Numerické modelování fyzikálních dějů

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické modelování fyzikálních dějů"

Julie Veselá
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Nuerické odelování fzikálních dějů K. Kolář 1, K. Král 2, O. Malikiewicz 3, K. Onderková 4, D. Wagenknech 5 1 Gnáziu, Špiálká 2, Praha 9 2 Podkrušnohorké gnáziu, Mo 3 Sřední průlová škola Hronov 4 Gnáziu Budějovická, Praha 4 5 Gnáziu Říčan, Říčan 1 k.kolar@eail.cz, 2 kralkareliv@gail.co, 3 o.alik@ezna.cz, 4 padawanka@gail.co, 5 d.wag@ezna.cz Abrak: V oučanoi pořebujee řeši i akové problé, keré jou analick neřešielné nebo je jejich řešení příliš zdlouhavé, pro akovéo případ používáe přibližné nuerické eod. Výhodai nuerického odelování jou rchlo, přeno (kerá je čao více než doaečná) a jednoducho, kerou e ůžee nauči používa různý nuerický ofware. Tao práce popiuje někeré z ožnoí nuerických iulací: od jednoduchého abulkového kalkuláoru až po vorbu vlaních prograů. 1 Úvod V dnešní počíačové době ále neeiují aeaická řešení někerých vědeckých probléů, našěí někerýi ná ohou velice pooci počíače. Přibližná řešení, kerá e dne počíají, e nazývají nuerické odelace. Poocí nich ůžee řeši nejrůznější problé, určova var baliické křivk, dráhu veírné ond, ale i zobrazova zajíavé frakální obrazce. Není přio nuné děla noho arieick ložiých výpočů v ruce, jen je nuné zada příkaz a vupní daa do někerého z prograů k iulací určených. 2 Progra používané k iulací a jejich aplikace 2.1 Wolfra Maheaica Progra Wolfra Maheaica je jední z nejlepších prograů pro echnické a vědecké výpoč. Uožňuje relaivně nadno řeši nuerick ložié problé a výledk uožňuje zobrazi v eové nebo grafické podobě. Proředí Wolfrau Maheaica e podobá jednoduchéu eovéu edioru. Pro zadávání vupů je nuné e nauči peciální příkaz, keré e podobají prograovacíu jazku Tluené ki Obr. č. 1: Logo prograu[1] U lueného kiání půobí na ociláor vnější íla, důledke čehož dochází ke zenšování apliud. Energie ociláoru je poupně přenášena do okolí; apliuda e ále zenšuje, dokud ociláor nepřeane kia.

2 Příklade ociláoru je závaží na pružině nebo kvadlo. Pokud není energie ociláoru udržována vnějšíi ilai, přeane fzikální é kia v důledku odporu vzduchu a jiných il, keré ohou bý např. u aeaického kvadla zanedbán Obr. č. 2: Neluené ki Obr. č. 3: Tluené ki Obr. č. 4: Mezní aperiodické luení - Obr. č. 5: Aperiodické luení Pohb v radiální graviační poli Počíačové iulace e používají v případech, kd je nuné prové velké, pro člověka neožné, nožví výpočů. Veli ložié na výpočení výkon jou chaoické é. Není ožné je řeši analick a počíačové iulace jou jediný způobe, jak zjii alepoň přibližný vývoj éu. Na obrázku 6, 7 a 8 je zobrazen é několika ěle jeden z klaických příkladů nelineárního éu. Máe-li například ve veíru dvě ělea, kerá na ebe půobí graviačně, je ožné analick popa chování éu. Po přidání řeího ělea e ale iuace zění. Sice je ále ožné vjádři íl ezi ěle graviační zákone, není ale ožné chování akového éu analick popa. Jediný způobe, jak zjii chování akového éu, je ed nuerická iulace. V ideální případě bcho pro zjišění přeného vývoje éu ueli prové éěř nekonečné nožví výpočů. To ice není ožné, aké proo e akový é nazývá chaoický (repekive deeriniick chaoický), ale ve věšině případů polouží k relaivně přené iulaci i běžný doácí počíač. Jední ze základních znaků chaoického éu je ilná závilo na počáečních podínkách právě o je deonrováno na iulacích, jejichž výledek je na obr. 6, 7 a 8. V iulaci bla uíěna čři ělea honoi Slunce do vrcholů čverce o raně 2 AU a ao ělea graviačně půobila na páé ěleo (přičež graviační půobení páého ělea na čři acionární blo zanedbáno). Obě iulace e liší pouze v počáečních podínkách: poloha páého ělea na začáku iulace e liší na čvré deeinné íě. I ak je ale ze

