Modelování plazmatu. Katedra fyziky, Západočeská univerzita v Plzni, 2016

Transkript

1 Modelování plazmatu Přednášky k předmětu KFY/MPPL Tomáš Kozák Katedra fyziky, Západočeská univerzita v Plzni, 2016

2 Obsah 1 Úvod do modelování plazmatu 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 3 Globální (prostorově průměrované) modely 4 Částicové Monte Carlo simulace 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace

3 1 Úvod do modelování plazmatu 1 Plazma vlastnosti a parametry 2 Fyzikální popis plazmatu Dynamika plazmatu Elektromagnetické pole Interakce částic Zdroje reakčních dat 3 Cvičení 1 Úvod do modelování plazmatu 1 1

4 Modelování plazmatu Řešení komplexní úlohy z fyziky plazmatu. Chceme výpočtem stanovit parametry zkoumaného plazmatu (výboje), např. hustotu, teplotu, koncentraci určitých částic, a jeho interakci s okoĺım, např. tok iontů na substrát, depoziční rychlost apod. Realita je složitá musíme použít správný fyzikální model rozumně zjednodušený popis fyzikální reality. Aplikací známé teorie dostaneme matematický popis problému v podobě diferenciálních rovnic, které numericky řešíme s pomocí počítače. Důležitou součástí modelování je zhodnocení věrohodnosti získaných výsledků. Nejlépe porovnáním s experimentem. Musíme znát slabiny modelu. 1 Úvod do modelování plazmatu 1 2

5 Plazma definice Plazma je ionizovaný plyn skládající se z neutrálních částic (atomů nebo molekul) a volných iontů a elektronů. Volné elektrony a ionty vznikají ionizací. K tomu je potřeba relativně velké množství energie. Ionizační energie částic (ev) Vzácné plyny He 24.6 Ne 21.6 Ar 15.8 Kr 14.0 Plyny H 13.6 O N ev = e/k B (K) = K 293 K = ev Kovy Ti 6.8 Fe 7.9 Cu 7.7 Zn Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 3

6 Plazma parametry Základní fyzikální veličiny charakterizující plazma tlak p(pa) teplota neutrálních částic T (K) teplota iontů a elektronů T i a T e (K) stupeň ionizace n e /n 1 Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 4

7 Plazma parametry Plazma se vyskytuje v různých formách a jeho parametry se liší v rozmezí několika řádů. Debyeova délka škála stínění náboje ( ) ɛ0 k B T 1/2 e (1 1) λ D = e 2 = v th n e ω pe 1 Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 5

8 Plazma vlastnosti V důsledku elektromagnetické interakce nabitých částic (dlouhý dosah) vykazuje plazma tzv. kolektivní chování stínění náboje, elektromagnetické vlny. Kvazineutralita Pro l λ D platí n i n e. Kvazineutralita je narušena bĺızko předmětu vloženého do plazmatu (stěna, elektroda) vzniká příelektrodová oblast o tloušt ce s λ D nebo dochází k ovlivnění vnějším potenciálem Φ T e. 1 Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 6

9 Plazma stupeň ionizace V plazmatu s nízkým stupněm ionizace (weakly ionized), n e /n 10 3, dominují interakce nabitých částic s neutrálními (krátký dosah). Vliv Coulombovské interakce mezi nabitými částicemi lze zanedbat. V plazmatu s vysokým stupněm ionizace (strongly ionized), n e /n 10 3, je potřeba vzít v úvahu Coulombovské srážky mezi nabitými čáticemi. 1 Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 7

10 Přístupy k modelování plazmatu 1 Pohyb částic v elmag. poli + interakce vysvětlení chování plazmatu, velmi nízké tlaky (n e n, λ L) 2 Kinetická teorie statistický přístup (rozdělovací funkce částic) 3 Fluidní přístup, vícesložková tekutina každá částice je lokálně v termodynamické rovnováze (λ L), obvykle máme T e T i T 4 Fluidní přístup, magnetohydrodynamika jednosložková (nabitá) tekutina (T e = T i = T ) 1 Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 8

11 Software pro počítačové simulace Jednotlivé přístupy jsou velmi odlišné neexistuje jeden typ softwaru pro simulaci libovolného plazmatu. Nejvíce rozvinutý je fluidní přístup (zobecnění simulace proudění tekutin, MKP na síti) komerční baĺıky Comsol a CFD-ACE, univerzitně-komerční Plasimo, HPEM. Často kombinovány s Monte Carlo moduly (hybridní simulace). Globální fluidní modely zaměřené na reakční kinetiku v objemu plazmatu GlobalKin, ZDPlasKin. Programy využívající částicovou Particle-in-cell metodu komerční VSim, dostupný XOOPIC. Menší univerzitní projekty zaměřené na specifické úlohy (ne self-konzistentní) RSD (reaktivní naprašování), SIMTRA (transport rozprášených atomů, Monte Carlo), BOLSIG (Boltzmannova rovnice pro elektrony). 1 Úvod do modelování plazmatu Plazma vlastnosti a parametry 1 9

12 Fyzikální popis plazmatu Co vše musíme vzít v úvahu při řešení problému z oblasti fyziky plazmatu? Složení plazmatu (více druhů částic) Pohyb částic (v elmag. poli) Elektromagnetické pole Reakce v objemu a na površích 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 10

13 Složení plazmatu Obecně: neutrální částice, ionty, elektrony Příklad: argonové plazma Minimum: Ar, Ar +, e Detailněji: Ar, Ar(4s), Ar(4p), Ar(4d), Ar +, Ar 2, Ar+ 2,e Maximum: desítky hladin Ar (viz srážkově radiační model 1 ) 1 Annemie Bogaerts, Renaat Gijbels a Jaroslav Vlcek. Collisional-radiative model for an argon glow discharge. In: J. Appl. Phys (1998), s issn: doi: / url: 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 11

14 Částicový popis plazmatu Jednotlivé částice plazmatu mají hmostnost m i, náboj q i, polohu r i a hybnost p i. Jejich pohyb vyjadřují Newtonovy pohybové rovnice (1 2) (1 3) dp i dt dr i dt = F = F em + F int = p i m i 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 12

15 Statistický popis plazmatu Rozdělovací funkce ve fázovém prostoru f j (t, x, v) pro částice typu j f j d 3 vd 3 x = počet částic v čase t s polohou x a rychlostí v Koncentrace částic n j (1 4) n j (t, x) = f j (t, x, v)d 3 v Ilustrace fázového prostoru v 1D. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 13

16 Statistický popis plazmatu Boltzmannova rovnice Boltzmannova rovnice (BR) Zákon zachování částic ve fázovém prostoru. (1 5) d dt f j(t, x, v) = k S jk (1 6) f j t + (v x)f j + 1 m j (F j v )f j = k S jk Srážkový integrál S jk zahrnuje všechny binární pružné i nepružné srážky (reakce). 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 14

17 Statistický popis plazmatu Boltzmannova rovnice Praktické poznámky Obecně integro-diferenciální rovnice pro funkci 7 proměnných (čas, poloha, rychlost) pro každý typ částic. Analytické řešení jen ve speciálních případech s omezenou dimenzionalitou. V praxi rozumné jedině numerické řešení. Existují různé varianty zjednodušení rovnice, viz přednáška 2. Nutné řešit BR pokud částice nejsou v termodynamické rovnováze, tj. rozdělovací funkce není maxwellovská, má složitější průběh. To bývá obvykle případ elektronů v nízkoteplotním plazmatu. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 15

18 Kontinuální popis Momenty BR Obecnou rozdělovací funkci lze charakterizovat pomocí momentů n-tého řádu (1 7) µ n = (x c) n f (x)dx. Integrací BR přes rychlost s příslušnou hodnotou n dostaneme rovnice pro momenty rozdělovací fuknce (závislé pouze na čase a souřadnici). Pro přesný popis bychom potřebovali nekonečnou řadu momentů. Je-li rozdělovací funkce lokálně v rovnováze, je rozdělení rychlostí maxwellovské s danou teplotou můžeme se omezit na první tři momenty BR (nultý, první a druhý) tzv. kontiuální (fluidní) přístup. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 16

19 Kontinuální popis Momenty BR Vynásobením BR veličinou φ j a integrací BR přes rychlost dostáváme základní rovnice mechaniky kontinua (zákony zachování). (1 8) f j φ j t d3 v + φ j (v x )f j d 3 v + φj (F j v )f j d 3 v = m j = φ j S jk d 3 v k φ j Rovnice 1 Rovnice kontinuity (ZZ počtu částic) m j Rovnice kontinuity (ZZ hmotnosti) q j ZZ náboje m j v ZZ hybnosti 1 2 m jv 2 ZZ energie 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 17

20 Střední hodnoty veličin integrací rozdělovací funkce Koncentrace částic (1 9) n j (t, x) = f j d 3 v Hustota částic (1 10) ρ j (t, x) = m j f j d 3 v Tok částic (1 11) Γ j (t, x) = n j u j = vf j d 3 v Střední rychlost (1 12) u j (t, x) = 1 n j vf j d 3 v 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 18

21 Rovnice kontinuity (1 13) n j t + (n ju j ) = k R jk (1 14) ρ j t + (ρ ju j ) = m j k R jk Tzv. zdrojoý člen (source term) R jk vyjadřuje rychlost přírůstku (úbytku) částic v důsledku reakcí. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 19

