1 2. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic y = f(x,y) spočátečnípodmínkou y(x )=y, (1) Platí: : Nechť f je spojitá v uzavřeném dvojrozměrném intervalu Ω= x a,x + a y b,y + b, a, b >.Anechť f splňujevωtzv.lipschitzovupodmínku vzhledem k proměnné y, tedy existuje reálná konstanta L taková, že f(x,u) f(x,v) L u v provšechna[x,u],[x,v] Ω. Pakexistujeprávějednafunkce y=φ(x),kterájeřešenímrovnice(1)ajenavícspojitávjistém intervalu x k,x +k, k >. Poznámka::Funkce fjespojitávω.lzeukázat,žeprotojefunkce fnamnožiněωomezená, tedyexistujereálnéčíslo Mtakové,řeprovšechna[x,y] Ωje f(x,y) M. Poznámka::Číslo kjepotřebavolittak,abybylomenšínežčísla a, b M, 1 L. Funkce φ je řešením rovnice(1), právě když je řešením integrální rovnice φ(x)=y + f(t,φ(t))dt. (2) x Množina C= C x k, x +k všechfunkcíspojitýchvintervalu x k, x +k snormou tvoří úplný normovaný prostor. φ = max x x k, x +k φ(x) Podprostor C b prostoru C,kterýjetvořenvšemifunkcemi φzc,prokteré φ(x) y b,y + b provšechna x x k, x + k tvoříuzavřený,atudížúplnýnormovaný podprostor prostoru C. Zobrazení(transformace) T,kterépřiřazujezobrazení φzobrazení g φ,tedy T(φ)=g φ,kde g φ (x)=y + f(t,φ(t))dt, x zobrazujespojitě C b do C b přivhodnévolběkonstanty k. Prolibovolnoudvojicizobrazení φ, ψzprostoru C b je g φ g ψ Lk φ ψ. Zvolíme-li k < 1,tedy<α=kL <1,jsousplněnypředpokladyBanachovyvětyopevném L bodě.existujetedyjedináfunkce φvprostoru C b,kterájepevnýmbodemzobrazení T neboli T(φ)=g φ = φ.tzn. φ(x)=g φ (x)=y + f(t,φ(t))dt provšechna x x k, x +k. x Lzenavícukázat,žeuvedenáfunkcejejedinýmřešenímrovnice(1)ivcelémprostoru C. 1
2 Metoda postupných aproximací 1) φ (x)=y, 2) φ n+1 (x)=y + x f(t,φ n (t))dt. Potomposloupnostfunkcí(φ n )konvergujestejnoměrně(tedyvnormovanémprostoru C)kfunkci φvintervalu x k, x +k. Odhad chyby: φ n φ kl 1 kl φ n φ n 1, φ n φ (kl)n 1 kl φ φ 1. Poznámka::Mějmelineárnídiferenciálnírovnici1.řádu y +yp(x)=q(x)neboli y = Q(x) yp(x)spočátečnípodmínkou y(x )=y, (LDR) kde P, Qjsoufunkcespojitévjistémintervalu x a,x +a, a >. Funkce f(x,y)=q(x) yp(x)jespojitávkaždémdvojrozměrnémintervalu Ω= x a,x +a y b,y +b prolibovolné b >. Funkce P je spojitá, proto je na uzavřeném intervalu omezená, tedy existuje reálné číslo L, že P(x) Lprovšechna x x a,x +a. Protoprovšechna[x,u],[x,v] Ωplatí f(x,u) f(x,v) = vp(x) up(x) = P(x) v u L v u. Funkce fsplňujelipschitzovupodmínkuarovnice(ldr)mávjistémokolíbodu x jedinéřešení. Lze ukázat, že toto řešení vyhovuje dané rovnici v celém intervalu x a,x +a ajetamnavícspojité. Příklad:Metodoupostupnýchaproximacířešmelineárnídiferenciálnírovnici y y=2xspočátečnípodmínkou y()=1naintervalu ;,3, n=4. Rovniciupravímenatvar y = y+2x.funkce f(x,y)=y+2xjespojitávr 2.Podlepředchozí