Metoda řezu a projekce jako model kvazikrystalu Zuzana Masáková 14. května 2010
Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro x R d.
Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro x R d. hezký difrakční obraz
Vlastnosti požadované od Σ R d Delonovská vlastnost: r, R, 0 < r R < + : (i) B(x, r) Σ = {x} pro x Σ; (ii) B(x, R) Σ pro x R d. hezký difrakční obraz konečná lokální složitost
Modely pevných látek Pro,hezký difrakční obraz nutné uspořádání atomů na dálku. (u krystalů periodicita)
Modely pevných látek Pro,hezký difrakční obraz nutné uspořádání atomů na dálku. (u krystalů periodicita) 1982 objev látky s,hezkým obrazem se symetriemi řádu 5, 2, 6 (symetrie icosahedronu)
Kvazikrystaly Ale: Icosahedronem nelze vyplnit prostor
Kvazikrystaly Ale: Icosahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}.
Kvazikrystaly Ale: Icosahedronem nelze vyplnit prostor Mřížka v R 2, R 3 invariantní na rotaci řádu k k {2, 3, 4, 6}. Jak získat model s pětičetnou symetríı? Projekcí: V dimezi 4 už mřížka se symetríı řádu 5 existuje!
Metoda ukroj a promítni
Metoda ukroj a promítni
Metoda ukroj a promítni Projekce: Π 1 zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Ω, omezená, otevřená Σ(Ω) = { Π 1 (x) x H, Π 2 (x) Ω },
Metoda ukroj a promítni Projekce: Π 1 zúženo na H prosté; Π 2 (H) husté ve V 2. Σ(Ω) = { Π 1 (x) x H, Π 2 (x) Ω }, Ω, omezená, otevřená Σ(Ω) je aperiodická a splňuje požadované vlastnosti Jak volit parametry, aby Σ(Ω) měla požadovanou symetrii?
Mřížka A 4 R 4 dána vektory e 1, e 2, e 3, e 4 2 1 0 0 1 1 2 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 2 s Gramovou maticí tj. svírají úhel (α i, α i+1 ) = 2π 3 e diagram: 1 e 2 e 3 e 4
Mřížka A 4 R 4 dána vektory e 1, e 2, e 3, e 4 2 1 0 0 1 1 2 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 2 s Gramovou maticí tj. svírají úhel (α i, α i+1 ) = 2π 3 e diagram: 1 e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i±1 = e i + e i±1 r i e j = e j pro j i > 1
Mřížka A 4 R 4 dána vektory e 1, e 2, e 3, e 4 2 1 0 0 1 1 2 1 0 2 0 1 2 1 0 0 1 2 s Gramovou maticí tj. svírají úhel (α i, α i+1 ) = 2π 3 e diagram: 1 e 2 e 3 e 4 Grupa W generována zrcadleními r i = r ei, r y (x) = x x y y y y A 4 je invariantní vůči W, protože r i e i = e i r i e i±1 = e i + e i±1 r i e j = e j pro j i > 1 Zobrazení r 1 r 3 r 2 r 4 je izometrie řádu 5.
Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V 1 dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e 1 e 3 Π 1 τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R 1 := Π 1 (r 1 r 3 )Π 1 1 a R 2 := Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1.
Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V 1 dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e 1 e 3 Π 1 τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R 1 := Π 1 (r 1 r 3 )Π 1 1 a R 2 := Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1. Pak R 2 (u) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (u) = Π 1r 2 r 4 (e 1 ) = Π 1 (e 1 + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (τu) = Π 1r 2 r 4 (e 3 ) = Π 1 (e 2 + e 3 + e 4 ) = = τv + v + τu
Projekce do dimenze 2 a zlatý řez V 1 dán bazickými vektory u a v : A 4 : e 2 e 4 e 1 e 3 Π 1 τv v u τu Volba skaláru τ vyplyne. Definujme R 1 := Π 1 (r 1 r 3 )Π 1 1 a R 2 := Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1. Pak R 2 (u) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (u) = Π 1r 2 r 4 (e 1 ) = Π 1 (e 1 + e 2 ) = u + τv R 2 (τu) = Π 1 (r 2 r 4 )Π 1 1 (τu) = Π 1r 2 r 4 (e 3 ) = Π 1 (e 2 + e 3 + e 4 ) = Z linearity R 2 plyne R 2 (τu) = τr 2 u = τv + v + τu (τ + 1)v + τu = τu + τ 2 v a proto τ 2 = τ + 1.
