Přednáška 01 Úvod + Jednoosá napjatost Pružnost a pevnost A (PRA) Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St 9.15-11.30 Webové stránky předmětu https://mech.fsv.cvut.cz/student/ PRA Domácí úkoly, přednášky, podmínky zápočtu a zkoušky Podmínky pro udělení zápočtu 10 domácích úkolů, včasné odevzdání na webových stránkách a cvičícímu, 2 semestrální testy á 17 bodů, min. 14 bodů Copyright (c) 2015 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no FrontCover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/ 1
PRA Organizace výuky Zkouška Zápočtové testy (34) + příklady (36) + zkouškový test (30) ústní otázka (0-5) = 100 bodů Statistika úspěšnosti PRA Zapsaných Zápočet udělen Úspěšnost získání zápočtu Zkouškových pokusů - účast Známku A-E získalo Pokusů/úspěch Úspěšnost (A-E/zapsaných) A (%) B (%) C (%) D (%) E (%) F na 3. pokus VS Z 2012/2013 VS L 2012/2013 VS Z 2013/2014 VS L 2013/2014 VS Z 2014/2015 VS L 2014/2015 VS Z 2015/2016 VS L 2015/2016 VS Z 2016/2017 VS L 2016/2017 241 197 81.7% 347 142 2.44 58.9% 2.8% 8.5% 21.1% 38.0% 29.6% 23 118 67 56.8% 104 62 1.68 52.5% 0.0% 8.1% 11.3% 43.5% 37.1% 5 245 209 85.3% 401 183 2.19 74.7% 3.3% 10.4% 29.0% 39.3% 18.0% 25 86 73 84.9% 124 57 2.18 66.3% 12.3% 21.1% 26.3% 26.3% 14.0% 13 277 176 63.5% 346 156 2.22 56.3% 4.5% 13.5% 20.5% 40.4% 21.2% 5 77 49 63.6% 79 34 2.32 44.2% 0.0% 1.8% 7.0% 33.3% 26.3% 11 204 147 72.1% 212 128 1.66 62.7% 1.6% 8.6% 25.0% 42.2% 22.7% 7 66 59 89.4% 104 50 2.08 75.8% 0.0% 6.0% 18.0% 40.0% 36.0% 7 104 74 71.2% 127 72 1.76 69.2% 1.4% 13.9% 18.1% 38.9% 22.2% 4 48 33 68.8% 70 33 2.12 68.8% 0.0% 6.1% 24.2% 15.2% 33.3% 3 Studenti, kteří získají z SMA1+PRA+SMA2 známky A,B budou pozváni na exkurzi po zajímavých stavbách v Praze v ~10/2018. 2
Exkurze pro vynikající studenty Studenti se zkouškami A až B ze SMA1, PRA a SMA2 budou pozváni na exkurzi po zajímavých stavebních objektech v Praze Exkurze Strahovský klášter 2015, Malostranská beseda 2016, Churchill residence 2017 3
Co se naučíte v PRA Porozumět/navrhnout/posoudit základní namáhání prvků Určit deformace prvků Jak se vyvarovat podobných problémů Marina, Praha, 2.5.2012 Vybočení vzpěry, stabilita Česká Třebová, 14.1.2017 Chybný návrh dolního pasu vazníku, pevnost Trojská lávka, Praha, 2.12.2017 Koroze ocelových lan, pevnost 4
PRA Organizace výuky Sylabus: Analýza prutů tah, tlak, jednoduchý a složený ohyb, vzpěr Elastický a elastoplastický materiál Rovinná napjatost stěny Trojrozměrná napjatost tělesa Smyk za ohybu Volné kroucení Skripta (teorie a příklady): Šejnoha J., Bittnarová J.: Pružnost a pevnost, ES ČVUT, 2004 Bittnarová J. a kol.: Pružnost a pevnost - příklady, ES ČVUT, 2007 (dotisk) Šmiřák S.: Pružnost a plasticita I, PC-DIR, Brno 1996 (dotisk 1999) Jirásek M., Šmilauer V., Zeman J.: Fragmenty skript PRPE, stránky PRA 5
Základní pojmy Pružnost (elasticita) je schopnost materiálu deformovat se takovým způsobem, že nedochází k jeho nevratným změnám. Po odtížení nastává jeho návrat do původního stavu. Teorie pružnosti matematicky popisuje mechanické chování pružných těles. Cílem je určit deformaci pružných těles, velikosti vnitřních sil a napětí. Pevnost je schopnost materiálu přenést určité zatížení. Homogenní materiál má stejné vlastnosti ve všech bodech na určité úrovni rozlišení. 6