3 iulací vidě, že ao, na první pohled zanedbaelná odchlka, způobila velký rozdíl v rajekorii ělea. 3.0 µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ Obr. č. 6 a 7: Ukázka pohbu družice v ouavě 4 Sluncí 3µ µ µ µ µ µ µ Faulu -1µ Obr. č. 8: Ukázka pohbu družice v ouavě 4 Sluncí Faulu je progra na nuerické výpoč. Je obdobou éu Wolfra Maheaica, neobahuje ale akové nožví funkcí, práce ní je inuiivnější, vupní kód je podobný prograovacíu jazku Pacal. Je ale určen pro é MS DOS, což ouvií e arší grafický rozhraní a probleaický epore vkrelených iulací Liajouov obrazce Pokud nějaké ěleo kiá ve více dienzích, pak jeho rajekorie voří Liajouův obrazec (či Liajouovu křivku). Pro vzhled výledné rajekorie je důležiý poěr úhlových frekvencí, ve kerých je pohb vkonáván. Paraerický zápi pro ki probíhající ve dvou na ebe kolých ěrech je: = in( ω + ϕ ) = a a in( ω + ϕ )

poěr 2 frekvencí kiů (nahoře: vlevo 1:1, vpravo 1:2; dole:

rajekorie poěru 3:5 a graf záviloi výchlk ve ěru o a na čae 2.

je pře voji ložiou podobu čao popán relaivně jednoduše.

jedná e ed o é vhodné k počíačový iulací.

kapradí (fern), jednolivé iulace e liší v konanách.

používají k zobrazení vlanoí nelineárních éů. Obr. č.

konan) Lorenzův arakor je frakální obrazec pojenovaný po vé

4 π Obr. č. 9: Na levé čái jou Liajouov obrazce (pro ϕ = a ϕ = 0 ) různýi poěr 2 frekvencí kiů (nahoře: vlevo 1:1, vpravo 1:2; dole: vlevo 1:3, vpravo 3:5), v pravé čái je opě zobrazena rajekorie poěru 3:5 a graf záviloi výchlk ve ěru o a na čae Frakál Frakální nožina je aeaický oběpodobný objek, kerý je pře voji ložiou podobu čao popán relaivně jednoduše. K zobrazení věšin frakálů je pořeba noho výpočeních operací, jedná e ed o é vhodné k počíačový iulací. Například obrázku 11 je é ierovaných funkcí označován jako kapradí (fern), jednolivé iulace e liší v konanách. Frakální nožin nejou jen pěkné aeaické obrazce; ve fzice e používají k zobrazení vlanoí nelineárních éů. Obr. č. 10, 11 a 12: Ukázk frakálů (vločka, kapradí, vlaní výběr konan) Lorenzův arakor je frakální obrazec pojenovaný po vé oci, Edwardu Lorenzovi. Vchází z rovnic určených k iulaci aofér, na obrázcích 13 a 14 je několik jeho podob lišících e v konanách v rovnicích. Obr. č. 13 a 14: Ukázk Lorenzových arakorů

2.3 Ecel Pro někeré éně náročné problé je použielný i abulkový edior, například Ecel.

dané a ěch na kraji abulk). Na obrázku 16 je rozložení poenciálu v iuaci, kerá b ohla bý přirovnána k iuaci, při bouřce nad rovný pole.

