Kaitola 1 Algebraický úvod 1.1 Pologrua, monoid, neutrální rvek Binární oerací na množině M se rozumí každé zobrazení M M M. Binární oerace se často zaisují jako násobení či sčítání, a to i když oerace nijak nesouvisí s číselnými strukturami. Binární oerace na M se nazývá asociativní, okud x (y z) = (x y) z ro všechna x, y, z M. Množině s asociativní oerací se říká ologrua. Prvek e ologruy S nazveme neutrální, slňuje-li xe = x = ex ro všechna x M. Lemma. V ologruě existuje nanejvýš jeden neutrální rvek. Důkaz. Ať e a f jsou neutrální rvky. Pak e = ef = f. Pologruě s neutrálním rvkem se říká monoid. Při oužití multilikativní notace (oerace násobení) se neutrálnímu rvku říká též jednotkový. V aditivní notaci (oerace sčítání) hovoříme o nulovém rvku. 1.2 Grua, inverzní rvek, krácení Ať M = M(, 1) je monoid. Prvek x M může mít levý inverzní a ravý inverzní rvek. Levý je dán vztahem yx = 1 a ravý vztahem xz = 1. Lemma. Má-li rvek monoidu jak levý, tak ravý inverzní rvek, jsou tyto rvky shodné. Důkaz. Je-li yx = 1 = xz, je y = y 1 = y(xz) = (yx)z = 1 z = z. Hovoříme-li o inverzním rvku, míníme tím, že je inverzním jak zleva, tak zrava. Z lemmatu lyne, že inverzní rvek je určen jednoznačně. V multilikativní notaci se značí x 1, v aditivní x. 1
2 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD Grua je monoid, ve kterém ke každému rvku existuje rvek inverzní. Je-li G = G(, 1, 1) grua a ro její rvky latí xy = xz, máme y = (x 1 x)y = x 1 (xy) = x 1 (xz) = (x 1 x)z = z. Podobně z yx = zx lyne y = z. V gruě lze tedy krátit zleva i zrava. 1.3 Podobjekty. Invertibilní rvky Podologruou ologruy S se rozumí každá odmnožina P taková, že z x, y P lyne xy P (říkáme, že P je uzavřená na násobení). Podologrua monoidu M = M(, 1), která obsahuje 1, se nazývá odmonoid. Podgruou je ak každý odmonoid, který je uzavřený na inverzní rvky. Prvek x monoidu M se nazývá invertibilní, okud v M existuje rvek vůči x inverzní. Tvrzení. Invertibilní rvky monoidu tvoří odgruu. Jsou-li x a y invertibilní, latí (xy) 1 = y 1 x 1. Důkaz. Stačí ověřit oslední vztah, neboť z něj lyne, že invertibilní rvky jsou uzavřené na násobení. Ovšem z xx 1 = 1 = yy 1 máme (xy)(y 1 x 1 ) = x(yy 1 )x 1 = xx 1 = 1. Podobně (y 1 x 1 )(xy) = 1, a zbytek je snadný. Mezi odobjekty bývá největší a nejmenší. S tím je sojeno určité názvosloví. Uvedeme ho ro gruy, jinde je obdobné. Největší odgrua gruy G je ona sama. Nejmenší odgrua je jednorvková množina {1}. Ta se obvykle značí též 1. Podgruy 1 a G se nazývají odgruy nevlastní. Ostatní odgruy jsou vlastní. 1.4 Homomorfismus a izomorfismus gru Ať G = G(, 1, 1) a H = H(, 1, 1) jsou gruy. Zobrazení ϕ : G H nazveme homomorfismus, okud ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) ro všechna x, y G. V ředchozí definici může zarazit, že oerace v G i H se značí stejně. V obecných definicích bývá zvykem takto ostuovat, i když o homomorfismu lze mluvit i v říadě, že jsou obě oerace značeny různě. Někdy se ro řehlednost může řiojit G nebo H jako index, aby se zdůraznilo, o kterou gruu jde. Identitu homomorfismu lze tedy sát též jako ϕ(x G y) = ϕ(x) H ϕ(y). Lemma. Ať ϕ : G G je homomorfismus gru. Potom ϕ(1 G ) = 1 H a ϕ(x 1 ) = (ϕ(x)) 1, ro každé x G. Důkaz. Máme ϕ(1 G ) 1 H = ϕ(1 G ) = ϕ(1 G 1 G ) = ϕ(1 G ) ϕ(1 G ), takže krácením 1 H = ϕ(1 G ). Zbývá ukázat, že ϕ(x 1 ) je vůči ϕ(x) inverzní. Ovšem ro ϕ(x 1 )ϕ(x) = ϕ(x 1 x) = ϕ(1 G ) = 1 H. Pokud je ϕ bijektivní zobrazení, hovoříme o izomorfismu. Je-li ϕ izomorfismus, tak se místo ϕ : G H často íše ϕ : G = H. Pro a, b H v takovém říadě latí ϕ(ϕ 1 (a) ϕ 1 (b)) = ϕϕ 1 (a) ϕϕ 1 (b) = ab = ϕ(ϕ 1 (ab)), odkud ϕ 1 (a) ϕ 1 (b) = ϕ 1 (ab). Vidíme, že z ϕ : G = H lyne ϕ 1 : H = G.
1.5. ABELOVA GRUPA. EKVIVALENCE MODULO PODGRUPA. 3 Jsou-li ϕ : G H a ψ : H K homomorfismy gru, je ψ ϕ : G K také homomorfismus. Vskutku, ψϕ(xy) = ψ(ϕ(xy)) = ψ(ϕ(x) ϕ(y)) = (ψϕ(x)) (ψϕ(y)), ro všechna x, y G. Homomorfismus ϕ : G G se nazývá endomorfismus a izomorfismu ϕ : G = G se říká automorfismus. Protože endomorfismy lze skládat a rotože skládání zobrazení je asociativní, je množina End (G) všech endomorfismů gruy G monoid s neutrálním rvkem id G (identické zobrazení x x gruy G). Z tvrzení 1.3 lyne, že Aut (G) (množina všech automorfismů gruy G) tvoří odgruu End (G). 1.5 Abelova grua. Ekvivalence modulo odgrua. Grua se nazývá komutativní, latí-li xy = yx. Komutativním gruám se často říká Abelovy (nebo abelovské). Budeme s nimi většinou racovat v aditivní notaci (neutrální rvek je nula, inverzním rvkům se říká oačné). Ať N je odgrua Abelovy gruy G. Definujeme na G relaci mod N tak, že x y mod N rávě když x y N. (Čteme, x je kongruentní s y modulo N; záis x y je zkrácením x + ( y)). Lemma. Relace mod N je ekvivalence na G. Blok této ekvivalence, který obsahuje rvek x, je roven množině x+n = {x + a; a N}. Zobrazení a x+a je bijekcí N a x + N. Důkaz. Z x y N lyne (x y) = y x N, takže relace mod N je symetrická (a také zřejmě reflexivní). Z x y mod N a y z mod N máme x z mod N, neboť x z = (x y) + (y z), takže jde skutečně o ekvivalenci. Zbytek je jasný, neboť y = x (x y) ro všechna x, y G. Množinám x + N se říká rozkladové třídy modulo N. Lemma tedy mimo jiné raví, že všechny rozkladové třídy modulo N jsou stejně mohutné (tj. mají stejný očet rvků) jako N. Mohutnost gruy G se značí G a říká se jí řád gruy. Počet (mohutnost) všech rozkladových tříd modulo N se nazývá index odgruy N a značí se G : N. Ze stejných velikostí rozkladových tříd lyne Lagrangeova věta G = N G : N ro každou odgruu N (komutativní gruy) G. Lagrangeova věta latí i ro nekomutativní gruy. Proto je v jejím znění slovo komutativní v závorkách. Zde se nekomutativními gruami zabývat nebudeme. 1.6 Faktorgrua Buď oět G Abelova grua s odgruou N. Uvažme x, y G a a, b N. Pak (x + a) + (y + b) = (x + y) + (a + b) x + y + N, takže (x + N) + (y + N) = (x + y) + N
4 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD se definuje oerace na G/N = {x + N; x G}. Výsledek oerace závisí na třídách x + N a y + N, nikoliv na rerezentantech x a y těchto tříd. Je zřejmé, že ((x+n)+(y +N))+(z +N) = (x+y +z)+n = (x+n)+((y +N)+(z +N)), takže definovaná oerace je asociativní. Jistě je i komutativní, a z (x + N) + (( x) + N) = 0 + N = N lyne, že ke každému rvku lze najít rvek oačný, řičemž 0 + N = N je rvek neutrální. Vidíme, že G/N je Abelova grua (říká se jí grua kvocientní nebo faktorgrua modulo N). Vidíme, že G/N = G : N. 1.7 Iterované sčítání a násobení. Exonent Buď G Abelova grua. Pro n 1 a x G definujeme nx jako součet x + + x, který má n sčítanců. (Formálně lze definovat 1 x = x, (n + 1)x = nx + x.) Položíme také 0 x = 0 a ( n) x = (nx). Z očtu sčítanců je atrné, že (n + m)x = nx + mx a n(mx) = (nm)x ro n, m 0. Použitím vztahu ( n)x = (nx) = n( x) lze snadno dokázat, že vzorce ro iterovaný součat a násobení latí ro všechna n, m celá. (Formální důkaz lze rovést indukcí. Vzhledem k názornosti obou vzorců však od něj uustíme). Nejmenší m 1 takové, že mx = 0, se nazývá (okud existuje) řád rvku x G. (Neexistuje-li, jde o rvek nekonečného řádu). Každému m 1 takovému, že mx = 0 ro všechna x G, se říká exonent gruy G. Pokud je m minimální možné, hovoříme o minimálním exonentu. V multilikativní notaci se iterované násobení značí jako mocniny. Je tedy x n = x x, kde součin má n činitelů, ro každé n 1. Dále x 0 = 1 a x n = (x 1 ) n. (Oět lze formálně oložit x 0 = 1, x n+1 = x n x.) Uvedené vztahy mají v multilikativní notaci tvar x n x m = x n+m a (x n ) m = x nm. 1.8 Okruh Algebraický systém R solu s binárními oeracemi + a, unární oerací a konstantami 0 a 1 se nazývá okruh, okud R(+,, 0) je Abelova grua R(, 1) je monoid a všechna x, y, z R slňují x (y+z) = (x y)+(x z) a (y+z) x = (y x)+(z x). Okruh je komutativní, je-li oerace násobení komutativní. V komutativním okruhu stačí ověřit ouze jeden z obou distributivních zákonů. Při ráci s oběma oeracemi se oužívají obvyklé recendence oerátorů, takže naříklad levý distributivní zákon íšeme jako x(y + z) = xy + xz. Okruh s jediným rvkem nazýváme triviální. Lemma. Ať R je okruh. Pak x 0 = 0 = 0 x a x( y) = xy = ( x)y, ro všechna x, y R. Pokud R není triviální, je 0 1.
1.9. IDEÁL A FAKTOROKRUH. DĚLITELNOST 5 Důkaz. Máme x = x 1 = x (1 + 0) = x 1 + x 0, takže x 0 = 0 dostaneme odečtením x = x 1. Z 0 = x(y + ( y)) = xy + x( y) lyne x( y) = xy. Je-li 0 = 1, latí x = x 1 = x 0 = 0 ro každé x R. 1.9 Ideál a faktorokruh. Dělitelnost Kvocientní struktura okruhu R musí vyjadřovat absorční vlastnosti nulového rvku. Proto je řirozená definice ideálu jakožto každé odmnožiny I R takové, že I(+,, 0) je odgrua R(+,, 0) a ro každé a I, r R, latí jak ar I, tak ra I. Jsou-li r, s R a a, b I, tak (r+a) (s+b) = ab+t, kde t = rb+as+rs I. Proto je možné na R/I = {r + I; r R} definovat jak oeraci sčítání (viz oddíl 1.6), tak oeraci násobení (a to tak, že (r + I) (s + I) = rs + I). Při takové definici je R/I okruhem. Říkáme mu kvocientní okruh nebo faktorokruh modulo I. Nevlastní ideály jsou 0 a R. Ideál I se nazývá maximální, okud I R a I J R nelatí ro žádný ideál J okruhu R. Dělitelností se budeme zabývat ouze v komutativních okruzích. Je-li R komutativní okruh, a R, je ar = Ra = {ra; r R} zjevně ideál. Jde o hlavní ideál rvku a. Prvku a se též říká generátor daného hlavního ideálu. Řekneme, že a R dělí b R, okud existuje c R, že b = ac. Zaisujeme jako a b. Lemma. Buď R komutativní okruh. Ať a, b R. Pak a dělí b Ra Rb. Důkaz. Je-li b = ca, je každé rb rovno (rc)a Ra. Je-li Rb Ra, je a = rb ro nějaké r R. 1.10 Invertibilní rvky. Obory V okruhu se invertibilita vztahuje samozřejmě k oeraci násobení. Množina všech invertibilních rvků okruhu R se značí R. Z tvrzení 1.3 lyne, že R je grua. Invertibilní rvek komutativního okruhu R lze zjevně charakterizovat také tak, že jeho hlavní ideál je roven R. Dělitelem nuly rozumíme každý nenulový rvek a, který slňuje ac = 0 ro nějaké c 0. Komutativní okruh bez dělitelů nuly, který je netriviální, se nazývá obor integrity (krátce též ouze obor). V oboru integrity z a 1 c = a 2 c, c 0, lyne (a 1 a 2 )c = 0, odkud a 1 a 2 = 0, takže a 1 = a 2. Obory integrity atří tudíž mezi okruhy, ve kterých lze krátit nenulovými rvky. Lemma. Buď R obor integrity. Ať a, b R. Je ekvivalentní: (1) Současně a dělí b, b dělí a, (2) a = bx ro nějaké x R, (3) Ra = Rb.
6 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD Důkaz. Je-li x R, tak xy = yx = 1 ro nějaké y R. Proto z lemmatu 1.9 lyne jak (2) (3), tak (2) (1). Předokládejme, že a = bx, b = ay. Pak a 1 = a = bx = a yx, takže krácením dostaneme 1 = yx, a tedy x R. Skutečnost, že R je obor integrity, jsme v ředchozím důkaze otřebovali ouze v osledním kroku; naším cílem zde není největší možná obecnost. Teorii dělitelnosti nebudeme také rozvíjet ro obory integrity obecně, ale ouze ro obory hlavních ideálů, což jsou ty obory integrity, ve kterých je každý ideál hlavní. 1.11 Řetězce ideálů. Noetherovské okruhy Okruh R se nazývá noetherovský, okud v něm nelze nalézt ostře rostoucí oslounost ideálů I 1 I 2 I 3. Jinými slovy, v noetherovském okruhu mají všechny řetězce ideálů I 1 I 2 I 3 jen konečně mnoho rvků (od jistého indexu se stabilizují). Lemma. Ať I 1 I 2 I 3 je řetězec ideálů okruhu R. Potom I = (Ij ; j 1) je také ideál okruhu R. Důkaz. Pro a, b I existuje j 1, že a i b adnou do I j. Pak ale a+b I j I a ra I j I ro každé r R. Důsledek. Každý obor hlavních ideálů je noetherovský. Důkaz. Uvažme oslounost ideálů I 1 I 2 I 3. Potom I = (I j ; j 1) je rovno nějakému ar, řičemž a adne do nějakého I k. To ale znamená I k = I j ro každé k j. 1.12 Součiny a odíly ideálů Jsou-li I a J ideál okruhu R bude jejich růnik I J zjevně také ideálem. Definujeme též součet I + J, součin IJ a odíl I : J, a to tak, že I + J = {x + y; x I a y J}, { k } IJ = i=1 x iy i ; x i I, y i J, kde k 1 a I : J = {x R; xj I} Ověřit, že jde ve všech třech říadech o ideály, je snadné. Učiňme tak detailně ouze v osledním říadě. Je-li r R a xj I, tak (rx)j = r(xj) ri I a (xr)j = x(rj) xj I. Je-li ještě yj I, je (x + y)j = xj + yj J + J = J. Lemma. Ať R je obor integrity s hlavními ideály I = ar a J = br. Pak IJ = (ab)r a I I : J. Je-li I J, tak a = bc ro nějaké c R, a I : J = cr. Přitom (1) I : J = R I = J a
1.13. ROZKLADY V OBORECH HLAVNÍCH IDEÁLŮ 7 (2) I : J = I J = R. Důkaz. Podle definice se IJ rovná všem možným hodnotám tvaru (r i a)(s i b), 1 i k, které lze samozřejmě zasat jako ( r i s i ) (ab). Proto IJ = (ab)r. Pro a I je ar I, takže i aj I. Odsud I I : J. Předokládejme I J. Pak a = bc dle lemmatu 1.9. Přitom (cr)(br) = ar dle rvé části důkazu, takže cr I : J. Je-li x I : J, máme xb I, tedy ro nějaké r R je xb = ra = rcb. Odsud krácením x = rc cr. Rovnost I = J je odle lemmatu 1.9 ekvivalentní invertibilitě c, což nastává rávě když cr = R. Rovnost I : J = I je odle téhož lemmatu ekvivalentní invertibilitě rvku b. Pro teorii dělitelnosti má zásadní význam následující vlastnost maximálních ideálů. Tvrzení. Buď M maximální ideál okruhu R. Je-li součin ideálů I 1... I k, k 1, obsažen v M, je I j M ro nějaké j, 1 j k. Důkaz. Ideál I j +M obsahuje M, a roto je buď roven M, nebo R. Prvý říad imlikuje I j M; ředokládejme, že tedy ro každé j latí druhý, 1 j k. Pak lze 1 vyjádřit jako a j +m j, kde a j I j, m j M. Roznásobením součinu 1 = (a 1 +m 1 )... (a k +m k ) dostaneme výraz, který lze zasat jako a 1... a k +m, kde m M. Protože ředokládáme a 1... a k M, musí M obsahovat rvek 1, a to je sor. Důsledek. Ať M 1... M k M, kde M 1,..., M k i Mjsou maximální ideály okruhu R. Pak M j = M ro nějaké j, 1 j k. Důkaz. Podle tvrzení je M j M ro nějaké j. Ovšem maximální ideál může být obsažen toliko ve shodném maximálním ideálu. 1.13 Rozklady v oborech hlavních ideálů Lemma. Každý vlastní ideál oboru hlavních ideálů lze vyjádřit jako součin maximálních ideálů. Důkaz. Daný ideál označíme I 0 = I a budeme indukcí konstruovat maximální ideály M 1... M k a ideál I k tak, aby I = M 1... M k I k. Pokud I k je maximální ideál, oložíme M k+1 = I k, a konstrukci ukončíme. Předokládejme, že I k je vlastní ideál, který je vlastní odmnožinou v nějakém maximálním ideálu M k+1 (jeho existence lyne naříklad z toho, že R je odle důsledku 1.11 okruh noetherovský). Položíme I k+1 = I k : M k+1. Podle lemmatu 1.12 máme I k = M k+1 I k+1. Navíc z I k M k+1 lyne, že I k+1 je vlastní ideál, a z M k+1 R lyne, že je I k I k+1. Kdyby bylo takto možné sestrojit nekonečnou oslounost, dostali bychom takto sor s noetherovskostí daného okruhu. Tvrzení. Každy vlastní ideál oboru hlavních ideálů lze až na ořadí jednoznačně vyjádřit jako součin maximálních ideálů
8 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD Důkaz. Vzhledem k lemmatu stačí dokázat, že z I = M 1... M k = N 1... N h, kde M i i N j jsou maximální ideály, lyne že obě vyjádření jsou až na ořadí shodná. Budeme ostuovat indukcí dle k a ředokládat k h. Každý z ideálů M i obsahuje ideál I, takže M 1 = N j ro nějaké j, 1 j h, dle důsledku 1.12. Proto můžeme ředokládat M 1 = N 1. Je-li h = 1, není co řešit. Předokládejme h 2. Z M 1 = ar a N 2... N j = br lyne I = (ab)r a I : M 1 = N 2... N h, dle lemmatu 1.12. Proto je I : M 1 vlastní ideál R. Odsud I M 1 a k 2. Tudíž I : M 1 = M 2... M k = N 2... N h a lze oužít indukční ředoklad. Nevlastní ideál R lze ovažovat za součin nulového očtu maximálních ideálů. Důsledek. Ať I a J jsou dva nenulové ideály oboru hlavních ideálů. Pak I J rávě když existují maximální ideály M 1,..., M h takové, že I = M 1... M h a J = M 1... M k, kde 1 k h. Důkaz. Z lemmatu 1.12 lyne, že I = J(I : J). Proto skutečně jde o římý důsledek ředchozího tvrzení. 1.14 Dělitelnost rvků v oborech hlavních ideálů Buď nejrve R obor integrity. Předokládejme, že R je maximální ideál v R. Pokud dělí součin rvků a 1... a k, tak R (a 1 R)... (a k R), takže odle tvrzení 1.12 je R a j R ro nějaké j, 1 j k, a tedy a j. Obecně se rvek 0 oboru integrity R nazývá rvočinitel, okud není invertibilní a okud ro všechna a 1,..., a k R latí imlikace a 1... a k a i ro některé i, 1 i k. (Je snadné nahlédnout,že je rvočinitel, okud je uvedená vlastnost slněna ro k = 2.) Viděli jsme, že je-li R maximální ideál, je nutně rvočinitel. Lemma. Buď R obor hlavních ideálů. Prvek 0 je v R rvočinitel rávě když R je maximální ideál. Důkaz. Zbývá dokázat římou imlikaci. Ať je tedy rvočinitel. Podle tvrzení 1.13 máme R = (a 1 R)... (a k R), kde a i R jsou maximální ideály. Tudíž a 1... a k, takže a j ro nějaké j, 1 j k. Odsud R a j R a tedy R = a j R ( není invertibilní, takže R R). Tvrzení 1.13 tedy říká, že každé ar R lze vyjádřit jako ( 1 R)... ( k R), kde j jsou rvočinitele. Toto vyjádření je až na ořadí jednoznačné, ovšem rvky 1,..., k jsou odle lemmatu 1.10 určeny jednoznačně svými ideály až na násobky invertibilními rvky. Podle lemmatu 1.12 je ( 1 R)... ( k R) = ( 1... k )R, takže a = 1... k c ro nějaké c invertibilní. Nahradíme-li rvočinitel k rvočinitelem k c vidíme, že každé neinvertibilní a R lze vyjádřit jako součin rvočinitelů. Z tvrzení 1.13 víme, že tento součin je určen jednoznačně až na ořadí a až na modifikace invertibilními rvky. Vidíme, že tvrzení a důsledek 1.13 lze též zasat jako
1.15. NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL. NEJMENŠÍ SPOLEČNÝ NÁSOBEK9 Tvrzení. Buď R obor hlavních ideálů. Předokladejme, že z každého maximálního ideálu M je vybrán rávě jeden rvočinitel, a označme P množinu všech takto vybraných rvočinitelů P. Pak každé nenulové a R lze až na ořadí jednoznačně vyjádřit ve tvaru a = u e1 1... e k k, kde u R, i P a e i 1, 1 i k, řičemž se ředokládá, že 1,..., k jsou o dvou různé. Je-li a = u e1 1... e k k a b = v f1 1... f k k, kde i P jsou o dvou různé, e i 0, f i 0, 1 i k, a kde u, v R, tak a dělí b rávě když e i f i ro všechna i, 1 i k. 1.15 Největší solečný dělitel. Nejmenší solečný násobek Buď R obor integrity s nenulovými rvky a a b. Prvek d nazveme největším solečným dělitelem rvků a a b, okud slňuje d a, d b a t d, kdykoliv t a a t b. Podobně n R nazveme nejmenším solečným násobkem rvků a a b, okud a n, b n a n m, kdykoliv a m a b m. Jsou-li d 1 a d 2 dva největší soleční dělitelé, je d 1 d 2 a d 2 d 1, takže d 1 R = d 2 R. Podobně nahlédneme, že i nejmenší solečné násobky jsou určeny jednoznačně až na násobek invertibilním rvkem (viz oddíl 1.10). Ať R je obor hlavních ideálů, řičemž a = u e1 1... e k k a b = vf1 1... f k k jsou rozklady rvků a a b na rvočinitele ve smyslu tvrzení 1.14 (ředokládáme, že e i a f i jsou nezáorné, 1 i k). Z tohoto tvrzení okamžitě lyne Lemma. Největší solečný dělitel rvků a a b je roven min(e1,f1) 1... min(e k,f k ) k. Jejich nejmenší solečný násobek je roven max(e1,f1) 1... max(e k,f k ) k. Tvrzení. Buď R obor hlavních ideálů a ať a a b jsou jeho nenulové rvky. Označme d jejich největší solečný dělitel a n jejich nejmenší solečný násobek. Pak dr = (ar) + (br) a nr = (ar) (br). Důkaz. Víme, že (ar) + (br) je rovno nějakému tr. Z ar tr a br tr lyne, že t dělí jak a, tak b. Proto t dělí d, čili dr tr. Současně máme dr ar a dr br, takže dr ar + br = tr. Podobně je (ar) (br) rovno nějakému mr. Z ar mr a br mr lyne, že a i b dělí m. Proto n dělí m, čili mr nr. Současně máme nr ar a nr br, takže nr ar br = mr. Pojem největšího solečného dělitele (i nejmenšího solečného násobku) lze římočaře zobecnit i na situace více rvků než dvou. Podle ředchozího tvrzení je ak d největší solečný dělitel rvků a 1,..., a k rávě když dr = a 1 R + + a k R. Tento fakt vyjádříme ještě jinou formou (jde o důsledek ředchozího tvrzení). Důsledek. Ať R je obor hlavních ideálů a ať a 1,..., a k R jsou nenulové rvky, k 2. Buď d největší solečný dělitel těchto rvků. Pak d dělí a 1 r 1 +
10 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD + a k r k ro všechna r 1,..., r k R. Přitom r 1,..., r k R lze zvolit tak, aby latilo d = a 1 r 1 + + a k r k. 1.16 Eukleidovská zobrazení Buď R obor integrity. Ať ro každé a R je f(a) nezáorné číslo, řičemž f(a) = 0 a = 0. Zobrazení f nazveme eukleidovským, okud navíc latí, že (1) ro všechna a, b R, kde b 0, lze najít q, r R taková, že a = bq + r a f(r) < f(b); a (2) f(b) f(a), kdykoliv b dělí a, a 0 Pokud ro obor integrity R existuje alesoň jedno eukleidovské zobrazení, nazývá se tento obor eukleidovským. Tvrzení. Každý eukleidovský obor je oborem hlavních ideálů. Důkaz. Ať I je ideál R. Uvažme b I, b 0, takové, že f(b) nejmenší možné. Jistě br I. Ukážeme, že latí i oačná inkluze. Zvolme a I a uvažme q, r R taková, že a = bq + r, kde f(r) < f(b). Prvek r = a bq leží v I. Musí tedy být f(r) = 0, odkud r = 0. Dokázali jsme, že b dělí každé a I. V důkazu jsme využili ze dvou vlastností eukleidovského zobrazení ouze vlastnost (1). Je tedy vlastnost (2) zbytečná? Ne zcela. Jednak lze její omocí obdržet další vlastnosti (viz lemma níže), jednak v řirozeně se vyskytujících říkladech, které slňují (1), vždy latí. Navíc, jak nyní naznačíme, z vlastnosti (1) lze modifikací získat zobrazení, které slňuje i (2). Stačí oložit g(a) = min {f(ax); x R }. Snadnou úvahou lze ověřit, že g slňuje (1). Z důkazu