Goniometrické funkce v elementární matematice

Goniometrické funkce v elementární matematice Kapitola : Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku In: Radka Smýkalová (author): Goniometrické funkce v elementární matematice. (zech). rno, 06. pp. 0 6. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/03 Terms of use: kademické nakladatelství RM Nadace Universitas v rně Česká matematická společnost Institute of Mathematics of the zech cademy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. ach copy of any part of this document must contain these Terms of use. This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project ML-Z: The zech igital Mathematics Library http://dml.cz

Kapitola Goniometrie pravoúhlého trojúhelníku. Funkce ostrého úhlu Zavedení goniometrických funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans a kosekans ostrých úhlů (0, π ) je spojeno s řešením pravoúhlých trojúhelníků... Od podobnosti k poměrům Na obrázku. vidíme dva různé pravoúhlé trojúhelníky a, které se shodují ve vnitřním úhlu. Podle věty uu o podobnosti trojúhelníků jsou navzájem podobné, z čehož plyne, b a c c že poměry odpovídajících si stran jsou stejné: Obrázek. a a = b b = c c. b a Odtud pro poměry dvojic stran téhož trojúhelníku dostáváme šest rovností. a c = a c,. b c = b c, 3. a b = a b,. b a = b a, 5. c b = c b, 6. c a = c a, ze kterých plyne, že ve všech pravoúhlých trojúhelnících se shodným ostrým vnitřním úhlem má. poměr odvěsny protilehlé úhlu a přepony stejnou hodnotu,. poměr odvěsny přilehlé úhlu a přepony stejnou hodnotu, 3. poměr odvěsny protilehlé úhlu a odvěsny přilehlé úhlu stejnou hodnotu, 0

.. FUNK OSTRÉHO ÚHLU. poměr odvěsny přilehlé úhlu a odvěsny protilehlé úhlu stejnou hodnotu, 5. poměr přepony a odvěsny přilehlé úhlu stejnou hodnotu, 6. poměr přepony a odvěsny protilehlé úhlu stejnou hodnotu. Tyto poměry tedy nezáleží na velikosti pravoúhlého trojúhelníku. Jejich hodnoty jsou kladná čísla, která závisí pouze na velikosti úhlu a kterým říkáme. sinus úhlu sin = a c,. kosinus úhlu cos = b c, 3. tangens úhlu tg = a b,. kotangens úhlu cotg = b a, 5. sekans úhlu sec = c b = cos, 6. kosekans úhlu cosec = c a = sin. Zvolíme-li délku přepony pravoúhlého trojúhelníku za jednotku délky, hodnoty sinu a kosinu budou rovny přímo délkám odvěsen a délkami úseček lze znázornit i hodnoty tangens, kotangens, sekans a kosekans (viz obr..). Z takového znázornění lze geometricky zdůvodnit všechny poznatky, které uvedeme v následující části. sec cos sin tg cosec cotg Obrázek.: Goniometrické hodnoty graficky.. Grafy a základní vztahy Z předchozího zavedení hodnot sinu a kosinu úhlu (0, π ) plyne, že obě tato čísla leží v otevřeném intervalu (0, ). Krajních hodnot dosáhnout nemohou. (V žádném pravoúhlém trojúhelníku nemůže být délka odvěsny nulová a odvěsna s přeponou nemohou mít stejnou délku.) Z geometrického názoru je však zřejmé, že hodnoty sinu a kosinu mají v krajních bodech =0a = π jednostranné limity lim sin =0, lim 0 + sin =, lim π cos =, lim 0 + cos =0. π

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU Proto můžeme dodefinovat hodnoty sin 0, sin π a cos 0, cos π a mluvit o funkcích sinus a kosinus na uzavřeném intervalu 0, π. Funkce sinus je na intervalu 0, π rostoucí, funkce kosinus klesající (obr..3). y y y = sin x y = cos x 0 (a) π x 0 (b) π x Obrázek.3: Grafy funkcí sinus a kosinus na intervalu 0, π y y y = tg x y = cotg x 0 (a) π x 0 (b) π x Obrázek.: Grafy funkcí tangens a kotangens na intervalu 0, π Hodnoty tangens a kotangens úhlu (0, π ) leží v otevřeném intervalu (0, ). V krajních bodech definičního oboru mají zřejmé limity: lim tg =0, lim 0 + tg =, lim π cotg =, lim 0 + cotg =0. π Jelikož není reálné číslo, nebudeme hodnoty tg π a cotg 0 definovat. Rostoucí funkce tangens tak bude definována na intervalu 0, π ), klesající funkci kotangens budeme uvažovat na intervalu (0, π (obr..). Poslední dvě goniometrické funkce sekans a kosekans lze jednoduše vyjádřit pomocí funkcí sinus a kosinus rovnostmi sec = cos a cosec = sin.