Na obrázku 18 je přibližná iulace oho, jak b vpadal poenciál v oblai, kde je ro (vlevo), anéna (vpravo) a 4 lidé (ezi anénou a roe). Obr. č.

4 Vvoření vlaního prograu Progra jako Wolfra Maheaica nebo Faulu ice uožňují iulova noho éu, v prai je ale čao nuné zabýva e i jinýi rukurai.

5 2.3 Ecel Pro někeré éně náročné problé je použielný i abulkový edior, například Ecel. Takovéo progra nejou vořené pro nuerické počíání, ale jou nadno použielné i bez předchozí příprav a jejich ožnoi jou poěrně velké. Obr. č. 15: Logo Ecelu[4] Neriviální případe použií Ecelu ůže bý na vpočíání poenciálu v elekrické poli. Výpoče pracuje na úplně jednoduché principu každá buňka á í poenciál, kerý je průěrnou hodnoou 4 okolních buněk (kroě ěch, keré jou napevno dané a ěch na kraji abulk). Na obrázku 16 je rozložení poenciálu v iuaci, kerá b ohla bý přirovnána k iuaci, při bouřce nad rovný pole. Na obrázku 17 je krabice, v jejíž jedné raně je ovor. Na obrázku 18 je přibližná iulace oho, jak b vpadal poenciál v oblai, kde je ro (vlevo), anéna (vpravo) a 4 lidé (ezi anénou a roe). Obr. č. 16, 17 a 18: Ukázk plošných grafů znázorňující poenciál v dané oblai 2.4 Vvoření vlaního prograu Progra jako Wolfra Maheaica nebo Faulu ice uožňují iulova noho éu, v prai je ale čao nuné zabýva e i jinýi rukurai. V akové případě je nuné vvoři jednoúčelový progra v někeré z prograovacích jazků, například Pacal nebo C++. Výhodou a zároveň i zápore je právě úzká pecializace vvořeného prograu. Algori ohou bý opializované na řešení konkréního probléu a vůrce á podaně věší volno při vorbě. Na obrázcích 19 a 20 je ukázka iulace šíření epla napaná v jazce C++ (jedná e o aeaickou iuaci, nikoliv reálný é). Obr. č. 19 a 20: Šíření epla

6 3 Shrnuí V práci je e zabývali nuerickýi iulacei v prograech Wolfra Maheaica a Faulu. Zabývali je e é, keré b bez použií počíačů blo ožné jen ěžko zkoua, ať už e jedná ne nelineární chaoické é nebo o jednodušší Liajouov obrazce. Je však předaveno jen několik ožnoí, jak é nuerick iulova. Nuerické výpoč je ožné provádě i v abulkové kalkuláoru nebo jiných prograech (např. Scilab). K iulování peciálních éů je ale aké ožno napa peciální progra v někeré z prograovacích jazků. V každé případě je ale užíváno výpočeního výkonu počíačů ke zkouání a popiu éů, keré b bez oderních proceorů blo ožné popa jen veli obížně. Poděkování Děkujee organizáorů, zejéna ing. Vojěchu Svobodovi, a FJFI za pořádání Fzikálního ýdne, děkujee našeu upervizorovi Ing. Janu Solachovi a vše oaní, keří e zaloužili o zdárný průběh Fzikálního ýdne. Reference: [1] URL: IMAGES/ROOT/HEADER-SPIKEY2.GIF [ciováno ] [2] Připěvaelé Wikipedie, Tluené kiání [online], Wikipedie: Oevřená encklopedie, c2009, Dau polední revize , 14:52 UTC, [ciováno ] <hp://c.wikipedia.org/w/inde.php?ile=tluen%c3%a9_ki%c3%a1n%c3%ad &oldid= > [3] URL: [ciováno ] [4] IMAGES/EXCELLOGO.PNG [ciováno ] [5] PODLE-ALGORITMU-IFS [ciováno ]

Podobné dokumenty

Tlumené kmity. Obr

Tlumené kmity. Obr 1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující