1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou přímek, rovin, jejich zobrazením a objemy a povrchy prostorových útvarů 1. Opakování obsahy rovinných útvarů Vypočtěte obsah vyšrafované plochy: 1 2 3 4 5 Výsledky: 242,8 cm 2 ; 449,5 cm 2 ; 9,3 cm 2 ; 3,7 cm 2 ; 25,5 cm 2
Stereometrie 2/13 2. Objemy a povrchy těles Krychle: Kvádr: Hranoly: S = S = S = V = V = V= Tělesová úhlopříčka Tělesová úhlopříčka Jehlan: S = V = Válec: Kužel: S = V = Příklad: 1. Vypočtěte objem těchto těles:
Stereometrie 3/13 2. Je dána krychle o hraně a. Jak velká musí být hrana krychle, jejíž povrch (objem) má být 2x větší, než povrch (objem) původní krychle? 3. Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu 3,5 m vysokého, který má průřez pravidelného 6-úhelníku o délce hrany 18 cm? Poměr mísení je 350 kg cementu na 1 m 3 betonu. 4. Ze železné tyče ve tvaru hranolu o rozměrech 5,6 cm, 4,8 cm a 7,2 cm je třeba vyrobit co největší rotační kužel. Vypočtěte jeho objem a procento odpadu. 5. Kolik m 2 pozinkovaného plechu se spotřebuje na pokrytí střechy věže, která má tvar pravidelného 4-bokého jehlanu? Hrana podstavy je 6 m, výška věže 9 m. Při pokrývání se počítá s 5 % odpadem plechu. 6. Kolik metrů měděného drátu o průměru 3 mm se vyrobí ze 60 kg měděného šrotu, je-li hustota mědi 900 kg.m -3? 7. Vypočtěte povrch rotačního kužele, je-li obvod podstavy 9,42 m a výška 2 m. 3. Objemy a povrchy komolých těles, koule a jejích částí Komolý kužel: Komolý jehlan: Koule: S = S = S = V = V = V = Kulová výseč: Kulová úseč: Kulový vrstva: V= V = V = Kulový vrchlík: Kulový pás: S = S =
Stereometrie 4/13 Příklad: 1. Vědro na vodu je z plechu a má tvar komolého kužele. Průměr dna je 24 cm, horní okraje 32 cm a délka strany je 30 cm. Kolik l vody se vejde do vědra? Jakou hmotnost má prázdné vědro, když 1 m 2 plechu má hmotnost 10,5 kg? 2. Vypočtěte objem pravidelného 6-bokého komolého jehlanu, je-li délka hrany dolní podstavy 30 cm, horní podstavy 12 cm a délka boční hrany je 41 cm. 3. Povrch koule je 1 km 2. Vypočtěte objem. 4. Vypočtěte objem kulové vrstvy 18 cm vysoké, je-li průměr dolní podstavy 80 cm, horní podstavy 60 cm. 5. Vypočti objem a povrch koule, jsou-li dány poloměry 2 rovnoběžných řezů r 1 = 7 cm, r 2 = 5 cm a jejich vzdálenost v = 2 cm. 6. Čtyři pingpongové míčky jsou uloženy ve válcovém pouzdře tak, že se navzájem dotýkají a dotýkají se i stěn pouzdra. Poměr objemů všech míčků a objemu pouzdra je A)1 : 4 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D) 3 : 4 E) 3 : 5 7. Ze tří kovových koulí s poloměry r 1 = 3 cm, r 2 = 4 cm, r 3 = 5 cm byla zhotovena jediná koule. Její poloměr je (zaokrouhlen na desetiny) A) 5,5 cm B) 6 cm C) 6,5 cm D) 7 cm E) 7,5 cm 8. Z kmene stromu tvaru rotačního komolého kužele s danými průměry podstav 90 cm a 60 cm a výškou 2,5 m byl zhotoven hranol s maximálním čtvercovým průměrem. Dřevěný odpad byl pak přibližně A) 40% B) 50% C) 60% D) 65% E) 70% 9. Kouli o poloměru r je jedna krychle opsána, druhá vepsána. Rozdíl povrchů těchto krychlí (opsané a vepsané) je A) 18 r 2 B) 16 r 2 C) 15 r 2 D) 12 r 2 E) 10 r 2 10. Do kužele, jehož strana svírá s rovinou podstavy úhel 60, je vepsaná koule s objemem 4 cm 3. Určete objem kužele. 11. Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má hrany podstav dlouhé 14 cm, 10 cm. Boční stěny mají sklon 45. Vypočítejte povrch tělesa. 4. Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin v prostoru a) Vzájemná poloha 2 přímek Různoběžné přímky leží v jedné rovině; mají právě jeden společný bod průsečík. Různé rovnoběžné přímky leží v jedné rovině; nemají žádný společný bod. Mimoběžné přímky neleží v jedné rovině; nemají žádný společný bod.
