NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika II) 1. Na autě jsou prováděny dvě nezávislé opravy a obě opravy budou hotovy do jedné hodiny.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika II) 1. Na autě jsou prováděny dvě nezávislé opravy a obě opravy budou hotovy do jedné hodiny."

Luděk Svoboda
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 Spojiá rozdělení I.. Na auě jou prováděny dvě nezávilé opravy a obě opravy budou hoovy do jedné hodiny. Předpokládejme, že obě opravy jou v akové fázi, že rozdělení čau do ukončení konkréní opravy je rovnoměrné. (a) Jaká je řední hodnoa a rozpyl čekání na ukončení první opravy? (b) Jaké je rozdělení doby do ukončení obou oprav? (c) Určee pravděpodobno, že obě opravy budou ukončeny do 45 minu. (d) Uvažujme iuaci, kdy opravy nebudou prováděny oučaně, ale poupně. Jaké rozdělení bude mí ča ukončení obou oprav? (e) Uvažujme nyní n nezávilých oprav, jejichž doba má rovnoměrné rozdělení R(, ). Nech T je ča, kdy bude dokončena první z oprav, a T ča, kdy bude dokončena polední z oprav. Jaké je rozdělení n.v. T a T?. Poče příchozích hovorů v čaovém inervalu (, T ) má Poionovo rozdělení paramerem λt. (a) Jaké je rozdělení doby čekání na první příchozí hovor? (b) Určee řední hodnou a rozpyl doby čekání na první hovor. (c) Jaké je rozdělení čekání na první příchozí hovor za předpokladu, že do čau > žádný hovor nepřišel? 3. Uvažujme, že má náhodná veličina pojié rozdělení, keré je bez paměi, j. P (X < + X > ) P (X < ). Dále předpokládáme, že pro huou ohoo rozdělení f() plaí: f() x <, f() > x a huoa f je pojiá na [, ). Jaký var ao huoa má a o jaké rozdělení e jedná?

2 Řešení. Označme X i ča v minuách, kerý muí majiel ješě čeka na dokončení i-é opravy, i,. Za zadání plyne, že X i R(, ), j. huoa rozdělení éo náhodné veličiny je: f(x), x (, ),, x / (, ). (a) EX Ω X(ω)dP (ω) R x x dx 3. VarX E(X EX) EX (EX) [ x 3 8 ] x dx 3 Sřední doba čekání na ukončení první opravy je edy 3 minu, rozpyl je 3. (b) Označme X dobu do ukončení obou oprav, pak X max{x, X }. Určíme diribuční funkci náhodné veličiny X. F X (x) P (X < x) P (X < x, X < x) P (X < x)p (X < x) ( x ) ( x d x ) 3. Z diribuční funkce F X určíme huou f X n.v. X. f X (x) x F X(x) x x 3 x, x (,.) 8 Rozdělení ukončení obou oprav je určeno uvedenou diribuční funkcí nebo ekvivalenně vypočíanou huoou. (c) 45 [ ] x x 45 P (X 45) 8 dx (d) Označme Y ča ukončení obou oprav, pak Y X + X. Sdružená huoa f X,X (x, y) f X (x)f X (y) pro (x, y) [, 3 ] (Jelikož jou n.v. X a X nezávilé). Pro jednoducho rozdělíme výpoče na dvě iuace.., pak F Y () P (Y < ) P (X + X < ) [ ] ( x) 3 edy f Y (), (, ). 3 x, (, ), 7 3 dydx 3 ( x)dx

3 3 (e) T min{x,..., X n } a T max{x,.., X n }. Pak F T (x) P (T < x) P (X < x,.

3 Obrázek : Zelený čverec [, ] zobrazuje množinu všech realizací náhodných veličin X, X (j. proor Ω), červeně vyšrafovaná obla je obla, kde Y < pro < (čá.), modře vyšrafovaná obla je obla, kde Y < pro > (čá.).. >, pak min{, x} F Y () P (Y < ) P (X + X < ) 3 dydx ( ) ( ) ( ) , edy f Y () +, (, ). 3 3 (e) T min{x,..., X n } a T max{x,.., X n }. Pak F T (x) P (T < x) P (X < x,..., X n < x) ( x ) n, ( x ) n P (X i < x) d i f T ( x ) n nx n x, n F T (x) P (T < x) P (min{x,..., X n } < x) P (min{x,..., X n } x) P (X x,..., X n x) P (X i x) i i x d ( ) n x 3

4 a f T ( x ( ) n ) x n( x)n n.. Označme X náhodnou veličinu popiující poče příchozích hovorů do čau a Y náhodnou veličinu popiující ča do příchodu prvního hovoru. (a) edy λ (λ) F Y () P (Y < ) P (X > ) P (X ) e f Y () ( e λ ) λe λ, >. e λ, (b) Náhodná veličina Y má exponenciální rozdělení paramerem λ. EY λe λ d λ VarY EY (EY ) λ ] ) ([ e λ e λ + λ λ d λe λ d [ ] λ λ e λ + λ λe λ d λ λ λ λ. [ e λ λ ] λ. e λ d λ (c) I. pomocí Poionova rozdělení P (Y < + Y > ) P (X + > X ) P (X + >, X ) P (X ) P (X > )P (X ) P (X > ) P (Y < ). P (X ) II. pomocí exponenciálního rozdělení P (Y < +, Y > ) P ( < Y < + ) P (Y < + Y > ) P (Y > ) P (Y > ) [ ] e λx + eλ(+)+e λ e λ e λ + λe λx dx P (Y ) e λ P (Y < ). Teno výledek lze inerpreova aké ak, že exponenciální rozdělení je rozdělení bez paměi. Nebo pravděpodobno, že budeme čeka na událo ješe čaových jednoek, pokud víme, že jme již čaových jednoek čekali, je ejná jako pravděpodobno, že budeme čeka čaových jednoek (bez znaloi minuloi). 4

5 3. P (X < + X > ) P (X < ) P (X < +, X > ) P (X < ) P (X > ) P ( < X < + ) P (X < ) P (X > ) lim lim + f() f() f() f() f () f() f() Doaneme edy diferenciální rovnici f () f()f(), edy f() Ce f(). Označme λ f(), pak f() Ce λ. Jelikož f()d, doaneme C λ, edy huoa má var f() λe λ, což je huoa exponenciálního rozdělení. Pokud edy chceme pojié rozdělení na [, ) e pojiou huoou, keré nemá pamě, ak máme jedinou možno a o exponenciální rozdělení. 5

Podobné dokumenty

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly. 6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U