Numerická matematika. Zkouška: 4 příklady, důraz na dif. rovnice.

Transkript

1 Numerická matematika Úvodní informace Viz Rozsah: 2+2, Z, Zk, seminář 0+2 Z, Obsah: numerické metody pro lineární algebru, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, Zápočet: požadavky, změny, 16 bodů ke zkoušce. Zkouška: 4 příklady, důraz na dif. rovnice. Na semináři: zkouška po částech. Kontakt: Petr Sváček, KD 201, konzultace ve středu 12:30-14:00 nebo po dohodě. Pro zájemce je otevřen předmět MMTA, ve středu od 16:30, kontakt J. Halama. Na přednášce: ukázky metod na jednoduchých příkladech.

2 Dnešní přednáška Soustavy lineárních rovnic, základní pojmy. Přímé metody řešení soustav. Princip iteračních metod. Vlastnosti matice soustavy. Iterační metody.

3 Soustavy lineárních rovnic Znalost pojmů: a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a n1 a n2... a nn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b n Hodnost matice, čtvercová, regulární a singulární matice. Frobeniova věta, existence a jednoznačnost řešení. Gaussova eliminace. Determinant, inverzní matice. Vlastní číslo a vlastní vektor matice.

4 Přímé metody řešení Ax = b Přímé metody jsou takové metody, které vedou k nalezení přesného řešení v předem známém počtu kroků. Výhody: Vždy vedou k výsledku. Nevýhody: Rychle rostoucí výpočetní a pamět ová náročnost. Gaussova eliminace. operací n 3, pamět n 2 Inverzní matice. operací n 3, pamět n 2 Cramerovo pravidlo. operací??? Další přímou metodou je tzv. LU rozklad. operací n 3, pamět n 2

5 Proč LU rozklad? Je-li soustava zapsaná ve tvaru Ux = b kde U je horní trojúhelníková matice, pak lze řešení nalézt pomocí n 2 operací. Jedná se o tzv. zpětný chod Gauss. eliminace. Z poslední n té rovnice vypočteme x n, to dosadíme do předposlední. Atd. Je-li soustava zapsaná ve tvaru Ly = g, kde L je dolní trojúhelníková matice, postupujeme obdobně (od x 1 ).

6 LU rozklad Postup řešení Uvažujme soustavu s maticí typu n n Ax = b Provedeme rozklad A na dolní a horní trojúhelníkovou matici n 3. A = LU Řešíme soustavu n 2. Řešíme soustavu n 2. Ly = b Ux = y U jedné z matic L a U lze volit diagonála libovolně. Voĺıme diagonálu L, l ii = 1.

7 Shrnutí: Přímé metody řešení Přímé metody řešení Ax = b Zaručeno, že dosáhnou výsledku. Pro velký počet neznámých: rostoucí výpočetní náročnost n 3. Rostoucí pamět ová náročnost n 2. Pro speciální matice lze algoritmy zapsat efektivně (např. třídiagonální matice). Efektivnější řešení? V praxi se často vyskytují velké řídké matice, tj. matice, které obsahují skoro všude nuly. tj. matice s n >> 10, kde počet nenulových prvků odpovídá n. přímé metody n 3 operací vs. maticové násobení n, Řešení nemusíme znát přesně, stačí např. vědět jak jsme mu bĺızko.

8 Princip iteračních metod Sestrojme posloupnost vektorů X (0), X (1), X (2),... tak aby konvergovala k přesnému řešení soustavy Ax = b Pokud tato posloupnost konverguje nezávisle na počátečním přibĺıžení X (0), říkáme, že odpovídající metoda je konvergentní. Konvergence metody závisí na vlastnostech matice A. Konvergenci měříme jako velikost/normu vektoru X (k) X.

9 Norma matice a vektoru Řádková norma A m = max i Sloupcová norma n j=1 a i,j x m = max x i i A l = max j m a i,j x l = i=1 n x i i=1 Euklidovská norma ( m A E = n i=1 j=1 a i,j 2 ) 1 2 ( n ) 1 x E = x i 2 2 i=1

10 Vlastnosti matice Matice A je ostře diagonálně dominantní (ODD), pokud a ii > j i a ij symetrická, pokud a ij = a ji pozitivně definitní pokud pro libovolný nenulový vektor x 0 platí x i a ij x j > 0 i,j spektrální poloměr matice A je číslo ρ(a) definované ρ(a) = max{ λ : λ je vlastní číslo A}

11 Prostá iterační metoda Soustava tvaru Iterační metoda x = Ux + V, X (k+1) = UX (k) + V, Platí Nutná a postačující podmínka: Prostá iterační metoda je konvergentní právě tehdy, když ρ(u) < 1. Postačující podmínka: Je-li U < 1, pak prostá iterační metoda je konvergentní. Navíc platí x (k) x x (k) x U 1 U x (k) x (k 1), U k 1 U x (1) x (0),

12 Odvození klasických iteračních metod Vezmeme postupně rovnici i = 1, 2, 3,..., n a z té nalezneme x i : a ij x j + a ii x i + a ij x j = b i j<i j>i Dostáváme rovnici zapsanou ve tvaru x i = 1 b i a ij x j a ij x j a ii j<i j>i Jacobiho iterační metoda (složkový zápis) x (k+1) i = 1 b i a ii j<i a ij x (k) j j>i a ij x (k) j V maticovém zápise lze udělat totéž pomocí rozštěpení matice A = L + D + P, dostáváme rovnost Dx = (P + L)x + b

13 Přednáška č. 2 Opakování: Prostá a Jacobiho iterační metoda. Gauss-Seidelova iterační metoda. Gradientní metody.

14 Prostá iterační metoda Soustava tvaru Iterační metoda x = Ux + V, X (k+1) = UX (k) + V, Platí Nutná a postačující podmínka: Prostá iterační metoda je konvergentní právě tehdy, když ρ(u) < 1. Postačující podmínka: Je-li U < 1, pak prostá iterační metoda je konvergentní. Navíc platí X (k) x X (k) x U 1 U X(k) X (k 1), U k 1 bbu X(1) X (0),

15 Prostá iterační metoda: Příklad. Př. 1. Určete všechna p R, pro která konverguje prostá iterační metoda pro soustavu tvaru X = UX + V, kde V = ( 1, 2, 0.5) T, U = 0.8 p , 1 1 p Pro p = 0.2, X (0) = V určete X (1) touto metodou. Př. 2. Je dána soustava rovnic x = R x + s, kde s = (1.7, 1.8, 0.5) T R = 0.1 t t Určete všechna t R, pro něž je splněna postačující podmínka konvergence prosté iterační metody pro danou soustavu. Pro t = 0.5 určete x (2) touto metodou při volbě x (0) = 0. Vypočtěte x (2) x (1) m. Odhadněte chybu.

16 Jacobiho iterační metoda Pro A = L + D + P. Dostáváme a Jacobiho iterační metoda Platí Dx (k+1) = (L + P)x (k) + b, x (k+1) = D 1 (L + P) x (k) + D }{{}}{{ 1 b}. U V J J Je-li matice A ODD, pak Jacobiho iterační metoda je konvergentní. Jacobiho iterační metoda je konvergentní právě tehdy, když ρ(u J ) < 1. Vlastní čísla matice U J jsou kořeny rovnice det(l + λd + P) = 0

17 Jacobiho iterační metoda: Příklad. Př. 3. Je dána soustava Ax = b, kde A = p 0 0 p 4, b = a) Pro jaké hodnoty parametru p R je matice A ODD? Zdůvodněte! b) Určete všechny hodnoty parametru p R, pro které je Jacobiho iterační metoda pro danou soustavu konvergentní. c) Volte p = 1 a X (0) = (1, 2, 1) T. Spočtěte Jacobiho iterační metodou X (1). Př. 4. Je dána soustava Ax = b, kde A = p 0 0 p 4, b = a) Pro jaké hodnoty parametru p R je matice A ODD? Zdůvodněte! b) Určete všechny hodnoty parametru p R, pro které je Jacobiho iterační metoda pro danou soustavu konvergentní. c) Volte p = 1 a X (0) = (1, 2, 1) T. Spočtěte Jacobiho iterační metodou X (1).

