PRŮTOK PLYNU OTVOREM

PRŮTOK PLYNU OTVOREM P. Škrabánek, F. Dušek Univerzita Pardubice, Fakulta chemicko technologická Katedra řízení rocesů a výočetní techniky Abstrakt Článek se zabývá ověřením oužitelnosti Saint Vénantovavy Wantzelovy rovnice oisující růtok reálného lynu nerozšiřující se dýzou ro konkrétní zařízení. Sledovaná část zařízení je tvořena uzavřenou nádobou s rotékající vodou. Prostor nad hladinou je sojen malým otvorem s okolím. Změny v růtoku kaaliny vyvolávají změnu hladiny a tedy snížení či zvýšení tlaku a v konečném důsledku růtok lynu otvorem oběma směry. Na zařízení je měřena výška hladiny, relativní tlak nad hladinou a absolutní tlak vzduchu v okolí. Pomocí matematicko fyzikální analýzy byla sestavena nelineární diferenciální rovnice rvního řádu oisující tlak lynu nad hladinou v daném systému. Tato rovnice byla realizována ve formě modelu SIMULINku. Dále byly z exerimentálních dat numerickou otimalizací (funkce MATLABu fminsearch využívající model SIMULINKu) určeny hodnoty dva arametrů diferenciální rovnice, jejichž hodnoty nejsou řesně známy. Použitelnost zmíněných rovnic je osuzována subjektivně na základě shody naměřených a vyočtených časových růběhů tlaků vzduchu nad hladinou ro různé časové růběhy změny výšky hladiny. Úvod V rámci rojektu GAČR /3/65 Konsorciální řístu k vývoji exerimentálních modelů bylo na Katedře řízení rocesů a výočetní techniky FCHT Univerzity Pardubice navrženo a realizováno zařízení Hydraulicko neumatická soustava (HPS, viz obrázek ) ředstavující dvourozměrnou soustavu určenou ro raktické ověřování vícerozměrového řízení [Macháček 4]. Pro návrh kvalitního řízení je nutná informace o řízeném systému v říadě řízení rocesů očítačem obvykle ve formě matematického modelu. Tento model by měl oisovat dynamické chování (časový růběh) vybraných veličin odovídající co nejvěrněji růběhu veličin reálného zařízení. Celé zařízení se rozdělí na jednotlivé subsystému, ro které se sestavují a ověřují modely samostatně. Tento řísěvek se zabývá oisem chování subsystému uzavřeného neumatického systému s roměnným objemem, konkrétně oisem růtoku vzduchu malým otvorem založeným na Saint Vénantovavě Wantzelově rovnicí. Komlikací je nemožnost římého měření růtoku vzduchu. Proto je využita možnost neřímého měření omocí růběhu tlaku vzduchu v neumatickém rostoru. Tento řístu je výhodný i roto, že ro oužití v celkovém modelu je otřebný rávě časový růběh tlaku vzduchu. Pois zařízení Vzájemné ovlivňování hladin v nádržích zajišťují dva neumatické rostory (roojený rostor nad hladinami ve dvou nádržích, viz označená oblast na obrázek Fotografie HPS obrázku ). Schématické znázornění jednoho rostoru ro otřeby odvození matematického