Stereometrie 5/13 b) Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka a rovina s ní různoběžná mají právě jeden společný bod průsečík. Rovina a přímka s ní rovnoběžná, která v ní neleží, nemají žádný společný bod. Přímka leží v rovině; všechny body přímky leží v dané rovině. c) Vzájemná poloha dvou rovin Dvě různoběžné roviny mají společnou přímku - průsečnici Dvě rovnoběžné různé roviny nemají žádný společný bod Totožné rovnoběžné roviny mají všechny body společné Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje alespoň dvě různoběžky, které jsou rovnoběžné s některou přímkou v druhé rovině. d) Pravidla pro konstrukci řezů těles Pravidlo 1: Leží-li dva body v rovině některé stěny, leží v této rovině i jejich spojnice. Pravidlo 2: Průsečnice roviny řezu s rovinami dvou rovnoběžných stěn jsou rovnoběžné. Pravidlo 3: Průsečnice roviny řezu s rovinami dvou různoběžných stěn a přímka, v níž leží společná hrana těchto stěn, jsou buď rovnoběžné, nebo se protínají v jediném bodě. Příklad: 1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou: 2.36 a) PQR, P AB; AP : PB = 1: 2; Q... střed BC; R FG; FR : RG = 1: 3 2.36 c) KLM, K AE ; AK : KE = 1: 3 L BF ; BL : LF = 4 : 1 M CG; CM : MG = 1: 2
Stereometrie 6/13 2.35 a) MCH, 1 M DA; MA = 2 2.35 b) BPQ, P... střed FG; Q 2.35 c) TRS, T... střed FG; AD FE ; QF = 4 3 3 EF S AE ; AS = AE ; 2 R AB; AR = 5 4 AB 3 5 2.36 b) AUV, U DH ; DU = DH ; V CB; CV = BC 2 4 2.36 d) XYZ, X... střed hrany AB, Y GH ; GY : YH = 2 :1 Z CD; D... střed CZ
Stereometrie 7/13 2.40 a) HKP, K... střed hrany AB, 1 P BC ; BP = PC 2 2.40 b) LMN, L... střed hrany AD; M.. střed hrany AE; N.. střed hrany GH 5. Metrické vlastnosti přímek a rovin v prostoru a) Odchylka přímek Odchylkou různoběžek rozumíme velikost menšího z obou úhlů,které spolu svírají. Pokud jsou oba úhly stejné, je odchylka 90. Odchylka dvou rovnoběžek je 0. Odchylkou dvou mimoběžek p,q rozumíme odchylku p od přímky r rovnoběžné s q, která je s p různoběžná (prochází jejím libovolným bodem A).
Stereometrie 8/13 b) Kolmost přímek a rovin Dvě přímky (různoběžné nebo mimoběžné) jsou kolmé, jestliže jejich odchylka je 90. Přímka je kolmá k rovině, jestliže je kolmá alespoň ke dvěma různoběžkám ležícím v této rovině. Dvě roviny jsou navzájem kolmé, jestliže jedna z nich obsahuje alespoň jednu přímku kolmou ke druhé rovině. Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám ležícím v této rovině. c) Odchylka přímek a rovin Odchylkou přímky p od roviny r rozumíme odchylku přímky p od jejího pravoúhlého průmětu do roviny r. Odchylka dvou rovin r a s je odchylka průsečnic těchto rovin s rovinou, která je kolmá k r i s. d) Vzdálenosti Vzdálenost bodu A od přímky p je délka úsečky AP, kde P je pata kolmice vedené z bodu A k přímce p v rovině Ap. Vzdálenost bodu A od roviny r je délka úsečky AP, kde P je kolmý průmět bodu A do roviny r.
Stereometrie 9/13 Vzdálenost bodu A od přímky p je nejmenší ze všech vzdáleností bodu A od různých bodů přímky p. Vzdálenost dvou rovnoběžek p a q je vzdálenost libovolného bodu přímky p od q Vzdálenost bodu A od roviny r je nejmenší ze všech vzdáleností bodu A od různých bodů roviny r. Vzdálenost přímky p od roviny r, která je s ní rovnoběžná, je vzdálenost libovolného bodu přímky p od roviny r. Vzdálenost rovnoběžek p,q je nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů, z nichž jeden leží na p a druhý na q. Vzdálenost rovnoběžných rovin r a s je vzdálenost libovolného bodu roviny r od roviny s Vzdálenost přímky p od roviny r, je nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů, z nichž jeden leží na p a druhý v r. Vzdálenost mimoběžek p a q je délka jejich příčky, která je k oběma mimoběžkám kolmá. Vzdálenost rovnoběžných rovin r a s je nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů, z nichž jeden leží v r a druhý v s Příčka mimoběžek p a q je úsečka, která je různoběžná s p i q
Stereometrie 10/13 Příklad: 1. Určete odchylku: 3.2 a) Dvou stěnových úhlopříček krychle 3.2 b) Dvou tělesových úhlopříček krychle 3.2 c) Jedné stěnové a jedné tělesové úhlopříčky krychle
Stereometrie 11/13 2. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné trojúhelníky, určete odchylku přímek: 3.3 a) BC a SV; S... střed podstavy 3.3 b) AB a CV 3.3 c) AD a CV 3.3 d) BV a CP; P.. střed hrany AV 3. Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte, zda jsou kolmé 3.10 a) přímky HM a EF; M... střed AE 3.10 b) přímky MN a BH;M... střed AE; N... střed CG 4. V krychli ABCDEFGH určete odchylku: 3.26 a) rovin ABC a BDH 3.26 b) rovin ABE a ABH
Stereometrie 12/13 3.26 c) rovin ABC a BEG 3.27 a) rovin ABC a MNG; M...střed BC;N...střed CD 3.35 a) roviny ABC a přímky XY; X... střed EH; Y... v jedné čtvrtině BF blíže k B 5. V krychli ABCDEFGH určete vzdálenost: 3.46 a) bodu A od přímky DH 3.46 b) bodu A od přímky FG 3.46 c) bodu A od přímky F 3.46 d) bodu A od přímky B
Stereometrie 13/13 6. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, kde a = 8 cm, v = 10 cm, určete: 3.47 a) odchylku boční hrany od roviny podstavy. 3.47 b) odchylku roviny boční stěny od roviny podstavy. 3.47c) odchylku roviny BCV a ADV.