18 Složkový zápis klasických iteračních metod Jacobiho iterační metoda x (k+1) i = 1 b i a ii j<i a ij x (k) j j>i a ij x (k) j Gauss-Seidelova iterační metoda x (k+1) i = 1 b i a ii j<i a ij x (k+1) j j>i a ij x (k) j

19 Gauss-Seidelova iterační metoda Pro Ax = b zapíšeme A = L + D + P. Dostáváme a tedy iterační metodu Platí (D + L)x (k+1) = Px (k) + b, x (k+1) = (D + L) 1 P x (k) + (D + L) 1 b. }{{}}{{} U GS V GS Je-li matice A ODD, pak je GS iterační metoda konvergentní. Je-li matice A SPD, pak je GS iterační metoda konvergentní. GS iterační metoda je konvergentní právě tehdy, když ρ(u GS ) < 1. Vlastní čísla matice U GS jsou kořeny rovnice det(λl + λd + P) = 0

20 Jacobiho iterační metoda: Příklad. Př. 5. Dána soustava lineárních rovnic AX = B, kde A = p 1 5, B = 1 p 2, a) Určete všechny hodnoty parametru p R, pro které je splněna některá z postačujících podmínek konvergence Gauss-Seidelovy iterační metody. b) Určete všechny hodnoty parametru p R, pro něž je splněna nutná a postačující podmínka Gauss-Seidelovy iterační metody. c) Volte p = 0 a spočtěte X (1) pokud X (0) = B. Př. 6. Dána soustava p X = 2 p 2, a) Určete všechny hodnoty parametru p R, pro něž je splněna některá z postačujících podmínek (pro matici A, ne U G ) Gauss-Seidelovy iterační metody. b) Určete všechny hodnoty parametru p R, pro něž je splněna nutná a postačující podmínka Gauss-Seidelovy iterační metody. c) Volte p = 0 a spočtěte X (1) pokud X (0) = B.

21 Gradientní metoda Předpoklady: Matice A symetrická a pozitivně definitní. F (x) = 1 2 xt Ax x T b. Ekvivalence: ( Ax = b ) (F (x ) F (x) pro libovolné x). Gradientní metoda: x (k+1) = x (k) αp Volba směru (největší spád): p = grad F (x (k) ) = b Ax (k). Volba optimálního kroku ve směru p α = argmin F ( x (k) + αp ) = pt (b Ax) α p T Ap

22 Přednáška č. 3 Soustavy nelineárních rovnic. Problémy existence a jednoznačnosti řešení. Iterační metody řešení soustav nelineárních rovnic Newtonova metoda. Princip interpolace. Interpolace algebraickým mnohočlenem, jeho existence a jednoznačnost.

23 Soustavy nelineárních algebraických rovnic Systém n-rovnic o n-neznámých f 1 (x 1,..., x n ) = 0. f n (x 1,..., x n ) = 0 funkce f i (x) jsou obecně nelineární speciální volba soustava lineárních rovnic není zaručena existence řešení není zaručena jednoznačnost řešení viz jedna rovnice pro a = 1 nebo a = 1 x 2 + a = 0

24 Soustavy nelineárních algebraických rovnic Systém 2-rovnic o 2-neznámých f (x, y) = 0 g(x, y) = 0 pro zjednodušení jen tyto rovnice

25 Soustavy nelineárních algebraických rovnic Problémy existence a jednoznačnosti řešení Př. 7. Je dána soustava rovnic x y 2 = 1 y = 2 cos(πx) Graficky znázorněte přibližný počet a polohu kořenů této soustavy nelineárních rovnic. Př. 8. Je dána soustava rovnic 1 2x y = 0 x 2 + 4y 2 = 4 Určete graficky přibližnou polohu všech kořenů soustavy.

26 Soustavy nelineárních algebraických rovnic Newtonova metoda pro případ 1d V bodě x k užijeme Taylorův polynom 0 = f (x) = f(x k ) + f (x k )(x x k ) + R 2 (x) Zanedbáním dostaneme vzorec pro x x k+1 ( 1 x k+1 = x k f (x )) k f (x k ). Obecný vzorec pro soustavu F (x) = 0? Co je F (x)?

27 Newtonova metoda - odvození Odvození pro 2 nelineární rovnice o 2 neznámých Označme k té přibĺıžení jako A = [x (k), y (k) ] 0 = f (x, y ) = f (A) + f x (A) (x x (k) ) + f y (A) (y y (k) ) = g(x, y ) = g(a) + g x (A) (x x (k) ) + g y (A) (y y (k) ) +... Zanedbáme-li další členy Taylorova rozvoje f x (A) x + f y (A) y + f (A) = 0, g x (A) x + g y (A) y + g(a) = 0, dostáváme soustavu lineárních rovnic pro x = x (k+1) x (k), y = y (k+1 ) y (k).

28 Newtonova iterační metoda 1. Zvoĺıme počáteční přibĺıžení [x 0, y 0 ]. 2. Postupně pro k = 0, 1,... a) Sestavíme soustavu rovnic v bodě A = [x (k), y (k) ], f x (A) x + f y (A) y + f (A) = 0 g x (A) x + g y (A) y + g(a) = 0 b) Najdeme řešení této soustavy x, y c) Spočteme nové přibĺıžení ( x (k+1) y (k+1) ) ( x (k) = y (k) ) ( x + y ) Není zaručena konvergence k řešení. Metoda může selhat (viz b)) Konvergence závisí na počátečním přibĺıžení.

29 Soustavy nelineárních algebraických rovnic Problémy existence a jednoznačnosti řešení Př. 9. Je dána soustava rovnic x y 2 = 1 y = 2 cos(πx) a) Graficky znázorněte přibližný počet a polohu kořenů této soustavy nelineárních rovnic. b) Volte x (0) = ( 0.5; 1) T a vypočtěte x (1) Newtonovou metodou c) Určete x (1) x (0) l Př. 10. Je dána soustava rovnic 1 2x y = 0 x 2 + 4y 2 = 4 a) Graficky znázorněte přibližný počet a polohu kořenů této soustavy nelineárních rovnic. b) Volte x (0) = (1; 0) T a vypočtěte x (1) Newtonovou metodou c) Určete x (1) x (0) m

30 Interpolace funkce Interpolace funkce: Pro funkci f (x) danou tabulkou hodnot (x i, y i ) hledáme takovou funkci z nějaké množiny funkcí, která v bodech x i nabývá hodnot y i. Hledáme p(x) takovou, že pro libovolné i platí p(x i ) = y i Interpolace polynomem p(x) je polynom. Existence, jednoznačnost, stupeň polynomu?

31 Interpolace funkce polynomem Př. 11. Vysvětlete princip interpolace tabulky hodnot (x i, y i ) pro i = 0,..., n polynomem. Je dána tabulka hodnot x i y i Určete interpolační polynom p pro danou tabulku hodnot. Užitím interpolačního polynomu určete přibližnou hodnotu funkce v bodě 0.5. Př. 12 Vysvětlete princip interpolace tabulky hodnot (x i, y i ) pro i = 0,..., n polynomem. Uved te podmínku, která zaručuje existenci takového polynomu. Je dána tabulka hodnot x i y i Určete interpolační polynom p pro danou tabulku hodnot. Užitím interpolačního polynomu určete přibližnou hodnotu funkce v bodě x = 0.5.

32 Přednáška č. 4 Princip interpolace pomocí kubických spline-funkcí. Výhody tohoto typu interpolace. Aproximace metodou nejmenších čtverců princip, aproximace algebraickým mnohočlenem. Odvození soustavy normálních rovnic.

33 Interpolace polynomem Interpolace hladké funkce Interpolace hladké funkce, platí odhad (C max f (n+1) (x) ) f (x) p n (x) Ch n

34 Chyba interpolace Chyba interpolace hladké funkce

35 Nevýhody interpolace 1. Interpolace je citlivá na přesné hodnoty funkce Interpolace kvadratického polynomu(!) s náhodnou 5 procentní

36 Nevýhody interpolace 2. Interpolace je výhodná pro interpolaci jen hladké funkce Interpolace f (x) = x polynomem.

37 Nevýhody interpolace Interpolace je citlivá na přesné hodnoty funkce. Interpolace je výhodná pro interpolaci jen hladké funkce. Chyba nemá lokální charakter. Interpolace polynomem nezachovává monotonii, konvexitu, konkávitu funkce. Jiný druh interpolace: po částech polynomiální funkce.