.. PYTHGOROV UKLIOVY VĚTY Vypočítat převrácené číslo k dané hodnotě je v epoše počítačů triviální úkol. Proto funkce sekans a kosekans již ztratily praktický význam a ani my se jimi dále nebudeme téměř vůbec zabývat. Mezi goniometrickými funkcemi existuje řada závislostí, které můžeme vyjádřit pomocí různých rovností. Např. každá výše zmíněná goniometrická funkce f() má svoji tzv. goniometrickou kofunkci cof(), pro kterou při každém (0, π ) platí ( π ) f() =cof. Které dvě goniometrické funkce jsou takto svými sourozenci, se dá jednoduše odvodit vyjádřením goniometrických poměrů v pravoúhlém trojúhelníku pro oba vnitřní ostré úhly a = π. (Úhly, nazýváme doplňkové, jelikož + = π.) Zde jsou očekávané vztahy: ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) sin = cos, cos = sin, tg = cotg, cotg = tg a sec = cosec ( π ) ( π ), cosec = sec. louhá staletí se hledaly hodnoty goniometrických funkcí pro daný úhel jen pomocí tabulek. Tabulky sloužily i opačné úloze najít úhel, jehož goniometrická hodnota byla dána. Tato úloha vedla ke vzniku inverzních funkcí arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg) a arkuskotangens (arccotg), které budeme uvažovat prozatím na intervalech 0,, 0,, (0, ), a (0, ). Velikost příslušných úhlů bude ležet v rozmezí (0, π ). yklometrické funkce název pro inverzní funkce ke goniometrickým dnes také slouží k přesnému zápisu výsledků, které v daný okamžik nepotřebujeme vyjadřovat přibližnými čísly pro účely praxe. Například pro ostré úhly,,γ píšeme: sin = 3 = arcsin 3, cos = 5 = arccos, tg γ = 0 γ = arctg 0. 5. Pythagorova a ukleidovy věty Pythagorova věta byla pojmenována podle Pythagora ze Samu (okolo 570 př. n. l. 50 př. n. l. ), jenž ji objevil pro vropu, resp. starověké Řecko. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v gyptě). Popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině. Věta.. (Pythagorova). Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů dvou čtverců nad jeho odvěsnami: a + b = c. ukleidova věta je označení pro geometrická tvrzení o vlastnostech pravoúhlých trojúhelníků, pojmenovaná po svém objeviteli, řeckém matematikovi ukleidovi (50 př. n. l. 370 př. n. l.). Ve skutečnosti jsou ukleidovy věty dvě ukleidova věta o výšce a ukleidova věta o odvěsně. V obou se mluví o úsecích, na které je přepona rozdělena patou výšky z protilehlého vrcholu trojúhelníku. Věta.. (ukleidova věta o výšce). Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony: v = c a c b. 3

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU Věta..3 (ukleidova věta o odvěsně). Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlého: a = c c a a b = c c b. Všechny tyto tři věty nyní odvodíme pomocí goniometrických funkcí ostrých úhlů. Nechť je dán pravoúhlý trojúhelník s přeponou. Ze vztahů pro hodnoty sinu a kosinu úhlu u vrcholu vyjádříme délky odvěsen a, b pravoúhlého trojúhelníku (viz obr..5). V troj- b a c cos c sin c c Obrázek.5 úhelníku dále vyznačíme výšku v = P, která nám rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky P a P (viz obr..6). Z trojúhelníků a P vidíme, že každý z úhlů a P je doplňkový ke společnému úhlu u vrcholu, takže platí P =. Proto můžeme pomocí hodnot sin, cos vyjádřit i výšku v, i délky obou úseků c a = P a c b = P, jak je uvedeno v pravé části obrázku: v = c sin cos, c a = c sin, c b = c cos. Z nalezených vyjádření délek a,b,v,c a,c b již dostaneme všechny potřebné rovnosti: c cos c sin c cos c sin v c sin cos P P c b c a c cos csin c c Obrázek.6 a = c sin a = c sin a = c (c sin ) a = c c a, b = c cos b = c cos b = c (c cos ) b = c c b, v = c sin cos v = c sin cos v =(c sin ) (c cos ) v = c a c b, a + b = c c a + c c b a + b = c (c a + c b ) a + b = c.

