České vysoké učení technické v Praze. Modely kvazikrystalu se soběpodobností. Quasicrystal models with self-similarity

Transkript

1 České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Modely kvazikrystalu se soběpodobností Quasicrystal models with self-similarity Bakalářská práce Autor: Vedoucí práce: Jan Mazáč prof. Ing. Zuzana Masáková, PhD. Akademický rok: 206/207

2

3 - Zadání práce -

4 - Zadání práce (zadní strana -

5 Poděkování: Chtěl bych poděkovat především své školitelce prof. Zuzaně Masákové za vstřícnost, ochotu a trpělivost při vedení mé bakalářské práce. Rovněž jí děkuji za četné komentáře k textu, které výrazně zlepšily čtivost práce. Dále bych chtěl poděkovat prof. Editě Pelantové za cenné připomínky, rady a konzultace při řešení některých problémů, které přispěly k celkové práci. V neposlední řadě patří můj dík mé rodině za její neutuchající podporu a mým přátelům. Čestné prohlášení: Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně a uvedl jsem všechnu použitou literaturu. Nemám závažný důvod proti použití tohoto školního díla ve smyslu 60 Zákona č. 2/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon. V Praze dne 30. června 207 Jan Mazáč

6

7 Název práce: Modely kvazikrystalu se soběpodobností Autor: Jan Mazáč Obor: Matematické inženýrství Zaměření: Matematická fyzika Druh práce: Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. Ing. Zuzana Masáková, PhD., České vysoké učení technické v Praze, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, katedra matematiky Abstrakt: Uznávaným matematickým modelem pro kvazikrystaly jsou tzv. cut-and-project (C&P množiny. C&P schéma (L, π, π 2 je dáno mříží L v R s a projekcemi π, π 2 na dva vhodně orientované podprostory V, V 2. C&P množina Σ(Ω je delonovská podmnožina π (L. V práci odvodíme několik tvrzení popisujících souvislost mezi soběpodobnostními transformacemi mříže L a transformacemi projekcí π (L a π 2 (L. Popíšeme způsob, jak pomocí požadavků na transformaci mříže L konstruovat C&P schéma s příslušnou soběpodobností. V případě požadavku četné symetrie sestrojíme nedegenerované ireducibilní C&P schéma invariantní na izometrii řádu a srovnáme jej s klasickou konstrukcí pomocí Coxeterových grup. Na množině π (L zkoumáme další možné soběpodobnosti a ukážeme, že tvoří asociativní algebru nad Z. Dále zkoumáme 3D C&P množiny vzniklé z D mříže. Ukážeme některé jejich překvapivé geometrické vlastnosti. Klíčová slova: cut-and-project množiny, diskrétní množiny, kvazikrystal, pětičetná symetrie, soběpodobnost Title: Quasicrystal models with self-similarity Author: Jan Mazáč Abstract: Quasicrystals can be described using cut-and-project (C&P sets. A C&P scheme (L, π, π 2 is given by a lattice L in R s and by projections π, π 2 onto two suitable subspaces V, V 2. A C&P set Σ(Ω is a Delone subset of π (L. In this work we derive several propositions describing the relation between transformations of the lattice L and transformations of its projections π (L and π 2 (L. When requiring five-fold symmetry we construct non-degenerate irreducible C&P scheme invariant under an isometry of order and we compare it to the classical construction of quasicrystals using Coxeter groups. We study other self-similarities on the set π (L and prove that they form an associative algebra over Z. We further investigate 3D C&P sets arising by projection of a D lattice. We demonstrate some of their surprising geometric properties. Key words: cut-and-project sets, discrete sets, five-fold symmetry, quasicrystal, self-similiarity

8

9 Obsah Značení 0 Úvod Základní pojmy a tvrzení 2. Teorie čísel Teorie matic Diskrétní množiny Cut-and-project množiny D cut-and-project množiny vzniklé projekcí 2D mříže Geometrie pravidelného pětiúhelníku Klasická konstrukce kvazikrystalu s pětičetnou symetrií Soběpodobnost kvazikrystalu Jednodimenzionální kvazikrystal se soběpodobností Škálovací symetrie kvazikrystalu Souvislost soběpodobnosti na kvazikrystalu s transformacemi mříže Kvazikrystal s pětičetnou symetrií vzniklý projekcí 4D mříže Konstrukce kvazikrystalu Srovnání s klasickou konstrukcí Soběpodobnosti 2D kvazikrystalu s pětičetnou symetrií Příklad netriviální soběpodobnosti Kvazikrystal s pětičetnou symetrií vzniklý projekcí D mříže 7 4. Dvoudimenzionální případ Třídimenzionální případ Geometrické vlastnosti 3D kvazikrystalu Násobky vlastních vektorů Další možné soběpodobnosti Závěr 6 Literatura 66 9

10 Značení V celém textu práce se budeme držet následujícího značení: A, B, C, N, Q, R, Z číselné množiny T těleso T[x] množina všech polynomů v proměnné x s koeficienty v T Q(α algebraické rozšíření racionálních čísel o číslo α L mříž π, π 2 projekce Ω okno Σ(Ω kvazikrystal příslušný oknu Ω l, v, x, y, α vektory span T {x, x 2,..., x n } lineární obal vektorů x, x 2,..., x n s koeficienty v T [X] span Z {x : x X} v obraz vektoru v při projekci π v obraz vektoru v při projekci π 2 A, B, C, F, M, P, V, Y matice, zobrazení diag {a, b,..., k} diagonální matice rozměru k k s prvky a, b,..., k na diagonále x, H hermitovsky sdružený vektor x, resp. matice H B r otevřená koule se středem v počátku poloměrem r x, y H skalární součin vektorů x, y určený maticí H 0

11 Úvod Látky zvané kvazikrystaly, jejich fyzikální vlastnosti a matematické modely těchto struktur se do zájmu vědecké komunity dostaly v roce 984, kdy Dan Shechtman a jeho tým publikovali přelomový článek týkající se objevu nekrystalografického materiálu, který ale vykazoval jisté uspořádání na dlouhou vzdálenost. Od této doby bylo publikováno mnoho výsledků v této oblasti. Díky udělení Nobelovy ceny Danielovi Shechtmanovi v roce 20 došlo ke zvýšení zájmu o tuto problematiku a téma kvazikrystalů je dnes ve vědecké komunitě živé. V práci se budeme zabývat matematickými modely kvazikrystalů. Zatímco pro klasické krystalické struktury jsou vhodným matematickým modelem periodické mřížky, pro popis kvazikrystalických struktur se ukázala být vhodnou tzv. cut-and-project metoda, která spočívá v projektování části mříže na dvojici vhodně orientovaných podprostorů. Při studiu dvoudimenzionálních kvazikrystalů se zájem soustřeďuje především na ty, které vykazují -, 8-, 0- a 2četnou rotační symetrii. Tyto struktury ale často mají i jiné symetrie než pouze rotace a reflexe. Velmi častou je například škálování iracionálním faktorem nebo afinní symetrie. Podle článku Lagariase [] například platí, že pokud pro kvazikrystal Σ(Ω existuje číslo η takové, že ησ(ω Σ(Ω, tak pak je číslo η Pisotovo číslo, tedy číslo, k němuž algebraicky sdružená čísla jsou menší než. Na druhou stranu není nám znám žádný systematický výzkum afinních symetrií na kvazikrystalech. V této práci se zaměříme na kvazikrystaly s -(0-četnou symetrií. Po zadefinování a připomenutí základních pojmů, následně představíme maticový způsob zápisu kvazikrystalů a pomocí něj odvodíme vztah mezi transformacemi na projekci mříže a transformacemi mříže. V další kapitole nalezneme vhodné cut-and-project schéma ( L R 4, π, π 2 takové, že jsme z něj vhodným výběrem okna schopni získat kvazikrystal s desetičetnou symetrií. Provedeme konstrukci pouze za pomoci teorie matic a lineární algebry. Tuto konstrukci poté porovnáme s klasickou konstrukcí kvazikrystalů s desetičetnou symetrií pomocí Coxeterových grup. V další části se budeme zabývat soběpodobnostmi na tomto schematu. Budeme zkoumat, jaká jsou veškerá možná lineární zobrazení A, která zachovávají množinu π (L. Bude nás rovněž zajímat, jakou strukturu tato zobrazení formují. Dále budeme zkoumat, jaké jsou podmínky na zobrazení A na množině π (L takové, že existuje okno Ω R 2 takové, že A je soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω. V závěrečné kapitole se budeme zabývat projekcí z pětidimenzionální mříže a takto vzniknuvšímu třídimenzionálnímu kvazikrystalu a jeho vlastnostem.

