FUNKCE VE FYZICE. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Miroslava Jarešová Ivo Volf

Transkript

1 FUNKCE VE FYZICE Sudijní ex pro řešiele FO a oaní zájemce o fyziku Mirolava Jarešová Ivo Volf Obah Elemenární funkce na CD ROMu 2 1 Základní pojmy Pojemfunkce Graffunkce Úlohy z kinemaiky 7 Příklad1 ceujícíavlak Cvičení Cvičení Příklad2 nerovnoměrnýpohyb Příklad3 pohybvíhovémpolizemě Cvičení Úlohy na kmiavé pohyby 15 Příklad4 základnígrafykmiavýchpohybů Příklad5 určováníúdajůzgrafu Příklad6 okamžiárychloazrychlení Příklad7 mechanickýociláor Cvičení Cvičení Příklad8 mikaplaelínou Cvičení Limiy Limiapoloupnoi Příklad9 momenervačnoikruhovédeky Limiafunkce Příklad1 pohybkuličkyvevodě Řešení cvičení 27 Lieraura 32 1

2 Elemenární funkce na CD ROMu Mezi základní elemenární funkce řadíme funkce mocninné, exponenciální, logarimické, goniomerické a cyklomerické. Elemenární funkce je pak každá funkce, kerá buď paří mezi základní elemenární funkce, anebo je z nich vyvořena pomocí konečného poču základních algebraických operací nebo vořením ložených funkcí. Elemenární funkce je možné rozčleni podle náledujícího chémau: Algebraické Racionální Polynomické Lineární lomené Iracionální Trancendenní Exponenciální Logarimické Goniomerické Cyklomerické Takové chéma naleznee aké na úvodní ránce přiloženého CD ROMu a jedálerozvedeno.cdromjeoučáíohooudijníhoexuabudevám napomáha ke zopakování vašich poznaků z maemaiky, rozšíření vašich doavadních znaloí z maemaiky, ukáže vám aké užií funkcí ve fyzice a umožní vám modelova někeré vybrané funkce v maemaice a aké modelova řadu fyzikální problémů. Zkráka naší nahou je, aby e CD ROM al vaším neporadaelnýmpomocníkemnejeneď ve2.ročníku,aleipozdějiažidále rozšíříe vé obzory o další poznaky. CD ROM je oučáí ohoo udijního exu enužobahujeoněconáročnějšíúlohynežnajdeenacdromu, abye mohli vé znaloi a dovednoi zíkané udiem pomocí CD ROMu dále rozšíři při vé náledné další práci e udijním exem. CDROMepoušípomocízv.AuoRUNu-j.dojdekjehopušěnípo vložení do CD mechaniky. Pokud bychom chěli CD po předchozím uzavření znovu pui, činíme ak pomocí dvojkliku na ikonu znázorňující CD v okně Teno počíač. CD ROM aké obahuje inalační oubory k inalaci prohlížečů PS a PDF ouborů-yojevhodnéinainalovanapočíač.nacdromujouoiž 2

3 umíěny někeré udijní exy v ěcho dvou formáech louží k doplnění daného émaického celku. KvlanípráciCDROMemjenunémínapočíačinainalovanýprohlížeč Inerne Explorer. Při udiu funkcí pomocí již popiovaného udijního exu CD ROMem je vhodné i před vlaním udiem exu zopakova přílušné čái pomocí CD ROMu jou zde hrnuy základní maemaické poznaky k danému émaickému celku. Sudijní ex je zaměřen především na procvičování vorby grafů funkcí k émaickým celkům pohyby ěle v homogenním íhovém poli Země a kmiavé pohyby řada úloh použiých v omo udijním exu jou různě upravené úlohy z různých ročníků FO za účelem co nejefekivnější práce při vyváření grafů popiujících daný problém. Ovšem vlaní CD ROM oho obahuje podaně více kromě výše uvedeného jou zde zpracovány i další pojmy: anamorfóza grafu, poloupnoi, limia funkce. Vše leduje ješě další cíl: připravi vá na o, abye v budoucnu mohli lépe zvládnou další udijní exy zaměřené na užií diferenciálního a inegrálního poču ve fyzice. Při vlaním udiu úloh ze udijního exu doporučujeme i nejprve amoaně eroji grafy funkcí u řešených úloh a pak eprve začí řeši omu odpovídající cvičení. Věšinu erojených grafů je aké možno modelova pomocí programů na CD ROMu. Přejeme hodně úpěchů při vorbě grafů funkcí a příjemnou práci CD ROMem. 3