38 Interpolace spline funkcemi Interpolace f (x) = x splinem

39 Interpolace spline funkcemi Tabulka x i, y i, i = 0,..., n. x 0 < x 1 < < x n. Na každém intervalu je spline s(x) kubická funkce, tj. s(x) = a 0 (x x i ) 3 +b 0 (x x i ) 2 +c 0 (x x i )+d 0, pro x x i, x i+1. Celkem neznámých: 4 n. Podmínek interpolace: n + 1. s(x i ) = y i

40 Interpolace spline funkcemi Tabulka x i, y i, i = 0,..., n. x 0 < x 1 < < x n. Na každém intervalu je spline s(x) kubická funkce, tj. s(x) = a 0 (x x i ) 3 +b 0 (x x i ) 2 +c 0 (x x i )+d 0, pro x x i, x i+1. Celkem neznámých: 4 n. Podmínek interpolace: n + 1. s(x i ) = y i Podmínek spojitosti: n 1. s(x i ) = s(x i + )

41 Interpolace spline funkcemi Tabulka x i, y i, i = 0,..., n. x 0 < x 1 < < x n. Na každém intervalu je spline s(x) kubická funkce, tj. s(x) = a 0 (x x i ) 3 +b 0 (x x i ) 2 +c 0 (x x i )+d 0, pro x x i, x i+1. Celkem neznámých: 4 n. Podmínek interpolace: n + 1. s(x i ) = y i Podmínek spojitosti: n 1. s(x i ) = s(x i + ) Podmínek spojitosti s a s : 2(n 1). s (x i ) = s (x i + ), s (x i ) = s (x i + )

42 Interpolace spline funkcemi Tabulka x i, y i, i = 0,..., n. x 0 < x 1 < < x n. Na každém intervalu je spline s(x) kubická funkce, tj. s(x) = a 0 (x x i ) 3 +b 0 (x x i ) 2 +c 0 (x x i )+d 0, pro x x i, x i+1. Celkem neznámých: 4 n. Podmínek interpolace: n + 1. s(x i ) = y i Podmínek spojitosti: n 1. s(x i ) = s(x i + ) Podmínek spojitosti s a s : 2(n 1). Celkem: spline. s (x i ) = s (x i + ), s (x i ) = s (x i + ) 4n 2. Přidáme např. podmínku pro přirozený s (x 0 ) = s (x n ) = 0.

43 Interpolace spline funkcemi Praktická konstrukce spline funkce Z tabulky hodnot x i, y i, i = 0,..., n sestavíme soustavu rovnic pro m i = s (x i ), h i 1 m i 1 +2(h i 1 +h i )m i +h i m i+1 = 6 h i (y i+1 y i ) 6 h i 1 (y i y i 1 ) Na každém intervalu x i, x i+1 známe 4 hodnoty: s(x i ) = y i, s(x i+1 ) = y i+1, s (x i ) = m i, s (x i+1 ) = m i+1. Kubická funkce na každém intervalu je tedy určena jednoznačně.

44 Interpolace spline funkcemi Vlastnosti spline funkce. po částech kubická funkce spline interpolant minimalizuje energii spline zachovává monotonii chyba interpolace má lokální charakter Nevýhoda: nutné řešit soustavu rovnic, ale ta je 3diagonální.

45 Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců Úloha: Chceme najít závislost v naměřených datech - obsahují nepřesnosti, Princip aproximace: Hledáme takovou funkci v dané(m) množině(prostoru), která minimalizuje odchylku.

46 Volba funkce: Např. polynom stupně n Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců Princip: Minimalizace kvadratické odchyklky δ 2 (p(x)) = (p(x i ) y i ) 2 i

47 Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců Princip: Minimalizace kvadratické odchyklky δ 2 (p(x)) = i (p(x i ) y i ) 2 dána tabulka dat [x i, y i ], minimalizujeme kvadratickou odchylku G(a 0, a 1 ) := δ 2 (p(x)) = i (p(x i ) y i ) 2 odvození normálních rovnic G/ a k = 0 pro k = 0, 1. soustava normálních rovnic a 0 ( i 1) + a 1 ( i x i ) = i y i, a 0 ( i x i ) + a 1 ( i x 2 i ) = i x i y i,

48 Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců 13.a) Vysvětlete princip metody nejmenších čtverců při aproximaci tabulky hodnot (x i, y i ) pro i = 1,..., n polynomem nejvýše 1. stupně. b) Odvod te obecně soustavu normálních rovnic pro případ (a). c) Určete polynom p1 nejvýše 1. stupně, který ve smyslu metody nejmenších čtverců nejlépe aproximuje danou tabulku hodnot: x i y i a) Vysvětlete princip metody nejmenších čtverců při aproximaci tabulky hodnot (x i, y i ) pro i = 1,..., n polynomem nejvýše 2. stupně. b) Odvod te obecně soustavu normálních rovnic pro případ (a). c) Určete polynom p1 nejvýše 2. stupně, který ve smyslu metody nejmenších čtverců nejlépe aproximuje danou tabulku hodnot. Určete odpovídající kvadratickou odchylku. x i y i

49 Přednáška č. 5 Numerické řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici 1.řádu a pro soustavu v normálním tvaru. Cauchyova úloha pro rovnici n-tého řádu jako speciální případ. Eulerova metoda 1. řádu

50 Obyčejná diferenciální rovnice, Cauchyova úloha Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu: Hledáme funkci y = y(x) takovou, že y = f (x, y) Cauchyova úloha pro ODR 1. řádu y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení: f, f y spojité v oblasti G R 2. y y=y(x) x

51 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu Příklad 15. Je dána Cauchyova úloha y (y 4) = x y, y(3) = 2, Zapište oblast G v níž jsou splněny podmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy 16. Je dána Cauchyova úloha y = ln(x 2 + y 2 4), y( 2) = 2 Zapište oblast G v níž jsou splněny podmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy

52 Cauchyova úloha soustavu rovnic v normálním tvaru Vektorový zápis kde y = y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0. y 1. y n, f (x, y) = f 1 (x, y). f n (x, y) Podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení: f i, f i y j spojité v oblasti G R R n.,

53 Cauchyova úloha pro soustavu v normálním tvaru Příklad 17. Je dána Cauchyova úloha ( y y 1 + y 2 = ln x y 2 2 x + 4 ) ( 1, y( 2) = 3 Zapište oblast G v níž jsou splněny podmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy 18. Je dána Cauchyova úloha ( y 2x y2 + ln (x 1) + 1 = x 4 y 1 1 ) ( 0, y(2) = 1 Zapište oblast G v níž jsou splněny podmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy ), ).

54 Cauchyova úloha pro rovnici n-tého řádu jako speciální případ C. Ú. pro rovnici n-tého řádu y (n) = G(x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad. y(x 0 ) = y 0,..., y (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0, mẍ + kx = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 0. Podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení: G, G y, G y,... spojité v oblasti G.

55 Převod na soustavu rovnic v normálním tvaru Cauchyova úloha pro rovnici n-tého řádu y (n) = G(x, y, y,..., y (n 1) ) y(x 0 ) = y 0,..., y (n 1) (x 0 ) = y (n 1) 0, Převod na soustavu rovnic Y 1 = y, Y 1 = Y 2, Y 2 = y, Y 2 = Y 3,.. Y n 1 = y (n 1), Y n 1 = G(x, Y 1, Y 2,..., Y n 1 ).

56 Cauchyova úloha pro rovnici n-tého řádu jako speciální případ, převod na soustavu rovnic v normálním tvaru Příklad 19. Je dána Cauchyova úloha y yy + y y ln x = x x 2 1, y(3) = 1, y (3) = 0, y (3) = 0. a) Zapište oblast, kde jsou splněny postačující podmínky existence a jednoznačnosti řešení dané C. Ú. b) Převed te danou úlohu na soustavu rovnic 1. řádu.