12 Kapitola Základní pojmy a tvrzení V následující kapitole zadefinujeme pojmy vyskytující se v textu. Vyslovíme tvrzení, která budeme používat a v textu se na ně odkazovat.. Teorie čísel Uveďme některé číselněteoretické pojmy a tvrzení, které budeme v celé práci využívat. Věty vyslovujeme bez důkazů, ty je možné nalézt například v [6]. Definice.. Číslo η C nazveme algebraické, jestliže existuje monický polynom, tj. polynom s koeficientem u nejvyšší mocniny, s racionálními koeficienty, jehož je η kořenem, tedy existuje f Q[x], tak, že f(η = 0. Množinu všech algebraických čísel budeme označovat A. Definice.2. Buď η A. Monický polynom f Q[x] minimálního stupně, jehož je η kořenem, nazveme minimálním polynomem čísla η. Ostatní kořeny polynomu f nazýváme algebraicky sdružená čísla k číslu η. Stupněm algebraického čísla η rozumíme stupeň minimálního polynomu čísla η. Uveďme příklady algebraických čísel. Typickým příkladem je libovolné racionální číslo p q, protože je kořenem rovnice x p q = 0. Tento polynom je zároveň minimálním polynomem čísla p q racionální čísla algebraická čísla stupně. Čísla, která nejsou algebraická, jsou například π, e. a jelikož je jeho stupeň, jsou všechna n Definice.3. Buď η A algebraické číslo stupně n. Buď dále f(x = x n + a i x i Q[x] minimální polynom čísla η. Pak definujeme matici společnici M η Q n n k číslu η jako M η = a 0 a a 2... a n 2 a n 2. i=

13 Toto ztotožnění algebraických celých čísel a matic s racionálními koeficienty umožňuje mj. dokázat, že množina A je číselné podtěleso C. Matice společnice je z konstrukce taková matice, jejíž charakteristický polynom je právě polynom f(x. Zároveň je možné ukázat, že vlastní vektory zapsané do sloupců tvoří Vandermondeovu matici pro kořeny polynomu f(x. Definice.4. Číslo η C se nazývá algebraické celé číslo, jestliže existuje monický polynom g Z[x], jehož je η kořenem. Množina všech algebraických celých čísel se značí B. Je zřejmé, že veškerá algebraická celá čísla jsou algebraická čísla. Snadno také nahlédneme, že veškerá celá čísla jsou algebraická celá čísla, neboť libovolné b Z je kořenem rovnice x b = 0. Například n je pro libovolné n N, které samo není čtvercem, algebraické celé číslo stupně 2, neboť je kořenem rovnice x 2 n = 0. Dalším příkladem je tzv. zlatý řez τ, τ = ( 2 +, což je větší z kořenů rovnice x 2 x = 0. Bez důkazu uvedeme nyní větu, která formuluje nutnou a postačující podmínku pro to, aby číslo bylo algebraickým celým číslem. Věta.. Číslo η A je algebraické celé, právě když koeficienty jeho minimálního polynomu jsou celá čísla. Definice.6. Buď η R algebraické celé číslo takové, že η >. Číslo η nazveme Pisotovo (Pisotovo-Vijayaraghavanovo, pokud všechna jeho algebraicky sdružená čísla η splňují η <. Definice.7. Buď η C\R algebraické celé číslo, jehož absolutní hodnota je větší než jedna. Číslo η nazveme komplexní Pisotovo, jestliže jeho algebraicky sdružené kořeny kromě η jsou menší než jedna. Nejznámějším příkladem Pisotova čísla je již zmíněný zlatý řez τ. Jeho hodnota je přibližně τ, Hodnota druhého kořene rovnice x 2 x je τ 0, Naproti tomu například číslo n není Pisotovo pro žádné n N takové, že n / N. Definice.8. Buď η R algebraické celé číslo takové, že η >. Číslo η nazveme Salemovo, jestliže všechna jeho algebraicky sdružená čísla η splňují η a existuje alespoň jedno takové, že η =. Salemova čísla jsou předmětem výzkumu a ukazuje se, že všechna Salemova čísla jsou menší než 3 0. Dále je známé dosud nejmenší Salemovo číslo (stupně 0, tzv. Lehmerovo číslo, σ, , které je největším kořenem Lehmerova polynomu x 0 + x 9 x 7 x 6 x x 4 x 3 + x +. Nyní definujeme algebraické rozšíření celých čísel Q(α. Uvažujme α C. Potom množina Q(α := {T : T je podtěleso C, α T } je těleso. Toto lze ekvivalentně přepsat do podoby n Q(α = i=0 a iα i n j=0 b jα j : n, m N 0, a i, b j Q, n b j α j 0. j=0 3

14 Navíc platí následující věta, kterou uvádíme bez důkazu: Věta.9. Buď α A a buď n N stupeň α. Pak Q(α = { a 0 + a α + + a n α n : a i Q }. Z této věty také plyne další ekvivalentní přepsání množiny Q(α, a to následující Q(α = {g(α : g Q[x], st g < n}. Definice.0. Buď α A. Pak výše definovanou množinu Q(α nazýváme číselným tělesem. Dimenze tohoto tělesa je [Q(α : Q] ve smyslu vektorového prostoru nad Q a nazývá se stupeň číselného tělesa Q(α. Uvažujme nyní číselné těleso Q(α. Označme α i algebraická sdružená čísla k číslu α. Pak můžeme definovat zobrazení σ i : Q(α Q(α i předpisem σ i (g(α := g(α i. Toto zobrazení je isomorfismus mezi tělesy Q(α a Q(α i. Dodejme, že tělesa, pro která platí, že pro všechna i je σ i (Q(α = Q(α, se nazývají Galoisova rozšíření racionálních čísel a zobrazení σ i jsou označována jako Galoisovy automorfismy. Následující příklad číselného tělesa využijeme později, proto jej nyní rozebereme podrobněji. Definice.. Cyklotomické číselné těleso je číselné těleso Q(ξ, kde ξ = e 2πi n. Číslo ξ je kořenem tzv. n-tého cyklotomického polynomu Φ n, tj. polynomu ve tvaru Φ n (x = (x ξ k. k n, k n Stupeň tohoto polynomu je dán počtem čísel menších než n, která jsou s n nesoudělná, což vyjadřuje symbol k n. Tuto hodnotu určuje Eulerova funkce ϕ, proto tedy st Φ n = ϕ(n. Pro tyto polynomy navíc platí, že Φ d (x = x n. d n Lze o nich navíc ukázat, že veškeré cyklotomické polynomy jsou monické polynomy s celočíselnými koeficienty a jsou nad Q ireducibilní pro libovolné n N. Vidíme tedy, že číslo ξ je algebraické číslo stupně ϕ(n, a proto číselné těleso Q(ξ lze zapsat jako { } Q(ξ = a 0 + a ξ + + a ϕ(n ξ ϕ(n : a i Q. Zabývejme se případem, kdy n = p, kde p je prvočíslo. Potom totiž ϕ(p = p a číselné těleso přechází do tvaru Q(ξ = { a 0 + a ξ + + a p 2 ξ p 2 : a i Q }. Zároveň víme, že tvar p-tého cyklotomického polynomu bude mít díky prvočíselnosti p tvar p Φ p (x = (x ξ j, j= a tedy jeho sdružené kořeny budou mít tvar ξ j pro všechna j p. Galoisovy automorfismy tedy mají tvar σ j (ξ = ξ j pro všechna j p. Na závěr této sekce ještě definujme okruh algebraických celých čísel v číselném tělese. 4

