Motivace: Poissonova rovnice

Transkript

1 Motivace: Poissonova rovnice Zachovává se poèet el. indukèních èar: Q = D d s, S D = ε E Integrál spoèítáme pøes povrch krychlièky dx dy dz: dq = dvρ = D d s = dydz[d x (x + dx) D x (x)] = dxdydz S ( Dx x + D y y + D z z + dxdz[d y (y + dy) D y (y)] + dxdy[d z (z + dz) D z (z)] ) = dvε ( 2 φ x φ y φ z 2 kde ρ = dq/dv je hustota náboje a permitivita je konstantní. ) 1/15 aplaceùv operátor: symbol nebudeme ( ) 2 pou¾ívat, aby se nepletl x y z 2 2 s φ = φ vpravo φ vlevo Poissonova rovnice: 2 φ = ρ ε nebo v jedné dimenzi d 2 φ dx 2 = ρ ε

2 Motivace: aminární proudìní 2/15 Viskozita smyková síla f = ηa dv x dy A v +dv x x A = plocha dv x dy = gradient teèné rychlosti y dy v x η = dynamická viskozita, [η] = Pa s x aminární proudìní v trubici ^z, rozdíl tlakù = p. Síla na hranolek dx dy z je souètem smykových sil zpùsobeným gradienty rychlosti: [ vz (x + dx, y) v z (x, y) f z = η zdy v ] z(x, y) v z (x dx, y) dx dx η zdx [ + v z(x, y + dy) v z (x, y) dy f z η 2 v = zdxdy = p z v ] z(x, y) v z (x, y dy) dy

3 Motivace: Difuze 3/15 První Fickùv zákon: Tok J i látky i (jednotky: mol m 2 s 1 ) Pro J i = D i c i je úmìrný gradientu koncentrace ( c i = grad c i = x, y, ) c z i = ( ci x, c i y, c ) i z D i = koecient difuze (difuzivita) látky i, jednotky: m 2 s 1 Druhý Fickùv zákon: Nestacionární jev (koncentrace se mìní s èasem) { za dt do objemu dv = dxdydz pøiteèe: [J x (x) J x (x + dx)]dydz = dv J x,y,z J = D c c i t = D i 2 c i hmotnostní koncentraci (v kg m 3 ) vyjde tok v kg m 2 s 1... a stejnì pro teplo, proto se této rovnici øíká rovnice pro vedení tepla Stacionární pøípad: c i / t dáno na okrajích, nezávisí na èase

4 Motivace: vlnová rovnice Mechanický model: m m m m Výchylka = y i, vzdálenost záva¾í = x. Síla pùsobící na hmotnost m v bodì i: 4/15 F i = (y i+1 y i )K + (y i 1 y i )K = (y i+1 2y i + y i 1 )K x 2 2 y i x 2 K Newtonova pohyb.rov.: F i = m 2 y i t 2 vlnová rovnice y i x2 2 x 2 K = y i m 2 t 2 Dodatek: kolik je tuhost pru¾iny K pro plyn? Odeèteme sílu v klidu ( m m = x) a pøi výchylce ( x+dy) na plochu A: (NB: p(x) je funkce výchylky) kde f i = A[p( x + dy) p( x)] = A p p V dy = A y V y dy =! Kdy pv κ = konst p V = κp V, Dále m = ρv = pm RT xa, dohromady: 2 yκrt x 2 M = 2 y t 2 v zvuk = V V = A( x+dy) y = A κrt M, y = y(x ± v zvukt) K = Aκp x

5 Motivace: Kvantová teorie 5/15 Èasová Schödingerova rovnice ( i h t ψ = h ) 2 2m 2 + U ψ

6 Poèáteèní podmínky 6/15 Dirichletovy: hodnoty na hranici oblasti / D-dimensionální nadplo¹e Neumannovy: derivace (v normálovém smìru) Cauchyovy: obojí Pøíklady: f(x, y) x = 1, f(0, y) = sin(y), f(x, y) = sin(y) + x T(x, y, t) t = D 2 T(x, y, t), T(x, y, 0) = { 1 pro x 2 + y 2 < 1 0 pro x 2 + y 2 > 1 T(x, t) t Divný pøíklad: = D 2 T(x, t) x 2, T(x, 0) = { 1 pro x (0, 1) 0 pro x / (0, 1), T(x, t) x=±1 x = 0 2 y(x, t) t 2 = 2 y(x, t) x 2, y = 1 na pøímce x = t

7 Metoda konvoluce resp. Greenovy funkce 7/15 Druhý Fickùv zákon: Snadno se ovìøí, ¾e øe¹ení je: 1D: c g (x, t) = (4πDt) 1/2 exp 3D: c g ( r, t) = (4πDt) 3/2 exp c t = D 2 c ( ) x2 4Dt ( ) r2 4Dt c(x,t) 0.5 t=0 t=1 0.4 t=2 t=3 0.3 t=4 t= x Platí c(x, t)dx = 1 (¾ádná èástice se neztratí). Dodenuji δ(x) = c(x, 0) ve smyslu limity (Diracova delta funkce). Interpretace: jednotkový impuls. Alternativní pøístup: teorie distribucí. Platí (pro slu¹nì vychovanou funkci f): δ(x a)f(x)dx = δ(a x)f(x)dx = f(a)

8 [xmaple../maple/.mw] Metoda konvoluce resp. Greenovy funkce 8/15 c g (x, t) vý¹e øe¹í èasový vývoj jednotkového impulsu, tj. poèáteèní podmínku c g (x, 0) = δ(x). Mám-li na zaèátku c 0 (x) = c(x, 0): c(x, 0) = c g (x x, 0)c 0 (x )dx c(x, t) = c g (x x, t)c 0 (x )dx Cvièení: c 0 (x) = 1 pro x < 1/2, c 0 (x) = 0 jinde; D = 1. 1/2 c(x, t) = c g (x x, t)c 0 (x, 0)dx = c g (x x, t)dx 1/2 Problém: Greenova funkce v jiných okrajových podmínkách

9 Elektrostatika: Greenova funkce 9/15 Pole náboje Q je (ve 3D) tedy pole hustoty náboje ρ( r) je: Q 4πɛr φ( r) = 1 4πɛ ρ( r ) r r d r Cvièení: uka¾te, ¾e 2 (1/r) = 0 pro r 0 (nejlépe Maple)

10 Fourierova metoda: difuze 10/15 Coca-Colu ve válci (vý¹ka sloupce 10 cm) opatrnì pøevrstvíme èistou vodou (10 cm). Za jak dlouho bude koncentrace u hladiny rovna polovinì koncentrace u dna? Konvekci neuva¾ujte. D sacharoza (25 C) = cm 2 s 1. c t = D 2 c x 2 c(x, 0) = { c0 x < /2 0 x > /2 c x x=0, = 0 Trknutí: Kdyby platilo c(x, 0) = cos ( π x ), bylo by to jednoduché: ( π ) [ ( ] π 2 c(x, t) = cos x exp Dt ) Obecnì: Nech» c k (x) je vlastním vektorem rovnice 2 c k x 2 c k (x, t) = c k (x) exp[dλ k t] øe¹í pùvodní rovnici. Zde [ ] [ (2k + 1)πx (2k + 1)π c k (x, 0) = cos, λ k = = λ kc k, pak ] 2 4 mìsíce Zbývá najít rozvoj poèáteèní podmínky c(x, 0) do c k { zde Fourierova øada

11 Fourierova øada 11/15 Mìjme funkci f(x) periodickou s periodou. Platí (ve smyslu, který je¹tì upøesním) f(x) = a [ ( ) ( )] 2πnx 2πnx a n cos + b n sin kde a n = 2 0 n=1 ( ) 2πnx f(x) cos dx, b n = 2 0 ( ) 2πnx f(x) sin dx Je-li f integrovatelná s kvadrátem, konverguje øada (bodovì) skoro v¹ude. Je-li f diferencovatelná, konverguje v¹ude. Norma rozdílu f n f konverguje k 0 (f n = èásteèný souèet) báze {1, cos(2πx/), sin(2πx/),...} je úplná (v prostoru funkcí integrovatelných s kvadrátem na [0, )) a n, b n : znásobte øadu kterýmkoliv prvkem báze s aplikujte 0 dx

12 Fourierova metoda: difuze II [plot/cukr.sh] 12/15 Pou¾ijeme {1, cos(πx/), cos(3πx/),...}, které vyhovují poèáteèní podmínce a symetrii. { 1 c(x, 0) = c ( πx ) π cos 2 ( ) } 3πx 3π cos + Pro jednotlivé èleny (módy) øe¹íme rovnici a seèteme. c(x, t) = c c 0 π 1 ( ) ( ) 3πx 3 cos exp 32 π 2 2 Dt [ cos Pozn. Animace byla øe¹ena numericky. ( ) ( πx ) exp π2 2Dt + 1 ( ) ( 5πx 5 cos exp 52 π 2 2 Dt ) ]

13 Fourierova metoda: tok trubicí ètvercového prùøezu 13/15 Jaký je prùtok kapaliny o viskozitì η trubicí prùøezu a délce z, je- -li na koncích tlakový rozdíl p? (= stacionární tok tepla rovnomìrnì zahøívanou deskou, která je ukotvena v ledu na okrajích) 2 v = p zη = α v(okraj) = 0 v = u+v 0, u 0 = αx( x)/2 2 u = 0 (ale zmìní se okrajové podmínky) rozvineme okrajové podmínky do Fourierovy øady ( ) π(2k + 1)x u(x, 0) = u(x, ) = u 0 = a k sin ( ) π(2k + 1)x øe¹ení hledáme ve tvaru u = a k sin w k (y) k=0 [ ( ) ( )] π(2k + 1)y π(2k + 1)( y) [ ] w k (y) = exp + exp / e π(2k+1) + 1 prùtok I = A2 p zη, A = 2 ; kruhový prùøez A: I = A2 p zη k=0

14 Fourierova transformace [xmaple../maple/.mw] 14/15 pøímá: FT[f](k) ^f(k) = f(x)e ikx dx zpìtná: f(x) = 1 2π ^f(k)e ikx dk Dùkaz: staèí pro funkci δ(x) = lim σ 0 exp( x 2 /2σ 2 )/ 2π { viz Maple. U¾iteèné: Gaussova funkce Gaussova funkce ^δ(k) = 1, ve smyslu distribuce: δ(x) = 1 2π e ik(x x ) dx FT pøevádí derivaci na dìlení (pro f(± ) = 0), násobení sin èi cos na posun frekvence: ^f = i k^f, FT[e ik x f(x)](k) = ^f(k + k ) Pozn.: Podobnì se chová aplaceova transformace (s je komplexní èíslo) ~f(s) = f(x)e sx dx lze vyu¾ít pro øe¹ení soustavy lin.dif. rovnic (el. obvody, kinetika)

15 FT konvoluce resp. Greenovy funkce 15/15 FT konvoluce vede na násobení obrazù c(x, t) = c g (x x, t)c 0 (x )dx ^c(k, t) = ^c g (k, t)^c 0 (k) Cvièení: Opìt rovnice difuze pro c 0 (x) = 1 pro x < 1/2, c 0 (x) = 0 jinde; D = 1 { viz Maple. Numerický výpoèet Pøevádíme na diskrétní FT: X k = N 1 n=0 x n e ±i2πkn/n kterou poèítáme algoritmem þrychlá Fourierova transformaceÿ (FFT), jen¾ je øádu O(N log N), pokud je N souèinem malých prvoèísel (typicky 2 k ).