57 Princip numerického řešení y 3 [x, Y ] 3 [x, y(x )] 3 3 y=y(x) x x x x x x Přesné řešení: y = y(x) pro x a, b. Přibližné řešení Y i : krok h = (b a)/n, x i = a + ih, i = 0,..., n, Y i y(x i ) Jednokroková metoda: Y i+1 = Y i + hφ(x i, Y i, h) Lokální chyba, globální chyba metody.

58 Princip numerického řešení Přesné řešení: y = y(x) pro x a, b. Přibližné řešení Y i v bodech x i. Jednokroková metoda: Y i+1 = Y i + hφ(x i, Y i, h) Přírůstková funkce: Φ(x i, Y i, h) Lokální a globální chyba metody. Stabilita metody. Symboly O(h p ) a o(h p ). Řád konvergence metody.

59 Eulerova metoda y 3 [x, Y ] 3 [x, y(x )] 3 3 y=y(x) x x x x x x Cauchyova úloha y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Voĺıme Y 0 = y 0. Pak pro i = 0,..., počítáme Y i+1 = Y i + hf (x i, Y i ) Globální chyba metody: O(h).

60 Eulerova metoda Příklad 22. Je dána Cauchyova úloha y (y 4) = x y, y(3) = 2, a) S krokem h = 0.5 určete přibližnou hodnotu y(4) pomocí Eulerovy metody.

61 Eulerova metoda Příklad 20. Je dána Cauchyova úloha y = y 1 tgx + y 3 2 y 1 + y 2 ln (x + 1) y 1 + 2y 2 1 x 2 y 3 y(1) = a) Ověřte, že Cauchyova úloha má právě jedno řešení b) Zapište interval I jejího maximálního řešení c) S krokem h = 0.2 určete přibližnou hodnotu y(1.2) pomocí Eulerovy metody

62 Přednáška č. 6 Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutty. Collatzova metoda (E1), RK4. Konvergence metod. Praktické užití metod.

63 Eulerova metoda y 3 [x, Y ] 3 [x, y(x )] 3 3 y=y(x) x x x x x x Cauchyova úloha y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Taylorův rozvoj Eulerova metoda y(x 0 + h) = y(x 0 ) + y (x 0 )h + O(h 2 ) Y k+1 = Y k + hf (x k, Y k ) Metoda je pouze 1. řádu přesnosti.

64 Eulerova metoda Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40,, 2π/80, 2π/160.

65 Eulerova metoda - srovnání s přesným řešením Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40,, 2π/80, 2π/160.

66 Eulerova metoda - chyby v závislosti na kroku h Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40,, 2π/80, 2π/160.

67 Metody vyššího řádu y 3 [x, Y ] 3 [x, y(x )] 3 3 y=y(x) x x x x x x Cauchyova úloha y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Metody Taylorova rozvoje y(x 0 + h) = y(x 0 ) + y (x 0 )h y (x 0 )h 2 + O(h 3 ) Zderivováním dostaneme y (x) = d dx (f (x, y(x))) = f x(x, y(x)) + f y (x, y(x))y (x) Získaná metoda je druhého řádu přesnosti, ale...

68 Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutta Obecná jednokroková metoda: Y i+1 = Y i + hφ(x i, Y i, h) Metody RK: Speciální volba přírůstkové funkce Φ(x i, Y i, h) Φ(x i, Y i, h) = n ω i k i i=1 kde i 1 k i = f (x i + α i h, Y i + β ij k i ) j=1 Volba koeficientů: co nejvyššího řád konvergence.

69 Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutta: Případ n = 2. Metody RK2 Y i+1 = Y i + h(ω 1 k 1 + ω 2 k 2 ) k 1 = f (x i, Y i ) k 2 = f (x i + α 2 h, Y i + β 21 k 1 ) Volba 4 koeficientů: ω 1, ω 2, α 2, β 21. Volbou lze dosáhnout 2. řád přesnosti.

70 Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutty. Collatzova metoda: Y i+1 = Y i + hk 2 k 2 = f (x i + h/2, Y i + h/2k 1 ), k 1 = f (x i, Y i ), Řád metody: O(h 2 ).

71 Collatzova metoda - srovnání s přesným řešením Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40,, 2π/80.

72 Collatzova metoda - chyby v závislosti na kroku h Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40,, 2π/80.

73 Metoda Runge-Kutty 4. řádu. Runge-Kutta 4. řádu: Y i+1 = Y i + h(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), k 1 = f (x i, Y i ), k 2 = f (x i + h/2, Y i + h/2k 1 ), k 3 = f (x i + h/2, Y i + h/2k 2 ), k 4 = f (x i + h, Y i + hk 3 ), Řád metody: O(h 2 ).

74 Řád konvergence metod typu Runge-Kutty. kde ( n ) Y i+1 = Y i + h ω i k i, i=1 i 1 k i = f (x i + α i h, Y i + β ij k i ) j=1 Řád konvergence: n p

75 Příklady - Cauchyova úloha. 21. Je dána Cauchyova úloha ( y 2x y 2 = 2 + y y1 2x ) y(0) = ( 0 1 ) a) Zapište oblast G v níž jsou splněny postačujícípodmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy. b) Užitím Collatzovy metody (1.modifikace Eulerovy metody) s krokem h = 1 určete přibližně hodnotu řešení v bodě x = 2. c) Necht y i označuje hodnotu numerického řešení v bodě x i získaného Collatzovou metodou a y i hodnotu přesného řešení. Zapište pomocí těchto hodnot globální chybu ε i. Zapište jaká je závislost ε i na kroku h a určete jakého řádu je Collatzova metoda. Odhadněte, jak se změní globální chyba v bodě x při změně kroku z h na h/4 u Collatzovy metody. 22. Je dána Cauchyova úloha y yy + y y ln x = x x 2 1, y(3) = 1, y (3) = 0, y (3) = 0. Určete s krokem h = 0, 4 pomocí Collatzovy metody přibližnou hodnotu řešení y (3.4).

76 Přednáška č. 7 Problematika řešení okrajových úloh pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu, porovnání s Cauchyovou úlohou. Existence a jednoznačnost řešení. Samoadjungovaný tvar rovnic Metoda sítí.

77 Okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu Formulace okrajové úlohy Lineární diferenciální rovnici 2. řádu y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = g(x), pro x (a, b), Okrajové podmínky (Sturmovy okrajové podmínky): α 1 y (a) α 2 y(a) = α 3, β 1 y (b) + β 2 y(b) = β 3. Speciální volba

78 Okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu Formulace okrajové úlohy Lineární diferenciální rovnici 2. řádu y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = g(x), pro x (a, b), Okrajové podmínky (Sturmovy okrajové podmínky): α 1 y (a) α 2 y(a) = α 3, β 1 y (b) + β 2 y(b) = β 3. Speciální volba Neumannovy okrajové podmínky y (a) = α, y (b) = β. Dirichletovy okrajové podmínky y(a) = α, y(b) = β. Newtonovy okrajové podmínky y(a) = α, y (b) = β.

79 Okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu Existence řešení Uvažujeme úlohu y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = g(x), pro x (a, b), α 1 y (a) α 2 y(a) = α 3, β 1 y (b) + β 2 y(b) = β 3. Kdy existuje funkce y(x) - řešení této úlohy? Pokud existuje - je dáno jednoznačně? Problém existence a jednoznačnosti řešení je pro okrajovou úlohu mnohem komplikovanější než pro úlohu Cauchyovu (počáteční)! Spojitost koeficientů (ani vyšších řádů) není postačující podmínkou!

80 Srovnání s Cauchyovou úlohou Pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu Formulace jednoduché okrajové úlohy: y (x) = f (x), y(a) = A, y(b) = B. Formulace Cauchyovy úlohy: y (x) = f (x), y(a) = A, y (a) = K. Př. y (x) = sin x, y(0) = 2, y (0) = 1.

81 Okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu Existence a jednoznačnost řešení pro jednoduchou úlohu Formulace jednoduché okrajové úlohy: y (x) = f (x), y(a) = A, y(b) = B. Je-li f (x) spojitá funkce na a, b, pak existuje právě jedno řešení. Př. y (x) = sin x, y(0) = 2, y(π) = 2. Toto ale neplatí vždy...

