Studijní texty FYZIKA I. Fakulta strojní Šumperk

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Studijní texty FYZIKA I. Fakulta strojní Šumperk"

Transkript

1 Sudijní exy FYZIKA I Fakula srojní Šumperk RNdr Eva Janurová, PhD Kaedra fyziky, VŠB-TU Osrava 6

2 OBSAH ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 3 FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 3 ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN 4 KINEMATIKA DĚLENÍ POHYBŮ SLOŽENÉ POHYBY 9 3 POHYB PO KRUŽNICI 4 3 DYNAMIKA 3 3 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL 3 3 DRUHY SIL IMPULS SÍLY, HYBNOST 4 4 PRÁCE, VÝKON, ENERGIE 43 4 MECHANICKÁ PRÁCE 43 4 VÝKON MECHANICKÁ ENERGIE 45 5 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA 48 5 TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA 48 5 ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED MOMENT SETRVAČNOSTI 5 55 MOMENT SÍLY MOMENT HYBNOSTI POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU 56 6 HYDROSTATIKA 59 6 POVRCH KAPALINY 59 6 PASCALŮV ZÁKON 6 63 HYDROSTATICKÝ TLAK ARCHIMÉDŮV ZÁKON 65 7 HYDRODYNAMIKA 67 7 OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK 67 7 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU BERNOULLIHO ROVNICE 69

3 ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY Při pozorování a popisu libovolného objeku víme, že zaujímá určiý prosor, pohybuje se, mění se jeho vlasnosi, působí na jiná ělesa apod Fyzikální vlasnosi ěles, savy i jejich změny, keré je možné změři, charakerizujeme fyzikálními veličinami SOUSTAVY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN A JEDNOTEK Každá fyzikální veličina souvisí s mnoha jinými fyzikálními veličinami a jejich změnami Proo už od počáku 9 soleí vznikaly sousavy veličin a jednoek Při vorbě ěcho sousav se na začáku volí určiý poče veličin za základní a k nim se sanoví základní jednoky V České republice se podle zákona č 35/6 Sb smějí používa pouze zákonné měřicí jednoky, keré vycházejí z Mezinárodní sousavy jednoek označované SI (zkraka francouzského názvu Sysème Inernaional d`uniés) MEZINÁRODNÍ SOUSTAVA JEDNOTEK Mezinárodní sousavu jednoek (SI) voří: a) Sedm základních jednoek, keré odpovídají sedmi základním veličinám Základní veličina Značka veličiny Základní jednoka Značka jednoky délka l mer m hmonos m kilogram kg čas sekunda s elekrický proud I ampér A ermodynamická eploa T kelvin K lákové množsví n mol mol svíivos I kandela cd Každá základní jednoka má svou definici, uvedenou v české sání normě ČSN 3 b) Dvě doplňkové jednoky Doplňková veličina Značka veličiny Doplňková jednoka Značkajednoky rovinný úhel α, β, γ, radián rad prosorový úhel,, Ω, seradián sr

4 c) Odvozené jednoky SI, keré jsou určeny pro měření všech osaních fyzikálních veličin (odvozených veličin) Odvozené jednoky jsou odvozovány pomocí definičních vzahů ze základních nebo již dříve odvozených jednoek Vychází se při om z definičních vzahů m kg odpovídajících veličin Například husoa ρ je určena vzahem: ρ kg kg m 3 m 3, m s m s, N kg N kg, pak 3 Někeré jednoky mají vlasní názvy a značky, zpravidla podle jmen vynikajících fyziků, např newon N, ampér A, vol V aj Pro počíání se zápornými exponeny plaí (podobně jako u exponenů kladných), že při násobení mocnin se exponeny sčíají a při dělení mocnin se exponeny odčíají, např V m d) Násobky a díly jednoek SI, jejichž názvy se voří pomocí normalizovaných předpon z názvů základních jednoek Výjimkou je pouze při vorba násobků a dílů jednoky hmonosi V abulce jsou uvedeny nejužívanější předpony spolu s mocninami desei, pomocí nichž se násobky nebo díly vyjadřují Předpona Značka Násobek Mocnina desei era- T giga- G 9 mega- M 6 kilo- k 3 mili- m, -3 mikro- μ, -6 nano- n, -9 piko- p, - V někerých případech se používají i další předpony, např ceni (značka c): cm = - m Abychom nemuseli odvozené jednoky zapisova pomocí zlomkové čáry, píšeme záporné exponeny u značek jednoek, např Mezi někeré měřicí jednoky paří mimo jednoek SI i zv vedlejší jednoky (např ºC, min apod) ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Fyzikální veličiny dělíme podle jejich ypu na: a) Skaláry (skalární fyzikální veličiny) jsou zcela určeny pouze svou velikosí (číselnou hodnoou) a jednokou, ve keré se daná veličina měří (hmonos m, čas, práce W, výkon P, energie E, momen servačnosi J, ad) Pracujeme s nimi podle pravidel pro počíání s reálnými čísly

5 b) Vekory (vekorové fyzikální veličiny) jsou určeny velikosí a směrem (posunuí s, rychlos v, zrychlení a, síla F, hybnos p, ad) V psaném exu nebo v grafickém vyjádření mohou bý vekory značeny aké učným písmem Považujeme je za orienované úsečky Výhodou je, že s nimi můžeme pracova jako se sranami rojúhelníka a používa přiom vzahy známé z goniomerie POZNÁMKA: a) Pyhagorova věa c = a + b b) Kosinova věa c = a + b - a b cosγ c) Goniomericé funkce použié na pravoúhlý rojúhelník sinα proilehlá přepona a c cos α přilehlá přepona b c g α proilehlá a přilehlá b co g α přilehlá b proilehlá a Př Řeka eče rychlosí v = 4 ms - Kolmo k proějšímu břehu odrazil člun rychlosí v = 3 ms - a) Určee výslednou rychlos člunu Řešení: Výsledný pohyb bude složený z obou pohybů a člun se bude pohybova šikmo po proudu řeky Výslednou rychlos v získáme ak, že úvar doplníme na rovnoběžník Výsledná rychlos v pak bude voři úhlopříčku, kerá bude zároveň přeponou v pravoúhlém rojúhelníku

6 Vekory v a v vekorově složíme v v v Velikos výsledné rychlosi určíme pomocí Pyhagorovy věy : v v v, v ms b) Určee odklon člunu od původního směru Řešení: v gα v 4 α = 53º 3 Výsledná rychlos je 5 ms -, odklon od původního směru je 53º ZÁKLADNÍ OPERACE S VEKTORY Při řešení úloh, ve kerých jsou fyzikální veličiny zadány vekorově, používáme vekorovou algebru Každá vekorová fyzikální veličina je určena řemi složkami (x-ovou; y-ovou; z-ovou) Zakreslujeme je do karézské (pravoúhlé) sousavy souřadnic Obecné vyjádření vekoru a v karézském sysému souřadnic pomocí jednokových vekorů i, j, k : a a ;a ;a a i a j a k x y z x y z

7 a) Velikos vekoru a zapisujeme a a Předsavuje délku úsečky reprezenující vekor (vzdálenos koncového bodu vekoru od počáku sousavy souřadnic) a a a a a x y z Př Určee velikos vekoru síly F Fx ;Fy ; Fz, kerý je zadaný ěmio souřadnicemi F 3;4; ( eno vekor je možné zapsa rovněž pomocí jednokových vekorů ve varu F 3 i 4 j k Řešení: Dosadíme do vzahu pro velikos vekoru a určíme F F F F F x y z N b) Směr vekoru v prosoru je sanoven pomocí úhlů,,, keré svírá vekor posupně s jednolivými osami x, y, z (zv směrových kosinů) a a cos x y a, cos, cos z a a a cos cos cos Př Určee směr vekoru síly F 3;4; z předchozího příkladu Řešení: Směr vekoru určíme pomocí směrových kosinů, pak: 3 cos α,588 α 53,9 º 6 4 cos,784 38,3 º 6 cos, 78,7 º 6 c) Výsledkem skládání vekorů a a x, ay, az a b b, b, b x y z c a b, a b, a b c, c, c x x y y z z x y z Graficky skládání vekorů řešíme doplněním na rovnoběžník je vekor c a b Př Rychlos oku řeky určuje vekor v 4;; Vekor ; 3; (viz úvodní příklad) a) Určee vekor výsledné rychlosi Řešení: v určuje pohyb člunu

8 v v v v vx v v 4; 3; ;v v ;v v 4 ; x y b) Určee velikos výsledné rychlosi Řešení: v v ms y z z d) Při odčíání vekorů přičíáme vekor opačný d a b a b d a b ;a b ;a b d ;d ; d x x y y z z x y z 3 ; Velikos rozdílu vekoru předsavuje vzdálenos koncových bodů obou vekorů Př Určee vzdálenos koncových bodů polohových vekorů r 3;; a ;3;4 Řešení: Δr r r r r 3;3 ;4 Δr ;;5 r r 5 7 e) Násobení vekorů Násobení vekoru a a x;a y ; az b k a ka ;ka ;ka x y z skalárem k: Pokud k = : b a opačný vekor Při násobení vekoru skalárem dosaneme vekorovou fyzikální veličinu Př Těleso o hmonosi m = kg se pohybuje se zrychlením 4;5; působící síly Řešení: F m a F 4; 5; F F 8 8;; 68 N a r Určee velikos Skalární součin vekorů a a, a, a x y z a b b, b, b : x y z

9 Výsledkem skalárního součinu je skalární veličina z z y y x x b a b a b a b a s cos b a s b a b a b a b a z z y y x x cos Př Síla 4;;3 F posune ěleso po dráze ;; s a) Určee práci vykonanou silou F Řešení: 4J 3 4 z z y y x x s F s F s F s F W b) Určee úhel, kerý spolu svírají vekor síly F a vekor posunuí s Řešení: s F s F s F s F z z y y x x cos F N s m cos γ = 36,9º Poznámka: Pokud je skalární součin roven, j cosγ =, pak γ=9º vekory jsou navzájem kolmé 3 Vekorový součin vekorů z y x a ; ;a a a a z y x b ; ;b b b : Při vekorovém násobení vekorů je výsledkem opě vekor Píšeme: b a c Souřadnice výsledného vekoru získáme vyčíslením maice, kde v prvním řádku jsou jednokové vekory, ve druhém souřadnice prvního vekoru a ve řeím řádku souřadnice druhého vekoru k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a c x y y x z x x z y z z y z y x z y x

10 POZNÁMKA: Výsledný vekor je kolmý k vekorům a i b Při záměně pořadí vznikne vekor opačný c b a KINEMATIKA Slovo kinemaika pochází z řeckého kineo, což znamená pohyb Kinemaika suduje a popisuje pohyb ěles bez ohledu na jeho příčinu, j na působící sílu POZNÁMKA: Časo bývá v exu pojem ělesa nahrazen ermínem hmoný bod Hmoný bod je objek, jehož rozměry a var můžeme při řešení určiého problému zanedba a úlohu si ak zjednoduši Nahrazujeme jím ěleso, jehož rozměry jsou zanedbaelné vzhledem k uvažovaným vzdálenosem pohybu Základními veličinami, keré používáme k popisu pohybu, jsou : polohový vekor r, rychlos v, zrychlení a DĚLENÍ POHYBŮ Pohyby dělíme podle: a) Trajekorie (křivky, po keré se ěleso pohybuje) ) přímočaré rajekorií pohybu je přímka, vekor rychlosi v má sále sejný směr ) křivočaré rajekorií pohybu je křivka, vekor rychlosi v mění svůj směr V každém okamžiku je ečnou k rajekorii Typickými křivočarými pohyby jsou pohyb po kružnici, vrh vodorovný, vrh šikmý

11 b) Rychlosi Vekor je směrový vekor, je orienovaný ve směru pohybu Je vždy rovnoběžný s vekorem rychlosi Vekor n je normálový vekor, je vždy kolmý ke směru pohybu Je kolmý k vekoru rychlosi ) rovnoměrný a ms ) rovnoměrně zrychlený (zpomalený) a kons 3) nerovnoměrně zrychlený (zpomalený) a kons RYCHLOST - Při pohybu ělesa dochází ke změně jeho polohy Jesliže zakreslíme pohyb ělesa do souřadného sysému, pak jeho polohu určuje v každém okamžiku polohový vekor r Polohový vekor můžeme zapsa dvěma způsoby: r x; y; z r xi y j z k, kde i, j, k jsou jednokové vekory (úseky na osách), jejich velikos je rovna jedné Velikos polohového vekoru určuje vzdálenos ělesa od počáku sousavy souřadnic r r x y z Př: Zakreslee v sousavě souřadných os polohu ělesa, jehož polohový vekor je r 6i j 3k Během pohybu opisuje koncový bod polohového vekoru rajekorii (křivku) Při pohybu ělesa dojde během časového inervalu Rychlos je definována ako ke změně polohového vekoru r

12 v r změna polohového vekoru časový inerval Jednokou rychlosi je ms - Vidíme, že při omo pohybu se změna polohového vekoru skuečnou rajekorií s r příliš nezoožňuje se Pro určení okamžié rychlosi, kerou má ěleso v daném časovém okamžiku, používáme infiniezimální poče (spojený se jménem maemaika Leibnize derivace, inegrál) Časový inerval rozdělíme na mnohem menší časové úseky Tak malé, že se bude jejich velikos v limiě blíži k nule Změna polohových vekorů v ěcho inervalech bude kopírova rajekorii s Tyo malé změny označíme d r Nasanou během velmi malého časového inervalu d s r Okamžiou rychlos pak budeme definova pomocí vzahu v lim lim s ds dr Maemaicky eno vzah zapíšeme v d d Čeme: rychlos je derivace polohového vekoru (dráhy) podle času Při výpoču budeme derivova každou souřadnici polohového vekoru zvlášť dr d x d y d z v i j k d d d d Získáme vekor rychlosi o souřadnicích v x ;v v v i v j v k x y ZRYCHLENÍ z y Jesliže se během pohybu mění vekor rychlosi, pak o znamená, že se ěleso pohybuje se zrychlením a Zrychlení je změna vekoru rychlosi, ke keré dojde během časového inervalu ; v z

13 v a změna rychlosi časový inerval Jednokou zrychlení je ms - Okamžié zrychlení získáme, jesliže časový inerval zmenšíme na minimum Δv dv a lim Δ Δ d Čeme: zrychlení je derivace vekoru rychlosi podle času Derivujeme každou souřadnici vekoru rychlosi zvlášť d v d v d v d v x y a i j z k d d d d Získáme vekor zrychlení o souřadnicích a x ;a y ; az a a i a j a k x y z Za předpokladu, že určíme pomocí derivace souřadnice uvedených vekorů, můžeme sanovi hodnou velikosi okamžié rychlosi a zrychlení pomocí vzahů v v v v v a a a a a a x y z Př: Polohový vekor charakerizující polohu ělesa je zapsán vzahem: r 3 i j 4k a) Určee polohu ělesa v čase s Řešení: Za čas dosadíme sekundu Souřadnice ělesa pak jsou r 3i j 4k r 3,, 4 b) Určee polohu ělesa v čase s Řešení: Po dosazení dosáváme r 6i 4 j 4k nebo r 6,4, 4 Vidíme, že se poloha ělesa mění Těleso se pohybuje rychlosí v c) Určee vekor rychlosi Řešení: dr v 3i j k d d) Určee velikos rychlosi v čase = s Řešení: Dosadíme za čas = s: v 3i j k Určíme velikos polohového vekoru: v 3 3 ms - e) Určee velikos rychlosi v čase = 3 s Řešení: Dosadíme za čas = 3 s: v 3i 6 j k x, získáme souřadnice 3,, y z nebo v

14 Určíme velikos polohového vekoru: v ms - Vidíme, že dochází ke změně velikosi rychlosi To znamená, že se ěleso pohybuje se zrychlením f) Určee vekor zrychlení a Řešení: dv a i j k j d g) Určee zrychlení v čase = s Řešení: a 4 ms - h) Určee zrychlení v čase = s Řešení: a 4 ms - ch) Určee druh pohybu Řešení: Vidíme, že zrychlení je konsanní, pak se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb Podle směrových kosinů bychom zjisili, že vekor rychlosi mění svůj směr Jedná se edy o křivočarý pohyb Nevekorové vyjádření pohybu Vekorové vyjádření pohybu umožňuje přesné určení dané polohy i směru pohybu V někerých případech není nuná znalos konkréní polohy Poom pracujeme s vyjádření funkční závislosi dráhy na čase s f Pak rychlos a zrychlení pohybu plaí ds v d dv a d 3 Př: Těleso se pohybuje ak, že se dráha mění podle funkce s 4 a) Určee dráhu, kerou ěleso urazí za ři sekundy pohybu Řešení: 3 s m b) Určee rovnici rychlosi a rychlos v čase = 3 s Řešení: ds v d v m s c) Určee velikos počáeční rychlosi ( = s)

15 Řešení: v ms Záporné znaménko před hodnoou rychlosi znamená, že se ěleso původně pohybovalo opačným směrem d) Určee čas, ve kerém je ěleso v klidu Řešení: Těleso je v klidu právě ehdy, když v = Řešíme kvadraickou rovnici , =,67 s = - s Záporný čas nemá z fyzikálního hlediska smysl e)určee rovnici zrychlení Řešení: dv a 6 4 d f) Určee zrychlení v čase = 5 s Řešení: a ms - g) Určee druh pohybu Řešení: Vidíme, že zrychlení není konsanní Jedná se o nerovnoměrně zrychlený pohyb V předchozím řešeném příkladu jsme posupovali ve výpočech od dráhy k rychlosi a nakonec ke zrychlení pomocí derivování Je samozřejmé, že exisuje i opačný posup - od zrychlení se dosaneme k rychlosi a pak k dráze Tímo posupem je inegrování Pro vzahy mezi uvedenými veličinami plaí Základní vzah pro inegraci: a d s v, v d n d n n c d je diferenciál (proměnná je v omo případě ) c je inegrační konsana, určuje počáeční podmínky Př: Těleso se pohybuje ak, že se zrychlení mění podle funkce a 3 Určee vzah pro rychlos a dráhu Počáeční rychlos je v m s, počáeční dráha je s 5m

16 Řešení: d a v c d d d d d v ) ( 4 4 v v 4 v Dráhu určíme: d v s d d d d d d d s ) ( s s 5 5 s I ROVNOMĚRNÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Při omo pohybu se ěleso pohybuje konsanní rychlosí Za sejné časové inervaly urazí ěleso sejnou dráhu Proože se rychlos nemění, je zrychlení pohybu nulové Poom v = kons, Grafickým znázorněním závislosi rychlosi na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou Dráha rose přímo úměrně v závislosi na čase Pro dráhu rovnoměrného pohybu plaí vzah

17 s v, kde s je počáeční dráha s Grafickým znázorněním závislosi dráhy na čase je přímka různoběžná s časovou osou Jesliže je s m, pak přímka prochází počákem II ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Těleso se pohybuje s konsanním zrychlením Za sejné časové inervaly vzrose rychlos o sejnou hodnou, Poom a = kons, Grafickým znázorněním závislosi zrychlení na čase je přímka rovnoběžná s časovou osou Rychlos rose přímo úměrně v závislosi na čase Pro rychlos rovnoměrně zrychleného pohybu plaí vzah v a v, kde v je počáeční rychlos Grafickým znázorněním je přímka různoběžná s časovou osou Jesliže je přímka prochází počákem v ms -, pak Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu rose kvadraicky v závislosi na čase Plaí vzah

18 s a v s, kde s je počáeční dráha Proo grafickým znázorněním závislosi dráhy na čase je parabola III ROVNOMĚRNĚ ZPOMALENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Zrychlení ohoo pohybu je orienováno proi směru vekoru rychlosi Vzhledem k omu, že používáme nevekorové vyjádření, zapíšeme do rovnice pro rychlos a dráhu zrychlení se záporným znaménkem Plaí vzahy v a v, s a v IV VOLNÝ PÁD Volný pád je zvlášním případem rovnoměrně zrychleného pohybu Všechna ělesa volně pušěná se v íhovém poli Země pohybují se sejným zrychlením Too zrychlení nazýváme íhové zrychlení, značíme je g Hodnoa íhového zrychlení v naší zeměpisné šířce je g = 9,8 ms - Je-li počáeční rychlos volného pádu v = ms - a počáeční dráha s = m, pak v g, s g Na uvedeném obrázku vidíme, jak se rychlos padajících objeků zvěšuje v závislosi na čase Grafickým znázorněním éo závislosi je přímka různoběžná s časovou osou Grafickým

19 znázorněním závislosi dráhy na čase je, sejně jako u obecného rovnoměrně zrychleného pohybu, parabola V NEROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ PŘÍMOČARÝ POHYB Vzhledem k omu, že se ělesa mohou obecně pohybova libovolným způsobem, zavádíme ješě další yp pohybu nerovnoměrně zrychlený Zrychlení u ohoo pohybu není konsanní a kons V omo případě nelze vyjádři příslušné veličiny pomocí jednoduchých vzorců Výpočy kinemaických veličin (dráhy, rychlosi a zrychlení) řešíme pomocí derivování a inegrování SLOŽENÉ POHYBY Zákon o nezávislosi pohybů Koná-li hmoný bod současně dva nebo více pohybů, je jeho výsledná poloha aková, jako kdyby konal yo pohyby po sobě, a o v libovolném pořadí Vrhy jsou složené pohyby Těleso je vrženo v určiém směru počáeční rychlosí v Vlivem íhového pole Země se ěleso v každém okamžiku zároveň pohybuje volným pádem ve směru svislém I VRH SVISLÝ VZHŮRU Při vrhu svislém vzhůru skládáme dva pohyby: rovnoměrný přímočarý vzhůru pro dráhu s a pro rychlos v plaí vzahy s v v = v = kons POZNÁMKA: Kdyby neexisovalo íhové pole Země (odpor vzduchu neuvažujeme), pak by se ěleso pohybovalo konsanní rychlosí v sále vzhůru Jenže íhové pole Země exisuje a ěleso zároveň padá dolů rovnoměrně zrychlený (volný pád) dolů pro dráhu s a pro rychlos v plaí vzahy s g v g Proože dráha jako posunuí a rychlos jsou vekorové veličiny, můžeme je vekorově skláda s s s v v v

20 Proože příslušné vekory drah a rychlosí jsou opačně orienované, budeme je odečía Výsledkem je okamžiá hodnoa dráhy, kerou chápeme jako okamžiou výšku ělesa nad povrchem Země a jeho okamžiou rychlos plaí vzahy s v g, v v g Rychlos se během pohybu mění Posupně klesá, až v maximální výšce je rovna nule Poé ěleso padá volným pádem a rychlos opě rose Doba výsupu Dobu výsupu v určíme z podmínky pro rychlos V době, kdy ěleso dosáhne maximální - výšky je jeho rychlos nulová, v ms Pak v g Odud plaí v v v g Sejnou dobu, po kerou ěleso soupá, zároveň i klesá Pak doba leu L je dvakrá věší než doba výsupu v a edy v L v g Maximální výška Těleso vysoupí do maximální výšky za dobu výsupu Po dosazení do okamžié hodnoy v pro výšku dosaneme v v v v smax v v g v v g g g g g Po úpravě je maximální výška v smax g II VRH VODOROVNÝ Je složen ze dvou pohybů: rovnoměrný přímočarý ve směru osy x Těleso je při vodorovném vrhu v určié výšce y vrženo počáeční rychlosí v ve vodorovném směru Kdyby neexisovalo íhové pole Země, pak by se ěleso pohybovalo rovnoměrným pohybem ve směru osy x Pro dráhu a rychlos plaí: x v v x v kons

21 rovnoměrně zrychlený (volný pád) ve směru osy y Vzhledem k exisenci íhového pole, je ěleso v každém okamžiku nuceno se pohybova volným pádem Pro dráhu a rychlos ve směru svislém plaí: y g v y g Rychlos ve směru osy y lineárně rose v závislosi na čase Tíhové zrychlení g a počáeční rychlos v jsou konsany Rychlosi ve směru os x a y jsou vekorovými veličinami Jesliže je složíme, dosaneme celkovou rychlos v v x v y Vzhledem k omu, že yo rychlosi jsou na sebe kolmé, pak okamžiou celkovou rychlos vypočeme pomocí Pyhagorovy věy y v v x v III VRH ŠIKMÝ Teno vrh je složen ze dvou pohybů

22 Těleso je v omo případě vrženo vzhledem k vodorovné rovině pod úhlem rychlosí v Při řešení rozložíme počáeční rychlos v jako vekor do dvou navzájem kolmých směrů Složky rychlosi pak budou vyjádřeny ako: vx v cos α v v sin α y Jesliže nebudeme uvažova odpor vzduchu, pak bude rychlos ve směru osy x konsanní v v v cos α x x Rychlos ve směru osy y bude ovlivňovaná silovým působením Země a zapíšeme ji ako v y v sin g y-ová složka rychlosi se bude zmenšova V maximální výšce bude nulová, pak opě porose na maximální hodnou Celková rychlos v bude určena vekorovým součem pomocí Pyhagorovy věy v v x v Její velikos určíme y y v v x v x-ová a y-ová souřadnice jsou dány vzahy Abychom zjisili souřadnice x, y, budeme inegrova příslušné složky rychlosi: v x v cos vy y v sin x x d d, y d gdy Po inegraci bude:

23 x v cos α, y v sin α g Při zadaných hodnoách úhlu vrhu a počáeční rychlosi vrhu snadno určíme souřadnice ělesa v libovolném časovém okamžiku Určení vybraných paramerů při šikmém vrhu s počáeční výškou h = Doba výsupu Těleso soupá do maximální výšky Rychlos ve směru osy y posupně klesá, v maximální výšce je v y Pak určíme dobu výsupu v ze vzahu v sin α g v Doba výsupu je v sin α v g Doba leu L v Maximální výška Maximální výšky y max dosáhne ěleso za dobu výsupu v Určíme ji ze vzahu pro hodnou y-ové souřadnice dosazením doby výsupu za čas v sin α v sin α ymax v v sin α g v v sin α g g g Po úpravě dosaneme v sin α ymax g Maximální dole Do maximální vzdálenosi x max dopadne ěleso za dobu leu L Určíme ji ze vzahu pro hodnou x-ové souřadnice dosazením doby leu za čas v sin α xmax v L cos α v cos α g Po úpravě dosaneme v sin α cos α xmax g

24 Jesliže použijeme goniomerický vzorec pro sinus dvojnásobného argumenu, pak maximální dole vyjádříme ve varu v sin α xmax g Za nulovou můžeme považova počáeční výšku např při kopu do míče V praxi je zpravidla počáeční výška šikmého vrhu různá od nuly To se ýká rajekorie ělesa při věšině hodů a vrhů, ale aké rajekorie ěžišě lidského ěla při někerých odrazech, např při skoku dalekém 3 POHYB PO KRUŽNICI Nejčasěji sudovaným křivočarým pohybem je pohyb po kružnici Trajekorií pohybu je kružnice Jesliže se ěleso pohybuje z bodu A, pak se po určié době dosane zpě do původního posavení Jedná se o pohyb periodický Doba, za kerou se ěleso dosane zpě do původní polohy, se nazývá perioda T Jednokou periody je sekundat s Mimo periodu zavádíme veličinu, kerá se nazývá frekvence f - Frekvence předsavuje poče oběhů za sekundu Jednokou frekvence f s Časo se používá jednoka s názvem herz (Hz)V základních jednokách je Hz = s - Mezi periodou a frekvencí plaí vzah f T Obvodové veličiny Obvodovými veličinami jsou: dráha s vzdálenos, kerou ěleso urazí po obvodu kružnice, obvodová rychlos v, dosředivé zrychlení a d, (můžeme éž nazva normálové zrychlení a n ) ečné zrychlení a, (můžeme éž nazva angenciální zrychlení a ) celkové zrychlení a, (můžeme éž nazva absoluní zrychlení a ) Jesliže se ěleso bude pohybova po kružnici, pak vekor rychlosi bude v každém bodě pohybu ečnou k rajekorii a bude kolmý na průvodič Průvodič předsavuje spojnici ělesa se sředem kružnice (v omo případě je velikos průvodiče rovna poloměru kružnice r)

25 Vekor rychlosi mění svůj směr Změna směru rychlosi je způsobena dosředivým (normálovým) zrychlením a n Vekor dosředivého zrychlení je vždy kolmý k vekoru rychlosi v Plaí: v r a n - Jednokou normálového zrychlení je ms a n Normálové (dosředivé) zrychlení směřuje vždy do sředu křivosi rovnoměrný pohyb po kružnici: rychlos je konsanní, mění se jen její směr Plaí vzahy pro rovnoměrný pohyb v kons, s v s, v a d r a ms, proože je rychlos konsanní, je i dosředivé zrychlení konsanní - rovnoměrně zrychlený po kružnici: rychlos není konsanní, mění velikos i směr, plaí vzahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb, v a v,

26 , v a n, normálové (dosředivé) zrychlení se mění Mění směr vekoru rychlosi r v a, angenciální (ečné) zrychlení je konsanní Mění velikos vekoru rychlosi s a v s Tečné (angenciální) zrychlení a pohyb urychluje nebo zpomaluje Tečné zrychlení má směr ečny ke kružnici U zrychleného pohybu má sejný směr jako vekor rychlosi v, u zpomaleného pohybu má opačný směr vzhledem k vekoru rychlosi v - Jednokou ečného zrychlení je a ms S ečným a normálovým zrychlením pracujeme jako s vekorovými veličinami Vekorovým složením určíme celkové (absoluní, výsledné) zrychlení a a a a n

27 Velikos výsledného zrychlení určíme podle Pyhagorovy věy n a a a Úhlové veličiny Kromě obvodových veličin, je pohyb po kružnici časo popisován pomocí veličin úhlových: úhlová dráha, úhlová rychlos, úhlové zrychlení Jejich vekory leží v ose oáčení Úhlová dráha předsavuje úhel, o kerý se ěleso oočí za určiý čas při pohybu po kružnici Jednokou úhlové dráhy je radián, píšeme rad Obvodová dráha je úměrná úhlové dráze O čím věší úhel se ěleso oočí, ím věší dráhu po kružnici urazí Úhlová rychlos je charakerizována změnou velikosi úhlové dráhy, kerá nasane během - časového inervalu Jednokou úhlové rychlosi je rads d d O celý úhel se ěleso oočí za dobu jedné periody T Úhlovou rychlos pak můžeme vyjádři ve varu π ω π f T Čím vyšší je frekvence oáčení, ím je úhlová rychlos věší Obvodová rychlos je úměrná úhlové rychlosi v r

28 Jesliže se úhlová rychlos během pohybu mění, pak se ěleso pohybuje s úhlovým zrychlením Úhlové zrychlení předsavuje změnu velikosi úhlové rychlosi, ke keré dojde během časového inervalu d d - Jednokou úhlového zrychlení je rads Převodní vzahy mezi obvodovými a úhlovými veličinami s r v r a r Úhlová dráha, úhlová rychlos a úhlové zrychlení jsou vekorové veličiny Vekory leží v ose roace a jsou kolmé k rovině roace Jejich směr je daný vekorovým součinem Jsou kolmé k příslušným obvodovým veličinám Plaí: v x r, x r Poloměr r je kolmým průměem polohového vekoru r do roviny roace Pro rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb můžeme použí známé vzahy: Rovnoměrný pohyb: s v v s ω Δs Δ s s Rovnoměrně zrychlený pohyb: a ω Δ Δ

29 s a v s ω v a ω ω a Δv Δ v v v Δω ω ω Δ a je ečné zrychlení působící změnu velikosi rychlosi Rovnoměrně zpomalený pohyb: s a v ω v a ω ω v Nerovnoměrně zrychlený pohyb: d s v d d v a d d d d d Derivování a inegrování můžeme použí pro všechny druhy pohybu Př: Těleso se pohybuje po kružnici poloměru m ak, že jeho dráha je popsána rovnicí s 3 4 Určee jeho celkové zrychlení ve řeí sekundě pohybu Řešení: Nejdříve určíme rovnici rychlosi Okamžiá rychlos předsavuje změnu dráhy v daném časovém okamžiku Derivujeme dráhu d s podle času v, pak v 6 4 d Normálové zrychlení určíme podle definičního vzahu a za čas dosadíme 3 s v Pak a n 336,4 ms r d v - Pro ečné zrychlení ve řeí sekundě plaí a 36 ms d n Celkové zrychlení je a a a ,4 338,3ms -

30 3 DYNAMIKA Na rozdíl od kinemaiky, kerá se zabývá pouze popisem pohybu, si dynamika všímá důvodů a příčin pohybových změn působících sil 3 GRAVITAČNÍ ZÁKON Graviace, graviační inerakce je univerzální silové působení mezi všemi formami hmoy a právě ím se odlišuje od všech osaních inerakcí Graviační inerakce je nejslabší ze základních inerakcí, má nekonečný dosah a je vždy přiažlivá Nejvýznamněji edy působí na objeky o velké hmonosi (makrosvě) Graviační konsana K = 6,67 - Nm kg - m, m = hmonosi obou ěles r = vzdálenos sředů ěles Graviační pole je v klasické mechanice prosor kolem ělesa, ve kerém se projevuje působení graviační síly Proože dosah graviační síly je nekonečný i graviační pole je vlasně nekonečné Za jeho hranici se obvykle považuje míso, kde přesává bý měřielné, či začíná převláda graviace jiného ělesa nebo ěles Popisujeme pomocí: inenziy graviačního pole - vekorová veličina, směřuje do cenra poenciálu graviačního pole φ skalární veličina, voří ekvipoenciální plochu (body se sejnou hodnoou poenciálu), někdy koule

31 3 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY A DRUHY SIL Příčiny pohybových změn sudoval Sir Isaac Newon, kerý je popsal ve svém živoním díle Maemaické základy přírodních věd Závěry je možné shrnou do ří pohybových zákonů, keré mají planos ve všech oblasech fyziky, v mikrosvěě, v makrosvěě i v megasvěě Základní příčinou změny pohybu ělesa je působící síla F Jednokou síly je newon F N Dosud jsme při řešení problémů neuvažovali vliv hmonosi pohybujících se ěles V dynamice má naopak hmonos nezasupielný význam Servačné vlasnosi ěles libovolného varu jsou charakerizovány veličinou, kerá se nazývá m kg hmonos m Jednokou hmonosi je kilogram Ze zkušenosi víme, že čím má ěleso věší hmonos, ím je obížnější změni jeho pohybový sav Prázdný lehký vozík rozlačíme nebo naopak zasavíme snadno Sejný vozík, na kerém je naloženo 5 kg maeriálu, uvedeme do pohybu nebo zasavíme s určiými problémy Těleso má v závislosi na své hmonosi menší, či věší, schopnos serváva ve svém původním pohybovém savu Říkáme, že hmonos je mírou servačných vlasnosí ělesa Pohybový sav ěles je určen kromě rychlosi i hmonosí Veličina, kerá v sobě obě charakerisiky spojuje, se nazývá hybnos p Je definovaná vzahem - Jednokou hybnosi je p kgms p mv 3

32 ZÁKON SETRVAČNOSTI Těleso servává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není přinuceno vnějšími silami eno pohybový sav změni V závislosi na rychlosi musí pro rovnoměrný přímočarý pohyb s konsanní rychlosí plai p mv kons Nemění se velikos ani směr rychlosi a hybnosi F N ZÁKON SÍLY Jesliže na ěleso působí vnější síla, pak se jeho pohybový sav změní Těleso se pohybuje se zrychlením F ma Působením síly se změní rychlos, a ím i hybnos ělesa Změna se může projevi nejen změnou velikosi ěcho veličin, ale i změnou směru příslušných veličin Trajekorie pohybu může změni v závislosi na směru působící síly svůj var Plaí F p mv v m ma F d d p d d mv d v m ma d Síla ve směru rychlosi pohyb zrychlí Síla působící proi směru rychlosi pohyb zpomalí Síla působící pod určiým úhlem změní rajekorii pohybu V závislosi na velikosi síly rozlišujeme pohyb: a) F N, pak bude zrychlení - a ms pohyb je rovnoměrný - b) F kons N, pak je zrychlení a kons ms pohyb je rovnoměrně zrychlený (zpomalený) c) F kons, pak zrychlení a kons pohyb je nerovnoměrně zrychlený (zrychlený) ZÁKON AKCE A REAKCE Každá dvě ělesa na sebe působí navzájem silami sejně velkými opačně orienovanými 3

33 Tyo síly se ve svých účincích neruší, proože každá z nich působí na jiné ěleso Typickými silami akce a reakce jsou graviační síly 33 DRUHY SIL SÍLY PŘI POHYBU PO KRUŽNICI Podle Newonova zákonu síly plaí F ma Aby se ěleso pohybovalo se zrychlením, pak ve sejném směru musí působi příslušná síla Ve směru normálového (dosředivého) zrychlení Ve směru angenciálního (ečného) zrychlení a n působí normálová (dosředivá) síla F n a působí angenciální (ečná) síla F F n v m an m, r F d v ma m d Normálová síla působí kolmo ke směru pohybu a mění směr pohybu (mění rajekorii) Tangenciální síla působí ve směru pohybu a pohyb urychluje nebo zpomaluje Obě síly jsou na sebe kolmé Složíme je jako vekorové veličiny F F F n Velikos výsledné síly sanovíme výpočem podle Pyhagorovy věy Pak I SÍLA TÍHOVÁ F n F F Jednou ze sil, se kerými se sekáváme v běžném živoě, je síla íhová F G nebo G, kerá působí v íhovém poli Země na každé hmoné ěleso 33

34 POZNÁMKA: Vznikne vekorovým složením síly graviační F Země, a síly odsředivé kolmá k ose roace F F F G g od v m r F od Velikos íhové síly závisí na zeměpisné šířce g M R Z Z m, kerá je orienovaná do sředu Síla odsředivá souvisí s oáčením Země kolem osy a je Ve směru příslušných sil jsou orienovaná zrychlení graviační, odsředivé, kde m je hmonos ělesa, M je hmonos Země, R je poloměr Z Z - Země, r je vzdálenos ělesa od osy roace, 6,67 Nm kg je graviační konsana Vekorovým složením graviačního a odsředivého zrychlení a výpočem podle kosinové věy dosaneme zrychlení íhové g Pak íhová síla je F G m g Je orienovaná ěsně mimo zemský sřed, její směr považujeme za svislý Způsobuje volný pád ěles Všechna ělesa padají k Zemi v určiém mísě se sejným íhovým zrychlením g V našich - zeměpisných šířkách je g 9,8ms Reakce podložky na působení íhové síly je sejně veliká, ale opačně orienovaná Jedná se o síly akce a reakce Působišě reakční síly je v mísě konaku ělesa s podložkou 34

35 II SÍLY TŘECÍ Třecí síly jsou důsledkem ření, keré vzniká při pohybu ělesa po povrchu jiného ělesa Třecí síla F ř nebo aké T působí proi směru pohybu ělesa Podle charakeru doyku ěles a jejich relaivním pohybu hovoříme o smykovém ření nebo valivém ření Příčinou smykového ření je skuečnos, že syčné plochy dvou ěles nejsou nikdy dokonale hladké, jejich nerovnosi do sebe zapadají a brání vzájemnému pohybu ěles Přiom se uplaňuje i silové působení čásic v doykových plochách Tyo skuečnosi jsou charakerizovány koeficienem smykového ření v pohybu f (někdy aké značíme ) Velikos řecí síly závisí na koeficienu smykového ření f a na síle kolmé k podložce normálové síle N Určíme ji podle vzahu F f N ř Pokud se ěleso pohybuje po vodorovné rovině, pak je ouo normálovou silou íhová síla F Síla smykového ření je určena vzahem F f F G ř G U rovin, keré nejsou vodorovné (viz nakloněná rovina), musíme kolmou (normálovou) sílu nejdříve urči Valivé ření je vyvoláno silou, kerá působí proi směru pohybu při pohybu valivém Jesliže budeme uvažova oblý předmě, např kolo o poloměru r, můžeme sanovi sílu, kerou je nuné působi, aby se kolo pohybovalo rovnoměrným pohybem 35

36 Kolo lačí na rovinu kolmou silou N Tím působí slačení roviny Deformovaná rovina naopak působí sejně velkou silou opačně orienovanou na kolo ve vzdálenosi ξ před osou kola Síla N a její reakce N' voří dvojici sil s momenem M Nξ Aby se kolo oáčelo rovnoměrným pohybem, je nuné vyvola sejně velký oáčivý momen ve směru pohybu M F r Síla F N překonávající valivé ření je určeno vzahem F řv r Tao síla je zároveň svou velikosí rovna síle valivého ření F řv; se nazývá koeficienem ξ m valivého ření, Koeficien valivého ření je mnohem menší než součiniel smykového ření: III SÍLY ODPOROVÉ Při pohybu ělesa v prosředí, např ve vzduchu nebo v kapalině (ekuině), musí ěleso překonáva odpor prosředí Při relaivním pohybu ělesa a ekuiny dochází k přemisťování čásic prosředí, uplaňují se řecí síly Teno jev se nazývá odpor prosředí Odporová síla vzniká při vzájemném pohybu a působí proi pohybu Je úměrná velikosi rychlosi ělesa vzhledem k prosředí F odp kons Konsana odporu prosředí se obvykle značí R Pak v F Rv odp Při věších rychlosech je odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosi Plaí vzah F CS v odp odp, kde 36

37 C je součiniel odporu prosředí (závisí na varu ělesa), S odp je průřez ělesa kolmý ke směru pohybu, je husoa prosředí, v je relaivní rychlos IV SÍLY PŘI POHYBU TĚLESA PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ Budeme-li uvažova libovolné ěleso (např lyžaře) na nakloněné rovině s úhlem náklonu, bude se pohybova smykovým pohybem vlivem vlasní íhové síly F, kerá je orienovaná G svisle dolů Tíhovou sílu jako vekor rozložíme do dvou navzájem kolmých složek Jedna složka F je orienovaná ve směru pohybu, druhá F je kolmá ke směru pohybu, zn, že je kolmá k nakloněné rovině Jejich velikosi určíme z pravoúhlého rojúhelníku s využiím funkcí sinus a cosinus ako: F FG sin α m g sin α, F FG cos α m g cos α Složka F ovlivňuje velikos řecí síly F ř f N f F Třecí síla je orienovaná proi pohybu a je rovna výrazu F f F cos f mg cos ř G 37

38 Síly F, Fř jsou opačně orienované, jejich výslednice je rovna jejich rozdílu F F F mgsin f mg cos ř V případě, že F > F, zůsane ěleso v klidu ř Jesliže F < F, pohybuje se ěleso ve směru nakloněné roviny ř Výslednou sílu lze dále upravi na var F mg sin f cos Pokud je hmonos ělesa, úhel nakloněné roviny a koeficien smykového ření konsanní, pak je konsanní i výsledná síla pohyb je rovnoměrně zrychlený s a v s v a v POZNÁMKA: Pokud plaí, že F ř F, je výslednice sil nulová Těleso se pohybuje rovnoměrně přímočaře f mg cos mgsin sin α f g α cos α Teno jev nasane ehdy, když koeficien smykového ření je : f g V SÍLY SETRVAČNÉ Planos Newonových zákonů je omezena na inerciální vzažné sousavy Jsou o všechny sousavy, keré se pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem Neinerciální vzažné sousavy jsou všechny sousavy, keré se pohybují se zrychlením V ěcho sousavách Newonovy zákony neplaí Projevují se zde servačné síly Servačné síly jsou vždy orienované proi směru zrychlení sousavy Sekáváme se s nimi v běžném živoě při změně rychlosi pohybu (rozjíždění, brzdění) sousav Klasickým případem je např rozjíždějící se ramvaj Zaímco ramvaj se rozjíždí (brzdí) se zrychlením a, všechny objeky v ramvaji se pohybují směrem dozadu (dopředu) vlivem působení servačné síly F ma, kde m je hmonos ělesa, a je zrychlení sousavy Tělesa jsou uvedena do pohybu bez působení vnější síly 38

39 Podobný případ nasane v rozjíždějícím se nebo brzdícím výahu Při rozjezdu nahoru působí na osazensvo kromě íhové síly ješě síla servačná Celková síla, kerá působí na člověka, bude rovna souču obou sil F F G F s Při rozjíždění výahu směrem dolů je servačná síla orienovaná směrem vzhůru Výsledná síla, kerá působí na člověka, je rovna rozdílu F F G F s Servačné síly se projevují rovněž v sousavách, keré se pohybují křivočarým pohybem Normálové (dosředivé) zrychlení mění směr rychlosi a je orienováno do sředu křivosi Servačná síla je v omo případě orienovaná opačným směrem od sředu na spojnici ělesa se sředem Typickým případem je pohyb po kružnici Předsave si eno pohyb v horizonální i verikální rovině Servačná síla má sejnou velikos jako síla normálová (dosředivá) Nazýváme ji silou odsředivou 39

40 F s ma n v m r POZNÁMKA: Nelze ji zaměňova se silou odsředivou, kerá má působišě ve sředu kružnice a jež je reakční silou na sílu dosředivou Pokud navíc ješě sousava zrychluje vlivem angenciální (ečné) síly F, pak proi éo síle je orienovaná servačná ečná síla Celou siuaci si můžeme předsavi při jízdě auomobilem do zaáčky Auomobil je neinerciální vzažnou sousavou Na cesující působí servačná odsředivá síla F Sa lačí je ven z aua Šlápneme-li navíc na plynový pedál, auomobil zrychlí a projeví se působení servačné ečné síly F S směrem dozadu Výsledná servačná síla je rovna jejich vekorovému souču a její velikos určíme podle vzahu F s F F S S VI SÍLY PRUŽNOSTI V předchozích oddílech byly uvažovány vnější síly, keré měnily pohybový sav ěles Tělesa byla dokonale uhá a neměnila účinkem vnějších sil svůj var Ve skuečnosi se ělesa účinkem vnějších sil zároveň deformují V ělesech naopak vznikají síly, keré deformaci brání Působením vnějších ahových sil dochází ke zvěšování vzdálenosi mezi jednolivými čásicemi ělesa Proo ve vzájemném působení čásic převládají přiažlivé síly, keré nazýváme silami pružnosi F p Jsou úměrné prodloužení nebo naopak zkrácení ělesa a můžeme je zapsa ve varu F p k y, 4

41 kde k je konsana pružnosi maeriálu, y je velikos prodloužení Vzniklé síly pružnosi brání vnějšímu silovému působení a jsou orienovány zpě do původní polohy (proo znaménko minus ) V libovolném řezu ělesa o ploše S vzniká při deformaci při působení vnější síly F sav napjaosi, kerý posuzujeme pomocí veličiny napěí Síla musí bý kolmá k ploše Plaí F S Jednokou napěí je pascal =Pa=Nm - =kgm - s - 34 IMPULS SÍLY, HYBNOST Impuls síly předsavuje časový účinek síly Jesliže na ěleso o hmonosi m působí vnější síla F, pak se její účinek projeví změnou pohybového savu ělesa, zn změnou rychlosi Zároveň se změní i hybnos ělesa, kerá je určena vzahem p mv V časovém okamžiku má ěleso hybnos p mv, v časovém okamžiku má ěleso d hybnos p mv d v d p Uvažujeme-li pohybovou rovnici F ma m, pak po úpravě na var d d F d m dv dp vyplývá, že impuls síly je roven součinu síly a časového inervalu, po kerý síla působí Plaí Jednokou impulsu síly je I =Ns d I F d nebo I F d Zároveň plaí, že impuls síly je roven celkové změně hybnosi 4

42 p I d p p p p p Na základě maemaické analýzy je zřejmé, že impuls síly je roven obsahu plochy pod křivkou určenou funkční závislosí síly na čase v diagramu F, Př: Na ěleso hmonosi 4 kg působí síla F po dobu ří sekund od začáku akce Určee a znázorněe graficky a) impuls, kerý udělí síla ělesu během éo doby, b) změnu hybnosi ělesa, ke keré dojde v oméž časovém inervalu Řešení: a) Impuls síly určíme podle základního vzahu: I F d 3 d Ns b) Víme, že impuls síly je roven změně hybnosi, pak - p 9kgms Jiný způsob výpoču: F v a d d d d m 4 4 Pak - Δ p p p m v m v kgms 4 4 4

43 4 PRÁCE, VÝKON, ENERGIE 4 MECHANICKÁ PRÁCE Mechanická práce W je dráhový účinek síly Jednokou práce je joule W J, podle anglického fyzika J F Joulea (88-889) Práce je skalární veličina Práce může bý éž značená A Posune-li síla ěleso po určié dráze, pak ao síla vykoná práci Tao síla může bý konsanní nebo proměnná, může působi ve směru posunuí nebo pod určiým úhlem (en se rovněž může měni) Pokud síla působí pod úhlem α, vzhledem ke směru pohybu, pak ji rozložíme do dvou navzájem kolmých složek F, F Složka F posunuje ěleso a udíž vykonává práci Její velikos určíme pomocí goniomerické funkce kosinus F F cos Složka F je orienovaná vzhůru a ěleso nadlehčuje, ovlivňuje řecí sílu Její velikos určíme vzahem F F sin V případě, že je síla F kons, pak plaí Podle vzahu pro skalární součin dvou vekorů W F s F s cos a říkáme, že práce je skalárním součinem síly F a posunuí s a b abcos můžeme psá W F s, 43

44 Za předpokladu, že síla F kons, musíme pro určení práce použí infiniezimální poče Dráhu s rozdělíme na dráhové elemeny d s ak malé, že můžeme sílu F (a ím i její složku F ) na ěcho elemenech považova za konsanní Pak vykonanou elemenární práci vyjádříme vzahem dw F ds F cos ds Celkovou mechanickou práci získáme inegrací (součem) jednolivých elemenárních prací d W d W W s F cos ds F ds s s s Vykonaná práce je rovna obsahu obrazce pod křivkou, kerá vyjadřuje funkční závislos síly na dráze Př: Na ěleso, keré se nachází v klidu, začne působi síla F 3s ve směru pohybu a posune ho do vzdálenosi 8 m Určee velikos vykonané práce Zakreslee množsví vykonané práce do grafu Řešení: Síla svírá se směrem pohybu úhel, pak cos s s s W F ds F cos α ds F ds 3 s ds 3 s s s Zakreslíme uvedené vzahy do grafu o osách F s, s J Velikos práce je daná obsahem obrazce pod křivkou (v omo případě přímkou) 44

45 4 VÝKON Výkon je časové zhodnocení vykonané práce P W Jednoka byla nazvaná na počes anglického vynálezce parního sroje Jamese Waa (736-89) Výkon je o skalární veličina Výkon značíme P, jednokou výkonu je wa Rozlišujeme výkon a) průměrný sledujeme celkovou práci vykonanou za celkový čas W P b) okamžiý určíme jako práci vykonanou v daném časovém okamžiku dw P d Proože d W F d r, pak můžeme okamžiý výkon vyjádři jako skalární součin síly F a rychlosi v, kerou se v daném okamžiku působišě síly pohybuje F d r P F v d 43 MECHANICKÁ ENERGIE Energie je fyzikální veličina, kerá vyjadřuje míru schopnosi ělesa kona práci Jinak řečeno energie je všechno o, z čeho je možné získa práci nebo v co se práce přemění E J Energie je skalární veličina Jednokou energie je joule I KINETICKÁ ENERGIE Kineická energie E pohybujícího se ělesa se rovná práci, kerá je pořebná k jeho uvedení k z klidu do pohybového savu s rychlosí v Pokud se ěleso pohybovalo rychlosí v a pod vlivem působící síly se rychlos změnila na hodnou v, pak je ao práce rovna právě změně kineické energie E ělesa k 45

46 Uvažujme sílu působící ve směru pohybu, pak cos cos Vzhledem k omu, že hmonos m je konsanní, pak po inegraci je v v v v v dv W F ds F cos ds mads m ds mvdv m v d v v v W mv mv Ek Ek E k Množsví vykonané práce je rovno změně kineické energie ělesa v v v v Kineickou energii E k ělesa o hmonosi m, keré se pohybuje rychlosí v, určíme podle vzahu E mv k Se zvěšující se rychlosí ělesa kineická energie rose, při poklesu rychlosi kineická energie klesá II POTENCIÁLNÍ ENERGIE Poenciální energie závisí na vzájemné poloze dvou OBJEKTŮ a na druhu síly, kerá jejich polohu ovlivňuje Podle oho rozeznáváme poenciální energii a) íhovou ( F ), G b) graviační ( F ), g c) elekrosaickou ( F ), e d) pružnosi ( F ) p Nejčasěji se sekáme s poenciální energií íhovou Jesliže zvedáme ěleso o hmonosi m z výšky h do výšky h silou o velikosi íhové síly F m g, ale opačně orienovanou, vykonáme nad povrchem Země G práci W h F ds h h F cos ds h Proože je síla orienovaná ve směru pohybu, pak cos cos Proože síla je konsanní, vykneme ji před inegrál a po inegraci dosaneme h h h h h h h h Poom plaí W F ds F ds m g ds m g s m g h h 46

47 W mg h mg h Ep Ep ΔE p Poenciální energii íhovou E p ělesa hmonosi m ve výšce h nad povrchem Země vyjádříme podle vzahu E m g h p Pokud ěleso soupá, poenciální energie íhová rose Při klesání se zmenšuje V poli konzervaivních sil (např íhová síla) se přírůsek kineické energie rovná úbyku energie poenciální V diferenciálním varu můžeme oo zjišění zapsa ako: d E d E, k p d E d E, k p d E E k p d E E kons Teno zápis vyjadřuje zákon zachování energie Souče kineické energie a poenciální energie je konsanní E E k E p kons Teno zápis vyjadřuje zákon zachování energie Plaí v neodporujícím prosředí V odporujícím prosředí se čás mechanické energie přeměňuje vlivem ření v energii epelnou 47

48 5 DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA Reálná ělesa pevného skupensví jsou uspořádané soubory čásic (aomů, molekul, ionů), keré jsou vázány působením vniřních sil Vniřní síly nemají vliv na pohybový sav ělesa Změnu pohybového savu mohou způsobi pouze síly vnější Tyo síly však mohou navíc způsobi deformaci ělesa Tuhé ěleso je ideální ěleso, jehož var a objem se nemění účinkem vnějších sil Zavádíme ho jako absrakní pojem, kerý zjednoduší řešený problém Zavedení pojmu uhé ěleso má význam u ěch problémů, kdy na řešení úlohy má vliv var ělesa a rozložení hmoy v ělese Teno vliv se projevuje především u roačních pohybů 5 TRANSLAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA Při ranslačním pohybu se ěleso posunuje po podložce přímočaře Budeme uvažova, že všechny body ělesa mají sejnou hmonos Pro všechny body ělesa v daném okamžiku plaí: pohybují se sejnou rychlosí v, na všechny působí sejná síla F, během určiého časového inervalu urazí sejnou dráhu s (var rajekorie je sejný) 5 ROTAČNÍ POHYB TUHÉHO TĚLESA Při roačním pohybu se ěleso oáčí kolem osy, kerá může bý umísěná libovolně (i mimo ěleso) Všechny body se pohybují po kružnicích se sředy v ose oáčení, jejich roviny jsou kolmé k ose oáčení Pro jejich pohyb dále plaí: pohybují se sejnou frekvencí f, pohybují se sejnou úhlovou rychlosí ω f, pohybují se různou obvodovou rychlosí v ωr f r, proože a závisí na vzdálenosi libovolného bodu ělesa od osy oáčení, rajekorie pohybu (kružnice) bodů ležících v různé vzdálenosi od osy oáčení se liší poloměrem, na body v různé vzdálenosi od osy oáčení působí různá odsředivá síla v ω r F od m m m ω r 4 f m r r r 48

49 Těleso je ak napínáno odsředivými silami Při vysoké frekvenci oáčení může dojí k narušení reálného ělesa a jeho desrukci 53 TĚŽIŠTĚ, HMOTNÝ STŘED Pojmy ěžišě i hmoného sředu mají sejný fyzikální význam Je o bod, do kerého je umísěna výslednice všech sil, keré na ěleso působí Pokud na objek působí pouze íhová síla F G, pak o je působišě íhové síly Označení hmoný sřed používáme u sousavy izolovaných bodů, keré jsou v určiém vzájemném vzahu (např iony v modelu krysalu soli NaCl) Souřadnice hmoného sředu x s, y s, z s určíme pomocí vzahů y x s z s s n m x i i m x mx mnxn i, m m mn m i i m y m y mn yn i, m m mn m n n m m z i i m z mz mnzn i, m m mn m y kde m i hmonos i-ého bodu (segmenu); x i, y i, z i souřadnice i-ého bodu; m + m + +m n = m Při řešení souřadnic hmoného sředu je vhodné umísi objek do sousavy souřadných os ak, aby bylo jednoduché urči souřadnice jednolivých bodů (segmenů) Označení ěžišě používáme u spojiého koninua (ělesa), keré je vořeno mnoha body V omo případě řešíme souče pomocí inegrace Souřadnice ěžišě x, y, z určíme ako: T T T 49

50 x T m x dm, m y T m y dm, m z T m z dm m Veličina m je hmonos ělesa, dm je elemen hmonosi, x, y, z jsou okamžié souřadnice elemenu dm V praxi jsou pojmy hmoného sředu a ěžišě zoožňovány 54 MOMENT SETRVAČNOSTI Momen servačnosi charakerizuje ěleso při roačním pohybu Závisí na rozložení hmoy v ělese vzhledem k ose oáčení Značíme J, jednokou momenu servačnosi je J = kgm Momen servačnosi je skalární veličina POZNÁMKA: Má sejný význam jako hmonos ělesa m při posuvném pohybu Jesliže si předsavíme prázdný dobře namazaný vozík, pak ho rozlačíme a zasavíme snadno Kdybychom naopak měli na vozíku kg maeriálu, bude obížné uvés ho do pohybu a naopak Podobný pokus si můžeme předsavi při rozáčení a brzdění polysyrénového nebo železobeonového válce Tušíme, že u železobeonového válce sejných rozměrů bude změna pohybu nesnadná Budeme uvažova ěleso hmonosi m oáčející se kolem osy, kerá leží ve vzdálenosi r od ěžišě Jesliže nasane akový případ, že rozměry ělesa lze vzhledem ke vzdálenosi r zanedba (hmoný bod), pak momen servačnosi bude J m r Ze zápisu vyplývá, že momen servačnosi bude ím věší, čím dále bude hmoa od osy oáčení Tako můžeme řeši momen servačnosi Země při jejím pohybu kolem Slunce Rozměry Země vzhledem ke vzdálenosi od Slunce je možné zanedba Př: Určee momen servačnosi Země, kerá se pohybuje po kruhové dráze,kolem Slunce Řešení: Hmonos Země je 5,98 4 kg, poloměr oběžné dráhy kolem Slunce je 5 9 m 4 J m r 5, kgm

51 5 V případě věšího poču navzájem izolovaných bodů bude momen servačnosi sousavy roven souču momenů servačnosí jednolivých bodů n i i n n n J r m r m r m m r J J J J J Př Určee momen servačnosi Sluneční sousavy Řešení: jejich sřední vzdálenosi od Slunce Pak vypočěe jejich momeny servačnosi a y následně sečěe

52 Tako je možné řeši momen servačnosi v případě izolovaných bodů (rozměry ěles jsou vzhledem ke vzdálenosem zanedbaelné) U ělesa (spojiého koninua) s nekonečným počem čásic nahradíme prosý souče momenů servačnosí inegrací Těleso rozdělíme na hmoné elemeny d m, keré budou v určié vzdálenosi r od osy oáčení Pak každý hmoný elemen bude mí svůj vlasní elemenární momen servačnosi d J r d m Celkový momen servačnosi získáme jejich inegrací (součem) J m d J Inegrova budeme přes celou hmonos ělesa m r d m U pravidelných ěles je možné výpoče sanovi snadno Momeny servačnosi J někerých T pravidelných objeků hmonosi m vzhledem k ose procházející ěžišěm jsou uvedeny v abulkách Např: válec osa roace je v hlavní ose koule osa roace prochází ěžišěm obruč osa roace je kolmá k rovině roace yč osa roace je kolmá k yči J mr T J mr T 5 J mr T J T ml kde r je poloměr válce, m je hmonos válce kde r je poloměr koule, m je hmonos koule kde r je poloměr obruče, m je hmonos obruče kde l je délka yče, m je hmonos yče GYRAČNÍ POLOMĚR V někerých případech v praxi je při výpočech vhodné použí veličinu gyrační poloměr Gyrační poloměr je aková vzdálenos od osy oáčení, do keré bychom museli umísi všechnu hmonos m ělesa, aby se momen servačnosi nezměnil J m R Pak J R m 5

53 STEINEROVA VĚTA Seinerova věa slouží k výpoču momenů servačnosí ěles, kerá se oáčejí kolem osy neprocházející ěžišěm J J md T, kde J je momen servačnosi ělesa vzhledem k ose procházející ěžišěm, T m je hmonos ělesa, d je vzdálenos ěžišě od okamžié osy, osy musí bý rovnoběžné 55 MOMENT SÍLY Při oáčivém pohybu závisí oáčivý účinek síly působící na ěleso na velikosi a směru síly a na vzdálenosi síly od osy oáčení (na umísění působišě síly) Všechny yo fakory v sobě spojuje veličina momen síly M Momen síly M je mírou oáčivého účinku síly F působící na ěleso oáčivé kolem pevného bodu Působišě síly je ve vzdálenosi r od osy oáčení Tuo vzdálenos nazýváme rameno síly Rameno síly je vekorová veličina r Úhel je úhel, kerý svírá síla s ramenem síly Působící sílu rozložíme na dvě složky o velikosech: F F cos, F F sin Z obrázku je zřejmé, že oáčivý účinek má složka F, kerá je kolmá k rameni síly r Je o složka angenciální (ečná) Je ečnou ke kružnici, po keré se oáčí koncový bod polohového vekoru Vekorová přímka složky F prochází osou oáčení a na oáčení ělesa nemá vliv Je o složka normálová (kolmá) 53

54 Velikos momenu síly určíme pomocí angenciální složky pomocí vzahu Po dosazení je Jednokou momenu síly je M = Nm M r F sin M F r POZNÁMKA: Proože r, F jsou velikosi příslušných vekorů, můžeme v souladu s pravidly vekorové algebry c ab sin c a b eno vzah zapsa jako vekorový součin vekorů r a F Pak plaí M r F Výsledný vekor M je kolmý k vekoru r i k vekoru F POZNÁMKA: Při vekorovém součinu vekorů je důležié dodržova pořadí vekorů Při jejich záměně získáme vekor opačný Kladný smysl vekoru M určíme podle pravidla pro vekorový součin: Šroubujeme-li do roviny obou vekorů r a F pravoočivý šroub ak, jak síla oáčí kolem bodu O ramenem, posupuje šroub v kladném směru vekoru momenu síly Souřadnice výsledného vekoru M určíme pomocí deerminanu Př Určee vekor momenu síly M, kerý je zadán jako vekorový součin M r F Polohový vekor r i j 3k, vekor síly F i 3 j k Řešení: i j k M 3 i 6k 3 j k 9i 4 j 9 i 3 4 j 6 3 Pak M 7i 7 j 7k k Momen síly při roačním pohybu má sejný význam jako síla při ranslačním pohybu Způsobuje změnu pohybového savu ělesa 54

55 Zapíšeme M J Mohou nasa ři případy: M Nm ěleso je v klidu nebo rovnoměrném oáčivém pohybu, M kons ěleso je v rovnoměrně zrychleném (zpomaleném) oáčivém pohybu, 3 M kons ěleso je v nerovnoměrně zrychleném (zpomaleném) oáčivém pohybu Předchozí zápis je shodný s II Newonovým pohybovým zákonem síly, kerý popisuje pohyb ranslační Na ěleso může současně působi více sil s oáčivým účinkem Výslednice jejich momenů je rovna vekorovému souču jednolivých momenů sil M n M M M 3 M n M i i 56 MOMENT HYBNOSTI Momen hybnosi b je vekorová veličina Charakerizuje pohybový sav ělesa při roačním pohybu, podobně jako hybnos charakerizuje pohybový sav ělesa při ranslačním pohybu Souvisí s momenem servačnosi J a úhlovou rychlosí vzahem b J Jednokou momenu hybnosi je b = kgm rads - Jesliže dojde ke změně úhlové rychlosi, změní se zároveň i momen hybnosi Vekor momenu hybnosi b je orienovaný sejným směrem jako vekor momenu síly M Podobně jako u ranslačního pohybu (zákon zachování hybnosi) můžeme vyslovi pro roační pohyb zákon zachování momenu hybnosi Jesliže na ěleso oáčivé kolem osy nepůsobí vnější síla (izolovaná sousava), nebo jesliže je výsledný oáčivý momen vnějších sil roven nule, je momen hybnosi co do velikosi i směru konsanní 57 POHYBOVÁ ROVNICE ROTAČNÍHO POHYBU Pohybová rovnice roačního pohybu je analogická pohybové rovnici ranslačního pohybu F Δv Δ p m a m Δ Δ Pro roační pohyb zapíšeme pohybovou rovnici ve varu: b M J J 55

56 Slovně můžeme eno zápis vyjádři ako: Jesliže na ěleso s momenem servačnosi J působí momen síly M, pak se ěleso oáčí s úhlovým zrychlením Tzn, že se změní úhlová rychlos, a ím i momen hybnosi b Př Válec o momenu servačnosi kgm se oáčí s frekvencí 6 Hz Určee dobu, za kerou se válec rovnoměrně zpomaleně zasaví vlivem řecího momenu síly 8 Nm Řešení: Proože se jedná o rovnoměrně zpomalený pohyb, pak je počáeční úhlová rychlos - ω π f π 6 rads Konečná úhlová rychlos je při zasavení ělesa - rads Z rovnice pro úhlovou rychlos vyjádříme zrychlení Po dosazení do pohybové rovnice dosaneme M J Z éo rovnice vyjádříme čas ω ω Pak J 3s M 8 58 PRÁCE, VÝKON, KINETICKÁ ENERGIE PŘI ROTAČNÍM POHYBU PRÁCE MOMENTU SÍLY V případě, že angenciální složka síly F (označili jsme F ) svým působením na ěleso oáčivé kolem osy oočí polohový vekor r o úhel, vykoná práci W M Jednokou práce momenu síly je joule VÝKON MOMENTU SÍLY Výkon při roačním pohybu předsavuje sejně jako při posuvném pohybu časové zhodnocení práce W Plaí P, edy po dosazení za práci momenu síly dosáváme M P M Jednokou výkonu momenu síly je wa 56

57 KINETICKÁ ENERGIE ROTAČNÍHO POHYBU Jesliže na ěleso o momenu servačnosi J působí momen síly M, dojde ke změně úhlové rychlosi z hodnoy na hodnou Momen síly M přiom vykoná práci W Množsví vykonané práce se projeví změnou kineické energie roační Souvislos mezi prací W a změnou kineické energie vyjádři vzahem: Ek při roačním pohybu můžeme W E k E k E k Vzah pro roační kineickou energii zapíšeme ve varu: Jednokou je joule Ek J Př: Určee kineickou energii valícího se válce o hmonosi 4 kg a poloměru,5 m Válec se valí rychlosí ms - Řešení: Momen servačnosi válce vzhledem k ose procházející ěžišěm je J mr Válec v příkladu se neoáčí kolem osy v ěžiši, ale kolem okamžié osy, kerá leží na syku válce s podložkou Momen servačnosi pak určíme podle Seinerovy věy Vzdálenos osy oáčení od ěžišě je rovna poloměru r 3 J J md mr mr mr T Kineickou energii určíme podle vzahu Po dosazení dosaneme E 3 k 4,5,75J 4 E k J ω m r ω m r ω m v

58 Srovnání vzahů popisujících ranslační a roační pohyb TRANSLAČNÍ POHYB dráha: s rychlos: v zrychlení: a rovnoměrný pohyb: v= kons s v s rovnoměrně zrychlený pohyb: v a s a v v s nerovnoměrně zrychlený pohyb: d s d v v, a d d s v d, v a d ROTAČNÍ POHYB úhlová dráha: úhlová rychlos: úhlové zrychlení: rovnoměrný pohyb: kons rovnoměrně zrychlený pohyb: nerovnoměrně zrychlený pohyb: d d, d d d, d hmonos: m momen servačnosi: J síla: F ma momen síly: M J hybnos: p mv momen hybnosi: b J impuls síly: I F d p momen impulsu síly: L M d b práce: W s F d s E s k práce: W kineická energie ranslační: E mv k kineická energie roační: dw dw výkon: P výkon: P d d M d E Ek J k 58

59 6 HYDROSTATIKA Hydrosaika zkoumá a popisuje zákoniosi chování kapalin ve savu klidu Kapalina má sálý objem, ale nemá sálý var Zaujímá akový var jako je var nádoby, ve keré je umísěná Je velmi málo slačielná (ideální kapalina je neslačielná), dokonale pružná, nerozpínavá Velmi malé slačielnosi kapalin se využívá v praxi S rosoucí eploou mění objem (zpravidla zvěšuje) Zavádíme pojem ideální kapalina je neslačielná a bez vniřního ření K popisu mechanických dějů v kapalině (hydromechanice) se užívají veličiny, keré jednoznačně určují v daném mísě její sav lak p v daném mísě je předsavován normálovou lakovou sílou působící na jednoku F plochy umísěnou v uvažovaném mísě p Jednokou laku je pascal (Pa) S husoa kapaliny (měrná hmonos) je hmonos jednokového objemu kapaliny m Pro homogenní kapalinu můžeme psá Jednokou je kgm -3 V rychlos v s kapaliny v jejím daném mísě je v, kde s je elemen dráhy a je doba pohybu čásice po omo elemenu Jednokou je ms - 6 POVRCH KAPALINY Hladina kapaliny zaujme vždy akovou polohu (var), že je kolmá k výslednici sil, keré na kapalinu působí Pokud je nádoba s kapalinou v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, působí na každou molekulu pouze íhová síla F G m g směrem svislým Kapalina má edy vodorovný povrch Povrch kapaliny v klidu Při zrychleném pohybu nádoby působí na každou molekulu kapaliny kromě íhové síly ješě síla servačná F s ma, kerá má opačný směr než je zrychlení a nádoby 59

60 Hladina je kolmá k výslednici F Úhel odklonu hladiny od horizonály je roven úhlu, kerý svírá íhová síla F G s výslednicí F Povrch kapaliny při zrychleném pohybu Určíme ho pomocí funkce Fs ma a an F m g g G 3 Při roačním pohybu nádoby kolem vlasní osy působí na každou molekulu kromě v r íhové síly ješě síla servačná odsředivá F od m m m r, kde v je r r rychlos oáčení, r je poloměr oáčení a je úhlová rychlos Kapalina reaguje na eno pohyb ak, že se její povrch zakřiví Povrch kapaliny v roující nádobě V uvažovaném mísě má molekula souřadnice x, y Působí na ni F G m g směrem svislým a odsředivá síla F od m x kolmo od osy roace Pro úhel pak plaí Fod m x x an x Zároveň pro ečnu k povrchu kapaliny v daném FG m g g g d y mísě plaí an Srovnáním obou rovnic dosaneme d x d d y x g x, pak 6

61 d y x dx g Budeme inegrova d y xd x g Proože íhové zrychlení g a úhlová rychlos f je pro danou frekvenci konsanní, ak po inegraci dosaneme x y, y g Což je rovnice paraboly y kons x y Povrch kapaliny v roující nádobě bude mí var paraboloidu Slačielnos kapalin Objemovou slačielnos kapalin charakerizuje koeficien objemové slačielnosi, kerý definujeme jako relaivní zmenšení objemu při jednokovém zvýšení laku vzahem dv V éo rovnici je V původní objem, dv elemenární zmenšení objemu V d p způsobené zvýšením laku d p Jednokou koeficienu slačielnosi je - Pa Proože je kapalina velmi málo slačielná jsou hodnoy velmi malé Např pro vodu je Pa -, pro ruť je Pa - Po odsranění vnějšího laku se kapaliny vracejí do původního objemu Říkáme, že jsou dokonale pružné Pružnos kapalin se charakerizuje koeficienem (modulem) objemové d p pružnosi K, pro kerý plaí K V Jednokou je Pa dv Absorpce kapalin Absorpcí kapalin rozumíme jejich schopnos pohlcova plyny Tao schopnos závisí na druhu V kapaliny i pohlcovaného plynu, na jejich eploě a laku Poměr se nazývá V rozpusnosí plynu v kapalině Určuje nejvěší objem V pohlcený jednokovým objemem V kapaliny Je bez jednoky Teploní objemová rozažnos kapalin U kapalin, keré nemají sálý var, lze vyjádři změnu objemu vzahem V V T, kde V je původní objem, V je konečný objem po změně eploy, T T T je změna eploy, je součiniel eploní objemové rozažnosi kapalin Jednoky jsou: V m, V m, T K, K 6

62 Součiniel eploní objemové rozažnosi kapalin je poměrně značně závislý na eploě, j není konsanní V různých rozmezích eplo je součiniel objemové rozažnosi různý Kapaliny se rozahují nerovnoměrně Výše uvedený vzah je edy správný jen v malých eploních inervalech Při změně eploy se zvěšuje objem, ale nemění se hmonos, proo dochází ke změně husoy kapalin Plaí m m T V V T T Husoa ělesa, keré zvěší svůj objem, se zmenší Změny husoy s eploou jsou celkem malé, v praxi je lze zanedbáva, avšak při přesných měření je nuné k nim přihlíže Anomálie vody u běžných láek všech skupensví se při zvěšování eploy objem zvěšuje, při ochlazování se zmenšuje Voda má výjimečnou vlasnos Při zahřívaní od C do 4 C se její objem zmenšuje (husoa rose) a eprve nad 4 C se začíná objem zvěšova (husoa klesá) Anomální chování vody vysvělujeme ak, že krysalická srukura ledu, kerá způsobuje, že led má menší husou než voda, se úplně rozpadne až při 4 C V rozmezí C až 4 C plavou drobné krysalky ledu na vodě Anomálie vody má velký význam pro živočichy Na povrchu vodních hladin vznikne ledová vrsva, kerá voří izolaci od mrazivého vzduchu Voda u dna má eplou 4 C, kerá umožňuje přežií V prvních článcích sledujeme ideální kapalinu je dokonale neslačielná a dokonale ekuá, bez vniřního ření 6 PASCALŮV ZÁKON Pascalův zákon charakerizuje vliv působení vnější síly na kapalinu Působí-li na kapalinu vnější síla, vyvolá v kapalině lak, kerý je v každém bodě sejný a šíří se všech směrech rovnoměrně Uvažujeme nádobu uzavřenou dvěma volně pohyblivými písy o různých průřezech S, S U ideální kapaliny plaí, že zmenšení objemu vlivem síly na jedné sraně se rovná zvěšení objemu na sraně druhé Jesliže s, s jsou posunuí na jedné a druhé sraně, pak V, V 6

63 S s S s Podle zákona zachování energie se práce vykonaná lakovou silou F při posunuí písu S rovná práci síly F pořebné k posunuí písu S Což zapíšeme F s F s Dělením rovnic dosaneme F S F S p kons Tedy maemaické vyjádření Pascalova zákona Ten se využívá v hydraulice hydraulické brzdy, hydraulické zvedáky, hydraulické posilovače řízení, lisy,, 63 HYDROSTATICKÝ TLAK Hydrosaickým lakem rozumíme obecně lak v kapalině způsobený vlasní íhou kapaliny F G, kerou kapalina působí na libovolnou plochu S Pak je FG m g V g S h g p, S S S S kde m je hmonos kapaliny, V je objem kapaliny, je husoa kapaliny Po vykrácení dosaneme vzah pro hydrosaický lak ve varu p h g POZNÁMKA: Veličina h předsavuje výšku kapaliny, kerá je vždy nad plochou S, na níž hydrosaický lak určujeme I SPOJENÉ NÁDOBY Z Pascalova zákona a hydrosaického laku vyplývají zákoniosi spojených nádob Jesliže je ve spojených nádobách v obou ramenech kapalina sejné husoy, na plochu d S působí hydrosaické laky p p Pak h g h g, z oho plyne, že h h Výška hladin v obou ramenech spojených nádob libovolného varu bude sejná 63

64 Spojené nádoby se sejnou husoou kapaliny Jesliže jsou ve spojených nádobách nemísielné kapaliny (rozdílných huso, ), pak ve výšce h nad nejnižším mísem jsou ve vodorovné rovině při savu rovnováhy h hydrosaické laky p p Pak h g h g Odud je h Spojené nádoby s různou husoou kapaliny II TLAKOVÁ SÍLA KAPALINY NA DNO NÁDOBY Pro lakové síly na dno nádoby plaí vzah F p S h g S Jesliže mají nádoby různý var, ale sejnou plochu dna, pak při sejné výšce kapaliny jsou akové síly na dno sejné (hydrosaické paradoxon) Tlaková síla na dno nádoby III TLAKOVÁ SÍLA KAPALINY NA STĚNU NÁDOBY Tlaková síla na sěnu nádoby s kapalinou je v závislosi na hloubce pod hladinou v každém mísě jiná V om případě budeme uvažova lakovou sílu, kerá působí na plošný elemen sěny d S l dh, kde l je délka sěny a d h je elemen výšky 64

65 pak elemenární laková síla je F h h h g ds h h F g l h h V případě, že Pak m h g l dh g l df p ds Po úpravách a inegraci posupně dosaneme h h h, je g l h F h dh g l h F g l h g h S Tlaková síla na šikmou sěnu se sklonem má sejný var h h 64 ARCHIMÉDŮV ZÁKON Každé ěleso, keré je umísěné v kapalině je ovlivňováno vzlakovou silou velikos vyjadřuje známý Archimédův zákon F vz Její Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vzlakovou silou, kerá je rovna íze kapaliny vylačené ponořeným objemem ělesa Archimédův zákon Uvažujme v kapalině předmě výšky h, jehož horní a dolní podsava o ploše S budou rovnoběžné (např válec) Pak na horní podsavu bude působi laková síla F h g S a na dolní podsavu bude působi laková síla F h g S Proože h h je F F Vzhledem k orienaci obou sil bude jejich výslednice F rovna vzlakové síle F vz F F Pak posupnou úpravou dosaneme h g S h g S h h g F vz F vz S h g S h S g V g m g Vzah pro vzlakovou sílu zapíšeme ve varu F vz V g 65

66 POZNÁMKA: Je řeba mí na paměi, že V je objem ponořené čási ělesa (může bý ponořeno celé), což je rovno objemu vylačené kapaliny, je husoa vylačené kapaliny, m je hmonos vylačené kapaliny Vzlaková síla je vždy orienovaná směrem vzhůru Předešlé úvahy plaí i pro ěleso v plynu Kromě vzlakové síly působí na každé ěleso v kapalině rovněž íhová síla, kerá je orienovaná směrem svislým Tyo dvě síly se skládají Uvažujme vzlakovou sílu F vz V g, kde je husoa kapaliny a íhovou sílu F G m g V g, kde je husoa ělesa, pak mohou nasa yo případy:, pak ěleso klesá ke dnu, pak se ěleso v kapalině vznáší, pak ěleso soupá k hladině 66

67 7 HYDRODYNAMIKA Hydrodynamika se zabývá mechanickým pohybem (prouděním) kapalin Proudění kapalin je ovlivňováno mnoha fakory Dělení je možné provés podle: Fyzikálních vlasnosí: proudění ideální kapaliny neslačielné, bez ření proudění vazké (viskózní) kapaliny uvažuje se vniřní ření proudění slačielné kapaliny husoa je funkcí času Časové závislosi určujících veličin: usálené (sacionární) proudění všechny určující veličiny jsou v daném mísě nezávislé na čase neusálené proudění (nesacionární) proudění - určující veličiny jsou v daném mísě závislé na čase 3 Druhu pohybu čásic: proudění poenciální (nevířivé) čásice se pohybují pouze posuvným pohybem proudění vířivé (vírové) - čásice se pohybují kromě posuvného i oáčivým pohybem kolem vlasní osy 4 Druhu pohybu vazké kapaliny: laminární proudění dráhy čásic jsou navzájem rovnoběžné, čásice nepřecházejí z jedné vrsvy do druhé urbulenní proudění čásice kapaliny mohou přecháze z jedné vrsvy do druhé, dochází k promíchání Křivka, po keré se čásice pohybuje se nazývá proudnice (proudová čára) Svazek proudnic, keré procházejí danou plochou, voří proudovou rubici, při malém průřezu proudové vlákno Budeme sudova proudění ideální kapaliny bez ření a nezlačielné 7 OBJEMOVÝ TOK, HMOTNOSTNÍ TOK Budeme uvažova proudění kapaliny husoy ρ porubím libovolného průřezu S Objemový ok a hmonosní ok Objemový ok Q V (průok) je objem kapaliny, kerá proeče průřezem S za jednu sekundu 67

68 Jednokou objemového oku je m 3 s - Q V dv d Jesliže při rychlosi proudění v se čásice kapaliny posunou za dobu pak dv S ds Q V, a edy d d Q V S v do vzdálenosi s, Příklad: Určee rychlos kapaliny, kerá proeče rubicí vniřního průměru cm při objemovém oku,34 m 3 s - Řešení: d = cm, r =, m, Q V =,34 m 3 s -, v =? Q V Q S v v S V Q r,34 3,4, V - m s Vekor rychlosi je kolmý k průřezu Hmonosní ok Qm předsavuje hmonos kapaliny, kerá proeče průřezem S za jednoku času Pro hmonosní ok plaí Jednokou je kgs - Q m d m d Vzhledem k omu, že mezi hmonosí, objemem a husoou plaí vzah d m dv dv Q m d d m V, pak Q m Q V Příklad: Vypočíeje, jakou rychlosí proudí voda v porubí poloměru cm, jesliže hmonosní ok je 3,4 kgs - Řešení: Q m = 3,4 kgs -, = kgm -3, v =? Q Q S Q r 3,4 3,4, m m - m S v v, ms 68

69 7 ROVNICE KONTINUITY (SPOJITOSTI) TOKU Při proudění kapaliny využíváme velmi malé slačielnosi kapaliny Proudění popisují dvě rovnice Při jejich sesavení vycházíme ze zákona zachování hmonosi a zákona zachování energie Budeme uvažova porubí se dvěma rozdílnými průřezy S, S Objemy kapalin, kerá projde jednolivými průřezy budou konsanní Pro neslačielnou kapalinu pak plaí (viz Obr výše) Q Q V V proože husoa je v každém průřezu sejná, je S v Sv Obecně lze psá Q V S v kons, což vyjadřuje rovnici koninuiy V užším průřezu je rychlos kapaliny věší Příklad: Voda proéká porubím průměru 4 cm rychlosí,5 ms - do dýzy, ze keré ryská rychlosí ms - Jaký průměr má dýza? Řešení: d = 4 cm, v =,5 ms -, v = ms -, d =?, S v S v d v d 4 4 d v d v v v,5 d d,4,m v 73 BERNOULLIHO ROVNICE Hmonosí elemen kapaliny d m proékající proudovou rubicí je co do velikosi konsanní má v každé poloze kineickou a poenciální energii vůči zvolené hladině Při průoku pak dojde k jejich změně Bernoulliho rovnice 69

70 Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování energie pro proudící kapalinu Při proudění kapaliny dojde se změnou rychlosi zároveň ke změně kineické energie a se změnou výšky ke změně poenciální energie íhové d E k dmv dmv, d dm g h m g h E p d Práce íhové síly se rovná změně poenciální energie práci dw p F ds F ds p S ds p S ds Pak dmv dmv dm g h dm g h p, S ds p, S ds dw d E Tlakové síly vykonají Proože d m, ak po vydělení levé a pravé srany rovnice objemovým elemenem d V dosaneme dv v v g h g h p p G p Upravíme ji na var v g h p v g h p nebo v g h p kons Výše uvedený výraz charakerizuje Bernoulliho rovnici Jednolivé členy mají rozměr Pa Člen v předsavuje dynamický lak, člen g h hydrosaický lak a člen p vnější lak POZNÁMKA: Bernoulliho rovnice odvozená pro ideální kapalinu plaí přibližně i pro kapaliny reálné (skuečné) Příklad Vodorovnou rubicí s průřezem cm proudí voda rychlosí 8 ms - Tlak vody je,8 5 Pa Jakou rychlos a lak má voda v rozšířeném mísě rubice o průřezu 4 cm S = -4 m, v =8 ms -, p =,8 5 Pa, S =4-4 m, v =?, p =? Řešení: Rychlos v určíme z rovnice koninuiy S v Sv S v v S Po dosazení je 7

71 4 8 - v 4ms 4 4 Pro výpoče laku použijeme Bernoulliho rovnici v g h p v g h p Proože je rubice vodorovná, pak h h a saické laky se vyruší v p v p, pak p p v v 5 5 p,8 8 4,3 Pa 7

72 8 KMITY Kmiavý pohyb je periodický přímočarý pohyb Hmoný bod nepřekročí konečnou vzdálenos od určié polohy, kerou nazýváme rovnovážnou polohou RP Pohybuje se periodicky z jedné krajní polohy (H) do druhé krajní polohy (S) a zpě Vykonává ho např ěleso zavěšené na pružině, keré po vychýlení pružiny kmiá (osciláor) Základními charakerisikami jsou frekvence kmiu f (Hz), doba kmiu T (s), úhlová frekvence (rads - ), okamžiá výchylka y (m), ampliuda výchylky kmiu (výkmi) A (m) Mechanické kmiy hmoných bodů prosředí mají u výhodu, že jsou názorné, a proo je sudujeme nejdříve Ovšem za kmiy (oscilace) považujeme jakýkoliv opakující se periodický děj, při němž dochází k pravidelné změně libovolné fyzikální veličiny v závislosi na čase Například při periodické změně velikosi a orienace inenziy elekrického pole nebo inenziy magneického pole hovoříme o elekrických nebo magneických kmiech Popisují je sejné rovnice 8 NETLUMENÝ KMITAVÝ POHYB Pružina je charakerizovaná veličinou k, kerou nazýváme uhos pružiny Jednokou uhosi pružiny je Nm - Při proažení pružiny vzniká v pružině síla pružnosi F p, jejíž velikos se v závislosi na prodloužení zvěšuje Síla pružnosi je orienovaná proi proažení pružiny výchylce z rovnovážné polohy y F k y Po uvolnění ělesa vzniká kmiavý pohyb p 7

73 Děj se periodicky opakuje mezi krajními polohami KP a KP Nejvěší vzdálenos kuličky od rovnovážné polohy nazýváme ampliudou a značíme A Okamžiá vzdálenos je okamžiá výchylka (elongace) a značíme ji y Jednokou ampliudy a okamžié výchylky je mer Síla pružnosi je úměrná okamžié výchylce a je charakerizovaná vzahem Kmiavý pohyb je pohyb periodický Lze jej srovna s jiným periodickým pohybem, a sice pohybem po kružnici Doba, za kerou se kulička dosane z jedné krajní polohy do druhé a zpě, se nazývá perioda T, podobně jako doba jednoho oběhu hmoného bodu (kuličky) po kružnici Převrácená hodnoa doby kmiu (periody) je frekvence f Jednokou periody je sekunda, jednokou frekvence je Hz=s - Plaí, že f T Úhlová rychlos pohybu po kružnici je f T Při kmiavém pohybu používáme pro ermín úhlová frekvence a pro označení fáze Jednokou je rads -, jednokou fáze je rad Při rovnoměrném pohybu po kružnici je úhlová dráha d y Pohybová rovnice nelumeného kmiavého pohybu je y d 8 Rovnice výchylky nelumeného kmiavého pohybu Síla pružnosi působící harmonický kmiavý pohyb je F k y p Tuo sílu lze podle Newonova pohybového zákona zapsa ve varu ma k y Jejím řešením je rovnice charakerizující dráhu hmoného bodu (okamžiou výchylku y), y Asin, 73

74 kde A je ampliuda kmiu, je úhlová frekvence nelumeného kmiavého k pohybu, je počáeční fáze Jednokou počáeční fáze je rad Počáeční fáze určuje m velikos okamžié výchylky v čase s Výraz v závorce je fáze pohybu Vzhledem k omu, že se při kmiavém pohybu jedná o periodickou změnu okamžié výchylky y v závislosi na čase, lze uo veličinu v časovém rozvinuí popsa pomocí periodické funkce sinustakový pohyb nazýváme harmonickým pohybem Příklad: Závaží o hmonosi 4 kg je zavěšeno na pružinu Pružina se ím prodlouží o 6 cm vzhledem ke své nezaížené délce a) Jaká je uhos pružiny? b) Dané závaží odsraníme a na uéž pružinu zavěsíme závaží o hmonosi,5 kg Poé pružinu ješě poněkud proáhneme a uvolníme Jaká bude perioda vzniklých kmiů? Řešení: m =4 kg, y =,6, k =? a) Na ěleso působí síla pružnosi a íhová síla, keré jsou v rovnováze pak m g 49,8 k y m g k k k 45,5 Nm - y,6 Tuhos pružiny je 45,5 Nm - 4 m,5 b) Pro uhos pružiny plaí k m T, 84 s T k 45,5 Perioda kmiů je,84 s 8 Rychlos a zrychlení nelumeného kmiavého pohybu Rychlos, kerou se ěleso při kmiavém pohybu pohybuje a její změnu, si velmi dobře předsavíme, když pozorujeme pohyb enisy na zadní čáře enisového kuru Provádí v podsaě kmiavý pohyb Rychlos v krajních polohách (ampliudách), kdy se musí hráč zasavi, je nulová Rychlos, kdy prochází sředem (rovnovážnou polohou) je maximální 74

75 Rychlos jakéhokoliv pohybu, a udíž i pohybu kmiavého, určíme derivací dráhy podle času Proože drahou kmiavého pohybu je okamžiá výchylka, pak derivujeme rovnici pro výchylku podle času a dosaneme d y v A cos, d kde výraz v A předsavuje maximální rychlos v, kerou kmiající objek prochází rovnovážnou polohou V ampliudě je rychlos nulová Pak rovnice v v cos je rovnice rychlosi kmiavého pohybu Zrychlení dosaneme derivací rychlosi podle času Derivujeme edy rovnici dále Pak zrychlení je dv a A sin, d kde výraz a A je maximální zrychlení a Too zrychlení má hmoný bod v ampliudě V rovnovážné poloze je zrychlení nulové Pak rovnice zrychlení je a a sin Příklad: Určee velikos rychlosi a zrychlení ve druhé sekundě kmiavého pohybu, jesliže okamžiá výchylka je dána vzahem y,4sin 5 (m,s) 6 Řešení: Z rovnice pro výchylku Asin - 5 rads a počáeční fázi rad y určíme ampliudu A =,4 m, úhlovou frekvenci 6 a) dosadíme do vzahu pro okamžiou rychlos A cos Pak v,45 cos 5,45 cos 6 6 Proože cosinus je funkce periodická můžeme psá v 3 v,45 cos,453,4 5,4 ms - 6 b) dosadíme do vzahu pro okamžié zrychlení a A sin 75

76 Pak a,4 5 sin5,4 5 sin 6 6 Proože sinus je funkce periodická můžeme psá a,4 5 sin,4 53,4 49, 3 ms - 6 Velikos rychlosi daného kmiavého pohybu ve druhé sekundě je 5,4 ms -, velikos zrychlení éhož pohybu je ve druhé sekundě 49,3 ms - 83 Práce sil pružnosi Při vychýlení ělesa z rovnovážné polohy, působí na vychýlený objek síla pružnosi F p k y Při posunuí o dráhový elemen ds vykoná elemenární práci dw dw F ds F ds cos Proože síla pružnosi a vychýlení mají opačný směr, je úhel 8 cos8 Obecný dráhový elemen ds nahradíme elemenem výchylky dy, k je konsana pružnosi Pak práce sil pružnosi je W Fp dy cos kydy kydy k y dy k y W k y 76

77 84 Poenciální energie pružnosi nelumeného kmiavého pohybu Poenciální energie závisí na vzájemné poloze dvou objeků a na práci, kerou je nuné při jejich vzdálení (přiblížení) vykona Podobně jako u poenciální energie íhové (íhová síla F G m g ) je změna poenciální energie rovna práci E p W Zde koná práci síla pružnosi Poenciální energii pružnosi získáme jako práci W, pořebnou k vychýlení hmoného bodu z rovnovážné polohy do vzdálenosi y Při výchylce y působí na hmoný bod síla pružnosi F k y Poenciální energii pružnosi pak sanovíme výpočem (viz výše) p E p W kydy kde y y k y y ky ky y m, pak y E p k y Předsavuje přírůsek poenciální energie pružnosi hmoného bodu vzhledem k poenciální energii hmoného bodu v rovnovážné poloze při vychýlení do vzdálenosi y Poenciální energie pružnosi (proože je ovlivňovaná silou pružnosi) mění během periody svou velikos v závislosi na výchylce y V libovolném časovém okamžiku má hodnou určenou vzahem E k A sin p Poenciální energie pružnosi závisí na okamžié výchylce Mění v průběhu harmonického pohybu svou velikos Poznámka: V rovnovážné poloze je poenciální energie pružnosi nulová, v ampliudách je maximální a její hodnoa je určená vzahem E k A p max 86 Kineická energie nelumeného kmiavého pohybu E mv k v A cos harmonického pohybu dosaneme Kineická energie je určena známým vzahem pro rychlos Po dosazení odvozeného vzahu 77

78 E m A cos k Použiím vzahu k m zapíšeme kineickou energii ve varu E k A cos k Kineická energie je závislá na okamžié hodnoě rychlosi Mění v průběhu harmonického pohybu svou velikos Poznámka: Proože je určená rychlosí osciláoru, je v ampliudách nulová, při průchodu rovnovážnou polohou je maximální Maximální kineická energie v rovnovážné poloze je sanovena výrazem E k A k max 85 Celková energie nelumeného kmiavého pohybu Celková energie E harmonického pohybu je v každém okamžiku rovna souču energie kineické E k a poenciální energie pružnosi E p E E E k p Jesliže sečeme okamžié hodnoy kineické energie a poenciální energie pružnosi, dosaneme celkovou energii kmiavého pohybu E E k E p k A cos k A sin Úpravou získáme E k A cos sin k A Pro celkovou energii kmiavého pohybu edy plaí vzah E k A 78

79 Proože uhos pružiny k je pro každou pružinu konsanní a ampliuda A nelumených kmiů je rovněž konsanní, je i celková energie harmonického pohybu konsanní Energie poenciální a kineická jsou s časem proměnné a přeměňují se navzájem Příklad: Těleso hmonosi kg koná nelumený harmonický pohyb podle rovnice - y 3sin ms Určee jeho poenciální energii v bodě vrau Řešení: m = kg, A = 3 m, ω = rads -,E p =? Pro poenciální energii plaí vzah E m A 3 36 p J Poenciální energie je 36 J E p k y V bodě vrau je výchylka rovna ampliudě, Příklad: Těleso hmonosi kg koná nelumený harmonický pohyb podle rovnice y,sin3 ms Ve vzdálenosi, m od rovnovážné polohy má poenciální energii,9 J Určee v éo poloze jeho kineickou energii Řešení: m = kg, A =, m, ω =3 rads -,E p =,9 J, E k =? Celková energie A E k je rovna souču E E E Pak p k E E E m A E 3,,9,7 J k p p 79

80 Kineická energie je,7 J Příklad: Těleso koná nelumený harmonický pohyb Perioda pohybu je s Celková energie ělesa je 3-5 J a maximální síla působící na ěleso má velikos,5-3 N Určee ampliudu výchylky Řešení: T = s, E = 3-5 J, F m =,5-3 N, A =? Celková energie je Dosadíme do vzahu pro energii, pak E k A, maximální síla je F k A Vyjádříme m 5 F m E 3 5 E A E F A A 4 m A m F 3 m,5 Ampliuda výchylky je 4-5 m k F m A 8 TLUMENÝ KMITAVÝ POHYB V odporujícím prosředí působí na mechanický osciláor síla odporu prosředí (lumící) F R v, kde R je koeficien odporu prosředí (jednoka kgs - ), v je rychlos osciláoru d y d y Pohybová rovnice lumeného kmiavého pohybu je b y, je úhlová d d frekvence nelumených kmiů (jednoka rads - ) Plaí R b, b je součiniel odporu prosředí (jednoka s - ) m k (k je uhos pružiny) m 8

81 Ampliuda lumených mechanických kmiů vlivem odporu prosředí exponenciálně klesá b A A e y Asin, y A e sin b, je úhlová frekvence lumených kmiů Vzah mezi úhlovou frekvencí lumených kmiů a úhlovou frekvencí nelumených kmiů (vlasní frekvencí) je popsán rovnicí b Z dalších konsan definujeme bezrozměrné veličiny bt úlum e logarimický dekremen úlumu bt, kde T je perioda lumených kmiů Energie lumených kmiů Pro energii kmiů plaí vzah E k A Proože kmiy probíhají v odporujícím prosředím, čás energie se vlivem ření přeměňuje na eplo Ampliuda lumených kmiů klesá podle funkce b Pak E k A e Po úpravě b A A e b E k A e E E e b Př: Těleso hmonosi m je zavěšeno na pružině uhosi k a koná lumený harmonický pohyb Síla lumící je F R v Určee jednoku koeficienu odporu prosředí B v základních jednokách sousavy SI Řešení: 8

82 Proože R b, je R bm Pak jednokou je kgs - m Př: Uvažuje lumené kmiy, jejichž doba kmiu je T a součiniel úlumu je b Poměr dvou po sobě jdoucích krajních výchylek na uéž sranu je úlum λ Vyjádřee úlum Řešení: Proože druhá ampliuda je časově o periodu posunuá, můžeme psá b A e b e bt e b bt b T e e A e Př: Uvažuje lumené kmiy, jejichž doba kmiu je T a součinielem úlumu je b Vyjádřee logarimický dekremen úlumu δ Řešení: bt ln ln e bt 83 NUCENÉ KMITY Nucené kmiy vznikají ehdy, když energii lumených kmiů, kerá se řením mění v eplo v pravidelných inervalech, nahrazujeme Vnější síla, kerá dodává energii, se nazývá budící síla Zvlášní případ nasane ehdy, když je ao síla harmonická Při nucených kmiech působí na ěleso ři síly: síla pružnosi k y, F p síla odporová F Rv, 3 síla budící F b F sin, kde Ω je úhlová frekvence budící síly Výslednice všech sil F F F F předsavuje pohybovou sílu, ovlivňující pohyb kmiajícího hmoného bodu p b Pohybová rovnice lumených kmiů je odvozená ze základní pohybové rovnice (Newonova zákonu síly) Zapíšeme ji ve varu ma k y Rv F sin Po úpravách a vyjádření rychlosi a zrychlení jako první a druhé derivace dráhy podle času dosaneme diferenciální rovnici nucených kmiů Zavedeme do rovnice známé konsany a získáme var 8

83 d y d y b y asin d d Řešením pohybové rovnice je vzah pro okamžiou výchylku ve varu y A e b sin A sin Hmoný bod koná v případě nucených kmiů vlasní lumené kmiy s frekvencí lumených kmiů ω jen zpočáku pohybu Po určié době yo kmiy usanou a převládnou kmiy nelumené s ampliudou vynucených kmiů A v, frekvencí vynucených kmiů Ω a počáeční fází vynucených kmiů Ψ Vlasní kmiy se uplaňují pouze v zv přechodovém savu b Obr8 Úpravou dosaneme ampliudu nucených kmiů ve varu A v a 4b 83 Rezonance Významný jev v praxi Jesliže posupně měníme frekvenci nucených kmiů Ω ak, že se bude blíži rezonanční frekvenci Ω r, pak se ampliuda nucených kmiů A v bude posupně zvěšova V okamžiku rovnosi bude nejvěší Dalším zvyšováním frekvence Ω bude ampliuda vynucených kmiů opě klesa Rezonance je jev, kerý nasane v případě, kdy frekvence Ω budící síly je sejná jako rezonanční frekvence Ω r Ampliuda nucených kmiů bude mí v om okamžiku maximální hodnou A r se přiom může mnohonásobně zvěši 83

84 Maximální hodnoy dosáhne v případě, když výraz ve jmenovaeli bude exrémně malý Pak rezonanční frekvence je určena vzahem r b Rezonanční ampliuda A r a b b A se pak určí pomocí vzahu r Závislos ampliudy je znázorněna na obrázku Jsou zde zachyceny ři různé rezonanční křivky pro ři různé součiniele úlumu b, přičemž b b b 3 Poznámka: V někerých případech je rezonance jev poziivní, například ehdy, když chceme zesíli akusický signál určié frekvence na pozadí jiných akusických signálů dalších frekvencí Naopak, například ve savebnicví, je rezonance nežádoucí Ve zvlášních případech mohou bý rezonanční ampliudy kmiajících objeků ak velké, že rozkmiy povedou k desrukci saveb Takový sav může nasa ehdy, když např frekvence oáček urbíny je sejná jako rezonanční frekvence kmiů budovy 84 SKLÁDÁNÍ KMITŮ Jesliže probíhají dva kmiavé pohyby v jedné přímce (zv sejnosměrné kmiy), leží i výsledné kmiy na éo přímce a výslednou výchylku dosaneme jako algebraický souče jednolivých výchylek v daném okamžiku 84

85 84 Rovnoběžné kmiy izochronní Mějme dva harmonické kmiy se sejnou úhlovou frekvencí ω = ω = ω, zv izochronní kmiy Při vekorovém znázornění leží oba kmiy na sejné přímce a mají sejný směr Každý z nich vykonává kmiy s určiou Ampliudou Frekvencí Fází Vzniklý složený kmi získáme součem okamžiých výchylek jednolivých kmiů Složením ěcho rovnoběžných kmiů dosaneme kde pro výslednou ampliudu A plaí a pro fázový posun φ (zv fázový posun) plaí Fázový posun předsavuje vzájemné posunuí fází dvou kmiajících složek jediného kmiavého pohybu Kmiy sejné fáze: Je-li rozdíl počáečních fází dvou kmiů, 85

86 kde k je celé číslo, mají oba skládané kmiy sejnou fázi V akovém případě lze položi Ampliudy se sčíají A A A Kmiy opačné fáze Skládáme-li kmiy s opačnými fázemi, lze počáeční fáze zapsa jako Ampliudy se odečíají A A A Při sejných ampliudách se mohou kmiy vyruši 86

87 Kmiy s různou fází (posunuím) 84 Rovnoběžné kmiy anizochronní Kmiy mají různou frekvenci V případě, že kmiy mají frekvence, keré se od sebe liší málo, vznikne složený kmi, jehož ampliuda se bude periodicky měni 87

88 Periodické kolísání ampliudy se projevuje zv rázy (záznějemi) Okamžiou výchylku výsledných kmiů určíme jejich součem Upravíme podle goniomerického vzahu Pak výsledný kmiavý pohyb je popsán rovnicí Ampliuda kmiů se bude periodicky měni v závislosi na frekvenci Ampliudová frekvence je edy Frekvence výsledných kmiů je Teno jev se používá při modulaci signálu V oblasi vf echniky a rádiového vysílání se používá ampliudově modulovaný signál Princip spočívá v modulaci (nabalení) nf signálu na vyšší frekvenci, keré říkáme nosná Tao nosná frekvence je konsanní Modulovaný nf signál může předsavova například elefonní hovor, hudbu apod Modulování nf signálu se projevuje změnou ampliudy nosné frekvence obr : Průběh nemodulované nosné vlny 88

89 obr : Časová změna ampliudy nosné vlny obr 3: Modulovaná nosná vlna 843 Skládání kolmých harmonických kmiů Vzájemně kolmé harmonické kmiy je nuné je skláda vekorově Tyo kmiy neleží v přímce, ale v rovině dané osami x a y, výsledné kmiy budou aké leže v éo rovině Dosaneme rovinnou křivku Obecně je výsledkem skládání dvou harmonických kmiů o sejné frekvenci pohyb po elipse, kerá ve zvlášních případech přechází v kružnici nebo úsečku 89

90 Pokud jsou amliudy sejné výsledný pohyb bude pohyb po kružnici Výsledný pohyb při skládání dvou kolmých harmonických kmiů různých frekvencí, ampliud a počáečních fází probíhá jako periodický pohyb po křivkách nazývaných Lissajousovy obrazce (křivky) Tvar obrazce závisí na poměru frekvencí 9

91 9 MECHANICKÉ VLNĚNÍ Dosud jsme při sudiu uvažovali pouze harmonický pohyb izolované čásice (hmoného bodu nebo ělesa), kerá konala kmiavý pohyb kolem rovnovážné polohy Jesliže akový objek bude součásí hmoného prosředí (uhého, kapalného, plynného), pak se kmiy neomezí jen na samoný hmoný bod, ale budou se přenáše i na sousední body ohoo prosředí Vlnění je pohyb složený z jednolivých kmiavých pohybů Z mísa prvoního kmiu zdroje se bude přenáše rozruch i na osaní body prosředí Říkáme, že v prosředí vzniká vlnění, případně, že prosředím se šíří posupná vlna Typickým příkladem vzniku vlnivého pohybu je vlnivý pohyb, kerý vzniká na vodní hladině po dopadu kamene Molekuly vodní hladiny jsou posupně uvedeny do kmiavého pohybu V omo případě se šíří ze zdroje vlnění (mísa rozruchu) rovinná vlna Kmiová energie druhý kmiající bod ka E jednoho kmiajícího bodu (osciláoru) se posupně přenáší na V uvedených (nebo dalších) případech se daným prosředím šíří vlnění konečnou rychlosí, kerá závisí na molekulových vazbách mezi čásicemi Prosředí jako celek však zůsává v klidu Jednolivé body pouze kmiají kolem rovnovážných poloh Tao poloha je sálá Vlnění je jedním z nejrozšířenějších fyzikálních dějů Šíří se jím zvuk, svělo, pohyby v zemské kůře při zeměřesení Vlnění má různou fyzikální podsau a může mí i složiý průběh Základní poznaky o vlnění je možné nejsnadněji objasni na vlnění mechanickém 9

92 9 RYCHLOST ŠÍŘENÍ POSTUPNÉ VLNY Kmiová energie se šíří prosorem rychlosí v (fázová rychlos) Fázová rychlos je v daném prosředí konsanní Do vzdálenosi x se rozšíří za dobu Pak plaí x v, případně v f T Kde je vlnová délka (vzdálenos, do keré se kmiová energie rozšíří za dobu jedné periody), T je perioda (doba jednoho kmiu osciláoru) a f je frekvence kmiavého pohybu (poče kmiů za sekundu) Pak vlnová délka je nejkraší vzdálenos dvou bodů, keré kmiají se sejnou fází Při přesupu vlnění do jiného prosředí zůsává frekvence sejná, mění se fázová rychlos a vlnová délka Jesliže jsou kmiy jednolivých bodů kolmé ke směru šíření vlnění, pak hovoříme o vlnění příčném Jesliže body kmiají ve směru šíření vlnění, jedná se o vlnění podélné 9

93 9 OKAMŽITÁ VÝCHYLKA BODU POSTUPNÉ VLNY Bod může kmia v libovolném směru Proo okamžiou výchylku y nejčasěji označujeme jako u Budeme uvažova řadu bodů Krajní bod řady (zdroj vlnění) kmiá s výchylkou popsanou rovnicí u Asin Bod řady ve vzdálenosi x bude uveden do kmiavého pohybu s časovým zpožděním Pak rovnice pro výchylku ohoo bodu bude zapsaná ve varu u Asin - Proože vlnění se šíří konsanní rychlosí, pak x x v v Dosadíme do vzahu pro výchylku x u Asin - v Proože fázová rychlos je v, T pak x T x u Asin - Asin T Vzhledem k omu, že, pak T T x u Asin T Po úpravě získáme rovnici x u Asin T Tao rovnice předsavuje vzah pro okamžiou výchylku bodu, kerý leží ve vzdálenosi x od zdroje vlnění v časovém okamžiku Tao rovnice plaí pro příčnou i podélnou Jesliže nebudeme uvažova úlum vlnění v daném prosředí, pak ampliuda kmiů jednolivých bodů řady bude sejná Vlnění se šíří v kladném směru osy x V případě, že by se vlnění šířilo opačným směrem, bylo by v rovnici kladné znaménko 93

94 Př: Prosředím se šíří posupné vlnění, jehož úhlová frekvence je rads - a rychlos šíření vlnění je 6 ms - Určee vlnovou délku ohoo vlnění Řešení: = rads-, v = 6 ms-, v Pro vlnovou délku plaí ze vzahu pro fázovou rychlos f Frekvenci f kmiavého pohybu vyjádříme ze vzahu f Pak f v 6 Po dosazení do vzahu pro vlnovou délku je m Vlnová délka je m Př: Posupné vlnění je popsáno rovnicí,5sin x u Určee periodu pohybu,4 8 libovolného bodu, frekvenci, vlnovou délku, fázovou rychlos Řešení: Srovnáním se základní rovnicí posupné vlny u Asin x u,5sin určíme ampliudu A=,5 m, T =,4 s, = 8 m,4 8 Výpočem určíme frekvenci podle vzahu f, 5 Hz T,4 8 Fázovou rychlos sanovíme z rovnice v ms - T,4 T x 93 FÁZOVÝ A DRÁHOVÝ ROZDÍL Jesliže rovnici pro okamžiou výchylku x u Asin T upravíme na var x x u Asin Asin T Srovnáním s rovnicí kmiavého pohybu A u sin, zjisíme, že druhý člen v závorce předsavuje fázový posuv bodu ve vzdálenosi x od zdroje vlnění vůči omuo bodu x Jesliže budeme uvažova dva body řady ve vzdálenosech x a x, pak jejich fázový rozdíl bude 94

95 Fázový rozdíl x x x x x bude úměrný dráhovému rozdílu x Jesliže budeme uvažova dva body řady, jejichž vzájemná x vzdálenos bude rovna sudému násobku polovin vlnových délek x k o je x k, kde k,,3,, pak fázový rozdíl bude roven k a oba body budou kmia ve fázi Budou dosahova maxima a minima současně Př: Určee fázový rozdíl mezi dvěma body, keré leží ve vzdálenosech x 6cm a - x 48cm od zdroje vlnění, jesliže vlnění se šíří rychlosí v 8ms s frekvencí f 4Hz Řešení: x =,6 m, x =,48 m, v = 8 ms -, f = 4 Hz Fázový rozdíl je x x K výpoču je nuné urči vlnovou délku v 8,3m f 4 Pak,48,6,3 rad,3,3 Body budou ve fázi 94 ENERGIE VLNĚNÍ Každá čásice kmiající kolem rovnovážné polohy má energii kmiavého pohybu 95

96 A E k, kde k m je konsana charakerizující pružnos prosředí a A je ampliuda kmiů Kmiová energie se přenáší z jednoho bodu na druhý, proudí z jednoho mísa prosředí do druhého Hovoříme o oku energie Pokud se bude prosředím husoy šíři posupná vlna, pak v objemovém elemenu V, kerý bude mí hmonos d m bude celková energie de dm A Zavedeme veličinu husou energie w, kerá bude obsažena v objemovém elemenu Pak w de dv dm dv A A V případě, že budeme uvažova objem d V, kerý bude voři kvádr ABCDEFGH, pak se rozruch, kerý prosoupí ploškou ds ABCD rychlosí v, dosane za dobu d do vzdálenosi d s (znak nahrazujeme znakem d velmi malá čás, je nuné použí vždy, když se jedná o proměnné hodnoy) Pro celkovou energii pak bude plai de wdv wds ds wds vd Tok energie vysílané zdrojem vlnění do prosředí za jednoku času d předsavuje výkon zdroje vlnění P Jednokou oku energie výkonu je wa (W) Výkon, a ím zároveň ok energie, charakerizuje vzah de P d Jesliže by zdroj vlnění vysílal do prosoru energii proměnné hodnoy, bylo by nuné eno vzah zapsa ve varu d E d 96

97 Zavedeme veličinu inenzia vlnění I, což je množsví celkové energie E, kerá projde jednokovou plochou S kolmou na směr šíření vlnění za jednoku času Definujeme ji vzahem I E S nebo I d E d d d S d S Po úpravě lze inenziu zapsa jako I P ds Jednokou inenziy je Wm - Proože de wdv wds ds wds vd, pak I wv v A Př: Popiše změnu inenziy vlnění v závislosi na vzdálenosi r od bodového zdroje vlnění konsanního výkonu P Řešení: Vlnění se šíří ze zdroje ve varu kulových vlnoploch Plochu kulové vlnoplochy určíme jako obsah povrchu koule o poloměru r Pak S 4 r P Inenzia I S rosoucí vzdálenosí inenzia klesá 4 r 95 VLNOVÁ ROVNICE Vlnová rovnice předsavuje pohybovou rovnici posupné vlny Jejím řešením by měl bý vzah pro okamžiou výchylku y, kerou máme zapsanou ve varu x u Asin T Poznámka: Zapíšeme-li pohybovou rovnici kmiavého pohybu jednoho hmoného bodu d y y, d vidíme, že obsahuje derivaci druhého řádu Jejím řešením je rovnice y A pohybová rovnice má jen jednu proměnnou veličinu, a ou je čas sin Tao 97

98 Proože vzah pro okamžiou výchylku y hmoného bodu posupné vlny obsahuje dvě proměnné čas a umísění x, bude obsahova pohybová rovnice dvě parciální derivace podle x a podle Rovnici pro okamžiou výchylku nejprve upravíme, a pak budeme posupně dvakrá derivova podle obou proměnných veličin x xt u Asin Asin T T λ Proože v, pak T x u Asin v Provedeme první a druhou derivaci posledního výrazu podle času : u x v Acos v předsavuje vzah pro okamžiou rychlos bodu ve vzdálenosi x v čase u x a Asin v předsavuje vzah pro okamžié zrychlení bodu ve vzdálenosi x v čase Nyní provedeme první a druhou parciální derivaci podle mísa x: u x A cos - x v v u x x A sin Asin x v v v v Srovnáme obě druhé parciální derivace a můžeme psá u u x v Tao rovnice předsavuje pohybovou rovnici posupné lineární vlny, kerá se šíří ve směru osy x, a o jednorozměrnou Pokud bychom chěli zapsa pohybovou rovnici posupné vlny šířící se v prosoru, pak by rovnice obsahovala parciální derivace podle, x, y, z u u u u x y z v V omo případě se jedná o řírozměrnou pohybovou rovnici, kerou můžeme pomocí zv Laplaceova operáoru 98

99 x y z zapsa ve zkráceném varu u u v V nejobecnějším případě, výchylku (elongaci) uvažujeme jako vekor, je vlnová rovnice ve varu u u v Poznámka: Označení u by nyní předsavovalo okamžiou výchylku hmoného bodu kolmou ke směru šíření vlny u příčné vlny a rovnoběžnou se směrem šíření vlny podélného vlnění 96 INTERFERENCE VLNĚNÍ V pružném prosředí se mohou současně šíři vlnění z různých zdrojů Nasává skládání kmiů příslušejících jednolivým vlněním V někerých oblasech, kde se vlny sekají, se vlnění překrývají a pak se opě rozcházejí a šíří se ak, jakoby se nikdy nesekala Každé vlnění se ak šíří nezávisle na osaních vlněních a chová se ak, jakoby v prosoru bylo samo Teno fak nazýváme principem nezávislosi šíření vlnění Výsledné skládání vlnění se nazývá inerference Jevy, keré skládáním vlnění vznikají jsou inerferenční jevy Inerferenční jevy můžeme pozorova v různých všude am, kde dochází k šíření vlnění Pozorujeme je při vlnění: mechanickém, akusickém, 3 elekromagneickém (opika) Poznámka: K inerferenci dochází například ehdy, když na klidnou vodní hladinu hodíme na dvě různá mísa dva kamínky Dopad kamenů rozkmiá vodní hladinu Sane se zdrojem vlnění, ze kerého se šíří vlny v kruhových vlnoplochách Kruhové se vzájemně prosoupí, projdou jedna druhou a pokračují ak, jakoby se nesekaly Kmiy jednolivých bodů se skládají na principu superpozice Výsledné kmiání je dáno vekorovým součem jednolivých kmiů 99

100 Ampliudy kmiů se periodicky mění V někerých mísech nasane zesílení (zvěšení ampliudy) v jiných mísech zeslabení (zmenšení ampliudy) Obecně jsou inerferenční jevy velmi složié Důležié inerferenční případy nasávají ehdy, když sledujeme inerferenci koherenních vln Koherenní vlny mají sejnou frekvenci, vlnovou délku, sejný směr kmiání, šíří se sejnou rychlosí a mají konsanní fázový rozdíl Jesliže se obě vlny ve společném bodě M sekají ak, že by měl kminou vzhledem k oběma vlnám současně jedním směrem, pak se ampliudy budou sčía a výsledné vlnění se zesílí Jesliže se obě vlny ve společném bodě M sekají ak, že by měl kminou vzhledem k oběma vlnám současně opačným směrem, pak se ampliudy budou odečía a výsledné vlnění se zeslabí Ampliuda výsledného kmiu je podle eorie skládání sejnosměrných kmiání A A, A A Acos kde fázový rozdíl je úměrný dráhovému rozdílu x x Mohou nasa významné případy: a) jesliže x x k pak k, kde k,,,3,, Obě vlnění se sekají ve fázi a nasane inerferenční maximum o ampliudě A A A

101 x x k pak k, kde k,,,3,, b) jesliže Obě vlnění se sekají v opačné fázi a nasane inerferenční minimum o ampliudě A A A Může nasa případ, kdy A A Pak se obě vlnění zruší Př: Vlnění je charakerizováno vlnovou délkou 4 m a) Určee fázový rozdíl mezi dvěma body, keré leží ve vzdálenosech m a m od zdroje vlnění b) Určee, zda body kmiají ve fázi Řešení: = 4 m, x = m, x = m, =? Pro fázový rozdíl plaí x x 4 rad 4 Fázový rozdíl je roven sudému násobku rad, body jsou ve fázi 97 STOJATÉ VLNĚNÍ Sojaé vlnění vznikne inerferencí dvou posupných vlnění sejné ampliudy a sejné vlnové délky, keré se šíří proi sobě Typickým příkladem je sojaé vlnění, keré vznikne při chvění sruny Sruna je upevněna na dvou koncích Drnkneme-li na srunu v určiém mísě, bude se z ohoo mísa šíři posupná vlna na obě srany Dospěje k mísům, kde je upevněná Tam se odrazí a od obou konců budou proi sobě posupova dvě koherenní vlny se sejnou ampliudou Tyo dvě vlny se složí budou inerferova Vznikne sojaé vlnění, keré se svými vlasnosmi bude liši od vlnění posupného Odvodíme rovnici sojaé vlny

102 vlna posupující v kladném směru osy x bude mí rovnici x u Asin T vlna posupující v záporném směru osy x bude mí rovnici x u Asin T Výchylka výsledného vlnění libovolném bodě M se bude rovna souču výchylek x x u u u Asin Asin, T T x x u Asin sin T T Použijeme goniomerický vzorec sin sin sin cos, pak rovnice sojaé vlny bude mí var Je vořena ze dvou čásí První předsavuje ampliudu kmiu bodu v umísění x Druhá čás je harmonická Ampliuda bude v každém bodě jiná a je určena výrazem A V Acos x V bodech, kde je cos je A V ěcho bodech bude ampliuda rvale nulová Nazývají se uzly Kmiová energie ěcho bodů je rovna nule E J Na Obr se jedná o body,, 3, 4, 5, 6

103 x V bodech, kde je cos je ampliuda maximální A V ěcho bodech bude mí ampliuda rvale maximální hodnou Nazývají se kminy Kmiová energie ěcho bodů je rvale maximální E ka Na Obr se jedná o body E, B, C, D, E Ve všech osaních bodech bude mí ampliuda určiou hodnou závislou na vzdálenosi x Vzdálenos d dvou uzlů je rovna polovině vlnové délky d Ze druhé čási (harmonické) sin, kerá je pro všechny body sejná, plyne, že body mezi T dvěma uzly kmiají ve sejné fázi Tzn, že v daném okamžiku dosahují svého maxima a minima současně Poznámka: Sojaé vlnění může nasa i při odrazu na volném konci V om případě je na konci bodové řady kmina Se sojaým vlněním se můžeme seka i v rovině Typickým příkladem jsou zv Chladniho obrazce Na kovovou desku upevněnou ve sředu nasypeme prášek Táhnuím smyčcem v kolmém směru desku rozechvějeme Vlnění bude posupova k hranám, am se odrazí a bude se vrace zpě na desce vznikne rovinné sojaé vlnění V mísech, kde budou uzly, budou zrníčka v klidu V mísech kmien budou kmia s maximální ampliudou Jev je možné demonsrova i na děském bubínku Srovnání vlnění U posupného vlnění kmiají všechny body se sejnou ampliudou, ale různou fází Kmiová energie, kerá je pro všechny body sejná se šíří prosředím U sojaého vlnění závisí ampliuda kmiů na poloze bodu a fáze mezi dvěma uzly je sejná Kmiová energie se liší pro jednolivé body v závislosi na jejich ampliudě a nedochází k jejímu přenosu 3

104 Př: V určiém prosředí vzniklo sojaé vlnění inerferencí dvou posupných vln s frekvencí 48 Hz Určee rychlos vlnění v omo prosředí, je-li vzdálenos dvou sousedních uzlů sojaého vlnění,5 m Řešení: f=48 Hz, d=,5 m, v=? Pro fázovou rychlos vlnění plaí v f Po dosazení ze vzahu pro vzdálenos sousedních uzlů d dosaneme v d f, ms - Rychlos šíření vlnění je 44 ms - 98 HUYGENSŮV PRINCIP V hmoném prosředí se rozruch šíří všemi směry Pokud se bude šíři ve všech směrech sejnou rychlosí, pak oo prosředí bude izoropní V opačném případě bude anizoropní Vlnoplocha V izoropním prosředí se energie rozšíří za sejný časový inerval do sejné vzdálenosi Všechny body v éo vzdálenosi budou kmia se sejnou fází Množina všech ěcho bodů se nazývá vlnoplocha Směr šíření vlnění se nazývá paprsek Je kolmý k vlnoploše Jesliže je zdrojem vlnění jeden hmoný bod, pak vlnoplochy v prosoru budou mí var koule V případě, že se vlnění bude šíři v rovině, budou vlnoplochy voři kruhy (např známá kola na vodní hladině) Jednolivé body prosředí se posupně rozkmiávají a samy se ak sávají zdroji vlnění Šíří se z nich zv elemenární vlnoplochy Jejich vnější obálka se pak sane celkovou výslednou vlnoplochou Teorií vlnoploch se zabýval Chrisian Huygens Proo se eno závěr nazývá Huygensovým principem Ze zdroje Z se šíří vlna Za dobu dospěje do vzdálenosi r Všechny body v éo vzdálenosi se rozkmiají a vyvoří drobné elemenární vlnoplošky Při pečlivějším pozorování je můžeme sledova na vodní hladině Tyo elemenární vlnoplošky jsou zvýrazněny a ohraničeny hlavní vlnoplochou Jesliže bude zdroj kmiů přímkového varu, pak vlnoplochy budou rovinné V případě, že posavíme hlavním vlnoplochám do cesy překážku (např desku s vyříznuými ovory), pak se hlavní vlnoplochy rozšíří do ěcho ovorů Body prosředí se v ěcho ovorech rozkmiají a vyvoří elemenární vlnoplochy Hlavní vlnoplocha bude mí var překážky 4

105 Pomocí Huygensova principu jsou odvozeny např zákony lomu a odrazu vlnění nebo ohybu vlnění na překážce 99 ODRAZ VLNĚNÍ Dosud jsme sudovali vlnění, keré se šíří pružným prosředím neomezeně Too prosředí je však věšinou omezené Na jeho konci začíná prosředí o jiné husoě, zn o jiných maeriálových vlasnosech Vazby mezi molekulami mají jiný charaker a hodnou Snadno si jevy, keré nasanou, předsavíme na hadici, kerá je na jednom konci upevněná Druhý konec uchopíme a kmineme jím dolů Vznikne prohlubeň, kerá se bude šíři hadicí Dospěje k překážce Tam se odrazí a posupuje zpě jako vrch Na pevném konci nasává odraz s opačnou fází Jesliže hadice nebude upevněná, pak se am i zpě bude rozruch šíři jako prohlubeň Na volném konci nasane odraz se sejnou fází Teno jev nasane například při šíření vlnění vzduchového sloupce v píšťalách Podobné jevy nasanou při přechodu vlnění z jednoho prosředí do druhého, jesliže jsou jejich husoy různé Jesliže rychlos vlnění v prvním prosředí v bude věší než ve druhém v, nasane odraz s opačnou fází Pokud bude rychlos v prvním prosředí v menší než ve druhém v, nasane odraz se sejnou fází Zákon odrazu Při vysvělení zákona odrazu použijeme rovinných vlnoploch Tyo vlnoplochy se vyvářejí, když má zdroj vlnění přímkový var nebo je zdroj vlnění v ak velké vzdálenosi, že poloměr 5

106 vlnoplochy je příliš velký a zakřivení je zanedbaelné Zákon odrazu je odvozován pomocí Huygensova principu Paprsek p dopadne na rozhraní dvou prosředí o různých husoách Bod dopadu se rozkmiá a sane zdrojem vlnění, ze kerého se šíří vlnoplocha ve směru paprsku p, zpě do původního prosředí Úhel dopadu se rovná úhlu odrazu Zákon lomu Budeme opě uvažova rovinnou vlnu Paprsek p dopadne na rozhraní prosředí Bod na rozhraní se rozkmiá a vlnoplocha se šíří do druhého prosředí ve směru paprsku p, Proože druhé prosředí má jinou husou, budou se vlnoplochy v jednolivých prosředích šíři různou rychlosí a výsledná vlnoplocha bude mí jiný sklon I v omo případě je možné pomocí goniomerických a rigonomerických vzahů odvodi souvislos mezi úhly dopadu a lomu a rychlosmi v prosředí Jesliže v prvním prosředí se šíří vlnění rychlosí v a ve druhém rychlosí v, pak zákon lomu zapíšeme ve varu Úhel je úhel dopadu, úhel je úhel lomu sin sin v n v Veličina n je rovna poměru rychlosí v obou prosředích a nazývá se index lomu vlnění pro daná prosředí Lom ke kolmici nasává ehdy, jesliže v v Pak Lom od kolmice nasává ehdy, jesliže v v Pak 6

107 Při specifickém úhlu dopadu (mezním úhlu m ), kerý je pro každé prosředí jiný, nasává oální odraz Vlnění se šíří po rozhraní obou prosředí Úhel lomu je v omo případě roven 9º Př: Pod jakým úhlem může nejvýše dopadnou zvuková vlna, aby se úplně od desky odrazila? Rychlos vlnění ve vzduchu je 34 ms -, v mosazi 3 ms - Řešení: v =34 ms -, v =3 ms -, =? Úhel lomu je v omo případě 9 Pak zákon lomu zapíšeme ve varu Po dosazení je sin,69 6 sin v sin 9 v 9 OHYB VLNĚNÍ Je jev, kerý nasává při dopadu vlnění na překážku, kerá je umísěná v daném prosředí Budeme uvažova vlnění, keré se bude šíři ve varu rovinných vlnoploch Kolmo ke směru šíření je umísěna překážka s ovorem Vlnění dospěje k ovoru Čásice prosředí v ovoru se rozkmiají a šíří se z nich vlnoplochy i za překážku do prosoru geomerického sínu Teno jev nasává ehdy, když je velikos překážky srovnaelná s vlnovou délkou vlnění 7

108 9 ZVUK Podélné vlnění posupující hmoným prosředím jako lakové vlny je možné fyziologicky vníma jako vibrace Tlakové vlny o frekvencích 6 Hz až Hz regisrujeme sluchem V omo případě hovoříme o zvuku 9 Rychlos šíření podélného vlnění (zvuku) E a) v pevné láce v, kde E (jednoka Pa) je modul pružnosi v ahu v pevné láce husoy Rychlos šíření příčného vlnění v pevné láce ja dána vzahem G v, Souvislos mezi podélným a příčným vlněním určuje vzah G me, kde G je modul pružnosi v orzi (jednoka Pa) a m je Poissonovo ( m ) číslo charakerisické pro každý maeriál b) v kapalině v k, kde k (jednoka Pa) je modul pružnosi kapaliny a (jednoka Pa - ) je modul objemové slačielnosi kapaliny husoy,, p c) v plynu v, kde je Poissonova konsana, p je lak plynu husoy, 9 Energie a inenzia zvuku Energie E vlnění vyslaná zdrojem zvuku za dobu předsavuje E výkon zdroje P Jednokou akusického výkonu je wa Odevzdá-li zvukové vlnění za čas energii E ploše S, je E P inenzia zvuku I S S - Jednokou akusické inenziy je Wm p Úpravou je I Av, kde A (jednoka m) předsavuje ampliudu vlnění, p je v lak (jednoka Pa) prosředí Př: Lidské ucho vnímá frekvence 6 Hz Hz při eploě 3 C V jakém inervalu leží příslušné vlnové délky? Řešení: f = 6 Hz, f = Hz, = 3 C, =?, =? 8

109 Pro rychlos šíření zvuku ve vzduchu plaí vzah: - v 33,6,67 33,6,673 35,5 ms Pro vlnové délky zvuku při daných frekvencích plaí: v 35,5 m f 6 v 35,5,8 m f Př: Zvuková vlna se vrací do mísa rozruchu jakožo ozvěna od kolmé sěny za,5 s Jaká je vzdálenos sěny od zdroje zvuku, je-li rychlos zvuku 33 m/s Řešení: =,5 s, v = 33 ms -, s =? Zvuk se šíří v daném prosředí konsanní rychlosí s, Pak v Doba pořebná k uražení dráhy k překážce je Pak po dosazení úpravě a,,5 dosazení je s v v 33 5 m Př: Zvuk se šíří ve vodě rychlosí 48 ms -, ve vzduchu rychlosí34 ms - Jak se změní při přechodu zvuku ze vzduchu do vody jeho vlnová délka? Řešení: Frekvence zvuku se při přechodu z jednoho prosředí do druhého nemění Ve vodě je rychlos šíření zvuku věší, pak se zvěší jeho vlnová délka Pro poměr vlnových délek plaí v f v 48 4,35 v v 34 f Vlnová délka je ve vzduchu 4,35 krá kraší Př: Pravidlo pro určení vzdálenosi v kilomerech od mísa, kde udeřil blesk, doporučuje počía sekundy od chvíle, kdy je vidě blesk, až do chvíle, kdy je slyše hrom a pak poče sekund vyděli řemi Vysvělee oo pravidlo Řešení jednoduché Př: Nejmenší vlnová délka, kerou je schopen vyda neopýr, je 3,3 mm Jaká je příslušná frekvence? Řešení jednoduché f = khz Př: Uslyšíme zvuk, jehož vlnění je popsáno rovnicí u,5sin98 6x? Vypočěe aké vlnovou délku a rychlos ohoo zvuku 9

110 Řešení: Porovnáme uo rovnici s rovnicí posupné vlny ve varu Pak 98 s 98, frekvence f 35Hz T T Tao frekvence paří do oblasi slyšielných frekvencí u Asin x T - Dalším srovnáním 6 m získáme vlnovou délku,5 m 6 Rychlos zvukového vlnění určíme ze vzahu f 35,5 33 m s v Př: Rychlos zvuku v ledu je 33 ms - Vypočíeje modul pružnosi v ahu ledu, je-li jeho husoa 9 kgm -3 Řešení: Rychlos podélných vln v pevné láce je dána vzahem E v Po dosazení hodno je E = 9,8 9 Pa v E Úpravou určíme Př: Vypočíeje modul pružnosi v ahu oceli, rozšíří-li se podélné vlnění do vzdálenosi m za dobu,88 s Husoa oceli je 7,8 3 kgm -3 s Řešení: Rychlos šíření vlnění je v daném prosředí konsanní Pak v a zároveň plaí v E Porovnáním obou vzahů je s E Po dosazení je E =, Pa Př: Vypočíeje modul pružnosi v ahu mědi, rozšíří-li se podélné vlnění v mědi do vzdálenosi m za dobu,69 s Řešení jednoduché E =, Pa Př: Vypočíeje koeficien slačielnosi alkoholu, je-li jeho husoa 8,6 kgm -3 a rychlos šíření podélných vln v alkoholu 7 ms - Řešení: Pro rychlos podélných vln v kapalině plaí vzah, po dosazení =8,6 - Pa - v v, úpravou dosaneme Př: Rychlos šíření podélných vln v oceli v = 5 ms - Jaká je rychlos šíření příčných vln, jesliže Poissonovo číslo m = 3,?

111 Řešení: Pro rychlosi šíření podélných v a příčných vln v plaí vzahy Kde modul pružnosi v orzi v m v m v m m v E a v G me ( m ) Proože E v je po úpravě Po dosazení je v = 3 m-s - G Př: Jaká je inenzia zvuku v posupující zvukové vlně o akové ampliudě, Pa a o frekvenci khz a) ve vzduchu, kde husoa vzduchu je,93 kgm -3 a rychlos šíření 33,7 ms -, b) ve vodě, kde husoa vody je kgm -3 a rychlos šíření 485 ms - p Řešení: Inenzia zvuku je I Po dosazení číselných hodno je v a) I =,7-6 Wm - b) I = 3,37-9 Wm - Př: Bodový zdroj výkonu W izoropně vysílá zvukové vlny Za předpokladu, že energie vln se zachovává, jaká je inenzia zvuku ve vzdálenosi m od zdroje? Řešení: P Jesliže I, pak S 4r je velikos kulové plochy o poloměru m, v jejímž sředu je S P umísěný zdroj zvuku Po úpravě je I a dosazení hodno je I =,8 Wm - 4 r Př: Uvažujeme dvě zvukové vlny, z nichž jedna se šíří,rychlosí v = 34 ms - ve vzduchu husoy =,9 kgm -3 a druhá ve vodě rychlosí v = 44 ms - Jaká je ampliuda akusického laku vlny ve vodě, mají-li obě vlny sejnou inenziu a ampliuda akusického laku ve vzduchu je p = 9,5 Pa? Řešení: Inenzia zvukové vlny ve vzduchu je I p v Jesliže I p v, inenzia zvukové vlny ve vodě je I I pak porovnáním obou vzahů a vyjádřením akusického laku v p získáme výraz p p Po dosazení hodno vyjde p = 5,4 Pa v Př: Sojíe ve vzdálenosi D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů sejně Když se přemísíe o 5 m blíže, zjisíe, že inenzia vln se zdvojnásobila Vypočěe vzdálenos D Řešení:

112 P Podle základního vzahu je inenzia zvuku I, kde S P P Pro vzdálenos D je I a I 4 D 4 D 5 P P Proože I I je 4 D 5 4 D Po úpravě je D D 5, pak D D 5 D D S 4 r je plocha koule poloměru r Získáme kvadraickou rovnici D D 5 Řešením je D = 7,7 m 93 Subjekivní vnímání zvuku Subjekivní vnímání zvuku popisuje hladina inenziy L (hladina zvuku), kerá je dána I - vzahem L lg, kde I Wm je prahová inenzia vnímaného zvuku při I frekvenci Hz Jednokou hladiny inenziy je db (decibel) Př: Zvuková inenzia elekrofonické kyary byla zesílená z - Wm - na -4 Wm - Kolik decibelů předsavuje zesílení? Řešení: I = - Wm -, I = -4 Wm -, L =? I I Hladina inenzi zvuku je dána vzahem L lg, L lg, pak rozdíl hladin je po I I úpravě I I I 6 L L L lg lg lg lg lg lg lg lg 6 I I I I I I I db Př: Určee hladinu inenziy L v, sečeme-li dva zvuky o sejných inenziách I Řešení: Dopadá-li, na přijímací sysém několik zvukových vln, bude jejich výsledná hladina inenziy rovna hladině inenziy souču veličin, keré původní hladiny určily (např inenzia, výkon, lak) Hladina inenziy zvuku je L v lg I I lg L 3 I L lg I Pak Výsledná hladina inenziy je o 3 db vyšší I I I I L lg lg lg lg v I I I

113 Př: Hladina inenziy (hlasios) zvuku zvěšíme o 3 db Kolikrá se zvýší jeho inenzia? Řešení: I I Původní hladina inenziy L lg se zvýší na L lg Podle zadání je I I L L 3 I I Pak lg 3 lg, I I rovnici vydělíme a upravíme podle pravidel pro počíání s logarimy lg I lg I 3lg lg I lg I lg I lg lg I lg I lg I lg Inenzia zvuku se zvýší krá lg I I I I I lg I Př: Při zkušebním leu proléá ryskové leadlo podzvukovou rychlosí ve výšce m nad zemí Hladina inenziy zvuku na zemi při průleu je L=5 db V jaké výšce by mělo leadlo leě, aby hladina inenziy (hlasios) na povrchu nepřekročila práh bolesi, j L = db? Dobu, za kerou zvuk z leadla dosáhne povrchu země, zanedbeje 3,6 km Řešení: P P Inenzia zvuku v daném mísě závisí na vzdálenosi a výkonu zdroje vzahem I S 4 r P I V dané vzdálenosi h = m je inenzia I a hladina inenziy L lg 4 h I P I V hledané vzdálenosi h je inenzia I a hladina inenziy L lg 4 h I P P Dosazením do obou vzahů za inenziy dosaneme L lg a L lg 4 h I 4 h I Proože je výkon zdroje v obou případech sejný, vyjádříme a porovnáme L L 4 h I 4 h I L L h h 3

114 h h 3 h L L 36,3 m Př: V roce 976 vyvořila skupina Who rekord v hlasiosi konceru Hladina inenziy zvuku byla ve vzdálenosi 46 m před reprodukory L = db Jaký je poměr inenziy I zvuku v daném mísě k inenziě I bucharu pracujícího s hladinou inenziy zvuku L = 9 db? Řešení: I I Pro hladiny inenzi plaí vzahy L lg a L lg Z obou vzahů vyjádříme I I L I I I I inenziy: lg lg lg I I I I I I Podobně 9, I I 94 Dopplerův jev Dopplerův jev popisuje závislos změny přijímané frekvence na pohybu zdroje zvuku a přijímače f je frekvence vysílaná zdrojem, v je rychlos zvuku, v je rychlos zdroje, u je rychlos přijímače Poom nasávají případy: zdroj se přibližuje a příjemce je v klidu, pak v f f v v přijímaná frekvence je vyšší zdroj se vzdaluje a příjemce je v klidu, pak v f f v v přijímaná frekvence je nižší příjemce se přibližuje a zdroj je v klidu, pak v u f f v přijímaná frekvence je vyšší příjemce se vzdaluje a zdroj je v klidu, pak v u f f v přijímaná frekvence je nižší 4

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Dynamika hmotného bodu. Petr Šidlof

Dynamika hmotného bodu. Petr Šidlof Per Šidlof Úvod opakování () saika DYNAMIKA kinemaika Dynamika hmoného bodu Dynamika uhého ělesa Dynamika elasických ěles Teorie kmiání Aranz/Bombardier (Norwegian BM73) Před Galileem, Newonem: k udržení

Více

Základy fyziky + opakovaná výuka Fyziky I

Základy fyziky + opakovaná výuka Fyziky I Úsav fyziky a měřicí echniky Pohodlně se usaďe Přednáška co nevidě začne! Základy fyziky + opakovaná výuka Fyziky I Web úsavu: ufm.vsch.cz : @ufm444 Zimní semesr opakovaná výuka + Základy fyziky 2 hodiny

Více

FYZIKA I. Pohyb těles po podložce

FYZIKA I. Pohyb těles po podložce VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJÍ FYZIKA I Pohyb ěles po podložce Prof. RDr. Vilé Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Ar. Dagar Mádrová

Více

1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici

1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici 34 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Předpoklady: 33 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb exisují analogické veličiny popisující pohyb po kružnici: rovnoměrný pohyb pojíko rovnoměrný pohyb

Více

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů: . Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.

Více

Derivace funkce více proměnných

Derivace funkce více proměnných Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme

Více

Parciální funkce a parciální derivace

Parciální funkce a parciální derivace Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září 2018 1. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Tlumené kmity. Obr

Tlumené kmity. Obr 1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující

Více

Pasivní tvarovací obvody RC

Pasivní tvarovací obvody RC Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :

Více

(2) Řešení. 4. Platí: ω = 2π (3) (3) Řešení

(2) Řešení. 4. Platí: ω = 2π (3) (3) Řešení (). Načrněe slepý graf závislosi dráhy sojícího člověka na b 2. Na abuli je graf A závislosi rychlosi pohybu rabanu kombi na Vypočěe dráhu, kerou raban urazil v čase od 2,9 s do 6,5 s. 3. Jakou rychlosí

Více

DYNAMIKA časový účinek síly Impuls síly. 2. dráhový účinek síly mechanická práce W (skalární veličina)

DYNAMIKA časový účinek síly Impuls síly. 2. dráhový účinek síly mechanická práce W (skalární veličina) DYNAMIKA 2 Působením síly na čásici se obecně mění její pohybový sav. Síla působí vždy v učiém časovém inevalu a záoveň na učiém úseku ajekoie s. 1. časový účinek síly Impuls síly 2. dáhový účinek síly

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované. finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární

Více

STUDIJNÍ TEXT. Základy fyziky. Fakulta strojní. Eva Janurová

STUDIJNÍ TEXT. Základy fyziky. Fakulta strojní. Eva Janurová STUDIJNÍ TEXT Základy fyziky Fakulta strojní Eva Janurová VŠB TU Ostrava, Katedra fyziky, 6 OBSAH ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 4 FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY 4 ROZDĚLENÍ FYZIKÁLNÍCH VELIČIN 6 KINEMATIKA

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha.

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Plocha. Saika 1 Saika 1 2. přednáška ové veličin Saický momen Těžišě Momen servačnosi Hlavní ěžiš ové os a hlavní cenrální momen servačnosi Elipsa servačnosi Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvu.cz Konrolní

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

x udává hodnotu směrnice tečny grafu

x udává hodnotu směrnice tečny grafu Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je

Více

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli NA POMOC FO Pád vodivého rámečku v maneickém poli Karel auner *, Pedaoická akula ZČU v Plzni Příklad: Odélníkový rámeček z vodivého dráu má rozměry a,, hmonos m a odpor. Je zavěšen ve výšce h nad horním

Více

ÚVOD. Fyzikální veličiny a jednotky Mezinárodní soustava jednotek Skalární a vektorové veličiny Skládání vektorů

ÚVOD. Fyzikální veličiny a jednotky Mezinárodní soustava jednotek Skalární a vektorové veličiny Skládání vektorů ÚVOD Obsah, metody a význam fyziky Fyzikální veličiny a jednotky Mezinárodní soustava jednotek Skalární a vektorové veličiny Skládání vektorů Název - odvozen z řeckého slova fysis = příroda Původně - nauka

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav

5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav 5. Využií elekroanalogie při analýze a modelování dynamických vlasnosí mechanických sousav Analogie mezi mechanickými, elekrickými či hydraulickými sysémy je známá a lze ji účelně využíva při analýze dynamických

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_10_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_10_FY_B Zákon síly. Hmonos jako míra servačnosi. Vyvození hybnosi a impulsu síly. Závislos zrychlení a hmonosi Cvičení k zavedeným pojmům Jméno auora: Mgr. Zdeněk Chalupský Daum vyvoření: 11. 11. 2012 Číslo DUM:

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK Vzhledem ke skuečnosi, že způsob modelování elasomerových ložisek přímo ovlivňuje průběh vniřních sil v oblasi uložení, rozebereme v éo kapiole jednolivé možné

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky

Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Fyzika (FYZ) Mechanika 1. ročník, kvinta 2 hodiny Fyzikální učebna vybavená audiovizuální technikou, fyzikální pomůcky Úvod Žák vyjmenuje základní veličiny

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Kinematika Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici Základní pojmy Kinematika - popisuje pohyb tělesa, nestuduje jeho příčiny Klid (pohyb)

Více

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8 Biologické modely Rober Mařík 9. lisopadu 2008 Obsah 1 Diferenciální rovnice 3 2 Auonomní diferenciální rovnice 8 3 onkréní maemaické modely 11 Dynamická rovnováha poču druhů...................... 12 Logisická

Více

Mechanika - kinematika

Mechanika - kinematika Mechanika - kinematika Hlavní body Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu Pohyb přímočarý rovnoměrný rovnoměrně zrychlený. Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici rovnoměrný rovnoměrně zrychlený Pohyb

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1 DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-07 Téma: Mechanika a kinematika Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TESTY Testy Část 1 1. Čím se zabývá kinematika? 2. Které těleso

Více

KINEMATIKA. 1. Základní kinematické veličiny

KINEMATIKA. 1. Základní kinematické veličiny KINEMATIKA. Základní kinemaické veličiny Tao čá fyziky popiuje pohyb ěle. VZTAŽNÁ SOUSTAVA je ěleo nebo ouava ěle, ke kerým vzahujeme pohyb nebo klid ledovaného ělea. Aboluní klid neexiuje, proože pohyb

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle Obyčejné diferenciální rovnice Jiří Fišer LS 2014 1 Úvodní moivační příklad Po prosudování éo kapioly zjisíe, k čemu mohou bý diferenciální rovnice užiečné. Jak se pomocí nich dá modelova prakický problém,

Více

Počty testových úloh

Počty testových úloh Počty testových úloh Tematický celek rok 2009 rok 2011 CELKEM Skalární a vektorové veličiny 4 lehké 4 těžké (celkem 8) 4 lehké 2 těžké (celkem 6) 8 lehkých 6 těžkých (celkem 14) Kinematika částice 6 lehkých

Více

4. Střední radiační teplota; poměr osálání,

4. Střední radiační teplota; poměr osálání, Sálavé a průmyslové vyápění (60). Sřední radiační eploa; poměr osálání, operaivní a výsledná eploa.. 08 a.. 08 Ing. Jindřich Boháč TEPLOTY Sřední radiační eploa - r Sálavé vyápění = PŘEVÁŽNĚ sálavé vyápění

Více

Úloha VI.3... pracovní pohovor

Úloha VI.3... pracovní pohovor Úloha VI.3... pracovní pohovor 4 body; průměr,39; řešilo 36 sudenů Jedna z pracoven lorda Veinariho má kruhový půdorys o poloměru R a je umísěna na ložiscích, díky nimž se může oáče kolem své osy. Pro

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 4. přednáška: Vekorové prosory Dalibor Lukáš Kaedra aplikované maemaiky FEI VŠB Technická univerzia Osrava email: dalibor.lukas@vsb.cz hp://www.am.vsb.cz/lukas/la Tex byl vyvořen v rámci

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

1.3.5 Dynamika pohybu po kružnici I

1.3.5 Dynamika pohybu po kružnici I 1.3.5 Dynamika pohybu po kružnici I Předpoklady: 1304 Při pohybu po kružnici je výhodnější popisova pohyb pomocí úhlových veličin, keré korespondují s normálními veličinami, keré jsme používali dříve.

Více

2.2.2 Měrná tepelná kapacita

2.2.2 Měrná tepelná kapacita .. Měrná epelná kapacia Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud necháe sudeny počía příklady samosaně, nesihnee hodinu za 45 minu. Můžee využí oho, že následující hodina je aké objemnější a použí pro

Více

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles. 2.4 Gravitační pole R2.211 m 1 = m 2 = 10 g = 0,01 kg, r = 10 cm = 0,1 m, = 6,67 10 11 N m 2 kg 2 ; F g =? R2.212 F g = 4 mn = 0,004 N, a) r 1 = 2r; F g1 =?, b) r 2 = r/2; F g2 =?, c) r 3 = r/3; F g3 =?

Více

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s. Řešení úloh. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů.a) Doba jízdy na prvním úseku (v 5 m s ): t v a 30 s. Konečná rychlost jízdy druhého úseku je v v + a t 3 m s. Pro rovnoměrně

Více

10 Lineární elasticita

10 Lineární elasticita 1 Lineární elasicia Polymerní láky se deformují lineárně elasicky pouze v oblasi malých deformací a velmi pomalých deformací. Hranice mezi lineárním a nelineárním průběhem deformace (mez lineariy) závisí

Více

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově Skupinová obnova Při skupinové obnově se obnovují všechny prvky základního souboru nebo určiá skupina akových prvků najednou. Posup při skupinové obnově prvky, jež selžou v určiém období, je nuno obnovi

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()

Více

Téma 5 Kroucení Základní principy a vztahy Smykové napětí a přetvoření Úlohy staticky určité a staticky neurčité

Téma 5 Kroucení Základní principy a vztahy Smykové napětí a přetvoření Úlohy staticky určité a staticky neurčité Pružnos a plasicia, 2.ročník bakalářského sudia Téma 5 Kroucení Základní principy a vzahy Smykové napěí a převoření Úlohy saicky určié a saicky neurčié Kaedra savební mechaniky Fakula savební, VŠB - Technická

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt Numerická inegrace Mirko Navara Cenrum srojového vnímání kaedra kyberneiky FEL ČVUT Karlovo náměsí, budova G, mísnos 14a hp://cmpfelkcvucz/~navara/nm 1 lisopadu 18 Úloha: Odhadnou b a f() d na základě

Více

FYZIKA. Newtonovy zákony. 7. ročník

FYZIKA. Newtonovy zákony. 7. ročník FYZIKA Newtonovy zákony 7. ročník říjen 2013 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Zpracováno v rámci projektu Krok za krokem na ZŠ Želatovská ve 21. století registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3443 Projekt

Více

Příklad 19 Střed smyku

Příklad 19 Střed smyku Příklad 19 řed smku Zadání Určee polohu sředu smku průřezu na obrázku. Posup: 1) Určí se průběh smkových napěí po sřednici enkosěnného průřezu podle V I ) Inegrací napěí po ploše se určí smkové síl v jednolivých

Více

ZÁKLADY ELEKTRICKÝCH POHONŮ (EP) Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS

ZÁKLADY ELEKTRICKÝCH POHONŮ (EP) Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS ZÁKLADY ELEKTRICKÝCH OHONŮ (E) Určeno pro posluchače bakalářských sudijních programů FS Obsah 1. Úvod (definice, rozdělení, provozní pojmy,). racovní savy pohonu 3. Základy mechaniky a kinemaiky pohonu

Více

11. Dynamika Úvod do dynamiky

11. Dynamika Úvod do dynamiky 11. Dynamika 1 11.1 Úvod do dynamiky Dynamika je částí mechaniky, která se zabývá studiem pohybu hmotných bodů a těles při působení sil. V dynamice se řeší takové případy, kdy síly působící na dokonale

Více

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.

Více

Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)

Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) aplaceova ransformace Modelování sysémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček 5. přednáška MSP čvrek 2. března 24 verze: 24-3-2 5:4 Obsah Fourierova ransformace Komplexní exponenciála

Více

1.5.1 Mechanická práce I

1.5.1 Mechanická práce I .5. Mechanická ráce I Předoklady: Práce je velmi vděčné éma k rozhovoru: někdo se nadře a ráce za ním není žádná, jiný se ani nezaoí a udělá oho sousu, a všichni se cíí nedocenění. Fyzika je řírodní věda

Více

OBJÍMKA VÁZANÁ PRUŽINOU NA NEHLADKÉM OTOČNÉM RAMENI

OBJÍMKA VÁZANÁ PRUŽINOU NA NEHLADKÉM OTOČNÉM RAMENI OBJÍMKA VÁZANÁ RUŽINOU NA NELAKÉM OTOČNÉM RAMENI SEIFIKAE ROBLÉMU Rameno čvercového průřezu roue konanní úhlovou rychloí ω Na něm e nasazena obímka hmonoi m s koeicienem ření mezi ní a ěnami ramene Obímka

Více

MECHANIKA PRÁCE A ENERGIE

MECHANIKA PRÁCE A ENERGIE Projek Efekivní Učení Reformou oblasí gymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropským sociálním fondem a sáním rozpočem České republiky. MECHANIKA PRÁCE A ENERGIE Implemenace ŠVP Učivo - Mechanická

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEI VUT BRNO

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEI VUT BRNO FYZIKÁLNÍ PRAKIKUM Úsav fyziky FEI VU BRNO Spolupracoval Příprava Šuranský Radek Opravy méno Ročník 1 Škovran an Předn. skup. B Měřeno dne 5.4. Učiel Sud. skupina 1 Kód 17 Odevzdáno dne 16.5. Hodnocení

Více

Přibližná linearizace modelu kyvadla

Přibližná linearizace modelu kyvadla Přibližná linearizace model kyvadla 4..08 9:47 - verze 4.0 08 Obsah Oakování kalkl - Taylorův rozvoj fnkce... Nelineární savový model a jeho řibližná linearizace... 4 Nelineární model vs-výs a jeho řibližná

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY -

1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY - IUVENTAS - SOUKROMÉ GYMNÁZIUM A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA 1. OBSAH, METODY A VÝZNAM FYZIKY - STUDIJNÍ TEXTY Frolíková Martina Augustynek Martin Adamec Ondřej OSTRAVA 2006 Budeme rádi, když nám jakékoliv případné

Více

Nakloněná rovina I

Nakloněná rovina I 1.2.14 Nakloněná rovina I Předoklady: 1213 Pomůcky: kulička, sada na měření řecí síly. Až dosud jsme se u všech říkladů uvažovali ouze vodorovné lochy. Př. 1: Vysvěli, roč jsme u všech dosavadních říkladů

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

Práce a výkon při rekuperaci

Práce a výkon při rekuperaci Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava

Více

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D.

BIOMECHANIKA. Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. BIOMECHANIKA 4, Kinematika pohybu I. (zákl. pojmy - rovnoměrný přímočarý pohyb, okamžitá a průměrná rychlost, úlohy na pohyb těles, rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb, volný pád) Studijní program,

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Kinemik hmoného bodu Obsh Klsická mechnik... Vzžný sysém... Polohoý ekor... Trjekorie... Prmerické ronice rjekorie... 3 Příkld 1... 3

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů

Více

Jméno a příjmení holka nebo kluk * Třída Datum Škola

Jméno a příjmení holka nebo kluk * Třída Datum Škola P-1 Jméno a příjmení holka nebo kluk * Třída Daum Škola Zopakuje si (bude se vám o hodi ) 3 důležié pojmy a především o, co popisují Pro jednoduchos se omezíme pouze na 1D (j. jednorozměrný) případ. Pro

Více

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly. 6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U

Více

Analogový komparátor

Analogový komparátor Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací

Více