poznámkysplňujelipschitzovupodmínku, P(x)=1provšechna x,lzevolit L= P(x) =1. ZvolmeoborΩ= a,+a 1 b,1+b.zvolíme a=1,abyinterval a,+a obsahoval zadaný interval ;, 3. Platí f(x,y) = y+2x b+3provšechna x 1,1.Lzevolit M= b+3.zvolímečísla kab, b aby kbylomenšínežčísla a=1, M = b b+3, 1 =1.Napříkladpro k=,4ab=3jepodmínka L splněna,neboť,4 < 3 3+3 =,5. Posloupnost postupných aproximací konverguje k řešení diferenciální rovnice, které je spojité v intervalu,4;,4. Postupné aproximace mají tvar: φ (x)=1, φ 1 (x)=1+ φ 2 (x)=1+ f(t,1)dt=1+ f(t,1+t+t 2 )dt=1+ (1+2t)dt=1+x+x 2, (1+3t+t 2 )dt=1+x+ 3x2 2 + x3 3, 2
φ 3 (x)=1+ x 4 12, φ4(x)=1+ 3x 2 f f 2 + x3 2 + x4 8 + x5 6. ) (t,1+t+ 3t2 2 + t3 dt=1+ 3 ) (t,1+t+ 3t2 2 + t3 2 + t4 dt=1+ 12 Pomocí φ 4 (x)vypočtemepřibližnéhodnotyvbodech;,1;,2;,3: φ 4 ()=1, φ 4 (,1)=1,115513, φ 4 (,2)=1,26425, φ 4 (,3)=1,449525. Odhadneme chybu. Použijeme oba vzorce: d(φ 4,φ) Lk 1 Lk d(φ 4,φ 5 )=,4 ( ),3 5 1,4 6 +,34 =,252. 24 (1+3t+ )dt=1+x+ 3t2 2 + t3 3x2 3 2 +x3 2 + d(φ 4,φ) (Lk)4 1 Lk d(φ,φ 1 )=,44 1,4 (,32 +,3)=,1664. Přesnéřešenírovniceje φ(x)= 2x 2+3e x.tedy φ()=1, φ(,1) 1,115513, φ(,2) 1,26428, φ(,3) 1,449576. Vidíme, že jsme se v daných bodech dopustili chyby menší než jsme odhadli. ) (1+3t+ 3t2 2 + t3 2 + t4 dt=1+x+ 12 Metoda postupných aproximací není pro numerické řešení příliš vhodná. Budeme se proto více zabývat tzv. diskrétními metodami, kterými určíme přibližné funkční hodnoty řešení pouze v konečném počtu bodů. (Runge-Kuttovy metody 1.řádu) Eulerova metoda y = f(x,y) spočátečnípodmínkou y(x )=y, (1) Mějme kladné číslo h. Označme x 1 = x +h, x 2 = x 1 +h=x +2h, x n = x +nh,pro n N, Přibližnéhodnotyfunkce φ,kterájeřešenímrovnice(1),vbodech x n získámezevztahu φ(x )=y, φ(x 1 ) y 1 = y +hf(x,y ), φ(x 2 ) y 2 = y 1 +hf(x 1,y 1 ), 3 3
4 φ(x n+1 ) y n+1 = y n +hf(x n,y n ), Integrální čára je nahrazena lomenou čarou. Tato metoda není příliš přesná, s rostoucím n roste velikost chyby. Příklad:Eulerovoumetodouřešmelineárnídiferenciálnírovniciy = y+2xspočátečnípodmínkou y()=1naintervalu ;,3, h=,1. Výpočty zapíšeme do tabulky x n y n 2x n f(x n,y n )=y n +2x n hf(x n,y n ) y n +hf(x n,y n ) 1 1,1 1,1,1 1,1,2 1,3,13 1,23,2 1,23,4 1,63,163 1,393,3 1,393 Runge-Kuttovy metody y = f(x,y) spočátečnípodmínkou y(x )=y, (1) Mějme kladné číslo h. Označme x 1 = x +h, x 2 = x 1 +h=x +2h, x n = x +nh,pro n N, Přibližnéhodnotyfunkce φ,kterájeřešenímrovnice(1),vbodech x n získámezevztahů φ(x )=y, φ(x 1 ) y 1 = y +hz, φ(x 2 ) y 2 = y 1 +hz 1, φ(x n+1 ) y n+1 = y n +hz n, (RK) kde z n jefunkceproměnných h, x n, y n,kterájezávislánafunkci f. Metoda je konvergentní řádu p = 1,2,..., jestliže pro chybu metody (rozdíl mezi přesnýma vypočtenýmvektoremřešení) ǫ h platí: ǫ h = O(h p+1 ), neboli ǫ h Kh p+1 prolib.konstantu K. Eulerova metoda je konvergentní řádu 1. 4