82 Okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu Existence a jednoznačnost řešení pro jednoduchou úlohu Formulace jednoduché okrajové úlohy: y (x) = f (x), y(a) = A, y(b) = B. Je-li f (x) spojitá funkce na a, b, pak existuje právě jedno řešení. Př. y (x) = sin x, y(0) = 2, y(π) = 2. Toto ale neplatí vždy...

83 Okrajová úloha: Existence a jednoznačnost řešení Příklady úloh, které nemají jednoznačná řešení Okrajová úloha, která nemá řešení y + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 1. Okrajová úloha s nejednoznačným řešením y + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0.

84 Okrajová úloha: Existence a jednoznačnost řešení Příklady úloh, které nemají jednoznačná řešení Okrajová úloha, která nemá řešení y + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 1. Okrajová úloha s nejednoznačným řešením y + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0. Okrajová úloha s právě jedním řešením y + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0.

85 Okrajová úloha: Existence a jednoznačnost řešení Samoadjungovaný tvar úlohy V technických úlohách má diferenciální rovnice často tvar (py ) + qy = f, Konstanty p, q jsou materiálové konstanty, většinou kladné nebo nezáporné. Obecně pro neizotropní materiál lze uvažovat p, q jako nezáporné funkce p = p(x), q = q(x). Samoadjungovaný tvar rovnice: (p(x)y ) + q(x)y = f (x),

86 Samoadjungovaný tvar úlohy. Samoadjungovaný tvar rovnice: (p(x)y ) + q(x)y = f (x), Dirichletovy ukrajové podmínky y(a) = A, y(b) = B.

87 Existence a jednoznačnost řešení pro úlohy v samoadjungovaném tvaru (p(x)y ) + q(x)y = f (x), Dirichletovy ukrajové podmínky y(a) = A, y(b) = B. Necht platí (i) p(x), p (x), q(x), f (x) - spojité funkce na a, b (ii) p(x) > 0, q(x) 0 pro x a, b Pak existuje právě jedno řešení.

88 Převod na samoadjungovaný tvar Zápis úlohy v samoadjungovaném tvaru (rozderivujeme závorku) a v normálním tvaru p(x)y p (x)y + q(x)y = f (x), y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = g(x), pro x (a, b), po přenásobení dostaneme p(x)y p(x)f 1 (x)y p(x)f 2 (x)y = p(x)g(x). Srovnáním koeficientů: p = pf 1 (x), q(x) = p(x)f 2 (x), f (x) = p(x)g(x).

89 Převod na samoadjungovaný tvar. Příklady. 23. Formulujte Dirichletovu úlohu pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2.řádu v samoadjungovaném tvaru a) Uved te podmínky pro jednoznačnou řešitelnost úlohy (a) b) Zdůvodněte, zda jsou postačující podmínky splněny pro úlohu (xy ) + 3 x y = ln(2 + x) x y(1) = 0, y(2) = Je dána Dirichletova úloha y 2 x y + (c x)y + x 2 = 0 y(2) = 1, y(4) = 3 a) Danou rovnici převed te na samoadjungovaný tvar b) Určete všechny hodnoty parametru c R, pro něž jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy 25. Je dána Dirichletova úloha y 4 x 2 4 y = 1 y(3) = 0, y(5) = 1 a) Ověřte, že úloha má právě jedno řešení b) Odvod te soustavu sít ových rovnic, která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí s krokem h = Je dána rovnice y + 2 x y x 2 + x y = 1 x 3 a) Určete intervaly maximálního řešení Cauchyovy úlohy pro danou rovnici b) Ověřte, že jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy pro danou rovnici s okrajovými podmínkami y( 5) = 2, y( 3) = 0

90 Princip numerického řešení Označme přesné řešení y = y(x) pro x I = a, b. Interval I rozděĺıme ekvidistantně s krokem h x i = a + i h, označme q i = q(x i ), f i = f (x i ), p i = p(x i ) Budeme hledat přibližné řešení Y i y(x i ) Rovnici (py ) + qy = f nahradíme v bodech x i qy xi f xi q i Y i = f i ( py )???

91 Symbol O(h p ), Talorův polynom Píšeme g(h) = O(h p ) pokud platí (C R) g(h) lim h 0 h p = C > 0, Označme x = x 0 + h, pak x x 0 = h, a platí pro dostatečně hladkou funkci f (x) f (x 0 +h) = f (x 0 )+f (x 0 )h f (x 0 )h ! f (x 0 )h 3 +O(h 3 )

92 Náhrada derivace diferencí V bodě x 0 + h f (x 0 + h) = f (x 0 ) + hf (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 6 f (x 0 ) + O(h 4 ) V bodě x 0 h f (x 0 h) = f (x 0 ) hf (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) h3 6 f (x 0 ) + O(h 4 ) Užitečné vztahy: f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 )h + O(h 2 ), f (x 0 + h) f (x 0 h) = f (x 0 )2h + O(h 3 ), f (x 0 + h) + f (x 0 h) 2f (x) = f (x 0 )h 2 + O(h 4 ).

93 Náhrada samoadjungovaného tvaru Užijeme vztah f (x 0 + h) f (x 0 h) 2h f (x 0 ) v bodě x i s krokem h/2 pro aproximaci výrazu z = (py ) z (x i ) z(x i+ 1 2 kde x i± 1 2 dále y (x i+ 1 2 = x i ± h 2, tím dostaneme ) z(x i 1 ) 2 = p i+ 1 2 h ) Y i+1 Y i h ( py ) p i 1 Y i 1 + (p 2 i+ 1 2 y (x i+ 1 2 ) p i 1 2 h y (x i 1 2, y (x i 1 ) Y i Y i 1 2 h + p i 1 2 h 2 )Y i p i+ 1 Y i+1 2 ),

94 Princip numerického řešení Označme přesné řešení y = y(x) pro x I = a, b. Interval I rozděĺıme ekvidistantně s krokem h x i = a + i h, označme q i = q(x i ), f i = f (x i ), p i = p(x i ) Budeme hledat přibližné řešení Y i y(x i ) Rovnici (py ) + qy = f nahradíme v bodech x i qy xi q i Y i f xi = f i ( py ) p i 1/2 Y i 1 + (p i+1/2 + p i 1/2 )Y i p i+1/2 Y i+1 h 2 Řád lokální chyby: O(h 2 )

95 Přednáška č. 8 Numerické řešení Dirichletovy úlohy. Princip metody sítí, konvergence metody. Existence a jednoznačnost řešení vzniklé soustavy lineárních rovnic.

96 Princip numerického řešení Dirichletova úloha pro lineární ODR 2. řádu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, Přesné řešení y(x) Ekvidistantní dělení x i = a + i h, Označíme q i = q(x i ), f i = f (x i ), p i = p(x i ) Aproximace řešení Y i y(x i ) Náhrada v uzlech sítě qy xi q i Y i Jak nahradit derivace? f xi = f i

97 Náhrada derivace pomocí diferencí h h x i 1 x x i i+1 Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 )

98 Náhrada derivace pomocí diferencí h h x i 1 x x i i+1 Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) 1. centrální diference f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 h) + O(h 2 ), 2h

99 Náhrada derivace pomocí diferencí h h x i 1 x x i i+1 Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) 2. centrální diference f (x 0 ) = f (x 0 + h) 2f (x 0 ) + f (x 0 h) h 2 + O(h 2 ).

100 Náhrada derivace pomocí diferencí h h x i 1 x x i i+1 Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) Ale také (využijeme později) f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 ) h + O(h),

101 Náhrada derivace pomocí diferencí h h x i 1 x x i i+1 Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) 1. centrální diference f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 h) + O(h 2 ), 2h 2. centrální diference f (x 0 ) = f (x 0 + h) 2f (x 0 ) + f (x 0 h) h 2 + O(h 2 ). Ale také (využijeme později) f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 ) h + O(h),

102 Dirichletova úloha pro ODR v samoadjungovaného tvaru Formulace úlohy (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, existence a jednoznačnost řešení - viz přednáška 7 nyní hledáme přibližné řešení

103 Náhrada samoadjungovaného tvaru Dirichletova úloha pro lineární ODR 2. řádu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, x i 1 x x x i i+1/2 i+1 Náhrady v uzlu x i qy xi q i Y i, f xi = f i Užijeme 1. centrální diference s krokem h/2 pro z = py dále z (x i ) z(x i+ 1 2 y (x i+ 1 2 ) z(x i 1 ) 2 = p i+ 1 2 h ) Y i+1 Y i h y (x i+ 1 2 ) p i 1 2 h y (x i 1 2, y (x i 1 2 ) Y i Y i 1 h ),

104 Náhrada samoadjungovaného tvaru Dirichletova úloha pro lineární ODR 2. řádu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, x i 1 x x x i i+1/2 i+1 1. centrální diference s krokem h/2 (py ) xi p i+ 1 2 y (x i+ 1 ) Y i+1 Y i 2 h tedy dostaneme y (x i+ 1 2 ( py ) xi p i 1 2 Y i 1 (p i+ 1 2 ) p i 1 2 h y (x i 1 2 ),, y (x i 1 ) Y i Y i 1 2 h + p i 1 2 h 2 )Y i + p i+ 1 Y i+1 2

105 Náhrada samoadjungovaného tvaru x i 1 x x x i i+1/2 i+1 Dirichletova úloha pro lineární ODR 2. řádu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (1) Pro i = 1,..., n 1 nahradíme (??) v uzlu x i p i 1 Y i 1 + (p 2 i+ 1 + p 2 i 1 2 kde Y 0 = y(a) = A, Y n = y(b) = B Jaké chyby jsme se dopustili? + h 2 q i )Y i p i+ 1 Y i+1 = h 2 f i 2

106 Náhrada samoadjungovaného tvaru - řád přesnosti Pro p, y dostatečně hladké platí (py ) xi = p i 1 2 y(x i 1) (p i p i 1 2 )y(x i) + p i+ 1 2 y(x i+1) h 2 +O(h 2 )

107 Náhrada samoadjungovaného tvaru - řád přesnosti Pro p, y dostatečně hladké platí (py ) xi = p i 1 2 y(x i 1) (p i p i 1 2 )y(x i) + p i+ 1 2 y(x i+1) h 2 +O(h 2 ) Dk. Užijeme y(x i+1 ) = y(x i ) + y (x i )h + y (x i ) h2 2 + y (x i ) h3 6 + O(h4 ) y(x i 1 ) = y(x i ) y (x i )h + y (x i ) h2 2 y (x i ) h3 6 + O(h4 )

108 Náhrada samoadjungovaného tvaru - řád přesnosti Pro p, y dostatečně hladké platí (py ) xi = p i 1 2 y(x i 1) (p i p i 1 2 )y(x i) + p i+ 1 2 y(x i+1) h 2 +O(h 2 ) Dk. Užijeme y(x i+1 ) = y(x i ) + y (x i )h + y (x i ) h2 2 + y (x i ) h3 6 + O(h4 ) y(x i 1 ) = y(x i ) y (x i )h + y (x i ) h2 2 y (x i ) h3 6 + O(h4 ) a dále p i+1/2 = p i + p (x i ) h 2 + p (x i ) h2 8 + p (x i ) h O(h4 ) p i 1/2 = p i p (x i ) h 2 + p (x i ) h2 8 p (x i ) h O(h4 )

109 Náhrada samoadjungovaného tvaru x i 1 x x x i i+1/2 i+1 Dirichletova úloha pro lineární ODR 2. řádu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (2) Pro i = 1,..., n 1 nahradíme (??) v uzlu x i p i 1 Y i 1 + (p 2 i+ 1 + p 2 i 1 2 kde Y 0 = y(a) = A, Y n = y(b) = B + h 2 q i )Y i p i+ 1 Y i+1 = h 2 f i 2 Dostáváme soustavu n 1 lineárních rovnic o n 1 neznámých.

110 Náhrada samoadjungovaného tvaru Vlastnosti soustavy rovnic Aproximovali jsme Dirichletovu úlohu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (3) soustavou rovnic pro i = 1,..., n 1 p i 1 Y i 1 + (p 2 i+ 1 + p 2 i 1 2 kde Y 0 = A, Y n = B. Vlastnosti soustavy rovnic: + h 2 q i )Y i p i+ 1 Y i+1 = h 2 f i 2 Matice soustavy je symetrická, třídiagonální. Matice soustavy je diagonálně dominantní (p > 0, q 0). Je-li q > 0 pak matice soustavy je ODD. Matice soustavy je pozitivně definitní (p > 0, q 0).

111 Náhrada samoadjungovaného tvaru Vlastnosti soustavy rovnic Aproximovali jsme Dirichletovu úlohu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (3) soustavou rovnic pro i = 1,..., n 1 p i 1 Y i 1 + (p 2 i+ 1 + p 2 i 1 2 kde Y 0 = A, Y n = B. Vlastnosti soustavy rovnic: + h 2 q i )Y i p i+ 1 Y i+1 = h 2 f i 2 Matice soustavy je symetrická, třídiagonální. Matice soustavy je diagonálně dominantní (p > 0, q 0). Je-li q > 0 pak matice soustavy je ODD. Matice soustavy je pozitivně definitní (p > 0, q 0). Existuje právě jedno řešení.

112 Náhrada samoadjungovaného tvaru Vlastnosti soustavy rovnic Aproximovali jsme Dirichletovu úlohu (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (3) soustavou rovnic pro i = 1,..., n 1 p i 1 Y i 1 + (p 2 i+ 1 + p 2 i 1 2 kde Y 0 = A, Y n = B. Vlastnosti soustavy rovnic: + h 2 q i )Y i p i+ 1 Y i+1 = h 2 f i 2 Matice soustavy je symetrická, třídiagonální. Matice soustavy je diagonálně dominantní (p > 0, q 0). Je-li q > 0 pak matice soustavy je ODD. Matice soustavy je pozitivně definitní (p > 0, q 0). Existuje právě jedno řešení. Jak toto řešení souvisí s přesným řešením?

113 Konvergence metody a odhad chyby Řešení a numerické řešení, chyba Víme: Přesné řešení Dirichletovy úlohy y(x) splňuje (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (4) a hodnoty v uzlech sítě y soustavu A y = F + O(h 2 ) Přibližné řešení splňuje AY = F Lze něco říct o chybě e = y Y?

114 Numerická řešení, konvergence y = 4 π 2 cos(pi x), y( 1) = y(1) = 0 2 Numerické řešení, krok h = 1 4, h = 1 8, h = 1 16, h = 1 32

115 Numerická řešení, konvergence y = 4 π 2 cos(pi x), y( 1) = y(1) = 0 2 Chyba numerického řešení, krok h = 1 4, h = 1 8, h = 1 16, h = 1 32

116 Numerická řešení, konvergence y = 4 π 2 cos(pi x), y( 1) = y(1) = 0 2 Chyba numerického řešení(log), krok h = 1 4, h = 1 8, h = 1 16, h = 1 32

117 Numerická řešení Konvergence závisí na úloze (x 2 y ) = 1, y(0) = y(1) = 0 Numerické řešení, krok h = 1 4, h = 1 8, h = 1 16, h = 1 32

118 Stabilita, řád chyby, konvergence a její řád. Vlastnosti soustavy rovnic Aproxinujeme Dirichletovu úlohu soustavou rovnic Navíc (py ) + qy = f, y(a) = A, y(b) = B, (5) AY = F Ay = F + O(h 2 ) Lze něco říct o chybě e = y Y? Ano, pokud řešení a data jsou hladké funkce: e = O(h 2 )

119 Příklady. Metoda sítí pro Dirichletovu úlohu v samoadjungovaném tvaru 27. Je dána Dirichletova úloha y 2 x y + (c x)y + x 2 = 0 y(2) = 1, y(4) = 3 a) Danou rovnici převed te na samoadjungovaný tvar b) Určete všechny hodnoty parametru c R, pro něž jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy c) Napište první dvě rovnice soustavy sít ových rovnic která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí s krokem h = 0.2 pro c = Je dána Dirichletova úloha y 4 x 2 4 y = 1 y(3) = 0, y(5) = 1 a) Ověřte, že úloha má právě jedno řešení b) Odvod te soustavu sít ových rovnic, která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí s krokem h = Je dána rovnice y + 2 x y x 2 + x y = 1 x 3 a) Určete intervaly maximálního řešení Cauchyovy úlohy pro danou rovnici b) Ověřte, že jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy pro danou rovnici s okrajovými podmínkami y( 5) = 2, y( 3) = 0 c) Napište první dvě rovnice soustavy sít ových rovnic která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí s krokem h = 0.4

120 Přednáška č. 9 Numerické řešení lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu dvou nezávisle proměnných metodou sítí. Klasifikace rovnic. Formulace základních úloh pro rovnice matematické fyziky: pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici.

121 Parciální diferenciální rovnice Co jsou parciální diferenciální rovnice (PDR)? Lineární vs. nelineární rovnice. Řešení PDR.

122 Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic(pdr) Lineární PDR 2. řádu a 2 u x 2 + b 2 u x y + c 2 u y 2 + d u x + e u y + gu = f PDR je: eliptická, parabolická nebo hyperbolická. Závisí na r = r(x, y) PDR nazýváme r = b 2 4ac eliptickou pro r < 0, parabolickou pro r = 0, nebo hyperbolickou pro r > 0. Př. Určete typ PDR 2 u x u y 2 = f, 2 u t 2 2 u x 2 = f, u t 2 u x 2 = f

123 Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic(pdr) Příklady PDR Poissonova rovnice ( - Laplace operátor) Rovnice vedení tepla (p > 0) Vlnová rovnice (c > 0) 2 u x u y 2 = f, u t = p 2 u x 2 + f, 2 u 2 t = c2 2 u x 2 + f,

124 Formulace okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici Ω n Uvažujme oblast Ω R 2 s Lipschitzovsky spojitou hranicí. Hledáme u(x, y) takové, že 2 u x u y }{{ 2 = f (x, y), v Ω } u a splňuje Dirichletovu okrajovou podmínku u(x, y) = ϕ(x, y) pro [x, y] Ω Pozn. Okrajové podmínky (např. Neumannova).

125 Poissonova rovnice Existence a jednoznačnost řešení Hledáme u(x, y) takové, že 2 u x u y 2 = 0, v Ω a splňuje Dirichletovu okrajovou podmínku u(x, y) = ϕ(x, y) pro [x, y] Ω Platí: Je-li Ω konvexní oblast s Lipschitzovsky spojitou hranicí, a je-li ϕ spojitá a f 0, pak existuje právě jedno řešení u C 2 (Ω). a dále: Je-li Ω oblast s hladkou hranicí (C 2 ), a je-li ϕ C(Ω), f C 1 (Ω), pak existuje právě jedno řešení u C 2 (Ω).

126 Formulace smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla t t=t x=a Hledáme u = u(x, t), [x, t] Ω = (a, b) (0, T ), takovou x=b u t = p 2 u x 2 + f, počáteční a okrajové podmínky u(x, 0) = u 0 (x), u(a, t) = α(t), u(b, t) = β(t). x

127 Existence řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla Úloha: počáteční podmínka u t = p 2 u x 2 + f, u(x, 0) = u 0 (x), x a, b, okrajové podmínky u(a, t) = α(t), u(b, t) = β(t), t 0. Kdy existuje řešení? Jednoznačnost řešení? Nutné p.:podmínky souhlasu.

128 Formulace smíšené úlohy pro vlnovou rovnici t t=t x=a Vlnová rovnice (c > 0) x=b x 2 u 2 t = c2 2 u x 2 + f, počáteční podmínky a okrajové podmínky u(x, 0) = ϕ(x), u (x, 0) = ψ(x), u(a, t) = α(t), u(b, t t

129 Formulace smíšené úlohy pro vlnovou rovnici Vlnová rovnice (c > 0) počáteční podmínky 2 u 2 t = c2 2 u x 2 + f, u(x, 0) = ϕ(x), u (x, 0) = ψ(x), t okrajové podmínky x a, b, x a, b, u(a, t) = α(t), u(b, t) = β(t), t 0. Kdy existuje řešení? Jednoznačnost řešení? Nutné p.:podmínky souhlasu.

130 Příklady. 30. Ověřte splnění podmínek souhlasu pro úlohu u t = u + x + 2t v oblasti Ω = {[x; t] : x (0; 1); t > 0} x2 u(x, 0) = x 2 pro x 0; 1 1 u(0, t) = arctg(t), u(1, t) = 2t Ověřte splnění podmínek souhlasu pro úlohu pro t 0 a podmínky. u t = u x 2 v oblasti Ω = {[x; t] : x (0; 2); t > 0} u(x, 0) = x(2 x) pro x 0; 2 u(0, t) = 30t pro t 0 u(2, t) = 0 pro t 0 Ověřte splnění podmínek souhlasu. 32. Ověřte splnění podmínek souhlasu (pro polohu a rychlost) pro úlohu 2 u t 2 = 4 2 u x 2 + x sin t u(x, 0) = x 2 u, t (x, 0) = 1 x2 pro x 1; 1 u( 1, t) = 1, u(1, t) = cos t pro t 0; )

131 Princip metody sítí PDR - jak nahradit parciální derivace? Poissonova rovnice ( - Laplace operátor) Rovnice vedení tepla (p > 0) Vlnová rovnice (c > 0) 2 u x u y 2 = f, u t = p 2 u x 2 + f, 2 u 2 t = c2 2 u x 2 + f, Jak nahradit první nebo druhou parciální derivaci?

132 Princip metody sítí Ω y x Hledáme aproximaci funkce u(x, y), [x, y] Ω R 2.

133 Princip metody sítí Ω y x Hledáme aproximaci funkce u(x, y), [x, y] Ω R 2. zvoĺıme krok h 1, označíme x i = x 0 + ih 1, sít ové čáry x = x i

134 Princip metody sítí Ω y x Hledáme aproximaci funkce u(x, y), [x, y] Ω R 2. zvoĺıme krok h 1, označíme x i = x 0 + ih 1, sít ové čáry x = x i zvoĺıme krok h 2, označíme y j = y 0 + jh 2, sít ové čáry y = y j

135 Princip metody sítí Ω y x Hledáme aproximaci funkce u(x, y), [x, y] Ω R 2. zvoĺıme krok h x = h, označíme x i = x 0 + ih, sít ové čáry x = x i zvoĺıme krok h y = h, označíme y j = y 0 + jh, sít ové čáry y = y j společné body sít ových čar s Ω - hraniční uzly

136 Princip metody sítí Ω y x Hledáme aproximaci funkce u(x, y), [x, y] Ω R 2. zvoĺıme krok h 1, označíme x i = x 0 + ih 1, sít ové čáry x = x i zvoĺıme krok h 2, označíme y j = y 0 + jh 2, sít ové čáry y = y j společné body sít ových čar s Ω - hraniční uzly průsečíky x = x i a y = y j ležící uvnitř Ω P i,j = [x i, y j ] Aproximujeme řešení u(p i,j ) U i,j

137 Diferenční náhrady prvé a druhé derivace funkce Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) f (x 0 h) = f (x 0 ) h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) 1. centrální diference f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 h) 2h + O(h 2 ),

138 Diferenční náhrady Náhrady 2. derivace funkce, řád aproximace. Užitím Taylorova polynomu f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) + h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) f (x 0 h) = f (x 0 ) h f (x 0 ) + h2 2 f (x 0 ) h3 3! f (x 0 ) + O(h 4 ) Sečteme obě rovnice a vyjádříme f (x 0 ) f (x 0 ) = f (x 0 + h) 2f (x 0 ) + f (x 0 h) h 2 + O(h 2 ).

139 Diferenční náhrady Náhrady parciálních derivací Jak nahradit 1. nebo 2. parciální derivaci v P i,j? Parciální derivace je derivace funkce jedné proměnné (ostatní jsou konstanty). Tedy 2 u x 2 (P i,j) = dϕ dx (x i), kde ϕ(x) = u(x, y j ).

140 Přednáška č. 10 Okrajová úloha pro Poissonovu rovnici Diferenční náhrady prvé a druhé derivace funkce, řád aproximace. Princip metody sítí a její aplikace pro řešení okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici.

141 Formulace okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici Ω n Hledáme u(x, y) tak, že 2 u x u = f (x, y), y 2 v Ω u(x, y) = ϕ(x, y) pro [x, y] Ω Užijeme metodu sítí. Jak nahradit parciální derivace?

142 Diferenční náhrady Náhrada 2. derivace funkce jedné proměnné h h x i 1 x x i i+1 Užitím Taylorova polynomu u (x i ) = u(x i + h) 2u(x i ) + u(x i h) h 2 + O(h 2 ), užitím přibližných hodnot u (x i ) U i+1 2U i + U i 1 h 2.

143 Diferenční náhrady parciální derivace h P i,j h chceme nahradit u = 2 u x u y 2, 2. centrální diference ve směru x, chyba O(h 2 ) 2 u x 2 (x i, y j ) U i 1,j 2U i,j + U i+1,j h 2, 2. centrální diference ve směru y, chyba O(h 2 ) 2 u y 2 (x i, y j ) U i,j 1 2U i,j + U i,j+1 h 2,

144 Diferenční náhrady 2. parciální derivace h P i,j h 2 u x 2 (x i, y j ) U i 1,j 2U i,j + U i+1,j h 2, 2 u y 2 (x i, y j ) U i,j 1 2U i,j + U i,j+1 h 2, Náhrada rovnice u = f v bodě P i,j U i,j 1 U i 1,j + 4U i,j U i,j+1 U i+1,j = h 2 f i,j

145 Diferenční náhrady 2. parciální derivace h P i,j h Náhrada rovnice u = f v bodě P i,j U i,j 1 U i 1,j + 4U i,j U i,j+1 U i+1,j = h 2 f i,j jen pro P i,j, který má všechny sousedy (viz obr.), Takový uzel nazýváme regulární.

146 Princip metody sítí Ω y x označíme x i = x 0 + ih 1, y j = y 0 + jh 2, hraniční uzly průsečíky x = x i a y = y j ležící uvnitř Ω P i,j = [x i, y j ] Aproximujeme řešení u(p i,j ) U i,j Označíme regulární a neregulární uzly.

147 Náhrada rovnice v regulárním uzlu h P i,j h Rovnici u = f nahradíme v regulárním uzlu P i,j rovnicí U i,j 1 U i 1,j + 4U i,j U i,j+1 U i+1,j = h 2 f i,j

148 Náhrada v hraničním uzlu Ω y x v regulárních uzlech P i,j - nahradíme rovnici U i,j 1 U i 1,j + 4U i,j U i,j+1 U i+1,j = h 2 f i,j v hraničních uzlech Q - užijeme okrajové podmínky U Q = ϕ(q) v neregulárních uzlech P N - chceme zachovat řád aproximace!

149 Náhrada v neregulárním uzlu u R h N δh Q sitova primka Hodnotu v neregulárním uzlu - lineární interpolace tedy U R U N h = U N U Q δh (1 + δ)u N δu R = U Q Pro hladké řešení je tato náhrada 2. řádu přesnosti, tj. chyba O(h 2 )

150 Odvození: Náhrada v neregulárním uzlu u R h N δh Q sitova primka Ukažte, že pro u dostatečně hladké je náhrada (1 + δ)u N δu R = U Q druhého řádu přesnosti. Dle Taylorova rozvoje v P N : u(x + δh) = u(x) + δhu (x) + O(h 2 ) u(x h) = u(x) hu (x) + O(h 2 )

151 Vlastnosti soustavy rovnic. Řád aproximace Výsledná soustava rovnic je lineární a DD. Pozitivně definitní. Symetrická? Matice je tzv. řídká. Chyba aproximace O(h 2 ). Co platí pro chybu řešení? e = u U AU = F Au = F + O(h 2 )

152 Poissonova rovnice Příklad 33. Je dána Dirichletova úloha u = 4 v oblasti Ω tvořené čtyřúhelníkem s vrcholy [0; 0], [2; 0], [0; 1.8], [1.4; 1.8] s okrajovou podmínkou u(x, y) = x 2 na hranici Γ = Ω b) Načrtněte obrázek s číslováním uzlů pro h = 0.6 c) Sestavte sít ové rovnice v uzlech tak, aby metoda byla 2.řádu přesnosti 34. a) Je dána Dirichletova úloha u = x(y + 1) v oblasti Ω tvořené čtyřúhelníkem s vrcholy [0; 0], [1.8; 0], [0; 1.5] a [1.5; 1.5]. s okrajovou podmínkou u(x, y) = x + y na hraniciγ. (a) Volte h = 0.5, nakreslete obrázek oblasti, zobrazte všechny sít ové čáry, sít ové uzly uvnitř oblasti, regulární neregulární a hraniční uzly, číslování uzlů. (b) Sestavte sít ové rovnice, v neregulárních uzlech užijte lineární interpolace.

153 Přednáška č. 11 Rovnice vedení tepla Metoda sítí pro rovnici vedení tepla. Explicitní a implicitní schéma. Konvergence a stabilita schémat.

154 Rovnice vedení tepla Úloha: počáteční podmínka u t = p 2 u x 2 + f, u(x, 0) = u 0 (x), x a, b, okrajové podmínky u(a, t) = α(t), u(b, t) = β(t), t 0.

155 Metoda sítí a aproximace řešení Rovnice: u t = p 2 u x 2 + f, Sít : Voĺıme krok h = (b a)/n a krok τ > 0. x i = a + ih, t k = kτ, Sít ové uzly P k i a aproximace řešení U k i Postup řešení: P k i = [x i, t k ], U k i u(x i, t k ). {U 0 i } {U 1 i } {U 2 i } {U 3 i }...

156 Rovnice vedení tepla Explicitní schéma P k + 1 i τ P k i h Rovnice: u t = p 2 u x 2 + f, Náhrada v uzlu P k i, chyba O(h 2 + τ) 2 u x 2 (Pk i ) Uk i 1 2Uk i + Ui+1 k h 2 u t (Pk i ) Uk+1 i Ui k τ

157 Rovnice vedení tepla Explicitní schéma P k + 1 i τ P k i Rovnice: u t = p 2 u x 2 + f, Náhrada v uzlu Pi k, chyba O(h 2 + τ) U k+1 i Ui k τ násobíme τ, označíme σ = pτ h 2 Stabilita: h = p Uk i 1 2Uk i + U k i+1 h 2 + f k i, U k+1 i = σu k i 1 + (1 2σ)U k i + σu k i+1 + τf k i, σ = pτ h

158 Rovnice vedení tepla Explicitní schéma - stabilita Schéma: U k+1 i = σu k i 1 + (1 2σ)U k i + σu k i+1 + τf k i, Je chyba malá, je-li h a τ malé? voĺıme h = 0.01, τ = 0.001, σ = τ h 2 = 10 u t = u xx, u(x, 0) = (100x) 2, u(0, t) = 0, u(0.05, t) = 25 t x

159 Rovnice vedení tepla Explicitní schéma - stabilita Schéma: U k+1 i = σu k i 1 + (1 2σ)U k i + σu k i+1 + τf k i, Je chyba malá, je-li h a τ malé? voĺıme h = 0.01, τ = , σ = τ h 2 = 0.5 u t = u xx, u(x, 0) = (100x) 2, u(0, t) = 0, u(0.05, t) = 25 t x

160 Rovnice vedení tepla Explicitní schéma P k + 1 i τ P k i h Schéma: U k+1 i = σu k i 1 + (1 2σ)U k i + σu k i+1 + τf k i, Chyba aproximace: Stabilita O(h 2 + τ), σ = pτ h

161 Rovnice vedení tepla Implicitní schéma τ h P k+1 i Rovnice: u t = p 2 u x 2 + f, Náhrada v uzlu P k+1 i, chyba O(h 2 + τ) 2 u x 2 (Pk+1 i u ) Uk+1 i 1 2Uk+1 i + U k+1 i+1 h 2 t (Pk+1 i ) Uk+1 i Ui k τ

162 Rovnice vedení tepla Implicitní schéma τ h P k+1 i Rovnice: u t = p 2 u x 2 + f, Náhrada v uzlu P k+1 i, chyba O(h 2 + τ) U k+1 i Ui k τ = p Uk+1 i 1 2Uk+1 i + U k+1 i+1 h 2 + f k+1 i, násobíme τ, označíme σ = pτ h 2, dostáváme σu k+1 i 1 + (1 + 2σ)Uk+1 i σu k+1 i = Ui k + τf k+1 i,