Literatura. Obsah FUNKCE VE FYZICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku

Transkript

1 Lieraura [1] Košťál, R. a kol: XVII. ročník fyzikální olypiády. SPN, Praha [] Žapa,K.akol:XXV. ročník fyzikální olypiády. SPN, Praha [3] Žapa,K.akol:XXVI. ročník fyzikální olypiády. SPN, Praha 199. [4] Volf, I., Šedivý, P.: 4. ročník fyzikální olypiády. MAFY, Hradec Králové. [5] Vybíral, B., Zdeborová, L.: Pohyb ěle vlive odporových il. MAFY, Hradec Králové. [6] Ungeran, Z.: Maeaika a řešení fyzikálních úloh. SPN, Praha 199. [7] Taraov, N., P.: Základy vyšší aeaiky pro průylové školy. SPN, Praha Obah FUNKCE VE FYZICE Sudijní ex pro řešiele FO a oaní zájece o fyziku Mirolava Jarešová Ivo Volf Eleenární funkce na CD ROMu 1 Základní pojy Poje funkce Graf funkce Úlohy z kineaiky 7 Příklad 1 ceující a vlak Cvičení Cvičení Příklad nerovnoěrný pohyb Příklad 3 pohyb v íhové poli Zeě Cvičení Úlohy na kiavé pohyby 15 Příklad 4 základní grafy kiavých pohybů Příklad 5 určování údajů z grafu Příklad 6 okažiá rychlo a zrychlení Příklad 7 echanický ociláor Cvičení Cvičení Příklad 8 ika plaelínou Cvičení Liiy Liia poloupnoi Příklad 9 oen ervačnoi kruhové deky Liia funkce Příklad 1 pohyb kuličky ve vodě cvičení 7 Lieraura 3 3 1

2 Cvičení 5 a) v =3 1 ; y = v = v T =,57. ω π T =1,,ω = π T =5,4 rad 1, a = ω y = ωv =15,7, ϕ = 7 6 π. b) c),57 y {y} =,57 in (5,4{} 76 ) π, {v} = 3,co (5,4{} 76 ) π, {a} = 15,7 in (5,4{} 76 ) π.,,4,6,8 1, 1, 1,4 uíěny někeré udijní exy v ěcho dvou foráech louží k doplnění daného éaického celku. K vlaní práci CD ROMe je nuné í na počíači nainalovaný prohlížeč Inerne Explorer. Při udiu funkcí poocí již popiovaného udijního exu CD ROMe je vhodné i před vlaní udie exu zopakova přílušné čái poocí CD ROMu jou zde hrnuy základní aeaické poznaky k danéu éaickéu celku. Sudijní ex je zaěřen předevší na procvičování vorby grafů funkcí k éaický celků pohyby ěle v hoogenní íhové poli Zeě a kiavé pohyby řada úloh použiých v oo udijní exu jou různě upravené úlohy z různých ročníků FO za účele co nejefekivnější práce při vyváření grafů popiujících daný problé. Ovše vlaní CD ROM oho obahuje podaně více kroě výše uvedeného jou zde zpracovány i další pojy: anaorfóza grafu, poloupnoi, liia funkce. Vše leduje ješě další cíl: připravi vá na o, abye v budoucnu ohli lépe zvládnou další udijní exy zaěřené na užií diferenciálního a inegrálního poču ve fyzice. Při vlaní udiu úloh ze udijního exu doporučujee i nejprve aoaně eroji grafy funkcí u řešených úloh a pak eprve začí řeši ou odpovídající cvičení. Věšinu erojených grafů je aké ožno odelova poocí prograů na CD ROMu. Přejee hodně úpěchů při vorbě grafů funkcí a příjenou práci CD ROMe.,57 15,7 a Obr. Graf záviloi y = y(),,4,6,8 1, 1, 1,4 15,7 Obr. 1 Graf záviloi a = a() 3 3

3 Cvičení 1. Počeně: Seavíe kvadraickou rovnici 1 +d 1 =. Požadujee, aby D. Poo uí plai 1 8d 1. nerovnice doanee d Nejvěší ožná vzdáleno je 18.. Graficky: ověříe, že příka a parabola ají pouze jeden polečný bod. Je udíž obje V funkcí laku p. Na základě výše uvedených příkladů ůžee nyní napa definici poju funkce: Proěnná veličina y e nazývá funkcí nezávile proěnné veličiny x, jeliže každé hodnoě veličiny x odpovídá jedna určiá hodnoy veličiny y. Nechť je dána funkce f: y = f(x). Množinu hodno, kerých ůže nabýva proěnná x, nazýváe definiční obor funkce f, značíed(f). Množinu hodno, kerých nabývá proěnná y, nazýváe obor hodno funkce H(f) , =18+, Obr. 18 Graf záviloi drah 1, na čae 1 =6 Poznáka Definice funkce nic neříká o způobu, jíž je anovena závilo ezi funkcei a argueny. Tyo způoby ohou bý rozanié, y e v oo exu budee zabýva předevší případy, kdy je funkce dána vzorce. V přírodních vědách a v echnice e čao ekáváe případy, kdy závilo ezi funkcí a arguene není určena vzorce, ale pokue. Pak vyjadřujee vzah ezi funkcí a arguene užií abulky, ale někdy e nažíe eavi vzorec, vyjadřující funkční závilo přibližně poocí zv. epirického vzorce. Mío epirického vzorce je někdy vhodnější vyjádři funkční závilo v přibližné grafu. Hiorická poznáka Slovo funkce poprvé použili něecký aeaik G. V. Leibniz ( ) a švýcarký aeaik Jakob Bernoulli ( ). Poje funkce jako pravidla daného určiý poče počeních výkonů, keré je nuno prové nezávile proěnnou x, abycho doali závile proěnnou y, zavedli v první polovině 18. oleí J. Bernoulli (1718) a L. Euler (1748). L. Euler ( ) io jiné podal yeaický výklad o funkcích a značil je již ybole f(x). Cvičení 3 a) 1: rovnoěrný pohyb v = kon. =4 1 : rovnoěrně zrychlený pohyb v = a = 4 3 a = 4 3 3: rovnoěrně zpoalený pohyb v =6 1 3 a 3 =

4 Na níže uvedené obrázku uo závilo ješě znázorníe graficky. Úlohy z kineaiky Před vlaní erojování grafů je řeba i eudova a procviči přílušné parie poocí úloh na CD ROMu. r k 1 O r k R Obr. Graf funkce v = a ( ) 1 e k k Poznáka S podobnýi iuacei je ve fyzice ožné e eka např. při řešení přechodových dějů v elekrických obvodech. Další úlohy vzahující e k probleaice lii poloupnoí a funkcí je ožno i e ručný eoreický výklade a přehlede počeních vzahů naléz na přiložené CD ROMu. Příklad 1 ceující a vlak (Náěe je úloha ze 17. ročníku FO) Neukázněný ceující běží rychloí v =6 1, aby naoupil do poledního vagónu vlaku, kerý je na náupiši připraven k odjezdu. V okažiku, kdy ceující je ve vzdálenoi d 1 = od dveří poledního vagónu, začne e vlak rozjíždě e álý zrychlení a =1. a) Určee dráhu 1 ceujícího a dráhu vlaku jako funkce čau. Seroje oba grafy do jednoho obrázku. Z grafů rozhodněe, zda ceující dohonil polední vagón vlaku. b) Určee vzdáleno d ceujícího od dveří poledního vagónu vlaku jako funkci čau. Seroje graf funkce d = f(). a) Označíe 1 dráhu, kerou urazí ceující, dráhu vlaku v záviloi na čae. Počáek ouavy ouřadnic uííe do vzdálenoi d 1,vekerée nachází ceující v okažiku, kdy e vlak začíná rozjíždě. Plaí 1 = v, = d a 1. Konkréně ůžee pá pro číelné hodnoy 1 =6, =+, 5. K erojení grafu pro dráhu je nuné eroji abulku (proveďe i ai) viz grafy kvadraických funkcí na CD ROMu. Graf pro dráhu 1 je příka procházející počáke a nějaký další bode, jehož ouřadnice i opě dopočěe viz graf lineární funkce na CD ROMu. Z níže uvedeného grafu je vidě, že ceující bude nejblíže vlaku v čae ai 6 od okažiku, kdy e vlak začal rozjíždě. 6 7

