Obsah. Matematika. Obsah. Ljapunovova metoda. Volba LF

Transkript

1 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 1/27

2 Obsah Obsah Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 2/27

3 Obsah přednášky matematický aparát volba Ljapunovovy funkce Obsah Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 3/27

4 Obsah Matematický aparát k výkladu Ljapunovovy funkce Vlastní čísla Definitnost Kvadratická forma Sylvestrovo kritérium Příklad definitnosti Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 4/27

5 Vlastní čísla matice AX=λX pokud existujex R n 0 X je vlastní vektor maticea skalár λ je vlastní číslo maticea úpravou rovnice dostaneme(a λi)x=0 podle Cramerova pravidla existuje nenulové řešení jen když det(a λi)=0 Obsah Vlastní čísla Definitnost Kvadratická forma Sylvestrovo kritérium Příklad definitnosti charakteristický polynom det(a λi) vlastní čísla λ vypočteme jako kořeny charakteristického polynomu Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 5/27

6 Definitnost funkce skalární funkce f(x) je pozitivně definitní v oblasti S, pokud x S x 0 f(x) >0 f(0) 0 skalární funkce f(x) je pozitivně semidefinitní v oblasti S, pokud x S f(x) 0 skalární funkce f(x) je negativně definitní v oblasti S, pokud x S x 0 f(x) <0 f(0) 0 skalární funkce f(x) je negativně semidefinitní v oblasti S, pokud x S f(x) 0 skalární funkce f(x) je indefinitní v oblasti S, pokud mění v oblasti S znaménko Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 6/27

7 Definitnost kvadratické formy kvadratická forma Q(x)=x T Ax= x;ax A=A T lze dokázat následující věty kvadratická forma Q(x) je pozitivně definitní, právě když jsou všechna vlastní čísla matice A kladná. Matice A je pak pozitivně definitní. kvadratická forma Q(x) je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechna vlastní čísla matice A nezáporná. Matice A je pak pozitivně semidefinitní. kvadratická forma Q(x) je negativně definitní, právě když jsou všechna vlastní čísla matice A záporná. Matice A je pak negativně definitní. kvadratická forma Q(x) je negativně semidefinitní, právě když jsou všechna vlastní čísla matice A nekladná. Matice A je pak negativně semidefinitní. Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 7/27

8 Sylvestrovo kritérium pro určení definitnosti kvadratické formy není nutné počítat vlastní čísla matice kvadratická forma s maticía=[a ij ] i,j=1,...,n je pozitivně definitní právě když k=1,2,...,n det([a ij ] 1 i,j k ) >0 je pozitivně semidefinitní právě když k=1,2,...,n det([a ij ] 1 i,j k ) 0 je negativně definitní právě když k=1,2,...,n ( 1) k det([a ij ] 1 i,j k ) >0 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 8/27

9 Příklad definitnosti V(x)=(x 1 + x 2 ) 2 + x 2 3;n=3je pozitivně semidefinitní, protože je pozitivní všude vyjma x 1 = x 2 = x 3 =0a x 1 = x 2 ;x 3 =0, kdy je nulová V(x)=x 2 1+ x 2 2;n=2je pozitivně definitní, protože je pozitivní všude vyjma bodu 0, kdy je nulová V(x)=x 2 1+ x 2 2;n=3je pozitivně semidefinitní, protože je pozitivní všude vyjma bodu x 1 = x 2 =0ax 3 je libovolné, kdy je nulová V(x)= n n q ij x i x j ;q ij = q ji je kvadratická forma, kterou j=1 i=1 můžeme vyjádřit jako skalární součin x;qx, kdeqje matice koeficientů q ij. Podle Sylvestrova teorému je tato funkce pozitivně definitní tehdy a jen tehdy, když všechny hlavní subdeterminanty matice Q jsou větší než 0 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 9/27

10 Obsah ověření stability Definice Ljapunovovy funkce Teorémy o stabilitě Příklad Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 10/27

11 Definice Ljapunovovy funkce uvažujeme neřízený t-invariantní systém dx =f(x) předpokládáme, že systém má jediný singulární bod v počátkuf(0)=0 skalární funkce stavových proměnných V(x) časová derivace funkce V(x) W(x)= dv(x) = V dx 1 x 1 + V dx 2 V dx n x 2 x n Obsah Definice Ljapunovovy funkce Teorémy o stabilitě Příklad W(x)=(gradV(x)) T f(x) Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 11/27

