1 Popis metody řešení BR. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 1

Transkript

1 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 1 Popis metody řešení BR 2 Praktické využití řešení BR 3 Cvičení 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 1

2 Motivace Lehké elektrony jsou motorem plazmového výboje. Elektrony jsou urychlovány elektrickým pole, energii ztrácí zejména během nepružných srážek. U nízkoteplotního plazmatu často není rozdělovací funkce elektronů maxwellovská vliv elektrického pole a nepružných srážek. Transportní a reakční konstanty, objevující se v kontinuálních modelech, závisejí na rozdělovací funkci elektronů. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 2

3 Určení rozdělovací funkce elektronů Řešení Boltzmannovy rovnice (BR) pro rozdělovací funkci elektronů f (t, x, v) v elektrickém poli. (2 1) f t + (v x)f + e m (E v )f = S c (f ) Srážkový člen S c (f ) závisí jen na koncentraci ostatních částic v plazmatu, ne na jejich rychlosti. Rychlost elektronů je řádově větší než rychlost atomů. Příklad ne-selfkonzistentního výpočtu zkoumáme pouze elektrony ve specifických podmínkách, musíme doplnit informaci o koncentraci ostatních částic a o elektrickém poli. Výsledky můžeme použít v komplexní simulaci. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony 2 3

4 Metody numerického řešení Boltzmannovy rovnice Monte Carlo aproximace rozdělovací funkce souborem částic, transport a srážky metodou Monte Carlo (viz přednáška #4) Analytické zjednodušení BR - two-term approximation (Bolsig+) - multiterm approximation - time-dependent two-term approximation 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 4

5 BOLSIG+ Na následujících slajdech bude popsán princip řešení BR pro elektrony, jak je implementován v programu BOLSIG+ 6. Program je vhodný pro výpočet rozdělovací funkce elektronů a odvozených transportních a reakčních konstant pro použití ve kontinuálních modelech. 6 Gerjan Hagelaar. Bolsig url: G J M Hagelaar a L C Pitchford. Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models. In: Plasma Sources Sci. Technol (2005), s issn: doi: / /14/4/011. url: //stacks.iop.org/ /14/i=4/a= Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 5

6 Zjednodušující předpoklady Obecné řešení BR je velmi obtížné (6+1 dimenzí), je potřeba provést výrazné zjednodušení použitím vhodných předpokladů: 1 Elektrické pole a srážkové pravděpodobnosti (koncentrace částic) jsou homogenní f je symetrické v rychlosti podle osy z E a mění se v prostoru jen ve směru z. (2 2) f t f + v cos θ z e ( m E cos θ f ) v + sin2 θ f v cos θ 2 Elektrické pole E je stacionární nebo osciluje s vysokou frekvencí. 3 Rovnice (2 2) je rozvinuta v cos θ do řady Legendrových polynomů (sférické ha rmonické funkce) řeší se rovnice pro koeficienty rozvoje. Obvykle se používají pouze první dva členy (two-term approximation). 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 6

7 Aproximace dvěma členy rozvoje (2 3) f (t, z, v, cos θ) = f 0 (t, z, v) + f 1 (t, z, v) cos θ Dvě funkce dvou prostorových proměnných, f 0 je izotropní část, f 1 je anizotropní část. Izotropní část je normalizovaná dle (2 4) 4π kde n je koncentrace elektronů. Dostáváme dvě rovnice pro f 0 a f 1. 0 f 0 v 2 dv = n, 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 7

8 Časová závislost rozdělovací funkce Funkce f nemůže být konstantní v čase i prostoru, nebot některé procesy (ionizace, záchyt) nezachovávají počet elektronů. Koncentrace elektronů se pro zadané podmínky v čase mění v závislosti na rychlosti reakcí. Bolsig+ předpokládá následující rozvoj časové závislosti: (2 5) f 0,1 (t, z, ε) = 1 2πγ 3 F 0,1(ε)n(z, t), kde γ = (2e/m) 1/2 a energie ε = (v/γ) 2 s normalizací (2 6) 0 ε 1 2 F0 dε = 1. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 8

9 Dvě varianty prostoro-časové závislosti koncentrance elektronů Reálná situace je obvykle podobná jedné z následujících zjednodušených variant. 1 Jen časová závislost (2 7) (2 8) n z n t = 0, = nν i = nnγ 0 ( k=iz x k σ k k=at x k σ k ) εf 0 dε, kde N je celková koncentrace atomů (molekul), ν i je frekvence srážek vedoucí na produkci nebo zánik elektronu, x k je molární podíl částice k a σ k je účinný průřez. Dostaneme (2 9) F 1 = E N 1 F 0 σ m ε 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 9

10 Dvě varianty prostoro-časové závislosti koncentrace elektronů 2 Jen prostorová závislost (2 10) n z n (2 11) t = αn = ν i u n, = 0, kde α je Townsendův koeficient a u je střední rychlost. Dostaneme (2 12) F 1 = 1 ( E F 0 σ m N ε + α ) N F 0 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 10

11 Střídavé elektrické pole Předpokládáme časovou závislost elektrického pole (2 13) E(t) = E 0 e iωt Lze použít, pokud změna energie elektronu je malá během jedné periody (2 14) Dostaneme (2 15) F 1 = E 0 N kde q = ω/nγε 1/2. ω N 2m M σ mγε 1/2 σ m iq σ 2 m + q 2 F 0 ε, 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 11

12 Srážkové členy Srážky mění rozložení částic v energiovém prostoru F 0 (ε). pružné srážky nepružné srážky diskrétní změna energie ionizace závisí na dělení energie mezi 2 elektrony (equal sharing nebo zero sharing) záchyt odstraní elektron z rozdělení srážky elektron elektron 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 12

13 Numerické řešení Výsledná rovnice pro F 0 je rovnice konvekce a difuze v energiovém prostoru ( (2 16) W F 0 D F ) 0 = S, ε ε člen S ale není lokální. Numerické řešení využívá dělení na energiové intervaly (1d sít v energiovém prostoru) a diskretizaci (pomocí diferencí). Rovnice je obecně nelineární využívá se iterační algoritmus. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Popis metody řešení BR 2 13

14 Praktické využití Výsledky řešení BR jsou nejčastěji využívány k popisu elektronů a jejich reakcí v kontinuálním modelu. Výpočet rozdělovací funkce elektronů Výpočet reakčních konstant z účinného průřezu pro danou rozdělovací funkci Výpočet transportních koeficientů (mobilita, difuze) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 14

15 Využití pro výpočet koeficientů do kontinuálního modelu Shrnutí kĺıčových předpokladů řešiče BR homogenní elektrické pole homogenní nebo exponenciálně rostoucí hustota elektronů slabá anizotropie (dva členy rozvoje) V kontinuálních modelech se zobecňují výsledky BR na obecnější podmínky v plazmatu. Předpokládáme, že transportní a reakční koeficienty odpovídají řešení BR pro dané lokální hodnoty E/N nebo T e. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 15

16 Koeficienty mobility a difuze Tok elektronů lze vyjádřit jako (2 17) Γ = µne Dn z, kde koeficienty mobility a difuze jsou (2 18) (2 19) µn = γ 3 DN = γ ε F 0 σ m ε dε ε F 0 dε. σ m a Srovnejte se známými vzorci pro maxwellovskou rozdělovací funkci: (2 20) (2 21) µ = e mν m D = k BT e mν m. a 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 16

17 Reakční konstanty Reakční konstanta (m 3 s 1 ) (2 22) k k = γ a rychlost reakce 0 εσ k F 0 dε (2 23) R k = nn k k k = nnx k k k. n koncentrace elektronů, N k koncentrace částic, x k relativní koncentrace částic, N celková koncentrace částic 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 17

18 Využití koeficientů v kontinuálním modelu V dané buňce výpočetní sítě známe hodnoty T e jsou řešením zákona zachování energie. Předpokládáme, že rozdělovací funkce elektronů odpovídá stacionárnímu řešení BR vedoucímu k hodnotě T e (local field approximation, LFA). Vyhledáme hodnoty transportních a reakčních konstant pro danou teplotu a použijeme je pro další časový krok v rovnicích kontinuity, ZZ hybnosti a energie. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 18

19 Vstupní soubory Nejlépe stáhnout z databáze LxCat data přímo v požadovaném formátu. Je důležité vědět co nejvíce o použitých reakcích (identifikace cílových stavů). Možné typy reakcí: elastická srážka (ELASTIC) účinný průřez pro přenos hybnosti excitace (vibračních i elektronových stavů) (EXCITATION) ionizace (IONIZATION) excitace rotačních stavů (ROTATION) elektronový záchyt (ATTACHMENT) celkový přenos hybnosti (EFFECTIVE) není jasně definováno, v budoucnu snaha nepoužívat Detaily, viz manuál k programu Bolsig+. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 19

20 Vstupní parametry výpočtu E/N nebo Mean energy jedna hodnota nebo série hodnot Pro Maxwellian mean energy je rozdělovací funkce na pevno maxwellovská Pokud je více druhů těžkých částic, je potřeba zadat jejich relativní koncentrace Parametry konvergence a další varianty výpočtu, viz manuál. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 20

21 Započtení vlivu Coulombovských interakcí Zaškrtnutím pole e e collisions, případně e i collisions Nutno zadat stupeň ionizace a hustotu plazmatu Stupeň ionizace hlavní parametr pro výpočet srážek e e a e i Hustota plazmatu má jen malý efekt (výpočet Coulombova logaritmu), stačí řádový odhad 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 21

22 Zpětné reakce EXCITATION Ar <-> Ar* Automatické započtení zpětné reakce (deexcitace) Účinný průřez zpětné reakce dle principu detailní rovnováhy g low εσ(ε) = g high (ε ε)σ inv (ε ε) Parametr 6.0 je statistická váha (g) excitovaného stavu Příklad: Ar Lisbon inv.txt, statistické váhy viz např. Yanguas-Gil(2005) 7 7 Ángel Yanguas-Gil, José Cotrino a Luís L Alves. An update of argon inelastic cross sections for plasma discharges. In: J. Phys. D: Appl. Phys (2005), s issn: doi: / /38/10/014. url: 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Praktické využití řešení BR 2 22

23 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 V programu Bolsig+ vypočtěte transportní a reakční konstanty pro reakce elektronu s Ar v závislosti na teplotě elektronů. Předpokládejte maxwellovskou rozdělovací funkci elektronů. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 23

24 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 řešení 3 Reakční konstanty s -1 ) E la s tic m o m e n tu m tra n s fe r Io n iz a tio n R a te c o n s ta n t (m E x c e V E x c e V E x c e V /2 k T e (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 24

25 Cvičení výpočet transportních a reakčních konstant Úloha 2-1 Transportní konstanty V termodynamické rovnováze platí Einsteinův vztah D e = µ e k B T e e T ra n s p o rt c o n s ta n t x N D iffu s io n c o e ffic ie n t x N (m -1 s -1 ) M o b ility x N (m -1 V -1 s -1 ) /2 k T e (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 25

26 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-2 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů ve výboji v Ar při konstantním elektrickém poli v závislosti na teplotě elektronů. Předpokládejte nízký stupeň ionizace, tj. zanedbejte vliv srážek e e. Jak se liší rozdělovací funkce od maxwellovské? Jak se liší transportní a reakční konstanty? 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 26

27 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-2 řešení E/N = 4.9 Td = Vm 2 3/2k B T e = 5 ev /2 k T e = 5 e V Rozdělovací funkce není maxwellovská Excitace a ionizace významně ochuzují rozdělovací funkci v energíıch > 12 ev E E D F (e V -3 /2 ) c a lc u la te d m a x w e llia n E n e rg y (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 27

28 Cvičení interakce e e Úloha 2-3 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů ve výboji v Ar v závislosti na stupni ionizace se započtením srážek e e. Jaký vliv mají interakce e e na rozdělovací funkci? 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 28

29 Cvičení výpočet rozdělovací funkce Úloha 2-3 řešení 3/2k B T e = 5 ev S vyšším stupněm ionizace plazmatu je rozdělovací funkce bĺıže maxwellovské rozdělovací funkci Coulombovské srážky elektronů způsobují termalizaci elektronů relaxaci k rovnovážné rozdělovací funkci E E D F (e V -3 /2 ) /2 k T e = 5 e V E n e rg y (e V ) 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 29

30 Cvičení Úloha 2-4 Prozkoumejte vliv přítomnosti excitovaných stavů Ar na rozdělovací funkci elektronů při započtení deexcitačních reakcí (Ar Lisbon inv.txt). Úloha 2-5 Vypočtěte rozdělovací funkci elektronů a transportní koeficienty ve výboji v Ar a O 2. Porovnejte získané výsledky. 2 Řešení Boltzmannovy rovnice pro elektrony Cvičení 2 30