5 Poloěr kruhu i rozdělíe na n ejně velkých čáí, poo dělícíi body povedee ouředné kružnice. Tí e kruh rozdělí na n ezikruží (obr. ). Hono k-ého ezikruží pak určíe užií vzahu k = π(rk r k 1 ) σ, kde σ je plošná huoa a vypočee ji užií vzahu σ = πr. Každé ezikruží nyní budee považova za honou kružnici o poloěru rovnéu arieickéu průěru krajních poloh ezikruží. Označíe-li r k = R n k, r k 1 = R (k 1), n pak pro oen ervačnoi k-ého ezikruží ůžee pá J k = π(r k r k 1 )σ ( rk r k 1 ) = πσr4 4n (k 1)3. Sečení dílčích oenů ervačnoi J k doanee celkový oen ervačnoi kruhové deky J(n), kerý e bude kuečné hodnoě blíži í více, čí bude věší n. Plaí J(n) = n k=1 Použií vzahu (3) doanee J k = πσr4 4n 4 n (k 1) 3. k=1 J(n) = πσr4 4n 4 n (n 1) = πσr4 4 ( 1n ). Budee-li za n poupně doazova hodnoy 1,, 3..., doanee poloupno J 1 = πσr4, J = πσr , J 3 = πσr ,..., J n = J(n). Hledaný oen ervačnoi kruhové deky pak doanee jako liiu éo poloupnoi, j. J = li J(n) =πσr4. n Nakonec ješě doadíe zpě za σ = a obdržíe ná dobře znáý vzah πr pro oen ervačnoi kruhové deky vzhlede k oe kolé na rovinu kruhu a procházející řede kruhu J = 1 R d Obr. Graf záviloi d na čae d = d() Z grafu je ožno odečí, že nejenší vzdáleno d = bude v čae = 6 od ía rozjezdu vlaku. O právnoi grafického řešení je ožno e převědči počeně. Hledáe ouřadnice vrcholu paraboly d =, Obecně [ plaí, že ouřadnice vrcholu paraboly y = ax +bx+c jou dány vzahe V = b ] b,c. Po doazení přílušných koeficienů do výše uvedeného a 4a vzahu doanee V = [6; ]. Teno výledek odpovídá výledku zíkanéu grafický řešení. Cvičení 1 Vyřeše graficky a počeně předchozí úlohu, bude-li d 1 = 1 při jinak nezěněných podínkách úlohy. Cvičení Určee nejvěší ožnou počáeční vzdáleno d ceujícího od vlaku (v příkladu 1), kdy á ješě ceující šanci dohoni rozjíždějící e vlak. 4 9

6 Cvičení 6 Z daného grafu určee apliudu y,periodut a počáeční fázi ϕ kiavého pohybu. Poo napiše rovnice čaových záviloí y = y(), v = v(), a = a(). Určee dále okažiou výchylku, rychlo a zrychlení pohybu v čaech 1,, 3 a 4 od počáku pohybu. c) a: a = ; 1 b: b =1+( 1) b = 1+ 1; c: c =( ) + 1 ( 1) ( ) +3 b) 5 4 c y Obr. 16 Graf záviloi okažié výchylky na čae c = ; 4 Poznáka Tuo čá c je ožno aké řeši užií poznaků o parabole = A + B + C. Ze zadání víe: A = 1 ; V = [4; 5]. Souřadnice vrcholu paraboly [ jou dány vzahe V = B ] A ; C B. 4A Porovnání koeficienů pro ouřadnice vrcholu: 3 1 a 4= B A B =4, b Obr. 4 Graf záviloi dráhy na čae Nakonec 5=C B 4A C = 3. = ; 4. Shrnuí: Pro ; 1 =, pro 1; = 1+, pro ; 4 = Příklad 3 pohyb v íhové poli Zeě (Náěe je úloha z 5. ročníku FO) Těleo o honoi e pohybuje vile vzhůru v íhové poli Zeě půobení ažné íly ooru F (F >g). Po době 1 od začáku pohybu dojde k vypnuí ooru. 11

7 Příklad 8 ika plaelínou (Úloha ze 4. ročníku FO) Kouek plaelíny o honoi 15 g dopadne z výšky h =1cdoředu iky o honoi M = 1 g zavěšené na pružině uhoi k =1N 1, kerá á zanedbaelnou hono. a) Napiše rovnice vyjadřující čaové funkční záviloi y = y(), v = v(), a = a(). b) Seroje grafy funkčních záviloí z úlohy a). Zobraze alepoň dvě periody. Veliko rychloi, e kerou dopadne plaelína na iku, je v = gh. Dojde k nepružnéu rázu. Bezproředně po ně e bude ika i plaelínou pohybova počáeční rychloí v ěre dolů a začne kia kole nové rovnovážné polohy, kerá je níže o Δl = g. Veliko počáeční rychloi určíe k užií zákona zachování hybnoi: v =( + M)v, v = gh M +. Kiy iky plaelínou popíšee ve vzažné ouavě, jejíž počáek je v nové rovnovážné poloze iky. Počáeční podínky jou edy: y =Δl = g k =,15, v = gh M + =,85 1. Úhlová frekvence a perioda kiů jou: k ω = M + =6,67 rad 1, T = π =,94. ω Apliudu kiů určíe užií zákona zachování energie 1 ky = 1 ky + 1 (M + )v, y = y + (M + )v hk = y k 1+ =,177. g(m + ) Zbývá vypočía apliudu rychloi, apliudu zrychlení a počáeční fázi: v = ωy =1,18 1, a = ω y =7,87, g ϕ = y = y in ϕ, v = ωy co ϕ g ϕ = y ω, v g k k M + M + gh = (M + )g, ϕ = 136, =,38 rad. hk Maxiální výška, ěřená od počáečního ía pohybu je edy H = h 1 + h = ; 3. Jedná e o volný pád, kde 3 je doba volného pádu ělea z výšky H. Plaí H 3 = g = 4 =6,9. 1 Pro okažiou výšku ělea nad povrche Zeě v čaové inervalu ; 3 plaí h = H 1 g. Shrnuí inforací o pohybu pořebných pro erojení grafu: 1. úek: h =, 5 ; 8. úek: h = h 1 + v 1ax 1 g = ;1 3. úek: h = H 1 g = ; 18,9 b) Graf záviloi výšky nad povrche Zeě jako funkce čau: h Obr. 5 Graf záviloi h = h() 13

8 a,55,75,55,,4,6,8 1, 1, 1,4 Obr. 11 Graf záviloi okažiého zrychlení na čae Příklad 7 echanický ociláor Mechanický ociláor kiá periodou T =. Určee apliudu a počáeční fázi kiů, je-li počáeční výchylka y = 5 c a počáeční rychlo v = 1 1. Napiše rovnici záviloi y = y(), v = v(), a = a(). Seroje grafy výše uvedených záviloí. O právnoi vého výledku e převědče poocí Modelování na CD ROMu. Obecně plaí Včae =je ω = π T = π, y = y in(ω + ϕ ) v = y ω co(ω + ϕ ) a = ω y in(ω + ϕ ). y = y in ϕ v = ωy co ϕ a = ω y in ϕ. 3 Úlohy na kiavé pohyby Při znázorňování kiavých pohybů e neobejdee bez důkladných znaloí grafů gonioerických funkcí. Před řešení níže uvedených úloh doporučujee zopakova i přílušné učivo poocí CD ROMu, kde jou uvedeny inforace, jak pařičné grafy kreli. Poocí prograů na CD ROMu je rovněž ožno grafy funkcí odelova. Příklad 4 základní grafy kiavých pohybů a) Napiše rovnici okažié výchylky haronických kiů v záviloi na čae, je-li apliuda výchylky y = 1 c a doba kiu T =. Znázorněe graficky závilo okažié výchylky na čae. V čae = je okažiá výchylka rovna nule. b) Napiše rovnici haronických kiů o poloviční apliudě výchylky, dvojnáobné frekvenci a počáeční fázi 3π. I uo funkci znázorněe graficky. Zopakuje i, že obecně ůžee pá ( ) π y = y in(ω + ϕ )=y in T + ϕ, kde y je apliuda kiavého pohybu, T je perioda, ϕ je počáeční fáze kiavého pohybu. a) V oo případě je π T = π, ϕ =. Poo {y} =1inπ{}. y c Dále ůžee pá y v = 1 ω in ϕ co ϕ 1 Obr. 7 Graf funkce {y} =1inπ{} 18 15

9 b) Je-li y = y, f =f a ϕ = 3π, á rovnice haronických kiů var ( {y} =5in π{} 3π ). Na obr. 8 je eno graf vyznačen ilnou čarou. y c ( Obr. 8 Graf funkce {y} =5in π{} 3π ) Příklad 5 určování údajů z grafu Na obr. 9 je znázorněn graf záviloi výchylky haronického kiavého pohybu na čae. Určee a) periodu, frekvenci a úhlovou frekvenci ohoo kiavého pohybu, b) počáeční fázi kiavého pohybu, c) apliudu výchylky, d) napiše rovnici výše uvedeného kiavého pohybu. y,,1,,,4,6,8 1, 1, 1,4 Doazení do základních vzahů obdržíe a) T =1, ;f = 1 T =,83 Hz; ω =πf =5,4 rad 1, b) ϕ = π 6, c) y =,, ( ) d) {y} =, in 5,4{} + π 6. Příklad 6 okažiá rychlo a zrychlení Napiše rovnici rychloi a zrychlení kiavého pohybu z příkladu 5. Seroje grafy záviloí v = v(), a = a(). Plaí v 1,1,1 v = ωy co(ω + ϕ ), a = ω y in(ω + ϕ ),,,4 ( {v} =,1co 5,4{} + π ), 6 ( {a} =,55 in 5,4{} + π ). 6,6,8 1, 1, 1,4 Obr. 1 Graf záviloi okažié rychloi na čae Obr. 9 Graf funkce 16 17

10 Cvičení 3 Na obr. 6 jou grafy znázorňující čyři funkce v = v(), kde v je veliko rychloi pohybu honého bodu, je ča. a) Jaké pohyby honého bodu znázorňují grafy 1,, 3? Odpovědi zdůvodněe (napiše konkréní rovnice záviloí rychloí na čae pro jednolivé případy). b) Zapiše obecně rovnici dráhy = () v případech 1,, 3, víe-li, že v okažiku = je dráha nulová. Narýuje přílušné grafy v čaové inervalu ;4. c) Graf 4 je parabola. Zapiše obecně rovnici rychloi pohybu v = v() odpovídající grafu. v g ϕ = π T y v g ϕ = π,5 1 ϕ =,5π. Zrovnicey = y in ϕ ůžee vyjádři y = y. in ϕ Po doazení y =,3. Nakonec Cvičení 4 {y} =,3 in(π{},5π) =,3 in(π{} +,95π), {v} = π co(π{} +,95π) =1,co(π{} +,95π), {a} = π,3 in(π{} +,95π) = 3,in(π{} +,95π). Určee frekvenci inuového kiání honého bodu pružiny, jeliže za dobu,1 po projií rovnovážnou polohou urazí 1 celkové dráhy kiu. 8 Cvičení 5 Těleo zavěšené na pružině koná haronické kiy. Závilo okažié rychloi na čae je znázorněna na obr. 1. a) Určee apliudu výchylky y, apliudu zrychlení a a počáeční fázi. b) Napiše rovnice, vyjadřující záviloi y = y(), v = v(), a = a(). c) Nakrelee grafy funkcí z úlohy b). O právnoi vého poupu e převědče poocí Modelování na CD ROMu. Obr. 6 Graf záviloí v = v() v 1 3, 3,,,4,6,8 1, 1, 1,4 Obr. 1 Graf záviloi okažié rychloi na čae 14 19

11 a) Popiše pohyb ělea. b) Nakrelee graf výšky h ělea nad jeho počáeční polohou jako funkci čau. Úlohu a) řeše nejprve obecně, poo pro hodnoy: =1kg,F = 15 N, 1 =8,g =1. Odpor proředí zanedbeje. a) Pohyb ělea je ožno rozloži do ří čáí: 1. ; 1 rovnoěrně zrychlený pohyb e zrychlení a 1 = F g = F g. Dále ůžee pá ( ) F v 1 = a 1 = g, h = 1 a 1 = 1 ( ) F g. V první eapě doáhne ěleo axiální rychloi ( ) ( ) F 15 v 1ax = g 1 = =4 1 a axiální výšky h 1 = 1 ( ) F g 1 = 1 ( ) = 16. Čaový průběh kiů je popán rovnicei: y = y in(ω + ϕ ), {y} =,177 in(6,67{} +,38), v = v co(ω + ϕ ), {v} =1,18 co(6,67{} +,38), a = a in(ω + ϕ ), {a} = 7,87 in(6,67{} +,38).,1,1 1, 1, y v 1,5 1, 1,5 Obr. 13 Graf záviloi okažié výchylky na čae,5 1, 1,5 Obr. 14 Graf záviloi okažié rychloi na čae. 1 ;,kde je doba výupu ělea do axiální výšky celého pohybu ěřená od okažiku vypnuí ooru. Plaí V nejvyšší bodě je v =: v = v 1ax g. =v 1ax g = v 1ax =4. g Maxiální výška ěřená od ía vypnuí ooru: h = v 1ax 1 g = v 1ax g =8. 4, 4, a,5 1, 1,5 Obr. 15 Graf záviloi okažiého zrychlení na čae 1 1