12 Definice Ljapunovovy funkce funkce je taková skalární funkce V(x), která splňuje následující podmínky: 1. V(x) je spojitá a má spojité první parciální derivace v dané oblasti Ω definované v okolí počátku souřadnic vztahem x < a; a >0 2. V(x) je v oblastiωpozitivně definitní 3. W(x) je v oblastiωnegativně definitní případně semidefinitní Obsah Definice Ljapunovovy funkce Teorémy o stabilitě Příklad Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 12/27

13 Teorémy o stabilitě Teorém o lokální stabilitě Jestliže může být pro systém nalezena taková funkce, u které je W(x) negativně semidefinitní, pak je počátek stavového prostoru lokálně stabilní. Teorém o asymptotické stabilitě Jestliže může být pro systém nalezena taková funkce, u které je W(x) negativně definitní, pak je počátek stavového prostoru lokálně asymptoticky stabilní. Teorém o globální asymptotické stabilitě Jestliže může být pro systém nalezena taková funkce, u které je oblastω=r n (celý stavový prostor) a V(x) pro x a W(x) je negativně definitní, pak je počátek stavového prostoru globálně asymptoticky stabilní. Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 13/27

14 Příklad lokální stability b(y) m y diferenciální rovnice d2 y 2+ b stavové rovnice dx 1 = x 2 ( ) dy + k(y)=0 dx 2 = k(x 1) b(x 2 ) předpokládáme x 1 k(x 1 ) >0ax 2 b(x 2 ) >0pro x 1 0ax 2 0 singulární bod x 1 = x 2 =0 chceme vyšetřit stabilitu Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 14/27

15 Příklad lokální stability jako kandidáta na Ljapunovovu funkci zvolíme jako celkovou energii systému V(x)=E(x 1,x 2 )= 1 x 1 2 x2 2+ k(x 1 )dx 1 je zřejmé, že V(x) je pozitivně definitní derivace Ljapunovovy funkce W(x)= dv(x) dx 2 = x 2 + x 2k(x 1 )= x 2 b(x 2 ) za předpokladů uvedených v zadání je W(x) negativně semidefinitní V(x) splňuje požadavky na Ljapunovovu funkci a systém je dle definice lokálně stabilní fyzikálním rozborem lze dospět k závěru, že systém je dokonce globálně asymptoticky stabilní tento závěr nevyplývá ze zvolené Ljapunovovy funkce Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 15/27 0

16 Příklad globální asymptotické stability model družice z J x dω x J y dω y y (J y J z )ω y ω z = M x (J z J x )ω x ω z = M y J z dω z (J x J y )ω x ω y = M z předpokládejme řízení M x = k x ω x x Obsah Definice Ljapunovovy funkce Teorémy o stabilitě Příklad M y = k y ω y M z = k z ω z za jakých podmínek bude systém stabilní Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 16/27

17 Příklad globální asymptotické stability stavové rovnice dω x = 1 [ k x ω x +(J y J z )ω y ω z ] J x dω y = 1 [ k y ω y +(J z J x )ω x ω z ] J y dω z = 1 [ k z ω z +(J x J y )ω x ω y ] J z Obsah Definice Ljapunovovy funkce Teorémy o stabilitě Příklad v maticovém tvaru dω =A(ω)ω A(ω)= k x J x J x J y ω z J x J z ω y J y J x ω z k y J y J y J z ω x J z J x ω y J z J y ω x k z J z, ω= ω x ω y ω z Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 17/27

18 Příklad globální asymptotické stability za Ljapunovovu funkci zvolíme pozitivně definitní kvadratickou formu V(ω)= ω,qω maticiqmusíme volit tak, aby byla symetrická a měla všechna vlastní čísla kladná Jx Q= 0 Jy Jz 2 derivace Ljapunovovy funkce W(ω)= dv(ω) = dω,qω + ω,q dω Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 18/27

19 Příklad globální asymptotické stability dosazením ze stavových rovnic a úpravou W(ω)= A(ω)ω,Qω + ω,qa(ω)ω =[A(ω)ω] T Qω+ ω T QA(ω)ω= = ω T A T (ω)qω+ ω T QA(ω)ω= ω,[a T (ω)q+qa(ω)]ω = = ω,pω P= [A T (ω)q+qa(ω)]=p= k x J x k y J y k z J z aby byl systém globálně asymptoticky stabilní, musí být funkce W negativně definitní funkce W bude negativně definitní, pokud bude ω, Pω pozitivně definitní ω, Pω je pozitivně definitní, pokud jsou všechna vlastní čísla matice P kladná systém bude stabilní pro k x >0, k y >0, k z >0 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 19/27