22 Zákon zachování hybnosti (1 15) m j n j [ uj t ] + (u )u = n j F j P j + f c j Tenzor tlaku (1 16) (P j ) αβ = m j (v α u jα )(v β u jβ )f j d 3 v Obvykle bývá zjednodušeno na P j = p j. Vnitřní síly v důsledku srážek (tření) (1 17) f c j = m j v S jk d 3 v k 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 20

23 Zákon zachování energie (1 18) ( ) ( ) 1 1 t 2 ρ juj 2 + e j + 2 ρ juj 2 u j + e j u j + P j u j + q j = = j j E + ε j Energie neuspořádaného pohybu 1 (1 19) e j = 2 m j(v u j )f j d 3 v Změna energie v důsledku srážek (1 20) ε j = j 1 2 m jv 2 S jk d 3 v 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 21

24 Použití částicového / kontinuálního popisu Knudsenovo číslo (1 21) Kn = λ L, L je charakteristický rozměr a λ je střední volná dráha částice. Pro Kn 1 (na škále L velmi moho srážek) dochází rychle k relaxaci rozdělovací funkce f (v) je lokálně bĺızko rovnováhy a lze ji dobře popsat pomocí momentů n, u a T. Pro Kn 1, f (v) není lokálně v rovnováze a je třeba řešit Boltzmannovu rovnici. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 22

25 Elektromagnetické pole Maxwellovy rovnice (1 22) H E = µ 0 t (1 23) H = E ɛ 0 t + J (1 24) ɛ 0 E = ρ (1 25) µ 0 H = 0 kde J je proudová hustota a ρ je hustota náboje. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 23

26 Elektromagnetické pole Často používané předpoklady Konstantní (externí) magnetické pole B Zanedbáme indukované magnetické pole (1 26) E = 0 E = Φ vede na Poissonovu rovnici (1 27) ɛ 0 E = ɛ 0 2 Φ = ρ Na nabité částice působí Loretzova síla (1 28) F = q(e + v B) 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 24

27 Reakce v plazmatu přehled Reakce elektron atom/molekula Typ Varianta Příklad Ionizace atomu e + Ar 2 e + Ar + molekuly + e + O 2 2 e + O 2 disociativní e + O 2 2 e + O + O + (De)excitace elekronických st. e + Ar e + Ar(4s) vibračních st. e + O 2 e + O 2 (v 1 ) Disociace molekuly El. záchyt e + O 2 e + O + O e + O 2 + X O 2 + X e + O 2 O + O Reakce elektron ion Typ Varianta Příklad Rekombinace tříčásticová e + Ar + + X Ar + X disociativní e + O + 2 O + O 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 25

28 Reakce v plazmatu přehled Reakce atomů, molekul a iontů Typ Varianta Příklad Elastická Ar + Ar Ar + Ar Ionizace Penningova Ar * + Ar Ar + + Ar + e Přenos náboje Ar + + Ar Ar + Ar + Disociace O 2 + X O + O + X 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 26

29 Interakce částic mikroskopický popis Interakce částic (reakce) je výsledkem vzájemného silového působení. Z předchozích přednášek znáte interakční potenciály mezi atomy v pevné látce. V plazmatu (zejména nízkotlakém) se obvykle při popisu interakcí omezujeme na binární srážky, tj. v jeden okamžik interagují pouze dvě částice. Interakce neutrálních částic nebo nabité a neutrální částice lze bez problémů považovat za binární interakční potenciál neutrálního atomu omezen jen na rozměr atomu (síly krátkého dosahu) nabitých částic coulombovské síly dlouhého dosahu lze popsat pomocí série několika binárních srážek 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 27

30 Popis binárních srážek Dvě částice s hmotnostmi m 1, m 2 a rychlostmi v 1, v 2. Relativní rychlost v r = v 1 v 2 Relativní energie ε r = 1/2m r v 2 r Redukovaná hmotnost m r = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) Binární srážky rozlišujeme Pružné celková kinetická energie částic se zachovává v r = v r Nepružné část kinetické energie se přemění na vnitřní energii (excitace, ionizace) ε r = ε r ε 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 28

31 Popis binárních srážek Úhel rozptylu Θ je určen parametrem b a interakčním potenciálem působícím mezi částicemi. Pro pružné srážky lze závislost Θ(b) vyjádřit klasicky z rovnic pro pohyb hmotných bodů v interakčním potenciálu. Tento popis dává výsledky v dobré shodě s kvantově-mechanickými výpočty. Pro nepružné srážky musíme vyjít z kvantově-mechanické struktury částic (existence excitovaných stavů). Interakce mají pravděpodobnostní charakter. Dvě částice s danou energíı mohou reagovat různými způsoby existuje několik interakčních kanálů s různou pravděpodobností. Pro popis interakcí částic je proto přirozený pravděpodobnostní popis. Parametr b (má velikost řádově jako rozměr částice) je také statistická veličina. Předpokládáme b U(0, b max ). 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 29

32 Parametry binárních srážek Účinný průřez interakce plocha která způsobuje rozptyl svazku nalétávajících částic. Diferenciální účinný průřez (1 29) σ dif (v r, Θ) = 1 dn Γ d 2 Ωdt Celkový účinný průřez (1 30) σ(v r ) = 2π π 0 σ dif (v r, Θ) sin ΘdΘ 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 30

33 Přenos hybnosti při binární srážce Účinný průřez pro přenos hybnosti (změna hybnosti nalétávající částice) (1 31) σ m (v r ) = 2π π 0 (1 cos Θ)σ dif (v r, Θ) sin ΘdΘ Pro nepružné srážky obvykle nemáme diferenciální účinný průřez, zajímá nás zejména celková pravděpodobnost nepružné srážky. Pak je obvykle brán σ m roven celkovému účinnému průřezu (neboli izotropní rozptyl po nepružné srážce). 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 31

34 Přenos energie při pružné srážce Podíl energie nalétávající částice předané terčové částici při pružné srážce je (1 32) f ε = 2m 1m 2 (m 1 + m 2 ) 2 σ m σ. Pro m 1 m 2, např. pro elektrony a atomy dostaneme (1 33) f ε = 2m 1 m 2 σ m σ. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 32

35 Jednoduché modely pružných srážek Aplikovatelné zejména pro neutrální částice (využíváno v simulacích proudění). Model tvrdých kouĺı (hard sphere) Účinný průřez je konstantní, nezávisí na vzájemné rychlosti částic. (1 34) σ(v r ) = πd 2 12, kde d 12 = 1 2 (d 1 + d 2 ) a d i je průměr částice (koule). Úhel rozptylu (1 35) cos(θ/2) = b/d, b 0; d. To vede na rovnoměrné rozdělení cos(θ). 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 33

36 Jednoduché modely pružných srážek Model proměnných tvrdých kouĺı (variable hard sphere, VHS) Účinný průřez jako u tvrdých kouĺı, ale d se zmenšuje s rostoucí rychlostí ( ) ν (1 36) σ(v r ) = πd 2 vr,ref, d = d ref. v r Index ref značí referenční hodnoty. Tento model zachycuje závislost viskozity tekutiny na teplotě. Úhel rozptylu je stejný jako u tvrdých kouĺı (1 37) cos(θ/2) = b/d, b 0; d. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 34

37 Jednoduché modely pružných srážek Model proměnných měkkých kouĺı (variable soft sphere, VSS) Účinný průřez jako u proměnných tvrdých kouĺı ( ) ν (1 38) σ(v r ) = πd 2 vr,ref, d = d ref. v r Úhel rozptylu závisí na parametru α (1 39) cos(θ/2) = (b/d) α, b 0; d. Pomocí parametru α lze ovlivňovat přenos hybnosti při srážce, α < 1 preferuje rozptyl pod malými úhly. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 35

38 Nepružné srážky U nepružných srážek dochází ke změně vnitřního uspořádání částice, např. excitace, ionizace, záchyt elektronu, apod. Tyto jevy nelze přesně popsat bez kvantové mechaniky. V modelování využíváme se změřené nebo vypočtené účinné průřezy, nejčastěji ve formě tabulkových dat. 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 36

39 Srážkový integrál Srážkový integrál v Boltzmannově rovnici (pro pružnou srážku) v j v j, v k v k v jk = v j v k (1 40) S jk = [fj (v j)f k (v k ) f j(v j )f k (v k ) ] v jk σ dif (v jk, θ)d 2 Ωd 3 v k (1 41) d 2 Ω = sin θdθdϕ 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 37

40 Reakce fluidní popis Při použití fluidního popisu dostáváme na pravé straně rovnice kontinuty rychlost změny koncentrace částic v důsledku srážek reakční rychlost. Reakční rychlost (1 42) R jk = f j (v j )f k (v k )σ jk (v jk )v jk d 3 v j d 3 v k (m 3 s 1 ) Reakční konstanta (1 43) K jk = R jk n j n k (m 3 s 1 ) Reakční konstanty bývají obvykle změřeny pro rovnovážné (Maxwellovo) rozdělení, např. NIST Chemical Kinetics Database 2 pro neutrální částice. Pro použití v modelech s nerovnovážným (ale známým) rozdělením je potřeba reakční konstanty spočítat, viz cvičení 1a přednáška 2. 2 National Institute of Standards and Technology. NIST Chemical Kinetics Database. url: 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 38

41 Reakce kde hledat atomová a chemická data NIST Atomic Spectra Database NIST Chemistry Webbook 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 39