15 Definice.2. Buď α A a Q(α číselné těleso. Pak množinu všech algebraických celých čísel v tělese Q(α nazýváme okruh celých čísel v Q(α a označujeme O Q(α := Q(α B. Lze ukázat, že okruh celých čísel v cyklotomickém tělese Q(ξ je roven Z [ξ], tzn. je-li ξ = e 2πi n, pak { } O Q(ξ = Z[ξ] = a 0 + a ξ + + a ϕ(n ξ ϕ(n : a i Z..2 Teorie matic V práci budeme hojně využívat některá fakta o maticích, která přesahují rámec standardního kurzu lineární algebry. Budeme je čerpat z [9]. Definice.3. Buď A čtvercová n n matice nad tělesem T. Potom funkci χ A (x = det(a xi n označujeme jako charakteristický polynom matice A. Symbolem I n rozumíme čtvercovou diagonální matici řádu n s jedničkami na diagonále. Pokud je řád z kontextu jasný, index n vynecháváme. Rovnici χ A (x = 0 nazýváme charakteristickou rovnicí matice A. Věta.4 (Hamilton, Cayley. Buď A T n n matice. Potom je A kořenem svého charakteristického polynomu, tj. χ A (A = 0. Definice.. Buď A T n n matice. Minimálním polynomem µ A (x matice A nad tělesem T rozumíme monický polynom (nad T nejnižšího stupně takový, který splňuje rovnost µ A (A = 0. Označíme-li F = {f(x : f(a = 0} množinu všech polynomů, jež A nuluje, pak minimální polynom µ A matice A je monický polynom nejmenšího stupně z množiny F. Věta.6. Buď A matice nad tělesem T. Pak minimální polynom µ A (x nad tělesem T této matice dělí libovolný polynom f(x T[x], který splňuje f(a = 0. Důkaz. Důkaz tohoto tvrzení se provede sporem. Předpokládejme tedy, že µ A (x nedělí f(x. Pak ale existuje polynom q(x a polynom r(x stupně menšího než µ A (x takové, že f(x = q(xµ A (x + r(x. Jelikož ale 0 = f(a = q(aµ A (A + r(a = r(a, tedy A musí nulovat polynom r(x, což je ale spor s minimalitou polynomu µ A (x, protože stupeň r je ostře menší než stupeň µ A. Důsledek.7. Minimální polynom dané matice dělí její charakteristický polynom nad tělesem T. Definice.8. λ-matice je taková matice, jejíž prvky jsou polynomy s koeficienty z T v proměnné λ.

16 Příkladem takové matice nad C je + λ λ 3 2i 0 i λ λ + λ 2 λ + i Pro λ-matice můžeme stejně jako pro číselné matice definovat základní operace jako výměna řádků a sloupců nebo sčítání matic. Jediný rozdíl je v operaci násobení matice skalárem. Roli skalárů zde hrají nenulové polynomy. Jelikož jsou prvky matice polynomy, není rovněž přípustné dělení nenulovým nekonstantním polynomem. Obdobně jako je u číselných matic možné provedení elementární operace reprezentovat jako pronásobení jistou elementární maticí, je toto možné i pro λ-matice. Stejně jako je možné čtvercové číselné matice pomocí elementárních operací převést do diagonálního tvaru s jedničkami nebo nulami na diagonále, je podle [9] λ-matice možné převést do tzv. standardní formy. Definice.9. Řekneme, že čtvercová λ-matice D(λ řádu n je ve standardní formě, právě když má tvar d (λ 0... D(λ = dk(λ 0, kde pro všechna i k n jsou d i (λ monické polynomy (nebo konstantně takové, že pro všechna i k platí, že d i (λ dělí d i+ (λ. Buď nyní M číselná čtvercová matice řádu n. Pak M(λ = M λi je λ-matice. Tuto matici je dle předešlé poznámky možné převést do standardní formy, kde k = n. Toto vyplývá z faktu, že matice M λi má nenulový determinant a tedy nemá lineárně závislé ani sloupce, ani řádky. Tedy standardní forma matice M(λ má tvar diag{d (λ,..., d n (λ}. Definice.20. Buď M T n n čtvercová matice řádu n a M(λ = λi M. Prvky standardní formy matice M(λ nazýváme invariantními faktory matice M. Následující věta umožňuje snadno určit minimální a charakteristický polynom zadané matice. Věta.2. Buď M T n n čtvercová matice řádu n a χ A (x, µ A (x její charakteristický, resp. minimální polynom. Buďte dále d (x,..., d n (x invariantní faktory matice M. Pak platí χ A (x = n d i (x, i= a navíc d n (x = µ A (x. Důsledek.22. Číslo λ C je kořenem minimálního polynomu matice právě tehdy, když je kořenem charakteristického polynomu téže matice. 6

17 Důkaz. Dokážeme dvojici implikací: : Tato implikace je zřejmá, neboť minimální polynom matice dělí charakteristický polynom. : Buď λ kořenem charakteristického polynomu. Ten je dle předešlé věty zapsatelný jako součin invariantních faktorů dané matice. Číslo λ musí tedy být kořenem jednoho z invariantních faktorů, označme jej d i. Jelikož je dle definice invariantních faktorů každý invariantní faktor násobkem předešlého, je dle věty výše minimální polynom matice násobkem všech invariantních faktorů dané matice. Proto je λ jeho kořenem. Důsledek.23. Jestliže je minimální polynom matice ireducibilní nad tělesem T, pak je její charakteristický polynom mocninou minimálního polynomu. Důkaz. Nechť je minimální polynom ireducibilní nad T. Dle předešlé věty musí být násobkem invariantních faktorů. Odtud již plyne, že tyto invariantní faktory jsou buď, nebo minimální polynom samotný. Proto je charakteristický polynom mocninou polynomu minimálního..3 Diskrétní množiny Definice.24. Řekneme, že množina X R n je diskrétní, jestliže pro každý bod x X existuje okolí U x R n takové, že U x X = {x}. Jinými slovy množina je diskrétní, jestliže jsou všechny její body izolované. Toto je možné si intuitivně představit tak, že ke každému bodu z X existuje otevřená koule, ve které existuje pouze tento jediný bod. Definice.2. Buď X diskrétní množina v R n. Řekneme, že množina X je delonovská, když jsou splněny následující podmínky:. Existuje r > 0 takové, že každá otevřená koule v R n o poloměru r obsahuje nejvýše jeden bod z množiny X. Tuto vlastnost nazýváme stejnoměrná diskrétnost. 2. Existuje R > 0 takové, že v každé uzavřené kouli v R n o poloměru R je obsažen alespoň jeden bod z množiny X. Tuto vlastnost nazýváme relativní hustota. V řeči výše zmíněné množiny X R n první vlastnost znamená, že existuje taková otevřená koule v R n o poloměru r, pomocí které jsme schopni každé dva body z množiny X od sebe oddělit. Supremum parametrů r ze stejnoměrné diskrétnosti lze za jistých předpokladů interpretovat jako minmální vzdálenost. Na druhou vlastnost lze nahlížet tak, že existuje taková uzavřená koule v R n o poloměru R, která jsouc umístěna do všech bodů množiny X tvoří uzavřené pokrytí R n. Poloměr R se někdy nazývá pokrývací poloměr. Definice.26. Buď X delonovská množina v R n. Pak řekneme, že. X je konečně generovaná, když je konečně generovaná abelovská grupa [X X] = span Z {x y : x, y X}. 2. X je meyerovská množina, když X X je delonovská podmnožina R n. Definice.27. Buď X delonovská množina. Definujeme rank (X jako minimální počet generátorů abelovské grupy [X] = span Z {x : x X}. 7