tvrzení výše ak lze odvodit, že g slňuje i (2). Lemma. Ať R je obor integrity a f jeho eukleidovské zobrazení. Položme m = min {f(a); a R, a 0}. Pak u R je invertibilní rávě když f(u) = m. Důkaz. Je-li u invertibilní, tak u dělí každý rvek a R. Je-li a 0, máme f(u) f(a), dle vlastnosti (2). Proto f(u) = m. Není-li b 0 invertibilní, tak b nedělí rvek 1. Tudíž 1 = bq + r, kde r 0 a f(r) < f(b). Proto f(b) > m. 1.17 Okruhy olynomů Buď R okruh. Formální součty tvaru a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, kde a 0,..., a n R, se ovažují za olynomy. Prvkům a 0,..., a n se říká koeficienty. V záise olynomu se nulové koeficienty nemusí uvádět. Rovněž lze v záise olynomu měnit ořadí členů a i x i. Dva olynomy jsou shodné, rávě když se shodují ve všech členech s nenulovými koeficienty. (Proto definujeme olynomy jako formální součty. Polynom je ro nás určen svým záisem a ne funkčními hodnotami. Nad některými okruhy se totiž mohou různé olynomy shodovat ři dosazení každé hodnoty z R.) Polynom a = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 nazveme nulový rávě když 0 = a 0 = a 1 = = a n. Je-li a nenulový, definujeme jeho stueň deg(a) jako největší k n takové, že a k 0. Pak se a k nazývá vedoucí koeficient. Polynom
1.18. KOMUTATIVNÍ TĚLESA A POLYNOMY 11 je monický rávě když je nenulový a jeho vedoucí koeficient je roven 1. Stueň nulového olynomu klademe definitoricky jako 1. Množinu všech olynomů nad okruhem R budeme značit R[x]. Součet olynomů a = i n a ix i a b = i n b ix i se definuje jako i n (a i + b i )x i. Je zřejmé, že latí deg(a + b) max (deg(a), deg(b)). Součin olynomů a = i n a ix i a b = j m b jx j se definuje jako k n+m c kx k, kde c k = i+j=k a ib j (a tedy c k = i k a ib k i = j k a k jb j ). Koeficient c n+m je roven a n b m. Je-li n = deg(a) a m = deg(b), je c n+m 0, okud v R nejsou dělitelé nuly. Můžeme tedy naříklad říci, že deg(ab) = deg(a) + deg(b), je-li R obor integrity a olynomy a, b jsou nenulové. Pro olynomy a = a i x i, b = b j x j a c = c k x k máme (( a(bc) = a r=j+k b j c k )x r) = ( t=i+r a i ( r=j+k ( b j c k ))x t = t=i+j+k a i b j c k )x t. Stejný výraz lze obdržet ři výočtu (ab)c, takže vidíme, že násobení olynomů je asociativní. Sčítání v R[x] zjevně oskytuje Abelovu gruu, kde nulový olynom je neutrálním rvkem. Násobení dává monooid s neutrálním rvkem 1 = 1.x 0. Ověřit distributivitu násobení ke sčítání je snadné, takže vidíme, že R[x] je okruh. Prvky α R se obvykle ztotožňují s olynomy αx 0. Tímto zůsobem lze R cháat jako odokruh R[x]. Přitom R[x] je komutativní rávě když je R komutativní, a ze vztahu deg(ab) = deg(a) + deg(b) lyne, že R[x] je obor integrity rávě když R je obor integrity. Lemma. Ať a,b jsou olynomy nad oborem integrity R. Předokládejme, že b je nenulový a že jeho vedoucí koeficient je invertibilní rvek R. Pak existují olynomy q, r R[x] takové, že a = bq + r, řičemž deg(r) < deg(b). Důkaz. Je-li deg(a) < deg(b), lze oložit q = 0, r = a. Postuujeme dále indukcí dle n = deg(a) k = deg(b). Ať a = a i x i a b = b j x j. Položme a = a (a n b 1 k )xn k b. Oba olynomy rozdílu jsou stuně n a mají shodné vedoucí koeficienty. Proto je deg(a) < n, takže odle indukčního řeokladu existují q, r R[x] takové, že a = bq + r, deg(r) < k, Odsud a = a + (a n b 1 k )xn k b = b(a n b 1 k xn k + q) + r. 1.18 Komutativní tělesa a olynomy Okruh R se nazývá tělesem rávě když je netrivální a každý nenulový rvek je invertibilní. Jinými slovy, R je těleso rávě když R \ {0} je vzhledem k násobení grua (značíme ji R ). Přiomeňme, že v komutativním okruhu R každý vlastní ideál obsahuje vlastní hlavní ideál (je-i a I, a 0, je 0 ar I). V komutativním tělese tedy vlastní ideály nejsou. Jinak řečeno, komutativní okruh R je tělesem rávě když má řesně dva ideály, a to 0 a R. Buď nyní T komutativní těleso. Pro a T [x] oložme f(a) = deg(a) + 1. Pokud b T [x] je nenulový olynom, tak odle lemmatu 1.17 existují q, r T [x]
12 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD taková, že a = bq + r, f(r) < f(b). Vidíme, že f je eukleidovské zobrazení ve smyslu oddílu 1.16. T [x] je tudíž eukleidovský obor, a seciálně obor hlavních ideálů (viz tvrzení 1.16). Invertibilní rvky okruhu T [x] jsou rávě všechny olynomy stuně nula (tedy všechny nenulové rvky T ). To lze nahlédnout mnoha zůsoby, naříklad omocí lemmatu 1.16. V každém nenulovém hlavním ideálu I lze roto nalézt rávě jeden generátor, který je monický (viz lemma 1.10). Všechny nenulové ideály T [x] jsou tedy tvaru at [x], kde a je jednoznačně určený monický olynom. Polynom a T [x] takový, že a je v okruhu T [x] rvočinitel, se nazývá ireducibilní. Podle lemmatu 1.14 je a ireducibilní rávě tehdy když ideál at [x] je maximální. Tvrzení 1.14 znamená, že každý olynom a T [x] lze jednoznačně až na ořadí vyjádřit ve tvaru t e1 1... e k k, kde t T, i T [x] monické ireducibilní, e i 1, řičemž 1 i k a olynomy i jsou o dvou různé. Vidíme, že olynom a T [x] je ireducibilní rávě když je nenulový a nemá dělitele b takového, že 0 < deg(b) < deg(a) (jinými slovy: nemá vlastního dělitele). Dosazením rvku α T do olynomu a = a i x i se rozumí hodnota a(α) = ai α i. Prvek α T se nazývá kořenem olynomu a rávě tehdy když a(α) = 0. Lemma. Buď a T [x] nenulový olynom. Pak α je kořenem olynomu a rávě když olynom x α dělí a. Důkaz. Vyjádřeme a jako (x α)b + ϱ, kde deg(ϱ) < deg(x α) = 1. Je tedy ϱ T. Přitom a(α) = (α α)b + ϱ = ϱ. Je-li α kořenem olynomu a 0, tak nejvyšší e 1 takové, že (x α) e dělí a, se nazývá násobnost kořene α. Tvrzení. Buď a T [x] nenulový olynom, kde T je komutativní těleso. Ať α 1,..., α k jsou všechny jeho kořeny, s násobnostmi o řadě e 1,..., e k. Potom ei deg(a). Důkaz. Víme, že (x α i ) ei dělí a ro každé i, 1 i k. Polynomy x α i jsou ireducibilní, takže z tvrzení 1.14 lyne, že rozklad a na rvočinitele má tvar (x α 1 ) e1... (x α k ) e k q, kde q je buď ireducibilní stuně alesoň 2, nebo q T. Tím ádem deg(a) = e 1 + + e k + deg(q). Důsledek. Buď T komutativní těleso a ať a T [x] je stuně n 0. Pak má a nanejvýš n kořenů. 1.19 Součiny a homomorfismy Ať R 1,..., R k jsou okruhy. Na množině R 1 R k definujeme strukturu okruhu tak, že jednotlivé oerace jsou definovány o složkách. Je tedy (a 1,..., a k ) + (b 1,..., b k ) = (a 1 + b 1,..., a k + b k ), (a 1,..., a k ) (b 1,..., b k ) = (a 1 b 1,..., a k b k ), (a 1,..., a k ) = ( a 1,..., a k ) a neutrální rvky jsou 0 = (0,..., 0) a 1 = (1,..., 1).