.3. GONIOMTRIKÉ HONOTY TÉHOŽ ÚHLU odejme, že z rovnosti c = c a + c b okamžitě plyne klíčový vztah mezi hodnotami sinu a kosinu, tzv. goniometrická jednička sin + cos =, která je rovněž bezprostředním důsledkem dokázané Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou přeponou..3 Goniometrické hodnoty téhož úhlu Na začátku této kapitoly jsme každému ostrému úhlu přiřadili čtyři goniometrické hodnoty sin, cos, tg a cotg. Z každé z těchto čtyř hodnot je zpětně určen nejen úhel, ale i další tři zbývající goniometrické hodnoty, což nyní potvrdíme. Obdržíme jednoduché vzájemné vztahy mezi goniometrickými hodnotami téhož ostrého úhlu, které plynou přímo z definice goniometrických hodnot a z Pythagorovy věty. Je-li dána hodnota sin, zvolíme pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou přeponou a s vnitřním ostrým úhlem. Z definice plynou délky odvěsen (obr..7). cos sin Obrázek.7 sin + cos = cos = sin tg = sin cos = sin sin cotg = cos sin sin = sin (Pythagorova věta), (definice hodnoty tg ), (definice hodnoty cotg ). Je-li dána hodnota cos, použijeme opět obr..7. sin = cos (Pythagorova věta), tg = sin cos cos = (definice hodnoty tg ), cos cotg = cos sin = cos (definice hodnoty cotg ). cos Je-li dána hodnota tg, zvolíme pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou odvěsnou a přilehlým vnitřním ostrým úhlem. Z definice tangens plyne délka protilehlé odvěsny a z Pythagorovy věty délka přepony (obr..8). 5

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU tg + tg Obrázek.8 tg sin = + tg cos = + tg cotg = tg (definice hodnoty sin ), (definice hodnoty cos ), (definice hodnoty cotg ). Je-li dána hodnota cotg, zvolíme pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou odvěsnou a protilehlým vnitřním ostrým úhlem. Z definice kotangens plyne délka přilehlé odvěsny a z Pythagorovy věty délka přepony (obr..9). cotg + cotg Obrázek.9 sin = + cotg cotg cos = + cotg tg = cotg (definice hodnoty sin ), (definice hodnoty cos ), (definice hodnoty tg ).. Goniometrické hodnoty významných úhlů V části.. jsme pomocí limit přiřadili goniometrickým funkcím hodnoty pro okrajové úhly =0 a = 90. Žádné konkrétní goniometrické hodnoty pro úhly mezi 0 a 90 jsme dosud nepoznali. V této podkapitole ukážeme, že z pravidelných mnohoúhelníků lze odvodit hodnoty 6

.. GONIOMTRIKÉ HONOTY VÝZNMNÝH ÚHLŮ goniometrických funkcí pro ostré úhly {8, 30, 36, 5, 5, 60, 7 }. (Tyto významné úhly je výhodnější zapisovat ve stupních než v obloukové míře, které dáváme jinde přednost.) Pravidelný trojúhelník rovnostranný trojúhelník o délce strany jedna jednotka lze výškou 30 P 60 Obrázek.0 rozdělit na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky s vnitřními ostrými úhly o velikosti 30 a 60 (obr..0). élku jejich delší odvěsny vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: ( ) 3 P = =. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 30 a 60 z pravoúhlého trojúhelníku P jsou: sin 30 = cos 60 = =, cos 30 = sin 60 = tg 30 = cotg 60 = = 3 = 3 3, cotg 30 = tg 60 = 3 3 3 = 3, = 3. Pravidelný čtyřúhelník čtverec o délce strany jedna jednotka lze úhlopříčkou rozdělit na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky s vnitřními ostrými úhly o velikosti 5 (obr..). élku jejich přepony vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: = + =. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhel 5 z pravoúhlého trojúhelníku jsou: sin 5 = =, cos 5 = =, tg 5 = cotg 5 = =. K dalšímu odvozování budeme potřebovat délky stran pravidelného pětiúhelníku a pravidelného desetiúhelníku vepsaných do kružnice o poloměru jedna jednotka. Nejdříve popíšeme konstrukci těchto dvou délek, která je znázorněna na obr... 7

