Simulink. Libor Kupka Josef Janeček TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Transkript

1 Simulink Libor Kupka Joef Janeček TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

2 Malab & Simulink řešené příklady Libor Kupka, Joef Janeček

3

4 Obah Předmluva...7 Úvod...9 Analýza elekrického obvodu.... Tex pro udena.... Tex pro pedagoga Řešení pomocí lineární algebry Řešení v proředí MATLABu... 9 Rezonanční vlanoi RLC členu...3. Tex pro udena Tex pro pedagoga Vyvoření imulačního modelu Spušění imulace a zobrazení výledků Frekvenční charakeriiky Dynamika edačky řidiče Tex pro udena Tex pro pedagoga Vyvoření imulačního modelu Spušění imulace a zobrazení výledků Maemaická analýza pohybu edačky Ověření analyického řešení v Simulinku Dynamický yém na mezi periodiciy Kmiavý dynamický yém Baliická křivka projekilu Tex pro udena Tex pro pedagoga Vyvoření imulačního modelu Vykrelení několika křivek do jednoho grafu Model inverzní dynamiky

5 Malab & Simulink: řešené příklady 5 Řešené příklady Elekron v homogenním elekrickém poli Základní vlanoi řídavého elekrického ignálu Výkon v RLC obvodu Impedance RLC obvodu Řešení elekrického obvodu přímou aplikací Kirchhoffových zákonů Řešení elekrického obvodu meodou myčkových proudů Řešení elekrického obvodu meodou uzlových napěí Rovnoměrný přímočarý pohyb hmoného ělea Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Volný pád ělea Vrh vilý vzhůru Pohyb ělea po nakloněné rovině Maemaické kyvadlo Le komické lodi Ohyb jednoranně veknuého noníku Vývoj výšky hladiny v nádrži Vývoj výšky hladin dvou pojených nádrží Navíjecí zařízení Sejnoměrný moor cizím buzením Sejnoměrný moor buzením permanenními magney Kombinační logický obvod Příklady z oblai eorie auomaického řízení Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Konrukce dynamických charakeriik yému využiím Conrol Syem Toolboxu Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu Přechodové charakeriiky PID reguláoru Regulační obvod e pojiým PID reguláorem

6 Obah 6.7 Modifikace PID algorimu, eřízení reguláoru meodou Zieglera a Nichole Obla abiliy regulačního obvodu Dvoupolohová a řípolohová regulace Čílicové řízení, reguláor PSD Numerická opimalizace paramerů reguláoru... 6 Lieraura...5 PŘÍLOHA A: Laplaceova inegrální ranformace...7 PŘÍLOHA B: Seznam ouborů...3 5

7

8 Předmluva Sbírka příkladů řešených využiím proředí MATLAB Simulink orienovaná na výuku mecharoniky je jedním z hlavních výupů projeku Podpora odborné přípravy ředoškolké mládeže pro podmínky auomaické i auomaizované výroby mecharonika, řešeného v leech 5 až 7 podporou operačního programu EU Rozvoj lidkých zdrojů, opaření 3.. Vydání bírky je výledkem několika yémových kroků. Především byl podroben široké dikui výběr vhodného ofware základu pro modelování, imulaci a výpočy čáí mecharonických yémů. Po rozhodnuí o orienaci na proředí MATLAB byla v rámci programu připravena a vydána meodická příručka MATLAB & Simulink: úvod do použií. Operační program nám umožnil i upořádání několika eminářů, na kerých byli účaníci, především učielé ředních odborných škol, eznámeni možnomi vybraných programových proředků i někerými ypickými úlohami. Finální eminář v červnu 7 ukončuje eapu vývoje bírky úloh. Sled ěcho logických kroků k vyvoření ucelené bírky úloh by nebylo možné ukuečni bez granové podpory z ESF a MŠMT. Sbírku úloh uvádějí čyři meodicky podrobně propracované úlohy, keré mohou louži i jako udijní maeriál pro odborné učiele. Náledující kapiola obahuje úlohy orienované na modelování elemenů mecharonických yémů na bázi elekroniky, elekroechniky i mechaniky. Kapiola šeá e zabývá imulací yémů auomaického řízení jak v analogové, ak v digiální formě. Úlohy mají bezprořední návazno na obah základních odborných kompeencí ředoškolkých oborů zaměřených na auomaizaci, auomaizační echniku a mecharoniku. Odborní učielé na echnických ředních školách mohou, amozřejmě diferencovaně, využí předloženou bírku úloh ve výuce ím, že použijí hoové programy. Nemuí edy vlaní programy vyváře. Není rovněž nuné, aby žáci znali maemaický popi modelovaných jevů, kerý je čao nad rámec jejich diponibilních znaloí. Ve viruální podobě však mohou modely pracova a analyzova ak vlanoi mecharonických prvků. Pro aplikaci je nuné mí k dipozici počíač, programový produk MATLAB Simulink, bírku úloh a noič připravenými úlohami. Po zkušenoi jejich aplikací i mohou akivní učielé připravi vé další úlohy v ouviloi pořebami a zaměřením školy. Proředí MATLAB mohou ve výuce použí i učielé maemaiky, fyziky, chemie, biologie a dalších odborných předměů. V omo mylu připravili auoři bírky, zkušení pedagogové, didakické pomůcky mající širší uplanění na ředních školách. doc. Ing. Ladilav Maixner, CSc. manažer projeku 7

9

10 Úvod Moo: To, co držíe právě v ruce, není učebnice, ale inpiroma, návod na o, jak vidě jednoduše i věci mnohdy ložié. Předkládaná kniha navazuje na již vydanou příručku Malab & Simulink: úvod do použií, ve keré byly podrobně vyloženy základní funkce proředí MATLAB Simulink. Snahou auorů bírky je především ukáza na neporné výhody využií MATLABu a Simulinku při výuce. Velmi efekivně je oiž možné pomocí ohoo proředí řeši mnohdy i značně komplikované úlohy. Díky dobrým grafickým možnoem MATLABu lze obdržené výledky názorně prezenova a více ak přiblíži probíranou láku udenům. V první čái bírky jou uvedeny čyři modelové příklady každý v amoané kapiole, keré jou podrobně po meodické ránce rozpracovány. Příklady jou rukurovány do dvou navzájem oddělených úrovní. Součáí úrovně první, určené pro udena, je formulace zadání konkréního echnického problému. Sudenovi je náledně nabídnuo řešení pomocí připraveného kripu nebo modelu. Nejou kladeny prakicky žádné nároky na zvládnuí ložiějšího maemaického aparáu např. lineární algebry či diferenciálního poču. Činno udena je především měřována ke zvládnuí práce proředím MATLAB a Simulink. Jou uvedeny i konrolní oázky a úkoly vybízející udena k akivnímu příupu k řešené problemaice, a o měrem, kerý je v čái určené pro pedagoga dále podrobněji rozebrán. V druhé úrovni, kerá je určena pro pedagoga, jou příklady uvedené již ve udenké čái deailně rozpracovány, edy včeně eoreického rozboru a dikuze možných varian jejich řešení. Uživael je krok po kroku provázen imulačním experimenem a zároveň je aké veden i k případným dalším aplikacím uvedených příupů. Po zkušenoech zíkaných při práci připravenými úlohami, mohou akivní učielé, v záviloi na konkréním zaměření vyučovaného předměu, yo úlohy dále modifikova. Měli by bý ale chopni vyváře i úlohy vlaní. V náledující čái bírky je uveden ucelený oubor příkladů, keré byly voleny ak, aby byly přímo využielné při výuce, zejména v maemaice, fyzice, mechanice, elekroechnice, auomaizaci a řídicí echnice. Teoreický rozbor řešení je obvykle velmi zkrácen. Příklady jou zaměřeny zejména na eavovaní maemaických modelů pomocí zv. maemaickofyzikální analýzy. Jou vyloženy základní příupy umožňující vyvoření odpovídajících imulačních modelů v proředí MATLAB Simulink. V závěru je uvedeno několik úloh, keré jou orienovány na obla eorie auomaického řízení. Zvlášní pozorno je věnována jednak způobům modelování regulované ouavy, ať již na základě přílušné diferenciální rovnice nebo na základě obrazového přenou, ale především možnoem realizace reguláoru. Uvedeno je několik různých realizací pojiého PID reguláoru a jeho čílicové obdoby PSD, ale i reguláorů nepojiých dvoupolohových a řípolohových. V proředí Simulinku jou pak vyvářeny modely uzavřeného regulačního obvodu. Ve ručnoi jou popány a imulačně ověřeny i někeré příupy vedoucí k nazelení 9

11 Malab & Simulink: řešené příklady opimálních paramerů reguláoru. Je aké ilurována jednoduchá, ale přeo velmi užiečná aplikace MATLABu, kerá umožňuje velmi efekivně podle zvoleného kriéria naleznou paramery reguláoru na základě numerické ierační opimalizace, edy bez použií obížných maemaických poupů. Pro konrukci dynamických charakeriik modelovaných yémů je velmi užiečné aké použií peciálních příkazů doplňkového Conrol Syem Toolboxu. Teno oolbox pokyuje značné množví příkazů pro eorii auomaického řízení. V exu je proor věnován zejména charakeriikám frekvenčním je demonrováno několik zajímavých iuací při různém rozložení pólů charakeriické rovnice yému. řádu. V jednom z příkladů je dikuována i obla abiliy jednoduchého regulačního obvodu. Všechny v exu popiované modely a jim přílušné oubory kripu jou čenáři doupné na přiloženém daovém médiu. Naprogramované úlohy jou aké k dipozici ke ažení na inerneové adree hp:\\ Programy jou v uvedené formě okamžiě použielné, přílušné oubory poačuje umíi do akuálního adreáře MATLABu. Velmi nadno lze uvedené modely upravova a náledně je dle konkréní pořeby použí ve výuce. Milou povinnoí auorů bírky je poděkova panu doc. Ing. Ladilavu Maixnerovi, CSc., hlavnímu manažerovi projeku, za pokynuý proor a finanční podporu, bez níž by eno ex nemohl vzniknou. Auoři by rádi vyjádřili poděkování i panu Ing. Gunnaru Künzelovi za pokynuí podkladů k úlohám uvedeným v kapiolách 5.8 až 5.5 a v nepolední řadě aké panu doc. Ing. Vladilavu Singulemu, CSc. za dodání podkladů a konkréních imulačních paramerů ke kapiole 5.. Pokud hledáe uo publikaci za užiečnou, řekněe o vým kolegům. Na druhou ranu budou auoři velmi vděčni za všechny připomínky, názory a ipy na doplnění či zlepšení exu. Uvíají i upozornění na jakékoliv drobné chyby a nepřenoi i edičního charakeru či proé překlepy. Tyo připomínky budou použiy při vyváření případného dalšího vydání. Cílem auorů je vyvoři knihu, kerá by čenáři přinela inpiraci a alepoň rochu pomáhala při jeho práci. Reakce a připomínky lze zaíla na ové adrey libor.kupka@ul.cz joef.janecek@ul.cz

12 Analýza elekrického obvodu Základem všech meod analýzy elekrických obvodů jou Kirchhoffovy zákony. Pro řešení ložiějších obvodů bylo v minuloi navrženo několik různých meod. Mezi základní paří meoda myčkových proudů, meoda uzlových napěí, meoda věví romu, Théveninova a Noronova věa a další. Rovnice popiující libovolný elekrický obvod lze amozřejmě zíka přímou aplikací obou Kirchhoffových zákonů.. Kirchhoffův zákon proudový je peciálním případem rovnice koninuiy. Říká, že algebraický ouče proudů ve věvích pojených v libovolném uzlu je roven nule k i k Obvykle uvažujeme, že proudy ekoucí do uzlu mají znaménko plu a proudy ekoucí z uzlu pak znaménko minu.. Kirchhoffův zákon napěťový říká, že algebraický ouče všech napěí ve věvích vořících libovolnou myčku je roven nule k u k Napěí orienované ouhlaně e myčkou uvažujeme jako kladné, napěí orienované opačně jako záporné. V dalším exu budou pro řešení elekrických obvodů použiy aké meody myčkových proudů a uzlových napěí. Uveďme ve ručnoi jejich popi. Meoda myčkových proudů vychází z druhého Kirchhoffova zákona. Neznámými jou v omo případě fikivní myšlené myčkové proudy, keré zavedeme do nezávilých myček analyzovaného obvodu. Tyo proudy auomaicky plňují první proudový Kirchhoffův zákon. Meoda je výhodná zvlášě ehdy, má-li obvod menší poče nezávilých myček než uzlů. Meoda uzlových napěí vychází z prvního Kirchhoffova zákona a je vhodná zejména v případě, že analyzovaný elekrický obvod má několik paralelních věví bíhajících e v jednom uzlu. V obvodu zvolíme jeden referenční uzel a zavedeme napěí zbývajících uzlů zv. uzlová vůči němu. Referenční uzel volíme ak, abychom výhodou využili znaloi velikoi napěí co nejvíce napěťových zdrojů ke nížení poču neznámých. K případnému dalšímu udiu může čenář využí např. knihy [ až 3]. Je zřejmé, že i popiované základní meody analýzy vedou u ložiějších elekrických obvodů k velkému poču rovnic. Řešení ěcho rovnic je bez použií výpočení echniky relaivně ložié a zdlouhavé. Značné možnoi pokyuje programové proředí MATLAB, keré je k řešení ouav lineárních algebraických rovnic, keré aplikací někeré z uvedených meod obdržíme, přímo předurčeno. MATLAB inegruje maicové výpočy do uživaelky příjemného proředí, ve kerém e řešené problémy zapiují podobně jako v maemaice,

13 Malab & Simulink: řešené příklady edy bez známých obíží klaického programování. Práce vekory a maicemi je podrobně popiována v [4].. Tex pro udena Příklad Vypočíeje veliko všech neznámých proudů a napěí v obvodu na obr..- Jou zadány hodnoy odporů jednolivých reziorů R 4 Ω, R Ω, R 3 8 Ω, R 4 5 Ω, R 5 5 Ω a R 6 Ω a napěí ejnoměrných zdrojů U 6 V, U 3 V, U 3 V a U 6 5 V. I R R I I 3 R 3 U I S I S U U 3 I 4 R 4 R 5 I 5 I S3 I 6 R 6 U 6 Obr..-: Schéma zapojení elekrického obvodu Řešení Příklad budeme řeši meodou myčkových proudů, kerá je výhodná zvlášě ehdy, má-li analyzovaný obvod menší poče nezávilých myček než uzlů. Jako neznámé zavedeme myčkové proudy I S, I S a I S3. K eavení rovnic použijeme druhý Kirchhoffův zákon R a po úpravě R IS U R4 IS IS3 U3 R3 IS IS R I R I I U R I I U S 3 S S 3 5 S S3 4 IS3 IS R6 IS3 U6 R5 IS3 IS R I R I U U R3 R4 IS R3 S 4 S3 3 IS R R3 R5 IS R5 S3 4 IS R5 IS R4 R5 R6 IS3 R I U U R U 6 3 3

14 Tex pro udena Tako vzniklou ouavu lineárních algebraických rovnic zapíšeme v maicovém varu R R3 R4 R3 R4 IS U U3 R3 R R3 R5 R5 IS U U3 R 4 R5 R4 R5 R6 IS3 U6 po doazení pak IS IS I 5 S3 Označíme-li maici ouavy ymbolem A, vekor neznámých myčkových proudů I S a vekor pravých ran b, lze vyjádři uvedenou ouavu rovnic ve varu A I S b I S A - b S použiím MATLABu obr..- velmi nadno maicovou rovnici vyřešíme maici A - nazýváme inverzní maicí k maici A. Obr..-: Řešení v MATLABu Hodnoy námi zavedených myčkových proudů vypočené pomocí MATLABu jou I S,363 A, I S,354 A, I S3,356 A. Proudy v jednolivých věvích pak jou I IS IS I,363 A,354 A I 3 IS IS,363,354,4984 A I I I,356,363,374 A 4 S3 S 3

15 Malab & Simulink: řešené příklady I 5 IS IS3,354,356,46 A I 6 IS3,356 A Napěí na jednolivých reziorech vypočeme pomocí Ohmova zákona U R U R U R 3 U R 4 U R 5 U R 6 R I 4,363 3,6684 V R I R I R I R I R I 6 6,354,78 V 8,4984 3,987 V 5,374,56 V 5,46,35 V,356 3,56 V Záporná znaménka u proudů I 4 a I 5 jou způobena opačnou volbou orienace jejich půobení měru proudových šipek ve chémau. Z oho vychází i orienace napěí U R4 a U R5. 4 Obr..-3: Zadání paramerů a výpoče myčkových proudů v MATLABu Celé řešení v proředí MATLAB obr..-3 výpoče značně zjednoduší a umožní velmi jednoduchou analýzu obvodu různými modifikacemi pouhou změnou zadaných hodno odporů jednolivých reziorů a napěí napájecích zdrojů. Sředník ; polačuje v příkazovém řádku zobrazení zadávaných hodno a výledků. Vynecháme-li jej, MATLAB vypočené hodnoy zobrazí. Používá e pro zobrazení nebo polačení mezivýledků, zejména výpiů rozáhlých maic či vekorů. Sředník aké louží jako oddělovač řádků při zadávání maic rep. jako oddělovač jednolivých prvků při zadávání loupcových vekorů.

16 Tex pro udena Obr..-4: Výpoče proudů v jednolivých věvích a napěí na reziorech v MATLABu Konrolní oázky a úkoly Jak e změní proud I reziorem R jeliže e změní jeho odpor na polovinu? Jak e změní napěí U R při éo změně? Jak e změní výkonové zaížení ohoo rezioru? Sleduje všechny yo změny jeliže e odpor rezioru R mění v rozahu až Ω. Záviloi vyjádřee abulkou a grafem. Vyšeřee, jak e změní poměry v obvodu, jeliže dojde k přerušení rezioru R 5. Vyšeřee, jak e změní poměry v obvodu, jeliže e odpory všech reziorů změní na polovinu. Jak e změní proudy v obvodu, jeliže e změní všechna napájecí napěí na dvojnáobek? Ověře váš předpoklad. Klaďe i podobné oázky a váš předpoklad vždy ověře výpočem. Pokue e o vyvoření jednoduchého kripu, kerý vám unadní ovládání výpoču. Realizuje obvod reálnými reziory a rovneje eoreický výpoče měřením. Aplikuje výše popaný příup na jiný elekrický obvod. 5

17 Malab & Simulink: řešené příklady. Tex pro pedagoga Příklad Vypočíeje veliko všech neznámých proudů a napěí v obvodu na obr..- Jou zadány hodnoy odporů jednolivých reziorů R 4 Ω, R Ω, R 3 8 Ω, R 4 5 Ω, R 5 5 Ω a R 6 Ω a napěí ejnoměrných zdrojů U 6 V, U 3 V, U 3 V a U 6 5 V. I R R I I 3 R 3 U I S I S U U 3 I 4 R 4 R 5 I 5 I S3 I 6 R 6 U 6 Obr..-: Schéma zapojení elekrického obvodu Řešení Příklad budeme řeši meodou myčkových proudů, kerá je výhodná zvlášě ehdy, má-li analyzovaný obvod menší poče nezávilých myček než uzlů. Jako neznámé zavedeme myčkové proudy I S, I S a I S3. K eavení rovnic použijeme druhý Kirchhoffův zákon R a po úpravě R IS U R4 IS IS3 U3 R3 IS IS R I R I I U R I I U S 3 S S 3 5 S S3 4 IS3 IS R6 IS3 U6 R5 IS3 IS R I R I U U R3 R4 IS R3 S 4 S3 3 IS R R3 R5 IS R5 S3 4 IS R5 IS R4 R5 R6 IS3 R I U U R U

18 Tex pro pedagoga.. Řešení pomocí lineární algebry Výše uvedenou ouavu lineárních algebraických rovnic zapíšeme v maicovém varu R R3 R4 R3 R4 IS U U3 R3 R R3 R5 R5 IS U U3 R 4 R5 R4 R5 R6 IS3 U6 a doadíme konkréní hodnoy dle zadání IS IS I 5 S3 Označíme-li maici ouavy ymbolem A, vekor neznámých myčkových proudů I S a vekor pravých ran b, lze vyjádři uvedenou ouavu rovnic ve varu A I S b Poznámka k ř ešielnoi uvedené ouavy rovnic Řešielno ouavy lineárních rovnic je určena zv. Frobeniovou věou. Souava má řešení ehdy a jenom ehdy, pokud hodno h S maice ouavy A, v omo případě h S hodn A hodn , a hodno h R rozšířené maice ouavy A R [A, b], zde h hodn A R hodn , R jou hodné. Podmínka, že h S h R 3 je plněna, ouava edy řešení má. Pokud by h S h R, uvažovaná ouava by řešení neměla. Jeliže dále h S h R n, kde n je poče neznámých zde n 3 exiuje řešení jediné. Pokud však h S h R n exiuje mnoho řešení. V našem konkréním případě edy řešení exiuje a je jediné. Ř ešení ouavy algebraických rovnic Poznamenejme, že výše uvedený odavec. způob řešení ouavy A I S b, edy I S A - b není jediný možný. Připomeňme zv. Gauovu eliminaci, j. poupné řádkové úpravy rozšířené maice ouavy A R [A, b] ak, aby maice A přešla v maici jednokovou, řešení je pak dáno poledním loupcem ako vzniklé maice. 7

19 Malab & Simulink: řešené příklady Dalším, čao používaným efekivním způobem, je použií zv. Cramerova pravidla. Jeliže maice ouavy A má plnou hodno je regulární, její deerminan je nenulový, má ouava jednoznačné řešení, keré můžeme poupně pro jednolivé proměnné vyjádři jako podíl D i / D, kde D de A a D i je deerminan maice, kerá vznikne z maice A záměnou i-ého loupce loupcem pravých ran rovnic D de A I I D D S S D D D I 3 D Proudy v jednolivých věvích pak jou I S IS IS I,363 A,354 A,363 A I 3 IS IS,363,354,4984 A I I I,356,363,374 A I I 4 S3 S 5 IS IS3,354,356 6 IS3,356 A,354 A,356 A,46 A Napěí na jednolivých reziorech vypočeme pomocí Ohmova zákona U R U R U R 3 U R 4 U R 5 U R 6 R I 4,363 3,6684 V R I R I R I R I R I 6,354,78 V 8,4984 3,987 V 5,374,56 V 5,46,35 V,356 3,56 V

20 Tex pro pedagoga Záporná znaménka u proudů I 4 a I 5 jou způobena opačnou volbou orienace jejich půobení měru proudových šipek ve chémau. Z oho vychází i orienace napěí U R4 a U R5. Poznámka k výpoču inverzní maice Inverzní maice A - je aková čvercová maice, pro kerou plaí A - A A A - E, kde E je jednoková maice jedničky na hlavní diagonále, oaní prvky nulové. Pro každou čvercovou regulární maici A de A exiuje právě jediná A - adj A / de A. Maice adj A je zv. adjungovanou maicí eavenou z algebraických doplňků maice A prvek na pozici i, j éo maice doaneme jako deerminan maice vzniklé vypušěním i-ého řádku a j-ého loupce ranponované maice A T vynáobený koeficienem ij. V našem případě adj A , de A ,6,,34 adj A A,,38,6 de A,34,6,53 Výpoče inverzní maice pro nejčaější případ rozměru maice je zcela riviální záměna prvků ležících na hlavní diagonále a inverze znaménka prvků oaních, vše děleno deerminanem. Výpoče deerminanu Sarruovým pravidlem je možný pouze u maic o rozměru a 3 3. U maic věších rozměrů je nuné při výpoču použí rozvoj podle libovolného řádku nebo loupce... Řešení v proředí MATLABu S použiím MATLABu lze maicovou rovnici A I S b velmi nadno vyřeši. Řešení hledáme ve varu I S A - b nebo případně ve varu I S A \ b, použijeme-li dělení zleva, viz obr..-. Obr..-: Dvě různé variany řešení v MATLABu 9

21 Malab & Simulink: řešené příklady Celý poup výpoču myčkových proudů, kuečných proudů v jednolivých věvích a napěí na reziorech e značně zjednoduší, využijeme-li k řešení proředí MATLAB, viz obr..-3. Obr..-3: Komplení řešení v proředí MATLAB Výše uvedené řešení v MATLABu obr..-3 lze aké zapa do kripu, kerý je pak možné opakovaně vola. Jednoduchým způobem je ako možné prové analýzu obvodu pro různé hodnoy zadaných paramerů. Skrip je aké možné doplni o komenáře, keré jou uvozené znakem procena %. Komenáře mohou bý na amoaných řádcích, ale i za běžnými příkazy. Skrip obr..-4 je rozdělen na několik čáí. V první čái jou zadávány paramery odporů jednolivých reziorů a napěí ejnoměrných zdrojů. V druhé čái je pak proveden vlaní výpoče. Pomocí příkazu dip je logicky členěn i výup na obrazovku. Vupní paramery mohou bý zadávány i přímo z příkazové řádky MATLABu. Např. zadání hodnoy odporu rezioru R lze realizova pomocí příkazu inpu náledujícím způobem: R inpu hodnoa odporu R:. Proměnné R bude ako přiřazena zadaná hodnoa, viz obr..-5.

22 Tex pro pedagoga Obr..-4: Příklad možného kripu Obr..-5: Zadávání hodno proměnných z příkazového řádku

23 Malab & Simulink: řešené příklady Probraná émaa meoda myčkových proudů, Kirchhoffovy zákony, řešení ouav lineárních algebraických rovnic, maicové vyjádření ouavy lineárních algebraických rovnic, maemaické apeky řešení řešielno ouavy, Frobeniova věa, Cramerovo pravidlo, výpoče inverzní maice, realizace řešení v proředí MATLABu, práce e kripem. Sručné hrnuí meoda myčkových proudů je výhodná zvlášě ehdy, má-li analyzovaný obvod menší poče nezávilých myček než uzlů, k eavení rovnic použijeme druhý Kirchhoffův zákon, řešielno ouavy lineárních rovnic je určena zv. Frobeniovou věou, čao používaným efekivním způobem řešení ouavy lineárních algebraických rovnic, je použií Cramerova pravidla, při práci v MATLABu rozlišujeme malá a velká pímena, jednolivé příkazy jou odděleny čárkou, ředníkem nebo novým řádkem, ředník polačuje zobrazení vypočených hodno na obrazovce počíače, prvky maice e zadávají do hranaých závorek po řádcích, jednolivé prvky jou na řádku odděleny mezerou nebo čárkou, řádky jou navzájem odděleny ředníkem, chceme-li opakova výpoče a případně aké měni vupní paramery, je vhodné pro yo účely vyvoři krip. Přiložené oubory oubor kripu: analyza_obvodu.m

24 Rezonanční vlanoi RLC členu RLC členy jou obvody, keré jou připojeny ke zdroji řídavého napěí a jou obecně vořeny reziorem o odporu R, ideální cívkou indukčnoí L a ideálním kondenzáorem kapaciou C. Obvykle e yo obvody označují jako obvody rezonanční. Jednoduché rezonanční obvody, ériové nebo paralelní, voří vždy komplexní jednobran. Obvody erio- -paralelní pak voří komplexní dvojbran. Při zv. rezonanční frekvenci e v ěcho obvodech navzájem vyrovná půobení indukční a kapaciní reakance indukance a kapaciance a celý obvod e chová jako čiá reziance. Rezonanční obvody e používají jako paivní filry, horní a dolní propui, pámové propui či zádrže. Problémem při řešení akovýcho obvodů může bý komplikovano obdržených rovnic a o mnohdy i ve velmi jednoduchých případech. V eorii obvodů exiuje několik způobů, jak problém eleganně zjednoduši. Řešení řídavých obvodů, napájených jedním nebo více zdroji e ejnou frekvencí, předavuje dvojrozměrný problém. Napájíme-li obvod napěím u U in ω, budou jednolivá napěí a proudy závie na čae. Je edy poačující popa každou veličinu v každé věvi dvěma paramery, velikoí a fází. Používá e jeden z maemaických nárojů: dvojrozměrné vekory nebo komplexní číla v Gauově rovině. Popi pomocí komplexních číel je výhodnější, proože je pro ně definováno více operací např. dělení, mocnění a odmocňování. Souřadná ouava nebo Gauova rovina rouje ω, akže zobrazujeme jen veliko a fázi veličin hovoříme edy o fázorech. Popi oběma způoby je podobný. Veliko přílušné veličiny napěí nebo proudu je popána velikoí fázoru nebo aboluní hodnoou komplexního číla a fáze je popána úhlem, kerý vírají kladnou čáí oy x nebo reálné oy. Pro komplexní impedanci rep. admianci plaí náledující vzahy. j je imaginární jednoka definovaná j. R: Z R R Y R /R L: Z L jω L Y L j/ω L C: Z C j/ω C Y C jω C Na základě uvedeného lze jednoduše odvodi celkovou impedanci obvodu a edy i přílušný přeno a lze zkonruova frekvenční charakeriiky popiovaného obvodu. Značné možnoi pokyuje programové proředí MATLAB, především jeho grafická nadavba Simulink. Chování rezonančních obvodů lze velmi jednoduchým způobem v omo proředí imulova. Můžeme aké měni hodnoy vupních paramerů a ledova průběh odezvy obvodu při buzení nejrůznějšími ypy ignálů. Konrukce frekvenčních charakeriik je v MATLABu riviální. 3

25 Malab & Simulink: řešené příklady. Tex pro udena Příklad Analyzuje a v proředí MATLAB Simulink imuluje chování rezonančního obvodu na obr..-. Hodnoy prvků pro jednoducho zpočáku uvažuje R L C. i R R i L i C u u R L C u Obr..-: Schéma zapojení elekrického obvodu Řešení Při zkoumání rezonančních vlanoí RLC členu na obr..-, vycházíme ze základních vzahů pro řídavé napěí a proud. Odvození diferenciální rovnice je ale relaivně ložié. K analýze vlanoí RLC obvodu edy použijeme již vyvořený model, kerý je v ouboru rezonancni_obvod_.mdl. Naším úkolem bude ledova odezvu modelu obvodu při buzení různými ypy vupních ignálů. Simulační model RLC obvodu je na obr..-. Obr..-: Analýza vlanoí RLC členu v Simulinku 4

26 Tex pro udena Model RLC obvodu na obr..- je již ve avu, kdy je možné přejí k vlaní imulaci. Všechny pořebné paramery jou zadány. Simulaci lze pui z nabídky okna modelu Simulaion Sar nebo Crl T. Rychlejší je ale pušění prořednicvím ikony v oolbaru okna, viz obr..-3. Napravo od éo ikony je aké možné měni délku imulace. Pokud dojde k neočekávaným problémům v průběhu imulace nebo pokud je zvolen příliš dlouhý ča výpoču, lze imulaci zaavi pomocí ikony. Obr..-3: Rychlé ovládání běhu imulace Po ukončení výpoču můžeme dvojiým kliknuím na ikonu zobrazovače napei u oevří okno grafickým záznamem řešení. Na obr..-4 vidíme průběh kokové budicí funkce jednokový kok a průběh odezvy, zde konkréně přechodové charakeriiky. Obr..-4: Zobrazení řešení Obr..-5: Záznam řešení při harmonickém buzení modelu 5

27 Malab & Simulink: řešené příklady Pomocí dvoupolohového přepínače je aké možné zvoli jiný yp vupního ignálu. Dvojiým kliknuím na bloku přepínače zvolíme ignál harmonický inu. Po proběhnuí imulace můžeme opě v bloku zobrazovače ledova průběh budicí funkce a odezvy, viz obr..-5. Obr..-6: Změna hodno vupních paramerů Obr..-7: Změna paramerů budicích funkcí 6

28 Tex pro udena V modelu je amozřejmě možné měni někeré paramery např. hodnoy R, L, C podle pořeby. Na obr..-6 je uvedeno dialogové okno pro zadávání hodnoy odporu rezioru. V záložce Main ohoo okna zapíšeme v položce Conan value požadovanou hodnou. Jednoduše lze změni i paramery obou budicích funkcí obr..-7. V případě kokové funkce lze měni v položce Sep ime dobu koku a v položkách Iniial value a Final value počáeční a konečnou hladinu koku. Chceme-li např. vykona kok v čae 6 z hodnoy,3 na hodnou,8, zadáme poupně Sep ime 6, Iniial value.3 a Final value.8. Výledné průběhy jou uvedeny na obr..-8. V případě harmonické funkce inu lze měni v položce Ampliude ampliudu, dále v položce Bia veliko ejnoměrné ložky, v položce Frequency frekvenci v rad/ a v položce Phae fázový pouv v radiánech. Obr..-8: Jiný průběh kokové budicí funkce Konrolní oázky a úkoly Simuluje chování zadaného RLC členu uvažováním obou ypů budicích funkcí, měňe vhodně hodnoy R, L a C a leduje odezvu modelu. Předpokládejme zadané hodnoy paramerů, při frekvenci budicího harmonického ignálu f u rad/ je obvod v rezonanci. Jaká bude perioda vybuzeného ignálu napěí u v uáleném avu? Vaši hypoézu ověře odečem z grafu. Uvažuje yo hodnoy prvků: R,5 Ω, L 5 H, C µf. Nalezněe frekvenci, při keré bude uvažovaný RLC v rezonanci. Výpoče náledně ověře imulací. Simuluje chování RLC členu reálnými hodnoami použiých oučáek. Podle pokynů učiele vypracuje krákou echnickou zprávu. Přiložené oubory oubor modelu: rezonancni_obvod_.mdl 7