18 .3. Cut-and-project množiny V této sekci definujeme cut-and-project množinu a vyslovíme některá tvrzení, která se k ní vážou. Zavedeme pojmy, které budeme v práci používat, když budeme mluvit o těchto množinách. Definice.28. Mříží (ev. mřížkou v R s budeme rozumět konečně generovanou aditivní abelovskou grupu L, která je generována právě s lineárně nezávislými vektory nad R. Pro ilustraci uveďme několik příkladů mříží, se kterými se postupně budeme setkávat. Mříží v R s je například množina Z s. V R 2 je mřížkou například množina { ( ( } L = p 2 + q : p, q Z. Než definujeme korektně cut-and-project množinu, zmiňme ve zkratce dva standardní přístupy, které se pro jejich konstrukce používají. Principem cut-and-project metody jsou projekce částí mříže na direktní součet dvou podprostorů. Buď se jako mříž (v R s bere vždy Z s a volí se obecné podprostory, nebo se volí obecná mříž L a projektuje se na podprostory generované vektory standardní báze prostoru R s. My budeme používat druhý přístup. Je ale zřejmé, že obě metody dávají v principu stejné výsledky. Definice.29. Buď L R n+m mřížka. Označme dále R n = span R {e, e 2,... e n } a R m = span R {e n+, e n+2,... e n+m }. Buďte dále π : R n+m R n a π 2 : R n+m R m projektory na jednotlivé podprostory. Uspořádanou trojici (L, π, π 2 nazveme cut-and-project schématem. Řekneme, že cut-and-project schéma je nedegenerované, když je zobrazení π L prosté. Řekneme, že je ireducibilní, když je množina π 2 (L hustá v R m. Pokud nyní přidáme požadavek na množinu, ve které má ležet druhá projekce, získáme cutand-project množinu. Formálně tedy: Definice.30. Buď (L, π, π 2 nedegenerované ireducibilní cut-and-project schéma. Pak při značení stejném jako výše definujeme cut-and-project množinu Σ(Ω jako Σ(Ω := {π (x : x L, π 2 (x Ω}, (. kde Ω je omezená množina s neprázdným vnitřkem, která se nazývá okno. Dimenzí cut-and-project množiny rozumíme dimenzi prostoru R n, tj. prostoru, do kterého zobrazuje projekce π. V literatuře, např. [3], se pro množiny vytvořené pomocí okna z ireducibilního cut-andproject schematu používá často označení modelové množiny. V literatuře rovněž nepanuje shoda na definici pojmu okno. Někteří autoři, jako například Lagarias [], požadují, aby tato množina byla jen otevřená a omezená. Naproti tomu např. Cotfas [3] požaduje kompaktnost množiny Ω společně s int(ω. Moody [7] klade jedinou podmínku, a to Ω int(ω. Zmiňme také již tradiční notaci používanou pro popis kvazikrystalu, především pro přechody z prostoru R n, tedy z prostoru, kde leží kvazikrystal (někdy též fyzikální prostor, do prostoru R m, tedy prostoru, kde je umístěno okno Ω. Tento prostor se někdy označuje jako vnitřní prostor. Označíme-li L = π (L, můžeme definovat zobrazení : L R m : x x = π 2 (π L (x. 8

19 Toto zobrazení je zjevně homomorfismus aditivních grup π (L a π 2 (L. V řeči tohoto značení je pak cut-and-project množina (. vyjádřitelná jako Σ(Ω = {x L : x Ω}. Neřekneme-li jinak, budeme odteď vždy uvažovat cut-and-project množiny obsahující 0. Tento požadavek není nikterak omezující. Kdykoliv totiž cut-and-project množina X nulu neobsahuje, je možné posunout okno tak, aby v něm ležel bod 0 L, díky tomu bude bod π (0 = 0 obsažen v transformované cut-and-project množině X. Tu pak stačí opět zpětně přetransformovat. Tato vlastnost je přesněji vyjádřena v následujícím tvrzení. Tvrzení.3. Buď Σ(Ω cut-and-project množina vzniklá ze schematu (L, π, π 2. Buď dále x L. Pak Σ(Ω + π (x = Σ(Ω + π 2 (x. Důkaz. Postupně upravujeme Σ(Ω + π (x = {π (y + π (x : y L, π 2 (y Ω} = {π (y + x : y L, π 2 (y Ω} = = {π (z : z L, π 2 (z x Ω} = {π (z : z L, π 2 (z π 2 (x Ω} = = {π (z : z L, π 2 (z Ω + π 2 (x} = Σ(Ω + π 2 (x, přičemž jsme využili faktu, že pro každé x L je L x = L. Z tohoto lemmatu také můžeme vyvodit zajímavý závěr týkající se invariance kvazikrystalu vůči translační symetrii. Vidíme, že pokud by zobrazení π 2 L nebylo prosté, platilo by dle předešlého lemmatu pro všechna x L taková, že π 2 (x = 0, že Σ(Ω + π (x = Σ(Ω. Proto můžeme dokonce definovat mříž L = {x L : π 2 (x = 0}. Je zjevné, že se jedná o mříž a navíc L L. Tato mříž je tedy tvořena vektory, vůči jejíž první projekci je množina Σ(Ω translačně invariantní. Tvrzení.32. Pro všechna x L je cut-and-project množina Σ(Ω translačně invariantní vůči posunu o π (x, tedy Σ(Ω + π (x Σ(Ω. Opačnou situaci popisuje následující tvrzení. Tvrzení.33. Buď π 2 L prosté zobrazení. Pak Σ(Ω je aperiodická, tj. nemá žádnou translační symetrii. Důkaz. Budeme postupovat sporem. Nechť tedy existuje nenulové x takové, že Σ(Ω+x = Σ(Ω. Nejprve ukážeme, že x Σ(Ω. Jelikož 0 Σ(Ω, je z invariance i x Σ(Ω. Pak ale x π (L. Z prostoty zobrazení π 2 L plyne, že x Ω a x 0. Jelikož je množina Ω omezená, existuje k N takové, že (kx = kx / Ω. Pak ale bod kx / Σ(Ω, což je spor. Dále dokážeme další důležitou vlastnost cut-and-project množin. Ukážeme, že tyto množiny jsou delonovské. K důkazu věty použijeme následující lemma pocházející z knihy [7]. 9

20 Lemma.34. Buď (L, π, π 2 cut-and-project schéma. Nechť π : R n+m R n a π 2 : R n+m R m. Buď dále U R m neprázdná otevřená množina. Pak existuje K R n kompaktní množina taková, že R n+m = R n R m = L + (K U. Důkaz. Jelikož je L mřížka, tak určitě existuje kompaktní množina C taková, že L+C = R n R m. Takovou množinou může být například vícerozměrný rovnoběžnostěn, jehož hrany vycházející z jednoho vrcholu jsou generující vektory mříže L. Projekcemi π a π 2 získáme jednoznačně kompaktní množiny K := π (C, K 2 := π 2 (C. Přitom určitě platí, že C K K 2. Proto je také pravda, že R n R m = L + (K K 2. (.2 Jelikož je množina π 2 (L dle předpokladů hustá v R m, je možné vytvořit její otevřené pokrytí pomocí translací množiny U podél bodů této množiny, tj. R m = l L (π 2 (l + U. Jelikož je množina K 2 R m kompaktní, existuje její konečné podpokrytí. To znamená, že existuje F L konečná množina taková, že K 2 (π 2 (f + U. (.3 f F Položme nyní K := K π (F. Tato množina je určitě kompaktní v R n. Buď nyní x R n+m libovolný bod. Podle (.2 existuje l L tak, že x l K K 2. Zároveň z (.3 plyne, že existuje f F tak, že π 2 (x l π 2 (f + U, což je ekvivalentní s tvrzením, že π 2 (x l f U. Zároveň π (x l f = π (x l π (f K π (F = K. Proto tedy platí, že x = l + f + (x l f L + (K U. Následující věta pochází rovněž z knihy [7]. Věta.3. Při značení výše platí, že (i cut-and-project množina Σ(Ω vzniklá z cut-and-project schématu pomocí omezeného okna Ω R m, Ω int(ω, je delonovská; (ii abelovská grupa [Σ(Ω] generovaná množinou Σ(Ω splňuje [Σ(Ω] = π (L. 20