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU 5 5 Obrázek. Postup:. Sestrojíme jednotkovou kružnici se středem O a její dva navzájem kolmé průměry a.. Nalezneme střed S úsečky O. 3. Sestrojíme oblouk kružnice se středem v bodě S a poloměrem S, průsečík oblouku s úsečkou O označíme X.. élka strany pravidelného pětiúhelníku vepsaného do jednotkové kružnice je a 5 = X, délka strany příslušného pravidelného desetiúhelníku je a 0 = OX. S O X P Q Obrázek.: Konstrukce pravidelného pětiúhelníku a desetiúhelníku ůkaz. bychom ověřili správnost konstrukce délek stran pravidelného pětiúhelníku a desetiúhelníku, podíváme se nejprve na pentagram - pěticípou hvězdu nakreslenou pěti přímými tahy téže délky (obr..3). Pentagram velmi úzce souvisí s pravidelným pětiúhelníkem, který dostaneme spojením vrcholů pentagramu úsečkami. Uvažujme jeho dvě úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu, 8

.. GONIOMTRIKÉ HONOTY VÝZNMNÝH ÚHLŮ R P Q Obrázek.3: Pentagram například úhlopříčky P a Q na obrázku. Tyto dvě úhlopříčky spolu se stranou PQ vymezují rovnoramenný trojúhelník PQ. alší úhlopříčka vycházející z vrcholu P protne úsečku Q ve vnitřním bodě R. Protože stranám pravidelného pětiúhelníku příslušejí v opsané kružnici shodné obvodové úhly (vyznačené na obrázku obloučky), jsou trojúhelníky P QR a PQ podobné a rovnoramenné a rovněž trojúhelník RP je rovnoramenný. Úsečky R, PR a PQ jsou proto shodné a pro poměry stran trojúhelníků P QR a PQ platí P PQ = PQ QR = PQ Q R = PQ P PQ neboli PQ = P ( P PQ ). Po vydělení hodnotou PQ tak pro poměr ϕ = P PQ dostáváme kvadratickou rovnici =ϕ (ϕ ), která má jediný kladný kořen + 5. (Určená hodnota ϕ je známá jako zlatý řez a objevuje se v různých souvislostech v geometrii a v teorii čísel.) Pravidelný pětiúhelník se stranou PQa protilehlým vrcholem je přikreslen i k naší konstrukci na obr... Protože přímka je osou úsečky PQ, je úsečka Q stranou vepsaného pravidelného desetiúhelníku. Její délku a 0 určíme z rovnoramenného trojúhelníku OQ, který má u hlavního vrcholu O úhel velikosti poloviny středového úhlu POQ, tedy úhel shodný s obvodovým úhlem PQ (oba shodné úhly jsou na obr. vyznačeny obloučky). Rovnoramenné trojúhelníky PQ a OQ jsou tedy podobné. Z rovnosti po dosazení O =již dostaneme O Q = P PQ = ϕ = + 5 a 0 = Q = 5 + 5 =. 9