29 Malab & Simulink: řešené příklady. Tex pro pedagoga Příklad Analyzuje a v proředí MATLAB Simulink imuluje chování rezonančního obvodu na obr..-. Hodnoy prvků pro jednoducho zpočáku uvažuje R L C. i R R i L i C u u R L C u Obr..-: Schéma zapojení elekrického obvodu Řešení Při zkoumání rezonančních vlanoí RLC členu na obr..-, vycházíme ze základních vzahů pro řídavé napěí a proud. Je-li v obvodu více prvků R, L nebo C, je pro každý prvek možné eavi odpovídající inegrální a diferenciální rovnici u u u R C L i R R ic τ dτ C dil L d Doazením do rovnice pro napěí v obvodu u u ur u ir R u il ic R u du C u d L R d L τ τ u u L u C u i i C L du C d L u L C τ dτ Výše uvedenou inegro-diferenciální rovnici dále můžeme derivova podle čau, formálně označíme d u / d u, d u / d u, a zíka ak diferenciální rovnici popiující zkoumaný yém RLC člen R RC u u u u L Výlednou diferenciální rovnici budeme řeši v proředí MATLAB Simulink. Chování RLC členu budeme imulova, nejprve však muíme navrhnou imulační chéma. 8

30 Tex pro pedagoga.. Vyvoření imulačního modelu Vycházíme z výše uvedené diferenciální rovnice a nejprve vyjádříme nejvyšší derivaci u jako lineární kombinaci nižších derivací a buzení napájecí napěí u u u u u RC LC RC Seavení imulačního chémau provedeme využiím meody poupné inegrace, kerá je v omo případě vynucena derivací na pravé raně diferenciální rovnice, j. u. Rovnici budeme dvakrá inegrova u u u u RC LC RC Z důvodu zjednodušení zápiu jou jednolivé inegrály zapány bez přílušných mezí. Např. inegrálu Zavedeme-li označení u τ dτ odpovídá zápi a LC ; a RC ; b RC lze pá u u a u a b u u, obdobně u τ dτ odpovídá u. Simulační chéma model RLC členu je na obr..-. Technice vyváření imulačních modelů e podrobně věnuje kniha [4]. Kliknuím na ymbol ikonu někerého z bloků v programovém okně Simulinku e oevře přílušné dialogové okno, ve kerém naavíme požadované paramery. Obr..-: Simulační model RLC členu 9

31 Malab & Simulink: řešené příklady Koeficieny v zeilovačích bloky Gain budeme definova pomocí proměnných. Na obr..-3 je okno paramerů jednoho ze zeilovačů. V položce Gain záložky okna Main je v omo případě zadána proměnná b. Obr..-3: Změna paramerů zeilovače Pomocí dvoupolohového přepínače, dvojiým kliknuím na ikoně bloku, je aké možné zvoli yp vupního ignálu. Jednoduše lze aké změni paramery obou budicích funkcí obr..-4. V případě kokové funkce lze měni v položce Sep ime dobu koku a v položkách Iniial value a Final value počáeční a konečnou hladinu koku. Obr..-4 Změna paramerů budicích funkcí 3

32 Tex pro pedagoga V případě harmonické funkce inu lze měni v položce Ampliude ampliudu, dále v položce Bia veliko ejnoměrné ložky ignálu poun, v položce Frequency frekvenci v rad/ a v položce Phae fázový pouv v radiánech. Hodnoy koeficienů a, a a b jou zadány pomocí proměnných. Konkréní hodnoy je edy řeba ješě definova v příkazovém řádku v okně Command Window MATLABu, viz obr..-5. Obr..-5: Definování proměnných a výpoče koeficienů diferenciální rovnice Před pušěním imulace je možné naavi základní paramery imulace. Po oevření nabídky Simulaion z okna modelu a výběru položky Configuraion Parameer... nebo po iku Crl E e oevře okno paramerů imulace obr..-6 několika záložkami jou v levé čái okna v nabídce Selec. Pro základní práci proředím Simulink obvykle poačuje změni naavení v záložce Solver. Obr..-6: Změna základních paramerů imulace 3

33 Malab & Simulink: řešené příklady V záložce Solver je nejdůležiější naavi v čái Simulaion ime počáek imulace Sar ime, zde zpravidla ponecháme nulu, a zejména pak konec rep. délku imulace Sop ime. Naavení numerické meody výpoču, kroku výpoču a olerancí je možné v čái okna Solver opion. Zde obvykle ponecháme paramer ýkající e velikoi kroku Variable-ep, druhou varianou je Fixed-ep a pokud chceme zvýši přeno výpoču, změníme pouze hodnoy Max ep ize, Min ep ize a Iniial ep ize. Impliciní naavení u všech ěcho paramerů je auo. Paramer Max ep ize je Simulinkem volen auomaicky podle zvolené doby imulace d max op ar / 5. V našem případě, kdy jme zvolili ča imulace, Simulink naaví auomaicky podle uvedeného vzorce uo hodnou na,4 v příkazovém okně MATLABu je dokonce zobrazeno i hlášení Warning. Pro zvýšení přenoi naavíme Max ep ize na hodnou,, viz obr Spušění imulace a zobrazení výledků Simulaci lze pui z nabídky okna modelu Simulaion Sar Crl T. Rychlejší je ale pušění prořednicvím ikony v oolbaru okna. Napravo od éo ikony je aké možné měni délku imulace. Pokud dojde k neočekávaným problémům v průběhu imulace nebo pokud je zvolen příliš dlouhý ča výpoču rep. příliš jemný krok výpoču, lze imulaci zaavi pomocí ikony. Po ukončení výpoču, dvojiým kliknuím na ikonu zobrazovače ve chémau v našem případě blok Scope oevřeme okno grafickým záznamem řešení diferenciální rovnice. Na obr..-7 jou průběhy budící kokové funkce jednokový kok a přílušné odezvy. Obr..-7: Zobrazení řešení Pokud by ná zajímala reakce yému vybuzeného jinou než kokovou budicí funkcí, jednoduše nahradíme blok Sep jiným blokem z bohaé nabídky Simulinku. Další možnoí je umíění více bloků budicích funkcí a použií analogového přepínače Manual Swich k volbě mezi nimi, ak jak je o provedeno v demonrovaném příkladě na obr..-. 3

34 Tex pro pedagoga Chceme-li nyní zkouma vlanoi RLC členu v záviloi na paramerech R, L a C a zároveň e i vyhnou poněkud ložiějšímu zadávání koeficienů z příkazového řádku MATLABu, oevřeme z proředí Simulinku přiložený oubor rezonancni_obvod_.mdl. Upravené imulační chéma je na obr..-8. Hodnoy R, L a C jou zde zadávány pomocí bloků Conan. Pomocí bloku Mux muliplexor jou jednolivé ignály druženy do jednoho. Vekorové poje je možno pro přehledno zvýrazni. V položce menu Forma Por/Signal Diplay zvolíme Wide Noncalar Line. Obr..-8: Modifikovaný imulační model Výpoče koeficienů a, a a b je ve chémau realizován pomocí bloků Fcn označeny / RC a / C L loužících pro definování funkcí. K hodnoám R, L a C je řeba přiupova výběrem z vekoru. Ukázka zápiu výrazu do funkčního bloku je uvedena na obr..-9. Obr..-9: Zápi výrazu v bloku Fcn 33

35 Malab & Simulink: řešené příklady Nyní e budeme podrobněji zabýva rezonančními vlanomi RLC členu. Jako budící funkci zvolíme funkci inu, použijeme blok Sine Wave rep. přepneme přepínač do přílušné polohy. Konfigurace bloku byla provedena již dříve. Připomeňme pouze, že pro jednoducho byly naaveny yo hodnoy: ampliuda U, frekvence f u rad/. Fáze a řední hodnoa byly ponechány nulové. Na obr..- jou průběhy budící inové funkce a odpovídající odezvy. Je zřejmé, že ve avu rezonance ω L /ω C a pro R L C plaí π ω ; T π LC ω Snadno e můžeme převědči z průběhu zíkaného imulací, že perioda vybuzeného ignálu v uáleném avu je kuečně π a při impedanci jdoucí k nekonečnu je u u. Obr..-: Záznam řešení při harmonickém buzení modelu..3 Frekvenční charakeriiky Vyjdeme-li z diferenciální rovnice popiující RLC člen ve varu u a u a u b u a ; a ; b LC RC RC lze využiím Laplaceovy ranformace amozřejmě anovi odpovídající obrazový přeno yému RLC členu. S využiím základních korepondencí viz příloha A můžeme pá [ U u u' ] a [ U u ] au b[ U u ] 34

36 Tex pro pedagoga Obrazový přeno je definován jako poměr Laplaceova obrazu výupu ku Laplaceovu obrazu vupu při nulových počáečních podmínkách U b G U a a Frekvenční přeno zíkáme nahrazením parameru jω b jω Gjω jω a jω a Z frekvenčního přenou můžeme amozřejmě vyjádři pomocí jednoduchých úprav frekvenční charakeriiky. Zejména ná zajímají logarimické frekvenční charakeriiky ampliudová a fázová frekvenční charakeriika čao označovány jako zv. BODEho charakeriiky. MATLAB umožňuje yo charakeriiky kreli přímo, pokud definujeme obrazový přeno zkoumaného yému. K definování obrazového přenou použijeme příkaz f Tranfer Funcion, k zobrazení charakeriik pak příkaz bode, viz obr..-. Tyo příkazy jou ale příupné pouze ehdy, máme-li nainalován Conrol Syem Toolbox. Obr..-: Frekvenční charakeriiky Simulink umožňuje provádě imulaci yému, kerý je definován pouze v jednom bloku, na základě znaloi obrazového přenou. Nemuíme edy ložiě programova odpovídající diferenciální rovnici, použijeme pouze blok Tranfer Fcn. Simulační chéma příkladem je oučáí ouboru rezonancni_obvod_3.mdl. Pro rovnání jou uvedeny obě variany řešení obr..-. Prakická hoda je prokázána překryím obou průběhů zakrelených v jednom grafu obr..-4. Zadání koeficienů obrazového přenou odpovídá zápiu do příkazového řádku v okně MATLABu, viz obr..- a.-3. Velmi důležié je dodržení právného zápiu vekorů 35

37 Malab & Simulink: řešené příklady čiaele a jmenovaele obrazového přenou vždy eupně od koeficienu u nejvyšší mocniny operáoru. Obr..-: Simulace na základě znaloi obrazového přenou 36 Obr..-3: Definice obrazového přenou v bloku Tranfer Fcn Zobrazení průběhů do paralelních oken grafu zajiíme naavením parameru Number of axe v záložce General okna paramerů zobrazovače. Zvolíme-li jemný krok imulace, je z důvodu věšího rozahu da vhodné v záložce Daa hiory zruši přednaavenou limiaci poču zobrazovaných vzorků na poledních 5.

38 Tex pro pedagoga Obr..-4: Porovnání obou varian řešení Probraná émaa základní inegrální a diferenciální rovnice pro napěí a proud pro jednolivé prvky, odvození diferenciální rovnice, řešení lineární diferenciální rovnice derivací na pravé raně v proředí MATLAB Simulink, meoda poupné inegrace, změna paramerů imulace a budicích funkcí, možnoi zobrazení výledků, frekvenční charakeriiky. Sručné hrnuí při eavování diferenciální rovnice vycházíme z inegrálních a diferenciálních vzahů pro napěí a proud, vzhledem k derivaci na pravé raně rovnice používáme k eavení imulačního modelu obvykle meodu poupné inegrace, výledný imulační model může obahova i několik různých bloků vupních funkcí jejichž paramery lze amozřejmě měni, přepínání mezi nimi lze realizova pomocí přepínačů manuálních nebo řízených, Simulink umožňuje měni jednoduchým způobem krok imulace přeno výpoču, všechny paramery lze definova prořednicvím proměnných, pokud máme nainalován i Conrol yem oolbox, MATLAB umožňuje velmi jednoduše vykrelova frekvenční charakeriiky, analyzovaný dynamický yém může bý popán obrazovým přenoem, při imulaci pak poačuje yém modelova pouze pomocí jednoho bloku. 37

39 Malab & Simulink: řešené příklady Přiložené oubory oubory modelu: rezonancni_obvod_.mdl, rezonancni_obvod_.mdl a rezonancni_obvod_3.mdl 38

40 3 Dynamika edačky řidiče S neuálým rozvojem auomobilové dopravy e logicky zvyšují aké nároky kladené na pohodlí a bezpečno jízdy oádky vozidel. Kmiy a ořey vyvolané jízdou vozidel po nerovných vozovkách nebo polním a lením erénem zvyšují únavu řidičů. Při dlouhodobém a inenzivním půobení mohou vážně poškozova lidké zdraví a bývají čaou příčinou nemocí z povolání. Sedadlo řidiče muí plňova náročné požadavky, keré jou kladeny na zdraví, pohodlí, komfor a bezpečí edící ooby. Během jeho vývoje byl kladen důraz na ergonomické, užiné a eeické vlanoi a na chopno lumi ořey vznikající při jízdě. Sedadlo je vybaveno yémem pouvu a zdvihu, zvýšený boční okraj opěry zaručuje uvolněné a pohodlné ezení. Základní konrukce vodicích mechanimů odpružených edadel jou dvojího ypu. Jedním ypem je nůžkový mechanimu, druhým ypem je čyřkloubový mechanizmu paralelogram. Oba yo ypy mechanizmů edadel jou obvykle doplněny pneumaickými pružinami a hydraulickými Obr. 3-: Sedačka řidiče lumiči. Vyráběná edadla umožňují naavova jejich výšku, uho lumičů a nebo je umožněno úplné vypušění vzduchu ze vzduchové pružiny. Sedadla jou vybavena aké pružnými omezovači zdvihu, obvykle v podobě pryžových dorazů či zádržných páů, keré zabraňují poškození vibroizolačního yému. Chování nejrůznějších dynamických yémů rep. jejich zjednodušených modelů např. zjednodušený model edačky řidiče či model pružného závěu kola auomobilu, můžeme poměrně jednoduše imulova v proředí MATLAB Simulink. Abychom mohli eavi odpovídající model nějakého dynamického yému v Simulinku, je nuné e nejdříve zabýva diferenciálním popiem ohoo yému. Pomocí maemaicko-fyzikální analýzy edy obvykle hledáme diferenciální rovnici, kerá by vhodně popiovala chování reálného fyzikálního yému. V dalším exu e omezíme na konkréní lineární čaově invarianní yém jeho vlanoi e v čae nemění jednou vupní a jednou výupní veličinou. Ten bývá obvykle popán lineární diferenciální rovnicí konanními koeficieny, obecně ve varu a n y n a n y n... a y a y b m u m... b u b u kde a i, b i jou konanní koeficieny a u předavuje vupní a y výupní veličinu. Z podmínky fyzikální realizovaelnoi yému muí bý m n, j. upeň nejvyšší derivace výupní veličiny muí bý věší nebo roven upni nejvyšší derivace vupní veličiny. Pro řešení uvedené diferenciální rovnice muíme zná počáeční podmínky yému y, y,..., y n a průběh vupní veličiny u včeně jejích počáečních podmínek u, u,..., u m. 39

41 Malab & Simulink: řešené příklady Přeno dynamického yému je definován jako poměr Laplaceova obrazu výupní veličiny k Laplaceově obrazu vupní veličiny při nulových počáečních podmínkách yému y y... y n a vupního ignálu u u... u m. Lineární diferenciální rovnici konanními koeficieny můžeme ranformova použiím pravidel Laplaceovy ranformace viz příloha A při plnění výše uvedených podmínek do varu [a n n a n n... a a ] Y [b m m... b b ] U Vyjdeme-li z éo rovnice, ak podle výše uvedené definice má obrazový přeno yému var m Y bm... b b G n U an... a a K případnému dalšímu udiu může čenář využí např. knihu [5]. 3. Tex pro udena Příklad Analyzuje a v proředí Simulink imuluje chování zjednodušeného modelu edačky řidiče na obr Uvažuje konkréní hodnoy: hmono edačky m kg, hmono řidiče m 8 kg, graviační zrychlení g m/, koeficien uhoi pružiny c 8 3 N/m a koeficien lumení lumiče k,4 3 N/m. Sleduje aké vliv změny paramerů c a k na pohyb edačky při doednuí řidiče. F y m c k Řešení 4 Obr. 3.-: Zjednodušený model edačky Při zkoumání dynamického chování pracovní edačky řidiče budeme vycháze z jejího zjednodušeného modelu. Jedná e v podaě o pohyb hmoy zahrnující hmono řidiče, edačky a jejího mechanizmu na lumeném pružném závěu. Poloha edačky je vzažena k uálenému avu, odpovídajícímu deformaci pružiny vyvolané amonou její hmonoí bez vnějšího zaížení. Hmou řidiče lze považova za vnější ílu F půobící na edačku. Uvažujeme-li konkréní zadané hodnoy

42 Tex pro udena F m g 8 8 N Simulační model obr. 3.- byl vyvořen v proředí MATLAB Simulink. Model je uložen v přiloženém ouboru model_edacky_.mdl. Obr. 3.-: Model dynamiky edačky řidiče v Simulinku Model dynamiky edačky řidiče je již ve avu, kdy je možné přejí k vlaní imulaci. Všechny pořebné paramery jou zadány, můžeme pui imulaci viz aké kapiola. Po ukončení výpoču lze dvojiým kliknuím na ikoně zobrazovače oevří okno grafickým záznamem řešení. Obr. 3.-3: Zobrazení řešení 4

43 Malab & Simulink: řešené příklady Poznamenejme, že kladnou výchylku y imulované reakce je nuné chápa ak, jak je naznačeno na obr. 3.-3, jako odchylku od uáleného avu bez zaížení, edy proednuí měrem dolů. Pohyb edačky je v omo případě plynulý, j. bez překmiu a kmiavých ložek. K prakickému uálení pohybu dochází ai za,5 ekundy. Uálená hodnoa polohy edačky po odeznění přechodového děje je y, m cm. Tuo hodnou jme mohli měli předpokláda. V uáleném avu e oiž neprojeví vliv lumiče a poloha edačky je dána pouze uhoí pružiny c. V rovnovážném avu jou íla reakce pružiny a íla vyvolaná hmonoí řidiče ve vzájemné rovnováze y c F m g y m g / c 8 / 8, m Koeficien lumení lumiče k ovlivní pouze průběh a dynamiku přechodového děje. V modelu je amozřejmě možné měni vupní paramery hodnoy m, m, g, k, c. Na obr je uvedeno dialogové okno pro zadávání hmoy řidiče m. V záložce Main ohoo okna zapíšeme v položce Conan value požadovanou hodnou. Jednoduše lze změni i paramery budicí funkce. V položce Sep ime lze měni dobu koku a v položkách Iniial value a Final value počáeční a konečnou hladinu koku. Obr. 3.-4: Změna vupních paramerů a paramerů kokové budicí funkce Konrolní oázky a úkoly Simuluje pohyb edačky za ejné iuace, ovšem e právnou nezaokrouhlenou hodnoou graviačního zrychlení g 9,8665 m/. Jakou změnu je předpokládali? Povrdila e imulací? Jak by e chovala edačka řidiče za ejné iuace na Měíci? Graviační zrychlení na povrchu Měíce je přibližně šekrá menší, uvažuje g,64 m/. 4

44 Tex pro pedagoga Simuluje chování edačky pro různé hodnoy paramerů. Co jednolivé paramery ovlivňují? Jak by e chovala edačka nulovým lumením? Konfronuje vždy váš fyzikální náhled výledky imulace. Experimenálně určee při jakém lumení lumiče k e začíná projevova kmiavý pohyb edačky. Podle pokynů učiele vypracuje krákou echnickou zprávu. Přiložené oubory oubor modelu: model_edacky_.mdl 3. Tex pro pedagoga Příklad Analyzuje a v proředí Simulink imuluje chování zjednodušeného modelu edačky řidiče na obr Uvažuje konkréní hodnoy: hmono edačky m kg, hmono řidiče m 8 kg, graviační zrychlení g m/, koeficien uhoi pružiny c 8 3 N/m a koeficien lumení lumiče k,4 3 N/m. Sleduje aké vliv změny paramerů c a k na pohyb edačky při doednuí řidiče. F y m c k Řešení Obr. 3.-: Zjednodušený model edačky Při zkoumání dynamického chování pracovní edačky řidiče budeme vycháze z jejího zjednodušeného modelu. Jedná e v podaě o pohyb hmoy zahrnující hmono řidiče, edačky a jejího mechanizmu na lumeném pružném závěu. V příloze ohoo exu naleznee oubor model_edacky_.mdl. Oevřee eno oubor v proředí Simulinku a dvakrá klikněe na ikonu ymbolizující model edačky řidiče, oevře e vám kryá rukura ubyému vlaního imulačního modelu, viz obr Tao rukura může ale aké nemuí bý uživaeli, kerého nezajímají podrobnoi modelu, 43

45 Malab & Simulink: řešené příklady kryá. Realizuje v grafickém proředí Simulinku jednu z možnoí imulačního modelu reálného yému, jehož pohyb je popán diferenciální rovnicí. Obr. 3.-: Model dynamiky edačky řidiče v Simulinku Zabývejme e nejprve diferenciálním popiem dynamického yému, edy diferenciální rovnicí předavuje maemaický model, kerá popiuje chování reálného fyzikálního yému. Zíkáme ji jednoduchou aplikací d Alemberova principu vyrovnání il půobících na hmou m, viz obr V pracovním rozahu předpokládáme lineární chování lumiče i pružiny. F y m F F F 3 Obr. 3.-3: Rovnováha il V omo případě e jedná o rovnováhu čyř il F m g íla vyvolaná hmonoí řidiče F c y reakce pružiny F k y k dy /d reakce lumiče F 3 m y m d y /d ervačný odpor 44

46 Uvažujme-li jejich polečné půobišě v ěžiši ělea F 3 F F F m y k y c y F Pro konkréní hodnoy uvedené v zadání je F m g 8 8 N m m m 8 kg a diferenciální popi nabývá varu Tex pro pedagoga y 4 y 8 y F Poloha edačky je vzažena k uálenému avu, odpovídajícímu deformaci pružiny vyvolané amonou její hmonoí bez vnějšího zaížení. Hmou řidiče lze považova za vnější ílu F půobící na edačku. Saická úvaha Zabývejme e nyní ouvilomi mezi budicí ilou F a reakcí y v uáleném avu, edy po odeznění přechodového děje. Z fyzikální poday je zřejmé, že e jedná o abilní yém v om mylu, že po doednuí řidiče na edačku dojde k přechodovému ději, kerý e za konečný ča prakicky uálí. Po doaečně dlouhé době ča proo plaí, že F F 8, y y, y y a y y. Diferenciální popi ak přechází do varu y 4 y 8 y F a ohledem na výše uvedené 8 y 8 y, m cm Uálená hodnoa polohy edačky po odeznění přechodového děje je y cm. Srovneje výledkem imulace v kapiole 3.. obr. 3.-6! 3.. Vyvoření imulačního modelu Při vyváření imulačního modelu vorbě imulačního chéma v Simulinku vycházíme z dynamického popiu yému. Nejprve z výše uvedené diferenciální rovnice vyjádříme nejvyšší derivaci polohy edačky y jako lineární kombinaci nižších derivací a buzení, j. íly F y 4 y 8 y, F Realizaci éo záviloi nám nadno umožní ériové zapojení dvou inegráorů na obr Technice vyváření imulačních modelů e podrobně věnuje kniha [4]. Kliknuím 45

47 Malab & Simulink: řešené příklady na ymbol ikonu někerého z bloků v programovém okně Simulinku e oevře přílušné dialogové okno, ve kerém naavíme požadované paramery. Obr. 3.-4: Simulační chéma V modelu je amozřejmě možné měni hodnoy zeílení v jednolivých zeilovačích bloky Gain, Gain a Gain V záložce Main dialogového okna okna zapíšeme v položce Gain požadovanou hodnou. Jednoduše lze změni i paramery budicí funkce blok Sep. V položce Sep ime lze měni dobu koku a v položkách Iniial value a Final value počáeční a konečnou hladinu koku obr Podrobnější popi echniky naavení paramerů jednolivých bloků a naavení paramerů imulace je uveden v kapiole... Obr. 3.-5: Možnoi naavení počáečních podmínek a dalších paramerů inegráoru 46

48 Tex pro pedagoga Blok Inegraor umožňuje i zadání počáečních podmínek a limiaci výupu zv. auraci, viz obr Obojí je možno zada jednak přímo hodnoou parameru, ale aké pomocí dalších vupních ignálů. Blok dovoluje i exerní ree naavení do počáečního avu na základě změny na řídicím logickém ignálu na náběžnou, eupnou nebo obě hrany. Další možnoí je definování avového výupu ae poru, kerý e využívá právě ve pojioi exerním reeem inegráoru a pokyuje hodnou, kerá by byla na výupu, pokud by nedošlo k reeu. 3.. Spušění imulace a zobrazení výledků Simulaci puíme prořednicvím položky Sar v nabídce Simulaion nebo kliknuím na ikonu v oolbaru okna. Sejného efeku doáhneme i kombinací kláve Crl T. Pokud dojde v průběhu imulace k problémům nebo je-li zvolen příliš dlouhý ča rep. jemný krok, je možné imulaci předčaně ukonči pomocí ikony. Po ukončení výpoču a kliknuím na ikonku zobrazovače ve chémau v našem případě blok Scope e oevře okno grafickým záznamem imulovaného průběhu pohybu edačky j. grafické řešení diferenciální rovnice, viz obr V lišě okna je k dipozici ada ikon pro případný zoom a ediaci průběhu. Obr. 3.-6: Záznam řešení Připomeňme, že kladná hodnoa reakce modelu odpovídá proednuí edačky, edy pohybu měrem dolů. Povšimněme i aké uálené hodnoy řešení y,, kerá povrzuje právno úvahy o aickém chování yému viz aická úvaha výše. Pokud by ná zajímala reakce yému vybuzeného jinou než kokovou budící funkcí, jednoduše nahradíme blok kokové změny blok Sep jiným blokem z bohaé nabídky Simulinku. Model edačky řidiče uvedený v úvodu éo kapioly obr. 3.- a v exu určeném pro udena obr. 3.-, kapiola 3. byl kry do zv. ubyému, kerý je reprezenován jediným blokem. Zahrnuí čái imulačního chéma do ubyému j. do jednoho bloku doáhneme ak, že myší označíme požadovanou čá chémau a náledně z menu Edi 47

49 Malab & Simulink: řešené příklady vybereme položku Creae Subyem. Tímo způobem můžeme zjednoduši a zpřehledni i velmi ložié a komplikované rukury imulačních modelů. Obr. 3.-7: Zahrnuí čái modelu do ubyému 3..3 Maemaická analýza pohybu edačky Maemaickým modelem edačky řidiče je diferenciální rovnice, jejímž řešením je čaová funkce, kerá analyicky popiuje její pohyb. Velmi účinným nárojem pro řešení lineárních diferenciálních rovnic je Laplaceova ranformace. V předchozích odavcích byl nalezen diferenciální popi ve varu m y k y c y F a pro zadané hodnoy pak y 4 y 8 y F Poloha edačky y je vzažena k uálenému avu, odpovídajícímu deformaci pružiny vyvolané amonou její hmonoí bez vnějšího zaížení. Hmou řidiče lze považova za vnější ílu F půobící na edačku. Předpokládejme, že v uáleném klidovém avu edačky nulové počáeční podmínky, j. y, y doedne na edačku náhle řidič a vyvolá ak její pohyb. Řešení diferenciální rovnice za ěcho podmínek a ímo buzením popiuje vyvolaný pohyb. 48

50 Tex pro pedagoga Nejprve připomeňme aickou úvahu provedenou již v úvodu éo kapioly. Jedná e o určení y lim y, j. celkového proednuí edačky v uáleném avu, po odeznění přechodového děje. Tuo hodnou můžeme urči velmi nadno i jednoduchou úvahou bez použií ložié maemaiky maemaický rozbor však muí eno závěr amozřejmě povrdi. Z fyzikální poday je zřejmé, že e jedná o abilní yém, a o v om mylu, že po doednuí řidiče na edačku dojde k přechodovému ději, kerý e za konečný ča prakicky uálí. Po doaečně dlouhé době proo plaí, že F F 8, y y, y y a y y. Diferenciální popi ak přechází do varu y 4 y 8 y F a ohledem na výše uvedené y, m cm Laplaceova ranformace Zabývejme e dále pohybem edačky po doednuí řidiče. Její pohyb je v čae popán řešením uvedené diferenciální rovnice předpokládanými počáečními podmínkami a budící funkcí. Řešme ji pomocí Laplaceovy ranformace. Je o velmi jednoduchý a efekivní apará, kerý nám umožní převé lineární diferenciální rovnici na rovnici algebraickou, v omo varu pak naléz její řešení rep. jeho obraz a opě ho převé zpě do čaové oblai. Byť eno poup vypadá na první pohled ložiě, řešení diferenciální rovnice ímo způobem je velmi jednoduché. K formálnímu řešení vyačíme několika málo korepondencemi a vlanomi ranformace příloha A y Y y Y y y Y y y F 8 / F Obraz diferenciální rovnice nalezneme nadno [ Y y y ] 4 [ Y y] 8 Y F Obrazem diferenciální rovnice je rovnice algebraická jedinou neznámou Y, obrazem řešení je 4 y y Y F Vyjádřili jme ak relaivně nadno obraz reakce dynamického yému obecně pro jakékoliv buzení a počáeční podmínky. V našem konkréním případě však y y 49

51 Malab & Simulink: řešené příklady 8 F 8 Y Liminí korepondence Hodnou y reakce edačky po odeznění přechodového děje můžeme ověři již v éo fázi řešení z nalezeného obrazu Y využiím liminích korepondencí mezi obrazem a předměem viz příloha A. 8 y limy lim, 4 Použiím druhé liminí korepondence určíme naopak začáek pochodu, kerý muí bý v ouladu e zadanými počáečními podmínkami. 8 y lim Y lim 4 y 8 Y y 4 8 y lim 4 Ověření hody ěcho liminích hodno v éo fázi řešení je mj. i vhodnou konrolou právnoi nalezeného obrazu. Poznamenejme však, že hoda hodno ješě nedokazuje právno obrazu, ale naopak rozpor by prokázal chybu. Zpěná Laplaceova ranformace Řešení popiující pohyb edačky v reálném čae zíkáme zpěnou Laplaceovou ranformací. Nejprve obraz rozložíme na ouče parciálních zlomků, keré pak poupně podle lovníku korepondencí uvedených v příloze A převedeme do hledaného předměu. 5 8 Y 4 A B C 4 8 A lim Y lim, 4 8 B lim Y 4 lim, C lim Y lim 8 4 4,5

52 Tex pro pedagoga Koeficieny parciálních zlomků lze urči i jiným způobem. Sečeme-li formálně uvažované parciální zlomky a rovnáme-li koeficieny u přílušných mocnin vzniklého polynomu v čiaeli polynomem čiaele rozkládaného obrazu, doaneme ouavu algebraických rovnic, jejímž řešením jou hledané koeficieny jde o zv. meodu neurčiých koeficienů. A B C A 4 B C 4 Y 4 4 A B C 4A B 4C 8A A B C 4A B 4C 8A 8 A, B,5 C,5 Meoda neurčiých koeficienů e zdá bý jednodušší nad je i čaěji používaná, výpoče je však v obecném případě pracnější. Uvedený příup liminími manipulacemi je vyoce efekivní zejména v případě reálných jednonáobných kořenů jmenovaele rozkládané funkce. Povšimněme i, že koeficieny A, B, C parciálních zlomků jou rezidua obrazu Y v jeho ingulárních bodech pólech a aké e ak jako rezidua i počíají. Vzhledem ke upňům polynomů čiaele nula a jmenovaele ři obrazu muí bý jejich ouče roven nule. Souče reziduí je roven podílu koeficienů n -ní mocniny operáoru čiaele a n-é mocniny jmenovaele, kde n je nevyšší mocnina ve jmenovaeli obraz muí bý racionální lomená funkce ryzí. Tao konrola je vhodným ověřením právnoi rozkladu. V případě vícenáobných pólů nejou obecně koeficieny všech parciálních zlomků rezidua rozkládaného obrazu. V omo případě je nuné i uvedený výpoče koeficienů parciálních zlomků poněkud modifikova. Pokud máme obraz Y rozložený na ouče parciálních zlomků, jme již blízko od hledaného řešení diferenciální rovnice. Z inegrální poday Laplaceovy ranformace oiž vyplývá, že obraz ouču dílčích funkcí e rovná ouču jejich obrazů a obráceně. Můžeme proo velmi jednoduše naléz pomocí lovníku L-ranformace předměy odpovídající jednolivým parciálním zlomkům a vyjádři hledané řešení jejich oučem.,,5,5 Y 4 y,,5e -4,5e - η Symbol η nabývá hodnoy pro ča < a hodnoy pro. Tzv. Heaviideův jednokový kok formálně ošeřuje plano uvedeného vzahu jen pro. Rychlo pohybu edačky určíme jako derivaci y y,5e -4,5e - η 5