21 Důkaz. Každé z tvrzení dokážeme zvlášť: (i Abychom dokázali delonovskost množiny, je třeba ukázat, že je množina Σ(Ω relativně hustá a stejnoměrně diskrétní. Pro důkaz relativní hustoty využijeme předešlého lemmatu, kde položíme U = int(ω. Podle něj totiž existuje K R m kompaktní množina taková, že R n+m = L + (K ( int(ω. Pak pro x R n můžeme schematicky psát (x, 0 = (d, d + (k, ω, přičemž touto notací rozumíme rozklad vektoru z R n+m do R n a R m. Při tomto značení je pak d π (L, k K a ω int(ω. Z rovnosti rovněž plyne, že d = ω int(ω. Pak tedy d Σ(Ω a tudíž libovolné x R n lze rozepsat ve tvaru x = d + k Σ(Ω + K, proto R n = Σ(Ω + K, což již znamená, že množina Σ(Ω je relativně hustá v R n. Pro dokázání stejnoměrné diskrétnosti definujeme pro všechna r > 0 množinu K r := B r (Ω Ω. Tato množina je určitě kompaktní v R n+m a symetrická kolem počátku. Navíc pro dostatečně malé r platí, že K r L = {0}. Skutečně, kdyby tomu tak nebylo, tak by existoval bod x (Ω Ω, x 0 takový, že by všechny jeho vzory π2 (x L měly nulovou první projekci, což by byl spor s prostotou zobrazení π L. Pro takové r tedy platí, že jsou-li x, y Σ(Ω takové, že x y < r, je (x y, x y K r a tedy x = y. Proto (Σ(Ω Σ(Ω B r = {0}. Toto již ale znamená, že množina Σ(Ω je stejnoměrně diskrétní, a tudíž je delonovská. (ii Předpokládejme, že Ω generuje prostor R m jako grupu, tedy [Ω] = R m. Jelikož je množina (Σ(Ω = π 2 (L Ω hustá v Ω, je množina [Σ(Ω] hustá v R m. Buď nyní x π (L libovolný bod. Pak množina x+[σ(ω] je coset podgrupy [Σ(Ω] v π (L a dává vzniknout husté podmnožině x + [Σ(Ω] v R m (jedná se jen o posunutí množiny [Σ(Ω]. Jelikož je tato množina hustá, určitě obsahuje prvek x + u Ω. Pak ale x + u π (L + [Σ(Ω] π (L. Zároveň ale z x + u Ω plyne, že x + u Σ(Ω a tedy x [Σ(Ω]. Vzhledem k libovůli x π (L pak dostáváme π (L = [Σ(Ω]. Důsledek.36. Cut-and-project množina Σ(Ω je konečně generovaná. Důkaz. Plyne ihned ze druhého bodu předešlé věty. Následující věta, jejíž důkaz lze najít v článku Lagariase [], dává do souvislosti pojmy meyerovská množina, delonovská množina, konečně generovaná delonovská množina a cut-andproject množina. 2

22 Věta.37. Následující výroky o diskrétní množině X v R n jsou ekvivalentní: (i X je meyerovská; (ii X je delonovská a navíc existuje konečná množina F taková, že X X X + F ; (iii X je konečně generovaná delonovská množina a existuje nedegenerovaná cut-and-project množina X dimenze nejvýše rank (X taková, že X X. Důsledek.38. Speciálně každá cut-and-project množina Σ(Ω je meyerovská. Důkaz. Z důsledku.36 plyne, že dimenze Σ(Ω je konečná. Volbou X = Σ(Ω ve třetím bodě věty.37 dostáváme již platnost tvrzení..3.2 D cut-and-project množiny vzniklé projekcí 2D mříže V této části ukážeme, jak je možné zkonstruovat jednorozměrný kvazikrystal, tedy jednodimenzionální cut-and-project množinu. Podrobně rozebereme konstrukci a dokážeme jedno lemma, které později budeme využívat při konstrukcích vícedimenzionálních kvazikrystalů. Provedeme projekci z mříže L v R 2 na prostor R. Uvažujme proto mřížku L R 2 definovanou následujícím způsobem { ( ( } η L := p + q : p, q Z, ε kde ε a η jsou zatím nedefinovaná čísla. Volba nejednotkové první složky ve druhém vektoru bude opodstatněna na následujících řádcích. Uvažujme následující cut-and-project schéma (L, π, π 2 : L R 2 π π 2 R R Zobrazení π a π 2 jsou přitom projektory na osy x a y. Klademe na ně následující požadavky:. π L je prosté zobrazení; 2. π 2 (L = R. Tyto požadavky už vynucují jinou než racionální volbu čísel η a ε. Nejprve ale dokážeme jedno lemma, na které se v průběhu textu budeme vícekrát odkazovat. Lemma.39. Množina Z + ξz pro ξ R\Q je hustá v R. Důkaz. Je zřejmé, že množina Z + ξz je uzavřená vůči sčítání a odčítání. Každé číslo z množiny b Z + ξz je možné rozepsat do tvaru a + x, kde a Z a x (0,. Stačí totiž volit a = b a x = b b. Stačí tedy ukázat, že množina {mξ mξ : m N} (.4 je hustá v (0,. 22

23 Proto je třeba dokázat, že ( α (0, ( ε > 0 ( m N ( α mξ + mξ < ε. Zvolme ε > 0 pevné. Pak existuje k N tak, že ε k. Pomocí tohoto k můžeme rozdělit interval (0, na k podintervalů ( 0, ( k, k, 2 ( k,..., k k,. Uvažujme nyní prvních k + prvků množiny (.4: ξ ξ, 2ξ 2ξ,..., kξ kξ, (k + ξ (k + ξ. Podle Dirichletova principu pak existují čísla i, j taková, že 0 < j < i k + tak, že iξ iξ jξ + jξ < k ε. Odtud plyne, že (i jξ + ( jξ iξ < k ε. Protože je množina Z+ξZ uzavřená na sčítání a odčítání, vidíme, že x := (i jξ+( jξ iξ Z + ξz. Z uzavřenosti na násobení celým číslem máme xz Z + ξz. Tímto jsme pokryli celé R množinou bodů, které jsou od sebe vzdáleny o ε. Nyní pro libovolné číslo α (0, a libovolné δ > 0 najdu dle předešlého číslo x Z+ξZ takové, že x < δ. Pak stačí najít číslo n Z takové, že nx α < (n + x. Tedy číslo α leží mezi dvěma body množiny Z + ξz, jejichž vzdálenost je menší než ε. Tímto jsme tedy ukázali, že množina (.4 je hustá v (0, a z úvahy o rozkladu na počátku důkazu tudíž plyne, že je v R hustá celá množina Z + ξz. { ( ( } η Věta.40. Cut-and-project schéma (L, π, π 2 pro L = p + q : p, q Z, ε π : R R a π : R R je (i nedegenerované, právě když η R\Q; (ii ireducibilní, právě když ε R\Q. Důkaz. Nejprve ukážeme nedegenerovanost. Budeme postupovat sporem. Kdyby totiž bylo η Q, tak bychom jej mohli napsat jako η = r s, kde r Z, s N. Pak π (L = { p + q r s : p, q Z}. Volbou p = r a q = s dostaneme nulu. Toto je ale spor s prostotou zobrazení π L, protože jsme našli nenulovou kombinaci bodů z mříže dávající nulovou projekci. Na druhou stranu, kdyby zobrazení π L nebylo prosté, tak existují čísla p, q Z různá od nuly taková, že p + ηq = 0. Pak ale odtud plyne, že η = p q Q, což je opět spor. Nyní ukážeme, že když je množina pε + q : p, q Z hustá v R, tak pak je ε R\Q. Budeme opět postupovat sporem. Předpokládejme, že ε = m n, kde m Z, n N. Pak pro všechna x, y π 2 (L je x y n. Tedy množina π 2(L je diskrétní. Obrácenou implikaci jsme dokázali v předešlém lemmatu. Tímto jsme tedy dokázali, že pro volbu η, ε R\Q je cut-and-project schéma (L, π, π 2 nedegenerované a ireducibilní. Nyní uvažujme množinu Ω R takovou, že int(ω. Pro tuto množinu definujeme kvazikrystal Σ(Ω: Σ(Ω = {p + qη : pε + q Ω, p, q Z}. Tímto jsme zkonstruovali nejjednodušší příklad jednodimenzionálního kvazikrystalu. 23