5 (Runge-Kuttovy metody 2.řádu) Modifikovaná Eulerova metoda y = f(x,y) spočátečnípodmínkou y(x )=y, (1) Mějme kladné číslo h. Označme x 1 = x +h, x 2 = x 1 +h=x +2h, x n = x +nh,pro n N, Přibližnéhodnotyfunkce φ,kterájeřešenímrovnice(1),vbodech x n získámezevztahu φ(x )=y, φ(x 1 ) y 1 = y +hf(x + h 2,y + h 2 f(x,y )), φ(x 2 ) y 2 = y 1 +hf(x 1 + h 2,y 1+ h 2 f(x 1,y 1 )), φ(x n+1 ) y n+1 = y n +hf(x n + h 2,y n+ h 2 f(x 1,y )), Metoda je konvergentní řádu 2. Čtyřbodová RK metoda(4.řádu) Nejčastějisepoužívátzv.čtyřbodovámetoda,kde z n jsoudányvztahy kde k 1 = f(x n,y n ), k 2 = f(x n +α 2 h,y n +β 21 hk 1 ), k 3 = f(x n +α 3 h,y n +β 31 hk 1 +β 32 hk 2 ), z n = w 1 k 1 +w 2 k 2 +w 3 k 3 +w 4 k 4, k 4 = f(x n +α 4 h,y n +β 41 hk 1 +β 42 hk 2 +β 43 hk 3 ). Reálnékonstanty w 1, w 2, w 3, w 4, α 2, α 3, α 4, β 21, β 31, β 32, β 41, β 42, β 43 jsoudánytak,abyse rozvoj y n+1 z(rk)vmocnináchproměnné hshodovalstaylorovýmrozvojemřešenírovnice(1)až dočlenůsečtvrtoumocninou hprodostatečněhladkoufunkci f. Lze získat mnoho konkrétních vzorců, nejčastěji se používá y n+1 = y n + h 6 (k 1+2k 2 +2k 3 +k 4 ), kde k 1 = f(x n,y n ), k 2 = f(x n + h 2,y n+ h 2 k 1), k 3 = f(x n + h 2,y n+ h 2 k 2), k 4 = f(x n +h,y n +hk 3 ). 5
6 Příklad:ČtyřbodovoumetodouRunge-Kuttařešmediferenciálnírovnice y = y+2xspočáteční podmínkou y()=1naintervalu ;,2, h=,1. Výpočet y 1 : k 1 = f(,1)=1, k 2 = f(+,5;1+,5 1)=f(,5;1,5)=1,15, k 3 = f(+,5;1+,5 1,15)=f(,5;1,575)=1,1575, k 4 = f(+,1;1+,1 1,1575)=f(,1;1,11575)=1,31575. y 1 =1+,1 6 (1+2 1,15+2 1,1575+1,31575)=1,1155125. Tento výsledek se s přesnou hodnotou shoduje na šest desetinných míst. Výpočet y 2 : k 1 = f(,1;1,1155125)=1,3155125, k 2 = f(,1+,5;1,1155125+,5 1,3155125)=f(,15;1,181288125)= = 1, 481288125, k 3 = f(,1+,5;1,1155125+,5 1,481288125)=f(,15;1,1895769625)= = 1, 4895769625, k 4 = f(,1+,1;1,1155125+,1 1,4895769625)=f(,2;1,2644719625)= = 1, 6644719625. y 2 =1,1155125+,1 6 (1,3155125+2 1,481288125+2 1,4895769625+1,6644719625)= = 1, 264277125521. MATLAB- metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic a soustav diferenciálních rovnic. Jejich jména začínají na ode. Např. ode23jemetodarunge-kutta(kombinace2.a3.řádu,metodavyššíhořádujeužitak výpočtu řešení v následujícím časovém okamžiku, metoda nižšího řádu se používá k odhadu chyby), ode45 je metoda Runge-Kutta(kombinace 4. a 5. řádu). Syntaxe:[t,Y]=ode23(odefun,[t,tf],y),kde odefunjefunkceobsahujícídiferenciálnírovnici, [t,tf]jeintervalderivace, yjepočátečnípodmínka.výsledkyseukládajídoproměnné Y. Příkaz ode23(nazevf ce,[t, tf], y) vykreslí řešení do grafického okna. 6