4 1 Základní pojmy 1.1 Pojem funkce V echnice, ve fyzice, v přírodních vědách a maemaice ná nezajímají pouze změny jedné veličiny amoné, nýbrž záviloi mezi několika proměnnými veličinami. V nejjednodušším případě, kerým e budeme zabýva v omo exu, pracujeme e závilomi mezi dvěma proměnnými. Např. je-li dráha, kerou urazí ěleo padající volným pádem za ča, můžeme pá = 1 2 g2. (1) Rovnice(1) určuje závilo mezi a. Předavme i, že ná bude zajíma délka dráhy, kerou proběhne ěleo za 1 ekund.poomzaproměnnou doadímehodnou 1 avypočemeomu přílušející dráhu. Charaker změny proměnné veličiny e liší od charakeru změny proměnné. Veličina, jejíž číelnou hodnou je možno libovolně voli, e nazývá nezávile proměnná(argumen). Proměnná, kerá nabývá určiých číelných hodno nezávile na argumenu, e nazývá závile proměnná funkce. Nyní ná bude zajíma obrácená úloha, j. budeme e zabýva úlohou, za jakou dobu urazí ěleo určiou zvolenou dráhu. Vzah odpovídající éo iuaci doaneme, vyjádříme-li neznámou ze vzorce(1), j. 2 = g. (2) Je vidě, že v omo případě i proměnná a navzájem vyměnily role: argumenem je nyní proměnná a funkcí proměnná. Kerou z proměnných v dané funkční záviloi budeme považova za argumen a kerou za funkci, je zcela jednoznačně určeno podmínkami úlohy. Je-li např. v nějaké nádobě uzavřen ideální plyn pod lakem píu, poom mezi lakem p a objemem V plynu exiuje závilo pv = kon. Pokud e bude podle podmínek úlohy jevi p jako nezávile proměnná, můžeme pá V= kon.. p 4

5 Jeudížobjem V funkcílaku p. Na základě výše uvedených příkladů můžeme nyní napa definici pojmu funkce: Proměnná veličina y e nazývá funkcí nezávile proměnné veličiny x, jeliže každé hodnoě veličiny x odpovídá jedna určiá hodnoy veličiny y. Nechťjedánafunkcef: y = f(x).množinuhodno,kerýchmůženabývaproměnná x,nazývámedefiničníoborfunkce f,značíme D(f).Množinu hodno, kerých nabývá proměnná y, nazýváme obor hodno funkce H(f). Poznámka Definice funkce nic neříká o způobu, jímž je anovena závilo mezi funkcemiaargumeny.tyozpůobymohoubýrozmanié,myevomoexu budeme zabýva především případy, kdy je funkce dána vzorcem. V přírodních vědách a v echnice e čao ekáváme případy, kdy závilo mezi funkcí a argumenem není určena vzorcem, ale pokuem. Pak vyjadřujeme vzah mezi funkcí a argumenem užiím abulky, ale někdy e nažíme eavi vzorec, vyjadřující funkční závilo přibližně pomocí zv. empirického vzorce. Mío empirického vzorce je někdy vhodnější vyjádři funkční závilo v přibližném grafu. Hiorická poznámka Slovo funkce poprvé použili německý maemaik G. V. Leibniz( ) a švýcarký maemaik Jakob Bernoulli( ). Pojem funkce jako pravidla daného určiým počem počeních výkonů, keré je nuno prové nezávile proměnnou x, abychom doali závile proměnnou y,zavedlivprvnípolovině18.oleíj.bernoulli(1718)al.euler(1748). L.Euler( )mimojinépodalyemaickývýkladofunkcíchaznačil jejižymbolem f(x). 5

6 1.2 Graf funkce Graf funkce obvykle erojujeme v karézké ouavě ouřadnic O(x, y), kerá je vořena dvěma k obě kolmými orienovanými ouřadnicovými oami x, y. Vkarézkéouavěouřadnicodpovídákaždéupořádanédvojici[x,y ]jedinýbod A oouřadnicích A =[x,y ],kerýerojímeak,ženaoe x vyznačímeouřadnici x,naoe yvyznačímeouřadnici y.vyznačenýmibody vedeme rovnoběžky oami ouřadnic a pak průečík ěcho přímek vyznačuje polohu A. Je-lidánapojiáfunkce y= f(x),pakgraféofunkceerojímeak,že vypočeme abulku funkčních hodno y pro vhodně zvolené hodnoy proměnné x, edy abulku x x 1 x 2 x 3 x 4... y y 1 y 2 y 3 y 4... upořádanédvojicehodno[x,y]považujemezaouřadnicebodů A 1 = =[x 1,y 1 ], A 2 =[x 2,y 2 ],...,kerévyznačímevkarézkéouavěouřadnic, vyznačenébody A 1, A 2,...pojímeouvilou(pojiou)čarou,keráje grafickým znázorněním funkce y = f(x). Ne vždy je nuné grafy funkcí erojova akovýmo pracným způobem, ale exiuje řada možnoí, jak eroji graf požadované funkce podaně efekivnějším způobem, což i i dále v omo udijním exu ukážeme. Funkce je možno rozčleni na zv. elemenární funkce a z ěch pak vyváře funkce ložiější. Too členění a další informace o ěcho funkcích a jejich užií je zpracováno na přiloženém CD ROMu. 6

