9. Bilineární formy. 9. Bilineární formy p. 1/14
|
|
|
- Gabriela Dostálová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9. Bilineární formy 9. Bilineární formy p. 1/14
2 9. Bilineární formy p. 2/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní matice
3 9. Bilineární formy p. 3/ Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí:
4 9. Bilineární formy p. 3/ Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w)
5 9. Bilineární formy p. 3/ Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v)
6 9. Bilineární formy p. 3/ Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v) 3. B(u,v+w) = B(u,v)+B(u,w)
7 9. Bilineární formy p. 3/ Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v) 3. B(u,v+w) = B(u,v)+B(u,w) 4. B(u,αv) = αb(u,v)
8 9. Bilineární formy p. 3/ Definice a příklady DEFINICE 1 Necht V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolnéu,v,w V aα R platí: 1. B(u+v,w) = B(u,w)+B(v,w) 2. B(αu,v) = αb(u,v) 3. B(u,v+w) = B(u,v)+B(u,w) 4. B(u,αv) = αb(u,v) Bilineární funkce je tedy při zvolené hodnotě jedné proměnné lineární funkcí druhé proměnné. Můžeme ji považovat za zobecnění funkce z = axy dvou proměnných x ay na vektorové prostory.
9 9. Bilineární formy p. 4/ Definice a příklady PŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] ay = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x,y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, žeb je bilineární forma.
10 9. Bilineární formy p. 4/ Definice a příklady PŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] ay = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x,y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, žeb je bilineární forma. PŘÍKLAD 2 Necht A = [a ij ] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení, které každé dvojici sloupcových vektorů druhého řádu x = [x i ] a y = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x Ay = a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2, je bilineární forma.
11 8.1 Definice a příklady PŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R 3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [x i ] ay = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x y = x 1 y 1 +x 2 y 2 +x 3 y 3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x,y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, žeb je bilineární forma. PŘÍKLAD 2 Necht A = [a ij ] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení, které každé dvojici sloupcových vektorů druhého řádu x = [x i ] a y = [y i ] přiřazuje B(x,y) = x Ay = a 11 x 1 y 1 +a 12 x 1 y 2 +a 21 x 2 y 1 +a 22 x 2 y 2, je bilineární forma. PŘÍKLAD 3 Necht F je vektorový prostor všech reálných funkcí. Pak předpis, který každé dvojici funkcí f F a g F přiřazuje B(f,g) = f(1)g(1)+f(2)g(2), definuje bilineární formu. 9. Bilineární formy p. 4/14
12 9. Bilineární formy p. 5/ Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u).
13 9. Bilineární formy p. 5/ Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u,u) = 0 pro libovolné u V.
14 9. Bilineární formy p. 5/ Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u,u) = 0 pro libovolné u V. Skutečně, platí-li B(u,u) = 0, pak B(u+v,u+v) = B(u,v)+B(v,u) = 0, odkud dostaneme B(u, v) = B(v, u).
15 9. Bilineární formy p. 5/ Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Necht V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u,u) = 0 pro libovolné u V. Skutečně, platí-li B(u,u) = 0, pak B(u+v,u+v) = B(u,v)+B(v,u) = 0, odkud dostaneme B(u, v) = B(v, u). Obráceně z B(u, v) = B(v, u) plyne B(u,u) = B(u,u), tedy platí B(u, u) = 0.
16 9. Bilineární formy p. 6/ Klasifikace bilineárních forem PŘÍKLAD 4 Bilineární formy z příkladu 1 a 3 jsou zřejmě symetrické, zatímco forma z příkladu 2 je symetrická, právě když A = A. Bilineární forma z příkladu 2 bude antisymetrická, právě když A = A
17 9. Bilineární formy p. 6/ Klasifikace bilineárních forem PŘÍKLAD 4 Bilineární formy z příkladu 1 a 3 jsou zřejmě symetrické, zatímco forma z příkladu 2 je symetrická, právě když A = A. Bilineární forma z příkladu 2 bude antisymetrická, právě když A = A Vskutku B(y,x) = y Ax = ( y Ax ) = (Ax) y = x A y. Jelikož B(x,y) = x Ay pak B(x,y) = B(y,x) A = A. Obdobně B(x,y) = B(y,x) A = A. Například pro matici [ ]. Bilineární forma je antisymetrická, nebot splňuje B(x,y) = x 1 y 2 x 2 y 1 = (y 1 x 2 y 2 x 1 ) = B(y,x).
18 9. Bilineární formy p. 7/ Klasifikace bilineárních forem VĚTA 1 Každou bilineární formub můžeme vyjádřit ve tvaru součtu symetrické a antisymetrické formy B(u,v) = B S (u,v)+b A (u,v), kde B S (u,v) = 1 ( ) B(u,v)+B(v,u) 2 B A (u,v) = 1 ( ) B(u,v) B(v,u) 2 přičemžb S (u,v) = B S (v,u) ab A (u,v) = B A (v,u). FormyB S ab A se nazývají po řadě symetrická část a antisymetrická část bilineární formyb.