modelu je na obrázku. Celkový objem je rozdělen na hydraulický rostor (o konstantním růřezu S a výšce H), kde se může měnit výška hladina kaaliny h a na neumatický rostor jehož objem je tvořen konstantním objemem V a objemem závislým na aktuální výšce hladiny. Pneumatický rostor je malým otvorem (clonou) o loše s roojen s okolím. To znamená, že ři změnách výšky hladiny h dochází ke změnám tlaku a tudíž k růtoku (hmotový růtok Q ) vzduchu clonou buď ven nebo dovnitř neumatického rostoru okud se nevyrovná tlak s okolním tlakem A. Pro tvorbu matematického modelu dynamického chování tlaku vzduchu je nutná znalost oisu růtoku vzduchu clonou Q. T, A h H Q 3 Cíl ráce Obrázek : Schéma Rovnice oisující růtok lynu clonou je oměrně ro matematický model komlikovaná a vyžaduje modifikaci ři změně směru roudění lynu. Zásadní otázkou ale je, zda odmínky na konkrétním zařízení odovídají ředokladům, za kterých je rovnice odvozena. Zda malé rozdíly tlaků v kombinaci s chybou měření, nedefinovaný tvar clony, jiná vlhkost vzduchu uvnitř a venku, uvažování stejné a konstantní teloty uvnitř a vně nezůsobí, že skutečné růběhy tlaku se budou lišit od růběhů vyočítaných na základě této rovnice. 4 Matematický model V následující kaitole je uvedeno stručné odvození algebraické rovnice oisující hmotový růtok lynu clonou a diferenciální rovnice oisující časový růběh tlaku lynu v neumatické části. Důraz je kladen na fyzikální ředstavu, ze které se vychází a formulaci ředokladů, za kterých jsou rovnice odvozeny. V říadě oisu tlaku lynu se resektuje konkrétní geometrické usořádání odle obrázku. 4. Hmotový růtok lynu clonou Rovnice ro hmotový růtok lynu vychází z Saint Vénantovavy Wantzelovy rovnice oisující ustálenou odkritickou rychlost ideálního lynu v nerozšiřující se trysce za ředokladu bezztrátového roudění. Podrobné odvození vycházející z fyzikální odstaty je nař. v literatuře [Čermák 968]. Podobné odvození a zejména diskuse latnosti s ohledem na kritický stav lynu je v [Nožička ]. Poněkud modifikovaný tvar je uveden také v [Ower 996]. V článku je rovedeno alesoň stručné odvození Saint Vénantovavy Wantzelovy rovnice. Vychází se ze zákona zachování energie. Za ředokladu, že se jedná o roudění adiabatické bez získávání mechanické ráce, má rovnice bilancující energii ve dvou místech roudícího lynu tvar Q. u +. v + g. h. S. v Q. u. v g. h +. S. v + = + + () kde: u i vnitřní energie h i výška S i locha růřezu otrubí v i rychlost roudění lynu i tlak lynu Q hmotnostní tok lynu g tíhové zrychlení Je-li místo odkud lyn vytéká dostatečně rozměrné, je rychlost v dostatečné vzdálenosti od výtokového otvoru nulová. Energetická bilance se rovádí ro místa, které jsou ve stejné výšce. Systém slňující tuto ředstavu je zachycen na obrázku Obrázek 3. Veličiny oisující nádobu, ze které lyn odtéká (místo označené na obrázku jako A), jsou bez indexu. Druhým

místem, ro které se energetická bilance rovádí, je místo zúžení. To je na obrázku označené ísmenem B. x ; T ρ; s; i A v v B v A ρ, s i, T kde: s i - locha růřezu ρ i hustota lynu i i entalie lynu v rychlost roudění lynu v nádrži v rychlost roudění lynu v bodě B tlak lynu v nádrži tlak lynu v bodě B A tlak lynu v okolí T telota lynu v nádrži Obrázek 3: Průřez místem výtoku a okolím V energetické bilanci se vyskytuje vnitřní energie u. Ta je závislá na entalii i, tlaku lynu a hustotě lynu ρ dle vztahu u = i () ρ Využije-li se rovnice kontinuity Q = v i. S i. ρi (3) a vztahu ro výočet vnitřní energie () ro úravu energetické bilance mezi místem A a B (viz Obrázek 3), získá energetická bilanci nový tvar i = i +. v (4) Dalšími úravami energetické bilance, ři využití vztahu ro výočet entalie i = c. T (5) vztahu ro výočet závislosti měrné teelné kaacity c P na κ a R κ. R c = (6) κ a Poissonova vztahu κ κ T = T se získá vztah ro rychlost roudění ideálního lynu v místě zúžení κ κ. R κ v =.. T. (8) κ který se nazývá Saint Vénantova Wantzelova rovnice. Pro odvození rovnice oisující hmotnostní růtok lynu zúženým místem Q se vychází z rovnice kontinuity (3). Odvozování se rovádí ro situaci zachycenou na obrázku Obrázek 3. Rovnice kontinuity se alikuje na místo v trysce označené na obrázku ísmenem B. V tomto místě je locha růřezu s, hustota lynu ρ, tlak lynu a rychlost lynu v. (7)

Odvozování vztahu se rovádí ro odzvukové rychlosti, kde latí = A. Takto vyjádřená rovnice kontinuity se uraví omocí stavové rovnice ideálního lynu = ρ. R. T (9) rovnice ro výočet rychlosti roudění lynu (8) (Vénantova Wantzelova rovnice) a Poissonova vztahu (7). Výsledný vztah ro výočet hmotnostního růtoku lynu ři výtoku ze soustavy má tvar s κ κ κ. R Q =...... () R κ T Konstanta χ ovšem latí ro ideální lyn. Nahradí se roto konstantou m, latící ro reálný lyn. Výsledná rovnice oisující hmotnostní růtok reálného lynu ři výtoku ze soustavy má tvar Q s m m m. R =..... () R m T. 4. Tlak lynu v neumatickém objemu Rovnice oisující chování tlaku lynu v rostoru s roměnným objemem (viz obrázek ) vychází z hmotnostní bilance lynu. Bilance se rovádí ro výtok lynu ze soustavy. dm = Q ( t) + () dt Člen vyjadřující zádrž hmoty v soustavě se uraví omocí vztahu ro výočet hustoty m ρ = (3) V Uravená hmotnostní bilance má ak tvar d[ V.ρ] = Q + dt (4) Objem lynu v soustavě je dán konstrukcí soustavy. Poisuje jej rovnice V = H h. S + V (5) kde: V dolňkoví neumatický objem S růřez nádrže ( ) h aktuální výška hladiny kaaliny v nádrži H maximální výška hladiny v nádrži Nahrazením objemu v uravené hmotnostní bilanci lynu (4) omocí rávě odvozené rovnice oisující neumatický objem soustavy (5), vyjádřením hustoty lynu ze stavové rovnice ideálního lynu (9) a následnou úravou se získá otřebný vztah. Při odvozování je třeba brát v úvahu, že telotu lynu uvnitř soustavy nelze měřit. Proto je zaveden ředoklad, že telota uvnitř soustavy je konstantní, a že je rovna telotě okolí. Výsledný vztah má tvar d dt 5 Měření tlaku a hladiny na zařízení dh. S. Q. R. T = dt (6) S. ( hmax h) + V Aby bylo možno rovést určení arametrů, je nutno u laboratorního modelu měřit výšku hladiny kaaliny v nádrži a říslušný tlak lynu. Pro exeriment byly zvoleny levé nádrže. V růběhu exerimentu je třeba vyřadit vliv druhých, tedy ravých výšek hladin. Laboratorní model umožňuje uzavřít neumatické sojení mezi vzdušníkem a nádrží. Pro otřeby

exerimentu se uzavře sojení mezi ravou nádrží a vzdušníkem, čímž dojde k eliminaci vlivu druhé výšky na růběh exerimentu. Takto jsou ro exeriment uraveny obě atra modelu, což umožňuje v růběhu jednoho exerimentu získat data z obou ater. K získání dat se využívá očítače oatřeného akviziční kartou. Vzorkovací frekvence je 5 ms. Tato frekvence je zvolena roto, aby byli zachyceny změny tlaků lynu, které jsou velmi rychlé. Exeriment je rováděn omocí zaojení zachyceném na obrázku Obrázek 4. Zaojení je realizováno v rogramu SIMULINK. Obrázek 4: Zaojení ro měření výšek hladin a tlaků omoci akviziční karty Pois schématu vytvořeném ro exeriment Z akviziční karty jsou načítána data v intervalu 5 ms. Ty jsou následně řeočítány do říslušných jednotek. Buzení soustavy je rováděno omocí změny otevření ventilu. Otevření ventilu je nastavováno omocí PID regulátoru, který má za úkol udržovat výšku v horní nádrži na žádané hodnotě. Žádaná hodnota výšky hladiny je v ravidelných intervalech měněna. Před zaočetím samotného exerimentu, je nastavena žádaná hodnota výšky hladiny o dobu 9 sekund na konstantní hodnotu vyšší než nula, aby došlo k ustálení soustavy. Naměřená a řeočítaná data jsou ukládána do říslušných souborů ve formátu matice. 6 Vyhodnocení dat a dohledání arametrů Data uložená v říslušných souborech jsou dosti zašuměná, což znemožňuje jejích římé oužití k výočtu derivace výšky hladiny. Proto je třeba řed jejich oužitím šum odstranit. To bylo rovedeno omocí slinů. Bylo oužito aroximační metody Smoothing Sline. Na obrázku Obrázek 5 je zachycen růběh naměřených dat a dat získaných filtrací omocí slinu.

9 h, cm 8 7 6 5 5 5 5 3 35 4 t, s Obrázek 5: Průběh naměřeného a filtrovaného tlaku Dále je třeba z uložených dat odříznout rvních 9 sekund, kdy robíhalo ustalování systému. Odvozenou rovnici ro výočet hmotnostního růtoku lynu zúženým místem () je otřeba ro otimalizaci uravit. Do vztahu zavedeme novou roměnnou β. Jedná se o váhový koeficient, který je dohledáván omocí otimalizace, tak aby součin rvotně odhadnuté velikosti odvzdušňovacího otvoru s a koeficientem β odovídal skutečné velikosti odvzdušňovacího otvoru. Uravená rovnice ro výtok lynu má tvar s m m m. R Q = β....... (7) R m T Pro řítok lynu do systému latí obdobný vztah Q s m m m. R = β...... (8) R m T. Vztah ro výočet tlaku je také otřeba uravit ro otřeby otimalizace. Do vztahu se zavede váhový koeficient γ, který uravuje odhad volného objemu lynu V. dh. S. Q. R. T d = dt (9) dt S. h h + γ. V ( max ) V rovnici (9) se vyskytuje změna výšky hladiny dh(t)/dt. Její časový růběh ovšem není možné na laboratorním zařízení měřit. Změnu výšky hladiny je tedy nutno vyočítat z naměřených výšek hladin. Výočet se rovádí omocí vztahu ro výočet derivace: dh h( k) h( k ) = () dt Δt

Otimalizace K otimalizace se využívá funkce fminsearch, která je standardní součástí MATLABu. Účelová funkce má tvar kde: f účelová funkce β, γ hledané arametry sim časový růběh tlaku získaný na základě simulace n ( sim ) i i i= f ( β, γ ) = () n tlak naměřený na laboratorním modelu n očet naměřených dat Vektor roměnné sim je získáván ze simulací v rogramu SIMULINK. Pro tyto účely bylo na základě rovnic (5), (7), (8) a (9) vytvořeno zaojení zachycené na obrázku Obrázek 6. h dh h dh/dt Hsim Obrázek 6: Základní zaojení modelu Na obrázku Obrázek 7 až Obrázek 9 je zachycen zůsob realizace zaojení bloku ro výočet hmotnostního růtoku lynu zúženým místem. A u u if (u > u) else If Q if { } else { } Q beta Q Obrázek 7: Rozhodování o směru roudění lynu u^(/m-) if { } A Action Port u^(/m) m*r/(m-) *A/T sqrt s/r Q Obrázek 8: Výtok lynu z nádrže

A u^(/m-) u^(/m) m*r/(m-) *A/T sqrt -s/r Q else { } Action Port Obrázek 9: Přítok lynu do nádrže Vstuy ro výočet tlaku jsou matice naměřených časových růběhů výšky hladiny h a matice vyočteného časového růběhu derivace výšky hladiny dh/dt. Tyto matice jsou načítány z Worksace Matlabu. Tlak vyočítaný na základě vstuů je ukládán o 5 ms do matice Hsim, která je o ukončení simulace uložena do souboru. Počáteční hodnota tlaku v integrátoru je rovna tlaku atmosférickému. Tlak uložený v matici Hsim se oužívá ro výočet otimalizačního kritéria (). Otimalizací se nedohledávají římo arametry soustavy, ale váhové koeficienty β a γ. Počáteční hodnoty váhových koeficientů jsou jedna. Parametry soustavy jsou uvedeny v tabulce Tabulka. Tabulka : Parametry soustavy arametr hodnota jednotky R 87 J.K -.kg - S,987. - m T 94,5 K V,4. -3 m 3 g 9,866 m.s - h max,3 m m,35 A 4,. -3 Pa ρ kg.m -3 s,665. -5 m s,964. -6 m Pro otřeby otimalizace byly rovedeny dvě měření. Jedno ři eriodě změn žádané hodnoty výšky hladiny sekund a jedno ři eriodě 5 sekund. Pomocí dat naměřených ři eriodě změn sekund byly otimalizací dohledány váhové koeficienty β a γ. Časové růběhy dat naměřených a dat získaných na základě simulace s identifikovanými arametry β a γ jsou zachyceny na obrázku Obrázek. Srávnost nalezených váhových koeficientů byla ověřena na datech naměřených s eriodou změn 5 sekund. Na obrázku Obrázek je vidět, že naměřený a vyočítaný růběh tlaku se oměrně dobře shodují i s daty naměřenými ři eriodě změn 5 sekund. Ve stejném obrázku je též graficky znázorněn růběh tlaku získaného z matematického modelu, který nemá zaveden váhové koeficienty β a γ.

x 5.7 lab. model simulace.65.6.55.5, Pa.45.4.35.3.5 4 6 8 4 t, s Obrázek : Shoda naměřených dat ři eriodě sekund a dat získaných ze simulace x 5.9 lab. model simulace - s korekci simulace - bez korekce.8.7.6, Pa.5.4.3. 4 6 8 4 6 t, s Obrázek : Shoda naměřených dat ři eriodě 5 sekund a dat získaných ze simulací

7 Závěr Použití matematických modelů vycházejících z matematicko fyzikální analýzy a zahrnující konkrétní geometrické usořádání má velkou výhodu v tom, že dovoluje asoň zhruba odhadnout reálné růběhy sledovaných veličin. Tato výhoda se zejména rojevuje ři silně nelineárním chování. V našem říadě lze tuto skutečnost dokumentovat obrázkem Obrázek. Zelená křivka ředstavuje vyočtený tlak vzduchu v zařízení ro změřený růběh výšky hladiny a hodnoty arametrů odovídající geometrickým rozměrům zařízení a fyzikálním konstantám. Modrá křivka ředstavuje naměřený růběh tlaku a červená křivka vyočtený růběh s korekcí lochy clony s a konstantní části neumatického objemu V. Křivky na obrázku zachycují jiný růběh změn tlaků, než ro který byly korekce určovány. Závěrem lze shrnout, že rovnice () vycházející z Saint Vénantovavy Wantzelovy rovnice je v našem říadě římo oužitelná. Korekcemi některých arametrů lze dosáhnout určitého zlešení. Literatura OWER, E.; PANKHURST, R. C. 966: The Measurement of Air Flow 4th Edition. Pergamon Press, Oxford 966. 367. ČERMÁK, J.; PETERKA, V.; ZÁVORKA, J. 968: Dynamika regulovaných soustav v teelné energetice a chemii. ACADEMIA, Praha 968 NOŽIČKA, JIŘÍ : Základy termomechaniky. [skrita] ČVUT Praha,, 87 s., ISBN 8--49- MACHÁČEK, J.; DUŠEK, F.; HONC, D. 4: Laboratory multivariable hydraulicneumatic rocess. In.: International Carathian Control Conference, 5.-8.5.4, Zakoane 5-7, May 4, Poland, Vol.I.,.33-38, ISBN 83-8977-- Ing. Pavel Škrabánek Katedra řízení rocesů a výočetní techniky Univerzita Pardubice e-mail: avel.skrabanek@uce.cz tel.: 466 37 4 doc. Ing. František Dušek, CSc. Katedra řízení rocesů a výočetní techniky Univerzita Pardubice e-mail: frantisek.dusek@uce.cz tel.: 466 37 5