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU bychom určili druhou hledanou délku a 5 = PQ, vypočteme nejdříve délku odvěsny Q pravoúhlého trojúhelníku Q: Q = ( ) Q = 5 0 + 5 =. Odtud již dostáváme a 5 = PQ = P ϕ = Q ϕ = 0+ 5 + 5 = 0 5. Nyní se vraťme k původní konstrukci. Naším cílem je ukázat, že úsečky X a OX mají délky rovné hodnotám a 5, resp. a 0, jejichž výpočet jsme před chvílí dokončili. K tomu nám stačí použít dvakrát Pythagorovu větu: SX = S = ( ) 5 O + OS = + =, 5 OX = SX OS = 5 =, X = O + OX = + ( 5 ) = 0 5. Správnost celé konstrukce je tak ověřena. Zároveň jsme určili délky a 5, a 0 stran pravidelných pětiúhelníků a desetiúhelníků vepsaných do jednotkové kružnice, které nyní uplatníme k našemu hlavnímu záměru. 0 5 Pravidelný pětiúhelník o délce strany = lze rozdělit na pět shodných rovno- 36 7 a 5 P a 5 5 Obrázek.: Pravidelný pětiúhelník ramenných trojúhelníků s vnitřním úhlem proti základně o velikosti 7 (obr..), jejichž výšku na základnu vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: ( ) ( P = = 0 ) 5 6+ 5 5+ = =. 50

.. GONIOMTRIKÉ HONOTY VÝZNMNÝH ÚHLŮ Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 36 a 5 z pravoúhlého trojúhelníku P jsou: sin 36 = cos 5 = tg 36 = cotg 5 = 0 5 0 5 6+ 5 0 5 =, cos 36 = sin 5 = = 5 5, cotg 36 = tg 5 = 6+ 5 6+ 5 0 = 5 5+ =, 5 + 0 5. 5 Pravidelný desetiúhelník o délce strany = 5 lze rozdělit na deset shodných rovno- F F 8 36 a 0 R 7 a 0 Obrázek.5: Pravidelný desetiúhelník ramenných trojúhelníků s vnitřním úhlem proti základně o velikosti 36 (obr..5), jejichž výšku na základnu vypočítáme pomocí Pythagorovy věty: ( ) ( ) FR = F = 5 0 + 5 =. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 8 a 7 z pravoúhlého trojúhelníku RF jsou: sin 8 = cos 7 = tg 8 = cotg 7 = 5 5 =, cos 8 = sin 7 = 5 0 5, cotg 8 = tg 7 = 5 5 0+ = 5 0+ 5 = 0+ 5 = 5 0 + 5, 5+ 5. Z odvozených hodnot bychom mohli užitím goniometrických vzorců (viz.5) algebraicky vyjadřovat hodnoty příslušné dalším úhlům, např. 5 = 5 30, 6 = 36 30 apod. Takové výpočty dnes nemají příliš valný význam, v historii však sehrály (jak jsme uvedli v kap. ) velkou roli při sestavování trigonometrických tabulek. 5

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU.5 Goniometrické vzorce V goniometrii pracujeme s velkým množstvím vzorců. Zatím jsme definovali goniometrické funkce v souvislosti s pravoúhlým trojúhelníkem, budeme proto nyní u goniometrických vzorců uvádět omezení, za kterých jsou všechny zastoupené argumenty z intervalu (0, π ). Názorně odvodíme vzorce pro dvojnásobný argument, součtové vzorce a vzorce pro součet funkcí. Vzorce pro dvojnásobný argument, kde ( 0, π ) : sin = sin cos, cos = cos sin. Odvození: Zvolíme si rovnoramenný trojúhelník s rameny, o délce jedna jednotka tak, aby vnitřní úhly přilehlé k základně měly velikost (0, π ), a výškou P ho rozdělíme na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Základna je současně přeponou pravoúhlého trojúhelníku (viz obr..6 vlevo). Z trojúhelníku je = π, cos sin P cos P cos Obrázek.6 tudíž pro velikost vedlejšího úhlu platí =. Nyní vyjádříme a do obrázku vpravo zapíšeme délky jednotlivých stran pomocí goniometrických funkcí: P : cos = P : sin = P = cos, = P = cos, = sin, Z trojúhelníku již odvodíme kýžené vzorce: cos = = cos. sin = sin = sin = sin cos, cos cos = + cos = cos cos = cos = cos sin. Součtové vzorce pro sinus a pro kosinus, kde,,+ ( 0, π ) : sin( + ) = sin cos + cos sin, cos( + ) = cos cos sin sin. Odvození: Zvolíme si dva pravoúhlé trojúhelníky a s přeponami, resp. tak, aby strana byla společná, strana měla délku jedna jednotka a aby vnitřní úhly 5

.5. GONIOMTRIKÉ VZOR Obrázek.7, měly velikosti, resp. o součtu menším než π (viz obr..7). o stejného obrázku dokreslíme obdélník F (obr..8). Úhly a F jsou střídavé, z čehož plyne, že F = +. Jednoduše lze také spočítat, že =. Nyní určíme a do dolní části obrázku.8 zapíšeme délky jednotlivých stran pomocí goniometrických funkcí, z čehož pak obdržíme kýžené vzorce: : sin = = sin, : sin = = cos sin, : sin = = sin sin, F : sin( + ) = F F = sin( + ), cos = = cos, cos = = cos cos, cos = = sin cos, cos( + ) = F F = cos( + ). F = = + sin( + ) = sin cos + cos sin, = F = F + cos cos = cos( + ) + sin sin, cos( + ) = cos cos sin sin. Součtový vzorec pro tangens, kde,,+ ( 0, π ) : tg( + ) = tg + tg tg tg. Odvození: Součtový vzorec pro tangens lze názorně demonstrovat ze stejného obrázku obdélníku F z obr..8, pokud jinak (vhodně) zvolíme výchozí jednotku délky (obr..9). íky analytičnosti obou stran vzorců můžeme tvrdit, že takto odvozené vzorce budou platit pro všechny argumenty z oboru reálných či dokonce komplexních čísel. S ohledem na zaměření naší práce však budeme rozšiřovat obory pravdivosti goniometrických vzorců v následujících kapitolách výhradně elementárními prostředky. 53

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU F + F cos( + ) + sin sin sin sin cos sin( + ) cos cos cos cos sin Obrázek.8 : tg = : tg = cos : sin = tg cos = tg, cos = = cos, = tg cos, = tg tg, cos = tg cos = tg, F : tg ( + ) = F F = + tg + tg = = F tg tg. odejme, že v případě = (0, π ) odtud plyne vzorec tg = tg tg. 5

.5. GONIOMTRIKÉ VZOR F + tg tg F + tg cos tg cos tg Obrázek.9 Vzorce pro součet sinů a pro součet kosinů, kde 0 <<< π : sin + sin = sin + cos, cos + cos = cos + cos. Odvození: Zvolíme si dva pravoúhlé trojúhelníky a se společných vrcholem tak, aby jejich přepony a měly délku jedna jednotka, odvěsny a byly navzájem rovnoběžné a aby pro vnitřní úhly = a = platilo 0 <<< π (viz obr..0). Prodloužením strany za bod obdržíme průsečík F se stranou. Ze shodnosti střídavých úhlů a F plyne F =. o stejného obrázku (viz obr..) dokreslíme pravoúhlý trojúhelník G. V rovnoramenném trojúhelníku sestrojíme výšku na základnu a její patu označíme písmenem H. K odvození vzorců nám zbývá už jen zjistit velikost úhlu F, shodného s oběma vnitřními úhly při základně trojúhelníku. Protože jeho vnější úhel při vrcholu má velikost, je F =. Nyní vyjádříme a do obrázku zapíšeme potřebné délky pomocí goniometrických funkcí: 55

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU F Obrázek.0 : sin = : sin = = sin = G, = sin, cos = cos = = cos, = cos = G. H : cos = H H = cos = H = cos. Zaměříme se na pravoúhlý trojúhelník G, jehož odvěsny G a G mají délky G = + G = cos + cos, G = G + = sin + sin a jehož ostrý vnitřní úhel u vrcholu má velikost + + =. To nám spolu s dříve určenou délkou přepony umožňuje vyjádřit délky odvěsen G, G jiným způsobem zapsaným na obr..: sin + cos + = G + G = sin = G + G = cos cos, cos. Porovnáním obou vyjádření délek G a G docházíme k očekávaným vzorcům. 56

.6. PŘÍKLY cos sin H F cos cos sin sin cos cos G Obrázek..6 Příklady Příklad.6.. Geometricky dokažte rovnost arctg + arctg 3 = π. Řešení: o čtvercové sítě o délce strany jedna jednotka nakreslíme trojúhelník (obr..3). Jelikož jsou trojúhelníky a F shodné, je trojúhelník rovnoramenný pravoúhlý, tedy = π. alší postup důkazu můžeme stručně zapsat takto: : tg = = arctg, : tg = 3 = arctg 3, + = arctg + arctg 3, + = = π. Příklad.6.. Geometricky dokažte rovnost arctg + arctg + arctg 3 = π. Řešení: o čtvercové sítě o délce strany jedna jednotka nakreslíme trojúhelník, který následně rozdělíme na tři trojúhelníky, a (obr..). Vnitřní úhly trojúhelníků u vrcholu utorem příkladů a řešení.6. a.6. je podle [] dward M. Harris. 57