1.20. EUKLEIDŮV ALGORITMUS 13 Vzhledem k tomu, že identity, které okruh definují, se vztahují k jednotlivým souřadnicím ( složkám ), je R = R 1 R k skutečně okruhem. Podobně lze definovat součin gru G 1 G k. Výsledná grua je komutativní rávě když každá z gru G i je komutativní. Je-li R 1 R k součinem okruhů (nebo gru) je rojekce π i : (a 1,..., a k ) a i jistě homomorfismus R 1 R k R i. Lemma. Ať R = R 1 R k je součin okruhů (gru) a ať S je okruh (grua). Zobrazení f : S R je homomorfismus rávě když π i f : S R i je homomorfismus ro každé i, 1 i k. Důkaz. Je-li f homomorfismus, je π i f homomorfismus ro každé i, 1 i k. Pro důkaz oačným směrem uvažme,že ro a, b S máme π i f(a + b) rovno π i f(a) + π i f(b), takže z f(a) = (a 1,..., a k ), f(b) = (b 1,..., b k ) vylývá f(a + b) = (a 1 + b 1,..., a k + b k ). Podobně lze ostuovat i ro oeraci násobení. 1.20 Eukleidův algoritmus Buď R eukleidovský obor integrity a ať f : R Z je eukleidovské zobrazení. Pro všechna a, b R, b 0, existují tedy q, r R taková, že a = bq + r, řičemž f(r) < f(b). Podle tvrzení 1.16 je R oborem hlavních ideálů. V oddíle 1.16 jsme nahlédli, že rvky oboru hlavních ideálů mají vždy nějaký největší solečný dělitel. Z existence největšího solečného dělitele ovšem nelyne existence algoritmu, který ho nalezne. Nyní oíšeme stařičký algoritmus, jenž takové hledání umožňuje za ředokladu, že ro všechna a, b R, b 0, je nalezení nějaké dvojice (q, r), a = bq + r a f(r) < f(b), rovněž algoritmicky možné. Položme a 0 = a, a 1 = b a konstruujme oslounost a 0, a 1,... tak, že ro i 1 odvodíme a i+1 z a i a a i 1 rávě tehdy, když a i nedělí a i 1. V takovém říadě nalezneme q a r taková, že a i 1 = a i q + r, f(r) < f(a i ), a oložíme a i+1 = r. Máme r 0, a tedy 0 < f(r) = f(a i+1 ) < f(a i ). Poslounost a i roto nelze konstruovat neomezeně, takže a k dělí a k 1 ro nějaké k 1. Lemma. a k je největším solečným dělitelem a a b. Důkaz. Protože a k dělí a k 1, tak je a k také rovno největšímu solečnému děliteli a k a a k 1. Stačí tedy ukázat, že každé c R je solečným dělitelem a i 1 a a i rávě tehdy, když je solečným dělitelem a i a a i+1. To však lyne ze vztahu a i 1 = a i q + a i+1 okamžitě. Podle odle důsledku 1.15 ro největší solečný dělitel d hodnot a, b R existují x, y R taková, že xa + yb = d. Stojí za ovšimnutí, že eukleidovský algoritmus dovoluje i nalezení rvků x a y. Vskutku, označme q i tu hodnotu, ro kterou je a i 1 = a i q i +a i+1. Každé a i, i 1, je možné vyjádřit jako x i a + y i b = x i a 0 + y i a 1,1 i k. To je víceméně zřejmé římočarou rekurzivní úvahou. Jejím zřesněním dostáváme i vzorce ro x i a y i : Máme x 1 = 0 a y 1 = 1. Dále a i+1 = a i 1 a i q i = x i 1 a + y i 1 b q i (x i a + y i b) = (x i 1 q i x i )a + (y i 1 q i y i )b, takže lze klást x i+1 = x i 1 q i x i a y i+1 = y i 1 q i y i.
14 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD Pak a k = x k a + y k b, což je ožadované vyjádření největšího solečného dělitele. Můžeme tedy uzavřít Tvrzení. Buď R obor integrity s eukleidovským zobrazením f, a ať a, b R, b 0. Konstruujme oslounosti a i i 0, a x i a y i, i 1, tak, že a 0 = a, a 1 = b, x 1 = 0, y 1 = 1, řičemž v říadě, kdy a i nedělí a i 1, nalezneme q, r R taková, že a i = a i 1 q + r, f(r) < f(a i 1 ), a oložíme a i+1 = r, x i+1 = x i 1 qx i, y i+1 = y i 1 qy i. Pokud a i dělí a i 1, oložíme k = i, a oslounost ukončíme. Poslounost je vždy konečná, latí a i = x i a + y i b ro každé i, 1 i k, a a k je největší solečný dělitel a a b. Důsledek. Ať T U jsou do sebe vřazená komutativní tělesa a ať a, b T [x]. Pak existují u, v, c T [x] takové, že c = ua+vb je největším solečným dělitelem a a b v U[x]. Důkaz. Hledejme eukleidovským algoritmem největší solečný dělitel olynomů a a b, b 0. Pracujeme uvnitř U[x], olynomy takové, že a = bq + r, kde deg(r) < deg(b) lze ovšem volit tak, aby q i r adlo do T [x]. Podobně lze i v T [x] volit všechny další členy oslounosti eukleidova algoritmu. Proto i výsledné olynomy leží v T [x]. 1.21 Charakteristika těles Ať R je okruh s jednotkou e = 1. Pak e + e = 2e, e + e + e = 3e, atd., kde násobky celým číslem znamenají iterované sčítání v abelově gruě R(+,, 0) ve smyslu oddílu 1.7. Je tedy (n + m)e = ne + me a n(me) = (nm)e ro všechna n, m Z. Máme ale také ne me = (nm)e což lyne z distributivního zákona a skutečnosti, že e 2 = e, naříklad (e + e)(e + e + e) = e(e + e + e) + e(e + e + e) = e 2 + e 2 + e 2 + e 2 + e 2 + e 2 = e + e + e + e + e + e = 6e. Je-li ne = me, tak musí být (n m)e = 0. Pokud ne me ro všechna n, m Z, n m, říkáme, že R je okruh charakteristiky nula. Je-li ke = 0 ro nějaké k 0, tak zvolíme nejmenší možné takové kladné k, a to nazveme charakteristikou okruhu R. Je-li k číslo složené, k = mn, kde 0 < m < k, tak máme ne 0, me 0, ale ke = 0 = ne me. Okruh složené charakteristiky má tedy dělitele nuly, a tudíž nemůže být oborem integrity, natož tělesem. Není-li charakteristika okruhu rovna nule, hovoříme o okruzích kladné charakteristiky. Ukázali jsme, že okud je charakteristika tělesa kladná, je rovna nějakému rvočíslu. Tvrzení. Buď R komutativní okruh rvočíselné charakteristiky. Zobrazení x x je endomorfismem toho okruhu. Důkaz. Protože (xy) = x y latí ro všechna x, y R, je třeba ukázat, že ro ně latí i (x + y) = x + y. Pro komutativní okruhy lze oužít binomickou větu (což lze snadno ověřit indukcí), takže máme (x + y) = x + ( ) 1 x 1 y + ( ) 2 x 2 y 2 + + ( ) xy 1 + y. 1