53 Malab & Simulink: řešené příklady Ověřme nyní právno liminích hodno řešení na začáku a na konci přechodového děje -4 - y lim y lim,,5 e,5 e y lim y lim,5e -4 y lim y lim,,5e y lim y lim,5e -4,5e -4,5e -,5 e - -, 3..4 Ověření analyického řešení v Simulinku Simulační model edačky řidiče doplníme funkčním blokem Fcn realizujícím analyické řešení diferenciální rovnice obr a Prakická hoda obou průběhů je prokázána na obr. 3.- jejich vzájemným překryím v jednom grafu. Další možnoí je zobrazení průběhů ve dvou paralelních grafech. V bloku zobrazovače je řeba naavi v okně paramerů bloku v záložce General položku Number of Axe na hodnou. Obr. 3.-8: Analyické řešení v Simulinku 5 Obr. 3.-9: Zápi analyického řešení v bloku Fcn

54 Tex pro pedagoga Obr. 3.-: Porovnání analyického řešení e imulací 3..5 Dynamický yém na mezi periodiciy Hledáme minimální hodnou lumení k, při keré e ješě neobjevují kmiavé ložky průběhu. Kořeny charakeriické rovnice jou reálné náobné. Uvažujeme obraz řešení diferenciální rovnice za ejných okolnoí jinými hodnoami konrukčních paramerů Y m 8 k c pec. m charakeriická rovnice a její kořeny c 8 8 k 8 k 8 ; a pro dvojnáobný kořen k 4 4 8, k ± k k ,89 7,89, N/m 8,94 Obraz řešení v omo případě je 8 8 A B C Y k 8 8,94 8,94 8,94 8 A lim Y lim 8,94, 53

55 Malab & Simulink: řešené příklady 8 B lim Y 8,94 lim,89 8,94 8,94 d d 8 8 C lim { Y 8,94 } lim lim, 8,94! d 8,94 d 8,94 V případě vícenáobných pólů obrazu by e koeficieny parciálních zlomků kleající mocninou kořenového činiele počíaly jako limia ze ejně rooucí derivace vynáobené fakoriálním koeficienem /n!, kde n je řád derivace. Poznamenejme, že uvedené limiy jou v regulárních bodech, akže e i zde jedná jen o pouhé doazení hodno. V omo případě jou rezidua obrazu Y pouze koeficieny A a C, edy B není reziduum. I zde amozřejmě plaí, že ouče reziduí je roven nule, j. A C. Hledané řešení je,,89, Y 8,94 8,94 y,,89 e -8,94,e -8,94 η 3..6 Kmiavý dynamický yém Uvažujme kmiavý dynamický yém vlaními harmonickými ložkami pohybu. Kořeny charakeriické rovnice jou v omo případě komplexní. Předpokládejme hodnoy paramerů m kg, k 4 N/m, c 8 3 N/m. 54 Y m 8 k c m k 4 c 8 Charakeriická rovnice a její kořeny ± ;, ± j 8, 7 Kořeny charakeriické rovnice jou komplexní, dynamický yém má vlaní kmiy frekvencí 8,7 rad/ a exponenciálním lumením e určeno imaginární a reálnou čáí kořenů. Rozklad na parciální zlomky předpokládáme z důvodu komplexních kořenů ve varu 8 A B C Y Koeficien A určíme nejlépe reziduálním výpočem, koeficieny B a C meodou neurčiých koeficienů 8 A lim Y lim, 4 8

56 , Y B C B, C, Tex pro pedagoga B, C,4 B,; C,4,,,4 Y 4 8 Náleduje důležiá úprava druhé čái rozkladu Y parciálního zlomku odpovídajícího dvojici komplexně družených kořenů do varu podle poledních dvou korepondencí uvedených ve lovníku v příloze A., Y,,4,,, 76 76,, 76, Dále už jen jednoduše převedeme obraz podle lovníku L-ranformace do předměu y,,e {, e co 76, e 76 in 76 η [,co8,7,in8,7]} η, Obr. 3.-: Sanovení ϕ a ψ Výledek lze aké v ouladu obr. 3.- upravi do varu y [,,e, ψ ϕ,, in8,7 ϕ] η [,,e,, ϕ arcg,37,, ψ arcg,, co8,7 ψ ] η Jiný způob ř ešení Předpokládejme ejnou iuaci, ejnou diferenciální rovnici, ukažme i však jinou varianu přechodu od obrazu k řešení v čaové oblai. Předpokládáme ejné hodnoy paramerů m kg, k 4 N/m, c 8 3 N/m. 55

57 Malab & Simulink: řešené příklady Y m 8 k c m k 4 c Sejná je amozřejmě i charakeriická rovnice a její kořeny 4 ± ;, ± j 8, 7 Rozklad na parciální zlomky však předpokládáme ve varu komplexními koeficieny 8 A B C Y 4 8 j 8,7 j 8,7 Všechny koeficieny rozkladu A, B i C jou v omo případě rezidua obrazu v jeho pólech a určíme je 8 A lim Y lim, 4 8 B C lim j8,7 lim j8,7 Y j 8,7 Y j 8,7 lim j8,7 lim j8,7 8 L,5 j 8,7 8 L,5 j 8,7 j, j, Koeficieny B a C muejí bý nuně komplexně družené, nebylo proo ani řeba C znovu počía. Zde jou všechny ři koeficieny parciálních zlomků rezidua obrazu Y v jeho pólech, proo aké plaí A B C. 8,,5 j,,5 j, Y 4 8 j 8,7 j 8,7 Pomocí lovníku příloha A jednoduše nalezneme předmě j8,7 j8,7 y [,,5 j, e,5 j, e {, e [,5 j, co 8,7 j in 8,7,5 j,co8,7 j in 8,7]} η L {, e in[,co8,7,in8,7]} η ] η Samozřejmě, že výledek je naproo ejný jako v předchozí varianě řešení. Obě variany e liší jen příupem ke zpěné Laplaceově ranformaci. První příup, bez nunoi práce v komplexní oblai, e zdá bý poněkud jednodušší a příjemnější. Průběh polohy edačky v záviloi na čae je uveden na obr

58 Tex pro pedagoga Obr. 3.-: Čaová závilo pohybu edačky řidiče Probraná émaa diferenciální popi edačky, odvození její diferenciální rovnice, řešení lineární diferenciální rovnice v Simulinku, meoda nižování řádu derivace, změna paramerů imulace a budicích funkcí, zobrazení výledků, maemaická analýza pohybu edačky, aplikace Laplaceovy inegrální ranformace, liminí korepondence, nalezení analyického řešení diferenciální rovnice, zpěná Laplaceova ranformace, rozklad na parciální zlomky a meoda neurčiých koeficienů, ověření nalezeného řešení v Simulinku, maemaický rozbor dynamického yému na mezi periodiciy j. náobné reálné kořeny charakeriické rovnice, maemaický rozbor kmiavého dynamického yému vlaními harmonickými ložkami pohybu j. komplexní kořeny charakeriické rovnice. Sručné hrnuí při eavování diferenciální rovnice vycházíme z d Alemberova principu rovnováhy il zjednodušeného modelu edačky řidiče, 57

59 Malab & Simulink: řešené příklady k eavení imulačního modelu, v případě, že na pravé raně diferenciální rovnice není derivace, používáme meodu nižování řádu derivace, jinými lovy poačuje vyjádři nejvyšší derivaci polohy edačky, výledný imulační model může bý buzen nejrůznějšími ypy vupních funkcí, změna paramerů modelu je velmi jednoduchá, jednolivé čái imulačního chémau můžeme zahrnou z důvodu přehlednoi do ubyému, zvolená čá modelu je pak reprezenována jedním blokem e vupy a výupy, efekivním proředkem pro řešení lineárních diferenciálních rovnic konanními koeficieny je Laplaceova ranformace, kerá umožňuje převé diferenciální rovnici na rovnici algebraickou, v omo varu pak naléz její řešení, rep. jeho obraz a en převé zpě do čaové oblai, liminí hodnoy na počáku a po odeznění přechodového děje lze anovi pomocí liminích korepondencí mezi obrazem a předměem, řešení popiující pohyb edačky v reálném čae zíkáme zpěnou Laplaceovou ranformací, v popiovaném příkladu je nejprve ale nuné prové rozklad obrazu řešení na parciální zlomky, keré pak poupně podle lovníku korepondencí převedeme do hledaného předměu, koeficieny rozkladu lze vypočía pomocí limi rep. reziduálním výpočem, další možnoí je zv. meoda neurčiých koeficienů. Přiložené oubory oubory modelu: model_edacky_.mdl, model_obvod_.mdl a model_edacky_3.mdl 58

60 4 Baliická křivka projekilu Pal e rok 468 a Jan Boček Kuna z Kunšáu právě v bezpečí vého hradu Buchlova dobře kryého chřibkými hvozdy oevíral již řeí láhev jikřivého vína na poče vého rýce Jiřího z Poděbrad. Náhle e ozvala obrovká rána a první dělová koule uherkého krále Mayáše I. Korvína ořála druhým nádvořím hradu. Začalo nemilordné obléhání, během kerého ilné dělořelecvo Buchlov ze dvou řein zcela zničilo Baliická křivka je křivka popiující dráhu řely. Je výlednicí dynamického pohybu vyřeleného hmoného projekilu repekující odpor okolního vzduchu. Základními paramery dráhy řely jou její hmono m [kg], její počáeční rychlo v okamžiku výřelu v [m/] a úhel náměr α [deg], kerý vírá oa hlavně vodorovnou rovinou. V dělořelecké Obr. 4-: Hrad Buchlov praxi e obvykle vyjadřuje úhel v zv. gradech, jeden grad je jedna eina kvadranu. Pravý úhel má edy grad, 9 deg upňů a π/,57 rad míra oblouková. Pan Boček podcenil nebezpečí a nečekal, že šelma Mayáš pošle vé zvědy na nejvyšší kopec a náhle zaúočí ze zálohy bezpečně kryý okolními vrchy. Pojďme i o aké zkui, pojďme i zaříle. Bez prachu, koulí a kanónů, bez krve, rizik a ničení. Obr. 4-: Sřelba ve členiém erénu Je zřejmé, že o lidi na Buchlově neměli nadné. Převědče e ale aké o om, že o neměli moc lehké ani Korvínovi kanonýři i ím špehem na kopci. Zkue e jen refi, když není na cíl vidě. Jen ak, poku omyl. Můžee i vybra mío vzdáleno l mía A od mía B, množví řelného prachu počáeční rychlo řely v, náměr α i hmono řely m. Máme k omu dobrý proředek počíač a imulaci, nic nemůžee pokazi ani zniči. Nevadí, když e nerefíe. A kulí máme olik, kolik i jen budee přá. 59

61 Malab & Simulink: řešené příklady 4. Tex pro udena Příklad Vypracuje jednoduchý návod odkud a jak říle ak, aby e bezpečně zaáhl cíl. Formu i zvole ami. Vypracuje abulku nebo vhodný graf. Pokue e o co nejpřehlednější návod, kerý by ehdy jiě velmi ocenili uherší žoldáci ješě, že ho neměli, a neuměli aké imulova jako my, o by enkrá Buchlov dopadl jiě mnohem hůře. Vole: vzdáleno od cíle l > 5 m vzhledem k opologii erénu, počáeční rychlo řely < v < 5 m/ edy množví prachu, náměr < α < 9 deg upňů, hmono řely < m < 5 kg a koeficien odporu vzduchu k,34 N /m. Sami aké vhodně zvole výšku cíle hradu y nad úrovní úí děla. Nákre celé iuace je na obr y β v Řešení v α x Obr. 4.-: Základní paramery Zvolíme meodu poku omyl, poku refa. S olika paramery o není ale jednoduché. K imulaci řelby použijeme již předem připravený imulační model uložený v ouboru vrh_ikmy_m.mdl polupracující e kripem v ouboru vrh_ikmy_.m. Oba oubory muejí bý umíěny v akuálním adreáři MATLABu. O om e jednoduše převědčíme např. ak, že v pracovním okně MATLABu zadáme příkaz dir a povrdíme kláveou ENTER a necháme vypa obah akuálního adreáře. Neobjeví-li e názvy obou ouborů, muíme akuální adreář právně naavi. Nejprve oevřeme krip vrh_ikmy_.m paný v jednoduchém inerpreačním jazyce MATLABu. Skrip podle vé přípony někdy označován aké jako zv. m-oubor či m-file louží k ovládání ekvence příkazů prováděných MATLABem. V omo kripu, ak jak je napán, viz obr. 4.-, lze mj. i měni hodnoy paramerů výpoču. Po uložení provedených změn lze výpoče jednoduše pui v příkazovém okně zadáním názvu kripu, ovšem bez přípony!, edy vrh_ikmy_. Auomaicky a velmi rychle e provede ekvence příkazů, keré bychom aké mohli pracně a velmi pomalu zadáva jeden po druhém v příkazovém okně. Jedním z příkazů uvedeného kripu je i příkaz pro pušění imulace připraveného modelu v ouboru vrh_ikmy_m.mdl obr Je vhodné, zejména kvůli lepší orienaci v imulačním experimenu, i model nejprve prohlédnou. V příkazovém okně MATLABu zadáme příkaz imulink malým na začáku a v novém okně Simulinku oevřeme y x 6

62 Tex pro udena přílušný oubor modelu, edy vrh_ikmy_m.mdl. Paramery imulace můžeme měni ve kripu nebo aké přímo v okně imulačního modelu. Limiy měříek o grafu volíme vhodně podle iuace v okně paramerů oevřeme jej dvojiým kliknuím na přílušné ikoně zobrazovače blok XY Graph přímo v imulačním modelu. Obr. 4.-: Skrip vrh_ikmy_.m Obr. 4.-3: Model vrh_ikmy_m.mdl 6

63 Malab & Simulink: řešené příklady Názvy kripu a modelu byť e již liší příponou nemějí bý jinak hodné. Na obr je uveden průběh baliické křivky při počáečních paramerech m 5 kg, v m/, α 45 deg, x km a y m, viz obr Jak je parné z obdrženého průběhu, cíl o ouřadnicích [x, y ] [, ] m nebyl zaažen. Hodnoy x, v x, y, v y, včeně čau imulace, jou v průběhu imulace zobrazovány pomocí čílicových diplejů. Konečné hodnoy uvedených veličin jou na obr Obr. 4.-4: Simulace dráhy řely Konrolní oázky a úkoly Zvole vhodné paramery v, α, m. Uvažuje vždy dva z paramerů za konanní, řeí paramer měňe alepoň ři různé hodnoy. Nakrelee průběhy odpovídajících baliických křivek pro y. Uvažuje ejně zvolené paramery jako v předchozím bodě. Nakrelee průběhy baliických křivek v normální amoféře k,34 N /m a ve vzduchoprázdnu k. Baliická křivka řely ve vzduchoprázdnu připomíná parabolu, je omu kuečně přeně ak? Pokue e o vyvělení a vole vhodnou argumenaci, ať už e domníváe, že omu ak je nebo není. Uvažuje ejně zvolené paramery jako v předchozím bodě. Nakrelee opě dvě baliické křivky, jednu v normální zemké amoféře, druhou za ejných podmínek na Měíci. Předpokládeje, že je Měíc prakicky bez amoféry vzduchoprázdno, hodnou graviačního zrychlení na povrchu Měíce zjiěe ami. Zhodnoťe průběh obou křivek a pokue e o fyzikální zdůvodnění jejich rozdílů. Podle pokynů učiele vypracuje krákou echnickou zprávu. Přiložené oubory oubor kripu: vrh_ikmy_.mdl oubor modelu: vrh_ikmy_m.mdl 6

64 Tex pro pedagoga Oázky a úkoly pro pokročilé Pokue e nakreli křivky odpovídající měnícímu e parameru do jednoho grafu. Uprave krip a přílušné imulační chéma ak, aby bylo možné: a zadáva náměr α v gradech jak je u dělořelců obvyklé, b repekova vliv věru, c repekova měnící e graviační zrychlení kvadráem výšky řely pro řílení ředověkým dělem by nemělo valný myl, pro aplikace v rakeové nebo komické dynamice však rozhodně ano, d repekova reliéf erénu ak, aby nedošlo k nárazu řely do překážky. Bude aboluní rychlo řely v při dopadu ejná jako její aboluní rychlo v v okamžiku výřelu? Může omu ak za jiých okolnoí bý? Může e á, že by byla dokonce i věší? Pokue e fyzikálně zdůvodni vaši úvahu a ověři ji imulací. Zvykněe i klá ami obě podobné oázky a hleda na ně odpovědi, aniž by vá k omu někdo nuil o je velmi důležié. Je-li chopni maemaické analýzy, proveďe ji a konfronuje vždy výledek e imulací a vaším echnickým ciem. 4. Tex pro pedagoga Příklad Vypracuje jednoduchý návod odkud a jak říle ak, aby e bezpečně zaáhl cíl. Formu i zvole ami. Vypracuje abulku nebo vhodný graf. Pokue e o co nejpřehlednější návod, kerý by ehdy jiě velmi ocenili uherší žoldáci ješě, že ho neměli, a neuměli aké imulova jako my, o by enkrá Buchlov dopadl jiě mnohem hůře. Vole: vzdáleno od cíle l > 5 m vzhledem k opologii erénu, počáeční rychlo řely < v < 5 m/ edy množví prachu, náměr < α < 9 deg upňů, hmono řely < m < 5 kg a koeficien odporu vzduchu k,34 N /m. Sami aké vhodně zvole výšku cíle hradu y nad úrovní úí děla. Nákre celé iuace je na obr y β v v α x y Obr. 4.-: Základní paramery x 63

65 Malab & Simulink: řešené příklady Řešení Baliická křivka je výlednice dynamického pohybu vyřeleného hmoného projekilu ve dvou oách. Základními paramery jou m [kg], v [m/] a α [deg]. Uvažujeme odpor okolního vzduchu a konanní graviační zrychlení, oaní vlivy jako je rychlo věru, vliv roace řely ad. pro jednoducho zanedbáváme. Pokud bychom chěli yo vlivy zohledni, doali bychom poněkud ložiější diferenciální pohybové rovnice. Dráha pohybu řely je v omo případě rovinnou křivkou a je určena výlednicí oučaného pohybu řely v oe x i v oe y. Dynamika jejího pohybu v obou měrech je dána jednoduchými diferenciálními rovnicemi. Pohyb řely v oe x Servačnou ílu lze vyjádři obvyklým způobem jako F m d x /d m x a jelikož odpor vzduchu je závilý na čverci rychloi F k d x /d k x Aplikací d Alemberova principu vyrovnání il půobících na hmou m zíkáme rovno F F m x k x edy po jednoduché úpravě m x k x Pohyb řely v oe x je dán řešením výše uvedené homogenní diferenciální rovnice počáečními podmínkami x x v x v co α Obdrželi jme nelineární diferenciální rovnici, kerá popiuje pohyb řely ve měru x. Analyické řešení nelineárních diferenciálních rovnic je na rozdíl od rovnic lineárních obecně doi nepříjemné. Analyickými proředky dokážeme řeši jen někeré peciální ypy nelineárních rovnic. Klaické příupy rozkladu na homogenní a parikulární čá řešení či použií Laplaceovy ranformace zde obecně nelze použí. Zbývají pouze meody numerické maemaiky a aplikace ieračních procedur. Na rozdíl od analyické maemaiky však není pro imulaci díky její numerické podaě nelinearia diferenciálních rovnic významnou komplikací. Teno příklad je zařazen mj. pro iluraci oho, že nám imulace nabízí jednoduché eleganní řešení i v případech, kdy analyické možnoi maemaiky jou omezeny. 64

66 Tex pro pedagoga Pohyb řely ve vzduchoprázdnu k je však popán diferenciální rovnicí lineární m x, Laplaceova ranformace nám v omo případě pokyuje eleganní a jednoduché řešení x X x x X x X x x S uvažováním uvedených základních vzahů ranformace m [ X x x ] X v x Obraz a přílušný originál řešení pak je X v x / x v x η a plaí, že v x x v x kon Pohyb řely v oe y V omo případě budeme uvažova náledující ři íly F m y F k y F 3 m g ervačná íla odpor vzduchu íhová íla Opě jednoduchou aplikací d Alemberova principu vyrovnání il zíkáme rovno F F F 3 m y k y m g a po jednoduché úpravě m y k y m g Pohyb v oe y je dán řešením náledující nelineární diferenciální rovnice počáečními podmínkami y k / m y g y y v y v in α Pro pohyb řely ve vzduchoprázdnu j. pro k můžeme i zde výhodou použí Laplaceovu ranformaci y Y 65

67 Malab & Simulink: řešené příklady y Y y y Y y y S uvažováním uvedených vzahů Y y y g Y v y g Obraz a přílušný originál řešení je v y g v y g Y 3 3 y v y g η a rychlo v oe y v y v g η y y Srovnej e známými vzorci pro volný pád ve vzduchoprázdnu pohyb řely v oe y je rovnoměrně zrychlený. Ve vzduchoprázdnu je baliickou křivkou parabola proínající ou x v čae v y / g, j. v in α / g v bodě x v x v y / g v in α co α / g bez ohledu na hmono řely m záleží na v, neboli na energii, kerou řele na začáku udělíme. Vyloučením čau z obou pohybových rovnic doaneme její rovnici y v y / v x x g / v x x. Vrchol paraboly je y max v in α / g. Proveďme nyní dikui pro α ; π/, g a rovnejme vrhem kolmým vzhůru. Maximální dořel je zřejmě při daném v pro α π/, proože d x / dα v co α in α / g v co α / g α π/ Při pohybu ělea ve vzduchoprázdnu je nulová reakce proředí. Složka rychloi v horizonálním měru je proo konanní, dráha je lineární funkcí čau. Ve verikálním měru je ěleo ejnou graviační ilou ve oupající čái leu zpomalováno a v eupné čái naopak zrychlováno. Verikální ložka jeho dráhy odpovídající půobení graviačního zrychlení je úměrná kvadráu čau. Baliická křivka muí bý proo ymerická a je popána parabolou. 4.. Vyvoření imulačního modelu Pro řízení výpoču v MATLABu je užiečné vyvoři zv. krip m-oubor, kerý inerpreačním způobem, jeden po druhém, vykonává ekvenci zadaných příkazů. Na obr. 4.- je např. jednoduchý krip nazvaný vrh_ikmy_.m. Názvy ouborů v MATLABu nemí obahova znak mezera, proo je obvykle nahrazen znakem podržíko. 66

68 Tex pro pedagoga Obr. 4.-: Skrip pro zadávání vupních paramerů a pušění imulace Do kripu je možné vepa na libovolné mío edy i za příkaz komenář uvozený znakem %, kerý MATLAB při vykonávání kripu ignoruje. Způobem popiovaným již v kapiolách a 3 a podrobněji aké v knize [4] vyvoříme imulační chéma na obr Obr. 4.-3: Model baliické křivky projekilu v Simulinku 67

69 Malab & Simulink: řešené příklady V modelu obr je aké blok Subyem, kerý jako celek není oučáí andardní nabídky Simulinku. Je však vyvořen ze andardních logických členů pro účely konkréní imulační úlohy. Budiž jednoduchým příkladem realizace logických funkcí v proředí Simulink. Jeho konrukce je z uvedené rukury zřejmá i bez komenáře. Nezapojený vup bloku e chová jako by na něj byla přivedena rvale nulová hodnoa, vhodnější je ale na akovýo vup připoji výup bloku Ground příp. blok Conan hodnoou, čímž zamezíme varovnému hlášení ve varu Warning: Inpu por of 'vrh_ikmy_m/subyem/ /Relaional Operaor' i no conneced. Uvedená konrukce obr ubyému není jedinou možnou realizací logické funkce, pokue e o realizaci jinou. Obr. 4.-4: Subyém pro zaavení imulace při plnění definovaných podmínek K zaavení výpoču běhu imulace dojde, jeliže a ouřadnice x ve vodorovném měru doáhne předem naavené hodnoy x, b je-li ouřadnice y ve vilém měru při kleající fázi leu y < menší než y. Pro polupráci kripu řídícího imulační výpoče e imulačním modelem je nuné zajii přeno hodno naavením paramerů jednolivých bloků modelu je v ouboru vrh_ikmy_m.mdl je již naaveno: počáeční podmínky inegráorů paramer Iniial condiion na v x proměnná vx rep. pro pohyb v oe x a v y vy rep. pro pohyb v oe y, konanu graviačního zrychlení Conan value na g, zeílení obou použiých zeilovačů Gain, v omo případě hodně na k/m, paramery imulace příup z menu Simulaion Configuraion Parameer, maximální doba výpoču položka Sop ime na T max Tmax a maximální délka imulačního kroku Max ep ize na dt. 68

70 Tex pro pedagoga V ubyému přerušujícím výpoče obr po plnění zadané logické podmínky jou prořednicvím kripu zadávány konany předpokládaných ouřadnic cíle x x rep. y y. Význam jednolivých paramerů řídicích výpoče je zřejmý již z vlaního komenáře kripu. Koeficien odporu vzduchu k,34 N /m zřejmě aké závií na varu řely a nadmořké výšce. Maximální doba výpoču T max udává dobu imulace v případě, že nebude do é doby plněna logická podmínka pro přerušení výpoču. Maximální zadaná délka imulačního kroku dt, není povinným paramerem. Pokud není zadána, MATLAB délku imulačního kroku naaví auomaicky podle zvolené doby imulace a o dle vzorce dt max op ar / 5. Volbou kroku je amozřejmě ovlivněna rychlo imulace. V někerých případech e může á, že ice výpoče proběhne rychle, ale výledný průběh zíkaný imulací není inerpreován doaečně hladkou křivkou. Oba oubory, j. vrh_ikmy_m.mdl a vrh_ikmy_.m muí bý umíěny v akuálním adreáři. Muí e liši nejen příponou, ale i názvem. Po oevření kripu ve veavěném edioru můžeme měni paramery výpoču a pochopielně i celý krip. Změny je vhodné uloži a pui výpoče v příkazovém okně MATLABu zadáním názvu kripu bez přípony, zde edy vrh_ikmy_ povrdíme kláveou ENTER. Výpoče lze pui aké i přímo z okna edioru, příkazem Run popř. Save and Run z menu Debug nebo ikem klávey F5. Simulovaný průběh dráhy řely při zachování původních paramerů obr. 4.- je uveden na obr K vykrelení byl použi blok XY Graph. Křivka je krelena průběžně již při běhu imulace. Měříka o grafu lze naavi podle dané iuace v okně paramerů bloku oevřeme jej dvojiým kliknuím na jeho ikoně. Obr. 4.-5: Simulace dráhy řely 4.. Vykrelení několika křivek do jednoho grafu Chceme-li vykreli několik křivek dráhy leu řely odpovídající měnícímu e parameru do jednoho obrázku je vhodné oba oubory krip i model poněkud modifikova. Model rozšíříme ak, abychom při výpoču ukládali ouřadnice dráhy do přílušných polí, kerá nám umožní náledně dráhu vykreli, viz model vrh_ikmy_m.mdl na obr

71 Malab & Simulink: řešené příklady Uložení obou ouřadnic zajiíme prořednicvím peciálních bloků To Workpace. V okně paramerů ěcho bloků je řeba zada název proměnné, v našem případě x rep. y a aké změni formá ukládaných da z impliciního ypu Srucure na yp Array. Obr. 4.-6: Upravený model baliické křivky Skrip řídící průběh výpoču upravíme ak, aby v cyklu opakovaně poušěl imulační výpoče a vykreloval křivku dráhy leu, viz krip vrh_ikmy_.m na obr Modifikace kripu je zřejmá z jeho komenáře. Příkaz paue, jako polední v ěle cyklu, realizuje přerušení výpoču po proběhnuí jednoho kroku cyklu. Výpoče pokračuje po iknuí libovolné klávey. Alernaivou je např. příkaz pauen, kerý pouší výpoče auomaicky po n ekundách nebo příkaz paue vůbec nepouží. Pokud chceme z jakéhokoliv důvodu celý výpoče přeruši a úplně ukonči, učiníme ak ikem kláve Crl C. Zde uvedená variana kripu obr odpovídá měnící e hodnoě náměru α. Variany přílušné měnícím e hodnoám jiných paramerů jou analogické pokue e realizova. Zajímavá je zejména iuace měnící e hmonoí řely m a omu odpovídající dráha leu ve vzduchoprázdnu pro k. Expor grafu do exového edioru Velmi čao pořebujeme pro dokumenaci výpoču umíi obrázek imulované iuace do exového edioru MS Word apod.. Po ukončení imulačního výpoču e nám objeví na obrazovce monioru obrázek odpovídající naaveným paramerům příkazu plo ve kripu, kerým jme řídili výpoče. V daném případě obrázek, viz obr

72 Tex pro pedagoga Obr. 4.-7: Upravený krip Máme možno buď jemněji pochopi význam paramerů příkazu pro krelení křivek, upravi je a zopakova výpoče nebo využí možnoí inerakivní ediace přímo v grafickém okně Figure. MATLAB umožňuje měni paramery a barvu jednolivých křivek, vkláda exy a měni vzhled a měříka krelicí plochy. Příklad možné ediace je na obr Výledný graf lze zkopírova ikem kombinace kláve Al Prin Screen a přené do grafického edioru pro další zpracování nebo přímo do edioru exového. Další možnoí je využií nabídky grafického okna Figure File Save. Obrázek uložíme ve zvoleném formáu do vybraného adreáře a náledně jej vložíme andardním způobem do exu. Lze aké pomocí nabídky Edi Copy Figure obrázek zkopírova do chránky a náledně běžným způobem, v záviloi na používaném exovém edioru např. pomocí kombinace kláve Crl V, vloži do exu, viz obr

73 Malab & Simulink: řešené příklady Obr. 4.-8: Několik křivek pro různé náměry α v jednom grafu Pozorný čenář i jiě všiml, že záadně nevyužíváme čeké diakriiky v exech ani v názvech ouborů. Důvodem je, že i pře deklarovanou podporu češiny, činí MATLABu verze R6a v někerých případech čárky a háčky jié poíže, proo e diakriice raději vyhýbáme. Jié možnoi ovšem pokyují peciální formáovací příkazy, keré dovolují měni yp fonu a umožní i použií diakriiky [4]. 7 Obr. 4.-9: Úprava vzhledu grafu

74 Tex pro pedagoga Expor imulačního chémau do exového edioru Přeno imulačního chémau z pracovního okna Simulinku do exového edioru je velmi jednoduchý. Nejprve raději vypneme případný zoom zobrazení View Normal % a přeuneme moiv chémau do levého horního rohu okna označíme vše ikem kombinace kláve Crl A a přeáhneme pomocí myši. Poé moiv chémau zkopírujeme do chránky Edi Copy Model o Clipboard a zkopírovaný obrázek vložíme např. ikem Crl V do libovolného grafického edioru nebo přímo do exového edioru. Tímo způobem bylo do ohoo exu vloženo chéma modelu na obr Obr. 4.-: Exporované imulační chéma 4..3 Model inverzní dynamiky Pan Boček podcenil nebezpečí a nečekal, že šelma Mayáš pošle vé zvědy na nejvyšší kopec a náhle zaúočí ze zálohy bezpečně kryý okolními vrchy Ani obránci hradu nebyli ehdy úplně bez šancí. My jme na om v oučanoi naší echnikou o do lépe. Pomocí imulace dokážeme zázraky, edy éměř. Jednoduchým způobem dokážeme měni měříko čau, dokážeme řešení diferenciální rovnice zrychli či zpomali nebo dokonce ok čau zcela obrái, realizova zv. inverzní dynamiku. S jiou mírou nadázky realizova něco jako roj čau. Simulova dynamické děje pozpáku, jakoby ča plynul obráceně. Diferenciální rovnici inverzní dynamiky, edy éhož děje běžícího pozpáku, zíkáme jednoduchou ranformací čau τ k, k τ, dτ d x dx / d dx / dτ x d x / d d x / dτ 73

75 Malab & Simulink: řešené příklady m d x / d k dx / d m d x / dτ k dx / dτ m d x / dτ k dx / dτ Počáeční podmínky ako ranformované diferenciální rovnice jou podmínkami okrajovými původní rovnice v okamžiku dopadu, edy x x, x dx / dτ τ dx / d v x v co β kde x, y, v rep. β jou ouřadnice, rychlo, rep. úhel dopadu řely. Díky kvadraické rukuře diferenciální rovnice e její var ranformací čau formálně nezměnil. V obecném případě však ke změně dochází. U abilní lineární diferenciální rovnice dochází ouo ranformací dokonce vždy k její neabiliě. Zcela obdobně i pro ouřadnici y y k / m y g m d y / d k dy / d m d y / dτ k dy / dτ m g m d y / dτ k dy / dτ m g Počáeční podmínky ranformované diferenciální rovnice jou okrajovými podmínkami původní rovnice v okamžiku dopadu y y, y dy / dτ τ dy / d v y v in β Ani v omo případě e pohybová rovnice ve měru y ze ejných důvodů ranformací čau formálně nezměnila. Rovnici inverzní dynamiky můžeme v obecném případě řeši buď analyicky nebo imulačně. Pro imulační řešení v proředí MATLAB Simulink rozšíříme imulační model o čá inverzní dynamiky, viz vrh_ikmy_3m.mdl. Rozšíření imulačního chémau provedeme velmi jednoduše. Pomocí levého lačíka myši vybereme čá, kerou chceme zkopírova, ikneme pravé lačíko myši u kurzoru e objeví ymbol plu, přeuneme kurzor na požadované mío a uvolníme iknuí lačíka. Výledný model je na obr Simulační výpoče můžeme realizova buď přímo z okna Simulinku ak, že naavíme paramery imulace na jednolivých blocích ve chémau a puíme řešení, nebo upravíme krip, viz vrh_ikmy_3.m na obr. 4.-, kerým řídíme výpoče. Jedná e o varianu původního kripu vrh_ikmy_.m, lišící e jen ím, že pouší výpoče jiného modelu. Práce e kripem je jednodušší, převážně z důvodu možnoi nadno měni paramery imulace a výpoče opakova. Pro ověření inverzní dynamiky puíme nejprve výpoče řízený kripem z pracovního okna MATLABu v příkazovém řádku zapíšeme vrh_ikmy_3 a povrdíme kláveou ENTER. Po ukončení výpoču dopad řely nejprve přeuneme navzájem překryá okna obou XY zobrazovačů. Na jednom z nich bude vykrelena baliická křivka vypočená e zadanými paramery. Dále na přílušných diplejích přímé dynamiky odečeme paramery dráhy leu v okamžiku dopadu řely. Pokud imulace proběhla paramery, keré jou uvedeny ve kripu na obr. 4.-, pak: doba leu 3,6, x x 85 m, y y 5 m, 74

76 Tex pro pedagoga v x v x 56,68 m/, v y v y 6,45 m/. Tyo hodnoy naavíme ručně v přílušných inegráorech inverzní dynamiky jako počáeční podmínky. Při zadávání numerických hodno je v MATLABu povinná deeinná ečka. Údaj o době leu řely je jen informaivní, údajů na diplejích inverzního modelu i v éo fázi nemuíme všíma. Pokud imulace inverzního modelu proběhla nulovými počáečními podmínkami impliciní naavení, ak e na ěcho diplejích objevují paramery proého volného pádu řely v čae. Obr. 4.-: Původní model doplněný o inverzní dynamiku Po zadání počáečních podmínek inverzního modelu obr. 4.- puíme výpoče z okna Simulinku. Probíhající výpoče generuje dvě idenické baliické křivky, z hledika běžícího čau však inverzním vývojem proi obě, viz obr

77 Malab & Simulink: řešené příklady Obr. 4.-: Skrip řídící výpoče Obr. 4.-3: Zobrazení výledků imulace přímé a inverzní dynamiky řely Probraná émaa 76 diferenciální popi pohybu řely v oách x a y, odvození přílušných nelineárních diferenciálních rovnic, nalezení analyického řešení pomocí Laplaceovy ranformace ve peciálním případě pohybu řely ve vzduchoprázdnu k, diferenciální rovnice jou lineární,

78 řešení původních nelineárních diferenciálních rovnic v Simulinku, Tex pro pedagoga použií kripů pro řízení výpoču, předávání hodno mezi kripem a modelem, použií cyklu v ěle kripu, grafické zpracování výledků imulace, uložení výledků imulace do pole, vykrelení imulovaných křivek, vykrelení několika křivek různými paramery do jednoho grafu, přeno grafu a imulačního chéma do exového edioru, ovládání výpoču, přerušení imulace pomocí příkazu paue, použií logických funkcí v proředí Simulinku, rozbor inverzní dynamiky yému a náledná imulace. Sručné hrnuí dráha pohybu řely je určena výlednicí oučaného pohybu řely v oe x i v oe y, dynamiku jejího pohybu v obou měrech lze popa jednoduchými nelineárními diferenciálními rovnicemi, při eavování obou diferenciálních rovnic vycházíme z d Alemberova principu rovnováhy il, na rozdíl od analyické maemaiky není pro imulaci díky její numerické podaě nelinearia diferenciálních rovnic významnou komplikací, během imulace můžeme ouřadnice dráhy řely ukláda do prooru proměnných a náledně dráhu vykreli pomocí andardních funkcí MATLABu, výledný graf lze pak ediova měříka, popi o, legenda apod., jednoduchou ranformací čau můžeme naleznou diferenciální rovnici inverzní dynamiky, zn. éhož děje běžícího ale pozpáku, počáeční podmínky ako ranformované diferenciální rovnice jou podmínkami okrajovými původní rovnice v okamžiku dopadu, v názvech ouborů kripu i modelu nemí bý mezera i jiné znaky, keré e však ak čao nepoužívají, čekou diakriiku ve verzi R6a raději nepoužíváme, pro polupráci kripu a imulačního modelu muí bý oba přílušné oubory umíěny v akuálním adreáři a nemějí mí ejné jméno byť e liší příponou. Přiložené oubory oubory kripu: vrh_ikmy_.mdl, vrh_ikmy_.mdl a vrh_ikmy_3.mdl oubory modelu: vrh_ikmy_m.mdl, vrh_ikmy_m.mdl a vrh_ikmy_3m.mdl 77

79

80 5 Řešené příklady Předešlé čyři kapioly na konkréních příkladech ilurují bohaé možnoi MATLABu a Simulinku, vedou uživaele krok po kroku imulačním experimenem a vybízejí jej aké k případným dalším aplikacím uvedených příupů. Příklady jou rukurovány do dvou úrovní. Jednak na čá určenou pro pedagoga, obahující podrobný rozbor řešení včeně maemaické analýzy a případného řešení pomocí Laplaceovy ranformace a dále na čá určenou pro udena, ve keré nejou naopak kladeny nároky na akivní zvládnuí mnohdy ložiého maemaického aparáu. V náledujících odavcích je uveden ucelený oubor příkladů, keré je možné využí při výuce na ředních školách echnického měru různým zaměřením. Všechny příklady jou řešeny v proředí MATLAB Simulink. Teoreický rozbor je zde velmi omezen a příklady již nejou rozděleny do dvou úrovní, j. pro udena a pro pedagoga. Jejich řazení vychází čáečně ze rukury zavedené v knize [4], na kerou ex logicky navazuje. Nejprve jou uvedeny příklady, k jejichž řešení pořebujeme pouze proředí MATLAB základy práce v MATLABu, maice a vekory, daové rukury, řešení lineárních algebraických rovnic, použií grafiky, apod., náledují příklady orienované především na grafickou nadavbu Simulink. Nejprve je ukázána realizace lineárních modelů dynamických yémů, později modelů nelineárních, příp. i ložiějších modelů elekromechanických yémů. Řazení příkladů ale z čái aké vychází z členění modelovaných yémů na yémy elekrické, hydraulické a mechanické či jejich vzájemné kombinace. S ohledem na uvedené lze příklady rozděli do náledujících kupin: I. základní použií MATLABu např. základní vlanoi elekrického pole, aplikace Ohmova zákona, vlanoi řídavého ignálu, impedance a výkon v RLC obvodu, II. maicový poče Kirchhoffovy zákony, meoda myčkových proudů, meoda uzlových napěí, III. imulace lineárních yémů průhyb noníku, pohyb ělea na nakloněné rovině, dráha kyvadla, IV. imulace nelineárních yémů vývoj výšky hladiny nádrže, pojené nádrže, volný pád ělea, V. ložiější modely mechanických a elekromechanických yémů model navíjecího zařízení, model ejnoměrného mooru. Je zřejmé, že émaické členění příkladů ak, aby e vyhovělo rukuře vyučovaných předměů na různých ypech ředních škol a zároveň byla zachována celková koncepce výkladu funkcí a vlanoí amoného MATLABu a náledně i Simulinku použiá již v [4], je věc prakicky nemožná. Hlavní důraz je kladen na poupné ovojování i základních echnik práce proředím, nejprve při realizaci jednoduchých výpočů a později i při vorbě ložiějších imulačních modelů realizovaných využiím uživaelkých kripů. Snahou auorů bírky je především ukáza jednoduchou a přehlednou formou na neporné výhody využií MATLABu a Simulinku při řešení mnohdy i značně komplikovaných úloh. 79

81 Malab & Simulink: řešené příklady Příklady jou voleny ak, aby byly přímo využielné při výuce, zejména v maemaice, fyzice, mechanice, elekroechnice, auomaizaci a řídicí echnice. Učielům umožní eno příup podrobně eznámi udeny vlanomi mecharonických yémů, keré nejou efekivně realizovaelné na fyzikálních učebních pomůckách. Všechny v exu popiované modely a jim přílušné oubory kripu jou čenáři doupné na přiloženém daovém médiu. V náledujících kapiolách nejou ovšem konkréní oubory popiovány. Jejich úplný přehled je uveden v příloze B. 5. Elekron v homogenním elekrickém poli Určee, na jak dlouhé dráze a za jaký ča zíká elekron rychlo v 6 6 m, je-li urychlován homogenním elekrickým polem inenziy E 54 V m. Předpokládejme, že elekron byl původně v klidu, jeho klidová hmono je m 9, 3 kg, a je noielem elemenárního náboje q e &,6 9 C. V elekrickém poli inenziy o velikoi E půobí na náboj q elekrická íla o velikoi F e q E, ,64 7 N Ta podle druhého Newonova pohybového zákona udílí čáici o hmonoi m zrychlení a 7 Fe 8,64 3 m 9, & 9, m V homogenním elekrickém poli půobí na náboj konanní elekrická íla, kerá udílí čáici neoucí náboj q konanní zrychlení. Čáice elekron byla původně v klidu a její pohyb bude edy přímočarý rovnoběžný vekorem E a rovnoměrně zrychlený. 8 Obr. 5.-: Řešení příkladu v MATLABu Dráhu a ča lze za uvedených podmínek vypočía podle známých vzahů v a , ,4945 & 63 n

82 3 8 a 9,4945 6,394 Základní vlanoi řídavého elekrického ignálu,896 &,9 m Ukázka možného řešení v MATLABu je uvedena na obr Základní vlanoi řídavého elekrického ignálu Sřídavé elekrické napěí je popáno vzahem π u co 94 6 Uveďe všechny jeho vlanoi, j. ampliudu, frekvenci, periodu a fázi. Vypočěe aké jeho řední a efekivní hodnou. Zapiše u v ymbolickém varu a uveďe jeho fázor. Ve vzahu pro okamžiou hodnou napěí je funkce koinu, jedná e edy o napěí harmonické. Ampliuda U V, okamžiá hodnoa u e mění od do V. Úhlová frekvence ω 94 rad. Frekvenci a periodu lze jednoduše vypočía ω 94 f 49,94 & 5 Hz π π T 6, ,7 5 & n f Fáze je rovna π π o ϕ 94 ; ϕ Jelikož je uvedeno pouze jedno napěí, nelze mluvi o fázovém pouvu. Sřední a efekivní hodnou lze urči z ampliudy pomocí známých vzahů. Připomeňme, že yo vzahy plaí pouze pro harmonický průběh. U U 76,3944 V π π U U ef 84,858 V Symbolický var zadaného napěí u je u U e j94 π j ω ϕ 6 e U fázoru je nuné použí efekivní hodnou. Můžeme aké vyjádři napěí ve ložkovém varu 8

83 Malab & Simulink: řešené příklady U U e j j π ϕ 6 84,858e 84,858e o j3 73,4847 j4,464 Řešení příkladu v MATLABu je na obr Obr. 5.-: Řešení příkladu v MATLABu 5.3 Výkon v RLC obvodu Sériový obvod RLC má yo paramery: R 84 Ω, L,4 H, C 64 µf, U 3 V, f 5 Hz. Vypočěe jeho činný, jalový a zdánlivý výkon a účiník. Nejdříve muíme vypočía celkovou komplexní impedanci obvodu a náledně anovi proékající proud Z R jωl R j ωl jωc ωc Z 84 j 75,978 3,3 e j o 4,5 U e I,33 e o Z j 4,5 3,3 e Ω o j 3 o j 4, 5 A 8

84 Výkon v RLC obvodu Výkony P, Q a S lze urči z komplexních efekivních hodno napěí a proudu. Označme U U e jϕ a I I e jϕ. Rozdíl ϕ ϕ ϕ je fázový poun mezi napěím a proudem j. úhel, kerý vírají fázory U a I. Jelikož činný výkon a jalový výkon jou definovány P U I co ϕ, Q U I in ϕ muíme vyvoři akový oučin fázorů napěí a proudu, aby v něm vyupoval rozdíl ϕ ϕ ϕ. Teno rozdíl nevyupuje ve vzahu U I, proože U I U e jϕ I e jϕ U I e jϕ ϕ Jelikož však I * I e jϕ a podle Eulerovy věy e jϕ co ϕ j in ϕ, je zřejmě U I * U e jϕ I e jϕ U I e jϕ ϕ U I e jϕ U I co ϕ j U I in ϕ Komplexní výkon S je roven S U I * akže P Re[S], Q Im[S], S S Komplexní výkon S po doazení konkréních hodno je S U I * 3 e j,33 e j 4,5 467,99 e j 4,5 346,593 j 33,86 VA S využiím výše uvedeného můžeme nyní vypočía výkony P, Q a S a účiník co ϕ P Re[S] 346,593 W Q Im[S] 33,86 var S S 467,99 VA co ϕ P / S,749 Řešení v MATLABu bude, obdobně jako v minulém příkladě, značně jednodušší. Poup je uveden na obr Obr. 5.3-: Řešení příkladu v MATLABu 83

85 Malab & Simulink: řešené příklady 5.4 Impedance RLC obvodu Vypočěe celkovou impedanci érioparalelního zapojení rezioru o odporu R Ω, indukoru o indukčnoí L H a kapacioru o kapaciě C 5 µf při frekvenci f 5 Hz a napěí U 3 e j V. Zapojení ohoo RLC členu je na obr Vypočěe aké veliko napěí U a proudu I C ve ložkovém i exponenciálním varu. i C C i L i R u u C L R u Obr. 5.4-: Schéma zapojení elekrického obvodu Pro vyřešení příkladu je nuné nejprve vyjádři impedanci zadaného RLC obvodu, prové úpravy a rozšířením komplexně druženým konjugovaným čílem oamoani reálnou a imaginární čá. Pro zjednodušení dalších výpočů náobení a dělení je vhodné výledný ložkový var převé na var exponenciální. Celá iuace e poněkud zjednoduší, pokud řešení provedeme v MATLABu obr Drobné rozdíly v někerých výledcích jou způobeny zaokrouhlováním. Z Z jω C R jω L jω C R jω L Z R jω L R jω L R jω L R R jω L j ω L jω L R j ω L R j jr ω L Rω L R ω L Z Rω L R ω L R ω L j R ω L 4,399 j 9,637 68,77 e o j 3,486 Ω Z 4,399 j 546,6 564,593 e j o 75,398 Proud I C a napěí U vypočeme z Ohmova zákona Ω U Z IC e 564,593e j 3 j 75, 398,476e j75,398,8 j,3944 A U U Z I C 68,7673 e 68,77 e o j7,874 j 3,486,476 e,46 j 75,398 j 65,4488 V 84

86 Řešení elekrického obvodu přímou aplikací Kirchhoffových zákonů Obr. 5.4-: Řešení příkladu v MATLABu 5.5 Řešení elekrického obvodu přímou aplikací Kirchhoffových zákonů Pomocí Kirchhoffových zákonů vypočíeje veliko všech neznámých proudů a napěí v obvodu z obr Konkréní hodnoy odporu jednolivých reziorů jou R R 4 Ω a R 3 8 Ω. Napěí zdrojů jou U V a U 6 V. I R R I I 3 U U R U U R R3 U R 3 Obr. 5.5-: Schéma zapojení elekrického obvodu Aplikací Kirchhoffových zákonů poupně obdržíme ouavu lineárních algebraických rovnic I I I U R 3 R I R3 I3 I R3 I3 U 85

87 Malab & Simulink: řešené příklady Rovnice lze zapa v maicovém varu, dále doadi konkréní hodnoy R R I R 3 I R 3 I 3 U U 4 8 I 4 I 4 I 3 6 a řeši např. pomocí Gauovy eliminační meody. Pokud není deerminan maice ouavy nulový, můžeme k řešení využí Cramerovo pravidlo více viz kapiola.. de A I I ,35 A, A I 3,45 A Napěí na jednolivých reziorech vypočeme pomocí Ohmova zákona U R U R U R 3 R I 4,35 8,4 V R I R I 3 3 4,,4 V 8,45 3,6 V Řešení v proředí MATLAB je značně jednodušší a je uvedeno na obr

88 Řešení elekrického obvodu meodou myčkových proudů Obr. 5.5-: Řešení příkladu v MATLABu 5.6 Řešení elekrického obvodu meodou myčkových proudů Určee všechny neznámé proudy v obvodu podle obr. 5.6-, jou-li zadány hodnoy odporů jednolivých reziorů R R 3 Ω, R 4 Ω, R 4 Ω a R G 5 Ω a napěí zdroje U V. Řešení proveďe meodou myčkových proudů. R R I I I S I G R G I S I R 3 R 4 I 3 I 4 I S3 U Obr. 5.6-: Schéma zapojení elekrického obvodu 87

89 Malab & Simulink: řešené příklady Jako neznámé zavedeme myčkové proudy I S, I S a I S3. K eavení rovnic použijeme druhý Kirchhoffův zákon R IS RG IS IS R3 IS IS3 R G IS IS R IS R4 IS IS3 R 3 IS3 IS R4 IS3 IS U a po úpravě R R3 RG IS RG IS R3 IS3 R G IS R R4 RG IS R4 IS3 R 3 IS R4 IS R3 R4 IS3 U Souavu lineárních algebraických rovnic zapíšeme v maicovém varu R R3 RG RG R3 IS RG R R4 RG R4 IS R R R R I U S I 5 75 I 3 I 3 88 K řešení můžeme využí Cramerova pravidla, deerminan maice A není nenulový 65 5 de A I S,43 A 43, ma I S,84 A 8,4 ma I S 3,49 A 4,9 ma. 8 8

90 Řešení elekrického obvodu meodou myčkových proudů Proudy v jednolivých věvích jou I IS I IS I 3 IS3 IS I 4 IS3 IS I G IS IS 43, ma 8,4 ma 6,7 ma 76,5 ma 4,8 ma Řešení v proředí MATLAB je uvedeno na obr Obr. 5.6-: Řešení příkladu v MATLABu 89

91 Malab & Simulink: řešené příklady 5.7 Řešení elekrického obvodu meodou uzlových napěí Vypočíeje proudy všemi reziory v obvodu na obr. 5.7-, jou-li napěí zdrojů U V, U V a proud zdroje I, A. Hodnoy odporu jednolivých reziorů jou R Ω, R 5 Ω, R 3 Ω, R 4 Ω a R 5 Ω. R U I R R 4 I I 4 U R 3 R 5 I I 3 I 5 Obr. 5.7-: Schéma zapojení elekrického obvodu Reálné zdroje napěí U a U nejprve nahradíme ekvivalenními zdroji proudu viz obr níže uvedenými paramery a vypočeme aké vodivoi všech reziorů U I Z,5 A ; G 5 ms R R U I Z,4 A ; G ms R 5 R 5 G R 3 3 G R 4 4 G R 5 5 ms 5 ms 5 ms Příklad budeme řeši meodou uzlových napěí, kerá je vhodná v případě, že analyzovaný elekrický obvod má několik paralelních věví bíhajících e v jednom uzlu. V obvodu zvolíme jeden referenční uzel a zavedeme napěí zbývajících uzlů vůči referenčnímu U a U. 9

92 Řešení elekrického obvodu meodou uzlových napěí I Z G 4 G I Z G G 3 G 5 I U U Obr. 5.6-: Modifikace zapojení a zavedení uzlových napěí Pro nezávilé uzly napíšeme podle prvního Kirchhoffova zákona přílušné rovnice U U U U U U R IZ IZ R3 R4 R U U analogicky pro vodivoi U U IZ I R 4 R R5 G U G3 U G4 U U G U U IZ IZ G 4 U U G U U G5 U IZ I a po úpravě G U I I U G G3 G4 U G G4 G G4 U G G4 G5 U I I Souavu lineárních algebraických rovnic zapíšeme v maicovém varu G G G3 G4 G G4 U IZ IZ G G4 G G4 G5 U I IZ po doazení 7 U 9 7 U Obdobně jako v předchozích příkladech můžeme využí k řešení Cramerova pravidla, neboť deerminan maice A není nenulový 7 de A 5 7 referenční Z Z Z 9

93 Malab & Simulink: řešené příklady 9 7 U U Proudy reziory jou I 3 U G3 4 U U G4 5 U G5 I5 I I4 I I3 I4 I I I I 437, ma 44, ma 74,4 ma 33, ma 8,4 ma 4,37 V,8837 V Řešení v proředí MATLAB je uvedeno na obr Obr : Řešení příkladu v MATLABu

94 Rovnoměrný přímočarý pohyb hmoného ělea 5.8 Rovnoměrný přímočarý pohyb hmoného ělea Předpokládáme, že jde o pohyb hmoného ělea ve měru oy x, nebo o ložený pohyb ve měru oy x a oy y. Vyznačuje e konanní rychloí. Cílem je ukáza závilo dráhy ělea na čae při různé konanní rychloi a aké vznik loženého pohybu, daného oučem jednolivých ložek pohybu ve měru o x, y. y T v x kon vy kon a b? x v x kon Obr. 5.8-: Rovnoměrný přímočarý pohyb hmoného ělea a pohyb ělea ve měru oy x b výledný ložený pohyb x Definujme nejprve základní veličiny: [] ča [m] dráha ělea [m] okamžiá dráha ělea v čae [m] dráha na počáku pohybu v čae, čao lze položi v [m ] rychlo pohybu v [m ] okamžiá rychlo ělea v čae Vzájemné vzahy ěcho veličin odvodíme na základě náledující úvahy. V krákém čaovém okamžiku [] budeme předpokláda, že e v omo čae pohybuje ěleo álou průměrnou rychloí v a urazí dráhu [m], plaí edy vzah v Jeliže budeme čaový úek zmenšova k nule, doaneme po zv. liminím přechodu vzah pro okamžiou rychlo ělea d v d kde d, d předavují zv. diferenciál dráhy a diferenciál čau. Derivaci čaové funkce lze fyzikálně inerpreova ak, že okamžiá rychlo ělea je rovna derivaci dráhy podle čau. Probíhá-li pohyb ělea konanní rychloí, upravíme výše uvedenou rovnici ako 93

95 Malab & Simulink: řešené příklady 94 v v x x d d d d d předavuje elemenární úek dráhy. Chceme-li urči okamžiou dráhu ělea v čae, muíme použí maemaickou operaci inegrace d d x v v v x x x x τ τ Z uvedené záviloi je zřejmé, že dráha narůá přímo úměrně čaem. Obdobná rovno plaí i pro pohyb ve měru oy y. d d y v v v y y y y τ τ Pro výlednou dráhu plaí na základě vekorového ouču rovnice y x Okamžiá dráha ělea je edy dána inegrálem okamžié rychloi vzhledem k čau. Simulační model v proředí MATLAB Simulink je uveden na obr Nejprve muíme vyvoři chéma pro výpoče dráhy ělea v obou oách a náledně anovi dráhu výlednou. Obr. 5.8-: Srukura bloků pro výpoče dráhy pohybu ělea Za vupní paramery imulace volíme poupně počáeční rychloi v x,, 5 a m, v y,5,, 3 a 7 m. Simulaci můžeme prové i pro všechny počáeční rychloi najednou. Sačí, když definujeme jednolivé rychloi jako vekory, viz obr Obr : Zadání hodno počáečních rychloí a vykrelení výledků

96 Rovnoměrný přímočarý pohyb hmoného ělea Pokud naavíme v zobrazovačích ukládání výledků do proměnných v okně paramerů bloku v záložce Daa hiory zvolíme Save daa o workpace, zadáme název proměnné x, y či a zvolíme rukuru ukládaných da Array lze jednoduše imulované průběhy vykreli. Uložení čau zajiíme prořednicvím nabídky Simulaion Configuraion Parameer. V záložce Daa Impor/Expor v čái Save o workpace zvolíme položku Time a zadáme název proměnné, v našem případě. Vykrelení průběhů je možné pomocí příkazu plo, viz obr Obr : Příklad uživaelkého kripu Simulační výpoče lze aké zcela zauomaizova. Zadání počáečních rychloí, vlaní pušění imulace a přehledné vykrelení imulovaných průběhů je výhodné prové pomocí jednoduchého uživaelkého kripu na obr Grafické zobrazení záviloi x rep. y může bý podobné jako na obr Průběhy lze doplni např. i o legendu. Obr : Přehledné zobrazení výledků 95

97 Malab & Simulink: řešené příklady Se zvyšující e rychloí narůá lineárně dráha ělea za ejnou dobu vykoná ěleo delší dráhu. V případě, že v a lineární nárů rychloi, jde o pohyb rovnoměrně zrychlený konanním zrychlením a. Rovnoměrný přímočarý pohyb je vlaně pohyb e zrychlením a. Lze vyšeřova i nerovnoměrný pohyb ělea, známe-li konkréní závilo v. Ukažme případ, kdy v v e / T pro v m a T 5. Pak plaí τ / T e d v τ Simulační chéma a přílušný záznam grafického řešení je na obr rep Obr : Simulace nerovnoměrného pohybu Obr : Závilo dráhy na čae při proměnné rychloi 96

98 Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb 5.9 Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb e děje konanním zrychlením a. Cílem je ukáza grafické záviloi dráhy a rychloi pohybu ělea na čae při omo konanním zrychlení, případně závilo rychloi na probíhající dráze. Obr. 5.9-: Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb ělea ve měru oy x Definujme základní veličiny [] ča [m] dráha ělea [m] okamžiá dráha ělea v čae dráha na počáku pohybu v čae, čao lze položi v [m ] rychlo pohybu v [m ] okamžiá rychlo ělea v čae v v [m ] počáeční rychlo ělea, nejčaěji v a kon [m ] zrychlení rovnoměrně zrychleného pohybu ělea Předpokládáme, že v krákém čaovém okamžiku půobí na ěleo konanní zrychlení a a dojde ke zvýšení rychloi o v, pak plaí v a Jeliže budeme zmenšova čaový úek k nule, pak po liminím přechodu doaneme vzah j. pro d dv d a d d Obdrželi jme diferenciální rovnici druhého řádu. Jejím řešením můžeme anovi dráhu, kerou urazí ěleo, je-li mu udíleno zrychlení. Předpokládejme, že ča e začíná počía od okamžiku počáku pohybu. Dráhu a rychlo ělea v čae edy určíme inegrací v v τ dτ a τ dτ v T a x kon v v? x Uvedené rovnice jou maemaickým modelem rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu ělea. 97

99 Malab & Simulink: řešené příklady Fyzikálně lze výše uvedené vzahy inerpreova ak, že okamžiá dráha ělea je dána inegrálem z okamžié rychloi ělea vzhledem k čau; okamžiá rychlo ělea je pak dána inegrálem zrychlení vzhledem k čau. Je-li a a kon, pak v adτ a dτ a což je známá lineární závilo mezi rychloí a čaem. Uvedenou ouavu rovnic lze řeši pomocí rukury dvou ériově zapojených inegráorů konanním vupem obr. 5.9-, daným hodnoou zrychlení a. Obr. 5.9-: Simulace rovnoměrně zrychleného pohybu Simulaci provedeme pro yo paramery: m, v m, v čae začne půobi konanní zrychlení a, m. Řešení provedeme v čae až. Úlohu budeme řeši éž pro a,6 m, v 5 m, m. 98 Obr : Čaový průběh dráhy a rychloi ělea při a, m a závilo v f

100 Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Z prvního grafu na obr vyplývá, že u přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu konanním zrychlením rychlo ělea lineárně narůá, zaímco dráha ělea narůá kvadraicky. Obr : Čaový průběh dráhy a rychloi ělea při a,6 m, v 5 m a m Simulační model lze po úpravě obr využí i pro řešení nerovnoměrně zrychleného pohybu, kdy zrychlení a není konanní, ale je známou funkcí čau, např. a,6 m pro až 5, pro 5 až je a,6 e /. Obr : Simulace nerovnoměrně zrychleného pohybu 99

101 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Čaový průběh dráhy a rychloi u nerovnoměrně zrychleného pohybu 5. Volný pád ělea Volný pád ělea je vilý rovnoměrně zrychlený pohyb z výšky h konanním graviačním zrychlením a g 9,8 m. Vyšeřeme závilo dráhy a rychloi na čae, pohybuje-li e ěleo reálně v amoféře a ve peciálním případě ve vakuu. Úloha umožňuje imulova vliv odporující íly amoférického ovzduší na průběh dráhy a rychloi ělea. y a m g h Obr. 5.-: Volný pád ělea y zem Při volném pádu ělea v amoféře klade ovzduší pohybu ělea odporovou brzdicí ílu

102 F C Sρ v Označíme-li k C S ρ /, pak odporová íla F udělí ěleu zrychlení k v a m Definujme veličiny [] ča m [kg] hmono ělea g [m ] graviační zrychlení g 9,8 m F [N] odporová brzdící íla ovzduší C [ ], k [kg m ] konany úměrnoi S [m ] průřez ělea kolmý ke měru pohybu Volný pád ělea ρ [kg m 3 ] huoa vzduchu y [m] okamžiá výška ělea nad zemí y h [m] počáeční výška, ve keré e nachází ěleo v čae y dy / d okamžiá rychlo padajícího ělea v [m ] rychlo ělea v v [m ] počáeční rychlo ělea v m a [m ] zrychlení půobící proi měru pohybu y dv / d okamžié zrychlení padajícího ělea d y / d [m ] Odporová íla závií na varu ělea, což zohlednéme koeficienem C. Pro kouli plaí přibližně zjišěno na základě experimenů C,48, pro duou polokouli např. padák volíme C,33, pro obdélníkový profil je C,55 a pro dokonalý aerodynamický var je C,. Dynamika volného pádu ělea o hmonoi m v amoféře, charakerizované konanou k, je dán diferenciální rovnicí druhého řádu k y [ y ] m y h, y g Vzhledem k omu, že e v rovnici vykyuje kvadraický člen y, jde o nelineární diferenciální rovnici, avšak pomocí počíače v proředí Simulink dobře řešielnou. Označíme-li y v a y v, převedeme uvedenou diferenciální rovnici na ouavu dvou rovnic prvního řádu y v

103 Malab & Simulink: řešené příklady k v [ v ] m g y h, y v Každou rovnici řeší jeden inegráor, komplení blokové chéma obr. 5.- je vořeno rukurou dvou inegráorů e vupem g a zpěnou vazbou pře kvadraický člen. Simulaci provedeme pro yo paramery: m 5 kg, k,7 kg m a h m. Počáeční výšku y h lze přičí k ignálu y za druhým inegráorem, obdobně jako v příkladě 5.9, nebo ji lze přímo zada jako počáeční podmínku v druhém inegráoru. Obr. 5.-: Simulace volného pádu ělea Model na obr. 5.- umožňuje graficky znázorni čaové záviloi dráhy výšky ělea y a jeho rychloi v při daných paramerech m, k a h. Uvedené záviloi jou v grafech na obr Obr. 5.-3: Závilo výšky a rychloi ělea na čae

104 Vrh vilý vzhůru Na výupech obou inegráorů můžeme ledova čaové průběhy kleající výšky ělea až po doažení země, j. y d a okamžié rychloi ělea v záviloi na zvolených paramerech pohybu m, k, h. Změnou konany k zohledňujeme vliv amoféry. Je-li k a edy i F, pohyb probíhá ve vakuu a plaí obvyklé rovnice dráhy a rychloi pro volný pád. Při pomalých pohybech v odporujícím proředí je brzdná íla vyvolána vniřním řením ve vazké ekuině kapalina, vzduch a je přímo úměrná rychloi ělea jde edy o lineární závilo. V omo peciálním případě by ve zpěné vazbě prvního inegráoru odpadl nelineární kvadraický člen. 5. Vrh vilý vzhůru Vrh vilý je přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb, při kerém ěleo o hmonoi m vypuíme určiou počáeční rychloí v vzhůru. Těleo e pohybuje v graviačním poli, keré půobí proi měru pohybu. Cílem úlohy je urči čaový průběh dráhy a rychloi ělea. y v m a g Obr. 5.-: Vrh vilý vzhůru y zem Definujme veličiny [] ča g [m ] graviační zrychlení g 9,8 m h [m] okamžiá výška ělea nad zemí h h [m] počáeční výška, ve keré e nachází ěleo v čae y dh / d okamžiá rychlo padajícího ělea v [m ] rychlo ělea v v [m ] počáeční rychlo ělea y dv / d okamžié zrychlení ělea d h / d [m ] a [m ] zrychlení ělea 3

105 Malab & Simulink: řešené příklady Svilý vrh vzhůru e kládá z rovnoměrného přímočarého pohybu měrem vzhůru a volného pádu. Pro okamžiou rychlo v a výšku nad zemí h v čae plaí vzahy v v g h v g Čá vilého vrhu vzhůru, kdy ěleo oupá, e nazývá výup; ěleo při něm koná rovnoměrně zpomalený pohyb. Výup končí, je-li okamžiá rychlo rovna. Poom náleduje volný pád. Ča, kerý bude rva výup je doba výupu T v, a ěleo vyoupá do výšky vrhu h max. v g T v T v v / g v v v hmax v Tv gtv g g g g Maemaický model bude obdobný jako u přímočarého rovnoměrně zrychleného pohybu, zrychlení má ale opačný myl. y a g y g dτ g v g h y y dτ gτ dτ v dτ v h Simulaci provedeme pro yo paramery: v m 7 km h, h m. Počáeční rychlo v a výšku h zadáme jako počáeční podmínky v inegráorech. 4 Obr. 5.-: Simulace vilého vrhu vzhůru

106 Pohyb ělea po nakloněné rovině Model je vhodné doplni o logiku zaavení imulace v okamžiku dopadu ělea na zem, viz obr V okamžiku, kdy naane dopad, edy h, dojde prořednicvím bloku Sop Simulaion k zaavení imulace. Aby nedošlo k zaavení imulace ihned na počáku, je výhodné ledova, zda je ěleo již ve fázi volného pádu, j. plaí-li, že v <. Obr. 5.-3: Závilo výšky a rychloi ělea na čae Z grafů na obr vyplývá, že dráha nejprve narůá do doby až ěleo doáhne maximální výšky, pak začíná klea. Způobuje o vliv graviačního zrychlení. Rychlo pohybu kleá lineárně čaem. Model umožňuje urči maximální výšku h max, kdy je rychlo v y a celkovou dobu rvání pohybu, edy do okamžiku h, kdy ěleo opě doáhne země. 5

107 Malab & Simulink: řešené příklady 5. Pohyb ělea po nakloněné rovině Pohyb ělea po nakloněné rovině je přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb. Těleo o hmonoi m položené na nakloněnou rovinu e pohybuje měrem dolů vlivem zemké graviace. Cílem úlohy je imulova průběh dráhy a rychloi pohybu ělea po nakloněné rovině a vyšeři vliv počáeční rychloi v, úhlu klonu φ a ření zohledněného koeficienem mykového ření f. Schémaicky je celá iuace znázorněna na obr F T F N m a F G α 6 Obr. 5.-: Pohyb ělea po nakloněné rovině Definujme základní veličiny [] ča m [kg] hmono ělea φ [ ] úhel klonu roviny F G, F N, F T [N] íhová, normálová a řecí íla g [m ] graviační zrychlení g 9,8 m f [ ] koeficien mykového ření [m] dráha ělea v čae [m] počáeční dráha poloha ělea v v [m ] počáeční rychlo ělea a [m ] zrychlení ělea Pohybová rovnice pro pohyb ělea na nakloněné rovině je m a F G F N F T Uvedenou rovnici rozepíšeme do jednolivých ložek v pravoúhlém ouřadném yému, kde oa ečná je hodná e klonem roviny a oa n normálová je na rovinu kolmá. Tedy plaí m a F G in φ F T F G co φ F N Pro řecí a normálovou ílu plaí vzájemný vzah F T f F N

108 a po doazení m a F G f co φ F G in φ Je-li graviační íla je dána vzahem F G m g pak po doazení pro zrychlení a plaí vzah Pohyb ělea po nakloněné rovině a g in φ f co φ Jelikož paramery g, f a φ jou konany, je zrychlení a éž konanní. Poupnou inegrací výše uvedené rovnice zíkáme vzah pro určení dráhy v čae. Přiom předpokládáme, že ča e začíná počía od okamžiku počáku pohybu. Dráha je dána vzahem g inϕ f coϕdτ g inϕ f coϕ v gτ inϕ f coϕ v dτ Teno yém rovnic je maemaickým modelem pohybu ělea po nakloněné rovině. Simulaci provedeme pro yo paramery: v m, m, ϕ 3,54 rad a f,5. Přílušné imulační chéma je na obr Obr. 5.-: Simulace pohybu po nakloněné rovině Model umožňuje ledova čaový průběh okamžiého zrychlení na vupu prvního inegráoru, rychlo na jeho výupu a dráhu na výupu druhého inegráoru při různých paramerech pohybu v, φ, f. 7

109 Malab & Simulink: řešené příklady Obr. 5.-3: Čaový průběh rychloi a dráhy ělea při pohybu po nakloněné rovině 5.3 Maemaické kyvadlo Hmoný bod o zanedbaelné hmonoi m e pohybuje po vilé kružnici, realizované oočně uloženou yčí konanní délky l za půobení íhové íly F G. Cílem je vyšeři kmiání ohoo zv. maemaického kyvadla, edy zobrazi úhlovou dráhu φ a úhlovou rychlo ω v záviloi na čae při proměnném parameru φ. Zobrazíme aké zv. fázovou rajekorii, edy závilo úhlové rychloi na úhlové dráze při φ kon. n ϕ F R a n m a F G Obr. 5.3-: Maemaické kyvadlo 8

110 Definujme základní veličiny [] ča m [kg] hmono F G, F R [N] íhová íla a íla reakce g [m ] graviační zrychlení g 9,8 m φ [rad] úhel naočení kyvadla φ [rad] počáeční úhel naočení kyvadla Maemaické kyvadlo ω [rad ] úhlová rychlo ε [rad ] úhlové zrychlení l [m] délka kyvadla a, a, a n [m ] zrychlení hmoného bodu, jeho ečná a normálová ložka Seavíme pohybovou rovnici a rozepíšeme ji do o vhodného ouřadného yému. Po zavedení reakčního účinku yče F R bude její pohybová rovnice m a F R F G Ve měru ečny a normály viz obr plaí m a n F R m g co φ m a m g in φ Pohyb bodu po kružnici je v kinemaice popán základními veličinami: ϕ úhlová dráha [rad], ω úhlová rychlo [rad ], ε úhlové zrychlení [rad ]. V krákém čaovém úeku budeme předpokláda, že e bod pohybuje álou rychloí ω a urazí dráhu ϕ, pak plaí ω ϕ Pokud bude v omo krákém čaovém úeku na bod půobi konanní úhlové zrychlení ε dojde ke zvýšení rychloi o ω, pak ω ϕ ε Jeliže budeme v uvedené rovnici zmenšova čaový úek, edy provedeme-li liminí přechod, obdržíme diferenciální rovnici pro určení úhlové dráhy ϕ, kerou bod urazí při půobení úhlového zrychlení ε d ϕ ε d Jelikož normálové zrychlení a n l ω l dϕ /d a ečné zrychlení a l d ϕ /d m l [ϕ ] F R m g co φ m l ϕ m g in φ 9

111 Malab & Simulink: řešené příklady Z pohybové rovnice pro měr ečny vyjádříme úhlové zrychlení g ε ϕ inϕ l Simulaci provedeme pro počáeční úhel φ 3 o, φ 9 o a φ 8 o. Úhel φ lze zadáva ve upních, i když Simulink pracuje úhly vyjádřenými v radiánech. Přepoče je realizován náobením konanou π /8. V grafech obr je však úhlová dráha vyjádřena v radiánech z důvodu přehledného zobrazení úhlové dráhy a úhlové rychloi v jednom grafu. Délku kyvadla volíme l,5 m. Obr. 5.3-: Simulace maemaického kyvadla Obr : Průběh ϕ a ω při ϕ 3 a ϕ 9 bez lumení zde φ ϕ Kmiání kyvadla probíhá pro naavený počáeční úhel v čae, j. φ až do uálení kyvadla do polohy, kdy je φ. Uvedený model imuluje chování kyvadla ve vakuu bez

112 Maemaické kyvadlo půobení lumení. V případě, že chceme uvažova koeficien lumení b, muíme do pohybové rovnice doplni lumicí ílu dϕ FB b d Tao íla půobí proi rychloi pohybu. Schéma doplníme o zápornou zpěnou vazbu z výupu prvního inegráoru pře koeficien b na vup ohoo inegráoru. Průběh ϕ a ω kyvadla pro b,4 N/m je uveden na obr Obr : Průběh ϕ a ω při ϕ 3 lumením b,4 N/m zde φ ϕ Pohyb kyvadla závií na přenoi zadané hodnoy π, což je nejvíce vidielné v případě, kdy φ 8 o. Experimenováním naavením hodnoy π různé přenoi pak zíkáme různé průběhy pohybu kyvadla v záviloi na čae, viz obr Obr : Vliv přenoi zadané hodnoy π při ϕ 8 zde φ ϕ

113 Malab & Simulink: řešené příklady V prvním případě graf na obr vlevo bylo zadáno π 3,4, v případě druhém graf vpravo bylo využio maximální přenoi MATLABu, edy π 3, Zajímavý je aké průběh úhlové rychloi v záviloi na úhlové dráze zv. fázová rep. avová rajekorie, viz obr Obr : Fázová rajekorie při ϕ 3 zde φ ϕ 5.4 Le komické lodi Ve věších vzdálenoech od povrchu Země nelze již její graviační pole považova za homogenní, j. íhové zrychlení g e rooucí vzdálenoí rychle zmenšuje. V komonauice je ale důležiý zejména pohyb v radiálním graviačním zemkém poli. Těleu rakeě je udělena ve značné vzdálenoi od Země rychlo v, ve měru kolmém k zemkému povrchu. Cílem úlohy je prozkouma dráhy komických lodí, kerým by polední díl noné rakey udělil ve výši km nad Zemí rychlo v inervalu 8 až 5 km. R Z 637 km r G v Obr. 5.4-: Poloha komické lodi vůči Zemi

114 Le komické lodi Definujme základní veličiny [] ča m, M Z [kg] hmono komické lodi, hmono Země r, R Z [m] vzdáleno lodi od ředu Země, poloměr Země h [m] vzdáleno lodi od povrchu Země r [m] počáeční vzdáleno lodi od ředu Země, r R z h G [N] graviační íla g [m ] graviační zrychlení g 9,8 m κ [kg m 3 ] graviační konana v [m ] rychlo komické lodi v [m ] počáeční rychlo komické lodi a [m ] zrychlení komické lodi Pro pohyb komické lodi plaí podle II. Newonova zákona pohybová rovnice m a G a podle graviačního zákona je m M G κ r Z Zrychlení komické lodi je dle definice druhou derivací vzdálenoi podle čau, j. a r. Doazením do pohybové rovnice doaneme d r m M m κ d r a po úpravě d r r κ M d Z Z Tao diferenciální rovnice druhého řádu je nelineární a jejím řešením je hledaná vzdáleno rakey r od ředu Země. Dráha leu nezávií na hmonoi komické lodi. Vyjádříme nejvyšší derivaci r d r d κ M r Z Simulaci provedeme pro M Z 5,98 4 kg, R Z 637 km, κ 6,68 kg m 3 a v 8 až 5 km. Model obr umožňuje ledova rychlo v komické lodi na výupu prvního inegráoru a vzdáleno r od ředu Země na výupu druhého inegráoru v záviloi na čae. Paramerem je počáeční rychlo v. Závilo dráhy na čae není parabolická, neboť íhové zrychlení e rooucí vzdálenoí rychle zmenšuje. Lze e o om převědči, zobrazíme-li oučaně r, v a a. Je-li počáeční rychlo věší, než km, komická loď e již nevráí a rvale e od Země vzdaluje. Zajímavé je éž ledova rychlo rakey v záviloi na vzdálenoi od Země. Pokud je počáeční rychlo menší, než zv. 3

115 Malab & Simulink: řešené příklady úniková, rychlo lodi zpočáku leu kleá rychle, poom pozvolněji až k nule. To je vrchol dráhy leu. Poom rychlo změní znaménko a poupně e zvěšuje, loď e vrací k Zemi. Při počáeční rychloi věší než únikové kleá v k určié mezní hodnoě. Obr. 5.4-: Simulace dráhy leu komické lodi 4 Obr : Závilo vzdálenoi od ředu Země a rychloi komické lodi na čae při v 8 km Aby ěleo ve výšce h obíhalo kolem Země jako družice po kruhové dráze, muí bý odředivá íla v rovnováze graviační ilou Země. Tedy Z v κ M R h R h Z Z v κ M Z R h Z Pro h, po doazení za M Z 5,98 4 kg a R Z 6,37 6 m, je v 7,9 km, edy zv. I. komická rychlo, k ní náleží doba oběhu T π R Z / v ,4 minu.

116 Ohyb noníku Je-li ěleu ve výšce h nad zemkým povrchem udělena počáeční rychlo v > v, pak e pohybuje po elipe a při hodnoě v v přejde na parabolickou dráhu a ěleo e rvale vzdaluje od Země zv. únikovou II. komickou rychloí, pro kerou plaí κ M Z v v &, km R Z Obr : Závilo vzdálenoi od ředu Země a rychloi komické lodi na čae při v,5 km 5.5 Ohyb jednoranně veknuého noníku Pro zv. ohybovou čáru noníků plaí diferenciální rovnice druhého řádu d y M dx E J kde y [m] průhyb noníku M [N m] ohybový momen E [Pa] modul pružnoi J [kg m ] momen ervačnoi profilu noníku Cílem úlohy je vyšeři průhyb, úhel klonu ohybové čáry a ohybový momen krakorcového noníku ve měru oy x při zaížení na volném konci ilou P při zadaných paramerech J a E. y P l m Obr. 5.5-: Krakorcový noník zaížený ilou P x 5

117 Malab & Simulink: řešené příklady Definujme základní veličiny l [m] délka noníku P [N] íla půobící na volný konec noníku x [m] délková ouřadnice noníku x v míě veknuí yx [m] průhyb noníku v míě x Nejprve je nuné vyjádři průběh ohybového momenu. Počíáme-li eno momen od konce noníku M P l x Uvedený vzah doadíme do rovnice pro ohybovou čáru d y P l x dx E J Rovnici dále derivujeme podle x 3 d y P 3 dx E J a výledný vzah poupně inegrujeme, edy d y dx y x dy gϕ & ϕ ϕ plaí pro malé úhly a prohnuí dx x x P E J ϕ dx dx Simulaci provedeme pro yo hodnoy: P 5 kn, J,7 6 kg m, E,6 Pa a φ rep. φ 4 3 rad. Úhel φ předavuje úhel veknuí noníku. 6 Obr. 5.5-: Simulace průhybu noníku

118 Ohyb noníku Model obr umožňuje ledova na výupu prvního inegráoru čaový průběh ohybového momenu noníku, na výupu druhého inegráoru úhel klonu ohybové čáry a na výupu řeího inegráoru průběh ohybové čáry podél ouřadnice x noníku. V modelu lze měni paramery φ úhel veknuí noníku, P, J a E. Obr : Průhyb a úhel zde φ ϕ noníku v záviloi na ouřadnici x Obr : Ohybový momen v záviloi na ouřadnici x Zajímavé jou éž průhyby podél noníku pro různé úhly veknuí a průhyb pro různé zaěžovací íly, viz obr

119 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Průhyb noníku různé zaěžovací íly a pro různé úhly veknuí zde φ φ 5.6 Vývoj výšky hladiny v nádrži Úkolem je imulova vývoj hladiny v nádrži na obr. 5.6-, do keré napoušíme vodu definovanou rychloí a kerá má u dna ovor. Uvažujeme ideální kapalinu a homogenní graviační zrychlení. Q, v S h dm 8 S Q, v Obr. 5.6-: Nádrž výokovým ovorem u dna Definujme základní veličiny [] ča Q, Q [m 3 ] příok do nádrže, odok z nádrže ovorem v, v [m ] rychlo přiékající a rychlo odékající kapaliny S, S [m ] plocha půdoryu nádrže a plocha výokového ovoru m [kg] hmono kapaliny V [m 3 ] objem kapaliny g [m ] graviační zrychlení, g 9,8 m h [m] výška hladiny v čae

120 Vývoj výšky hladiny v nádrži Ze zákona o zachování energie nejprve odvodíme výokovou rychlo v. Tao rychlo amozřejmě není konanní, neboť závií na akuálním množví vody v nádrži. Uvažujeme-li malý elemen kapaliny o hmonoi dm, kerý má na hladině nulovou rychlo a na dně při výoku má nulovou poenciální energii, plaí, že dm v dm g h a edy v g h Celkový objemový ok při změně výšky hladiny je dv Q Q Q d Plaí-li dále, že dh dv S S h d Q S v lze po doazení do rovnice pro objemový ok pá S h Q S v Doadíme-li do uvedené rovnice dále za rychlo v, ak po jednoduché úpravě obdržíme výlednou diferenciální rovnici h [ Q S g h ] S Simulaci provedeme pro yo hodnoy: Q, m 3, S, m a S,5 m. Přílušný imulační model je na obr Při imulaci je možné zvoli počáeční výšku hladiny a libovolný příok, případně ponecha příok vypnuý a ledova průběh vypoušění nádrže. Obr. 5.6-: Simulace vývoje výšky hladiny v nádrži 9

121 Malab & Simulink: řešené příklady Výledky imulace při počáeční výšce hladiny h, m a příoku, kerý je nejprve nulový a v čae je kokově změněn na Q, m 3 jou na obr V grafu je zobrazen mimo průběhu imulované výšky hladiny h aké popiovaný průběh příoku Q. Obr : Závilo výšky hladiny na čae Pro konrolu právnoi výledku imulace je vhodné výpočem anovi uálenou výšku hladiny h při konanním příoku Q. V omo případě by e měl příok rovna odoku, edy pro, h Q h g S, 9,8,5,39 m V grafu na obr e nadno převědčíme, že uálená hodnoa výšky hladiny je v ouladu hodnoou h vypočenou výše. Uálená hodnoa není závilá na ploše půdoryu nádrže S, na velikoi éo plochy závií pouze rychlo uálení. V modelu je uvažováno, že kapalina vyéká vždy celou plochou S, přeože nemuí bý při úplném vypoušění v nádrži doaečné množví kapaliny. Hladina nádrže e v omo případě uálí na kladné hodnoě blízko nuly, model není v omo ohledu zcela dokonalý. Modifikujme nyní úlohu ak, že namío ovorem u dna bude nádrž vypoušěna pomocí hadice, viz obr Konec hadice, kerý je uvniř nádrže, je ve výšce h od dna, hadice je ohnua ve výšce h a druhý konec hadice, kerým kapalina vyéká, je na úrovni dna. Vzhledem k okolnoi, že kapalina vyéká z hadice na úrovni dna nádrže, není nuné měni vzorec pro výokové rychloi v. Muíme, ale v rámci modelu ošeři avy, kdy kapalina vyéká a kdy ne. Sanovme náledující pravidla: kapalina začne vyéka v okamžiku, kdy výška hladiny překročí výšku h, kapalina vyéka přeane v okamžiku, kdy výška hladiny klene pod úroveň h.

122 Vývoj výšky hladiny v nádrži Q, v h S S h h Obr : Vypoušění nádrže hadicí Zápi uvedených podmínek pomocí logické proměnné L může bý např. náledující h [ Q L S S g h ] Q, v h > h L h > h L Simulační chéma na obr muíme upravi ak, aby zpěnovazební myčka byla akivní pouze ehdy, když kapalina vyéká hadicí z nádrže. Nejjednodušší je zřejmě použií bloku Relay. V bloku je nuné naavi hodnoy, při kerých dochází k epnuí h a vypnuí h a hodnou při epnuém rep. vypnuém avu. Upravené imulační chéma je na obr Obr : Upravené imulační chéma S modelem je možné značně experimenova, lze měni např. příok Q, výšky h a h. Mohou naa náledující základní ři evenualiy:

123 Malab & Simulink: řešené příklady h h < h, j. iuace na obr v okamžiku, kdy e nádrž e naplní nad úroveň h, začne kapalina vyéka a uálí e na hodnoě h, viz obr , h > h nádrž e naplní nad úroveň h a výška hladiny zůane nad ouo úrovní, kapalina bude neuále vyéka, viz obr , h > h jeliže e nádrž naplní nad úroveň h, začne kapalina vyéka až do okamžiku, kdy hladina klene pod h, v om okamžiku e nádrž přeane vypoušě a hladina začne oupa opě až na úroveň h a náledně začne opě klea, eno jev e bude periodicky opakova a hladina e nikdy neuálí, viz obr Obr : Průběh h při Q, m 3 Obr : Průběh h při Q,67 m 3

124 Vývoj výšky hladin dvou pojených nádrží Obr : Průběh h při Q,54 m Vývoj výšky hladin dvou pojených nádrží Uvažujme dvě navzájem pojené nádrže, viz obr Každá nádrž má přílušné rozměry navzájem odlišné a vůj vlaní příok. Voda z první nádrže může vyéka do nádrže druhé, voda z druhé nádrže může éci zpě do první nádrže nebo odéka ven. Zráy ve vedeních zanedbáme. Zajímá ná vývoj výšky hladiny v obou nádržích. Q Q S h dm Q 3 h S S 3 Obr. 5.7-: Spojené nádrže S 4 Q 4 Definujme základní veličiny [] ča Q, Q 3 [m 3 ] příok do první nádrže a odok ven z nádrže ovorem Q, Q 4 [m 3 ] příok do druhé nádrže a odok ven z nádrže ovorem v, v, v 3, v 4 [m ] rychloi přiékající a rychloi odékající kapaliny S, S 3 [m ] plocha půdoryu první nádrže a jejího výokového ovoru 3

125 Malab & Simulink: řešené příklady 4 S, S 4 [m ] plocha půdoryu druhé nádrže a jejího výokového ovoru m [kg] hmono kapaliny V, V [m 3 ] objem kapaliny v první rep. druhé nádrži g [m ] graviační zrychlení, g 9,8 m h [m] výška hladiny v první nádrži v čae h [m] výška hladiny v druhé nádrži v čae Jelikož e jedná o dva navzájem propojené yémy, muíme jejich chování popa pomocí dvou diferenciálních rovnic. Uvažujeme-li, že příok rep. odok lze vyjádři jako derivaci objemu podle čau, obdržíme náledující dvě rovnice d d v S Q Q Q h S V d d v S v S Q Q Q Q h S V Rychlo v 4 odvodíme ze zákona o zachování energie viz aké příklad g h v Je zřejmé, že rychlo v 3 je ovlivněna rozdílem laků u dna nádob a je edy možné pá ] [ d d 3 h h m g v m ] [ 3 h h g v V okamžiku, kdy ve druhé nádrži bude vyšší hladina než v nádrži první, objeví e pod odmocninou ve výše uvedeném vzahu pro výpoče rychloi záporné čílo. Tuo iuaci je nuné ošeři. Odmocninu lze počía z aboluní hodnoy rozdílu h h a výledek pak vynáobi funkcí ignum ] ign[ 3 h h h h g v Výledné diferenciální rovnice zíkáme doazením za rychloi v 3 a v 4 do základních rovnic { ]} ign[ 3 h h h h g S Q Q S h { } ] ign[ 4 3 g h S h h h h g S Q S h Simulaci provedeme pro yo hodnoy: Q, m 3, Q, m 3, S, m, S,3 m, S 3,5 m a S 4, m. Jedna z možných realizací imulačního modelu je na obr Pro výpoče průoku Q 3 rep. Q 4 jou použiy bloky Fcn. Vzah je aké možné eavi ze andardních bloků Simulinku; pro výpoče aboluní hodnoy použijeme blok Ab, odmocninu vypočeme pomocí bloku Mah Funcion zvolíme v něm odmocninu, edy qr, ignum pak pomocí bloku Sign.

126 Vývoj výšky hladin dvou pojených nádrží Obr. 5.7-: Simulace vývoje výšky hladin dvou pojených nádrží Řešení diferenciálních rovnic lze aké realizova v bloku MATLAB Funcion. V rámci ohoo bloku vypočíáváme derivace obou výšek hladin, j. h, h a za blok zařadíme inegráor, viz obr Zápi rovnic pro výpoče h, h je uveden na obr , příklad možného kripu pro řízení výpoču, v jehož rámci jou zadávány konkréní hodnoy, je poušěna imulace a jou zobrazeny i výledky, je na obr Obr : Realizace pomocí MATLAB Funcion Při zápiu funkce obr je na prvním řádku m-ouboru vždy deklarace funkce, kerá muí obahova lovo funcion. Vupní proměnné zde pouze h obahují daa předaná 5

127 Malab & Simulink: řešené příklady funkci a výupní proměnné zde hdo obahují daa funkcí vrácená. Všechny další řádky funkce voří ělo funkce. Tělo obahuje příkazy MATLABu, keré zpracovávají vupní argumeny a výledky ukládají do výupních argumenů funkce. Běh funkce končí poé, co je zpracována polední řádka m-ouboru. Obr : Definování funkce Jakákoliv funkce definovaná v m-ouboru pracuje proměnnými v přiděleném lokálním prooru, kerý je vždy oddělen od prooru jiné funkce a aké od základního prooru MATLABu. Funkce mohou ale díle proměnné jinými funkcemi, základním pracovním proorem a rekurzivně volanými funkcemi pře proměnné, keré jou deklarovány jako globální. Je nuné, aby dílená proměnná byla definována v každém požadovaném pracovním prooru. Při deklaraci e globální proměnné uvozují lovem global. Deklarace e provede obvykle na začáku kripu. Na obr jou ako definovány proměnné g, S, S, S3 a S4. Deklaraci je nuné prové nejen přímo ve vyvářené funkci, ale aké i v řídicím kripu obr , kde jou proměnné inicializovány j. jou jim přiřazeny konkréní hodnoy. 6 Obr : Příklad řídicího kripu Jak již bylo řečeno, výupním argumenem popiované funkce je proměnná hdo, edy vekor derivací výšek hladin obou nádrží. Po inegraci je nuné zavé eno vekor zpě na vup bloku MATLAB Funcion. V bloku je řeba aké definova kromě názvu funkce, edy nadrze_fun.m, aké v položce Oupu Dimenion rozměr výupu, v našem případě.

128 Navíjecí zařízení Ve funkci přiupujeme k prvkům vupního vekoru proměnná h běžným způobem, j. pomocí kulaých závorek. Podrobněji je práce funkcemi vyvělena v [4]. Simulaci puíme přímo ve kripu pomocí příkazu im. Obdržené výledky lze amozřejmě v rámci řídicího kripu aké přehledně zobrazi, viz obr Obr : Zobrazení výledků imulace 5.8 Navíjecí zařízení Předpokládáme, že mechanická ouava obr roačním pohybem e kládá ze ejnoměrného mooru hnacím momenem M M, kerý pohání naviják momenem ervačnoi J m. Navíjecí zařízení zvedá pomocí lana ěleo o hmonoi m. Cílem úlohy je imulova chování navijáku, j. zobrazi záviloi úhlové rychloi a úhlu naočení navíjecího válce na čae při zadaných paramerech J, b a zaěžovacím momenu M Z. M M M r J M b Definujme základní veličiny Obr. 5.8-: Schéma poháněného navijáku m [kg] hmono ělea r [m] poloměr navíjecího válce g [m ] graviační zrychlení, g 9,8 m J m [kg m ] momen ervačnoi navíjecího válce vzhledem k jeho oe m 7

129 Malab & Simulink: řešené příklady J [kg m ] celkový momen ervačnoi navíjecího válce ϕ [rad] úhel naočení válce ω dϕ / d [rad ] úhlová rychlo pohybu M M, M Z, M b [Nm] hnací momen mooru, zaěžovací momen a lumicí momen b r [Nm ] koeficien roačního lumení Pohybovou rovnici eavíme na základě momenové rovnováhy. Podle obr uvažujeme náledující momeny: hnací momen mooru M M, dϕ lumicí momen M b br br ω, d zaěžovací momen M Z m g r, dω d ϕ ervačný momen M J. d d Proože hmoa m je zvedána verikálním pohybem mimo ou roace navíjecího válce, je podle zv. Seinerovy věy celkový momen ervačnoi ouavy roven J J m m r kde J je momen ervačnoi navíjecího válce vzhledem k oe procházející jeho ěžišěm a r je vzdáleno oy v ěžiši od oy roace. Rovnice momenové rovnováhy má edy var M J M M M Z M b po doazení jednolivých momenů d ϕ dϕ M M M Z b r d d Po úpravě doaneme d ϕ dϕ J b r M M M Z d d Předpokládáme-li nulové počáeční podmínky, lze v Laplaceově ranformaci odvodi zv. obrazový přeno dynamického yému, kerý je definován jako poměr Laplaceova obrazu výupu ku Laplaceově obrazu vupu, viz aké kapiola 3. S využiím základních pravidel ranformace příloha A lze poupně pá J Φ b Φ M M r M Z Φ [ J b ] M M r M Z MM MZ Φ J b r 8

130 br K Φ [ MM MZ ] [ MM MZ ] J T b r Navíjecí zařízení Ve výše uvedené rovnici lze označi K / b r jako zeílení dynamického yému a T J / b r jako jeho čaovou konanu. Na základě obdržené rovnice lze eavi blokové chéma obr. 5.8-, keré je obvyklé v eorii řízení M Z M M b ϕ ϕ r J b r Obr. 5.8-: Blokové chéma modelu roační ouavy navijáku Simulaci provedeme pro yo hodnoy: m kg, J m,75 kg m, r,5 m, b r Nm a M M 59,5 Nm. Ze zadaných hodno vypočeme zeílení yému K / b r /,5, celkový momen ervačnoi dle Seinerovy věy J J m m r,75,5 3 kg m a čaovou konanu yému T J / b r 3 /,5. Simulační model vyvořený v proředí Simulink je na obr Záviloi úhlové rychloi a úhlu naočení navijáku na čae jou na obr Obr : Simulační model navijáku břemenem Z hledika eorie řízení je popiovaná roační ouava ervačným blokem prvního řádu přenoem K G T 9

131 Malab & Simulink: řešené příklady Do ouavy vupuje obraz rozdílu momenů M M M Z a výupem je ω ϕ, edy obraz úhlové rychloi. Dalším blokem, zapojeným do érie, je inegrační blok, na jehož výupu je obraz úhlu naočení ϕ. Zde e amozřejmě nejedná o regulaci, proo chybí zpěná vazba. Změnou konany roačního lumení b r měníme zeílení K ouavy, změnou b r a J pak ovlivňujeme čaovou konanu T. Obr : Průběh úhlové rychloi a úhlu naočení navijáku v záviloi na čae zde φ ϕ 5.9 Sejnoměrný moor cizím buzením Sejnoměrné moory cizím buzením e vyznačují dobrými regulačními vlanomi. Umožňují jednoduché řízení rychloi změnou napěí kovy popř. budicího proudu, přiom e oáčky mohou pohybova v širokém rozahu, kerý není nijak vázán na kmioče íě. Při řízení napěím kovy e navíc jedná o v záadě lineární prvek. Smyl oáčení lze nadno měni změnou polariy napěí kovy či budicího proudu. Výhodný je i velký očivý momen, zvlášě při nízkých oáčkách. Značným problémem je ale napájení rooru pře komuáor, v jehož důledku je ejnoměrný moor relaivně méně polehlivý a věšími nároky na údržbu než např. moor aynchronní. i m R m L m M m J ω, ϕ u m M M Z u b i b R b L b Obr. 5.9-: Náhradní chéma ejnoměrného elekromooru cizím buzením 3

132 Sejnoměrný moor cizím buzením Sejnoměrný moor cizím buzením voří obvod kovy, budicí obvod a mechanická čá pohonu. Podrobný maemaický model, kerý by zahrnoval všechny elekromagneické vazby mooru, je ložiý. Pro pořeby echnické praxe a pro řešení věšiny oázek pjaých návrhem regulace je však doaečné použií modelu, kerý vychází z jiých zjednodušení. Obvykle zanedbáváme rozpylový magneický ok budicího vinuí, vzájemné ranformační půobení jednolivých vinuí, vliv vířivých proudů v magneickém obvodu a úbyek napěí v karáčcích. Východikem pro odvození modelu, např. podle [3,, ], je náhradní chéma ejnoměrného mooru cizím buzením na obr Definujme základní veličiny u m [V] napěí na kově mooru vorkové i m [A] proud kovy mooru u i [V] indukované napěí na kově mooru R m [Ω] celkový odpor všech vinuí v kově mooru L m [H] celková indukčno všech vinuí v kově mooru u b [V] napěí budicího obvodu i b [A] budicí proud mooru R b [Ω] celkový odpor budicího obvodu L b [H] celková indukčno budicího obvodu J [kg m ] celkový momen ervačnoi vzažený k hřídeli mooru ξ [V rad ] konrukční konana mooru Φ [Wb] magneický ok ϕ [rad] úhel naočení hřídele mooru ω dϕ / d [rad ] úhlová rychlo pohybu M m, M Z [Nm] elekromagneický a zaěžovací momen mooru Elekrické paramery obvodu kovy mooru jou charakerizovány celkovým odporem R m a indukčnoí L m vinuí kovy i dalších vedení a vinuí, kerá jou ním v érii. Obvod kovy lze ak popa napěťovou rovnicí dim u m Rm im Lm ui d Indukované napěí na kově mooru u i určené magneickým okem závilým na budicím proudu je rovno ui cφ ib ω S využiím Laplaceovy ranformace můžeme rovnici pro napěí kovy u m převé do přenoového vyjádření U m Ui Rm Im Lm Im Im [ Rm Lm] Gm U m Im U L i m R m Rm Km Lm Tm R m 3

133 Malab & Simulink: řešené příklady 3 kde m m R K, m m m R L T Závilo magneického okuφ na proudu budicího obvodu i b vyjadřuje magneizační charakeriika mooru Φ f i b, kerá je nelineární. Ve chémau na obr jou dvě vupní veličiny: napájecí napěí kovy u m a napájecí napěí budicího obvodu u b. V obecném případě lze obě použí k regulaci. Maemaický model je pak řeba doplni o popi budicího obvodu i i L i R u d d b b b b b b Obvod buzení lze rovněž pomocí Laplaceovy ranformace vyjádři přenoem ] [ b b b b b b b b L R I I L I R U b b b b b b b b b T K R L R R L U I G b kde b b R K, b b b R L T Mechanická čá mooru koná roační pohyb vyvolaný elekromagneickým momenem mooru M m za půobení momenu záěže M Z. Je-li J celkový momen ervačnoi pohonu, pak úhlová rychlo je určena pohybovou rovnicí Z m d d M M J ω kde momen mooru M m je určen pomocí magneického oku obecně závilého na budicím proudu podle vzahu m b m i i c M Φ Náledující ři rovnice voří maemaický model ejnoměrného mooru cizím buzením, jehož imulační chéma je na obr ] [ d d m m b m m m i R i c u L i ω Φ ] [ d d b b b b b i R u L i ] [ d d Z m b M i i c J Φ ω Simulaci provedeme pro yo hodnoy: u m 5 V, R m Ω, L m,5 H, J 5 kg m, u b 5 V, R b,5 Ω, L b,5 H a ξ cφ,5 V rad. Momen záěže M Z e v čae 5 změní z hodnoy Nm na hodnou,5 Nm.

134 Sejnoměrný moor cizím buzením Obr. 5.9-: Simulační chéma ejnoměrného mooru cizím buzením Záviloi úhlové rychloi a proudu kovy na čae jou na obr Obr : Průběh úhlové rychloi a proudu kovy mooru v záviloi na čae 33

135 Malab & Simulink: řešené příklady 5. Sejnoměrný moor buzením permanenními magney Sejnoměrný moor paří mezi nejarší ejnoměrné roje. Přiom je ale ejnoměrný moor cizím buzením ideálně regulovaelný, jelikož lze jeho oáčky plynule měni změnou napěí přiváděného na kovu mooru. Pro ervopohony e používají především moory buzením permanenními magney na aoru. Pro výrobu permanenních magneů e používá magneických vrdých maeriálů na bázi vzácných zemin, dne nečaěji pékaných maeriálů Sm-Co amárium-kobal nebo Fe-Nd-B železo-neodym-bór. Definujme základní veličiny u m [V] napěí na kově mooru vorkové i m [A] proud kovy mooru R m [Ω] celkový odpor všech vinuí v kově mooru L m [H] celková indukčno všech vinuí v kově mooru J [kg m ] celkový momen ervačnoi vzažený k hřídeli mooru k [Nm A ] konana mooru Φ [Wb] magneický ok ϕ [rad] úhel naočení hřídele mooru ω dϕ / d [rad ] úhlová rychlo pohybu M m, M Z [Nm] elekromagneický a zaěžovací momen mooru Je-li moor chéma je na obr. 5.9-, kapiola 5.9 řízený pouze změnou napěí kovy při álém budicím proudu i b kon rep. je-li buzen permanenními magney, lze jej popa pomocí náledujících dvou rovnic dim um Rm im Lm cφω d dω J M d Z M m cφi m Magneický ok je konanní zanedbáváme reakci kovy, rep. přepokládáme, že je kompenzována. Nemuíme edy uvažova nelineární funkci Φ f i b, viz aké kapiola 5.9, a zavedeme konanu mooru k cφ. Indukované napěí kovy je pak přímo úměrné rychloi oáčení. Upravíme-li výše uvedené rovnice do varu dim [ um k ω R d L m m i ] dω [ k im M Z ] d J je možné rukuru modelu realizova v Simulinku pomocí chéma na obr m 34

136 Sejnoměrný moor buzením permanenními magney 35 Obr. 5.-: Simulační chéma ejnoměrného mooru buzením permanenními magney Aplikujeme-li dále na uvedené rovnice Laplaceovu ranformaci, lze celý model převé do přenoového vyjádření m m m m m k I L I R U Ω Z m k I J M Ω z prvního vzahu vyjádříme proud kovy a doadíme do druhého. Po úpravě doaneme Z m m e e m m m m e T T T T k R U T T T k M Ω kde T m označuje elekromagneickou a T e elekromechanickou čaovou konanu mooru m m e R L T, k J R T m m Napěí kovy můžeme v omo případě považova za akční a zaěžovací momen za poruchovou veličinu. S ohledem na rukuru zpěnovazebního obvodu, ak jak je znázorněna na obr. 5.-, je možné pro přeno ouavy G S a pro přeno poruchy G d pá m m e S T T T k G m m e e m d T T T T k R G Z hledika polačení vlivu poruchy na průběh regulace rychloi je jiou nepříjemnoí kuečno, že relaivní řád přenou G d je roven jedné, zaímco přenou G S dvěma. Rychlo odezvy na změnu poruchy v omo případě momenové záěže je ak věší než na změnu akční veličiny. Simulační chéma mooru můžeme amozřejmě nyní aké realizova pomocí odvozených přenoů G S a G d, viz obr Srukura modelu e v omo případě podaně zjednoduší.

137 Malab & Simulink: řešené příklady Obr. 5.-: Blokové chéma modelu ejnoměrného mooru buzením permanenními magney S využiím věy o konečné hodnoě Laplaceovy ranformace liminí korepondence, viz kapiola 3..3 a příloha A můžeme pomocí vahu pro obraz úhlové rychloi Ω zíka výraz pro uálenou hodnou úhlové rychloi Rm ω Um M Z k k Uálená hodnoa rychloi lineárně kleá rooucím zaěžovacím momenem mooru M Z. Vlanoi mooru e z hledika momenové zaížielnoi zhoršují narůajícím odporem R m v obvodu kovy. Uálenou hodnou rychloi ω nadno ověříme v grafu na obr. 5.-3; podle uvedeného výrazu je rovna ω 4,7 rad/. Při imulaci vyjdeme z paramerů kuečného ejnoměrného mooru: M n 3 Nm, n n 5 min, U an 56 V, I an 8 A, R m,5 Ω, L m 6 mh, J,6 kg m. Vlaní imulaci provedeme pro napěí u m 3 V a momen záěže M Z Nm. Dále muíme aké anovi konanu mooru k M n / I an,7 Nm A. Obr. 5.-3: Průběh úhlové rychloi a proudu kovy mooru v záviloi na čae 36

138 Kombinační logický obvod 5. Kombinační logický obvod Sypký maeriál e dopravuje pomocí páového dopravníku do dvou záobníků, viz obr Rozdělování maeriálu e provádí pomocí hradíka, keré zavádí maeriál vždy do záobníku, kerý není plný. Nejou-li oba záobníky plné, zavádí e maeriál do prvního z nich. Po naplnění obou záobníků e muí páový dopravník auomaicky zaavi. Dipečer může páový dopravník zaavi kdykoliv. Navrhněe a minimalizuje logickou funkci obvodu, kerý zajišťuje popanou činno. Realizuje ji pomocí prvků NAND negace logického oučinu a NOR negace logického ouču. y z z B A Obr. 5.-: Princip plnění záobníků Pokud není uvedeno předem, muíme nejprve vupním a výupním logickým veličinám přiřadi konkréní fyzikální význam zv. výrokový kalkul. Vupní a výupní veličiny logického obvodu jou znázorněny na obr A B C Logický obvod Obr. 5.-: K definici logického obvodu y z Pro vupní proměnné plaí A maeriál. záobníku je B maeriál. záobníku je C požadavek dipečera je nad pod požadovanou úrovní nad požadovanou úrovní pod zaavi op auomaický provoz 37

139 Malab & Simulink: řešené příklady a pro výupní proměnné y dopravník z poloha hradíka běží ojí záobník č. záobník č. Dále muíme definova logickou funkci. Učiníme ak pomocí zv. pravdivoní abulky, kerá předavuje výče kombinací vupních proměnných a jim odpovídajících hodno výupních proměnných. V pravdivoní abulce ab. 5.- jou označeny ymbolem X avy, pro keré je z hledika funkce zařízení lhoejné, zda konkréní hodnoa výupní proměnné z bude nebo. Konkréní hodnou zvolíme později ak, aby vyšla realizace co nejjednodušší. Tab. 5.-: Pravdivoní abulka A B C y z X X X X X Logická funkce e dá obecně vyjádři a aké realizova různými způoby. Pokud nám nezáleží na její ložioi, např. při realizaci pomocí PLC auomau, můžeme jen dodefinova neurčié avy a funkci realizova přímo z pravdivoní abulky finální logická funkce muí bý jednoznačná. Pokud však máme navrženou funkci realizova pomocí kuečných oučáek a jde-li nám např. i o cenu její realizace, je pořeba vyjádření logické funkce minimalizova. K minimalizaci vyjádření logické funkce využijeme zv. Karnaughovu mapu. Nejprve budeme logickou funkci realizova pomocí hradel NAND. y A B z A B X X C C X X X X Obr. 5.-3: Minimalizace logických funkcí pomocí Karnaughovy mapy 38

140 Kombinační logický obvod Meoda je inuiivní, pokrýváme v mapě co nejvěší ělea kupiny ouedních jedniček pomocí zv. ermů. Tělea e mohou překrýva. Do ělea můžeme druži jen n ouedních prvků. V našem případě y B C A C z A V éo fázi řešení jme jednoznačně určili, pro keré kombinace vupních proměnných nabývá funkce z hodnou a pro keré. Při éo volbě bude hradíko naaveno vždy ak, aby bylo připraveno plnění preferovaného záobníku čílo vždy, pokud není naplněn, a o i v případě záahu dipečera. Tab. 5.-: Doplněná pravdivoní abulka A B C y z z A B C Obr. 5.-4: Doplněná mapa Povšimněme i, jak je vyjádřen nadřazený požadavek dipečera v oučinovém varu funkce. K úpravám logických výrazů používáme základní pravidla Booleovy dvouhodnoové algebry. y B C A C B A C Uvedeným způobem jme zíkali vyjádření logické funkce ve varu ouču oučinů, kerý je vhodný pro jednoduchou realizaci pomocí prvků NAND ve dvou úrovních. Pro realizaci logické funkce pomocí prvků NOR je naopak vhodné její vyjádření ve varu oučinů oučů. V omo případě poupujeme podobně, pouze ím rozdílem, že v Karnaughově mapě pokrýváme kupiny nul mío kupin jedniček. 39

141 Malab & Simulink: řešené příklady y A B z A B X C X X X X C Obr. 5.-5: Minimalizace logických funkcí Vyjádření obou logických funkcí v omo případě je y C A B z A a provedeme-li úpravu pomocí de Morganova zákona y C A B C A B z A Konkréní var funkce z nabývá varu na obr z A B C Obr. 5.-6: Doplněná mapa I enokrá jme obdrželi ejný konkréní var funkce. Hradíko bude edy i v omo případě připraveno k plnění preferovaného záobníku čílo vždy, není-li naplněn. Obě realizace logického obvodu je možné jednoduše imulova v proředí Simulink. V imulačním chémau na obr jou uvedeny ři realizace logické funkce, pomocí prvků NAND a NOR podle zadání, navíc ješě pro iluraci realizace řeí, pomocí pravdivoní abulky. Všechny realizace jou z hledika vnějšího chování idenické. Generování vupních logických proměnných A, B a C zajiíme prořednicvím bloků Pule Generaor, ve kerých je nuné změni paramer Pule ype z původního Time baed na Sample baed. Dále změníme naavení parameru Pule widh number of ample z původních 5 na a parameru Sample ime pro proměnnou A na hodnou, pro proměnnou B na a pro C na 4. Průběh ako definovaných proměnných je na obr Pro přehledno je v imulačním chéma na obr vyvořena peciální běrnice pro jednolivé vupní proměnné a jejich negace, např. pro proměnnou A je její negace označena jako na. 4

142 Kombinační logický obvod Obr. 5.-7: Simulace kombinačního logického obvodu Bloky pro realizaci logických funkcí NAND a NOR vyvoříme vložením univerzálního bloku Logical Operaor, ve kerém zvolíme přílušný yp operáoru. V případě realizace pomocí pravdivoní abulky využijeme pro definování éo abulky blok Combinaorial Logic. Daový yp vupních veličin jou druženy do vekorového poje muíme změni je požadován yp Boolean pomocí bloku Conver. Volbu ypu můžeme prořednicvím ohoo bloku provádě zcela auomaicky, podle požadovaného ypu na výupu bloku, edy podle ypu, kerý je požadován na vupu bloku náledujícího zde Combinaorial Logic. V bloku ačí naavi paramer Oupu daa ype mode na Inheri via back propagaion. Zobrazení všech ledovaných proměnných provedeme pomocí andardního zobrazovače Scope, pouze změníme poče jeho o paramer Number of axe; blok bude náledně mí omu odpovídající poče vupů. 4

143 Malab & Simulink: řešené příklady Obr. 5.-8: Průběhy všech ledovaných veličin 4

144 6 Příklady z oblai eorie auomaického řízení V kapiolách 5.8 až 5. byly uvedeny konkréní řešené příklady zaměřené především na echniky eavovaní maemaických modelů pomocí analyické idenifikace, edy pomocí zv. maemaicko-fyzikální analýzy. Byly vyloženy základní příupy umožňující eavení imulačních modelů dynamických yémů v proředí MATLAB Simulink. V náledujících kapiolách je uvedeno několik úloh, keré jou orienovány na obla eorie auomaického řízení. V proředí Simulinku jou názorným způobem vyvářeny modely uzavřeného regulačního obvodu. Ten e kládá ze dvou základních čáí regulované ouavy a reguláoru. Pozorno je věnována zejména možnoem realizace pojiého PID reguláoru. Jou uvedeny i jiné implemenace amoného PID algorimu a někeré jeho nejpoužívanější modifikace. Regulovaná ouava je modelována na základě přílušné diferenciální rovnice, jejíž řešení může bý realizováno pomocí meody nižování řádu derivace či meody poupné inegrace, nebo na základě obrazového přenou. Modelování dynamických yémů na základě jejich diferenciálního popiu bylo podrobně popáno již v kapiolách, 3 a 4. Ve ručnoi jou uvedeny i někeré klaické příupy vedoucí k nazelení opimálních paramerů reguláoru. Dále jou aké zařazeny i úlohy, ve kerých jou k vlaní regulaci modelovaného echnologického proceu použiy nepojié dvoupolohové a řípolohové rep. čílicové PSD reguláory. Všechny řešené příklady byly opě voleny ak, aby byly přímo využielné při výuce, zejména v předměech zaměřených na auomaizaci a řídicí echniku. V závěru kapioly jou na konkréním příkladě zformulovány a prakicky realizovány základní echniky pro numerickou opimalizaci dynamické funkce určené vými paramery. Je ilurována jednoduchá, ale přeo velmi užiečná aplikace MATLABu, kerá umožňuje velmi efekivně podle zvoleného kriéria naleznou např. opimální paramery reguláoru. Jako příklad je uvedena úloha opimalizace paramerů čílicového reguláoru pojiě popaný proce je řízen dikréním reguláorem e zvoleným kvadraickým kriériem penalizací akčních záahů. Úlohu je amozřejmě možné řeši i analyicky. To je však velmi pracné. Ierační imulační výpoče naopak uo úlohu řeší velmi jednoduše, a o bez použií obížných maemaických poupů, minimálním eoreickým vybavením. Problémem navíc není ani ložiější dynamika regulované ouavy vzhledem k řádu, nelineariám, omezením nebo komplikovanému kriériu, kerá by analyické řešení zcela znemožnila. Soubory modely a kripy, pomocí nichž jou úlohy uvedené v náledujících odavcích v proředí MATLAB Simulink řešeny, jou opě doupné na přiloženém daovém noiči. Přehled názvů v přílušné kapiole použiých ouborů je uveden v příloze B. 43

145 Malab & Simulink: řešené příklady 6. Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Abychom mohli eavi model nějakého dynamického yému v Simulinku, je nuné e nejdříve zabýva diferenciálním popiem ohoo yému. Pomocí maemaicko-fyzikální analýzy edy obvykle hledáme diferenciální rovnici, kerá by vhodně popiovala dynamiku reálného fyzikálního yému. u Obr. 6.-: Dynamický yém Chování dynamického yému. řádu na obr. 6.- někdy označovaného jako yém e zpožděním či ervačnoí. řádu příp. jako ervačný člen. řádu je popáno nejčaěji diferenciální rovnicí T y y K u kde K je zeílení a T čaová konana yému, případně pomocí odpovídajícího obrazového přenou ve varu S K G T Uvedená diferenciální rovnice může popiova např. lineární elekrický obvod obahující jediný kapacior nebo indukor, viz obr. 6.- a Podobné dynamické yémy, ať již elekrické, mechanické, pneumaické nebo hydraulické, e pak označují aké jako yémy jedním akumuláorem energie kondenzáor kapaciou C rep. cívka indukčnoí L nebo jako jednokapaciní yémy. R G S i y u R u C u C u 44 Obr. 6.-: Elekrický obvod RC článek Ukažme nyní, jakým způobem lze odvodi diferenciální rovnici konkréního yému, v omo případě jednoduchého elekrického obvodu RC článku na obr Vyjdeme ze základních vzahů pro řídavé napěí a proud u R R i du i C d Podle druhého Kirchhoffova zákona muí v každém okamžiku plai u ur u

146 Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Poupným doazováním za napěí u R z Ohmova zákona a náledně za proud i obdržíme náledující diferenciální rovnici du u RC u d Tuo rovnici můžeme formálně přepa do varu R C u u u a pomocí Laplaceovy ranformace základní vzorce jou v příloze A ji převé na funkci operáoru R C U U U Přeno dynamického yému je definován jako poměr Laplaceova obrazu výupní veličiny k Laplaceově obrazu vupní veličiny při nulových počáečních podmínkách U K G U RC T kde K je zeílení yému a T R C je jeho čaová konana. L i u L u R u R u Obr. 6.-3: Elekrický obvod LR článek Obdobným způobem lze odvodi diferenciální rovnici a přeno elekrického obvodu na obr Nejprve opě vyjdeme ze základních vzahů pro napěí a proud v obvodu di u L L d ur u i R R Doazením do rovnice pro napěí v obvodu lze poupně pá di u ul u L u d L du u u R d Uvedenou diferenciální rovnici můžeme dále formálně přepa do varu L R u u u 45

147 Malab & Simulink: řešené příklady Přeno yému lze po provedení Laplaceovy ranformace a elemenárních úpravách zapa jako U K G U L T R kde K je zeílení yému a T L / R je jeho čaová konana. Oba elekrické obvody obr. 6.- a 6.-3 lze edy popa prořednicvím ejné diferenciální rovnice rep. ejného obrazového přenou. Vlaní dynamika konkréního yému je určena jeho aickým zeílením K a čaovou konanou T reálná nenulová číla, viz aké obr Přechodová charakeriika h dynamického yému je obecně reakce dynamického yému vybuzeného z klidu nulové počáeční podmínky jednokovou kokovou změnou vupního budicího ignálu. Její Laplaceův obraz je H GS a konkréně pro yém. řádu K H K T T T Zpěnou Laplaceovou ranformací, využiím lovníku korepondencí v příloze A, zíkáme její analyické vyjádření v čaové oblai zv. přechodovou funkci h K e T η Možný průběh přechodové funkce je na obr Výše uvedený popi odpovídá nejčaější iuaci ryze dynamického aického yému. Je abilní pro T >. 46 Obr. 6.-4: Přechodová charakeriika yému. řádu Naším úkolem je nyní imulova přechodovou charakeriiku popaného dynamického yému a ledova vliv jednolivých paramerů na její průběh.

148 Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Příkladem realizace imulačního modelu dynamického yému prvního řádu je imulační chéma na obr Simulační model může louži k imulaci libovolné reakce ohoo dynamického yému. Speciálně však pro imulaci přechodové charakeriiky naavíme nulové počáeční podmínky použiého inegráoru a za budicí ignál u zvolíme jednokový kok. Paramery yému definujeme pomocí hodno zeílení přílušných zeilovačů. Pomocí zobrazovače Scope můžeme po provedení imulace ledova průběh přechodové charakeriiky y h. Obr. 6.-5: Simulace přechodové charakeriiky yému. řádu Obr. 6.-6: Skrip pro řízení výpoču 47

149 Malab & Simulink: řešené příklady V uvedeném chémau ukládáme navíc čaový průběh h a odpovídající ča pomocí bloku Scope do pracovního prooru MATLABu. Důvodem je možno dalšího zpracování numerické informace o průběhu přechodové charakeriiky. Např. lze průběh přechodové funkce zobrazi do grafu a po případné ediaci jej přené do exového edioru. Skrip na obr řeší jednoduchým způobem ovládání výpoču a vykrelení íě průběhů přechodových charakeriik odpovídajících měnícímu e parameru yému. Pro polupráci kripu a imulačního modelu muejí bý oba oubory umíěny v akuálním adreáři. Srukura kripu je zřejmá z vepaných komenářů. Obr. 6.-7: Simulované přechodové charakeriiky variace paramerů K a T Uvedená realizace obr není amozřejmě jediná možná. Další možnoí je imulace ohoo dynamického yému na základě jeho obrazového přenou. K omu lze použí blok Tranfer Fcn. Simulink umožňuje i imulaci průběhu přechodové charakeriiky definované pomocí analyické funkce originálu či předměu přechodové funkce. Funkci lze zapa v bloku Fcn, vekor čau generujeme pomocí bloku Clock, viz obr Obr. 6.-8: Možnoi imulace přechodové odezvy yému. řádu

150 Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu 6. Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Zabývejme e podrobněji dynamickými yémy. řádu. Tyo yémy bývají označovány aké jako ervačné rep. kmiavé členy. řádu. Předavieli ěcho yémů jou obvody či zařízení, kerá obahují dva akumuláory energie obecně např. dvojice kapacia-indukčno nebo hmoa-pružina. Příkladem akového yému může bý RLC článek na obr. 6.- nebo edačka řidiče, jejíž zjednodušený model byl podrobně popán v kapiole 3. R L u C u Obr. 6.-: Příklad yému. řádu RLC článek Chování dynamického yému. řádu lze popa diferenciální rovnicí ve varu a y a y a y b u b u b u Z podmínky fyzikální realizovaelnoi yému muí bý upeň nejvyšší derivace výupní veličiny y věší nebo roven upni nejvyšší derivace vupní veličiny u. Budeme-li dále uvažova ryze dynamický proporcionální yém b b, nabude diferenciální rovnice varu a y a y a y b u Uvedenou diferenciální rovnici můžeme při nulových počáečních podmínkách, použiím pravidel Laplaceovy ranformace příloha A, ranformova a náledně vyjádři obrazový přeno yému b GS a a a Přeno lze dále poupně upravova b a K K p G S a a q T ξ T a a ξ ωn ωn kde K b / a je aické zeílení yému, ξ je jeho poměrné relaivní lumení a ω n / T je přirozená vlaní frekvence nelumeného yému, viz aké obr Laplaceův obraz přechodové charakeriiky yému je obecně roven H GS 49

151 Malab & Simulink: řešené příklady 5 a v případě popiovaného yému. řádu pak q p K H n n ω ξ ω Odezva yému je charakerizována kořeny polynomu q ve jmenovaeli přenou H, keré jou označovány jako zv. póly přenou. Poznamenejme, že kořeny polynomu čiaele p e označují jako zv. nuly přenou; v našem případě je ale v čiaeli pouze konana. Polynom ve jmenovaeli přenou q e nazývá charakeriický polynom a pokud je q, hovoříme o charakeriické rovnici. Upravíme-li dále přeno yému do varu n n n S q p K G ω ξω ω je pak jeho charakeriická rovnice n n ω ξω q Charakeriickou rovnici lze vyjádři jako oučin kořenových činielů n n ω ξω a pro relaivní lumení ξ < urči oba kořeny éo rovnice d n n n, j j ω ξω ξ ω ξω ± ± kde n d ξ ω ω je zv. přirozená frekvence lumeného yému. Obraz přechodové charakeriiky H můžeme ohledem na uvedené vyjádři j j n n n n n ξ ω ξω ξ ω ξω ω K H Je zřejmé, že ke kořenům charakeriické rovnice yému a přibude ješě navíc kořen řeí 3. Pomocí zpěné Laplaceovy ranformace, využiím věy o reziduích [4, 5], lze nyní vyjádři přechodovou funkci v čaové oblai K h j j n n n n n n n n n n e e j Re ξ ω ξω ξ ω ξω ξ ω ξω ω ω ξω ω

152 h K ξ e ξωn Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu in ωn ξ arcg ξ η ξ Názorná grafická inerpreace paramerů kmiavého proporcionálního yému. řádu je na obr S ohledem na výše uvedené ouviloi lze přechodovou funkci v záviloi na čae zjednodušeně zapa α h K [ C e in ωd ψ ] η kde α je zv. aboluní lumení a dále plaí, že ωn ξ C, α ξωn, ω T ω ω n T T, ωd ξ ωn ξ T d d ωd ξ ωr ωn ξ, ψ arcg arccoξ α ξ Na obr. 6.- jou zakreleny základní polohy pólů v záviloi na relaivním lumení ξ. Dikuujme nyní vliv jejich polohy na průběh odezvy yému. Budeme předpokláda, že yém je abilní, j. že všechny jeho póly leží v levé polorovině komplexní roviny. póly pro > ξ > Im ω n dvojnáobný pól pro ξ ψ ω r ω d ωn ξ ω n α ξω n póly pro ξ Re póly pro ξ > Obr. 6.-: Geomerická inerpreace paramerů a rozložení pólů yému druhého řádu 5

153 Malab & Simulink: řešené příklady Zkoumejme nejprve vliv aboluního lumení α, někdy aké označovaného jako upeň abiliy, kerý vyjadřuje vzdáleno dvojice komplexně družených pólů od imaginární oy. Pomocí jednoduchého kripu obr. 6.-3, pouze využiím základních příkazů MATLABu, definujeme ři dvojice pólů ak, aby měly vždy ejnou reálnou čá j. aboluní lumení a rozdílnou čá komplexní. 5 Obr. 6.-3: Skrip pro řízení výpoču Konkréní rozložení zvolených pólů je na obr Skrip umožňuje jednoduchou změnou paramerů N, ReP, ImP, dimp a K měni poče dvojic komplexně družených pólů, veliko jejich reálné ložky, počáeční veliko imaginární ložky a krok její změny a aké zeílení ouavy. Nejprve je na základě definovaných pólů charakeriické rovnice a zeílení K eaven odpovídající přeno. Simulace je pak provedena využiím jednoduchého modelu na obr V bloku Tranfer Fcn jou načíány vekory koeficienů přenou B a A.