24 Tvrzení.4. Nechť η, ε R\Q a buď dále Ω R taková, že int(ω. Pak množina Σ(Ω = {p + qη : pε + q Ω, p, q Z} je nedegenerovaná a ireducibilní cut-and-project množina..4 Geometrie pravidelného pětiúhelníku V následující sekci odvodíme některé geometrické vlastnosti pravidelného pětiúhelníku. Pro potřeby následujícího textu nyní rozebereme vlastnosti kořenů polynomů x a x 4 + x 3 + x 2 + x +. Kořeny obou z nich leží na jednotkové kružnici, tedy formují pravidelný pětiúhelník. Označme kořeny prvního z polynomů λ = e i2π, λ 2 = e i8π, λ 3 = e i4π, λ 4 = e i6π, λ =. Kořeny druhého polynomu jsou díky tomu, že x 4 +x 3 +x 2 +x+ = x x, rovny λ, λ 2, λ 3, λ 4. Platí rovněž, že Označíme-li ω = e i2π, pak můžeme kořeny vyjádřit jako λ = λ 2, λ 3 = λ 4. (. λ = ω, λ 2 = ω 4, λ 3 = ω 2, λ 4 = ω 3, λ = = ω. Tohoto značení budeme v hojné míře využívat. určíme vztahy mezi spojnicemi středu pravidelného pětiúhelníku s jeho vrcholy. Proto využijeme následující obrázek: ω ω 2 ω 2 + ω 3 π 2π ω + ω 4 ω 3 ω 4 24

25 Obrázek ilustruje, jak dochází ke sčítání dvojic vektorů ω, ω 4 a ω 2, ω 3. Jelikož mají stejnou (jednotkovou délku, leží jejich součet na ose úhlu jimi sevřeného. Proto tedy ( ω + ω 4 = 2 cos 2π = τ. Obdobně toto provedeme pro jinou dvojici spojnic, které vzájemně svírají úhel 4π. Ve druhém případě už jen využijeme předešlého výsledku, tj. vyjdeme z faktu, že ω + ω 3 = τ ω2, + ω 2 = τ ω. Vyjádřením ω ze druhé rovnice a dosazením do první získáme τω = ω 2 + ω 3. Díky tomu také získáváme vztah cos π = τ 2. V předešlé části jsme využili toho, že cos 2π = 2π. Toto odvodíme pomocí poměrů strany a uhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku. Pro toto odvození vyjdeme z pentagramu: A a E F b G B J H I D C Abychom dokázali odvodit poměr mezi stranami a a b, je třeba určit délku úsečky JH. Je zřejmé, že přímky F G a JH jsou rovnoběžné. Proto JHG = BGH a JGH = BHG. Jelikož trojúhelníky JHG a BHG jsou rovnoramenné, mají společnou základnu a ramena se základnou svírají stejné úhly, jsou tyto trojúhelníky stejné, resp. jen vůči sobě navzájem pootočené. Proto JH = GB = a. Je rovněž vidět, že trojúhelníky AF G a AJH jsou podobné, protože jejich ramena leží na týchž polopřímkách a jejich základny jsou rovnoběžné. Proto platí, že a b = a + b a 2 ( a b 2 = a b +.

26 Ze dvou řešení této rovnice vybíráme kladné, což je číslo, které je tradičně nazýváno zlatý řez, tedy a b = + = τ. 2 Díky tomuto můžeme snadno určit například hodnotu cos 2π. Stačí totiž vyjít například z trojúhelníku AF G, resp. z trojúhelníku, který z něj vznikne svislým přepůlením. Protože je AF G = 2π, je díky trigonometrickým identitám platným v pravoúhlém trojúhelníku cos 2π = b 2a = 2τ.. Klasická konstrukce kvazikrystalu s pětičetnou symetrií Klasický způsob konstrukce cut-and-project množin vychází z teorie grup reflexí. Grupa reflexí je grupa transformací, která je určena pomocí jistých zobrazení, která se nazývají reflexe, česky též zrcadlení. Několik základních pojmů nyní ve stručnosti vysvětlíme a ukážeme na příkladech. Definice.42. Buď α R n vektor. Reflexí podle nadroviny určené vektorem α rozumíme zobrazení r α : R n R n, které působí na libovolný vektor x R n následovně: r α (x = x 2 x, α α, (.6 α, α přičemž x, α značí skalární součin vektorů x, α. Nadrovinu, podle které zrcadlíme, nazýváme zrcadlo. Všimněme si zajímavého faktu, a to, že rα 2 = id R n. Toto je jedna z typických vlastností reflexe. Dále platí, že reflexe je izometrií. Skutečně, zvolme x libovolné, pak: r α (x 2 2 x, α 2 x, α = x α, x α, α α, α α x, α 2 x, α 2 = x, x 4 +4 α, α α, α 2 α, α = x, x = x2. Ilustrujme nyní chování zrcadlení v rovině. Ukážeme pro názornost, jak se zrcadlí vektor ( podle zrcadla určeného vektorem α = ( 0, tedy podle osy y. Dosazením získáme ( r α = ( 2 ( 0 = Toto přesně odpovídá geometrické představě, jakou o zrcadlení podle osy y máme. Grupy reflexí se velmi snadno zadávají pomocí tzv. Dynkinových (Dynkinových-Coxeterových diagramů. Jedná se o grafy, jejichž vrcholy představují normály jednotlivých zrcadel a hrany úhel natočení mezi nimi. Jestliže nejsou dva vrcholy grafu v hraně, znamená to, že jim příslušná zrcadla jsou na sebe kolmá. Naopak, jsou-li spojena hranou s hodnotou k N, pak tato zrcadla π svírají úhel k. Je zvykem, že pro k = 3 se tato hodnota nepíše, neboť se jedná o hodnotu nejčastěji se vyskytující. Ilustrujme tento objekt na následujícím příkladě. (. 26

27 Grupě A 2 odpovídá Dynkinův graf α α 2 A 2 V R 2 si tuto grupu reflexí můžeme představit jako veškeré možné transformace, které získáme skládáním dvou zrcadlení, přičemž normály těchto zrcadel mezi sebou svírají úhel π 3. Zvolme pro určitost zrcadla, z nichž jedno bude s osou x svírat úhel π 6 a druhé volme ve směru osy y. Uvažujme nyní mřížku ( ( cos 2π 3 L = a + b, kde a, b Z. 0 sin 2π 3 Tato mřížka je invariantní ( vůči daným( reflexím a má šestičetnou symetrii. Hledali jsme ji tak, cos 2π 3 aby její vektory α = a α 2 = byly normálami daných zrcadel. Proto vektory 0 sin 2π 3 α, α 2 navíc splňují následující rovnice r α = α, r α 2 = α + α 2, r 2 α = α + α 2, r 2 α 2 = α 2, kde jsme do definičních vztahů (.6 pro akci zrcadlení použili skalární součiny dané Grammovou maticí příslušející grupě A 2, tedy ( 2 G A2. 2 Přistupme již nyní k samotné konstrukci cut-and-project množiny, kterou provedeme dle článku []. Pro získání proto vyjdeme z grupy reflexí A 4, kterou lze popsat Dynkinovým diagramem A 4 α α 2 α 3 α 4 Tato grupa je generována čtyřmi zrcadly r,..., r 4, jejichž normály buď svírají úhel π 3 nebo jsou na sebe kolmá. Grammova matice těchto vektorů má (po přenásobení faktorem 2 tvar: G A4 = ( Obdobně jako v ilustrativním případě budeme konstruovat mříž { 4 } L = a i α i : a i Z, Toto značení vychází z teorie Lieových algeber. i= 27

