoběžné, různé a body, leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou, 5

přímky a jsou totožné a průnikem polopřímek a je opět polopřímka. Př. 7: a) Nakresli dvojice orientovaných úseček a, tak aby obě orientované úsečky měly různou velikost a splňovaly: a) první z podmínek pro stejný směr orientovaných úseček, b) druhou z podmínek pro stejný směr orientovaných úseček. b) Př. 8: Nakresli dvojici orientovaných úseček a, tak aby obě orientované úsečky měly stejnou velikost, přímky a byly totožné a průnikem polopřímek a nebyla polopřímka. Jak bys nazval jejich směry? Směry orientovaných úseček bychom mohli nazvat opačné. Pedagogická poznámka: Předchozí dva příklady slouží hlavně k tomu, aby studenti vůbec vnímali předchozí definici stejného směru. S variantou b) mají podstatně větší problémy. Zajímavé mně přijde, že téměř všichni kreslí situaci tak, aby splynuly body a. Jestliže vektor u můžeme určit orientovanou úsečkou, která leží na přímce p, říkáme, že vektor u leží na přímce p. (spíše to však znamená, že má stejný směr jako přímka, protože ho můžeme určit i orientovanou úsečkou, která na přímce neleží). 6

p Nulový vektor leží na každé přímce. Jakou podmínku musí splňovat vektor u, abychom mohli tvrdit, že leží v rovině ρ? Vektor u můžeme určit orientovanou úsečkou, která leží v rovině ρ. Př. 9: Petáková: strana 99/cvičení 1 a) b) c) strana 99/cvičení Shrnutí: Vektor je množinou orientovaných úseček. Zachybuje pouze velikost a směr, ne umístění. Jeho souřadnice získáme rozdílem souřadnic koncových bodů. 7