1.22. ROZŠÍŘENÍ TĚLES 15 Pro každé a R je a = (e)a = 0 a = 0. Proto stačí nahlédnout, že dělí ( i), je-li 1 i 1. Protože ( i) je celé číslo rerezentováno zlomkem (u)/(i!), kde u = ( 1)... ( i + 1), musí i! dělit u. Protože nedělí i!, musí být u/(i!) celé číslo. Endomorfismu x x se říkává Frobeniův. Buď nyní f : R S homomorfismus komutativních okruhů. Uvažme zobrazení f x : R[x] S[x], které každému a = a i x i R[x] řiřazuje olynom f(a i )x i. Slovně vyjádřeno, f x nahrazuje koeficienty olynomu s využitím zobrazení f. Lemma. Buď f : R S homomorfismus komutativních okruhů. Potom je i f x : R[x] S[x] okruhový homomorfismus. Důkaz. Ať a = a i x i a b = b i x i jsou olynomy z R[x]. Pak f x (a + b) = f(a i + b i )x i = (f(a i ) + f(b i )) x i = ( f(a i )x i) + ( f(b i )x i) = f x (a) + f x (b). Nechť c = ab = c k x k. Máme c k = i+j=k a ib j, takže f x (c) má koeficienty f(c k ) = i+j=k f(a i)f(b i ), odkud je rovnost f x (c) = f x (a)f x (b) okamžitě atrná. Důsledek. Ať T je komutativní těleso kladné charakteristiky, a ať a T [x], a = a i x i, je takový olynom, že a i = a i ro každé i 0. Jestliže α je kořen a, tak α je rovněž kořen a. Důkaz. Ať f označuje Frobeniův endomorfismus. Máme f x (a) = a, a také a = (x α)b ro nějaké b T [x]. Tudíž a = f x (a) = f x (x α)f x (b) = (x α )c, kde c = f x (b). 1.22 Rozšíření těles Lemma. Ať R je komutativní okruh a ať M je maximální ideál tohoto okruhu. Potom je R/M komutativní těleso. Je-li řitom T R odokruh, který je tělesem, je t t + M injektivním homomorfismem (takovým homomorfismům se často říká vnoření) tělesa T do tělesa R/M. Důkaz. Prvky okruhu R/M jsou rozkladové třídy modulo M. Přitom r + M je nenulový rvek okruhu R/M rávě když r / M. Součet hlavního ideálu rr a ideálu M (viz oddíl 1.12) je ideálem, který obsahuje r i M, a roto musí být roven R. Je tedy 1 rr + M, odkud 1 = rs + m ro nějaké m M a s R. Tudíž (r + M)(s + M) = (1 m) + M = 1 + M, což je jednotka okruhu R/M. Prvek r + M je invertibilní ro každé r R \ M, takže R/M je těleso. Zobrazení t t+m je jistě homomorfismus T R/M ((s+m)+(t+m) = (s+t)+m) a (sm) (tm) = (st)m), řičemž t+m, t T \{0}, není nikdy rovno 0 R/M = 0+M, neboť t je invertibilní rvek, a tedy neleží v M. Z t+m = s+m ale lyne t s M. Proto je zobrazení t t + M injektivní. Konstrukce Buď T komutativní těleso a ať a = a i x i T [x] je ireducibilní olynom. Položme U = T [x]/at [x] a označme f vnoření T U, t t + at [x]. Pak x + at [x] je kořenem olynomu f x (a). Důkaz. Ideál at [x] je maximální (viz oddíl 1.18) takže z ředcházejícího lem-
16 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD matu lyne, že U vskutku je komutativní těleso a že f je korektně definovaný homomorfismus, který je injektivní. Definice f x je v oddíle 1.21. Máme f x (a)(x + T [x]) = (a i + at [x])(x + at [x]) i = (a i + at [x])(x i + at [x]) = ( ai x i) + at [x] = a + at [x] = at [x] = 0 T [x]/at [x]. Každý olynom stuně alesoň jedna je součin ireducibilních. Ztotožníme-li tedy v ředchozí konstrukci každé α T s jeho obrazem α + at [x], stane se U rozšíření T, ve kterém má a alesoň jeden kořen. Proto latí Důsledek. Buď a T [x] olynom stuně alesoň jedna, T komutativní těleso. Pak existuje komutativní těleso U T, ve kterém má a alesoň jeden kořen. Zmíněný olynom a T [x] lze tedy vyjádřit jako (x α)b, kde b U[x], α U. Je-li b stuně alesoň 1, můžeme najít nadtěleso U, ve kterém má b alesoň jeden kořen. Pokračováním tohoto rocesu ak můžeme nalézt V U takové, že V je komutativní těleso a a = (x α 1 ) e1... (x α k ) e k ro nějaké α 1,..., α k V, a nějaká e 1 1,..., e k 1. (Říkáme, že a se rozkládá na kořenové činitele nad V.) Můžeme roto vyslovit Tvrzení. Buď T komutativní těleso a ať a T [x], deg(a) 1. Pak existuje komutativní těleso U T takové, že a se nad U rozkládá na kořenové činitele. 1.23 Násobnost a derivace Buď a T [x], kde T je komutativní těleso, a = a n x n + + a 0 x 0. Podobně jako v analýze definujeme derivaci a olynomu a tak, že a = na n x n 1 + + a 1. Jinými slovy, a = a i xi, kde a i = (i + 1)a i+1 ro každé i 0. Je třeba si uvědomit, že derivace v námi uvedeném smyslu neožaduje od T žádné toologické vlastnosti a že se jí také neřisuzuje žádný geometrický význam. Základní vzorce latí ovšem obdobně: Lemma. Buď a, b T [x] olynomy. Pak (a + b) = a + b, (ab) = a b + ab a (ta) = ta ro každé t T. Důkaz. Vztahy ro součet a skalární násobek jsou okamžitě zřejmé. Ať c = ab, c = c k x k. Pak c k = i+j=k a ib j, kde a = a i x i a b = b j x j. Nechť c = c k xk, a = a i xi a b = b j xj. Chceme ukázat, že ro každé k 0 je c k = i+j=k a i b j + i+j=k a ib j. Pravá strana je rovna i+j=k (i + 1)a i+1b j + i+j=k (j + 1)a ib j+1 = i+j=k+1 ia ib j + i+j=k+1 ja ib j = i+j=k+1 (i + j)a i b j = (k + 1) i+j=k+1 a ib j = (k + 1)c k+1 = c k. Tvrzení. Nechť a je nenulový olynom nad komutativním tělesem T. Je-li α T kořenem a násobnosti e 2, tak (x α) e 1 dělí jak a, tak a. Důkaz. Je-li α násobnosti e 2, tak a = (x α) e b ro nějaké b T [x]. Odsud a = (e 1)(x α) e 1 b + (x α) e b = (x α) e 1 ((e 1)b + (x α)b ). Důsledek. Ať a T [x], a 0, je nesoudělné s a. Pak nad žádným komutativním tělesem U T nemá a vícenásobný kořen. Seciálně tomu tak je, okud
1.23. NÁSOBNOST A DERIVACE 17 a = x n 1 a charakteristika tělesa T nedělí n, n 1. Důkaz. Máme a T [x], řičemž největší solečný dělitel a a a lze sočítat eukleidovým algoritmem (viz oddíl 1.20). Proto leží v T [x] a nemění se ři řechodu k nadtělesu U. Polynomy x n 1 a (x n 1) = nx n 1 jistě v říadě nx n 1 0 nesoudělné jsou. Nerovnost vylývá z ředokladu o nedělitelnosti n charakteristikou tělesa. Jsou-li a a a nesoudělné, nemůže mít odle tvrzení výše olynom a vícenásobný kořen.
18 KAPITOLA 1. ALGEBRAICKÝ ÚVOD
Kaitola 2 Vlastnosti a oužití cyklických gru 2.1 Počítání modulo n Tvrzení. Okruh celých čísel Z je oborem hlavních ideálů. Každý jeho ideál je roven některému z ideálů nz, n 0. Toto n je určeno jednoznačně. Důkaz. Pro všechna a, b Z, b 0, existují q, r Z taková, že a = bq + r,0 r < b. Vidíme, že a a je eukleidovskou funkcí ve smyslu oddílu 1.16. Proto je Z oborem hlavních ideálů a jeho invertibilní rvky jsou 1 a 1 (viz tvrzení a lemma téhož oddílu). Generátor hlavního ideálu je určen jednoznačně až na invertibilní rvek (viz lemma 1.10), odsud jednoznačnost n. Místo a b mod nz se íše ouze a b mod n. Podmínku a b nz ze zasat též jako n a b. Faktorokruh Z/nZ (viz oddíl 1.9) se tedy skládá z rozkladových tříd 0 + nz, 1 + nz,...,(n 1) + nz. Ztotožníme-li každé z celých čísel i, 0 i < n, s třídou nz, dostaneme okruh izomorfní Z/nZ. Budeme ho značit Z n. Označíme-li na chvíli binární oerace Z n symboly a, bude latit 0 a b < n, 0 a b < n, a b = a+b mod n, a b = a b mod n. Jinak řečeno hodnoty a b i a b obdržíme tak, že rovedeme říslušnou oeraci běžným zůsobem, a za výsledek vezmeme zbytek o dělení číslem n. Množina 0, 1,..., n 1, tvoří úlnou soustavu zbytků modulo n (tj. z každé rozkladové třídy modulo n je vybrán rávě jeden rvek). Úlných soustav zbytků modulo n existuje samozřejmě nekonečně mnoho. Leckdy je užitečné racovat místo soustavy 0, 1,..., n 1 se soustavou tvořenou všemi celými i, jež slňují n/2 i < n/2. Okruh Z n však budeme cháat jako definovaný na množině {0, 1,..., n 1}. Přitom oerace a budeme značit obvykle běžnými symboly sčítání a odčítání. Budeme-li hovořit o Z n jako o gruě, budeme tím rozumět Abelovu gruu Z n (+,, 0). 19
20 KAPITOLA 2. VLASTNOSTI A POUŽITÍ CYKLICKÝCH GRUP 2.2 Cyklické gruy Buď G grua (v multilikativní notaci). Pak G nazveme cyklickou, okud existuje a G takové, že G = { a i ; i Z }. O a říkáme, že generuje gruu G, a že je jejím generátorem. Protože a i a j = a i+j = a j a i, ro všechna i, j Z, je cyklická grua nutně abelovská. Můžeme tedy změnit notaci a uvažovat G v notaci aditivní. Pak G je cyklická rávě když G = {ia; i Z} ro nějaké a G. Gruy Z(+,, 0) i Z n (+,, 0) jistě cyklické jsou, za generátor lze vždy volit rvek 1. Tvrzení. Ať G je cyklická grua v aditivní notaci s generátorem a. Je-li G nekonečná, je i ia izomorfismus Z = G. Je-li G konečného řádu n, je i ia izomorfismus Z n = G. Důkaz. Budeme oužívat vztahy ro iterované sčítání a násobení (viz oddíl 1.7). Předokládejme nejrve, že na = 0 ro nějaké n 0. Pak kna = 0 ro všechna k Z, takže lze zvolit n > 0. Předokládejme, že je nejmenší možné. Máme ia = (i + kn)a ro každé i, 0 i < n a každé k Z. Je-li 0 i < j < n, tak ia = ja imlikuje (j i)a = 0, odkud j = i, neboť j i < n. Proto 0, a,..., (n 1)a jsou rávě všechny rvky gruy G. Je-li i, j {0, 1,..., n 1} a i + j = εn + h, kde h {0, 1,..., n 1} a ε 0, 1, ak (i + j)a = ha. Proto je zobrazení i ia izomorfismem gru (viz oddíl 1.4). Jestliže na 0 ro každé n 0, n Z, je i na ma ro všechna n, m Z, n m (jinak by bylo (n m)a = 0). Tudíž zobrazení i ia je bijektivní homomorfismus Z G, a tedy izomorfismus. V dalším budeme zkoumat vlastnosti gruy (a okruhu) Z n. Z ředchozího tvrzení lyne, že tím vlastně zkoumáme vlastnosti konečných cyklických gru. Ty se totiž odle tvrzení vhodným označením dají se Z n ztotožnit. 2.3 Podgruy konečných cyklických gru V okruhu Z n lze ro každé d Z uvažovat ideál dz n. Jestliže n = dr ro nějaké r Z, tak ro všechna a, i Z latí d(ar + i) di mod n. Proto v takovém říadě latí dz n = {0, d, 2d,..., (r 1)d}. Tvrzení. Buď n celé kladné číslo. Pro A Z n je ekvivalentní: (i) A je netriviální odgrua gruy Z n, (ii) A je nenulový ideál okruhu Z n, (iii) A = {0, d, 2d,..., (r 1)d} ro nějaké d n, 1 d < n, kde n = dr. Důkaz. Pro a, b Z n je součin a b možno obdržet jako součet a sčítanců rvku b. Proto ideály a odgruy Z n slývají. Je-li A nenulový ideál Z n, zvolíme nejmenší a A, a > 0. Označme m nejmenší násobek a takový, že m n. Pokud m n, tak 0 < m n < a, řičemž m n A. To by však byl sor s volbou a, takže a dělí n.
2.4. ENDOMORFISMY KONEČNÝCH CYKLICKÝCH GRUP 21 Důsledek. Ať G je cyklická grua řádu n. Pak G obsahuje odgruu řádu d rávě když d dělí n. Pokud d dělí n, tak existuje jediná odgrua řádu d, a ta je cyklická. 2.4 Endomorfismy konečných cyklických gru Endomorfismus okruhu Z n musí zobrazovat 1 na 1, a tím ádem 1+1 na 1+1, a tak dále. Jediným endomorfismem okruhu Z n je roto identita. Endomorfismů gruy Z n je však více: Tvrzení. Buď n 2. Pro každé a Z n je zobrazení i ia endomorfismem gruy Z n. Tento endomorfismus je automorfismus rávě když a a n jsou (jakožto celá čísla) nesoudělná. Důkaz. Zobrazení i ia je endomorfismem, neboť (i + j)a = ia + ja ro všechna i, j Z n. Je-li ϕ endomorfismus a ϕ(1) = a, tak musí být ϕ(i) = ϕ(i 1) = iϕ(a) = ia. Uvážili jsme všechny možné obrazy ϕ(1) = a Z n, a roto jsme osali všechny endomorfismy této gruy. Jestliže d > 1 je nějaký solečný dělitel čísel a a n, tak ϕ(i) dz n ro každé i Z n, takže ϕ není bijektivní. Jestliže a je nesoudělné s n, tak odle důsledku 1.15 existují s, r Z n, že sa + rn = 1. Tudíž sa 1 mod n, takže ba = 1 v Z n ro nějaké b Z n. To znamená, že endomorfismy i ia a i ib jsou navzájem inverzní (ve složení se 1 vždy zobrazí na 1), takže běží o bijektivní zobrazení. Je-li α Aut(Z n ), tak obrazem odgruy dz n, kde d dělí n, d > 0, je odgrua α(dz n ). Ta má ovšem stejný očet rvků, jako dz n, a roto α(dz n ) = dz n, odle důsledku 2.3. Každé b, 0 < b < n, lze jednoznačně vyjádřit jako da, kde d dělí n a a je s n nesoudělné (d je největší solečný dělitel b a n). Uvažme automorfismus α : i ai. Pak α(di) = adi = bi. Vidíme, že jsme obdrželi Důsledek. Pro všechna a Z n, a 0, je az n rovno dz n, kde d je největší solečný dělitel a s n. 2.5 Zavedení Eulerovy funkce Tvrzení. Buď n 2, 0 < a < n. Je ekvivalentní: (i) Přirozená čísla a a n jsou nesoudělná; (ii) ideál az n je roven Z n ; (iii) a je jako rvek Z n invertibilní; (iv) zobrazení i ai je automorfismus gruy Z n. Přitom Z n je těleso rávě když n je rvočíslo. Důkaz. Je-li a s n nesoudělné, je az n = Z n dle důsledku 2.4. Pokud az n = Z n, tak ab = 1 ro nějaké b. Je-li ab = 1, jsou endomorfismy i ai, i bi vzájemně inverzní, takže jde o automorfismy. Je-li i ai automorfismus, je a nesoudělné
22 KAPITOLA 2. VLASTNOSTI A POUŽITÍ CYKLICKÝCH GRUP s n, dle tvrzení 2.4. V tělese jsou všechny nenulové rvky invertibilní, což zjevně nastává jedině když n nemá vlastního dělitele. Počet všech a slňujících ekvivalentní odmínky tvrzení 2.5 označíme ϕ (n). Zobrazení n ϕ (n) se říká Eulerova funkce. Definitoricky ϕ (1) = 1. V Abelově gruě G generuje každé a G cyklickou odgruu {ia; i Z}. Je-li G = Z n, je tato odgrua rovna ideálu az n. Tvrzení výše tedy říká, že Z n má rávě ϕ (n) různých jednorvkových generátorů. Podgrua dz n, kde d dělí n, n > d > 0, je cyklická a izomorfní Z n/d. Proto má ϕ (n/d) generátorů. Podgrua 0 = 0Z n = nz n je izomorfní Z n/n = Z 1, a má ϕ (1) = 1 generátorů. Protože Z n má n rvků a každý z nich generuje rávě jednu odgruu, dostaneme z tvrzení 2.5 vztah n = d n ϕ (n/d). Ovšem okud d robíhá všechny dělitele n, tak n/d robíhá také všechny dělitele. Proto lze obdržený vztah vyjádřit jako Důsledek. Pro každé n 1 je n = d n ϕ (d). Vzorec ro výočet ϕ není obtížné odvodit. Učiníme tak však až oté, co ukážeme alikaci Eulerovy funkce, která otřebuje ouze zřejmou nerovnost 1 ϕ (n) < n. 2.6 Cykličnost odgru tělesa Nechť T je komutativní těleso a ať U je odgrua T konečného řádu n. Každé a U generuje cyklickou odgruu { a i ; i Z }. Podle Lagrangeovy věty dělí řád této odgruy číslo n. Pro každé d n označme τ (d) očet a U, které generují odgruu řádu d. Protože každý rvek generuje nějakou cyklickou odgruu, musí latit d n τ (d) = n. Předokládejme, že ro nějaké d n latí τ (d) > ϕ (d). Zvolme libovolné a U řádu d a oložme A = { a i ; i Z }. Podgrua A má rávě d rvků a každý její rvek je kořenem olynomu x d 1. Ovšem A = Z d obsahuje odle oddílu 2.5 rávě ϕ (d) rvků řádu d. Protože ředokládáme τ (d) > ϕ (d), musí existovat ještě nějaké b U \ A řádu d. I toto b je kořenem olynomu x d 1. Vidíme, že z τ (d) > ϕ (d) lyne existence alesoň d+1 kořenů olynomu x d 1. To je ovšem ve soru s důsledkem 1.18, takže musí být τ (d) ϕ (d) ro každé d n. Sojením této nerovnosti s rovností n = τ (d) = ϕ (d) (viz důsledek 2.5) obdržíme τ (d) = ϕ (d) ro každé d dělící n. Secielně je tedy τ (n) 1, což znamená, že alesoň jeden rvek U má řád n. To je však jen jiný zůsob jak říci, že U je grua cyklická. Dokázali jsme Tvrzení. V každém komutativním tělese je každá konečná multilikativní odgrua cyklická. Pro účely teorie čísel je zásadní Důsledek. Grua Z je cyklická ro každé rvočíslo. Grua Z má 1 rvků (secielně tedy ϕ () = 1). Je-li ξ její generátor, tak i ξ dává izomorfismus Z 1 = Z. Každý takový generátor se nazývá rimitivní rvek modulo.