Zatížení Vnější silové Objemové síly [kn/m3] vlastní tíha Povrchové síly Plošné [kn/m2] tlak kapaliny Liniové [kn/m] Bodové [kn] DT Vnější nesilové Teplotní změny Předepsané přemístění podpor 7
Model kontinua Kontinuum popisuje prostředí spojitě vyplněné hmotou na určité úrovni rozlišení. Těleso rozdělíme na nekonečně malé objemy, na kterých požadujeme splnění statických, geometrických a fyzikálních rovnic stav napjatosti (1D, 2D, 3D). Vnitřní síly na nekonečně malých objemech = napětí 8
Vektor napětí Vnitřní síla F na plošce DA F (F - Newton, 1687) Ft Fn DA Limitním přechodem na kontinuu defnujeme vektor napětí σ σ = lim D A 0 DF DA τt σn n n = t =1 σ=σn n+ τ t (σ - Cauchy, 1822) σn normálové napětí (vždy jen jedna n) DA τ smykové (tečné) napětí (lze rozkládat i do dalších směrů) 9
Složky napětí na elementárním kvádru σx Směr normály k ploše Pole napětí τxz Směr osy, se kterou je napětí rovnoběžné σx σy σ = σz τ yz τ zx τ xy {} Pozn.: Napětí v materiálovém bodě je tenzor 2. řádu, který můžeme zapsat do matice. Násobením tensoru (matice) vektorem normály dostaneme právě vektor napětí na orientované plošce. σx σ = τ yx τ zx [ τ xy σy τ zy τ xz 1 σx τ yz 0 = τ xy σz 0 τ xz ]{ } { } 10
Model prutu Řešení 3D napjatosti těles je pro technickou praxi příliš složité. Model prutu představuje účinné zjednodušení. Lokální soustava souřadnic y Průřez z Střednice prutu spojuje těžiště všech průřezů Těžiště 3D model - napětí τxz x Prut je prvek, jehož délka výrazně převyšuje ostatní rozměry. Prizmatický prut je prut stálého průřezu po celé jeho délce. 11
Ohyb Kroucení 12
Aplikace modelu prutu ve stavebním inženýrství [Atrium D Stavební fakulty ČVUT v Praze, 2008] [Skelet budovy PPF Gate na Evropské, Praha, 2006] [Krov historických objektů, 2012] [Lešení, oblouk mostu přes Oparenské údolí, 2009] 13
Jednoosý (prostý) tah / tlak Uvažujme homogenní, prismatický prut, který je zatížený pouze na koncích F F x L Protažení DL ε=εx = DL DL L F σ=σ x = A Poměrné protažení (relativní deformace) Normálové napětí (normálové). Předpokládáme rovnoměrné rozdělení napětí po průřezu prutu. N (x)= σ x ( x, y, z)dydz Integrální defnice normálové síly N(x) A 14
Geometrická rovnice - přemístění a přetvoření Výchozí stav x původní délka segmentu Dx x u(x+dx) u(x) Dx Du Stav po zatížení Protažení segmentu D x o D u du ( x) d 2 u( x ) 2 D u=d x +u ( x + D x) D x u( x) u( x)+ D x+ (D x ) + u( x) 2 2! du( x ) D u= D x absolutní protažení segmentu D u du ( x) = relativní protažení segmentu Dx du ( x) εx= geometrická rovnice =0 D x 0 15