20 Příklad globální asymptotické stability řešení bez použití maticového počtu kandidát na Ljapunovovu funkci V(ω)=J 2 xω 2 x+ J 2 yω 2 y+ J 2 zω 2 z je zřejmé, že V(ω) je pozitivně definitní derivace Ljapunovovy funkce W(ω)= dv(ω) =2J 2 xω x dω x +2J 2 yω y dω y +2J 2 zω z dω z dosadíme stavové rovnice W(ω)=2J 2 xω x 1 J x [ k x ω x +(J y J z )ω y ω z ]+2J 2 yω y 1 J y [ k y ω y +(J z J x )ω x ω z ]+ +2J 2 zω z 1 J z [ k z ω z +(J x J y )ω x ω y ]= (2J x k x ω 2 x+2j y k y ω 2 y+2j z k z ω 2 z) W(x) bude negativně definitní v celém stavovém prostoru a systém bude tedy stabilní pro k x >0,k y >0,k z >0 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 20/27

21 Obsah Volba Ljapunovovy funkce Metody Krasovského Příklad Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 21/27

22 Metody volby Ljapunovovy funkce neexistuje jednoduchá obecná a spolehlivá pro volbu Ljapunovovy funkce základní prakticky používané metody volba na základě fyzikální podstaty systému za Ljapunovovu funkci volíme celkovou energii systému, případně významově analogickou veličinu vhodné spíše pro systémy nižšího řádu volba Ljapunovovy funkce jako obecné kvadratické formy Krasovského úspěšně lze najít Ljapunovovu funkci jen pro málo reálných systémů variabilního gradientu poměrně pracná k použití viz. elektronický text Obsah Metody Krasovského Příklad Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 22/27

23 Krasovského Ljapunovovu funkci volíme ve tvaru obecné kvadratické formy nx nx V(x)= l ij f i f j = f;lf i=1 j=1 matice L je symetrická pozitivně definitní V(x) bude pozitivně definitní derivace Ljapunovovy funkce W(x)= fi fl fi df ;Lf + f;l df fl f x = df = f x dx f 1 f 1... x 1 x 2 f 2 f 2... x 1 x 2.. f n f n... x 1 x 2 f 1 x n f 2 x n. f n x n 3 =J 7 5 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 23/27

24 Krasovského po dosazení dostaneme W(x)= Jf;Lf + f;ljf = T=J T L+LJ =(Jf) T Lf+f T LJf=f T J T Lf+f T LJf= =f T (J T L+LJ)f=f T Tf= f;tf pro dosažení negativní definitnosti W(x) postačuje zajistit, aby matice T byla pozitivně definitní můžeme určit podmínky pro parametry systému, tak aby T byla pozitivně definitní Obsah Metody Krasovského Příklad Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 24/27

25 Příklad u= f() x 2 x 1 Obsah stavové rovnice ω 2 0 dx 1 = x 2= f 1 (x 1,x 2 ) dx 2 = f(x 2) ω 2 0x 1 = f 2 (x 1,x 2 ) Metody Krasovského Příklad chceme zjistit, jaké podmínky musí splňovat funkce f, aby bylo dosaženo stability Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 25/27

26 Příklad zvolíme Ljapunovovu funkci 2 V(x)=[f 1 f 2 ] 4 l l f 1 f 2 3 5= 1 2 l 11f l 22f 2 2 dosazení stavových rovnic derivace podle času W(x)= dv(x) V(x)= 1 2 l 11x l 22[f(x 2 )+ω 2 0x 1 ] 2» dx 2 = l 11 x 2 + l 22[f(x 2 )+ω0x 2 df(x2 ) dx 2 1 ] dx 2 = l 11 x 2 [ f(x 2 ) ω 2 0x 1 ]+l 22 [f(x 2 )+ω 2 0x 1 ] dx 1 + ω2 0» df(x 2) (f(x 2 )+ω0x 2 1 )+ω0x 2 2 dx 2 =( l 11 + l 22 ω 2 0)(f(x 2 )+ω 2 0x 1 )x 2 l 22 df(x 2 ) dx 2 [f(x 2 )+ω 2 0x 1 ] 2 zvolíme-li l 11 = ω 2 0 a l 22 =1, dostaneme = W(x)= df(x 2) dx 2 [f(x 2 )+ω 2 0x 1 ] 2 Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 26/27

27 Příklad W(x)= df(x 2) dx 2 [f(x 2 )+ω 2 0x 1 ] 2 postačující podmínkou pro globální asymptotickou stabilitu je, že W(x) je negativně definitní pokud bude platit df(x 2) dx 2 >0bude systém stabilní lze ukázat, že zjištěná podmínka je v daném případě příliš přísná, systém může být stabilní i při nesplnění této podmínky Obsah Metody Krasovského Příklad Regulace a řízení II Stabilita nelineárních systémů - str. 27/27