Kapitola 8: Dvojný integrál

Transkript

1 Kpitol 8: vojný integrál Riemnov definie dvojného integrálu pøes obdelník Pøedpokládejme f : R 2 R je spojitá nezáporná funke. =, b, d. Cheme vypoèítt objem tìles T : T = {(x, y, z R 3 ; x, b, y, d, z f(x, y}. efinie: Nehİ f(x, y je omezená funke n, potom dvojným (Riemnnovým integrálem funke f pøes mno dinu rozumíme èíslo n m f(x, y dxdy = f( x i, ỹ j x i y j, lim n m i=1 j=1 pokud limit vprvo je koneèná nezávisí n výbìru dìlení = x x 1 x n = b, = y y 1 y n = b výbìru bodù x i x i 1, x i ỹ j y j 1, y j, i=1,...,n, j=1,...,m. Vìt: Je-li funke f spojitá n =, b, d, pk existuje dvojný integrál Výpoèet dvojného integrálu pøes obdelníkové obory Fubiniov vìt pro obdélníkový integrèní obor: Neht f(x, y je spojitá n mno dinì =, b, d, potom d f(x, y dxdy = f(x, ydy dx = d f(x, ydx dy Vìt: Neht g(x je spojitá n mno dinì, b h(y je spojitá n mno dinì, d, potom pltí d f(x, y dxdy = g(xdx h(ydy. vojný integrál pøes stndrdní mno dinu Vìt: Neht funke f(x, y je omezená n O =, b, d spojitá n obdélníku O s výjimkou koneèného poètu bodù nebo bodù koneèného poètu obloukù, potom f(x, y dxdy existuje. Zvedeme pojem Stndrdní mno din 1. je omezená, R 2 O 2. hrnie H( je tvoøen koneèným poètem jednoduhýh uzvøenýh køivek bodù. efinujme funki g(x, y = { f(x, y pro (x, y pro (x, y, b, d \ T = {(x, y, z; (x, y, z f(x, y} je tìleso T. Objem tìles T : V = g(x, y dxdy,b,d 1

2 vojný integrál pøes stndrdní mno dinu - 2 efinie: Neht funke f(x, y je omezená n stndrdní mno dinì, b, d. Polo dme { f(x, y pro (x, y g(x, y = pro (x, y, b, d \, pk dvojným integrálem funke f pøes mno dinu rozumíme èíslo f(x, y dxdy = g(x, y dxdy,,b,d pokud integrál vprvo existuje. Mno dinu nzýváme integrèním oborem. vojný integrál pøes stndrdní mno dinu - 3 Vìt: Neht je stnddní mno din. Neht K K je tvoøen koneènì mnoh oblouky body. Neht f g jsou omezené funke n spojité sobì rovné n mno dinì \ K. Potom existují dvojné integrály funke f g pøes mno dinu rovnjí se, t.j. f(x, y dxdy = g(x, y dxdy. Vlstnosti dvojného integrálu Vìt: Neht existují vžehny integrály vystupujíí ve vìtì. 1. Neht α, β R, pk α f(x, y + β g(x, y dxdy = α f(x, y dxdy + β g(x, y dxdy, 2. Neht = n i, pk i=1 f(x, y dxdy = n i=1 i 3. Neht f(x, y je nezáporná funke, pk f(x, y dxdy. Stnddní mno din typu efinie: Øíkáme, de je stndrdní mno din 1. typu jestli de = {(x, y R 2 ; x, b, ϕ 1(x y ϕ 2(x}, kde ϕ 1(x, ϕ 2(x jsou spojité funke n, b ϕ 1(x ϕ 2(x x, b. Øíkáme, de je stndrdní mno din 2. typu jestli de = {(x, y R 2 ; y, d, ψ 1(y x ψ 2(y}, kde ψ 1(y, ψ 2(y jsou spojité funke n, d ψ 1(y ψ 2(y x, d. 2

3 Výpoèet dvojného integrálu Fubiniov vìt: Neht existuje 1. Neht je mno din 1. typu Pk = {(x, y R 2 ; x, b, ϕ 1(x y ϕ 2(x}. ϕ 2 (x f(x, y dxdy = f(x, ydy dx. ϕ 1 (x 2. Neht je mno din 2. typu Pk = {(x, y R 2 ; y, d, ψ 1(y x ψ 2(y}. d ψ 2 (y f(x, y dxdy = f(x, ydx dy. ψ 1 (y PloŽný obsh pomoí dvojného integrálu Poznámk: vojného integrálu mù deme vyu dít i pro výpoèet pložného obshu mno diny R 2. PloŽný obsh se rovná èíselnì objemu tìles o výže 1, tedy P = 1 dxdy. Substituèní metod pro dvojný integrál Mìjme zobrzení Φ : H R 2 R 2, Φ = (ϕ, ψ = (x, y, rovnie x = ϕ y = ψ nzýváme trnsformèními rovniemi. efinie: Zobrzení Φ nzýváme rgulární zobrzení jestli de 1. Φ je prosté n H, tj. (u1, v 1, (u 2, v 2 R 2 pltí (u 1, v 1 (u 2, v 2 Φ (u 1, v 1 Φ (u 2, v Φ je n H spojitì diferenovtelné. 3. J = det ( ϕ u ψ u ϕ ψ v v pro H. 3

4 Vìt o substitui Vìt: Neht existuje dvojný integrál f(x, y dxdy, kde je stndrdní mno din. Neht Φ = (ϕ, φ je regulární zobrzení tkové, de zobrzuje stndrdní mno dinu H n stndrdní mno dinu, tj. Φ (H =. Pk f(x, y dxdy = f(ϕ, ψ J dudv NejèstìjŽí substituí je substitue do polárníh souødni. Polární souødnie Trnsformèní rovnie pro polární souødnie jsou H x = r os t y = r sin t, r (,, t, 2π (r, t Φ (r, t = (ϕ(r, t, ψ(r, t = (x, y ( os t r sin t J(r, t = det = r os 2 t + r sin 2 t = r. sin t r os t Nevlstní integrály efinie: Neht R 2 je mno din 1. neomezená 2. hrnie je tvoøen koneèným poètem úseèek polopøímek Neht n = {(x, y R 2, x 2 + y 2 n 2 }. Neht f(x, y je omezená funke n mno dinì. Neht pro n N existuje n Potom nevlstním dvojným integrálem rozumíme f(x, y dxdy = lim n n f(x, y dxdy, pokud limit vprvo existuje. Nevlstní integrály - 2 Vìt: Je-li f(x, y spojitá omezená n =,, potom ( ( f(x, y dxdy = f(x, ydy dx = f(x, ydx dy pokud existují integrály n prvé strnì. Poznámk: podobný vzth pltí pro =, b, = (,, =,, d = (,, d. 4

5 Lpleùv integrál Vypoèteme nejdøíve integrál I = ( e (x2 +y 2 dxdy = e x2 dx > e x2 dx pomoí dvojného integrálu. Proto de pltí: ( e x2 dx e y2 dy = I 2, kde =,,. ostneme I = 1 2 π, po substitui t = x potom pltí e x2 dx = 1 2 π. odtek: Trojný integrál Trojný integrál Podobnì jko dvojný integrál mù deme zvést trojný integrál f(x, z, ydxdydz, kde R 3 je integrèní obor. Jestli de f(x, y, z je hustot tìles v bodì (x, y, z, potom trojný integrál pøes mno dinu pøedstvuje hmotnost tìles. Jestli de =, b, d e, f pltí ( d ( f f(x, z, ydxdydz = f(x, y, zdz dy dx. e Trojný integrál - 2 R 3 : f(x, z, ydxdydz = = ( (x f(x, y, zdydz dx = ( ( ϕ2 (x ψ2 (x,y f(x, y, zdz dy dx. ϕ 1 (x ψ 1 (x,y Vìt o substitui Neht H R 3 zobrzení Φ : H R 3 je regulární, tj. 1. Φ je prosté Φ (H = 2. Φ je spojitì diferenovtelné n H 3. det J(u, v, w pro (u, v, w H, potom pltí f(x, y, zdxdydz = f( Φ (u, v, w det J(u, v, w dudvdw H Poznámk: NejèstìjŽí substitue je substitue do sférikýh souødni nebo do válovýh (ylindrikýh souødni. 5

6 Sfériké válové souødnie Trnsformèní rovnie pro sfériké souødnie jsou x = r os t sin u y = r sin t sin u z = r os u, r (,, t, 2π, u, π (r, t, u Φ (r, t, u = (ϕ 1(r, t, u, ϕ 2(r, t, u,, ϕ 3(r, t, u = (x, y, z detj(r, t, u = r 2 sin u. Trnsformèní rovnie pro válové souødnie jsou detj(r, t, z = r. x = r os t y = r sin t z = z, r (,, t, 2π, z R (r, t, z Φ (r, t, z = (ϕ 1(r, t, z, ϕ 2(r, t, z,, ϕ 3(r, t, z = (x, y, z 6