42 Reakce kde hledat účinné průřezy? Databáze účinných průřezů (souhrn z vědeckých článků) LXCat (Plasma Data Exchange Project) NIST Electron-Impact Cross Sections for Ionization and Excitation Compilation of data assembled by Phelps avp/ Atomic and molecular data research center, NIFS, Japan Atomic and molecular data unit, IAEA www-amdis.iaea.org Phys4Entry users.ba.cnr.it/imip/cscpal38/phys4entry/ NIST Chemical Kinetics Database kinetics.nist.gov/kinetics 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 40

43 Reakce kde hledat účinné průřezy? Vědecké články (konkrétní případ) Experiment obvykle malý rozsah hodnot Výpočet přesnost se stále zlepšuje Semiempirické formule, viz přednášky Fyzika plazmatu (J. Vlček) 1 Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 41

44 Reakční konstanty pro Ar plazma Kompilace odvozených reakčních konstant 3 Poznámka: Pozor na interval platnosti fitu. 3 Michael A. Lieberman a Allan J. Lichtenberg. Principles of Plasma Discharges and Materials Processing: Second Edition. New York: Wiley, 2005, s isbn: doi: / Úvod do modelování plazmatu Fyzikální popis plazmatu 1 42

45 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-1 Najděte účinný průřez pro ionizaci Ar elektronem e + Ar 2 e + Ar + Spočtěte rychlostní konstantu reakce v závislosti na teplotě elektronů pro maxwellovské rozdělení 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 43

46 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-1 řešení Z databáze LXCat Phelps Ar Phelps.txt Načtení účinného průřezu do Matlabu loadcrosssection.m Maxwellovská rozdělovací funkce maxwelliandf.m Výpočet reakční konstanty calculaterateconstant.m K = ( f M = 2 ( ) 1 2 m 2 0 ε π(k B T ) 3 σ(ε)ε 1 2 fm (ε)dε ) 1 2 exp ( ε ) k B T 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 44

47 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-1 řešení Účinné průřezy pro reakce elektronu s Ar 4 (1 efektivní přenos hybnosti, 2 celková excitace, 3 ionizace) 4 A V Phelps. A compilation of atomic and molecular data, assembled and evaluated by Phelps and collaborators. url: C. Yamabe, S. J. Buckman a A. V. Phelps. Measurement of free-free emission from low-energy-electron collisions with Ar. In: Phys. Rev. A 27.3 (1983), s issn: doi: /PhysRevA url: 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 45

48 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-1 řešení Vypočtená reakční konstanta pro ionizaci Ar s -1 ) R a te c o n s ta n t (m e + A r > 2 e + A r k T e (e V ) 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 46

49 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-2 Najděte účinné průřezy pro elastickou srážku a přenos náboje Ar + + Ar Ar + + Ar Spočtěte rychlostní konstanty v závislosti na teplotě T = T Ar = T Ar + Poznámka Přenos náboje je významnou reakcí. Symetrický přenos náboje je vlastně elastická srážka, kdy je předána všechna energie mezi částicemi (backscattering). 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 47

50 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-2 řešení Z databáze LXCat Phelps Ar+ Phelps.txt Dvě hypotetické reakce: izotropní pružná srážka a přenos náboje Načtení účinného průřezu do Matlabu loadcrosssection.m Maxwellovská rozdělovací fuknce maxwelliandf.m Výpočet reakční konstanty calculaterateconstant.m ( 2 K = ( f M = 2 m red ) ε π(k B T ) 3 σ(ε)ε 1 2 fm (ε)dε ) 1 2 exp ( ε ) k B T (Pro vzájemnou srážku využita redukovaná hmotnost m red = m Ar /2.) 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 48

51 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-2 řešení Účinné průřezy pro reakci Ar + a Ar 5 (1 zpětný rozptyl (backscattering), 2 izotropní rozptyl (elastic)) 5 A V Phelps. A compilation of atomic and molecular data, assembled and evaluated by Phelps and collaborators. url: A. V. Phelps. The application of scattering cross sections to ion flux models in discharge sheaths. In: J. Appl. Phys (1994), s issn: doi: / Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 49

52 Cvičení reakční konstanty Úloha 1-2 řešení Vypočtené reakční konstanty A r + + A r > A r + + A r s -1 ) R a te c o n s ta n t (m e la s tic b a c k s c a tte rin g T e m p e ra tu re (K ) 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 50

53 Cvičení - střední volná dráha Úloha 1-3 Vyjádřete a vyčíslete střední volnou dráhu elektronu v Ar v závislosti na tlaku Ar pro energii elektronu 10 ev a teplotu Ar 300 K. Vyjádřete a vyčíslete střední volnou dráhu Ar + iontu v Ar v závislosti na tlaku Ar pro teplotu Ar 300 K. 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 51

54 Cvičení - střední volná dráha Úloha 1-3 řešení Elektron o energii ε v Ar o tlaku p λ = 1 nσ t (ε) = k BT pσ t (ε) Pro T = 300 K a σ t m 2 pro energie ev Ionty Ar+ v Ar o tlaku p λ = 4.1 p(pa) (cm) 1 λ = = k BT n σ t T p σ t T Celkový účinný průřez je přibližně konstantní pro široké spektrum energíı, můžeme tedy odhadnout σ t m 2. Pro T = 300 K λ = 0.41 p(pa) (cm) 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 52

55 Cvičení Úloha 1-4 Spočtěte střední energii potřebnou na vytvoření páru ion-elektron. Uvažujte Ar plazma s maxwellovskou rozdělovací funkcí elektronů při zadaném T e. Úloha 1-5 Vyjádřete střední volnou dráhu částice za předpokladu, že s terčovými atomy reaguje dvěma možnými reakcemi s účinnými průřezy σ 1 a σ 2. Úloha 1-6 Vypočtěte pravděpodobnost ionizace rozprášeného atomu Cu s energíı 1 ev prolétávajícího oblast plazmatu širokou 5 cm s koncentrací elektronů m 3 a teplotou elektronů 5 ev. (Účinný průřez pro ionizaci Cu viz Cu Bartlett.txt) 1 Úvod do modelování plazmatu Cvičení 1 53

56 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 1 Popis metody řešení BR 2 Praktické využití řešení BR 3 Cvičení 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 1

57 Motivace Lehké elektrony jsou motorem plazmového výboje. Elektrony jsou urychlovány elektrickým pole, energii ztrácí zejména během nepružných srážek. U nízkoteplotního plazmatu často není rozdělovací funkce elektronů maxwellovská vliv elektrického pole a nepružných srážek. Transportní a reakční konstanty, objevující se ve fluidních modelech, závisejí na rozdělovací funkci elektronů. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 2

58 Určení rozdělovací funkce elektronů Řešení Boltzmannovy rovnice (BR) pro rozdělovací funkci elektronů f (t, x, v) v elektrickém poli. (2 1) f t + (v x)f + e m (E v )f = S c (f ) Srážkový člen S c (f ) závisí jen na koncentraci ostatních částic v plazmatu, ne na jejich rychlosti. Rychlost elektronů je řádově větší než rychlost atomů. Příklad ne-selfkonzistentního výpočtu zkoumáme pouze elektrony ve specifických podmínkách, musíme doplnit informaci o koncentraci ostatních částic a o elektrickém poli. Výsledky můžeme použít v komplexní simulaci. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 3

59 Metody numerického řešení Boltzmannovy rovnice Monte Carlo aproximace rozdělovací funkce souborem částic, transport a srážky metodou Monte Carlo (viz přednáška #4) Analytické zjednodušení BR - two-term approximation (Bolsig+) - multiterm approximation - time-dependent two-term approximation 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 4

60 BOLSIG+ Na následujících slajdech bude popsán princip řešení BR pro elektrony, jak je implementován v programu BOLSIG+ 6. Program je vhodný pro výpočet rozdělovací funkce elektronů a odvozených transportních a reakčních konstant pro použití ve fluidních modelech. 6 Gerjan Hagelaar. Bolsig url: G J M Hagelaar a L C Pitchford. Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models. In: Plasma Sources Sci. Technol (2005), s issn: doi: / /14/4/011. url: //stacks.iop.org/ /14/i=4/a= Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 5

61 Zjednodušující předpoklady Obecné řešení BR je velmi obtížné (6+1 dimenzí), je potřeba provést výrazné zjednodušení použitím vhodných předpokladů: 1 Elektrické pole a srážkové pravděpodobnosti (koncentrace částic) jsou homogenní f je symetrické v rychlosti podle osy z E a mění se v prostoru jen ve směru z. (2 2) f t f + v cos θ z e ( m E cos θ f ) v + sin2 θ f v cos θ 2 Elektrické pole E je stacionární nebo osciluje s vysokou frekvencí. 3 Rovnice (2 2) je rozvinuta v cos θ do řady Legendrových polynomů (sférické ha rmonické funkce) řeší se rovnice pro koeficienty rozvoje. Obvykle se používají pouze první dva členy (two-term approximation). 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 6

62 Aproximace dvěma členy rozvoje (2 3) f (t, z, v, cos θ) = f 0 (t, z, v) + f 1 (t, z, v) cos θ Dvě funkce dvou prostorových proměnných, f 0 je izotropní část, f 1 je anizotropní část. Izotropní část je normalizovaná dle (2 4) 4π kde n je koncentrace elektronů. Dostáváme dvě rovnice pro f 0 a f 1. 0 f 0 v 2 dv = n, 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 7

63 Časová závislost rozdělovací funkce Funkce f nemůže být konstantní v čase i prostoru, nebot některé procesy (ionizace, záchyt) nezachovávají počet elektronů. Koncentrace elektronů se pro zadané podmínky v čase mění v závislosti na rychlosti reakcí. Bolsig+ předpokládá následující rozvoj časové závislosti: (2 5) f 0,1 (t, z, ε) = 1 2πγ 3 F 0,1(ε)n(z, t), kde γ = (2e/m) 1/2 a energie ε = (v/γ) 2 s normalizací (2 6) 0 ε 1 2 F0 dε = 1. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 8

64 Dvě varianty prostoro-časové závislosti koncentrance elektronů Reálná situace je obvykle podobná jedné z následujících zjednodušených variant. 1 Jen časová závislost (2 7) (2 8) n z n t = 0, = nν i = nnγ 0 ( k=iz x k σ k k=at x k σ k ) εf 0 dε, kde N je celková koncentrace atomů (molekul), ν i je frekvence srážek vedoucí na produkci nebo zánik elektronu, x k je molární podíl částice k a σ k je účinný průřez. Dostaneme (2 9) F 1 = E N 1 F 0 σ m ε 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 9

65 Dvě varianty prostoro-časové závislosti koncentrace elektronů 2 Jen prostorová závislost (2 10) n z n (2 11) t = αn = ν i u n, = 0, kde α je Townsendův koeficient a u je střední rychlost. Dostaneme (2 12) F 1 = 1 ( E F 0 σ m N ε + α ) N F 0 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 10

66 Střídavé elektrické pole Předpokládáme časovou závislost elektrického pole (2 13) E(t) = E 0 e iωt Lze použít, pokud změna energie elektronu je malá během jedné periody (2 14) Dostaneme (2 15) F 1 = E 0 N kde q = ω/nγε 1/2. ω N 2m M σ mγε 1/2 σ m iq σ 2 m + q 2 F 0 ε, 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 11

67 Srážkové členy Srážky mění rozložení částic v energiovém prostoru F 0 (ε). pružné srážky nepružné srážky diskrétní změna energie ionizace závisí na dělení energie mezi 2 elektrony (equal sharing nebo zero sharing) záchyt odstraní elektron z rozdělení srážky elektron elektron 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 12

68 Numerické řešení Výsledná rovnice pro F 0 je rovnice konvekce a difuze v energiovém prostoru ( (2 16) W F 0 D F ) 0 = S, ε ε člen S ale není lokální. Numerické řešení využívá dělení na energiové intervaly (1d sít v energiovém prostoru) a diskretizaci (pomocí diferencí). Rovnice je obecně nelineární využívá se iterační algoritmus. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 13

69 Praktické využití Výsledky řešení BR jsou nejčastěji využívány k popisu elektronů a jejich reakcí ve fluidním modelu. Výpočet rozdělovací funkce elektronů Výpočet reakčních konstant z účinného průřezu pro danou rozdělovací funkci Výpočet transportních koeficientů (mobilita, difuze) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 14

70 Využití pro výpočet koeficientů do fluidního modelu Shrnutí kĺıčových předpokladů řešiče BR homogenní elektrické pole homogenní nebo exponenciálně rostoucí hustota elektronů slabá anizotropie (dva členy rozvoje) Ve fluidních modelech se zobecňují výsledky BR na obecnější podmínky v plazmatu. Předpokládáme, že transportní a reakční koeficienty odpovídají řešení BR pro dané lokální hodnoty E/N nebo T e. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 15

71 Koeficienty mobility a difuze Tok elektronů lze vyjádřit jako (2 17) Γ = µne Dn z, kde koeficienty mobility a difuze jsou (2 18) (2 19) µn = γ 3 DN = γ ε F 0 σ m ε dε ε F 0 dε. σ m a Srovnejte se známými vzorci pro maxwellovskou rozdělovací funkci: (2 20) (2 21) µ = e mν m D = k BT e mν m. a 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 16

72 Reakční konstanty Reakční konstanta (m 3 s 1 ) (2 22) k k = γ a rychlost reakce 0 εσ k F 0 dε (2 23) R k = nn k k k = nnx k k k. n koncentrace elektronů, N k koncentrace částic, x k relativní koncentrace částic, N celková koncentrace částic 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 17

73 Využití koeficientů ve fluidním modelu V dané buňce výpočetní sítě známe hodnoty T e jsou řešením zákona zachování energie. Předpokládáme, že rozdělovací funkce elektronů odpovídá stacionárnímu řešení BR vedoucímu k hodnotě T e (local field approximation, LFA). Vyhledáme hodnoty transportních a reakčních konstant pro danou teplotu a použijeme je pro další časový krok v rovnicích kontinuity, ZZ hybnosti a energie. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 18

74 Vstupní soubory Nejlépe stáhnout z databáze LxCat data přímo v požadovaném formátu. Je důležité vědět co nejvíce o použitých reakcích (identifikace cílových stavů). Možné typy reakcí: elastická srážka (ELASTIC) excitace (vibračních i elektronových stavů) (EXCITATION) ionizace (IONIZATION) excitace rotačních stavů (ROTATION) elektronový záchyt (ATTACHMENT) elastická srážka (ELASTIC) Detaily, viz manuál k programu Bolsig+. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 19

75 Vstupní parametry výpočtu E/N nebo Mean energy jedna hodnota nebo série hodnot Pro Maxwellian mean energy je rozdělovací funkce na pevno maxwellovská Pokud je více druhů těžkých částic, je potřeba zadat jejich relativní koncentrace Parametry konvergence a další varianty výpočtu, viz manuál. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 20

76 Započtení vlivu Coulombovských interakcí Zaškrtnutím pole e e collisions, případně e i collisions Nutno zadat stupeň ionizace a hustotu plazmatu Stupeň ionizace hlavní parametr pro výpočet srážek e e a e i Hustota plazmatu má jen malý efekt (výpočet Coulombova logaritmu), stačí řádový odhad 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 21

77 Zpětné reakce EXCITATION Ar <-> Ar* Automatické započtení zpětné reakce (deexcitace) Účinný průřez zpětné reakce dle principu detailní rovnováhy g low εσ(ε) = g high (ε ε)σ inv (ε ε) Parametr 6.0 je statistická váha (g) excitovaného stavu Příklad: Ar Lisbon inv.txt, statistické váhy viz např. Yanguas-Gil(2005) 7 7 Ángel Yanguas-Gil, José Cotrino a Luís L Alves. An update of argon inelastic cross sections for plasma discharges. In: J. Phys. D: Appl. Phys (2005), s issn: doi: / /38/10/014. url: 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 22

78 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 V programu Bolsig+ vypočtěte transportní a reakční konstanty pro reakce elektronu s Ar v závislosti na teplotě elektronů. Předpokládejte maxwellovskou rozdělovací funkci elektronů. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 23

79 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 řešení Reakční konstanty E ffe c tiv e m o m e n tu m tra n s fe r Io n iz a tio n R a te c o n s ta n t (m 3 s -1 ) E x c ita tio n k T e (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 24

80 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 Transportní konstanty V termodynamické rovnováze platí Einsteinův vztah D e = µ e k B T e e T ra n s p o rt c o n s ta n ts D iffu s io n c o e ffic ie n t x N (m -1 s -1 ) M o b ility x N (m -1 V -1 s -1 ) /2 k T e (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 25

81 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-2 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů ve výboji v Ar při konstantním elektrickém poli v závislosti na teplotě elektronů. Předpokládejte nízký stupeň ionizace, tj. zanedbejte vliv srážek e e. Jak se liší rozdělovací funkce od maxwellovské? Jak se liší transportní a reakční konstanty? 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 26

82 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-2 řešení E/N = 4.9 Td = Vm 2 3/2k B T e = 5 ev /2 k T e = 5 e V Rozdělovací funkce není maxwellovská Excitace a ionizace významně ochuzují rozdělovací funkci v energíıch > 12 ev E E D F (e V -3 /2 ) c a lc u la te d m a x w e llia n E n e rg y (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 27

83 Cvičení interakce e e Úloha 2-3 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů ve výboji v Ar v závislosti na stupni ionizace se započtením srážek e e. Jaký vliv mají interakce e e na rozdělovací funkci? 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 28

84 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-3 řešení 3/2k B T e = 5 ev S vyšším stupněm ionizace plazmatu je rozdělovací funkce bĺıže maxwellovské rozdělovací funkci Coulombovské srážky elektronů způsobují termalizaci elektronů relaxaci k rovnovážné rozdělovací funkci E E D F (e V -3 /2 ) /2 k T e = 5 e V E n e rg y (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 29

85 Cvičení Úloha 2-4 Prozkoumejte vliv přítomnosti excitovaných stavů Ar na rozdělovací funkci elektronů při započtení deexcitačních reakcí (Ar Lisbon inv.txt). Úloha 2-5 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů a transportní koeficienty ve výboji v Ar a O 2. Porovnejte získané výsledky. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 30

86 3 Globální (prostorově průměrované) modely 1 Princip globálního modelu 2 Jednoduchý stacionární model 3 Obecný model ZDPlasKin 3 Globální (prostorově průměrované) modely 3 1

87 Motivace Řešení praktických problémů (celý plazmový reaktor) s velkým množstvím typů částic (desítky) je výpočetně náročné. Při použití fluidního popisu jsou tyto problémy ještě realizovatelné, avšak časově náročné. Při použití částicového přístupu jsou již často prakticky nerealizovatelné. Řešením je dramatické zjednodušení prostorových závislostí 0-D model (globální model). Globální modely pak obvykle zahrnují velké množství různých typů částic a zaměřují se na reakční kinetiku výboje. Globální model lze využít jako první aproximaci pro složitější prostorové simulace. 3 Globální (prostorově průměrované) modely 3 2

88 Schéma globálního modelu 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 3

89 Rovnice globálního modelu Globální model je fluidní model pro kontrolní objem. Je sestaven z rovnic popisujících zákon zachování částic a energie v kontrolním objemu. Rovnice získáme integrací zákonů zachování (1 8) přes kontrolní objem. Předpoklady Aplikovatelnost fluidního přístupu (obvykle není problém pro technologické plazma) Rozložení částic v reaktoru (kontr. objemu) je homogenní nebo má definovaný (jednoduchý) stacionární průběh 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 4

90 Bilance částic v globálním modelu Globální zákon zachování částic (3 1) V dn i dt = k F i,k + j R i,j = k Γ i,k A k + j R i,j, kde index k čísluje plochy představující hranici kontrolního objemu a j čísluje reakce v objemu, V je objem kontrolního objemu, F i,k a Γ i,k je tok a hustota toku částic i přes plochu k o velikosti A k ) a R i,j je reakční rychlost reakce j. Poznámka: V této rovnici je n i střední koncentrace částic. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 5

91 Bilance energie v globálním modelu Globální zákon zachování energie (3 2) V d( 3 2 n ik B T i ) dt = P e,i + k Γ e i,k A k + j P i,j, kde Γ e i,k je husota toku energie částice i přes plochu k, P i,j je časová změna energie částic i (výkon) v důsledku srážek j a P e,i je výkon dodaný částicím i z externího zdroje (elektrické pole). 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 6

92 Kĺıčové body sestavení globálního modelu Definice kontrolního objemu Stanovení toků přes hranice kontrolního objemu v závislosti na známých středních hodnotách (n i, T i ) Zahrnutí důležitých objemových a povrchových reakcí Příklad globálního modelu magnetronového výboje se dvěma kontroloními objemy (Zóna I a II) 8 8 Tomáš Kozák a Andrea Dagmar Pajdarová. A non-stationary model for high power impulse magnetron sputtering discharges. In: J. Appl. Phys (2011), s issn: doi: / url: 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 7

93 Prostorové rozložení částic Složitější situace nastává, pokud je prostorové rozložení částic v kontrolním objemu nehomogenní. Využití znalosti průběhu koncentrace částic umožňuje zpřesnit výsledky globálního modelu. Pak je potřeba pracovat se středními nebo maximálními hodnotami veličin a jejich předepsaným profilem (koncentrace, teplota). Obykle se toto zanedbává (vede na složité integrály, zejména při násobení dvou různých profilů), ale je potřeba to mít na paměti při interpretaci výsledků. Příklad: Profil koncentrace nabitých částic mezi dvěma paralelními elektrodami za vysokého tlaku (řešení rovnice difuze s okrajovou podmínkou n = 0) Homogenní koncentrace nepopisuje dobře realitu Tok částic na hranicích oblasti je určen nejen střední hodnotou koncentrace, ale i mechanismem transportu částic 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 8

94 Difuze částic ve válcové geometrii Řešení rovnice difuze pro koncentraci částic n, s okrajovou podmínkou n = 0 (absorbce na stěnách). (3 3) n t D 2 n = 0 Použijeme separaci proměnných n(t, x) = T (t)x (x) (3 4) 1 T T t = D X 2 X = 1 τ 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 9

95 Difuze částic ve válcové geometrii Pro časovou část dostáváme exponenciální pokles koncentrace ( (3 5) T = n 0 exp t ) τ Pro prostorovou část ve válcové geometrii dostaneme (3 6) X = n 0 J 0 (2.405r/R) cos(2πz/l), kde J 0 je Besselova funkce a platí (3 7) 1 Λ 2 = 1 Dτ = R 2 + π2 (L/2) 2, kde Λ je charakteristická difuzní délka. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 10

96 Koeficient ambipolární difuze V kvazineutrálním plazmatu je pohyb iontů a elektronů svázaný (elektrickým polem). Koeficient difuze je stejný pro ionty i elektrony, tzv. ambipolární difuze. (3 8) D a = µ id e + µ e D i µ e + µ i D i ( 1 + T ) e T i Koeficient difuze pro libovolný typ částic (3 9) D = k BT mν m = π 8 λ2 ν m, kde ν m = n g σ m v je frekvence přenosu hybnosti. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 11

97 Toky nabitých částic na stěny Rozumnější okrajová podmínka než n = 0 je n = n s a u = u B na rozhraní plazma sheath. Pak tok na stěnu je Γ = n s u B. Bohmova rychlost ( kte (3 10) u B = m i ) 1 2 Řešíme jen transport v kvazineutrální oblasti plazmatu. Potřebujeme stanovit kocentraci n s v závislosti na n 0. Existují různé modely podle režimu transportu [8]. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 12

98 Toky nabitých částic na stěny Bezesrážkový režim (Collisionless): L < λ i Ionty urychlovány potenciálem plazmatu nejsou bržděny srážkami. Režim proměnné mobility (Variable mobility): L λ i Srážková rychlost iontů je dána u i > v th,i mobilita je nepřímo úměrná rychlosti. Režim difuze (Diffusion): L λ i Driftová rychlost u i v th,i, dominuje difuze (D=konst). 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 13

99 Toky nabitých částic na stěny Heuristické řešení Analytická formule aproximující řešení pro všechny režimy (3 11) (3 12) h L = n(l/2) n(0) 0.86 [3 + L/2λ i + (0.86Lu B /πd a ) 2 ] 1/2 h R = n(r) n(0) 0.8 [4 + R/λ i + (0.8Ru B /1.25D a ) 2 ] 1/2 3 Globální (prostorově průměrované) modely Princip globálního modelu 3 14

100 Jednoduchý stacionární model Definice modelu Elektropozitivní stacionární plazma ve válcovém objemu - průměr D = 2R, délka L Částice: e, Ar, Ar + - kvazineutrální: n e = n i = n 0 Reakce: Ionizace, Excitace, Elastické srážky (e + Ar) - K iz, K ex, K el Homogenní kocentrace v objemu - toky na stěny pomocí faktorů h L, h R Model sestává z bilance částic a energie pro válcový objem plazmatu. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Jednoduchý stacionární model 3 15

101 Jednoduchý stacionární model bilance částic Ve stacionárním stavu je rychlost vzniku částic ionizací rovna rychlosti ztrát na stěnách (3 13) n 0 u B A eff = K iz n g n 0 V, kde efektivní plocha stěn bere v úvahu koncentraci plazmatu na stěnách (3 14) A eff = 2πR 2 h L + 2πRLh R. Koncentrace n 0 se vykrátí a dostaneme (3 15) K iz (T e ) u B (T e ) = A eff n g V. n g koncentrace pracovního plynu n 0 koncentrace plazmatu V πr 2 L K iz reakční konstanta ionizace Z bilance částic stanovíme teplotu elektronů. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Jednoduchý stacionární model 3 16

102 Jednoduchý stacionární model bilance energie Ve stacionárním stavu je celkový absorbovaný výkon (ionty a elektrony) roven energetickým ztrátám v objemu a na stěnách. (3 16) P abs = Vn g n 0 (K iz ε iz + K ex ε ex + K el ε el ) + n 0 u B A eff (ε i + ε e ). Zavedeme ztrátu energie na jeden nový pár ion elektron (3 17) ε c = (K iz ε iz + K ex ε ex + K el 3m e m g k B T e )/K iz. Dostaneme (3 18) P abs = n 0 u B A eff (ε c + ε e + ε i ). Z bilance energie stanovíme kocentraci plazmatu. n g n 0 koncentrace pracovního plynu koncentrace plazmatu V πr 2 L K reakční konstanta ε střední energie 3 Globální (prostorově průměrované) modely Jednoduchý stacionární model 3 17

103 Jednoduchý stacionární model bilance energie Ztráta energie při dopadu na stěny Pro Maxwellovské elektrony platí ε e = 2k B T e. Pro ionty ε i = k B T e /2 + qu s. energie získaná potenciálem plazmatu energie získaná potenciálem sheathu Typ okrajové podmínky Floating DC sym. RF asym. RF U s ( ) mg 1/2 k B T e ln 2πm e U dc 0.4U rf 0.8U rf 3 Globální (prostorově průměrované) modely Jednoduchý stacionární model 3 18

104 Jednoduchý stacionární model příklad Implementace modelu, viz stacmodel.m D = 2 cm, L = 10 cm floating potenciál na všech stěnách p = 10 Pa P abs = 100 W data Ar Phelps rates.mat spočtena z Ar Phelps.txt Výsledky T e = 2.1 ev n 0 = m 3 n 0 /n g = Globální (prostorově průměrované) modely Jednoduchý stacionární model 3 19

105 Obecný nestacionární model shrnutí V obecném nestacionárním modelu pro N různých typů částic máme N bilancí částic, viz rovnice (3 1) pro n i Bilance energie, viz rovnice (3 2) pro T i - V termodynamické rovnováze stačí celková bilance energie pro T - V nerovnovážném plazmatu rovnice pro jednotlivé skupiny částic v rovnováze (elektrony, ionty, neutrály). U nízkotlakého plazmatu většinu energie absorbují elektrony, pak stačí pouze 1 rovnice pro T e Počáteční podmínky Vzniklá soustava ODR se řeší numericky. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 20

106 Program ZDPlasKin Zero-dimensional Plasma Kinetics solver 9 Řešení reakční kinetiky v oblasti o konstantním objemu časový vývoj koncentrací částic Propojeno s Bolsig+ automaticky zahrnuto řešení výpočet reakčních konstant pro reakce elektronů Desítky typů částic, stovky reakcí Čitelný vstupní soubor Vyžaduje naprogramování krátkého hlavního programu definice vstupních parametrů, průběh výpočtu, výstupy (jazyk Fortran) 9 Sergey Pancheshnyi. ZDPlasKin url: 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 21

107 ZDPlasKin struktura 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 22

108 ZDPlasKin rovnice - bilance částic - reakční rovnice - reakční rychlost - bilance energie těžkých částic Z řešení BR získáme i celkový výkon ztracený při srážkách elektronů. Program neřeší explicitně povrchové reakce a jejich bilanci energie. Změny počtu částic v důsledku povrchových reakcí je možno započítat pomocí objemových reakcí. Primárním vstupem je opět E/N. Program sám neřeší elektrické pole. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 23

109 ZDPlasKin vstupní soubor # # TWO-REACTION TEST CASE # INPUT DATA FILE # ZDPLASKIN # # This test case corresponds to an Ar plasma consisting of electrons, atomic # ions, and neutrals. The charged particles are supposed to be generated by # direct electron impact ionization and lost by 3-body recombination. # ELEMENTS e Ar END SPECIES e Ar Ar^+ END Výčet prvků Výčet druhů částic (složených z výše uvedených prvků) BOLSIG Ar Výčet druhů částic braných v úvahu při řešení BR set electron collisions 1.0D-3 Od jakého stupně ionizace zaponout interakce e e set dbfile MYDB.DAT Název souboru s účinnými průřezy END REACTIONS Výčet reakcí e + Ar => e + e + Ar^+! Bolsig Ar->Ar^+ Reakční konstanta vypočtená řešičem BR e + Ar^+ + Ar => Ar + Ar! 1.0d-25 Reakční konstanta zadaná výrazem END 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 24

110 Možnosti zápisu reakcí Lze využít standardních matematických funkcí Fortranu a definovaných proměnných Te (teplota elektronů v K) a Tgas (teplota těžkých částic v K). Řádky uvozené $ jsou přímo zkopírovány do zdrojového kódu. Lze je využít pro definici vlastních funkcí a proměnných. REACTIONS $ use globaldata $ real::rate1,rate2 $ rate1=0.1*totalarea $ rate2=myfunction(te) E + CO2 => CO2 + E! BOLSIG+ ELASTIC_CO2 E + CO2 => E + CO2(E1)! BOLSIG+ CO2 -> CO2(E1) E + O3 + ANY_NEUTRAL => O3^- + ANY_NEUTRAL! 5.39E-29*Te**(-0.5) O + CO2 => CO + O2! 2.80E-11*exp(-26.5e3/Tgas) C + CO2 => CO + CO! 1.00E-15 O2(E1) => O2! 2.6e-4 END Rychlost reakce je vždy dána reakční konstantou koncentrací všech reaktantů! Pozor na jednotky u reakčních konstant rozměry v cm, teploty v K. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 25

111 Párování reakcí s Bolsig+ Novější verze dat z databáze LxCat obsahuje v hlavičce reakce více informací, včetně parametru PROCESS: EXCITATION Ar -> Ar(4s[3/2]2) e+1 SPECIES: e / Ar PROCESS: E + Ar -> E + Ar(4s[3/2]2), Excitation PARAM.: E = ev, complete set COMMENT: Khakoo M A et al 2004 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys UPDATED: :43:49 COLUMNS: Energy (ev) Cross section (m2) Tento proces bude správně spárován s reakcí uvedenou takto E + AR => E + AR! BOLSIG+ E + Ar -> E + Ar(4s[3/2]2), Excitation Kĺıčový řetězec pro spárování reakce je právě parametr PROCESS. Pokud není v souboru přítomen, pak se reakce vyhledává podle druhého řádku v hlavičce reakce, pak je třeba zapsat reakci jako E + AR => E + AR! BOLSIG+ Ar -> Ar(4s[3/2]2) 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 26

112 Program ZDPlasma Program pro řešení globálního modelu plazmatu využívající modul ZDPlaskin. Program navíc zahrnuje Definici parametrů globálního modelu a jejich načtení. Načtení počátečních a okrajových podmínek. Načtení časového průběhu výkonu dodaného do plazmatu. Řešení časového vývoje systému s využitím funkcí modulu ZDPlasKin. Výpis koncentrací částic a parametrů plazmatu ve stanovených intervalech. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 27

113 ZDPlasma bilance energie Program ZDPlasKin vyžaduje zadání E/N, ze kterého se spočte rozdělovací funkce elektronů a reakční konstanty. Pro praktické využití globálního modelu je užitečnější možnost zadat celkový absorbovaný výkon (lze lépe změřit než E). Pro konstantní elektrické pole platí (3 19) P = JE eµ e n e E 2 = σ e E 2 Celkový dodaný výkon je spotřebován převážně při srážkách elektronů, P c (z Bolsig+), a při ztrátě elektronů a iontů na površích, P s (je dodáno v hlavním programu). Předpokládáme, že při ztrátě jednoho iontu a elektronu na povrchu ztratíme energii (3 20) ε s = 2k B T e + 1/2k B T e + qu s, kde U s je napětí na příelektrodové oblasti, viz jednoduchý globální model výše. 10 E/N je během výpočtu nastavováno tak, aby celkový spotřebovaný výkon byl roven předepsanému výkonu. 10 Člen 2kB T e platí přesně jen pro maxwellovské elektrony, ale pro jednoduchost používáme obecně. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 28

114 ZDPlasma reakce na površích ZDPlasKin automaticky kontroluje zákon zachování částic a náboje v reakcích. Pro zavedené povrchových reakcí, kde částice zanikají (typicky rekombinace elektronů a iontů), je potřeba zavést virtuální částice představující částice na površích a vyjádřit rychlost reakce dle zvoleného modelu transportu (např. difuze). (3 21) ( ) dn A s = Γ s dt s V = n A s sv s V Příklad ELEMENTS e Ar END SPECIES e Ar Ar^+ Ar(w)^+ e(w) END REACTIONS $ use globaldata: pressure $ real:: diff_rate $ diffrate = / gas_pressure e => e(w)! diffrate Ar^+ => Ar(w)^+! diffrate END 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 29

115 ZDPlasma příprava výpočtu V adresáři reactions vytvořit zdrojový soubor reakcí [nazev].inp Při zásadní změně souboru reakcí je dobré zbavit se zkompilovaných modulů (*.mod) v adresáři build make clean V hlavním adresáři zkompilovat program příkazem make REAC_FILE=[nazev] Je vytvořen spustitelný soubor [nazev] Adresářová struktura src zdrojové kódy hlavního programu zdplaskin zdrojové kódy a knihovny ZDPlasKin reactions soubory reakcí ve formátu ZDPlasKin (*.inp) a z nich preprocesorem připravené zdrojové soubory (*.f90) build kompilované objektové soubory 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 30

116 ZDPlasma spuštění výpočtu./[nazev] Soubory vstupních dat musejí být ve stejném adresáři BOLSIGDB.DAT data pro Bolsig+, název souboru musí odpovídat tomu, definovanému v souboru reakcí pomocí set dbfile Soubor musí být velkými písmeny, jinak není nalezen. inputparameters.txt parametry výpočtu inputdensity.txt počáteční koncentrace inputpower.txt průběh dodaného výkonu inputboundary.txt (nepovinné) definice reaktantů pro simulaci povrchových reakcí a napětí 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 31

117 ZDPlasma vstupní soubory inputparameters.txt Soubor ve formátu Fortran namelist může obsahovat následující parametry volume objem plazmatu (cm 3 ) gastemp teplota částic (K) tend délka simulace (s) dt časový krok (s) dtout interval zápisu do výstupních souborů (s) inputen varianta vstupu (.true. zadání E/N,.false. zadání výkonu (defaultně)) Časový krok je potřeba volit dostatečně malý pro rozlišení časových změn v koncentracích záleží na rychlosti reakcí. Typicky bude potřeba dt < 10 6 s. 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 32

118 ZDPlasma vstupní soubory inputdensity.txt Počáteční koncentrace částic v cm 3. Neuvedené částice mají koncentraci cm 3. Formát: [název1] [koncentrace1] Například Ar 1.0e17 Ar^+ 1.0e10 e 1.0e10 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 33

119 ZDPlasma vstupní soubory inputpower.txt nebo inputen.txt Obsahuje tabulku (2 sloupce) hodnot času (s) a příslušných hodnot výkonu (W). Program v každém časovém okamžiku pracuje s hodnotou výkonu získanou lineární interpolaci z této tabulky. Formát: [t1] [t2] [P1] [P2] Například pro konstantní hodnotu výkonu 100 W v čase do 1000 s: e Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 34

120 ZDPlasma vstupní soubory inputboundary.txt Obsahuje seznam typů částic použitých pro zavedení reakcí pro ztrátu iontů na površích. Uvádí se pouze reakce iontů, předpokládá se, že s každým iontem je ztracen i jeden elektron (plazma je kvazineutrální). Název typů částic slouží pro identifikaci těchto reakcí. Energie ztracená při dopadu iontů na povrch je spočtena ze zadané hodnoty napětí (V), viz U s v rovnici (3 20). Druhý sloupec obsahuje T, pokud je povrch vodivý, nebo F, pokud je nevodivý. V případě nevodivého povrchu je napětí rovno potenciálu plovoucí elektrody (hodnota ve třetím sloupci je ignorována). Formát: [název1] [vodivá/nevodivá] [napětí1] Například Ar(t)^+ T Ar(w)^+ F Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 35

121 ZDPlasma výstupní soubory density.txt vývoj koncentrace jednotlivých částic definovaných v reakčním souboru plasma.txt parametry plazmatu (E/N, N, T e, skutečný spotřebovaný výkon) 3 Globální (prostorově průměrované) modely Obecný model ZDPlasKin 3 36

122 4 Částicové Monte Carlo simulace 1 Teorie 2 Aplikace 3 Cvičení 4 Částicové Monte Carlo simulace 4 1

123 Motivace Pro částice mimo termodynamickou rovnováhu a pro Kn = λ/l 1 je potřeba pro přesný popis transportu částic řešit Boltzmannovu rovnici. Pro nízké tlaky a velké střední volné dráhy s velkou rezervou platí λ l int, kde l int je charakteristický dosah interakce mezi částicemi. Platí, že interval interakce je mnohem menší než interval mezi dvěma srážkami částic. Pohyb částic lze rozdělit na pohyb působením vnějšího pole a jednotlivé interakce (srážky) měnící (skokově) rychlost částic. 4 Částicové Monte Carlo simulace 4 2

124 Matematický model diskretizace Rozdělovací funkce částic f (t, r, v) je aproximována souborem N (virtuálních) částic s danou polohou (r i ) a rychlostí (v i ). (4 1) f (t, r, v) = N δ(r i r)δ(v i v) i=1 Jedná se o návrat k diskrétnímu popisu hmoty. V praxi N nemůže odpovídat reálnému počtu částic. Stačí ale podstatně méně simulačních částic k dostatečně přesnému vzorkování rozdělovací funkce a k přesnému výpočtu makroskopických veličin (střední rychlost, energie, apod.). 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 3

125 Varianty částicových Monte Carlo metod Single particle/test particle Částice sledujeme po jedné. Na začátku je částice vygenerována podle určitého rozdělení pravděpobnosti, po skončení je výsledek zaznamenán pro statistické zpracování Multiple test particle Sledujeme celý soubor částic najednou, ale částice mezi sebou neinteragují. Výstupem může být i statistika z celého souboru částic v daném čase. Direct simulation Monte Carlo Sledujeme soubor částic, částice mezi sebou interagují. V každém kroku jsou částice posunuty o stejný časový krok a jsou řešeny statisticky jejich srážky mezi sebou. Využívá se při simulaci proudění za nízkých tlaků. 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 4

126 Příklad transport rozprášených částic 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 5

127 Příklad transport rozprášených částic 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 5

128 Příklad transport rozprášených částic Potřeba řešit vzájemné srážky mezi simulovanými částicemi Pro vyhledávání potenciálních srážkových partnerů je simulační oblast rozdělena na buňky Je potřeba uchovávat a aktualizovat částice nacházející se v dané buňce 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 5

129 Matematický model algoritmus 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 6

130 Vzorkování hustoty pravděpodobnosti V Monte Carlo metodách potřebujeme získat hodnotu veličiny (vzorek), pro kterou známe hustotu pravděpodobnosti, s jakou nabývá veličina různých hodnot. Výběr hodnoty se provádí za pomoci generátoru náhodných čísel. Metody vzorkování hustoty pravděpodobnosti 1 Přímá metoda (Inverze distribuční funkce) 2 Rejection method 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 7

131 Generování náhodných čísel Existují generátory skutečně náhodných čísel, generovaných na základě reálných jevů, např. šum v elektrických obvodech, intervaly rozpady částic. V Počítačových programech se nejčastěji používají generátory pseudonáhodných čísel. Generátor využívá deterministický matematický algoritmus generující sekvenci celých čísel na základě zadaného počátečního nastavení (seed). Ne všechny generátory jsou stejně dobré. Každý generátor se jednou začne opakovat, je potřeba aby tento cyklus byl co nejdelší a zároveň, aby bylo počítání náhodných čísel co nejméně náročné. Programovací jazyky nebo matematický software mají nějakou implementaci generátoru pseudonáhodných čísel. Mezi dobré a hojně používané patří např. Mersenne Twister m-mat/mt/emt.html 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 8

132 Přímá metoda Hledáme vzorek x rozdělovací funkce f (x) a, b. Vypočteme normalizovanou distribuční funkci F (x) (4 2) F (x) = s normalizační podmínkou (4 3) b a x a f (x )dx F (x)dx = 1. Pak pro libovolné x platí F (x) 0, 1 a můžeme přiřadit F (x) = r, kde r je náhodné reálné číslo z intervalu 0, 1. Vzorek x rozdělovací funkce je (4 4) x = F 1 (r). Analyticky lze vyjádřit pouze pro funkce F, pro které lze vyjádřit inverzní funkci. 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 9

133 Rejection method Hledáme vzorek x rozdělovací funkce f (x) a, b. Vypočteme g(x) = f (x)/ max[f (x)]. 1 Pomocí náhodného čísla r 1 vygenerujeme x = a + (b a)r 1 2 Testujeme g(x) < r 2, pokud je splněno, přijmeme x jako náš vzorek, pokud ne, opakujeme znovu bod 1. 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 10

134 Pohyb částic ve vnějším poli Řešení pohybových rovnic částice v intervalu do další interakce. (4 5) (4 6) dv i m i dt dr i dt = q [E(r i ) + v i B(r i )] = v i Pro numerické řešení se využívají obvyklé algoritmy pro řešení ODR (Euler, Verlet, Runge-Kutta) nebo, speciálně pro pohyb v magnetickém poli, Borisův algoritmus. Pro neutrální částice je řešením rovnoměrný pohyb po přímce. (4 7) (4 8) v i (t + t) = v i (t) r i (t + t) = r i (t) + v i (t) t 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 11

135 Výpočet pravděpodobnosti srážky Z definice srážkového členu v Boltzmannově rovnici a definice účinného průřezu vyplývá pravděpodobnost srážky sledované částice v časovém intervalu (0, t) (4 9) P = ν t, kde ν = nσ(v r )v r je frekvence srážek. V případě více možných srážek se srážkové frekvence sčítají (ν 1 + ν ). Musí platit tν 1, jinak bychom mohli za časový krok t propást více srážek. 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 12

136 Výpočet intervalu do srážky Při implementaci metody Test particle je výhodné integrovat pohybové rovnice s proměnným časovým krokem. Musíme vědět, kdy dojde k další srážce. K tomu se používá pravděpodobnostní přístup (metoda Monte Carlo) pomocí generátoru náhodných čísel zvoĺıme interval do následující srážky tak, aby odpovídal pravděpodobnosti srážky sledované částice. Q(t) je pravděpodobnost, že částice (začínající pohyb v čase t = 0) se v intervalu (0, t) nesrazí. Platí (4 10) dq dt = νq. 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 13

137 Výpočet intervalu do srážky Obecným řešením s počáteční podmínkou Q(0)=1 je ( t ) (4 11) Q( t) = exp νdt 0 Pro ν konstantní dostaneme (4 12) Q( t) = exp( ν t) Pravděpodobnost srážky v čase t < t (distribuční funkce) (4 13) P( t) = 1 Q( t). 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 14

138 Výpočet intervalu do srážky Obecný algoritmus 1 Zvoĺıme náhodné číslo r (0, 1) 2 Spočteme t z rovnice (4 14) 1 Q( t) = r 1.0 Pro ν konstantní dostaneme (4 15) t = 1 ln(1 r) ν P r a v d p o d o b n o s t s r á k y, 1 - r r = t = 1 s a s (s ) ν = 1 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 15

139 Výpočet intervalu do srážky Výpočet v případě, kdy ν není konstantní je komplikovaný, viz integrál v (4 12). V praxi se používá null-collision method. Zavedeme maximální konstantní srážkovou frekvenci ν max = max t i ν i(t) a generujeme čas do další srážky podle rovnice (4 15). Algoritmus 1 t min = 1/ν max ln(1 r) 2 P max = 1 exp( ν max t) ( 3 P i = 1 exp ) t 0 νdt 4 Ke srážce i skutečně dojde s pravděpodobností P i /P max 1 (test pomocí dalšího náhodného čísla) 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 16

140 Výpočet pravděpodobnosti srážky DSMC U DSMC metody hledáme počet srážek mezi N virtuálními částicemi (o váze w) ve sledované buňce (V c ). Pravděpodobnost srážky dvou částic je (4 16) P = wσv r t/v c. Tato pravděpodobnost je pro malé t velmi malá. Efektivnější postup je nejdříve stanovit počet srážek nezávisle na rychlosti jednotlivých částic a poté ověřit pro jednotlivé dvojice. 1 Pro každou buňku určit P max = w(σv r ) max t/v c 2 Počet srážek (dvojice částic) je N c = 1 2 N2 P max 3 Pro náhodně vybrané dvojice je pravděpodobnost uskutečnění srážky P/P max 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 17

141 Realizace srážky 1 Určíme úhel rozptylu Θ = f (r) vzorkování diferenciálního účinného průřezu σ dif (v r, Θ) a rovinu srážky (úhel φ = 2πr 2 ) Příklady Pro model pevných kouĺı (HS) cos(θ) = 2r 1 Pro stíněný Coulombovský potenciál (srážka elektron atom) cos(θ) = 1 2r 1 + 8ε(1 r) 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 18