7 2 Úlohy z kinemaiky Před vlaním erojováním grafů je řeba i eudova a procviči přílušné pariepomocíúlohnacdromu. Příklad1 ceujícíavlak (Náměemjeúlohaze17.ročníkuFO) Neukázněnýceujícíběžírychloí v=6m 1,abynaoupildopoledního vagónu vlaku, kerý je na náupiši připraven k odjezdu. V okamžiku, kdy ceujícíjevevzdálenoi d 1 =2moddveřípoledníhovagónu,začneevlak rozjížděeálýmzrychlením a=1m 2. a)určeedráhu 1 ceujícíhoadráhu 2 vlakujakofunkcečau.seroje oba grafy do jednoho obrázku. Z grafů rozhodněe, zda ceující dohonil polední vagón vlaku. b) Určee vzdáleno d ceujícího od dveří poledního vagónu vlaku jako funkcičau.serojegraffunkce d=f(). Řešení a)označíme 1 dráhu,kerouurazíceující, 2 dráhuvlakuvzáviloi načae.počáekouavyouřadnicumíímedovzdálenoi d 1,vekerée nachází ceující v okamžiku, kdy e vlak začíná rozjíždě. Plaí 1 = v, 2 = d a2 1. Konkréně můžeme pá pro číelné hodnoy 1 =6, 2 =2+,5 2. Kerojenígrafuprodráhu 2 jenunéerojiabulku(proveďeiami) viz grafy kvadraických funkcí na CD ROMu. Grafprodráhu 1 jepřímkaprocházejícípočákemanějakýmdalšímbodem,jehožouřadniceiopědopočěe vizgraflineárnífunkcenacdromu. Znížeuvedenéhografujevidě,žeceujícíbudenejblíževlakuvčaeai 6odokamžiku,kdyevlakzačalrozjíždě. 7

8 1, 2 m 5 2 =2+,5 2 1 = Obr.1Grafzáviloidrah 1, 2načae Počení řešení: hledáme průečík přímky a paraboly. 1 = 2 6 = 2+, = Doali jme kvadraickou rovnici, kerá má záporný dikriminan D <. To znamená, že počení řešení povrzuje právno grafického řešení. Ceující polední vagón vlaku nedohonil. b) Budeme hleda, kdy je vzdáleno d mezi ceujícím a dveřmi poledního vagónu nejmenší. Plaí d = 2 1 d = d a2 v 1 d =, Před erojením grafu i vyvoře abulku hodno ak, abye pak mohli níže uvedený graf amoaně eroji. 8

9 2 d m Obr.2Grafzáviloi dnačae d=d() Zgrafujemožnoodečí,ženejmenšívzdáleno d=2mbudevčae =6odmíarozjezduvlaku. O právnoi grafického řešení je možno e převědči počeně. Hledáme ouřadnice vrcholu paraboly d=, Obecněplaí,žeouřadnicevrcholuparaboly [ y= ax 2 +bx+cjoudányvzahem V = b ] b2,c. Po doazení přílušných koeficienů do výše uvedeného 2a 4a vzahu doaneme V=[6;2]. Teno výledek odpovídá výledku zíkanému grafickým řešením. Cvičení 1 Vyřešegrafickyapočeněpředchozíúlohu,bude-li d 1 =1mpřijinaknezměněných podmínkách úlohy. Cvičení 2 Určee nejvěší možnou počáeční vzdáleno d ceujícího od vlaku(v příkladu 1), kdy má ješě ceující šanci dohoni rozjíždějící e vlak. 9

10 Příklad 2 nerovnoměrný pohyb Na obr. 3 je nakrelen graf záviloi rychloi ělea na čae, j. v = v(). a) Určee veliko zrychlení a uraženou dráhu v jednolivých úecích. b) Nakrelee graf záviloi dráhy načae,j. =(). c) Napiše pro jednolivé úeky rovnice jednolivých křivek znázorňujícíchzávilodráhynačaeodpočáku pohybu. 2 1 v m 1 a b Obr. 3 Graf záviloi rychloi na čae c Řešení a)označíme 1, 2, 3 dráhyuraženévjednolivýchúecích,, 1, 2, 3 čayprojednolivéúeky: =, 1 =1, 2 =2, 3 =4. 1.úek: a 1 =2m 2,napočákupohybudráha 1 =, 1 = 1 2 a 1( 1 ) 2 = (1 )2 m=1m. 2.úek: a 2 =m 2,nakonci1.úeku 2 =, 2 = v 2 ( 2 1 )=2 (2 1)m=2m. 3.úek: a 3 = 1m 1,nakonci2.úeku 3 =, 3 = v 2 ( 3 2 )+ 1 2 a 3( 3 2 ) 2 =[2 (4 2)+ 1 2 ( 1) (4 2)2 ]m=2m. 1

11 c) a: a = 2 ;1 b: b =1+2( 1) b = 1+2 1;2 b) 5 m c: c =2( 2)+ 1 2 ( 1) ( 2) c c = ;4 3 Poznámka Tuočácjemožnoakéřešiužiímpoznakůoparabole =A 2 + B+C. Ze zadání víme: A = 1 2 ; V =[4; 5]. Souřadnice vrcholu paraboly [ jou dány vzahem V= B ] B2 ;C. 2A 4A Porovnáním koeficienů pro ouřadnice vrcholu: 2 1 a 4= B 2A B=4, b Obr.4Grafzáviloidráhynačae Nakonec 5=C B2 C= 3. 4A = ;4. Shrnuí: Pro ;1 = 2, pro 1;2 = 1+2, pro 2;4 = Příklad3 pohybvíhovémpolizemě (Náměemjeúlohaz25.ročníkuFO) Těleoohmonoi mepohybujevilevzhůruvíhovémpolizeměpůobenímažnéílymooruf(f > mg).podobě 1 odzačákupohybudojdek vypnuí mooru. 11

12 a) Popiše pohyb ělea. b) Nakrelee graf výšky h ělea nad jeho počáeční polohou jako funkci čau. Úlohua)řešenejprveobecně,poomprohodnoy: m=1kg, F =15N, 1 =8, g=1m 2.Odporproředízanedbeje. Řešení a)pohyběleajemožnorozložidoříčáí: 1. ; 1 rovnoměrnězrychlenýpohybezrychlením Dále můžeme pá a 1 = F mg m = F m g. ( ) F v 1 = a 1 = m g, h= 1 2 a 1 2 = 1 ( ) F 2 m g 2. V první eapě doáhne ěleo maximální rychloi ( ) ( ) F 15 v 1max = m g 1 = 1 1 8m 1 =4m 1 a maximální výšky h 1 = 1 2 ( ) ( ) F 15 m g 2 1 = m=16m ; 2,kde 2 jedobavýupuěleadomaximálnívýškyceléhopohybu měřená od okamžiku vypnuí mooru. Plaí Vnejvyššímboděje v=: v=v 1max g. =v 1max g 2 2 = v 1max g =4. Maximální výška měřená od mía vypnuí mooru: h 2 = v 1max g2 2= v2 1max 2g =8m. 12

13 Maximální výška, měřená od počáečního mía pohybu je edy H= h 1 + h 2 =24m ; 3.Jednáeovolnýpád,kde 3 jedobavolnéhopáduěleazvýšky H. Plaí 3 = 2H g = 2 24 =6,9. 1 ProokamžiouvýškuěleanadpovrchemZeměvčaovéminervalu 2 ; 3 plaí h=h 1 2 g2. Shrnuí informací o pohybu pořebných pro erojení grafu: 1.úek: h=2,5 2 ;8 2.úek: h=h 1 + v 1max 1 2 g2 = ;12 3.úek: h=h 1 2 g2 = ;18,9 b) Graf záviloi výšky nad povrchem Země jako funkce čau: h m Obr.5Grafzáviloi h=h() 13

14 Cvičení 3 Naobr.6jougrafyznázorňujícíčyřifunkce v=v(),kde vjevelikorychloi pohybu hmoného bodu, je ča. a) Jaké pohyby hmoného bodu znázorňují grafy 1, 2, 3? Odpovědi zdůvodněe(napiše konkréní rovnice záviloí rychloí na čae pro jednolivé případy). b)zapišeobecněrovnicidráhy =()vpřípadech1,2,3,víe-li,žev okamžiku = je dráha nulová. Narýuje přílušné grafy v čaovém inervalu ;4. c)graf4jeparabola.zapišeobecněrovnicirychloipohybu v = v() odpovídající grafu. v m Obr.6Grafzáviloí v=v()

15 3 Úlohy na kmiavé pohyby Při znázorňování kmiavých pohybů e neobejdeme bez důkladných znaloí grafů goniomerických funkcí. Před řešením níže uvedených úloh doporučujeme zopakova i přílušné učivo pomocí CD ROMu, kde jou uvedeny informace, jak pařičné grafy kreli. Pomocí programů na CD ROMu je rovněž možno grafy funkcí modelova. Příklad 4 základní grafy kmiavých pohybů a) Napiše rovnici okamžié výchylky harmonických kmiů v záviloi na čae,je-liampliudavýchylky y m =1cmadobakmiu T=2.Znázorněe grafickyzávilookamžiévýchylkynačae.včae =jeokamžiávýchylka rovna nule. b) Napiše rovnici harmonických kmiů o poloviční ampliudě výchylky, dvojnáobnéfrekvenciapočáečnífázi 3π 2.Iuofunkciznázorněegraficky. Řešení Zopakujme i, že obecně můžeme pá y=y m in(ω+ϕ )=y m in ( ) 2π T +ϕ, kde y m jeampliudakmiavéhopohybu, T jeperioda, ϕ jepočáečnífáze kmiavého pohybu. a)vomopřípaděje 2π T = π, ϕ =.Poom {y}=1inπ{}. y cm Obr.7Graffunkce {y}=1in π{} 15

16 var b)je-li y m = y m 2, f =2fa ϕ = 3π 2,márovniceharmonickýchkmiů ( {y}=5in 2π{} 3π ). 2 Naobr.8jeenografvyznačenilnoučarou. y cm ( Obr.8Graffunkce {y}=5in 2π{} 3π ) 2 Příklad5 určováníúdajůzgrafu Na obr. 9 je znázorněn graf záviloi výchylky harmonického kmiavého pohybu na čae. Určee a) periodu, frekvenci a úhlovou frekvenci ohoo kmiavého pohybu, b) počáeční fázi kmiavého pohybu, c) ampliudu výchylky, d) napiše rovnici výše uvedeného kmiavého pohybu. y m,2,1,2,4,6,8 1, 1,2 1,4,2 Obr.9Graffunkce 16

17 Řešení Doazením do základních vzahů obdržíme a) T=1,2; f= 1 T =,83Hz; ω=2πf=5,24rad 1, b) ϕ = π 6, c) y m =,2m, d) {y}=,2in ( 5,24{}+ π ). 6 Příklad 6 okamžiá rychlo a zrychlení Napiše rovnici rychloi a zrychlení kmiavého pohybu z příkladu 5. Seroje grafyzáviloí v= v(), a=a(). Řešení Plaí v=ωy m co(ω+ϕ ), a= ω 2 y m in(ω+ϕ ), ( {v}=,1co 5,24{}+ π ), 6 ( {a}=,55in 5,24{}+ π ). 6 v m 1,1,2,4,6,8 1, 1,2 1,4,1 Obr. 1 Graf záviloi okamžié rychloi na čae 17

18 a m 2,55,2,4 1,2 1,4,275,55,6,8 1, Obr. 11 Graf záviloi okamžiého zrychlení na čae Příklad 7 mechanický ociláor Mechanickýociláorkmiáperiodou T =2.Určeeampliuduapočáeční fázi kmiů, je-li počáeční výchylka y = 5 cm a počáeční rychlo v = 1m 1.Napišerovnicizáviloi y= y(), v= v(), a=a().seroje grafy výše uvedených záviloí. O právnoi vého výledku e převědče pomocí Modelování nacdromu. Řešení Obecně plaí ω= 2π T = π, y = y m in(ω+ϕ ) v = y m ωco(ω+ϕ ) a = ω 2 y m in(ω+ϕ ). Včae =je y = y m inϕ v = ωy m coϕ a = ω 2 y m inϕ. Dále můžeme pá y v = 1 ω inϕ coϕ 18

19 g ϕ = 2π T y v g ϕ = 2π 2,5 1 ϕ =,5π. Zrovnice y = y m inϕ můžemevyjádři y m = y inϕ. Podoazení y m =,32m. Nakonec {y} {v} {a} =,32 in(π{},5π) =,32 in(π{} +,95π), = π co(π{}+,95π)=1,co(π{}+,95π), = π 2,32in(π{}+,95π)= 3,2in(π{}+,95π). Cvičení 4 Určee frekvenci inuového kmiání hmoného bodu pružiny, jeliže za dobu,1poprojiírovnovážnoupolohouurazí 1 8 celkovédráhykmiu. Cvičení 5 Těleo zavěšené na pružině koná harmonické kmiy. Závilo okamžié rychloi načaejeznázorněnanaobr.12. a)určeeampliuduvýchylky y m,ampliuduzrychlení a m apočáečnífázi. b)napišerovnice,vyjadřujícízáviloi y= y(), v= v(), a=a(). c) Nakrelee grafy funkcí z úlohy b). O právnoi vého poupu e převědčepomocí Modelování nacdromu. v m 1 3, 3,,2,4,6,8 1, 1,2 1,4 Obr. 12 Graf záviloi okamžié rychloi na čae 19

20 Příklad 8 mika plaelínou (Úloha ze 42. ročníku FO) Kouekplaelínyohmonoi15gdopadnezvýšky h=12cmdoředu mikyohmonoi M =12gzavěšenénapružiněuhoi k=12n m 1, kerá má zanedbaelnou hmono. a) Napiše rovnice vyjadřující čaové funkční záviloi y = y(), v = v(), a=a(). b) Seroje grafy funkčních záviloí z úlohy a). Zobraze alepoň dvě periody. Řešení Velikorychloi,ekeroudopadneplaelínanamiku,je v = 2gh.Dojde k nepružnému rázu. Bezproředně po něm e bude mika i plaelínou pohybova počáeční rychloív měrem dolů a začne kmia kolem nové rovnovážnépolohy,kerájenížeo l= mg k.velikopočáečnírychloiurčíme užiím zákona zachování hybnoi: mv =(m+m)v, v = m 2gh M+ m. Kmiy miky plaelínou popíšeme ve vzažné ouavě, jejíž počáek je v nové rovnovážné poloze miky. Počáeční podmínky jou edy: y = l= mg k =,1225m, v = m 2gh M+ m =,852m 1. Úhlová frekvence a perioda kmiů jou: k ω= M+ m =6,67rad 1, T= 2π ω =,942. Ampliudu kmiů určíme užiím zákona zachování energie 1 2 ky2 m =1 2 k y (M+ m)v2, y m = y 2+(M+ m)v2 2hk = y k 1+ g(m+ m) =,177m. Zbývá vypočía ampliudu rychloi, ampliudu zrychlení a počáeční fázi: v m = ωy m =1,18m 1, a m = ω 2 y m =7,87m 2, g ϕ = y = y m inϕ, v = ωy m coϕ g ϕ = y ω, v mg k k M+ m m M+ m 2gh = (M+ m)g, ϕ =136,2 =2,38rad. 2hk 2

21 Čaový průběh kmiů je popán rovnicemi: y= y m in(ω+ϕ ), {y}=,177in(6,67{}+2,38), v= v m co(ω+ϕ ), {v}=1,18co(6,67{}+2,38), a= a m in(ω+ϕ ), {a}= 7,87in(6,67{}+2,38).,1 y m,5 1, 1,5,1 Obr. 13 Graf záviloi okamžié výchylky na čae 1, v m 1,5 1, 1,5 1, Obr. 14 Graf záviloi okamžié rychloi na čae a m 2 4,,5 1, 1,5 4, Obr. 15 Graf záviloi okamžiého zrychlení na čae 21

22 Cvičení 6 Zdanéhografuurčeeampliudu y m,periodu Tapočáečnífázi ϕ kmiavého pohybu.poomnapišerovnicečaovýchzáviloí y= y(), v=v(), a=a(). Určeedáleokamžiouvýchylku,rychloazrychlenípohybuvčaech1,2, 3a4odpočákupohybu. y m Obr. 16 Graf záviloi okamžié výchylky na čae 22

23 4 Limiy Véokapioleezaměřímenaúlohyzfyziky,kdejemožnoeekalimiami. Nejprve i ukážeme na úlohu vedoucí k řešení limiy poloupnoi, poom na úlohu vedoucí na výpoče limiy funkce. Před čebou éo kapioly je vhodné i yo pojmy zopakova podle někeré ze oučaných ředoškolkých učebnic maemaiky nebo užiím přiloženého CD ROMu. Na omo CD ROMu lze rovněž naléz i další fyzikální úlohy vyžadující k právnému řešení znaloi o limiách a poloupnoech. 4.1 Limia poloupnoi Náledující příklad reprezenuje jednu ze kupiny úloh, kde je možno řeši úlohy daného ypu úlohy řešielné užiím vyšší maemaiky pouze pomocí limiy poloupnoi bez užií vyšší maemaiky. K omu, abychom vyřešili náledující úlohu budeme pořebova náledující vzorec pro ouče řeích mocnin přirozených číel. Plaí S= n k 3 = n 3 = 1 4 n2 (n+1) 2. (3) k=1 Teno vzah je možno naléz v maemaických abulkách, odvození e provádí pomocí maemaické indukce a je uvedeno v učebnicích maemaiky. Příklad 9 momen ervačnoi kruhové deky Určee momen ervačnoi homogenní kruhové deky o hmonoi m a poloměru R vzhledem k oe procházející ředem deky kolmo na rovinu deky. Tloušťku deky zanedbeje. Řešení r k 1 O r k R Obr. 22 Výpoče momenu ervačnoi kruhu 23

24 Poloměr kruhu i rozdělíme na n ejně velkých čáí, poom dělícími body povedeme ouředné kružnice. Tím e kruh rozdělí na n mezikruží(obr. 22). Hmono k-ého mezikruží pak určíme užiím vzahu m k = π(r 2 k r2 k 1 ) σ, kde σjeplošnáhuoaavypočemejiužiímvzahu σ= m πr 2. Každé mezikruží nyní budeme považova za hmonou kružnici o poloměru rovnému arimeickému průměru krajních poloh mezikruží. Označíme-li r k = R n k, r k 1= R (k 1), n pak pro momen ervačnoi k-ého mezikruží můžeme pá J k = π(r 2 k r2 k 1 )σ ( rk r k 1 2 ) 2 = πσr4 4n 2 (2k 1)3. Sečenímdílčíchmomenůervačnoi J k doanemecelkovýmomenervačnoi kruhové deky J(n), kerý e bude kuečné hodnoě blíži ím více, čím bude věší n. Plaí J(n)= n k=1 Použiím vzahu(3) doaneme J k = πσr4 4n 4 n (2k 1) 3. k=1 J(n)= πσr4 4n 4 n2 (2n 2 1)= πσr4 4 (2 1n 2 ). Budeme-liza npoupnědoazovahodnoy1,2,3...,doanemepoloupno J 1 = πσr4, J 2 = πσr , J 3= πσr ,..., J n= J(n). Hledaný momen ervačnoi kruhové deky pak doaneme jako limiu éo poloupnoi, j. πσr4 J= lim J(n)=. n 2 Nakonecješědoadímezpěza σ= m πr 2aobdržímenámdobřeznámývzah pro momen ervačnoi kruhové deky vzhledem k oe kolmé na rovinu kruhu a procházející ředem kruhu J = 1 2 mr2. 24

25 4.2 Limia funkce V éo čái i ukážeme použií limiy funkce jedné reálné proměnné ve vzahu k fyzice. Podrobněji lze čá o limiách funkcí naléz zpracovanou buď na přiloženém CD ROMu(zde i dalšími fyzikálními aplikacemi) nebo v oučaných ředoškolkých učebnicích maemaiky. Limia funkce má velké uplanění při řešení úloh vedoucích k použií vyšší maemaiky.myinynínaúvoduvedemealepoňjednuúlohu,kdeelimiou funkce můžeme eka(další úlohy jou uvedeny na CD ROMu). Příklad1 pohybkuličkyvevodě Kuličkajeponořenadovody,přičemžhuoakuličkyjejenomálověšínež huoa vody. Kuličku z její výchozí polohy puíme nulovou počáeční rychloí. Budeme uvažova, že obékání kuličky je laminární a veliko odporové íly je přímo úměrná první mocnině rychloi, j. F= kv. Na kuličku kromě éo íly ješě půobí íla vzlaková a íhová. Při řešení záviloi rychloi na čae bychom nyní dále mueli eavi přílušnou diferenciální rovnici.povyřešeníéorovnicebychomdoalivzah 1 Určee mezní rychlo kuličky. Řešení v= a k ( 1 e k ). (4) Na pravé raně rovnice(4) je výraz obahující proměnnou. Roe-li nade všechny meze, pak e hodnoa výrazu blíží nule, což můžeme zapa jako Poom edy můžeme pá y=e k lim e k =. a ( v m = lim 1 e k ) = a k k. 1 Popijakeavovaařešiyorovnicejemožnonaléznapř.vpublikaci[6]. 25

26 Na níže uvedeném obrázku uo závilo ješě znázorníme graficky. r k 1 O r k R Obr.22Graffunkce v= a ( ) 1 e k k Poznámka S podobnými iuacemi je ve fyzice možné e eka např. při řešení přechodových dějů v elekrických obvodech. Další úlohy vzahující e k problemaice limi poloupnoí a funkcí je možno i e ručným eoreickým výkladem a přehledem počeních vzahů naléz na přiloženém CD ROMu. 26

27 Řešení cvičení Cvičení 1 1.Počeně:eavímekvadraickourovnici =. Řešením éo kvadraické rovnice jou v omo případě dva kořeny 1 =2, 2 =1. Úlozevyhovujepouzekořen =2. Nyní určíme dráhu odpovídající čau 2 : =12m. Ceujícívomopřípadědohonírozjíždějícíevlakza2odokamžiku,kdy e vlak začal rozjíždě. 2. Graficky: 1, 2 m =6 4 2 =1+, Obr.17Grafzáviloidrah 1, 2načae 27

28 Cvičení 2 1. Počeně: Seavímekvadraickourovnici d 1 =. Požadujeme,aby D.Poommuíplai12 2 8d 1. Řešenímnerovnicedoaneme d 1 18m. Nejvěší možná vzdáleno je 18 m. 2. Graficky: ověříme, že přímka a parabola mají pouze jeden polečný bod. 5 1, 2 m 2 =18+,5 2 1 = Obr.18Grafzáviloidrah 1, 2načae Cvičení 3 a) 1:rovnoměrnýpohyb v= kon.=4m 1 2:rovnoměrnězrychlenýpohyb v=a 2 = 4 3 a 2= 4 3 m 2 3:rovnoměrnězpomalenýpohyb v=6 1 3 a 3= 1 3 m 2. 28

29 b) 1: 1 = v=4, 2: 2 = = 2 3 2, 3: 3 = = Pro erojení grafů v případě 2, 3 i ami vyvoře pařičné abulky hodno. m Obr.19Grafzáviloidrah 1, 2, 3načae c)obecněpro4:parabolaprocházípočákem[;]abodem[3;4], v= k 2,podoazeníouřadnicbodu[3;4]doaneme 4=k 3 3 k= 4 9. Rovniceparabolyedyje v= Cvičení 4 Urazí-lihmonýbodpoprůchodurovnovážnoupolohou 1 8 celkovédráhykmiu, jemožnopá ω= π 6.Dálemůžemepá 2πf,1= π 6 f= 5 6 Hz. 29

30 Cvičení 5 a) v m =3m 1 ; y m = v m ω = v mt 2π m=,57m. T=1,2, ω= 2π T =5,24rad 1, a m = ω 2 y m = ωv m =15,7m 2, ϕ = 7 6 π. b) {y} {v} {a} =,57in (5,24{} 76 ) π, = 3,co (5,24{} 76 ) π, = 15,7in (5,24{} 76 ) π. c) y m,57,2,4,6,8 1, 1,2 1,4,57 15,7 a m 2 Obr. 2 Graf záviloi y = y(),2,4,6,8 1, 1,2 1,4 15,7 Obr.21Grafzáviloi a=a() 3

31 Cvičení 6 T=4; ω= 2π T = π 2 ; ϕ = π 6 ; y m =2m; v m = ωy m = π; a m = ω 2 y m = π2 2. {y} {v} {a} ( π = 2in 2 {}+ π ), 6 ( ) π = πco, = π2 2 in 2 {}+ π 6 ( π 2 {}+ π 6 ). Včae =1: {y}= 3, {v}= π 3 2, {a}= π π2 Včae =2: {y}= 1, {v}= π, {a}= 2 4. Včae =3: {y}= 3 3 3, {v}= 2 π, {a}=π2 4. Včae =4: {y}=1, {v}= π 2, {a}= π

32 Lieraura [1] Košťál, R. a kol: XVII. ročník fyzikální olympiády. SPN, Praha [2] Žampa, K. a kol: XXV. ročník fyzikální olympiády. SPN, Praha [3] Žampa, K. a kol: XXVI. ročník fyzikální olympiády. SPN, Praha 199. [4] Volf, I., Šedivý, P.: 42. ročník fyzikální olympiády. MAFY, Hradec Králové 2. [5] Vybíral, B., Zdeborová, L.: Pohyb ěle vlivem odporových il. MAFY, Hradec Králové 22. [6] Ungerman, Z.: Maemaika a řešení fyzikálních úloh. SPN, Praha 199. [7] Taraov, N., P.: Základy vyšší maemaiky pro průmylové školy. SPN, Praha