Ze dvou možností zvoĺıme τ = 1 2 (1 + 5).
Ze dvou možností zvoĺıme τ = 1 2 (1 + 5). R 1 R 2 je izometrie: R 1 R 2 (u) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 1 ) = Π 1 (e 2 + e 3 ) = τu + τv R 1 R 2 (v) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π 1 ( e 3 e 4 ) = τu v Proto τu + τv = u, τu + v = v.
Ze dvou možností zvoĺıme τ = 1 2 (1 + 5). R 1 R 2 je izometrie: R 1 R 2 (u) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 1 ) = Π 1 (e 2 + e 3 ) = τu + τv R 1 R 2 (v) = Π 1 (r 1 r 3 r 2 r 4 )(e 4 ) = Π 1 ( e 3 e 4 ) = τu v Proto Dostaneme τu + τv = u, τu + v = v. u = v a u v = 1 2 τ u 2 = cos 4π 5 u 2. Vektory u a v jsou tedy stejné délky a svírají úhel 4 5 π.
Dihedrální grupa D 10 Grupa generovaná reflexemi R 1, R 2 a středovou symetríı x x
Dihedrální grupa D 10 Grupa generovaná reflexemi R 1, R 2 a středovou symetríı x x Orbita vektorů u, v V 1 D 10 : 5
Druhý kořen τ = 1 2 (1 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e 1 e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 1 2 τ )
Druhý kořen τ = 1 2 (1 5) pro definici Π 2 A 4 : e 2 e 1 e 4 e 3 Π 2 v τ v u τ u Opět u a v jsou stejné délky s úhlem 2 5 π. ( cos 2π 5 = 1 2 τ ) Bod ae 1 + be 2 + ce 3 + de 4 mřížky A 4 se zobrazuje : Π 1 (a, b, c, d) = (a + τb)v + (c + τd)u Π 2 (a, b, c, d) = (a + τ b)v + (c + τd )u A máme Σ(Ω) = {(a + τb)v + (c + τd)u a, b, c, d Z, (a + τ b)v + (c + τd )u Ω}.
Jak volit Ω? Σ(Ω) má desetičetnou symetrii Ω má desetičetnou symetrii.
Jak volit Ω? Σ(Ω) má desetičetnou symetrii Ω má desetičetnou symetrii. Např. Ω kruh se středem v počátku:
Voronojovo a Delonovo dla z de nı
Obecněji Rotace o úhel 2π k pro k N vyžaduje iracionalitu cos 2π k. Experimentálně pozorované: 8-, 10- a 12-ti četné symetrie cos 2π k kvadratické číslo. 2 cos 2π 8 + 1 = 1 + 2 stříbrný řez x 2 = 2x + 1 2 cos 2π 10 = 1 2 (1 + 5) zlatý řez x 2 = x + 1 2 cos 2π 12 + 2 = 2 + 3 bronzový řez x 2 = 4x 1
Obecněji Rotace o úhel 2π k pro k N vyžaduje iracionalitu cos 2π k. Experimentálně pozorované: 8-, 10- a 12-ti četné symetrie cos 2π k kvadratické číslo. 2 cos 2π 8 + 1 = 1 + 2 stříbrný řez x 2 = 2x + 1 2 cos 2π 10 = 1 2 (1 + 5) zlatý řez x 2 = x + 1 2 cos 2π 12 + 2 = 2 + 3 bronzový řez x 2 = 4x 1 Ostatní nekrystalografické symetrie iracionalita vyššího řádu (např. k = 7 kubické číslo.)
Děkuji za pozornost.