12 Příklad nerovnoěrný pohyb Na obr. 3 je nakrelen graf záviloi rychloi ělea na čae, j. v = v(). a) Určee veliko zrychlení a uraženou dráhu v jednolivých úecích. b) Nakrelee graf záviloi dráhy na čae, j. = (). c) Napiše pro jednolivé úeky rovnice jednolivých křivek znázorňujících závilo dráhy na čae od počáku pohybu. 1 v 1 a b Obr. 3 Graf záviloi rychloi na čae a) Označíe 1,, 3 dráhy uražené v jednolivých úecích,, 1,, 3 čay pro jednolivé úeky: =, 1 =1, =, 3 =4. 1. úek: a 1 =, na počáku pohybu dráha 1 =, 1 = 1 a 1( 1 ) = 1 (1 ) =1.. úek: a =, na konci 1. úeku =, = v ( 1 )= ( 1) =. 3. úek: a 3 = 1 1, na konci. úeku 3 =, 3 = v ( 3 )+ 1 a 3( 3 ) =[ (4 ) + 1 ( 1) (4 ) ]=. c 4 Liiy V éo kapiole e zaěříe na úlohy z fyziky, kde je ožno e eka liiai. Nejprve i ukážee na úlohu vedoucí k řešení liiy poloupnoi, poo na úlohu vedoucí na výpoče liiy funkce. Před čebou éo kapioly je vhodné i yo pojy zopakova podle někeré ze oučaných ředoškolkých učebnic aeaiky nebo užií přiloženého CD ROMu. Na oo CD ROMu lze rovněž naléz i další fyzikální úlohy vyžadující k právnéu řešení znaloi o liiách a poloupnoech. 4.1 Liia poloupnoi Náledující příklad reprezenuje jednu ze kupiny úloh, kde je ožno řeši úlohy daného ypu úlohy řešielné užií vyšší aeaiky pouze poocí liiy poloupnoi bez užií vyšší aeaiky. K ou, abycho vyřešili náledující úlohu budee pořebova náledující vzorec pro ouče řeích ocnin přirozených číel. Plaí S = n k 3 = n 3 = 1 4 n (n +1). (3) k=1 Teno vzah je ožno naléz v aeaických abulkách, odvození e provádí poocí aeaické indukce a je uvedeno v učebnicích aeaiky. Příklad 9 oen ervačnoi kruhové deky Určee oen ervačnoi hoogenní kruhové deky o honoi a poloěru R vzhlede k oe procházející řede deky kolo na rovinu deky. Tloušťku deky zanedbeje. r k 1 O r k R Obr. Výpoče oenu ervačnoi kruhu 1 3

13 1, =+, 5 1 =6 4. Liia funkce V éo čái i ukážee použií liiy funkce jedné reálné proěnné ve vzahu k fyzice. Podrobněji lze čá o liiách funkcí naléz zpracovanou buď na přiložené CD ROMu (zde i dalšíi fyzikálníi aplikacei) nebo v oučaných ředoškolkých učebnicích aeaiky. Liia funkce á velké uplanění při řešení úloh vedoucích k použií vyšší aeaiky. My i nyní na úvod uvedee alepoň jednu úlohu, kde e liiou funkce ůžee eka (další úlohy jou uvedeny na CD ROMu). Příklad 1 pohyb kuličky ve vodě Obr. 1 Graf záviloi drah 1, na čae Počení řešení: hledáe průečík příky a paraboly. 1 = 6 = +, = Kulička je ponořena do vody, přičež huoa kuličky je jen o álo věší než huoa vody. Kuličku z její výchozí polohy puíe nulovou počáeční rychloí. Budee uvažova, že obékání kuličky je lainární a veliko odporové íly je přío úěrná první ocnině rychloi, j. F = kv. Na kuličku kroě éo íly ješě půobí íla vzlaková a íhová. Při řešení záviloi rychloi na čae bycho nyní dále ueli eavi přílušnou diferenciální rovnici. Po vyřešení éo rovnice bycho doali vzah 1 v = a k ( 1 e k ). (4) Doali je kvadraickou rovnici, kerá á záporný dikriinan D<. To znaená, že počení řešení povrzuje právno grafického řešení. Ceující polední vagón vlaku nedohonil. b) Budee hleda, kdy je vzdáleno d ezi ceující a dveři poledního vagónu nejenší. Plaí d = 1 d = d a v 1 d =, Před erojení grafu i vyvoře abulku hodno ak, abye pak ohli níže uvedený graf aoaně eroji. Určee ezní rychlo kuličky. Na pravé raně rovnice (4) je výraz obahující proěnnou. Roe-li nade všechny eze, pak e hodnoa výrazu blíží nule, což ůžee zapa jako y =e k li e k =. Poo edy ůžee pá a ( v = li 1 e k ) = a k k. 1 Popi jak eavova a řeši yo rovnice je ožno naléz např. v publikaci [6]. 8 5

14 1. Graf funkce Graf funkce obvykle erojujee v karézké ouavě ouřadnic O(x, y), kerá je vořena dvěa k obě kolýi orienovanýi ouřadnicovýi oai x, y. V karézké ouavě ouřadnic odpovídá každé upořádané dvojici [x,y ]jediný bod A o ouřadnicích A =[x,y ], kerý erojíe ak, že na oe x vyznačíe ouřadnici x,naoey vyznačíe ouřadnici y. Vyznačenýi body vedee rovnoběžky oai ouřadnic a pak průečík ěcho příek vyznačuje polohu A. Je-li dána pojiá funkce y = f(x), pak graf éo funkce erojíe ak, že vypočee abulku funkčních hodno y pro vhodně zvolené hodnoy proěnné x, edy abulku x x 1 x x 3 x 4... y y 1 y y 3 y 4... upořádané dvojice hodno [x, y] považujee za ouřadnice bodů A 1 = =[x 1,y 1 ], A =[x,y ],..., keré vyznačíe v karézké ouavě ouřadnic, vyznačené body A 1, A,...pojíe ouvilou (pojiou) čarou, kerá je grafický znázornění funkce y = f(x). cvičení Cvičení 1 1. Počeně: eavíe kvadraickou rovnici 1 +=. éo kvadraické rovnice jou v oo případě dva kořeny 1 =, Úloze vyhovuje pouze kořen =. Nyní určíe dráhu odpovídající čau : =1. =1. Ceující v oo případě dohoní rozjíždějící e vlak za od okažiku, kdy e vlak začal rozjíždě.. Graficky: 1, Ne vždy je nuné grafy funkcí erojova akovýo pracný způobe, ale exiuje řada ožnoí, jak eroji graf požadované funkce podaně efekivnější způobe, což i i dále v oo udijní exu ukážee. Funkce je ožno rozčleni na zv. eleenární funkce a z ěch pak vyváře funkce ložiější. Too členění a další inforace o ěcho funkcích a jejich užií je zpracováno na přiložené CD ROMu =6 =1+, Obr. 17 Graf záviloi drah 1, na čae 6 7

15 1 Základní pojy 1.1 Poje funkce V echnice, ve fyzice, v přírodních vědách a aeaice ná nezajíají pouze zěny jedné veličiny aoné, nýbrž záviloi ezi několika proěnnýi veličinai. V nejjednodušší případě, kerý e budee zabýva v oo exu, pracujee e záviloi ezi dvěa proěnnýi. Např. je-li dráha, kerou urazí ěleo padající volný páde za ča, ůžee pá = 1 g. (1) Rovnice (1) určuje závilo ezi a. Předave i, že ná bude zajía délka dráhy, kerou proběhne ěleo za 1 ekund. Poo za proěnnou doadíe hodnou 1 a vypočee ou přílušející dráhu. Charaker zěny proěnné veličiny e liší od charakeru zěny proěnné. Veličina, jejíž číelnou hodnou je ožno libovolně voli, e nazývá nezávile proěnná (arguen). Proěnná, kerá nabývá určiých číelných hodno nezávile na arguenu, e nazývá závile proěnná funkce. Nyní ná bude zajía obrácená úloha, j. budee e zabýva úlohou, za jakou dobu urazí ěleo určiou zvolenou dráhu. Vzah odpovídající éo iuaci doanee, vyjádříe-li neznáou ze vzorce (1), j. = g. () Je vidě, že v oo případě i proěnná a navzáje vyěnily role: arguene je nyní proěnná a funkcí proěnná. Kerou z proěnných v dané funkční záviloi budee považova za arguen a kerou za funkci, je zcela jednoznačně určeno podínkai úlohy. Je-li např. v nějaké nádobě uzavřen ideální plyn pod lake píu, poo ezi lake p a objee V plynu exiuje závilo pv = kon. Pokud e bude podle podínek úlohy jevi p jako nezávile proěnná, ůžee pá V = kon.. p b) 1: 1 = v =4, : = = 3, 3: 3 = = Pro erojení grafů v případě, 3 i ai vyvoře pařičné abulky hodno Obr. 19 Graf záviloi drah 1,, 3 na čae c) Obecně pro 4: parabola prochází počáke [; ] a bode [3; 4], v = k, po doazení ouřadnic bodu [3; 4] doanee Rovnice paraboly edy je v = 4 9. Cvičení 4 4=k 3 3 k = 4 9. Urazí-li honý bod po průchodu rovnovážnou polohou 1 celkové dráhy kiu, 8 je ožno pá ω = π. Dále ůžee pá 6 πf,1 = π f = 5 6 Hz. 4 9

16 Eleenární funkce na CD ROMu Mezi základní eleenární funkce řadíe funkce ocninné, exponenciální, logariické, gonioerické a cykloerické. Eleenární funkce je pak každá funkce, kerá buď paří ezi základní eleenární funkce, anebo je z nich vyvořena poocí konečného poču základních algebraických operací nebo voření ložených funkcí. Eleenární funkce je ožné rozčleni podle náledujícího chéau: Algebraické Racionální Polynoické Lineární loené Iracionální Trancendenní Exponenciální Logariické Gonioerické Cykloerické Takové chéa naleznee aké na úvodní ránce přiloženého CD ROMu a je dále rozvedeno. CD ROM je oučáí ohoo udijního exu a bude vá napoáha ke zopakování vašich poznaků z aeaiky, rozšíření vašich doavadních znaloí z aeaiky, ukáže vá aké užií funkcí ve fyzice a uožní vá odelova někeré vybrané funkce v aeaice a aké odelova řadu fyzikální probléů. Zkráka naší nahou je, aby e CD ROM al vaší neporadaelný poocníke nejen eď ve. ročníku, ale i později až i dále rozšíříe vé obzory o další poznaky. CD ROM je oučáí ohoo udijního exu en už obahuje o něco náročnější úlohy než najdee na CD ROMu, abye ohli vé znaloi a dovednoi zíkané udie poocí CD ROMu dále rozšíři při vé náledné další práci e udijní exe. CD ROM e pouší poocí zv. AuoRUNu - j. dojde k jeho pušění po vložení do CD echaniky. Pokud bycho chěli CD po předchozí uzavření znovu pui, činíe ak poocí dvojkliku na ikonu znázorňující CD v okně Teno počíač. CD ROM aké obahuje inalační oubory k inalaci prohlížečů PS a PDF ouborů - yo je vhodné i nainalova na počíač. Na CD ROMu jou oiž Cvičení 6 T =4;ω = π T = π ; ϕ = π 6 ; y =;v = ωy = π; a = ω y = π. ( π {y} = in {} + π ), 6 ( ) π {v} = π co, {a} = π in {} + π 6 ( π {} + π 6 Včae =1:{y} = 3, {v} = π 3, {a} = π 4. 3 π Včae =:{y} = 1, {v} = π, {a} = 4. Včae =3:{y} = 3 3 3, {v} = π, {a} = π 4. Včae =4:{y} =1,{v} = π, {a} = π 4. ). 31