28 která bude generována čtyřmi lineárně nezávislými vektory α i v R 4, které splňují následující vztahy: r i α i = α i, r i α i± = α i + α i±, r i α j = α j pro j i >. (.8 Tyto vztahy odvodíme z tvaru (.7 Grammovy matice G A4. Oproti nim totiž navíc musíme předpokládat, že některé vektory jsou na sebe kolmé. Nyní provedeme projekci π do prostoru R 2. I toto je možné schematicky vyjádřit pomocí Dynkinova grafu: α 2 α 4 τv v π α α 3 u τu Zde klademe požadavek na volbu projekce π. Projekce vektorů α i musejí ležet ve dvou různých směrech (u, v a lišit se o násobek skalárem τ. Na vektory u a v zatím neklademe jiné podmínky. Ty přirozeně vyplynou z podmínek kladených na cut-and-project množiny. Stejně tak obdržíme číslo τ. První z požadavků se týkal prostoty projekce π zúžené na mříž. Tedy se jedná o bijekci mezi množinami L a π (L. Proto můžeme jednoznačně definovat dvojici zobrazení R,R 2, která budou působit jako zrcadlení (vizte [] na prvky projekce π (L. R : π (L π (L : x π r r 3 π x, R 2 : π (L π (L : x π r 2 r 4 π x. Ukážeme, že se obě zobrazení chovají skutečně jako zrcadla kolmá na vektory u, v: R (u = π r r 3 π u = π r r 3 α 3 = π r α 3 = u, R 2 (v = π r 2 r 4 π v = π r 2 r 4 α 4 = π r 2 α 4 = v, přičemž jsme využili vztahy (.8. Obě tato zobrazení jsou díky linearitě zobrazení π, r i lineární. Pomocí R 2 určíme konstantu τ. Zkoumejme proto působení zobrazení R 2 na vektory u a τu: R 2 (u =π r 2 r 4 π (u = π r 2 r 4 (α = π (α + α 2 = u + τv, R 2 (τu =π r 2 r 4 π (τu = π r 2 r 4 (α 3 = π (α 2 + α 3 + α 4 = τv + τu + v. Jelikož je zobrazení R 2 lineární, musí platit, že R 2 (τu = τr 2 (u. Proto dostáváme rovnost τu + (τ + v = τ(u + τv = τu + τ 2 v. Jelikož jsou vektory u a v lineárně nezávislé v R 2, musí konstanta τ vyhovovat rovnici τ + = τ 2. Za konstantu τ tedy volme větší z kořenů rovnice x 2 x = 0. O této konstantě bude ještě řeč později. Nyní již tedy víme, jak vypadá projekce π mříže L na prostor R 2 : π (L = {(a + bτu + (c + dτv : a, b, c, d Z}. 28

29 Určeme nyní další vlastnosti vektorů u, v. Vyjdeme z pozorování, že zobrazení R R 2 je izometrie řádu. Že se jedná o izometrii plyne z tvaru zobrazení samotného - jedná se totiž o skládání reflexí. Iterací působení tohoto zobrazení na vektor u získáme R R 2 (u = π r r 2 r 3 r 4 π (u = π r r 2 r 3 r 4 (α = π (α 2 + α 3 = τv + τu, (R R 2 2 (u = π (r r 2 r 3 r 4 2 π (u = π (r r 2 r 3 r 4 2 (α = π (α 4 = v, (R R 2 3 (u = π (r r 2 r 3 r 4 3 π (u = π (r r 2 r 3 r 4 3 (α = π ( α 3 α 4 = τu v, (R R 2 4 (u = π (r r 2 r 3 r 4 4 π (u = π (r r 2 r 3 r 4 4 (α = π ( α α 2 = u τv. Proto platí, že u = τv + τu = v = τu + v = u + τv. Z rovnosti v 2 = τu + v 2 určíme úhel mezi vektory u a v: τu + v 2 = τu + v, τu + v = τ 2 u, u + 2τ u, v + v, v. Porovnáním s v 2 dostáváme výsledek u, v = τ 2 u2 = cos 4π uv, přičemž jsme využili opět rovnosti u = v. Již víme, že vektory u, v jsou stejně dlouhé a svírají úhel 4π, čímž jsme určili jednu z projekcí. Nyní nám zbývá určit druhou projekci π 2. K její definici využijeme druhého kořene rovnice x 2 x = 0, označme jej τ. Pak projekci π 2 můžeme opět definovat pomocí Dynkinova diagramu následovně: α 2 α 4 τ v v π 2 α α 3 u τ u Analogickým výpočtem jako v předešlé části se ukáže, že vektory u, v jsou stejně dlouhé a že svírají úhel 2π. Množina π 2 (L = { (a + τ cu + (d + τ bv : a, b, c, d Z }, která touto projekcí vznikne, je hustá v R 2. Toto vyplývá přímo z lemmatu.39 a z lineární nezávislosti vektorů u, v. Buď nyní (a, b, c, d Z 4 libovolný vektor mříže L zapsaný pomocí jeho souřadnic v bázi tvořené vektory α i. Pak π (a, b, c, d = (a + τcu + (d + τbv, π 2 (a, b, c, d = (a + τ cu + (d + τ bv. Proto cut-and-project množina pro okno Ω má v tomto případě tvar Σ(Ω = { (a + τcu + (d + τbv : a, b, c, d Z, (a + τ cu + (d + τ bv Ω }. (.9 Coxeterovy grupy byly použity i v článku [8] při konstrukci kvazikrystalů v dimenzi 3 a 4. Zároveň je tam předveden i algebraický přístup používající jistý podokruh v tělese kvaternionů. 29

30 Kapitola 2 Soběpodobnost kvazikrystalu V této kapitole nejprve na jednodimenzionálním případě demonstrujeme pojem soběpodobnosti kvazikrystalu a následně vyslovíme a dokážeme větu (dle článku [], která nám umožní dát do souvislosti transformace cut-and-project množiny s transformaci mříže. Poznamenejme, že pojem cut-and-project množiny a kvazikrystalu nám bude odteď splývat. V literatuře navíc neexistuje jednotná definice kvazikrystalu (z matematického pohledu. Definice 2.. Soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω R n rozumíme afinní zobrazení S : R n R n takové, že S(Σ(Ω Σ(Ω. Uvažujme nyní obecný tvar zobrazení S na kvazikrystalu Σ(Ω R n, tedy S(x = Ax + δ, kde x Σ(Ω R n, A R n n a δ R n. Jelikož platí, že S(Σ(Ω Σ(Ω a jelikož předpokládáme, že 0 Σ(Ω, platí, že S(0 = A0 + δ Σ(Ω π (L. Proto tedy δ Σ(Ω π (L. V práci se zaměříme na hledání soběpodobností bez translace. Existují ovšem ryze afinní soběpodobnosti jako například tzv. kvazikrystalové sčítání, které je soběpodobností na kvazikrystalech. Tato operace je podrobně popsána v článku [2] pro kvazikrystaly s pětičetnou symetrií. Tato binární operace působí na dvojici vektorů x, y Σ(Ω následovně: x y := τ 2 x τy. Je možné ukázat, že Σ(Ω je uzavřeno na tuto operaci a další její zajímavé vlastnosti. 2. Jednodimenzionální kvazikrystal se soběpodobností Nyní uvažujme zobrazení S : Σ(Ω Σ(Ω, které je soběpodobností kvazikrystalu Σ(Ω, tzn. S(Σ(Ω Σ(Ω. Takové zobrazení má pro jednodimenzionální kvazikrystal podobu lineární transformace, tedy pro libovolné x Σ(Ω má tvar S(x = Ax, kde A(x = λx a platí, že λ R a λ >. Pokud dochází k transformaci kvazikrystalu, dochází rovněž k transformaci mřížky, ze které projektujeme. Z tohoto důvodu je třeba předpokládat, že se i body množiny Ω transformují. Označme tedy C zobrazení na mřížce L, které bude reprezentovat naše zobrazení S a ponese v sobě rovněž informaci o transformaci druhé složky v okně. 30

31 Matice zobrazení C ve standardní bázi E má tvar: ( λ 0 C = 0 λ. (2. Zároveň víme, že se jedná o zobrazení, které (( transformuje ( mřížku do sebe samé, tj. C(L L. η Jelikož souřadnice bodů mříže v bázi Y =, jsou celočíselné, musejí být rovněž ε matice zobrazení C v těchto souřadnicích celočíselná, tj. ( Y C Y a b = Z 2 2. c d Převedeme-li tuhle matici do báze E, získáme porovnáním s maticí výše vyjádření parametrů λ, λ v závislosti na konstantách ε, η: C = Y I E Y C Y E I Y = ( ( ( η a b η = εη ε c d ε = ( a + cη ε(b + dη b + dη η(a + cη. (2.2 εη c + aε ε(d + bε d + bε η(c + aε Porovnáním nediagonálních prvků matic (2. a (2.2 obdržíme podmínky na čísla ε, η: 0 = b + dη η(a + cη = cη 2 + (d aη + b, (2.3 0 = c + aε ε(d + bε = bε 2 + (a dε + c. (2.4 Vidíme, že η a ε jsou kořeny navzájem reciprokých polynomů, tudíž η a ε jsou sobě převrácenými hodnotami. To znamená, že ε { η, η }. Zároveň ale nemůže být η = ε, protože jinak by mříž L byla generována dvěma lineárně závislými vektory. Z tohoto důvodu musí nutně být η = ε. Díky tomuto poznatku můžeme přepsat podobu zkoumaného kvazikrystalu do tvaru Σ(Ω = { p + qη : p + qη η Ω, p, q Z }. (2. Poznamenejme ještě fakt, že pokud rovnice (2.3 a (2.4 vynásobíme koeficientem c, resp. b vidíme odtud, že čísla cη a bε jsou algebraická celá čísla, protože jsou kořeny monických polynomů s celočíselnými koeficienty. 0 = (cη 2 + (d acη + cb, 0 = (bε 2 + (a dbε + cb. Dále porovnáním diagonálních prvků matice (2. a (2.2 získáme rovněž vyjádření koeficientů λ, λ, které upravíme pomocí vztahů (2.3 a (2.4: a + cη ε(b + dη a + cη εη(a + cη λ = = = a + cη, εη εη (2.6 λ d + bε η(c + aε d + bε ηε(d + bε = = = d + bε. εη εη (2.7 Ukázali jsme, že cη, bε jsou algebraická celá čísla a že koeficienty λ Z[cη], λ Z[bε]. Proto jsou i λ a λ algebraická celá čísla. Zkoumejme zvlášť případ, kdy λ =. Pak totiž z (2.7 plyne, že b = 0 a d =. Ze vztahu (2.4 dále plyne, že c = 0 a a =, tudíž C = ( 0 0. Obdobný výsledek (C = ( 0 0 dostáváme i pro volbu λ =. 3

32 Tvrzení 2.2. Uvažujme cut-and-project schéma (L, π, π 2 z předchozích úvah a středově symetrické okno Ω. Je-li A soběpodobnost kvazikrystalu Σ(Ω, která pro všechna x Σ(Ω působí následovně: Ax = λx, pak buď λ = ±, nebo λ nebo λ je kvadratické Pisotovo číslo. 2.2 Škálovací symetrie kvazikrystalu Následující věta pochází z článku [], kde je dokázána v plné obecnosti pro konečně generované delonovské množiny, speciálně část (i pro libovolné konečně generované množiny a část (ii pro meyerovské množiny. Podle důsledku.38 je cut-and-project množina meyerovská. Důkaz věty, který zde předvedeme, je uzpůsobený pro náš případ. Věta 2.3. Buď Σ(Ω n-dimenzionální kvazikrystal, rank (Σ(Ω = s, takový, že existuje λ R, λ >, číslo takové, že λσ(ω Σ(Ω. Pak platí (i Číslo λ je algebraické celé číslo a navíc stupeň λ dělí rank (Σ(Ω, tj. stupeň λ dělí s; (ii Číslo λ je Pisotovo nebo Salemovo číslo. Důkaz. Pro přehlednost označme m = s n. Abelovská aditivní grupa [Σ(Ω] je konečně generována s vektory v (, v (2,..., v (s. Ty jsou díky ireducibilitě a nedegenerovanosti cut-and-project množiny Σ(Ω lineárně nezávislé nad Q. Podle věty.3 platí, že [Σ(Ω] = π (L. Proto je-li L = {l, l 2,..., l s }, tak pak v (i = π (l i. (i Jelikož dle předpokladu platí, že λσ(ω Σ(Ω, platí rovněž λ [Σ(Ω] [Σ(Ω]. Toto můžeme chápat jako akci nějakého zobrazení λ na abelovskou grupu [Σ(Ω]. Definujeme-li matici V R s n jako matici vytvořenou ze složek vektorů v (i zapsaných do řádků, tj. (V ij = v (i j, můžeme inkluzi λ [Σ(Ω] [Σ(Ω] převést do řeči matic λv = MV. (2.8 Matice M je celočíselná matice s s, protože z inkluze λσ(ω Σ(Ω plyne, že zobrazuje prvek kvazikrystalu na prvek kvazikrystalu a tedy toto platí i pro množinu [Σ(Ω]. Jelikož jsou ale tyto prvky jen ortogonálními projekcemi prvků z mříže, která je abelovskou aditivní grupou, tj. souřadnice bodů v mříži jsou celá čísla, musí být obraz prvku při pronásobení číslem λ rovněž nějakou projekcí bodu z mříže, tedy prvku s celočíselnými souřadnicemi. Označme f(x = det(xi s M Z [x]. Toto je monický polynom stupně s s celočíselnými koeficienty. Jelikož ale f(λ = 0 (toto plyne z konstrukce, neboť dle (2.8 je (λi s MV = 0, je zřejmé, že číslo λ je algebraické celé číslo stupně nejvýše s. Označme tedy stupeň čísla λ jako d. Nyní ukážeme, že d dělí s. Proto předpokládejme, že f min (x je celočíselný monický polynom minimálního stupně (tedy d, jehož je λ kořenem. Označme f min (x = x d + 32 d a k x d k. (2.9 k=

33 Platí, že λ k V = M k V. Skutečně, postupujeme-li matematickou indukcí, pro j = máme z (2.8 λv = MV. Nyní proveďme indukční krok od k k + : λ k+ V = λ(λ k V = λ(m k V = M k (λv = M k (MV = M k+ V. (2.0 Dosadíme-li nyní tento vztah do rovnice 2.9, získáme ( ( d d f min (MV = M d + a k M d k V = λ d + a k λ d k V = f min (λv = O. (2. k= Že je výsledkem nulová matice O, plyne z faktu, že f min (λ = 0. Všimněme si, že protože je matice M celočíselná, je taky matice f min (M celočíselná (jedná se totiž o součet celočíselných násobků součinů celočíselných matic. Navíc podle (2. pro všechna i s platí, že s f min (M ik v (k = 0. k= Toto je ale lineární kombinace vektorů v (k dávající nulový vektor. Jelikož víme, že matice f min (M je celočíselná a víme rovněž, že vektory v (k jsou lineárně nezávislé nad Q, plyne odtud, že koeficienty této lineární kombinace jsou 0 a tedy libovolný i-tý řádek matice f(m je nulový. Tudíž celá matice f min (M je nulová matice. Tímto jsme ukázali, že matice M nuluje polynom f min (x. Jelikož je tento polynom ireducibilní nad Q a monický, implikuje to, že se musí jednat o minimální polynom matice M. Z důsledku (.23 plyne, že charakteristický polynom matice M je mocninou minimálního polynomu. Proto existuje k N takové, že d k = s. Tedy stupeň d čísla λ dělí počet s generátorů grupy [Σ(Ω]. Navíc dimenze kvazikrystalu Σ(Ω splňuje n = s d. (ii Díky části (i víme, že minimální polynom f min (x matice M je ireducibilní nad Q a λ je jeho kořenem. Označíme-li λ = λ, λ 2,..., λ d kořeny minimálního polynomu f min, lze jej zapsat v následující podobě: k= d d f min (x = (x λ i = x d + a k x d k, přičemž λ i i= k= jsou různé. Matici M je proto možné diagonalizovat nad C. Odtud plyne, že je možné provést rozklad prostoru C s na direktní součet podprostorů příslušných různým vlastním číslům. Tedy C s = d V j, (2.2 j= přičemž V j je vlastní podprostor příslušný vlastnímu číslu λ j. Jeho dimenze je dim V j = s d = n. Je zřejmé, že pro všechna j d a pro libovolné w V j platí, že Mw = λ j w. V první části jsme rovněž použili matici V představující složky projekcí v (i = π (l i bázových vektorů l, l 2,... l s mříže L zapsané do řádků. Ty se transformovaly pouze přenásobením maticí M. Dle pravidel pro násobení matice maticí je vidět, že se na tomto násobení podílí pouze prvních n řádků matice M. Pomocí stejné matice se ale musejí 33