Fakulta strojní ČVUT Ústav technické matematiky Stabilizace Galerkin Least Squares pro MKP na řešení proudění o vyšších Reynoldsových číslech Ing. Jakub Šístek Doc. RNDr. Pavel Burda, CSc. RNDr. Jaroslav Novotný, PhD.
Motivace, cíle a náplň práce Výpočty proudění vazké nestlačitelné tekutiny MKP při vyšším Re Způsoby stabilizace MKP, metoda Galerkin Least Squares Vývoj a implementace algoritmu stabilizované metody Numerické experimenty
Navierovy-Stokesovy rovnice - klasická formulace Ω R 2... oblast s hranicí Γ vyplněná tekutinou Hledáme u(x, t) = (u 1 (x, t), u 2 (x, t)) [C 2 (Ω)] 2 a p(x, t) C 1 (Ω)/R splňující u t Okrajové podmínky + (u )u ν u + p = f v Ω [0, T ] Počáteční podmínka u = u 0 v Ω, t = 0 { u(x, t)... vektor rychlosti [m/s] p(x, t)... tlak dělený hustotou [P a m 3 /kg] ν... kinematická viskozita tekutiny [m 2 /s] f(x, t)... vektor intenzity vnějších sil [N/m 3 ] Γ g a Γ h... části hranice Γ, platí Γ = Γ g Γ h u = 0 v Ω [0, T ] u = g na Γ g [0, T ] (vstup a stěna) ν( u)n + pn = 0 na Γ h [0, T ] (výstup) n... jednotkový vektor vnější normály k hranici Γ
Navierovy-Stokesovy rovnice - slabá formulace Prostory vektorových funkcí } V g = {v = (v 1, v 2 ) v [H 1 (Ω)] 2 ; Tr v i = g i, i = 1, 2, na Γ g } V = {v = (v 1, v 2 ) v [H 1 (Ω)] 2 ; Tr v i = 0, i = 1, 2, na Γ g Hledáme u(x, t) = (u 1 (x, t), u 2 (x, t)) V g, u u g V a p(x, t) L 2 (Ω)/R splňující v čase t [0, T ] u Ω t vdω + (u )u vdω + ν u : vdω p vdω = f vdω Ω Ω Ω Ω ψ udω = 0 pro všechna v V a ψ L 2 (Ω). u g V g reprezentuje Dirichletovu okrajovou podmínku g Ω
Aproximace problému MKP Dělení oblasti Ω na N konečných prvků T K tak, že N T K = Ω, µ R 2 (T K T L ) = 0, K L K=1 Hoodovy-Taylorovy konečné prvky, prostory funkcí pro aproximaci: rychlosti } V gh = {v h = (v h1, v h2 ) [C(Ω)] 2 ; v hi TK R 2 (T K ), i = 1, 2, v h = g v uzlech Γ g tlak a testovací funkce rovnice kontinuity { } Q h = ψ h C(Ω); ψ h TK R 1 (T K ) testovací funkce pohybové rovnice } V h = {v h = (v h1, v h2 ) [C(Ω)] 2 ; v hi TK R 2 (T K ), i = 1, 2, v h = 0 v uzlech Γ g kde { Pm (T R m (T K ) = K ), pokud T K je trojúhelník Q m (T K ), pokud T K je čtyřúhelník
Dělení časového intervalu [0, T ] na M stejných dílů ϑ Nahrazení časové derivace zpětnou diferencí (implicitní metoda) u h t un+1 h u n h ϑ Hledáme u n+1 h (x) V gh, u n+1 h u n+1 gh V h a p n+1 h (x) Q h, splňující v každé časové vrstvě 1 u n+1 h v h dω + (u n+1 h )u n+1 h v h dω + ν u n+1 h : v h dω ϑ Ω Ω Ω p n+1 h v h dω 1 u n h v h dω = f n+1 v h dω Ω ϑ Ω Ω ψ h u n+1 h dω = 0 pro všechna v h V h a ψ h Q h. Ω
Metoda stabilizace Galerkin Least Squares Základní myšlenka (Hughes, Franca, Hulbert, 1989): Místo problému Nalézt u h splňující slabou formulaci B(u h, w h ) = L(w h ), která vychází z klasické formulace řešit problém Nalézt u h splňující Lu h = f v Ω w h V h B(u h, w h ) + τ(lu h, Lw h ) Ω = L(w h ) + τ(f, Lw h ) Ω, w h V h V naší implementaci (stabilizace rovnice kontinuity nezahrnuta): = τ(lu h, Lw h ) Ω = N [ ] uh t + (u h )u h ν u h + p h τ [(u h )v h ν v h + ψ h ] dω K=1 T K τ(f, Lw h ) Ω = N K=1 T K f h τ [(u h )v h ν v h + ψ h ] dω
Určení parametru τ τ = ξ(re K(x)) λk u(x) 2 kde Re K (x) = u(x) 2 4 λ K ν { ReK (x), 0 Re ξ(re K (x)) = K (x) < 1 1, Re K (x) 1 v 2 0,T λ K = max K 0 v (R 2 (T K )/R) 2 v 2 0,T K ( 2 ) 1 2 u(x) 2 = u i (x) 2 i=1 Parametr λ K vypočteme na každém prvku jako dominantní vlastní číslo problému ( w, v) = λ K ( w, v), v (R 2 (T K )/R) 2
Za vislost parametru τ na ReK
Algoritmus řešení MKP Numerické řešení MKP v každé časové vrstvě systém nelineárních rovnic F(u, p) = 0 Newtonova metoda z-tá iterace: 1. řešení systému lineárních rovnic pro neznámé h, q: < DF(u, p), [h, q] >= F(u, p) 2. oprava řešení u, p: u z+1 p z+1 = u z + h = p z + q Pro řešení soustavy lineárních rovnic použita frontální metoda.
Výsledky numerických experimentů Testovací příklady: kavita stacionární kavita nestacionární obtékání profilu NACA 0012 nestacionární Proudnice a izolinie tlaku pro Re = 100 000, sít 128 128
Proudnice pro Re = 10 000, sít 32 32 bez stabilizace, sítě 32 32, 64 64 a 128 128
Proudnice získané vyvinutým algoritmem a podle Guermond, Quartapelle (1997), t = 1, 6s, Re = 1 000
Izolinie tlaku získané vyvinutým algoritmem a podle Guermond, Quartapelle (1997), t = 1, 6s, Re = 1 000
Proudnice a izolinie tlaku, t = 1, 6s, Re = 100 000
Proudnice a izolinie tlaku, t = 2, 6s, Re = 100 000
Proudnice a izolinie tlaku, t = 3, 6s, Re = 100 000
Proudnice a izolinie tlaku, t = 6s, Re = 100 000
Závěr Odvození vzorců a implementace algoritmu pro řešení proudění MKP Modifikace a vylepšení stabilizované metody GLS Ověření vyvinuté metody na praktických příkladech Dosažení vyššího Reynoldsova čísla u prováděných výpočtů Cesta k vyšším Re stabilizace + zjemňování sítě Výzkum byl podpořen grantem GA AV IAA2120201/02.