142 Realizace srážky Předpokládáme v 1, v 2, m 1, m 2, definujeme g = v 1 v 2, g = g a g 23 = g2 2 + g Určíme vektor k definující rovinu srážky, např. (4 17) (4 18) (4 19) k 1 = g 23 sin Θ cos φ k 2 = (g 1 g 2 cos φ + gg 3 sin φ) sin Θ g 23 k 3 = (g 1 g 3 cos φ gg 2 sin φ) sin Θ g 23 3 Spočteme rychlosti po srážce (zákon zachování hybnosti a energie) (4 20) (4 21) m 2 v 1 = v 1 (g(1 cos Θ) + k )) m 1 + m 2 m 1 v 2 = v 2 + (g(1 cos Θ) + k )) m 1 + m 2 4 Částicové Monte Carlo simulace Teorie 4 19

143 Simulace transportu elektronů v elektrickém a magnetickém poli Řešení Boltzmannovy rovnice (jiný přístup než Bolsig+) Výpočet mobitity a koeficienty difuze v závistlosti na E/N 4 Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 20

144 Simulace sekundárních elektronů v magnetronovém výboji Výpočet počtu iontů generovaných sekundárními elektrony v magnetickém poli magnetronu Vliv intenzity magnetického pole 4 Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 21

145 Simulace sekundárních elektronů a iontů v magnetronu 4 Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 22

146 Simulace sekundárních elektronů a iontů v magnetronu 4 Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 23

147 Transport atomů v magnetronovém výboji 4 Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 24

148 Využití v hybridních modelech I ve výbojích, které lze dobře (většinově) popsat pomocí fluidního modelu je nutné sledovat energetické částice, např. sekundární elektrony, ionty. Pak mluvíme o hybridním modelu kombinujícím více simulačních metod. Simulace obsahuje periodicky se opakující kroky 1 Monte Carlo transport rychlých částic (elektrony ionty) + prostorové rozložení jejich reakcí 2 Fluidní model transport těžkých částic a pomalých elektronů + elektrické pole Mark J Kushner. Hybrid modelling of low temperature plasmas for fundamental investigations and equipment design. In: J. Phys. D: Appl. Phys (2009), s issn: doi: / /42/19/ url: //stacks.iop.org/ /42/i=19/a= Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 25

149 SIMTRA Simulation of Metal Transport Simulace transportu rozprášených atomů v magnetronovém výboji Předpokládá konstantní koncentraci pracovního plynu v komoře Definice vlastní geometrie komory Výpočet počtu atomů dopadlých na substrát, úhlové a energiové rozdělení atomů 4 Částicové Monte Carlo simulace Aplikace 4 26

150 Cvičení vzorkování rozdělovací funkce Úloha 4-1 Popište postup získání vzorku složky rychlosti v 1 víte-li, že má (jednorozměrnou) maxwellovskou rozdělovací funkcí f (v 1 ) = ( ) 1 ( m 2 exp mv 2 ) 1 2πk B T 2k B T Naprogramujte příslušnou funkci v Matlabu a ověřte její funkci 4 Částicové Monte Carlo simulace Cvičení 4 27

151 Cvičení vzorkování rozdělovací funkce Úloha 4-1 řešení Pro zjednodušení zavedeme β = m/(2k B T ), pak (4 22) f (v 1 ) = (β/π) 1 2 exp( βv 2 1 ). Použijeme přímou metodu. Integrací dostaneme distribuční funkci (4 23) F (v 1 ) = v1 f (v 1)dv 1 = 1 2 [ 1 + erf( ] βv 1 ). Položíme F (v 1 ) = r, kde r je náhodné číslo rovnoměrně rozložené na intervalu (0, 1). (4 24) v 1 = 1 β erf 1 (2r 1) 4 Částicové Monte Carlo simulace Cvičení 4 28

152 Cvičení vzorkování rozdělovací funkce Úloha 4-1 řešení 4 Částicové Monte Carlo simulace Cvičení 4 29

153 Cvičení SIMTRA Úloha 4-2 Seznamte se se softwarem SIMTRA Proved te simulaci transportu rozprášených atomů mědi na substrát při magnetronovém naprašování v Ar atmosféře Prozkoumejte vliv tlaku a vzdálenosti substrátu. 4 Částicové Monte Carlo simulace Cvičení 4 30

154 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace 1 Teorie 2 Aplikace, software 3 Cvičení ukázka programu XOOPIC 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace 5 1

155 Charakteristika metody Řešení Botltzmannovy rovnice pro nabité částice spolu s rovnicemi pro elmag. pole Diskretizace pomocí souboru virtuálních částic (superparticles) stejně jako u DSMC metody Statistický popis interakcí metodou Monte Carlo Řešení elektromagnetického pole - Elektrostatický případ: B konstantní, E z Poissonovy rovnice - Elektromagnetický případ: výpočet E i B Více informací: C K Birdsall. Particle-in-cell charged-particle simulations, plus Monte Carlo collisions with neutral atoms, PIC-MCC. In: IEEE Trans. Plasma Sci (1991), s issn: doi: / C K Birdsall a A B Langdon. Plasma physics via computer simulation. Bristol, Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 2

156 Výpočetní sít Sít se využívá pro výpočet hustoty náboje ρ a proudové hustoty J Nabitá částice v buňce přispívá svým nábojem k okolním uzlům sítě ρ a J vystupují v (Maxwellových) rovnicích pro výpočet E a B Síla působící na nabitou částici se interpoluje z hodnot pole na okolních uzlech sítě 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 3

157 Algoritmus metody 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 4

158 Algoritmus metody Soubor N částic pro každý simulovaný typ (parametry m, q), matice r i a v i Matice ρ j, E j, B j pro uzly sítě Cyklus výpočtu se opakuje s konstantním časovým krokem t Interakce částic mezi sebou nebo s homogenním pozadím jsou řešeny metodou MC stejně jako u Test particle nebo DSMC simulací (viz přednáška 4) 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 5

159 Integrace pohybových rovnic Stejný problém u všech částicových metod (5 1) (5 2) dv i m i dt dr i dt = q [E(r i ) + v i B(r i )] = v i U PIC potřebujeme rychlý algoritmus, časový krok je malý (viz frekvence plazmatu), nároky na pamět relativně vysoké stačí metoda nízkého řádu Například leap-frog method 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 6

160 Řešení rovnic elektroamagnetického pole V elektrostatickém případě pouze Poissonova rovnice (5 3) 2 φ = ρ ɛ 0 Numerické řešení na síti (uzly), lze různými metodami: metoda konečných diferencí, metoda konečných prvků, rychlá Fourierova transformace (FFT). Příklad MKD v 1D (5 4) φ j 1 2φ j + φ j+1 ( x) 2 = ρ j ɛ 0 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 7

161 Vážení částic na uzly sítě Pro výpočet elmag. pole je potřeba přepočítat příspěvky jednotlivých částic na uzly sítě. Nejčastěji se používá lineární vážení na ukolní uzly. Částice jsou vlastně oblaky náboje s rozměrem x. 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 8

162 Interpolace sít ových veličin Probíhá na stejném principu jako vážení náboje na uzly sítě, pouze v opačném směru. Pro lineární interpolaci náboje částic na sít máme (5 5) (5 6) q j = q c X j+1 x i x q j+1 = q c x i X j x a pro zpětnou interpolaci elektrického pole na částice máme (5 7) E(x i ) = X j+1 x i x E j + x i X j E j+1 x 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 9

163 Stabilita a přesnost algoritmu Omezený počet částic v buňce a omezená velikost buňky vede na nepřesnosti numerický šum Šumu se nelze vyhnout, ale musí být rozumně malý požadavky na počet částic v buňce, velikost buňky a časový krok Během simulace se z principu algoritmu nezachovává celková energie částic numerical heating 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 10

164 Stabilita a přesnost algoritmu Algoritmus leap-frog stabilní pro ω t < 2, kde ω je nejvyšší frekvence částic v plazmatu (plazmová frekvence ω pe případně gyrační frekvence ω ce ) Rozumná volba pro minimální kumulaci chyb je (5 8) ω t 0.2 Částice by neměly během jednoho cyklu přeskočit více buněk, to vede na numerické zahřívání (5 9) v i t x 1 Sít musí být dostatečně jemná abychom mohli rozlišit prostorové změny potenciálu (např. příelektrodové oblasti) (5 10) x λ D 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 11

165 Stabilita a přesnost algoritmu Plazmová frekvence ( e 2 ) 1 n 2 e 1/2 (5 11) ω pe = n e ɛ 0 m e Debyeova délka ( ) ɛ0 k B T 1/2 e (5 12) λ De = e 2 ne 1/2 n e Závěr: S rostoucí koncentrací plazmatu výrazně rostou výpočetní nároky (velikost sítě i časový krok). 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Teorie 5 12

166 Příklady využití metody v praxi Studium fundamentálních procesů v plazmatu vlny v plazmatu, nestability Interakce laser-plazma Urychlování elektronů a iontů Ionosféra, plazma ve vesmíru Výboje za sníženého tlaku 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Aplikace, software 5 13

167 Simulace dc magnetronového výboje 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Aplikace, software 5 14

168 Simulace dc magnetronového výboje 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Aplikace, software 5 15

169 Hustota elektronů v magnetronovém výboji 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Aplikace, software 5 16

170 Potenciál plazmatu v magnetronovém výboji 5 Particle in Cell/Monte Carlo simulace Aplikace, software 5 17