19 9. Bilineární formy p. 7/ Klasifikace bilineárních forem VĚTA 1 Každou bilineární formub můžeme vyjádřit ve tvaru součtu symetrické a antisymetrické formy B(u,v) = B S (u,v)+b A (u,v), kde B S (u,v) = 1 ( ) B(u,v)+B(v,u) 2 B A (u,v) = 1 ( ) B(u,v) B(v,u) 2 přičemžb S (u,v) = B S (v,u) ab A (u,v) = B A (v,u). FormyB S ab A se nazývají po řadě symetrická část a antisymetrická část bilineární formyb. DŮKAZ: B(u,v) = 1 2( B(u,v)+B(v,u) ) ( B(u,v) B(v,u) )
20 9. Bilineární formy p. 8/ Matice bilineární formy Necht V je vektorový prostor s bází E = (e 1,...,e n ) a necht B je bilineární forma nav. Necht x,y V jsou dva vektory, které lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru x = x 1 e 1 + +x n e n, y = y 1 e 1 + +y n e n.
21 9. Bilineární formy p. 8/ Matice bilineární formy Necht V je vektorový prostor s bází E = (e 1,...,e n ) a necht B je bilineární forma nav. Necht x,y V jsou dva vektory, které lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru x = x 1 e 1 + +x n e n, y = y 1 e 1 + +y n e n. Pak B(x,y) = B(x 1 e 1 + +x n e n,y) = x 1 B(e 1,y)+ +x n B(e n,y) = B(e 1,y) B(e 1,y 1 e 1 + +y n e n ) = [ x 1,...,x n ]. =[ x 1,...,x n ]. B(e n,y) B(e n,y 1 e 1 + +y n e n ) B(e 1,e 1 )y 1 + +B(e 1,e n )y n = [ x 1,...,x n ]. = B(e n,e 1 )y 1 + +B(e n,e n )y n B(e 1,e 1 )...B(e 1,e n ) y 1 = [ x 1,...,x n ]... B(e n,e 1 )...B(e n,e n ) y n =
22 9. Bilineární formy p. 9/ Matice bilineární formy DEFINICE 3 Necht V je libovolný vektorový prostor a E = (e 1,...,e n ) je jeho báze. Maticí bilineární formy B v bázie rozumíme matici [B] E = [B(e i,e j )]
23 9. Bilineární formy p. 9/ Matice bilineární formy DEFINICE 3 Necht V je libovolný vektorový prostor a E = (e 1,...,e n ) je jeho báze. Maticí bilineární formy B v bázie rozumíme matici [B] E = [B(e i,e j )] VĚTA 2 Necht [B] E je matice bilineární formyb v bázie vektorového prostoru V. Pro libovolné vektory x,y V B(x,y) = [x] E [B] E [y] E.
24 9. Bilineární formy p. 10/ Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Výsledek využijte k vyčíslení B(p,q) pro p(x) = 1 x a q(x) = x 2 x.
25 9. Bilineární formy p. 10/ Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Výsledek využijte k vyčíslení B(p,q) pro p(x) = 1 x a q(x) = x 2 x. ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme: B(e 1,e 1 ) = e 1 (1)e 1 (1)+e 1 (2)e 1 (2) = = 2 B(e 1,e 2 ) = e 1 (1)e 2 (1)+e 1 (2)e 2 (2) = = 3 B(e 1,e 3 ) = e 1 (1)e 3 (1)+e 1 (2)e 3 (2) = = 5 B(e 2,e 2 ) = e 2 (1)e 2 (1)+e 2 (2)e 2 (2) = = 5 B(e 2,e 3 ) = e 2 (1)e 3 (1)+e 2 (2)e 3 (2) = = 9 B(e 3,e 3 ) = e 3 (1)e 3 (1)+e 3 (2)e 3 (2) = = 17
26 9. Bilineární formy p. 10/ Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P 3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e 1,e 2,e 3 ), kde e 1 (x) = 1,e 2 (x) = x,e 3 (x) = x 2. Výsledek využijte k vyčíslení B(p,q) pro p(x) = 1 x a q(x) = x 2 x. ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme: B(e 1,e 1 ) = e 1 (1)e 1 (1)+e 1 (2)e 1 (2) = = 2 B(e 1,e 2 ) = e 1 (1)e 2 (1)+e 1 (2)e 2 (2) = = 3 B(e 1,e 3 ) = e 1 (1)e 3 (1)+e 1 (2)e 3 (2) = = 5 B(e 2,e 2 ) = e 2 (1)e 2 (1)+e 2 (2)e 2 (2) = = 5 B(e 2,e 3 ) = e 2 (1)e 3 (1)+e 2 (2)e 3 (2) = = 9 B(e 3,e 3 ) = e 3 (1)e 3 (1)+e 3 (2)e 3 (2) = = 17 Ostatní prvky matice formy dopočteme ze symetrie B(e i,e j ) = e i (1)e j (1)+e i (2)e j (2) = e j (1)e i (1)+e j (2)e i (2) = B(e j,e i ).
27 9. Bilineární formy p. 11/ Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: [B] E =
28 9. Bilineární formy p. 11/ Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: [B] E = Jelikož 1 0 [p] E = 1 a [q] E = 1 0 1,
29 9. Bilineární formy p. 11/ Matice bilineární formy PŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: Jelikož platí B(p,q) = [ [B] E = [p] E = 1 a [q] E = ] [ =, ] = 2.
30 9. Bilineární formy p. 12/ Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E (S)
31 9. Bilineární formy p. 12/ Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E (S) DŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pakb(e i,e j ) = B(e j,e i ) a vztah (S) platí. Obráceně, necht platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x,y V platí
32 9. Bilineární formy p. 12/ Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E DŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pakb(e i,e j ) = B(e j,e i ) a vztah (S) platí. Obráceně, necht platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x,y V platí ) = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E ([x] = E [B] E [y] E [y] E [B] E [x] E = [y] E [B] E [x] E = = B(y,x), takže forma B je symetrická. (S)
33 9. Bilineární formy p. 12/ Matice bilineární formy VĚTA 3 Necht B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B] E = [B] E DŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pakb(e i,e j ) = B(e j,e i ) a vztah (S) platí. Obráceně, necht platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x,y V platí ) = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E ([x] = E [B] E [y] E [y] E [B] E [x] E = [y] E [B] E [x] E = = B(y,x), takže forma B je symetrická. (S) Matice A, která splňuje A = A, se nazývá symetrická matice.
34 9. Bilineární formy p. 13/ Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F.
35 9. Bilineární formy p. 13/ Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F. S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x,y U a bilineární formu B na U [x] F [B] F [y] F = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E = [x] F S [B] E S[y] F.
36 9. Bilineární formy p. 13/ Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F. S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x,y U a bilineární formu B na U [x] F [B] F [y] F = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E = [x] F S [B] E S[y] F. Zvolíme-li x = f i a y = f j dostaneme [B] F = S [B] E S.
37 9. Bilineární formy p. 13/ Změna báze Necht E = (e 1,...,e n ) af = (f 1,...,f n ) jsou dvě bázeu. Necht S je matice přechodu od bázee k nové bázif, takže pro libovolný vektor x U platí [x] E = S[x] F. S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x,y U a bilineární formu B na U [x] F [B] F [y] F = B(x,y) = [x] E [B] E [y] E = [x] F S [B] E S[y] F. Zvolíme-li x = f i a y = f j dostaneme [B] F = S [B] E S. Odtud dostaneme s použitím matice zpětného přechodu T = S 1 od bázef k bázie [B] E = T [B] F T.
38 9. Bilineární formy p. 14/ Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT.
39 9. Bilineární formy p. 14/ Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT. VĚTA 4 Matice dané bilineární formy v různých bázích jsou kongruentní.
40 9.5 Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT. VĚTA 4 Matice dané bilineární formy v různých bázích jsou kongruentní. Je možno dokázat i tvrzení, že jsou-li matice kongruentní, pak jsou maticemi nějaké bilineární formy v různých bázích. Jelikož podstatné vlastnosti bilineárních forem (například symetrie) nezávisí na bázi prostoru, dá se očekávat, že kongruentní matice budou mít podstatné charakteristiky shodné. 9. Bilineární formy p. 14/14
11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16
11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16 11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3.
Základní pojmy z lineární a multilineární algebry p.1/4
Základní pojmy z lineární a multilineární algebry Základní pojmy z lineární a multilineární algebry p.1/4 Základní pojmy z lineární a multilineární algebry 1. Vektorový prostor 2. Lineární nezávislost
6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT. Verze 1.1A
Verze 1.1A Čas na práci: 1 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 1 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, 2x 1 +4x 3 +3x 4 = 4 x 1 +2x 2 +4x 3 3x 4 = 1 2x 1 +x 2 x 3 3x 4
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1
Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Symetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Matice lineárních zobrazení
Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
1 Kvadratické formy. 2 Matice kvadratické formy. Definice Necht B je bilineární forma na V. Q B : V R. Q B (x) = B(x, x), x V
LA 11. cvičení matice bilineární formy, kvadratické formy Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,011 1 Kvadratické formy Definice 1.0.1 Necht B je bilineární forma na V. Kvadratickou formou příslušnou bilineární
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Báze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Vlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
Lineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Matematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
![[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}](/thumbs/26/7692117.jpg "[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}")
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Vlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Matematika 2 pro PEF PaE
Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
![15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.](/thumbs/17/161542.jpg "15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.")
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Úlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,
Kapitola 5. Symetrické matice
Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Kristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...
![[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...](/thumbs/13/23926.jpg "[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...")
[1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
![transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]](/thumbs/88/115112143.jpg "transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]")
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Soustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Matice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK
Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních