Přednáška 01 PRPE + PPA Organizace výuky Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny Út 8.30 9.45 St 14.00 15.45, B286, PRPE (Stav. Inženýrství) + PPA (Arch. a stavitelství) přednáška St 15.55 16.45, B286, příklady na přednášce Webové stránky předmětu https://mech.fsv.cvut.cz/student/ Domácí úkoly, přednášky, podmínky zápočtu a zkoušky Podmínky pro udělení zápočtu: 10 domácích úkolů, včasné odevzdání cvičícímu a na webových stránkách, 2 semestrální testy, min. 14 bodů/34 1
PRPE + PPA Organizace výuky Zkouška: Zápočtové testy (34) + zkouškový test (30) + příklady (36) = 100 bodů Doplňkové ústní otázky Statistika úspěšnosti PRPE, prof. Jirásek MJ 2009/2010 Z MJ 2010/2011 Z VS 2010/2011 L Zapsaných 182 254 Zápočet udělen 141 196? Zkouškových pokusů 287 280 350? Známku A-E získalo 123 95 132? Pokusů/úspěch 2.33 3.08 2.6? A 1 B 11 C 42 D 29 E 8 Seminárky 4 Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Tets, and no Back-Cover Tets. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 2
PRPE + PPA Organizace výuky Sylabus: Analýza prutů tah, tlak, jednoduchý a složený ohyb, jejich kombinace, smyk za ohybu, kroucení, vzpěr Elastický a elastoplastický materiál Rovinná napjatost stěny Trojrozměrná napjatost tělesa Skripta (teorie a příklady): Šejnoha J., Bittnarová J.: Pružnost a pevnost, ES ČVUT, 2004 Bittnarová J. a kol.: Pružnost a pevnost příklady, ES ČVUT, 2007 (dotisk) 3
Motivace analýza inženýrského problému Idealizace Skutečnost Apr. Diskretizace Matematický model Apr. Řešení Výpočetní model Apr. Výsledek Aproimace Validace Verifikace Rozhodnutí F Statické rovnice (3) T =0, n=t, Geometrické rovnice (6) = T u Fyzikální rovnice (6) =D 4
Pružnost Teorie pružnosti matematicky popisuje mechanické chování pružných těles. Cílem je určit deformaci pružných těles a velikosti vnitřních sil. Pružnost (elasticita) je schopnost materiálu deformovat se takovým způsobem, že nedochází k jeho nevratným změnám. Po odtížení nastává jeho návrat do původního stavu. 5
Pracovní diagramy jednoosá tahová zkouška F F L L F F Lineárně pružný materiál Síla je úměrná deformaci Nelineárně pružný materiál Síla je funkcí deformace L F L F Kvazikřehký materiál s poškozením Snížení tuhosti po dosažení mezní síly Pružnoplastický materiál Vznik trvalých deformací L L 6
Základní pojmy Pevnost je schopnost materiálu přenést určité zatížení. Kontinuum popisuje prostředí spojitě vyplněné hmotou na určité úrovni rozlišení. Homogenní materiál má stejné vlastnosti ve všech bodech na určité úrovni rozlišení. 100 nm 10 m 500 m 10 mm 1m 7
Základní pojmy Izotropní materiál má stejné vlastnosti ve všech směrech (ocel, beton, zemina...). Opakem je anizotropie, speciálním případem ortotropie. Ortotropní materiál má stejné vlastnosti v určitých kolmých směrech (dřevo, kompozity). V inženýrských analýzách se často zanedbává vliv času, setrvačných sil, stochastických vlastností materiálu a zatížení. 8
Zatížení Vnější silové Objemové síly [kn/m3] Povrchové síly Plošné [kn/m2] Liniové [kn/m] Bodové [kn] Vnější nesilové Teplotní změny Předepsané přemístění podpor T 9
Statické rovnice Vnější síly způsobují obecně vznik vnitřních sil (napětí). Předepsané i neznámé síly, které působí z prostředí na těleso. Rovnice popisující rovnováhu na jednotlivých částech poddajného tělesa. Neznámé síly uvnitř poddajného tělesa, kterými na sebe působí sousedící části. Vnější síly Statické rovnice Vnitřní síly (napětí) 10
Geometrické rovnice Přemístění Změna polohy jednotlivých bodů tělesa. Geometrické rovnice Rovnice, které popisují vliv posunů bodů na jeho přetvoření Přetvoření Změna velikosti a tvaru jednotlivých částí tělesa. 11
Materiálové (fyzikální, konstitutivní) rovnice Rovnice popisující odpor materiálu vůči přetvoření. (měkký, poddajný, málo poddajný, tuhý materiál). Přetvoření Materiálové rovnice Vnitřní síly (napětí) 12
Tontiho diagram Přemístění Vnější síly Spojitost (kompatibilita) Geometrické rovnice Přetvoření Rovnováha Statické rovnice Materiálové rovnice Vnitřní síly (napětí) 13
Model kontinua Těleso rozdělíme na nekonečně malé objemy, na kterých požadujeme splnění statických, geometrických a fyzikálních rovnic 3D stav napjatosti. Napětí 14
Napětí Limitním přechodem na kontinuu definujeme vektor napětí pomocí plošky A F = lim A 0 A t n normálové napětí smykové napětí n n A n = t =1 = n n t 15
Složky napětí na elementárním kvádru z z z zy z yz z y y Směr normály k ploše y z y y y z Směr osy, se kterou je napětí rovnoběžné Pole napětí z y {} y = z yz z y 16
Model prutu Řešení 3D napjatosti těles je pro technickou prai příliš složité. Model prutu představuje účinnou aproimaci. Lokální soustava souřadnic y Průřez z Střednice prutu spojuje těžiště všech průřezů Těžiště 3D model napětí z Prut je prvek, jehož délka výrazně převyšuje ostatní rozměry. Prizmatický prut je prut stálého průřezu po celé jeho délce. 17
Napětí a vnitřní síly na prutu Vnitřní síly prutu jsou výslednice napětí v průřezu. Za určitých předpokladů lze použít zpětný postup pro výpočet napětí ze znalosti vnitřních sil. Mz Vy M My Vz 18
Základní namáhání prutů Ohyb Kroucení Tah/tlak 19
Jednoosý (prostý) tah / tlak Uvažujme prismatický prut, který je zatížený pouze na koncích F F L L L = L F = = A L protažení (absolutní) poměrné protažení (relativní) napětí (normálové) 20
Popis přemístění a přetvoření Výchozí stav původní délka segmentu u(+ ) u() Stav po zatížení u Protažení segmentu u 2 du d u 2 u= u u u u 2 2! du u= absolutní protažení segmentu u du relativní protažení segmentu = du geometrická rovnice = =0 0 21
Hookeův zákon pro 1D napjatost 1660 ceiiinosssttuv, Ut tensio, sic vis Pro lineárně pružný materiál je za jednoosého tahu/tlaku napětí úměrné relativnímu prodloužení. Materiálová (fyzikální, konstitutivní) rovnice = E E Youngův modul pružnosti [Pa] 22
Příklady pracovních diagramů materiálů Ocel E~210 GPa σ Mez pevnosti E Tah E~100 GPa 1 ε ε E Tlak Dřevo σ σ E~10 GPa Křehký materiál bez plastické oblasti E Tah Ve směru vláken. Kolmo na vlákna ~0,3 GPa. 1 Tlak Pevnost v tahu je ~10 menší nez pevnost v tlaku. Křehké porušení bez varování. Tah 1 Tlak Litina σ E~30 GPa Mez kluzu Mez pružnosti Mez úměrnosti Velká plastická oblast Beton ε Tlak Tah ε 23
Poissonovo číslo pro izotropní materiál Při jednoosém tahu dochází ke kontrakci v příčných směrech. y z F y = z = ν Poissonovo číslo [ ], Ostatní složky deformace a napětí jsou nulové. yz = z = y =0 y = z = yz = z = y =0 0 ν 0,5 Materiál Guma Ocel Beton Korek ν [-] ~0.5 0.3 0.2 ~0 24
Jednoosý tah napětí a vnitřní síly Normálovou sílu obecně získáme integrací normálového napětí N =, y, z dydz A Pro jednoosou napjatost N = A =EA Normálová tuhost průřezu (tuhost průřezu v tahu/tlaku) 25
Rovnice rovnováhy pro segment prutu Vnější síly (zatížení) f(+ /2) N() N(+ ) Podmínka rovnováhy N N f /2 =0 [ ] dn d 2u df 2 N N f =0 2 2 2! = 0 0 =0 0 dn f =0 26
Základní rovnice pro jednoosou napjatost du d N = f, N =EA du d EA = f Obyčejná lineární diferenciální rovnice 2. řádu Na každém konci jedna okrajová podmínka Volný konec předepsaná normálová síla statická o.p. Podepřený konec předepsaný posun geometrická o.p. 27
Okrajové podmínky pro libovolný prut u 0 =0 Možno řešit staticky neurčité konstrukce u L =0 u ' L =F / EA L F L u ' 0 = F / EA 0 u 0 =0 L u L =0 F Kinematicky neurčité 28
Tontiho diagram pro prut Přemístění u() [ ] du d EA = f dn = f du = Přetvoření ε() Vnější síly f() N =EA Vnitřní síly N() Napětí σ() 29
Příklad sloup zatížený silou a vlastní tíhou F=10 kn u ' 0 = F /EA 0 EA= Ebh=7,2 GN f = A=6 kn/m' Výpočet vnitřních sil dn = f N = 6 10, N 0 = 10 kn C1 u L =0 L=8m b = 0,4 m h = 0,6 m E = 30 GPa γ = 25 kn/m3 Výpočet posunutí du EA =N = 6 10 3 2 10 u = C 2 EA 3 8 2 10 8 u L =0= C 2 EA 272 EA 30
Příklad sloup zatížený silou a vlastní tíhou F=10 kn N 10 kn σ 41,67 kpa ε u 1.39e 6 +3.788e 5 m + 58 kn 241,67 kpa +2.556e 5 m L/2 8.06e 6 31
Prut o konstantním napětí σ Fe L σ ε u + + L + N F F E dn = f = A, N = A da da = A, =, A L E da = A F ln A ln C1 =, A =C 1 e, A 0 = =C 1 F A = e, =, u = L E E 32
Vliv teplotních změn pro izotropní materiál na prutu Při oteplení se většina materiálů roztahuje. Součinitel délkové teplotní roztažnosti 1 dl 1 T= [K ] L0 dt T = T T = T T E Celková Deformace deformace od napětí Deformace od teploty =E T T N =EA T T dt L0 Materiál Beton Ocel Dřevo Plasty dl α [10-6 K-1] 12 11-13 3-6 50-180 33
Vliv teplotních změn pro prizmatický prut Při rovnoměrném ohřátí prizmatického prutu je napětí a deformace v celém prutu konstantní. Prut zůstane přímý. LT =L T T NL L= LT EA EA N= L LT L Protažení od teplotní změny Celkové protažení s vlivem síly Normálová síla v prutu Oboustranně pevně upnutý prut L=0 N = EA T T = EA T = E T T 34
Tontiho diagram pro prut s vlivem teploty [ ] du d EA T = f Přemístění u() Vnější síly f() du = dn = f Přetvoření ε() N =EA [ T ] Vnitřní síly N() Napětí σ() 35
Rovnoměrné oteplení neprizmatického prutu N u 1.81e 5 1.426 MPa 2.27e 5 dn =0, N =konst. a neznámá N N = T, = EA A N N u= = T = [5.0 ln 0.2 1 ] T EA E L = 1.426 MN 5.0 ln 0.2 L 1 u = 7.132e 4 ln 0.2 1 1.2e 4 1.01e 5 + 1.019 MPa ε E=10 GPa T=+10oC α=12e 6 K 1 A=1+0.2 m2 f=0 kn/m' L=2m 1.426 MN σ C 1 =0,u 0 =0 u L =0, N = E T 36
Určete posun styčníku 3m N1 z N2 c 3m 30o F=40 kn 20 mm, tl. 2 mm E=210 GPa A=113.097 mm2 b 2m a o o 3N 3 40 cos 30 2 40 sin 30 =0 b : 1 N 1=21.308 kn 3 : 40sin 30 o N 2 =0 2 2 3 2 N 2=24.037 kn N 1 L1 21.308 3 L1 = = =2.69 mm EA 210e+6 113.097e 6 N 2 L2 24.037 3 2 22 L 2= = =3.65 mm EA 210e+6 113.097e 6 w= L1=2.69 mm L 2=w sin u cos w sin α u= L2 w sin /cos u cos α w u= 2.59 mm α α u 37
σ ε 2.894 kn 40.9 kpa 1.63e 6 Ra Toto vetknutí dočasně odstraním. Poté vyžaduji nulový posun. 4.834 kn 38.5 kpa Pouze vlastní tíha γ=24 kn/m3 E=25 GPa Statická podmínka R a R b Q1 Q 2=0 2 Q1 = A1 L1=24 0.15 1=1.696 kn 2 Q 2= A 2 L2=24 0.2 2=6.032 kn Q2 400 mm + 1.198 kn 1.23e 6 m 300 mm Q1 + u + Rb + N 1.603 m L2=2 m L1=1 m Staticky neurčitý prut s vlastní tíhou určení reakcí 1.54e 6 Deformační (přetvárná) podmínka u 3 =0, u 3 = L1 L2=0 2 L1 R a Q2 L1 L1 = 2E EA 1 2 L2 R a L2 L 2= 2E EA 2 R a=4.834 kn, Rb =2.894 kn 38
Staticky neurčitý prut určení reakcí N Rb 25.3 kn ε 2.53 MPa 3.13e 4 u E=10 GPa α=3e 6 K 1 Rb 0,3 274.7 kn 6.87 MPa 6.27e 4 6.26e 4 m Ra 0,2 0,2 m + + 0,3 MN + 0,1 0,1 m + T=+20oC L2=1 m L1=2 m Rb σ Deformační (přetvárná) podmínka u 3 = L1N L2N LT =0 1 Rb 0.3 3e-6 20 3=0 2 2 10000 0.1 10000 0.2 u 3 =0, 2 Rb 0.0225 R b =0.00057, R b=0.02533mn 0.02533 0.2747 1= =2.53 MPa, = = 6.87 MPa 2 2 2 0.1 0.2 39
Posouzení únosnosti průřezu 200 mm Posuďte únosnost plného a oslabeného průřezu 200 mm 120 mm 21 mm 21 mm 120 mm Plný průřez f d =8 MPa N Rd =0.12 0.2 8000=192 kn Průřez oslabený otvory pro svorníky N Rd = 0.12 0.2 2 0.021 0.12 8000=151.7 kn 40
Otázky 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Kolik je komponent napětí u obecného 3D tělesa? Které tři rovnice používáme při popisu chování prutu a co popisují? Čím se liší přemístění a přetvoření? Co je výslednicí normálového napětí po průřezu? Definujte Poissonovo číslo a Youngův modul pružnosti. Jaké jsou jejich hodnoty pro běžné stavební materiály? O kolik se zmenší objem prizmatického prutu při působení konstantního tahového napětí (známe A, N, E, ν)? Jakého řádu jsou posuny a přetvoření na prizmatickém prutu zatíženém pouze na okrajích a při zatížení vlastní tíhou? Kolik okrajových podmínek lze definovat na obecné rovnici pro jednoosou napjatost? Kolik lineárně nezávislých podmínek umíme definovat na okrajích prutu? Jsou tyto podmínky statické, kinematické, nebo jejich kombinace? Jak se projeví vliv teploty v geometrických rovnicích? Umíme z pole posunů jednoznačně určit přetvoření? A naopak? Jsou geometrické rovnice algebraického či diferenciálního tvaru? Created 02/2011 in OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04 by Vít Šmilauer. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami. 41