154 Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Obr. 6.-4: Simulace přechodové odezvy yému Na obr jou aké uvedeny i přílušné průběhy přechodových funkcí. V grafu je vykrelena navíc obalová křivka éo íě charakeriik, jejíž vyjádření je c K ± e α α ω d Připomeňme, že aboluní lumení α je rovno reálné čái pólů ReP a přirozená frekvence lumeného yému ω d je rovna čái imaginární ImP, neboť, α ± jω d. Obr. 6.-5: Přechodové charakeriiky yému. řádu při ejném aboluním lumení α Pomocí kripu na obr můžeme obdobným způobem měni naopak reálnou ložku pólů při zachování ložky imaginární neboli při zachování přirozené frekvence lumeného yému ω d. Změnou paramerů N, ReP, drep, ImP lze měni poče dvojic komplexně družených pólů, počáeční veliko jejich reálné ložky, krok její změny a veliko ložky imaginární. Grafické znázornění polohy pólů a přílušné přechodové charakeriiky jou na obr V omo případě plaí, že vzdáleno dvou ouedních vrcholů kmiů přechodové charakeriiky je vždy ejná, edy π T k ωd ω n π ξ 53

155 Malab & Simulink: řešené příklady Lze amozřejmě anovi i maximum charakeriiky a jemu odpovídající ča πα πξ ωd ξ h K e K e, m m π ω d ω n π ξ V případě, kdy např. volíme,,4 ± j 5 na obr dvojice komplexně družených pólů zcela vpravo je maximum omu odpovídající přechodové charakeriiky h m 3,56 v čae m,63. Obr. 6.-6: Přechodové charakeriiky yému. řádu při ejné frekvenci ω d Relaivní lumení ξ určuje veliko relaivního překmiu κ obr Konanní hodnoě relaivního lumení odpovídají dvě polopřímky vedené z počáku ouřadného yému, keré vírají e zápornou reálnou polooou úhel ψ komplexní kořeny vždy vyupují v komplexně družených dvojicích. Pokud je úhel ψ 45, pak kružnice vedená dvojicí navzájem komplexně družených pólů o poloměru ω d prochází zároveň i počákem ouřadnic. Rezonanční frekvence yému ω r bude v omo případě nulová. Tao iuace naane, budeme-li komplexně družené póly na obr. 6.- poouva z výchozí pozice je zakrelena měrem od počáku. K názorné iluraci problemaiky lze využí krip na obr K imulaci použijeme opě jednoduchý model na obr Ve kripu lze změnou paramerů N, ReP, ImP, p, mp měni poče dvojic komplexně družených pólů, počáeční veliko jejich reálné a imaginární ložky a koeficieny jejich změny. Grafické znázornění polohy pólů a přílušné přechodové charakeriiky jou na obr Je zřejmé, že všechny přechodové charakeriiky mají ejně velký relaivní překmi, dochází pouze ke změně čaového měříka. 54

156 Přechodové charakeriiky dynamických yémů. řádu Obr. 6.-7: Skrip pro vykrelení charakeriik při ejném relaivním lumení ξ Obr. 6.-8: Přechodové charakeriiky yému. řádu při ejném relaivním lumení ξ 55

157 Malab & Simulink: řešené příklady 6.3 Konrukce dynamických charakeriik yému využiím Conrol Syem Toolboxu Rozšiřující modul MATLABu Conrol Syem Toolbox pokyuje značné množví příkazů pro eorii auomaického řízení více help conrol. Funkce z oblai analýzy a návrhu řídicích yémů jou založeny nejen na klaickém popiu pomocí přenoů, ale i na popiu yémů ve avovém prooru. Toolbox zavádí aké zv. lineární čaově invarianní objeky LTI, což jou rukury popiující jednorozměrové i mnoharozměrové lineární yémy. Z důvodu omezeného rozahu ohoo exu, není amozřejmě možné popa všechny doupné příkazy Conrol Syem Toolboxu. Uveďme edy pouze několik nejdůležiějších příkazů, pomocí kerých lze vyvoři jednoduchý krip pro vykrelování dynamických charakeriik yému libovolného řádu. Za dynamické charakeriiky yému považujeme charakeriiky přechodové, váhové a frekvenční. Konkréní yém budeme definova pomocí obrazového přenou, nejprve zadáním přílušných koeficienů, později definováním pólů a nul. Dynamický yém n-ého řádu je obvykle popán lineární diferenciální rovnicí konanními koeficieny, obecně ve varu a n y n a n y n... a y a y b m u m... b u b u Z podmínky fyzikální realizovaelnoi yému muí bý m n, j. upeň nejvyšší derivace výupní veličiny muí bý věší nebo roven upni nejvyšší derivace vupní veličiny. Obrazový přeno yému je definován jako poměr Laplaceova obrazu výupní veličiny k Laplaceově obrazu vupní veličiny při nulových počáečních podmínkách. Jak již bylo řečeno v kapiole 3, diferenciální rovnici můžeme použiím pravidel Laplaceovy ranformace při plnění výše uvedených podmínek ranformova do varu [a n n a n n... a a ] Y [b m m... b b ] U Obrazový přeno yému je edy m Y bm... b b GS n U an... a a Přeno yému lze v MATLABu definova pomocí příkazu f. Označme dále polynom čiaele přenou B a polynom jmenovaele charakeriický A. Příkaz zapíšeme ve varu G f B, A. Pokud polynomy B a A rozložíme na kořenové činiele, lze přeno yému zapa ve varu b GS a m n b a b a bm an kde b, b,..., bm jou kořeny čiaele nuly a a, a,..., an jou kořeny jmenovaele póly. Zeílení yému je dáno poměrem b m / a n. 56

158 Konrukce dynamických charakeriik yému využiím Conrol Syem Toolboxu Obr. 6.3-: Skrip pro vykrelení dynamických charakeriik yému Pro eavení obrazového přenou ze zadaných nul zero, pólů pole a zeílení gain lze v MATLABu použí příkaz zpk. Příkaz zapíšeme ve varu G zpk Z, P, K. Přeno vyvořený příkazem zpk je možné převé na přeno polynomy v čiaeli a ve jmenovaeli. Pomocí příkazu [B, A] fdaa G, v nejprve yo polynomy vypočeme a pomocí příkazu f z nich náledně vyvoříme obrazový přeno. Ve kripu na obr jou ako poupně definovány dva dynamické yémy, jejichž přenoy jou uvedeny na obr Obr. 6.3-: Definice přenou yému 57

159 Malab & Simulink: řešené příklady Pomocí příkazu pzmap G můžeme přehledně zobrazi rozložení předem definovaných pólů a nul v komplexní rovině. Pokud chceme zobrazi rozložení kořenů více yémů, zapíšeme příkaz ve varu pzmap G, G,... Póly přenou jou vyznačeny křížky, nuly přenou pak kroužky. Syémy lze navzájem odliši použiím různých barev. Výledný graf obr můžeme doplni o legendu. Obr : Rozložení pólů a nul 58 Obr : Přechodové charakeriiky

160 Konrukce dynamických charakeriik yému využiím Conrol Syem Toolboxu Obr : Váhové impulní charakeriiky Přechodové charakeriiky obr obou yémů zíkáme zadáním příkazu ep G, charakeriiky váhové obr pak zadáním impule G. Vyvářený krip doplníme o zobrazení frekvenčních charakeriik v Gauově komplexní rovině a v logarimických ouřadnicích obr až Obr : Frekvenční charakeriiky v komplexní rovině včeně věví pro záporné frekvence 59

161 Malab & Simulink: řešené příklady Frekvenční charakeriiku dynamického yému v komplexní rovině zíkáme zadáním příkazu nyqui G případně nyqui G, {Wmin, Wmax}, chceme-li definova rozah frekvencí v rad/. Charakeriika je vykrelena včeně věve pro záporné frekvence, kerá je ouměrná podle reálné oy věví pro frekvence kladné, viz obr Obr : Frekvenční charakeriiky v komplexní rovině Obr : Ampliudové a fázové frekvenční charakeriiky v logarimických ouřadnicích 6

162 Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu Obdobně vykrelíme i frekvenční charakeriiky v logarimických ouřadnicích uvedené na obr , j. ampliudovou a fázovou, keré bývají čao označovány jako zv. BODEho charakeriiky. K jejich zobrazení použijeme příkaz bode G či bode G, {Wmin, Wmax}, chceme-li definova aké frekvenční rozah. Obr : Edior vlanoí grafu Prořednicvím plovoucího menu, keré je příupné po iku pravého lačíka myši nad plochou grafu, můžeme měni vzhled všech popiovaných charakeriik. Pokud např. nechceme zobrazi druženou čá frekvenční charakeriiky v komplexní rovině obr , odznačíme položku plovoucího menu Show Negaive Frequencie. Výledný průběh je uveden na obr V dialogovém okně obr , keré je příupné zvolíme-li položku Properie..., lze měni popiky, rozahy o, použié jednoky v omo případě rad/ nebo Hz, fony apod. Na závěr poznamenejme, že druhý definovaný yém, na obr vlevo je označen indexem, je zv. yém neminimální fází. Teno yém má neabilní nulu kořen čiaele, j. nulu v pravé polorovině komplexní roviny, viz obr Charaker yému je parný i z přechodové charakeriiky obr , z frekvenční charakeriiky v komplexní rovině obr a zejména pak z fázové frekvenční charakeriiky obr Fáze e zde pro nízké frekvence blíží ke 8, není edy minimální záporná. 6.4 Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu V eorii auomaického řízení e k poouzení vlanoí regulačních obvodů i jejich jednolivých členů někdy používají zv. frekvenční charakeriiky. Pokud na vup yému zavedeme harmonické kmiy u o určié frekvenci, ak po určié době nuné k ulumení přechodového děje vniknou na výupu ohoo yému harmonické kmiy y e ejnou frekvencí, ale obecně jinou ampliudou a fázovým pounem. Ulumení přechodového děje naane vždy, pokud je yém abilní. Jelikož lze harmonický pohyb znázorni v komplexní rovině vekorem konanní ampliudou, kerý e oáčí v kladném mylu ve měru hodinových ručiček úhlovou rychloí ω, lze rovnici vupních kmiů zapa ve varu 6

163 Malab & Simulink: řešené příklady 6 u jω e u a rovnici výupních kmiů j e ϕ ω y y kde u a y jou ampliudy vupních a výupních kmiů a ϕ je fázový pouv výupních kmiů vůči vupním. S výjimkou derivačních členů yémů neminimální fází je ϕ <, j. výupní kmiy jou zpožděny za vupními. Vyvoříme-li poměr výupních kmiů ke vupním, doáváme ϕ ω j e j u y G u y Komplexní funkce Gjω udává, jak e mění výupní kmiy y co do ampliudy a fáze v záviloi na frekvenci, udržujeme-li ampliudu vupních kmiů konanní. Modulem funkce Gjω je poměr ampliud vupních a výupních kmiů j ω ω A u y G a jejím argumenem je fázový pouv ] j [ arg ω ω ϕ G Funkce Gjω e nazývá frekvenční přeno. Frekvenční přeno zíkáme aké z přenou obrazového doazením za jω, edy j j j j j a a a b b b G n n m m ω ω ω ω ω K K Výrazy v čiaeli a ve jmenovaeli přenou Gjω rozdělíme na reálnou a imaginární čá, akže bude j j j ω d c ω f e G ω ω ω kde K K K K ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω b b b f b b b e a a a d a a a c Jeliže čiaele i jmenovaele přenou Gjω vynáobíme [cω j dω], edy výrazem komplexně druženým konjugovaným ke jmenovaeli přenou, můžeme Gjω zapa přímo jako komplexní čílo ve ložkovém popř. v exponenciálním varu e j j ω ϕ ω ω ω ω A Q P G

164 Z výše uvedeného dále plyne, že P ω A ω coϕ ω Q ω A ω inϕ ω A ω Q ω ϕ ω arcg P ω P ω Q ω Pro jednolivé ložky přenou Gjω zavádíme yo názvy: Pω reálná čá frekvenční charakeriiky, Qω imaginární čá frekvenční charakeriiky, Aω ampliudová frekvenční charakeriika, ϕ ω fázová frekvenční charakeriika. Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu Jak vlaní funkci Gjω, ak i funkce Aω a ϕ ω lze znázorni graficky a nazýváme je pak frekvenční charakeriiky. Frekvenční charakeriika yému v komplexní rovině je geomerické mío, keré opíše koncový bod vekoru Gjω v komplexní rovině při změně frekvence vupního harmonického ignálu v rozahu ω. Tao charakeriika e někdy označuje jako zv. ampliudo-fázová a je éž grafickým zobrazením přenou Gjω v komplexní rovině. Věev charakeriiky pro záporné frekvence je ouměrná podle reálné oy věví pro frekvence kladné a zpravidla e neuvádí. V MATLABu je ovšem ao věev implicině vždy vykrelována. Ampliudovou Aω a fázovou ϕ ω frekvenční charakeriiku je vhodné znázorňova v logarimických ouřadnicích. Z oho důvodu jou čao yo charakeriiky označovány jako logarimické frekvenční charakeriiky. U ampliudové charakeriiky bývá zvykem vynáše aboluní hodnou modul velikoi přenou v decibelech. Hodnou nějaké veličiny v decibelech [db] vypočeme jako dvaceináobek dekadického logarimu éo veličiny. Na logarimické upnici pro frekvenci ω nazýváme inerval mezi určiou frekvencí a jejím deeináobkem dekádou. V praxi e čao přené charakeriiky nahrazují aympoami. U aympo pak hovoříme o pokleu rep. vzrůu vzaženém právě na dekádu. V dalším exu e omezíme na abilní kmiavé yémy. řádu. Budeme uvažova přeno ve varu n ω G Sjω K jω ξω jω ω n n kerý zíkáme z obrazového přenou uvedeného v kapiole 6. doazením za jω. Přeno lze dále upravi G ωn jω K K ω ω jξω ω ϖ jξϖ S n n kde ϖ ω /ω n je zv. normalizovaná frekvence. 63

165 Malab & Simulink: řešené příklady Z uvedeného přenou vypočeme ampliudo-fázovou frekvenční charakeriiku ϖ ξϖ G Sjω K jk ϖ 4ξ ϖ ϖ 4ξ ϖ a logarimickou ampliudovou charakeriiku log A ω log K log ϖ 4ξ ϖ log K log[ ϖ 4ξ ϖ ] Přený průběh charakeriiky nahradíme aympoami. Rovnice první aympoy pro ω je log A ω log K log log K Rovnice druhé aympoy pro ω, kdy zřejmě [ ϖ 4ξ ϖ ] ϖ 4, je log A ω log K logϖ log K 4 logϖ 4 Pro zakrelení přených charakeriik je nuné zná chybu, keré e dopoušíme při náhradě aympoami. Chyba je závilá na koeficienu ξ. Podle [7] u dynamických yémů, u kerých ξ leží v inervalu,4;,7 chyba nepřeáhne hodnou 3 db. Zbývá urči fázovou charakeriiku. Ta je dána vzahem ξϖ ϕ ω arg[ ϖ jξϖ ] arcg ϖ Uvedený poup je poměrně ložiý. Pokud ale k zobrazení frekvenčních charakeriik využijeme MATLAB rep. jeho Conrol Syem Toolbox, iuace e velmi zjednoduší. Zcela odpadne např. konrukce aympo u ampliudové charakeriiky. 64 Obr. 6.4-: Skrip pro vykrelení frekvenčních charakeriik

166 Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu Obr. 6.4-: Frekvenční charakeriika v komplexní rovině pro různé hodnoy ξ Obr : Ampliudová a fázová frekvenční charakeriika v logarimických ouřadnicích pro různé hodnoy ξ 65

167 Malab & Simulink: řešené příklady Na obr je uveden jednoduchý krip, kerý vykrelí frekvenční charakeriiky v komplexní rovině obr a frekvenční charakeriiky v logarimických ouřadnicích obr Paramerem jednolivých křivek je relaivní lumení ξ, keré je poupně měněno v inervalu ;. Zeílení yému je K. Je možné měni vekor hodno lumení ξ, pro keré mají bý charakeriiky vykreleny. Ve kripu jou použiy příkazy nyqui a bode Conrol Syem Toolboxu, keré byly podrobněji popány již v kapiole 6.3. Sledujme nyní vliv polohy pólů přenou yému na průběh frekvenčních charakeriik. Podobně jako v kapiole 6. budeme nejprve uvažova komplexně družené póly, keré mají ejnou reálnou čá j. aboluní lumení a rozdílnou imaginární. Grafické znázornění jejich možné polohy v komplexní rovině a omu odpovídající přechodové charakeriiky byly již uvedeny na obr S využiím Conrol Syem Toolboxu můžeme vyvoři jednoduchý krip pro vykrelení frekvenčních charakeriik ako definovaných abilních kmiavých yémů. řádu, viz obr Pro eavení obrazového přenou ze zadaných pólů a zeílení byl použi příkaz zpk. Frekvenční charakeriiky při hodném zeílení K a při zachování ejného aboluního lumení α jou na obr a Obr : Skrip pro vykrelení frekvenčních charakeriik yému při ejném aboluním lumení α Pomocí kripu na obr můžeme obdobným způobem měni reálnou ložku pólů při zachování ložky imaginární j. při zachování přirozené frekvence lumeného yému ω d. Grafické znázornění možné polohy pólů v komplexní rovině a odpovídající přechodové charakeriiky jou uvedeny na obr Frekvenční charakeriiky při hodném zeílení yému K a při ejné přirozené frekvenci lumeného yému ω d jou na obr a

168 Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu Obr : Frekvenční charakeriiky yému v komplexní rovině při ejném aboluním lumení α Obr : Ampliudové a fázové frekvenční charakeriiky v logarimických ouřadnicích při ejném aboluním lumení α 67

169 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Skrip pro vykrelení frekvenčních charakeriik yému při ejné přirozené frekvenci ω d Obr : Frekvenční charakeriiky yému v komplexní rovině při ejné přirozené frekvenci ω d Polední varianou rozložení pólů přenou kmiavého yému. řádu, kerou budeme imulova, je rozložení pólů v komplexní rovině ak, aby výledné yémy měly vždy ejné relaivní lumení ξ. Připomeňme, že konanní hodnoě relaivního lumení odpovídají dvě polopřímky vedené z počáku ouřadného yému, viz obr Grafické znázornění možné 68

170 Frekvenční charakeriiky dynamických yémů. řádu polohy pólů v komplexní rovině a odpovídající přechodové charakeriiky jou na obr K vykrelení frekvenčních charakeriik použijeme krip na obr Obr : Ampliudové a fázové frekvenční charakeriiky v logarimických ouřadnicích při ejné přirozené frekvenci ω d Obr. 6.4-: Skrip pro vykrelení frekvenčních charakeriik yému při ejném relaivním lumení ξ 69

171 Malab & Simulink: řešené příklady Obr. 6.4-: Frekvenční charakeriiky yému v komplexní rovině při ejném relaivním lumení ξ 7 Obr. 6.4-: Ampliudové a fázové frekvenční charakeriiky v logarimických ouřadnicích při ejném relaivním lumení ξ

172 Přechodové charakeriiky PID reguláoru Při ejném relaivním lumení mají všechny definované yémy oožné frekvenční charakeriiky v komplexní rovině obr Na ampliudových a fázových frekvenčních charakeriikách obr je parný jejich vzájemný poun při zachování varu křivek. 6.5 Přechodové charakeriiky PID reguláoru Reguláor je ve vé podaě uměle vyvořený dynamický prvek zařazený do zpěné vazby k regulované ouavě k echnologickému proceu, kerý e nažíme řídi. Změna paramerů reguláoru nám umožňuje ovlivňova dynamické vlanoi celého uzavřeného regulačního obvodu, viz obr u G S y G R e w Obr. 6.5-: Blokové chéma regulačního obvodu Vupem do reguláoru je regulační odchylka e vyjádřená rozdílem e w y, kde y předavuje regulovanou a w řídicí veličinu. Obr. 6.5-: Blok reguláoru Vlanoi reguláoru ypu PID mohou bý poněkud zjednodušeně popány vzahem de u r e r e τ dτ r d Přeno reguláoru je r GR r r Derivační ložku lze u reálných průmylových reguláorů realizova pouze přibližně dynamickým zpožděním prvního nebo někdy i vyššího řádu. Obrazový přeno reálného reguláoru nabývá pak poněkud komplikovanějšího varu zde pro zpoždění. řádu G r R r r T v e G R kde T v je čaová konana zpožďovacího členu. Tako modifikovaný reguláor e pak čao označuje jako PID reguláor aproximovanou derivací. Paramery r, r, r jou avielné paramery reguláoru, po řadě jeho proporcionální, inegrační a derivační ložky. u 7

173 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Realizace PID reguláoru v Simulinku 7 Obr : Skrip pro řízení imulačního výpoču

174 Přechodové charakeriiky PID reguláoru Přechodová charakeriika h je obecně reakce dynamického yému vybuzeného z klidu nulové počáeční podmínky jednokovou kokovou změnou vupního budicího ignálu. Úkolem je imulova konkréně přechodovou charakeriiku reguláoru a ledova vliv jednolivých paramerů na její průběh. Příkladem imulačního modelu reguláoru v proředí Simulink může bý např. model na obr Zvolíme-li jako budicí ignál jednokový kok a paramery PID reguláoru prořednicvím hodno zeílení přílušných zeilovačů, můžeme pomocí zobrazovače Scope ledova po provedené imulaci průběh přechodové charakeriiky. V uvedeném modelu ukládáme čaový průběh h do pracovního prooru aké pomocí Scope. Můžeme ho pak náledně např. vykreli do grafu, ediova a pro další účely přené do exového edioru nebo jiným způobem ve formě pole dále zpracova. Obr : Variace parameru r Obr : Variace parameru r 73

175 Malab & Simulink: řešené příklady Pro účely vykrelení íě přechodových charakeriik odpovídajících měnícímu e parameru do jednoho obrázku byl vyvořen jednoduchý krip obr , kerým lze řídi výpoče opakované imulace. Srukura i ovládání ohoo kripu jou zřejmé z vepaných komenářů. Přechodové charakeriiky PID reguláoru při variaci paramerů r, r, r a T v jou na obr až Obr : Variace parameru r Vliv jednolivých paramerů reguláoru lze pomocí uvedeného kripu vyšeřova i na jednodušších rukurách reguláoru P r r, I r r, D r r a PI r a PD r. Obr : Variace parameru T v 74

176 Regulační obvod e pojiým PID reguláorem 6.6 Regulační obvod e pojiým PID reguláorem Hlavní funkcí reguláoru přenoem G R ve zpěnovazebním regulačním obvodu na obr je půobi na echnologický proce zv. regulovanou ouavu přenoem G S vhodně ak, aby celý uzavřený obvod měl dobré aické i dynamické vlanoi. u G S y G R e w Obr. 6.4-: Blokové chéma regulačního obvodu Regulovaná veličina y muí přijaelnou přenoí reagova na požadavek změny její hodnoy vyjádřený žádanou hodnoou regulované veličiny w řídicí veličinou. Kromě éo základní funkce ješě reguláor eliminuje i vliv věšinou nežádoucích vlivů, zv. poruch, keré aké vupují do obvodu. Vupem do reguláoru je regulační odchylka e vyjádřená rozdílem e w y. d Obr. 6.4-: Regulační obvod poruchami V blokovém chéma na obr jou vyznačeny dva nejčaější ypy poruch. Porucha na vupu do regulované ouavy d, někdy označovaná jako porucha na akční veličině u, a na jejím výupu d. Chování regulačního obvodu můžeme ovlivni paramery reguláoru G R. V echnické praxi jou nejčaěji používány pojié reguláory ypu PID Proporcionálně Inegračně Derivační, jejichž diferenciální rovnice je obvykle ve varu de u r e r e τ dτ r d kde r, r a r předavují proporcionální, inegrační rep. derivační zeílení reguláoru, nebo případně ve varu u r [ e e d T T τ τ i u d G S G R de ] d Vzájemný vzah mezi konanami obou uvedených varian reguláoru je r I r / T i a r D r T d, kde T i je inegrační a T d derivační čaová konana. e d y w 75

177 Malab & Simulink: řešené příklady Naavením paramerů reguláoru r, r, r rep. r, T i, T d můžeme ovlivni chování celého regulačního obvodu, nevhodným naavením může však dojí i k jeho špané funkci nebo dokonce k jeho neabiliě. Pro určení vhodné kombinace hodno paramerů reguláoru zv. opimální eřízení reguláoru exiuje několik meod a příupů lišících e zejména ím, jak pouzují kvaliu dynamického chování celého uzavřeného regulačního obvodu. Seavme nyní imulační model regulačního obvodu loženého z regulované ouavy řeího řádu popané diferenciální rovnicí y 6y y 6y 6u rep. obrazovým přenoem 6 G S a reguláoru ypu PID. Ověře jeho aické i dynamické chování pro různé hodnoy paramerů reguláoru mohou bý i nulové a různé poruchy d, d a změny w. Model regulačního obvodu lze realizova různými způoby. Regulovaná ouava může bý modelována na základě přílušné diferenciální rovnice, jejíž řešení může bý např. realizováno pomocí meody nižování řádu derivace obr či meody poupné inegrace obr Další možnoí je realizace pomocí obrazového přenou obr K realizaci reguláoru je možné použí andardní bloky Simulinku, případně přímo blok PID Conroller knihovna Simulink Exra / Addiional Linear. 76 Obr : Realizace regulačního obvodu v Simulinku meoda nižování řádu derivace

178 Regulační obvod e pojiým PID reguláorem Obr : Realizace regulačního obvodu v Simulinku meoda poupné inegrace Blok PID Conroller přeavuje běžnou pojiou varianu PID reguláoru přenoem v paralelním varu G R P I / D, ve kerém konany P, I a D reguláoru odpovídají zeílením r, r a r používaným ve výše uvedených modelech. Tyo konany definujeme přímo prořednicvím okna paramerů bloku, keré je uvedeno na obr Nevýhodou použií bloku PID reguláoru je ale nemožno modifikace rukury PID algorimu a zráa možnoi názorné ilurace jeho realizace. Obr : Realizace regulačního obvodu v Simulinku obrazový přeno, použií bloku PID Conroller 77

179 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Zadání konan PID reguláoru Na obr je implemenován odlišný PID algorimu. Jedná e o zv. ideální paralelní var inerakcí konan aké andardní či ISA var, kerý je podle [] v praxi používán v cca 3 % průmylových PID reguláorů, zaímco PID algorimu realizovaný na obr až obr je používán v cca % reguláorů. Konany reguláoru na obr byly přepočeny podle vzahů, keré lze odvodi porovnáním obou varů rovnic PID reguláoru, edy r 4,8, T i r / r 4,8 /,4 a T d r / r, / 4,8,5. 78 Obr : Realizace regulačního obvodu v Simulinku obrazový přeno, jiná implemenace PID algorimu Provedeme-li imulaci chování regulačních obvodů na obr až a obr , obdržíme naproo idenické průběhy, viz obr Všechny použié meody modelování, ať již amoné dynamické ouavy či PID reguláoru, jou navzájem ekvivalenní. Seřízení reguláoru není amozřejmě opimální, regulační pochod je relaivně kmiavý. Jednoduchou změnou paramerů v blocích w, d a d můžeme aké ledova vliv vupujících poruch na průběh regulace. Odezva yému při poruše na jeho výupu d η je na obr

180 Regulační obvod e pojiým PID reguláorem Obr : Průběh regulované veličiny a akční veličiny reguláoru při w η a d d Obr : Průběh regulované veličiny a akční veličiny reguláoru při w d a d η Dalším možným varem rovnic PID reguláoru je zv. ériový aké klaický var, jehož obrazové vyjádření je U r Td Ti E Teno var e v průmylových PID používá nejčaěji, cca ve 47 % reguláorů. Konany reguláoru lze amozřejmě opě přepočía na konany ideálního paralelního varu. Vzahy pro přepoče odvodíme vzájemným porovnáním obou varů rovnic reguláoru r Td r r T r r T r d d Td r r r Ti Ti Ti Ti Ti T d 79

181 Malab & Simulink: řešené příklady Porovnáme-li nyní členy odpovídající mocninou operáoru, pak T r r T i d r r T i Td Ti T i r r Ti Td Ti Ti r T i r r Td r Td r T Td r d r r Td T T i d Ti Td Ti T Převod paramerů reguláoru v ériovém varu r, T i, T d na paramery reguláoru ve varu paralelním r, T i, T d je edy riviální. Opačný přepoče ovšem není vždy možný, neboť ériový var odpovídá reguláoru inerakcí a určié kombinace hodno T i, T d neumožňuje naavi vůbec. Ze amoného faku, že ériový var předavoval po deeileí jediný prakicky používaný yp PID algorimu, je ale zároveň zřejmé, že yo kombinace nebývají zapořebí příliš čao. d 8 Obr. 6.4-: Průmylové procení reguláory KS 9- a KS 9- firmy PMA Věšina v oučanoi vyráběných proceních reguláoru používá PID algorimu založený na ériovém varu rovnic. Např. reguláory KS 9- a KS 9- obr německé firmy PMA mají aké implemenován ériový var rovnic, pouze ím rozdílem, že na mío proporcionálního zeílení r proporional gain je veliko proporcionální ložky reguláoru udávána zv. pámem proporcionaliy proporional band.

182 Regulační obvod e pojiým PID reguláorem u [%] pp Obr. 6.4-: K pámu proporcionaliy w 55 %, pp 4 %, r,5 V přírojové echnice mají všechny veličiny určiý rozah, proo je obvyklé je vyjadřova jejich poměrnou hodnoou v rámci ohoo rozahu. Budeme-li např. podle [3] uvažova pouze proporcionální P reguláor, můžeme rovnici reguláoru zapa obecně ve varu u u r w y r e kde u předavuje referenční hodnou akční veličiny u. Teno vzah lze graficky znázorni podle obr Skuečně proporcionální funkci má uvedený reguláor jen v čái vého rozahu, v zv. pámu proporcionaliy, keré e obvykle označuje δ či pp. Při poměrném vyjádření veličin w, u a y je zřejmě plněn náledující vzah mezi proporcionálním zeílením r a pámem proporcionaliy δ pp [%] r y [%] Přeavováním žádané hodnoy dochází k pounu celé charakeriiky. Na obr je uvedena charakeriika reguláoru pro w 55 %. Obr. 6.4-: Realizace ériového varu rovnic PID reguláoru 8

183 Malab & Simulink: řešené příklady Realizace PID reguláoru v ériové rukuře v proředí Simulink je na obr Regulovaná ouava je opě modelována pomocí obrazového přenou, reguláor je eaven ze základních bloků Simulinku. Navrženy byly yo konany reguláoru: r,, T i,8 a T d,. Pámo proporcionaliy reguláoru je pp / r /, 83 %. Přepoče na koeficieny reguláoru v paralelní rukuře ideální paralelní var je pak podle výše uvedených vzahů náledující T d, r r,,5 Ti,8 Ti Ti Td,8, T T T,8,,8, i d d Ti Td,6 Výledky imulace chování uzavřeného regulačního obvodu reguláorem v ériové rukuře obr při buzení jednokovým kokem w η jou na obr Obr : Průběh regulované veličiny a akční veličiny reguláoru PID v ériové rukuře při w η a d d 6.7 Modifikace PID algorimu, eřízení reguláoru meodou Zieglera a Nichole Derivační ložka PID reguláoru reaguje na rychlé změny žádané hodnoy regulované veličiny v běžném provozu e čao vykyují i náhlé kokové změny požadavku orými derivačními špičkami akční veličiny, keré mají negaivní vliv na chování celého regulačního obvodu. Tomuo negaivnímu jevu jednoduše zabrání čao používaná modifikace algorimu reguláoru. Derivační ložka reguláoru je odvozena pouze od změn regulované veličiny y a negaivní vliv rychlých změn žádané hodnoy w je ak eliminován. Diferenciální rovnice upraveného PID reguláoru je pak ve varu 8

184 Modifikace PID algorimu, eřízení reguláoru meodou Zieglera a Nichole dy u r e r e τ dτ r d nebo případně ve varu u r [ e e d T T τ τ i d dy ] d Budeme uvažova regulační obvod na obr poruchou na vupu do regulovaného yému d u, kerá je někdy označována jako porucha na akční veličině u. d u u G S G R Obr. 6.7-: Regulační obvod poruchou na vupu yému Simulační model regulačního obvodu loženého ze yému řeího řádu popaného obrazovým přenoem 6 G S a modifikovaného reguláoru ypu PID aproximovanou derivací je na obr Model yému je realizován pomocí bloku Tranfer Fcn. Nejprve budeme uvažova, že na yém nepůobí porucha, j. d u. Koeficieny reguláoru převezmeme z příkladu 6.6. e y w Obr. 6.7-: Regulační obvod modifikovaným PID reguláorem 83

185 Malab & Simulink: řešené příklady Na obr jou uvedeny průběhy odezvy yému při w η a akční veličiny klaického PID reguláoru aproximovanou derivací je podrobněji popán v kapiole 6.5. Na průběhu akční veličiny je parná orá špička způobená derivační ložkou reguláoru. Na obr jou pak průběhy zíkané při použií modifikovaného reguláoru. Odezva yému v omo případě vykazuje co do velikoi menší kmiy, uálení yému je celkově pomalejší. Akční veličina reguláoru již nevykazuje výše zmiňovanou špičku, neboť derivační ložka reguláoru je v omo případě odvozena pouze od změn regulované veličiny. Obr : Průběh regulované veličiny a akční veličiny klaického PID reguláoru aproximovanou derivací při w η a d u Obr : Průběh regulované veličiny a akční veličiny modifikovaného PID reguláoru aproximovanou derivací při w η a d u Další varianou reguláoru, kerou budeme realizova je PID vážením žádané hodnoy. Srukura ohoo reguláoru je již poněkud ložiější a umožňuje odvozova proporcionální a derivační ložku od regulované veličiny nikoliv od regulační odchylky jako u klaického PID reguláoru. Akční veličina u je vyvářena náledujícím způobem 84

186 Modifikace PID algorimu, eřízení reguláoru meodou Zieglera a Nichole d u r [ Fp w y e τ dτ Td Fd w y ] T d i Je-li reguláor naaven především ohledem na dobré vyregulování poruchy a odezva na kokovou změnu žádané hodnoy je proo příliš kmiavá, uvedená modifikace způobí zpomalení náběhu na žádanou hodnou a zmenšení překmiů. Simulační model regulačního obvodu modifikovaným reguláorem je na obr Koeficieny váhy F p a F d bývají běžně voleny rovny buď jedné či nule, obecně lze ovšem uvažova celý inerval ;. Obr : Regulační obvod PID reguláorem vážením žádané hodnoy Zajímavé jiě bude porovnání klaického a modifikovaného PID reguláoru. Přeno regulovaného yému může bý např. G S T T T3 čaovými konanami T, T,8 a T 3,. Přeno yému můžeme převé do obvyklé podoby polynomy v čiaeli a ve jmenovaeli a poé modelova andardním způobem pomocí bloku Tranfer Funcion. Dále je nuné definova aké hodnoy konan PID reguláoru. Na základě průběhu odezvy uzavřeného regulačního obvodu můžeme prové např. ruční eřízení reguláoru nebo využí někerou z mnoha meod. V našem případě byly konany reguláoru navrženy na základě meody kriického zeílení Zieglera-Nichole. Pro yo účely byl vyvořen peciální krip, kerý je na obr Pravidla Zieglera a Nichole jou např. v [] uváděna ve dvou varianách. Obě yo variany vycházejí z velmi zjednodušeného popiu regulovaného yému. V prvním případě e vychází z zv. kriické frekvence yému j. frekvence, při níž je fázové zpoždění rovné 8 rep. z odpovídající kriické periody T k a ze zeílení yému při éo frekvenci. 85

187 Malab & Simulink: řešené příklady K nalezení obou paramerů e používá jednoduchý experimen v uzavřeném regulačním obvodu P reguláorem vyřadíme ložky I a D, jehož zeílení e poupně zvyšuje až do okamžiku, kdy e obvod doane na mez abiliy a objeví e nelumené kmiy. Frekvence ěcho kmiů je rovna kriické frekvenci a zeílení P reguláoru zv. kriické zeílení r k je převrácenou hodnoou zeílení yému. Na základě výledků ohoo experimenu jou pak podle pravidel uvedených v ab určeny hodnoy paramerů reguláoru. Tab. 6.7-: Pravidla Zieglera-Nichole, meoda uálených kmiů Reguláor r T i T d P,5 r k PI,45 r k,85 T k PID,6 r k,5 T k,5 T k Tab. 6.7-: Pravidla Zieglera-Nichole, meoda přechodové odezvy Reguláor r T i T d P / K Θ PI,9 / K Θ 3 T u PID, / K Θ T u,5 T u Uvedení yému na mez abiliy může bý ovšem mnohdy z echnologických či provozních důvodů nepřípuné. Pak lze použí druhou meodu založenou na vyhodnocení přechodové charakeriiky regulovaného yému v okolí pracovního bodu. Na základě doby průahu T u, doby náběhu T n rep. normalizovaného dopravního zpoždění Θ T u / T n a aického zeílení K viz obr pak lze naavi reguláor podle pravidel uvedených v ab y T u T n y i y y i Θ [] Obr : Základní paramery přechodové odezvy aického nekmiavého yému 86

188 Modifikace PID algorimu, eřízení reguláoru meodou Zieglera a Nichole % % PID regulaor vazenim zadane hodnoy, meoda Zieglera- Nichole % clear all, cloe all, clc, forma compac %yem GK/[*.8*.] K; BK; Aconvconv[ ],[.8 ],[. ]; GfB,A; Tm5; ne4; linpace,tm,n; yepg,; %vypoce jednolivych bodu h dyimpuleg,; %vypoce g, j. derivace funkce h %dtm/n-; %vypoce kroku %dydiffy/d; dydy'; dy[dy dyend]; %alernaivni vypoce derivace [k i]maxdy; %nalezeni maxima na prubehu derivace a jeho index ii; %vyber z vekoru hodno cau ecnak*-iyi; %vypoce ecny - rovnice primky kxq %prochazi bodem indexem i, j. [i,yi] figure, plo,dy,'linewidh',, grid on figure, plo,y,,ecna,'linewidh',, grid on, axi[ Tm -..] Ifindecna>; TuI, clear I Ifindecna>K; TnI-Tu, clear I %kriicke hodnoy heatu/tn; %rkqrpi*tn/*tu^/k; Tk4*Tu; %model v Simulinku TmaxceilTm/*; w; dutmax/; du; %doba pruahu %doba nabehu %erizeni PID podle meody Z- N %r.6*rk; Ti.5*Tk; Td.5*Tk; r/hea; Ti*Tu; Td.5*Tu; Fp; Fd; im modifikovany_pid_; yv.ignal.value:,; wv.ignal.value:,; uv.ignal.value; ; figure, plo,y,'k--','linewidh',, hold on xlabel' []', ylabel'y' %modifikace Z- N 4x nizen koeficien u r - bez prekmiu %r.5*rk; Ti.5*Tk; Td.33*Tk; r/hea/4; Ti*Tu; Td.5*Tu; im modifikovany_pid_; yv.ignal.value:,; wv.ignal.value:,; uv.ignal.value; ; plo,y,'b','linewidh',, grid on xlabel' []', ylabel'y' legend'erizeni podle Z-N','aperiodicky prubeh',4 %erizeni PID podle meody Z- N, vazeni zadane hodnoy %r.6*rk; Ti.5*Tk; Td.5*Tk; r/hea; Ti*Tu; Td.5*Tu; Fp; Fd; im modifikovany_pid_; y3v.ignal.value:,; w3v.ignal.value:,; u3v.ignal.value; 3; figure; plo,y,'k--',3,y3,'b','linewidh',, grid on xlabel' []', ylabel'y' legend'erizeni podle Z-N','modifikovany PID',4 figure; plo,u,'r--',3,u3,'g','linewidh',, grid on xlabel' []', ylabel'u' legend'erizeni podle Z-N','modifikovany PID',4 Obr : Skrip pro porovnání různých varian návrhu PID reguláoru modifikovany_pid_zn.m 87

189 Malab & Simulink: řešené příklady Ve kripu je nejprve přeno yému převeden do podoby polynomy v čiaeli a ve jmenovaeli je využi příkaz conv; přeno yému je pak vyvořen příkazem f. Dále je vypočena přechodová a váhová impulní odezva ohoo yému, viz obr Obr : K nalezení doby průahu a doby náběhu yému Pro eřízení reguláoru byla použia druhá variana pravidel Zieglera-Nichole meoda přechodové odezvy. Chceme-li urči z průběhu přechodové funkce dobu průahu T u a dobu náběhu T d, pořebujeme zkonruova ečnu v inflexním bodě funkce obr Inflexní bod odpovídá maximu derivace přechodové funkce h, j. maximu funkce váhové g. K jeho nalezení lze použí příkaz impule, kerý váhovou charakeriiku yému přímo vypoče, případně příkaz diff k numerickému výpoču derivace funkce h. Konrukce ečny je již jednoduchá. Dobu průahu rep. náběhu lze pak urči využiím příkazu find. 88 Obr : Odezva při eřízení reguláoru meodou Zieglera-Nichole a její porovnání aperiodickým průběhem

190 Modifikace PID algorimu, eřízení reguláoru meodou Zieglera a Nichole Ve kripu jou dále z nalezených hodno T u a T n rep. ze zpoždění Θ T u / T n vypočeny podle pravidel Zieglera-Nichole opimální hodnoy koeficienů reguláoru. Konkréně je použia meoda přechodové odezvy ab. 6.7-, alernaivně je uvedeno aké řešení pomocí meody uálených kmiů ab Průběh obdržené odezvy při w η a poruše d u vupující v čae je zobrazen na obr Pro porovnání je uveden i aperiodický průběh odezvy doažený nížením velikoi proporcionálního zeílení reguláoru. Obr. 6.7-: Odezva při použií PID reguláoru vážením žádané hodnoy Obr. 6.7-: Průběh akční veličiny při použií PID reguláoru vážením žádané hodnoy 89

191 Malab & Simulink: řešené příklady Pravidla pro nalezení vhodných konan reguláoru jou u meody Zieglera-Nichole opimalizována z hledika dobrého polačení poruch a pro ledování kokových změn žádané hodnoy jou nevhodná a prakicky nepoužielná. V reguláoru vážením žádané hodnoy zvolíme váhy u proporcionální a derivační ložky F p F d a ím zajiíme jejich odvození od regulované veličiny y nikoliv od regulační odchylky e jako u inegrační ložky. Názorné zobrazení obou odezev uzavřeného obvodu v jednom grafu, edy odezvy při použií klaického PID reguláoru F p F d eřízeného meodou Zieglera-Nichole a reguláoru modifikovaného F p F d, je na obr Na obr jou odpovídající průběhy akční veličiny reguláoru v ěcho dvou případech. Jak vidíme, ak hora uvedená hypoéza e povrdila, neboť modifikovaný PID reguláor podaně lépe vyreguluje změnu žádané hodnoy při zachování dobrého polačení poruchy. 6.8 Obla abiliy regulačního obvodu Oblaí abiliy regulačního obvodu obr rozumíme obla vymezující akové možné kombinace avielných paramerů reguláoru G R, aby uzavřený regulační obvod byl ěmio kombinacemi paramerů abilní. Sabilia je základní vlanoí, kerou od regulačního obvodu očekáváme. U jednodušších regulačních obvodů lze obla abiliy vyšeři analyickými proředky. u G S y G R e w 9 Obr. 6.8-: Blokové chéma regulačního obvodu Vlanoi reguláoru ypu PID jou popány diferenciální rovnicí de u r e r e τ dτ r d Přeno reguláoru je r GR r r Vyšeřeme nyní a imulačně ověřme obla abiliy jednoduchého regulačního obvodu PI reguláorem a regulovanou ouavou popanou diferenciální rovnicí y 6y y 6y 6u rep. přenoem 6 G S 3 6 6

192 Obla abiliy regulačního obvodu 9 Obrazový přeno PI reguláoru je r r r r G R Přeno uzavřeného regulačního obvodu na obr. 6.8-, např. zv. přeno řízení G yw je S R S R yw G G G G W Y G Doadíme-li za přeno reguláoru G R a ouavy G S, pak uw r r r r r r r r G L Kořeny charakeriické rovnice uzavřeného regulačního obvodu, kerou zíkáme ak, že charakeriický polynom ve jmenovaeli přenou položíme roven nule, rozhodují o jeho abiliě. Charakeriická rovnice uvažovaného obvodu je r r Jou-li všechny její kořeny v levé polorovině Gauovy roviny buď reálné záporné nebo komplexní e zápornou reálnou čáí, regulační obvod je abilní, jeliže alepoň jeden kořen uo podmínku neplňuje, obvod abilní není. Proože e jedná o charakeriickou rovnici uzavřené regulační myčky, lze ji zíka i z libovolné jiné dynamické záviloi, např. z přenoů S R R yw G G G W U G, S R ew G G W E G nebo aké podle vzahu S R o G G G kde G o je přeno oevřeného regulačního obvodu, kerý lze vyjádři S R o G G E Y G Změny paramerů reguláoru r a r ovlivňují nejen koeficieny charakeriické rovnice, ale amozřejmě i její kořeny. Mohou edy naa iuace, že uzavřený regulační obvod bude vlivem eřízení reguláoru abilní nebo i neabilní. Vyšeření kořenů rovnice analyickými proředky v případě vyšších řádů není možné. Jme poom nuceni použí někeré z kriérií abiliy. Čao používané je kriérium Hurwizovo, keré paří mezi algebraická kriéria

193 Malab & Simulink: řešené příklady 9 abiliy. Tao kriéria vycházejí z charakeriické rovnice uzavřeného regulačního obvodu a nelze je použí při vyšeřování abiliy obvodů dopravním zpožděním. Nunou podmínkou pro abiliu obvodu je, aby všechny koeficieny charakeriické rovnice měly ejná znaménka zde kladná, 6, >, 6 r > r >, 6 r > r > Poačující podmínkou je, aby všechny Hurwizovy ubdeerminany H i hlavní rohové minory Hurwizovy maice a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n H byly aké kladné. Rozměr Hurwizovy maice je dán upněm charakeriického polynomu. V našem případě nabývá Hurwizova maice varu r r r r H a pro její jednolivé ubdeerminany pak plaí 6 > H de > r r r H < r de r r r r r r r r r r r r r > > H > H H r Souava výše uvedených podržených nerovnoí definuje podmínky pro abiliu uzavřeného regulačního obvodu obla abiliy. Povšimněme i, že jme určili podmínky abiliy, aniž bychom znali kořeny charakeriické rovnice. Pořebu analýzy jejích kořenů jme ak vhodně obešli použiím kriéria abiliy. Grafické vyjádření oblai abiliy je na obr

194 Obla abiliy regulačního obvodu r 5,5 5,4,67,5 4,5,5 5 7,5 r Obr. 6.8-: Obla abiliy regulačního obvodu Obla abiliy éhož obvodu reguláorem ypu P by byla vyjádřena zřejmě úečkou < r < iuace pro r, pro reguláor ypu I úečka < r <,67 řez oblaí pro r. Vyšeřená obla na obr je řezem ložiější 3D oblai abiliy reguláoru ypu PID při nulové derivační ložce. Správno eoreicky vyšeřené oblai abiliy můžeme ověři imulací chéma je na obr a zároveň aké ledova charaker možných průběhů abilních i neabilních regulačních pochodů. Obr : Uzavřený regulační obvod PI reguláorem Průběh regulačního pochodu při paramerech r a r,4 je na obr Je zřejmé, že yo hodnoy koeficienů reguláoru byly zvoleny ak, aby e nacházely ve abilní oblai na obr Nulová hodnoa Hurwizova ubdeerminanu H 3 všude na parabolické čái hranice oblai indikuje exienci ryze imaginárních kořenů charakeriické rovnice oaní kořeny jou v levé polorovině. Siuace při r 4,5 a r 5,4 vrchol paraboly je na obr Regulační obvod je na mezi abiliy, dochází k nelumeným kmiům. Povšimněme i, že obla abiliy zaahuje vou levou čáí do záporných hodno r. To ovšem znamená labou kladnou zpěnou vazbu proporcionální ložky. Dramaicky e ao kuečno projeví je-li r, akovéo eřízení ale nelze doporuči. Důvodem je i fak, že reálné průmylové reguláory záporné hodnoy koeficienů ani neumožňují naavi. 93

195 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Průběh regulačního pochodu při r a r,4 Obr : Průběh regulačního pochodu při r 4,5 a r 5,4 94

196 6.9 Dvoupolohová a řípolohová regulace Dvoupolohová a řípolohová regulace S regulačními obvody nepojiým reguláorem ve zpěné vazbě jme e zcela jiě již mnohokrá ekali. Používají e velmi čao všude am, kde neklademe příliš vyoké nároky na kvaliu regulačních pochodů. Výhodou je jejich jednoducho, polehlivo a zpravidla i nízká cena. Sekáváme e nimi v řadě případů u domácích pořebičů, např. u žehliček, ale i v průmylových aplikacích. Schéma regulačního obvodu nepojiým reguláorem je na obr u G S y e w Obr. 6.9-: Blokové chéma regulačního obvodu nepojiým reguláorem Výupní veličina úředního členu reguláoru akční veličina u nabývá obvykle jen dvou nebo ří hodno zapnuo/vypnuo, přida/ubra/zaavi. Nejjednodušší ypy nepojiých reguláorů bez vniřní zpěné vazby mají jen aický přepínací charaker. Akční veličina u je odvozena od hodnoy regulační odchylky e podle zvolené přepínací charakeriiky reguláoru. Nejčaější iuace jou na obr až u u a u u b e u h e u Obr. 6.9-: Přepínací charakeriiky dvoupolohového reguláoru a neymerické b ymerické hyerezí h Zavedení hyereze h do přepínací charakeriiky reguláoru zamezuje exrémně rychlému přepínání akční veličiny u mezi jejími krajními hodnoami ím i namáhání a opořebení reguláoru a akčního členu v případě regulované ouavy. řádu nebo ouavy malými čaovými konanami. Zlepšení regulačního pochodu je na úkor přenoi regulace, je nuné proo při volbě h vždy voli vhodný kompromi. Maximální hodnoy hyereze, keré lze naavi na průmylově vyráběných reguláorech e pohybují řádově v deeinách až jednokách procen rozahu regulované veličiny na uvedených obrázcích je eno paramer záměrně nadazen. 95

197 Malab & Simulink: řešené příklady u u h e u n Obr : Symerické přepínací charakeriiky řípolohového reguláoru hyerezí h a pámem necilivoi n V případě, že reguláor může akivně půobi na regulovanou veličinu v obou měrech, např. pína běh mooru ervomechanizmu v jednom či druhém měru, je vhodné zavedení páma necilivoi n, keré nám umožní zaavení mooru jeliže e < n /. V opačném případě by muel moor ále běže buď jedním nebo druhým měrem, docházelo by ak k nežádoucímu kmiání regulačního pochodu a neúměrnému zaěžování akčního členu i reguláoru. I v omo případě je nuné hleda vhodný kompromi mezi průběhem regulace a její kvaliou. 96 Obr : Porovnání regulačních pochodů dvoupolohovým a řípolohovým reguláorem

198 Dvoupolohová a řípolohová regulace Naším úkolem bude imulova regulační pochody různými ypy nepojiých reguláorů, uvažováním jejich různých paramerů a regulovanými ouavami různou dynamikou. Zaměříme e na vliv paramerů reguláoru a na přeno a kvaliu regulace. Jednou z možnoí realizace modelu je imulační chéma na obr , keré je eaveno ak, abychom mohli ledova a rovnáva oučaně několik různých regulačních pochodů. První dva imulované případy ve chémau nahoře předavují dva regulační obvody různou dynamikou ouav. V druhém případě ve chémau dole je porovnáván pochod dvoupolohovým a řípolohovým reguláorem. Regulovaná ouava je v omo případě aaická řád aaimu je. Přenoy ouav jou G S, 5 S G, G S3 Je zřejmé, že regulované ouavy e navzájem značně liší vojí dynamikou. Odpovídající přechodové charakeriiky všech ří yémů jou na obr Obr : Přechodové charakeriiky regulovaných ouav Dvoupolohový reguláor v Simulinku vyvoříme pomocí bloku Relay. V bloku zadáme hodnoy pro přepínání akční veličiny Oupu when on a Oupu when off a veliko hyereze h rep. h /, Swich on poin a Swich off poin, viz obr Třípolohový reguláor není v Simulinku přímo k dipozici muíme jej vyvoři pomocí dvou bloků Relay obr Nový blok můžeme zahrnou do ubyému a pomocí makování zajii, aby e při jeho vybrání oevřelo okno, ve kerém lze přímo zada přílušné paramery. Poup při makování ubyému je podrobně vyvělen v [4]. Jakmile je ubyém zamakován, není již možný obvyklý příup k jeho vniřnímu chémau. Úprava ako zamakovaného yému je ale možná, např. volbou z plovoucího menu Look Under Mak příp. pomocí kombinace kláve Crl U. Ikonu bloku lze aké doplni např. o přepínací charakeriiky reguláoru podobně jako u bloku Relay. Přepínací charakeriiky reguláoru můžeme aké zobrazi. Odpovídající chéma, keré jejich vykrelení pomocí bloku XY Graph umožňuje, je na obr , přepínací charakeriika je pak na obr

199 Malab & Simulink: řešené příklady Obr : Zadání paramerů bloku Relay Obr : Okno paramerů a vniřní chéma bloku Tripolohovy regulaor Obr : Schéma pro zobrazení přepínacích aických charakeriik řípolohového reguláoru 98

200 Dvoupolohová a řípolohová regulace Obr : Přepínací charakeriiky řípolohového reguláoru Dynamika regulované ouavy má amozřejmě vliv na průběh regulačního pochodu. Výledky imulace regulačního pochodu při použií dvoupolohového reguláoru pro ouavy G S a G S jou na obr Obr. 6.9-: Porovnání regulačních pochodů dvoupolohovým reguláorem pro ouavy G S a G S Na obrázku 6.9- jou pro porovnání uvedeny regulační pochody dvoupolohovým a řípolohovým reguláorem. Regulovaná ouava je v obou případech ejná výše byla označena jako G S3 a je aaická. Zobrazení výledků je realizováno pomocí peciálního kripu na obr Ukládání jednolivých veličin, v omo případě u a y je prováděno v blocích zobrazovačů Scope. Daa jou ukládána do rukury. Princip jejich náledného zpracování a zobrazení v grafech je zřejmý přímo z uvedeného kripu. Uvedený model regulačního obvodu nepojiými reguláory umožňuje ověřova vliv i jiných ypů regulovaných ouav. Modifikova můžeme jejich řád, aické zeílení, čaové 99

201 Malab & Simulink: řešené příklady konany a lze uvažova i yémy dopravním zpožděním. Dopravní zpoždění modelujeme pomocí bloku Tranpor Delay, kerý zařadíme např. za blok ouavy. Vždy ledujeme přeno regulace a frekvenci přepínání akční veličiny. Obr. 6.9-: Porovnání regulačních pochodů dvoupolohovým reguláorem a řípolohovým reguláorem pro ouavu G S3 Sledova můžeme i vliv nižující e hyereze h, např. v případě regulované ouavy. řádu. Hodnoa hyereze v uvedeném modelu reguláoru muí bý h. Na modelu lze demonrova důvody uměle zaváděné hyereze. Obr. 6.9-: Skrip pro vykrelení výledků imulace Za jiých okolnoí může pámo necilivoi n řípolohového reguláoru způobi uálení regulačního pochodu. Na modelu lze ukáza, v jakých případech k omuo jevu dochází a kdy omu ak není. Zajímavé je aké ledování vlivu páma necilivoi na uálenou hodnou regulační odchylky e, viz obr

202 Čílicové řízení, reguláor PSD 6. Čílicové řízení, reguláor PSD V oučané době překoného rozvoje výpočení echniky a informačních echnologií e ále více proazují v regulační echnice pecializované počíače a celé počíačové yémy. Plní převážně funkci reguláoru, ale oučaně zajišťují mnohdy i další funkce ochranné, ignalizační, vizualizační apod. Výhodou ěcho řešení je relaivně nízká cena, polehlivo, možno propojení do průmylových počíačových íí, komunikace prakicky bez zkrelení informace i na velké vzdálenoi, éměř neomezená ložio řídicích algorimů a možno velmi rychlé změny jejich paramerů. Čílicový počíač pracuje informací ve formě číel, kerou mu pokyuje analogově- -čílicový převodník A/Č A/D, viz obr. 6.-, kerý nímá momenální hodnou pojiého průběhu regulované veličiny y. Pracuje na ejném principu jako např. digiální volmer, kerý převádí pojiý průběh měřeného napěí do číelného varu. Snímání probíhá obvykle v pravidelných čaových okamžicích zv. periodou vzorkování T. Řídicí počíač doává informaci o pojiém průběhu y ve formě číelné poloupnoi yk. Vhodnou hodnou periody vzorkování zíkáme jednoduše ak, že dobu prakického uálení přechodové charakeriiky regulované ouavy regulovaného echnologického proceu rozdělíme na určiý poče dílků. Pokud je však regulovaná ouava např. kmiavá j. má vlaní přirozené frekvence nebo je regulovaná veličina y zaížena nežádoucím šumem, volíme frekvenci vzorkování alepoň dvojnáobnou než je nejvyšší frekvence, kerou chceme vzorkováním zachyi zv. Shannonův či Shannon-Koělnikovův eorém. u Proce y Č/A uk Algorimu řízení A/Č yk ek wk Řídicí počíač Obr. 6.-: Blokové chéma regulačního obvodu řídicím počíačem Numerická hodnoa regulované veličiny yk e porovnává hodnoou řídicí veličiny wk aké v numerickém varu. Regulační odchylka ek je přirozenou mírou neouladu mezi požadavkem a kuečnou hodnoou y v akuálním okamžiku a je poupně po krocích ukládána do regiru počíače, ve kerém je vždy několik arších hodno ek. Algorimu řízení je realizován vhodným programem, kerý z akuální a minulých hodno ek vypočíává akuální hodnou řídicí veličiny uk. Ta je pomocí čílicově-analogového převodníku Č/A D/A převedena na akční veličinu u. Vše, e děje opakovaně v pravidelném aku daném

203 Malab & Simulink: řešené příklady periodou vzorkování T někdy éž hovoříme o periodě nebo kroku řízení. Z logiky věci vyplývá, že akční veličina u je zv. chodová po úecích konanní funkce; mění voji hodnou vždy v okamžiku nového výpoču uk a zůává konanní až do dalšího okamžiku vzorkování, viz obr y u T T 3T 4T 5T yk [] T T uk 3T 4T 5T [] T T 3T 4T 5T [] T T 3T 4T 5T [] Obr. 6.-: Možné průběhy ignálů v regulačním obvodu Reguláor PSD Proporcionálně Sumačně Diferenční je dikréní numerickou varianou pojiého PID reguláoru. Spojiý řídicí algorimu PID reguláoru de u r e r e τ dτ r d je přibližně nahrazen dikréním výpočem v k-ém regulačním kroku v čae k T. Jeliže de e kt e[ k T ] r r d T k e τ dτ r { e T e T T et T L e[ k T ] T} r T e it i r pak k e k T e[ k T ] u kt r e kt r T e it r i T Nevýhodou akovéhoo řídicího algorimu je nuno i pamaova celou hiorii vývoje regulační odchylky ei T. Velmi eleganně lze uo nevýhodu obejí výpočem zv. akčního záahu, změny diference akční veličiny uk T v akuálním k-ém regulačním kroku.

204 Čílicové řízení, reguláor PSD e kde Vypočěme diferenci u k T u k T u[ k T ] r e k T r T r e k T r T Obr. 6.-3: K dikréní náhradě reguláoru e it r e it r { e kt e[ k T ]} T { e[ k T ] e[ k T ]} T r r r e k T r e[ k T ] r T r e[ k T ] T T T b e k T b e[ k T ] b e[ k T ] r r, T b T T 3T k T k T k T k i k i r r T r, T b r b T Náledným přičením vypočené diference k minulé hodnoě akční veličiny u [k T] zíkáme její akuální hodnou u kt u[ k T u k T u k Tako vyvořený rekurzivní algorimu pořebuje k výpoču akční veličiny uk T pouze oučanou a dvě arší hodnoy regulační odchylky ek T, e[k T] a e[k T]. Výpoče je velmi rychlý, bez nároků na paměť počíače. Známe-li eřízení pojiého PID reguláoru, lze velmi nadno naléz při daném regulačním kroku jeho PSD dikréní ekvivalen podle uvedených vzahů. Poznamenejme, že exiují i jiné meody numerické inegrace, než kerou jme použili výše pro náhradu pojiého inegrálu. Zvolíme-li jinou meodu např. lichoběžníkovou aproximaci, přepočení vzahy e poněkud modifikují. Nalezněme nyní čílicovou PS varianu pojiého PI reguláoru regulačního obvodu podle obr Uvažujme regulovanou ouavu popanou přenoem 6 G S Koeficieny PI reguláoru jou r,9 a r. [] 3

205 Malab & Simulink: řešené příklady u G S y G R e w Obr. 6.-4: Blokové chéma regulačního obvodu Pro volbu periody vzorkování T vycházíme z doby prakického uálení přechodové charakeriiky regulované ouavy obr. 6.-5, zde ca 8, zvolme T 8 / 8,. Vzorkovací frekvence ω v π / T π /, π 6,83 rad ~ Hz. h h h doba prakického uálení [] Obr. 6.-5: Přechodová odezva regulované ouavy Podle Shannonova eorému ímo vzorkováním zachyíme frekvence jen maximálně dvakrá pomalejší, edy 5 Hz a nižší. Pokud bychom chěli zachyi frekvence vyšší, muíme voli periodu vzorkování kraší. Podle výše odvozených vzahů vypočeme koeficieny numerického algorimu řízení ím, že v případě reguláoru PI derivační ložka chybí, edy r r r r b r,9, b r T r,,9, 8, b T T T u k T b e k T b e[ k T ] b e[ k T ],9e k T,8e[ k T ] u k T u[ k T ] u k T Pro výpoče akční veličiny uk T v akuálním čae k T je řeba znalo pouze akuální hodnoy regulační odchylky ek T a její hodnoy v předcházejícím kroku e [k T], kerou i muíme vždy pamaova. Algorimu je velmi jednoduchý. Odpovídající imulační chéma v programu Simulink je na obr Je porovnáváno chování pojiého PI reguláoru a dikréního PS reguláoru. Simulační blok Uni Delay / z realizuje dikréní zpoždění informace o jeden krok, blok Zero-Order Hold plní funkci A/Č a Č/A převodníků vzorkovač, varovač. U obou dikréních bloků je nuné naavi periodu vzorkování T,. 4

206 Čílicové řízení, reguláor PSD Obr. 6.-6: Regulační obvod PSD reguláorem Obr. 6.-7: Porovnání průběhů regulované veličiny 5

207 Malab & Simulink: řešené příklady Regulační obvod e pojiým PI i čílicovým PS reguláorem vykazuje velmi podobné chování odpovídající přibližné náhradě pojiého reguláoru, viz obr a Obr. 6.-8: Porovnání průběhů akční veličiny 6. Numerická opimalizace paramerů reguláoru Pokud chceme rozhodnou o om, zda je něco lepší než něco jiného, muíme mí vždy jané měříko, podle kerého kvaliu pouzujeme. V případě regulačních obvodů může bý měříkem kvaliy např. ča uálení regulačního pochodu, rychlo náběhu, veliko překyvu či cena pořebované energie. Čaým požadavkem bývá, aby pochody byly bez kmiavých ložek rozjíždění výahu, brzdění vagonu mera, apod.. Věšinou záleží na charakeru řízeného proceu a na om, co od regulace očekáváme. Čao bývají požadavky proichůdné a je pořeba hleda vhodný kompromi. Důležiou roli mnohdy hraje echnický ci a pouhé ubjekivní poouzení průběhu experem. Velmi rozšířenými, klaickými kriérii v regulační echnice jou zv. inegrální kriéria. Nejčaěji pouzují průběh regulační odchylky e a akční veličiny u. Regulační odchylka je přirozenou krieriální veličinou, kerá vyjadřuje rozdíl mezi požadavkem a kuečnou momenální hodnoou veličiny, kerou regulujeme. Pouzujeme-li kvaliu regulace podle inegrálu regulační odchylky v průběhu celého regulačního pochodu, eoreicky od nuly od okamžiku vupu předpokládané poruchy až do nekonečna je o plocha evřená průběhem e a čaovou oou, mluvíme o zv. lineární regulační ploše. Pokud je krierálním zhodnocením inegrál z kvadráu regulační odchylky, jedná e o zv. kvadraickou regulační plochu. Kvadraická regulační plocha, na rozdíl od lineární, obahuje explicině i podmínky abiliy, její minimalizací zajiíme vždy abiliu obvodu. Rozšířením kriéria o inegrál akční veličiny u zvažujeme i energii pořebnou k realizaci celého regulačního pochodu. Zvyšováním váhy na akční veličinu regulační pochod zpomalujeme a zklidňujeme. 6

208 Numerická opimalizace paramerů reguláoru Vyjádření kvadraického funkcionálu v lineárních případech Parcevalův inegrál není příliš obížné a exiují i analyické proředky pro jeho opimalizaci. To je i jeden z důvodů velké obliby a rozšíření inegrálních kriérií. Nicméně, ve ložiějších případech vyšší řád, rozvěvená rukura regulačního obvodu e ává opimalizační úloha, byť maemaicky velmi zajímavá, bohužel velmi komplikovanou a pracnou. Alernaivou je numerický příup, edy ierační způob opimalizace kriéria. Je o velmi účinný a univerzální nároj, kerý nám umožňuje naléz opimální řešení i velmi ložiých regulačních úloh prakicky libovolným kriériem. Je použielný bez věších problémů i v případě nelineárních obvodů, kdy dříve uvedené analyické příupy zcela elhávají. Numerická ierační opimalizace je univerzálním nárojem, kerý e uplaní nejen při opimalizaci regulačních obvodů, ale v různých varianách i v široké škále echnických aplikací. Všude am, kde je řeba hleda vhodnou kombinaci volielných paramerů ak, aby výledné řešení odpovídalo co nejlépe zvolené podmínce. Meoda je založena na opakovaném ieračním výpoču zadané úlohy různými paramery a výběrem jejich nejlepší kombinace. Jedná e ak ve vé podaě o úlohu hledání exrému funkce více proměnných, pro kerou exiuje v numerické maemaice řada účinných meod implexová, Newonova, gradienní meody, ad. a přirozeně je jimi MATLAB jako andardními procedurami vybaven. Přeože není ierační princip vázán na konkréní program nebo programovací jazyk, ukážeme i jeho aplikaci na konkréním příkladě v proředí MATLAB Simulink. Mějme za úkol naleznou opimální kombinaci paramerů čílicového PS reguláoru ak, abychom minimalizovali hodnou rozšířeného kvadraického kriéria J penalizací akčních záahů. u G S y Č/A uk Reguláor PS A/Č yk ek wk Obr. 6.-: Blokové chéma regulačního obvodu Regulovaná ouava obr. 6.- je definována přenoem 6 G S Algorimu vyváření akční veličiny PS reguláorem byl popán již v kapiole 6. je u kt b e k T b e[ k T ] u k T u[ k T ] u k T 7

209 Malab & Simulink: řešené příklady Rozšířené kvadraické kriérium penalizací akčních záahů je vyjádřeno vzahem K h J e k kt κ u kt J b, b min kde K h předavuje poče kroků regulačního pochodu, ve kerých kriérium pouzujeme zv. krieriální horizon a κ váhu záahů u v kriériu. V našem případě zvolíme K h ak, aby během K h kroků došlo k uálení regulačního pochodu a κ velké, regulace bude pomalejší. Počáeční naavení reguláoru na začáku ieračního výpoču volíme b 4,5 a b 4,5 ekvivalen eřízení Ziegler-Nicholovou meodou kriického zeílení reguláoru, edy ilná zpěná vazba, rychlý kmiavý regulační pochod. Opimalizační proce je založen na polupráci ří programů, keré muí bý umíěny v akuálním adreáři MATLABu. Model regulačního obvodu obr. 6.- op_ps_m.mdl rozšířený o výpoče krieriálního funkcionálu J je opakovaně poušěn v proředí MATLAB Simulink různými paramery reguláoru. Proce je řízen hlavním programem op_ps.m obr. 6.-3, kerý využívá andardní proceduru MATLABu pro hledání exrému funkcí více proměnných. Opimalizovanou funkci definuje krip op_kri.m obr Obr. 6.-: Model regulačního obvodu V bloku To Workpace je nuné naavi paramer Limi daa poin o la na, v bloku Uni Delay a ve vzorkovači a varovači pak naavi periodu vzorkování T,. 8