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU cos sin + cos + cos + cos Obrázek. G F Obrázek.3 označíme postupně,,γ, přičemž + + γ = π. Z obrázku je zřejmé, že =3. alší postup důkazu můžeme stručně zapsat takto: : tg = = = arctg, : tg = = = arctg, = + = 5, =3 5, =5 + =5, + = 5 + 5 = 50, = 5 = 50 je pravoúhlý, : tg γ = = 3 γ = arctg 3, + + γ = arctg + arctg + arctg 3. 58

.6. PŘÍKLY γ Obrázek. Příklad.6.3. ez užití goniometrických vzorců odvoďte hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 5 a 75. Řešení: K odvození použijeme obrázek.0 z podkapitoly., který ještě doplníme o rovnoramenný trojúhelník Q s rameny a Q o délce jedna jednotka, přičemž rameno Q leží na polopřímce opačné k P (viz obr..5). Vnitřní úhly trojúhelníku Q jsou 5, 5 a 50. élku výšky P v rovnostranném trojúhelníku jsme již vypočítali v podkapitole. P = 3. Zbývá určit délku strany Q pomocí Pythagorovy věty: Q = P + PQ = ( ) ( ) 3 + + = + 3. Hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 5 a 75 určíme pomocí pravoúhlého trojúhelníku PQ: sin 5 = cos 75 = P Q = 3 =, + 3 cos 5 = sin 75 = PQ + 3 Q = + 3 =, + 3 tg 5 = cotg 75 = P PQ = cotg 5 = tg 75 = PQ + P = + 3 3 = 3, =+ 3. Příklad.6.. Jak je poznamenáno v [8, str. 6], v případě ostrých úhlů lze součtové vzorce pro sinus a kosinus odvodit třemi postupy. Vždy vycházíme z dvojice pravoúhlých trojúhelníků, které se navzájem stýkají podél jedné společné strany. Možné způsoby takového jejich spojení vidíme na obr..6. Levou dvojici trojúhelníků jsme využili při odvozování v podkapitole.5 (obr..7), pravou dvojici jsme v podstatě uplatnili při odvozování Ptolemaiovy věty v části.. (obr..5 v případě, 59

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU Q 5 50 30 5 P 60 Obrázek.5 kdy je průměrem kružnice) a k získání součtových vzorců bychom ještě potřebovali sinovou větu, o které pojednáme teprve v kapitole 3. Nyní pomocí prostřední dvojice trojúhelníků z obr..6 znovu dokažte, že platí součtový vzorec sin( + ) = sin cos + cos sin, jsou-li všechny tři úhly,,+ ostré. Řešení: va pravoúhlé trojúhelníky a se společnou odvěsnou a jedním vnitřním úhlem, resp. zvolíme podle obr..7. 60

.6. PŘÍKLY Obrázek.6 + Obrázek.7 : sin( + ) = : sin = : cos = = sin( + ), = sin, = cos, : tg = sin cos = = sin sin cos = sin, : sin = = sin( + ) sin( + ) = sin cos + cos sin. sin cos cos + sin Příklad.6.5. Pomocí dvou pravoúhlých trojúhelníků se společnou odvěsnou (obr..6 u- prostřed) znovu dokažte, že platí součtový vzorec cos( + ) = cos cos sin sin, jsou-li všechny tři úhly,,+ ostré. Řešení: Opět zvolíme pravoúhlé trojúhelníky a se společnou odvěsnou, které 6

KPITOL. GONIOMTRI PRVOÚHLÉHO TROJÚHLNÍKU + Obrázek.8 tentokrát mají po vnitřním úhlu, resp. + (obr..8). : sin( + ) = : cos( + ) = : sin = : cos = = sin( + ), = cos( + ), = sin, = cos, : sin = cos( + ) = = cos : tg = sin cos = = sin + cos(+) sin cos( + ), sin cos( + ) = cos cos sin sin. 6