Materiálová (fyzikální) rovnice - Hookeův zákon 1660 anagram ceiiinosssttuv, 1678 Ut tensio, sic vis Pro lineárně pružný materiál je za jednoosého tahu/tlaku napětí úměrné relativnímu prodloužení. Materiálová ε =α D T (fyzikální, konstitutivní) rovnice σ T ε x= σ x =E (εx εt ) T x E +α T D T Prismatický prut s konstatní N: D L= E Youngův modul pružnosti [Pa] αt Součinitel délkové teplotní roztažnosti [K-1] NL + L αt D T EA Ocel σ Mez pevnosti E~210 GPa Materiál E (GPa) Pevnost (MPa) αt (10 K ) Beton, 28 d 20..40-100..10 12 Ocel 190..210 ±(200..2000) 11..13 Dřevo 10 3-6 ±(5..50) Plasty 1-5 50..180 ±(0..50) -6 Mez kluzu Mez pružnosti Mez úměrnosti -1 E Velká plastická oblast Tah 1 ε Tlak Lineárně elastický materiál 16
Statická rovnice - rovnováha pro segment prutu Vnější síly (zatížení) fx(x+dx/2)dx N(x) x N(x+Dx) Dx Podmínka rovnováhy N ( x)+ N ( x +D x)+ f x ( x +D x / 2) D x=0 dn ( x ) d2 N ( x ) df ( x ) D x 2 N ( x)+ N ( x)+ D x+ (D x ) + + f ( x )+ + D x=0 x 2 2 2! =0 D x 0 [ =0 D x 0 ] dn ( x) + f x ( x )=0 17
Tontiho diagram pro prut s vlivem teploty Obecný matematický popis mechanického chování materiálu na kontinuu Přemístění u(x) du ( x ) d EA εt = f x ( x ) [ ( )] (deformace) (silové zatížení) Geometrická rovnice Spojitost (kompatibilita) Statická rovnice Rovnováha du ( x) ε x= Přetvoření εx(x) (relativní deformace) Vnější síly fx(x),f dn ( x) = f x ( x) σ x ( x)=e [ ε x ( x) εt ] Materiálová rovnice Odpor materiálu vůči přetvoření Vnitřní síly Nx(x) Napětí σx(x) 18
Příklad sloup zatížený silou a vlastní tíhou fx N 6 kn/m -10 kn σx u εx -41,67 kpa -1,39e-6 +3,788e-5 m + L/2-58 kn b = 0,4 m h = 0,6 m E = 30 GPa g = 25 kn/m3 f x =g A=6 kn/m' dn ( x) = f x N (0)= 10 kn N (x)= 6 x 10 C 1, N (0)= 10 kn + L=8 m x +2,556e-5 m F=10 kn -241,67 kpa -8.06e-6 6 x 10 (kpa) A 6 x 10 ε x (x)= (-) EA 3 x 2 10 x 272 u ( x)= + EA EA σ x (x)= C 2,u (L)=0 19
Staticky neurčitý prut určení reakcí N 2.53 MPa 3.13e-4 + 25.3 kn u εx + σx b Ra E=10 GPa α=3e-6 K-1-274.7 kn -6.87 MPa x 0,2 x 0,2 mr -0,3 + 0,3 MN 6.26e-4 m + 0,1 x 0,1 m DT=+20oC L2=1 m L1=2 m Rb Rb Předpoklad -6.27e-4 Deformační (přetvárná) podmínka (po odstranění podpory b) u (3)=0, 2 Rb N N T u( 3)=D L1 +D L2 + D L =0 1( R b 0.3) + + 3e-6 20 3=0 2 2 10000 0,1 10000 0,2 0,0225 R b =0,00057, R b=0,02533 MN 0,02533 0,2747 σ 1= =2,53 MPa, σ = = 6,87 MPa 2 2 2 0,1 0,2 20
Otázky 1. Kolik je složek napětí v obecném 3D materiálovém bodě? 2. Které tři rovnice používáme při popisu chování prutu a co popisují? 3. Čím se liší přemístění a přetvoření? 4. Defnujte Youngův modul pružnosti. Jaké je jeho hodnota pro ocel? 5. Jakého řádu jsou posuny a přetvoření na prizmatickém prutu zatíženém pouze na okrajích a při zatížení vlastní tíhou? 6. Kolik okrajových podmínek lze defnovat na obecné rovnici pro jednoosou napjatost? 7. Kolik lineárně nezávislých podmínek umíme defnovat na okrajích prutu? Jsou tyto podmínky statické, kinematické, nebo to může být jejich kombinace? 8. Proč se vliv teploty přímo neobjeví v geometrické rovnici a jak se do ní dostane? 9. Umíme z pole posunů jednoznačně určit přetvoření? A naopak? 10. Jsou geometrické rovnice algebraického či diferenciálního tvaru? Vytvořeno 02/2011 v OpenOfce 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami. 21
Havárie hotelové lávky 1981 Kansas City, Missouri, USA, Hyatt Regency walkway Táhlo ø32 mm, původní zatížení matice P=90 kn