2.7. SOUČINOVÉ ROZKLADY MODULO N 23 2.7 Součinové rozklady modulo n Ať n 1 je celé. V tomto oddílu oužijeme ro a Z značení (a) n tak, že b = (a) n rávě když a b mod n, 0 b < n. Jinými slovy, (a) n je nezáorný zbytek ři dělení čísla a číslem n. Lemma. Ať d dělí n. Pak a (a) d je homomorfismus okruhů Z n Z d. Důkaz. Binární oerace v Z n lze zasat jako (a + b) n, (a b) n. Z d n lyne, že ((a) n ) d = (a) d, takže ((a) d + (b) d ) d = (a + b) d = ((a + b) n ) d ro všechna a, b Z. Stejný vztah latí i když sčítání nahradíme násobením. Různé varianty následujícího tvrzení jsou známy jako Čínská věta o zbytcích Tvrzení. Buď n = n 1 n r celé číslo takové, že n 1 2 a n i, 1 i r, jsou celá, větší než 1, která jsou o dvou nesoudělná. Položme m i = n/n i, 1 i r. Pak existují celá k, 1 i r, taková, že k i m i = 1. Zobrazení Z n Z n1 Z nr : a ((a) n1,..., (a) nr ) je izomorfismem okruhů. Zobrazení Z n1 Z nr Z n : (a 1,..., a r ) ( r i=1 a ik i m i ) n je izomorfismem inverzním. Důkaz. Největší solečný dělitel čísel m 1,..., m r je 1. Proto existují celá čísla k i taková, že k i m i = 1 (viz důsledek 1.15). Víme, že každé ze zobrazení a (a) ni, je homomorfismus Z n Z ni. Podle lemmatu 1.19 je tudíž homomorfismus i zobrazení Z n Z n1 Z ni osané ve znění tvrzení. Označme ho α a označme β druhé z osaných zobrazení. Gruy Z n a Z n1 Z nr mají stejný konečný řád, takže k důkazu, že β a α jsou vzájemně inverzní, stačí ověřit, že αβ(a 1,..., a r ) = (a 1,..., a r ) ro všechny (a 1,..., a r ) Z. Položme a = a i k i m i a zvolme j, 1 i n. Potřebujeme ukázat (a) nj = a j. Protože n j dělí m i ro i j, máme (a) nj = (a j k j m j ) nj = (a j ) nj (k j m j ) nj. Jelikož a j je rvek Z nj, tak (a j ) nj = a j. Protože k i m i = 1 a rotože n j dělí m i, ro i j, máme 1 = (1) nj = ( k i m i ) nj = (k j m j ) nj. Důsledek. Buď n = e1 1... e k k rvočíselný rozklad řirozeného čísla n 2. Pak je Z n = Z e 1 Z e 1 k k. 2.8 Výočet Eulerovy funkce Obecné lemma Ať ϕ : R = R 1 R k je izomorfismus okruhů. Restrikce ϕ na R dává izomorfismus R = R 1 R k. Seciálně je R 1 R k rovno gruě všech invertibilních rvků okruhu R 1 R k. Důkaz. Invertibilní rvky skutečně tvoří gruu (viz oddíl 1.10). Izomorfismus okruhů jistě zobrazuje invertibilní rvek na invertibilní rvek. Proto stačí ukázat, že (a 1,..., a n ) (R 1... R k ) je invertibilní rávě když každé z a i, 1 i n, je invertibilní. Obě odmínky ovšem značí existenci b i, 1 i n, takových, že a i b i = 1 = b i a i. Tvrzení. Buď n = n 1... n r, kde r 1 a čísla n i 1 jsou celá a o dvou nesoudělná. Pak Z n = Z n 1 Z n r a ϕ (n) = ϕ (n 1 )... ϕ (n r ). Důkaz. Izomorfismus lyne z obecného lemmatu a tvrzení 2.7. Obě gruy mají
24 KAPITOLA 2. VLASTNOSTI A POUŽITÍ CYKLICKÝCH GRUP tedy stejný řád, a ten lze odle tvrzení 2.5 vyjádřit jednak jako ϕ (n), jednak jako ϕ (n 1 )... ϕ (n r ). Je-li rvočíslo, a e 1, ak mezi čísly {0, 1,..., e 1} je rávě e 1 čísel dělitelných. Ostatní čísla jsou s e nesoudělná. ) Proto je ϕ ( e ) rovno ϕ ( e ) = e e 1 = e 1 ( 1) = (1 e 1. Z tvrzení výše tedy lyne Důsledek. Ať n = e1 1... e k k je rvočíselný rozklad. Pak ϕ (n) = ( 1 1)... ( k 1) e1 1 1... e k 1 k Tuto hodnotu lze též zasat jako n ( ) n 1 1. Uvedený vzorec latí i ro n = 1, řijmeme-li obvyklou konvenci, že součin nulového očtu činitelů je roven 1. 2.9 Valuace a mocniny V tomto oddíle odvodíme několik vztahů otřebných ro ois struktury gruy Z e. Pro rvočíslo a n Z, n 0, bude v (n) značit největší j 0 takové, že j dělí n. Hovoříme o -valuaci čísla n. Někdy se klade v (0) =. Pro n 0 tedy máme n = P v(n), kde P označuje množinu všech rvočísel. Lemma. v ( s a) = v (a) kdykoliv 1 a < s, s 0. Důkaz. Ať j = v (a). Pak j < s, takže j dělí s a. Současně z k s a také lyne k < s, takže k dělí a = s ( s a). Přiomeňme, že ro kombinační číslo ( n k), n k 1, latí ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) = = k k!(n k)! 1 2 k Důsledek. v ( s k ) = s v (k) kdykoliv 1 k s, s 0. Důkaz. Pro každé a, 1 a < k, máme v ( s a) = v (a), odle lemmatu. Proto -valuace celého kombinačního čísla závisí jen na -valuacích čísel s a k. Tvrzení. Buď rvočíslo. Je-li liché, ak ro každé e 2 (1 + ) e 2 1 + e 1 mod e. Pro = 2 latí obdobný vztah 5 2e 3 1 + 2 e 1 mod 2 e, okud e 3. Důkaz. Je-li = 2, je 5 = 1 + 2 = 1 + 4 (roto hovoříme ro = 2 o vztahu obdobném, nikoliv o vztahu totožném). Vyjdeme z binomických rozvojů ( ) ( ) (1 + ) e 2 = 1 + e 1 e 2 + 2 e 2 + + 2 e 2 e 2 a