25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE

Transkript

1 5 KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU Abstrkt Konvení čtřúhelník ABCD je tětivový právě tehd kdž pltí AB CD BC AD AC BD ptolemiovské kritérium Jiná s touto větou ekvivlentní podmínk pro tětivový čtřúhelník je: AB BC CA AC CD DA BC CD DB AB BD DA Klíčová slov Elementární geometrie kritéri tětivový čtřúhelnik Úvod Jko kritérium tětivového čtřúhelníku se všeobecně oznčuje vět jež je důsledkem vlstností obvodových úhlů: Konvení čtřúhelník je tětivový právě tehd kdž jsou si rovn součt velikostí jeho protilehlých vnitřních úhlů Nutnou postčující podmínku pro to b bl konvení čtřúhelník ABCD tětivový můžeme tké vjádřit pomocí délek strn úhlopříček čtřúhelníku Uvedeme dvě tková kritéri jejich méně známé důkz postvené jen n středoškolské mtemtice Druhé z nich je podle některých prmenů viz npříkld [8] [9] povžováno z nové Vzth z této vět bl všk znám již v minulých stoletích Ptolemiovské kritérium Koncem roku 50 nl sepsl Kludius Ptolemios slvné dílo Almgest v němž shrnul veškeré tehd známé stronomické pozntk Uvedl zde i podrobné tbulk které přiřzovl obloukům kružnice délk jejich tětiv což lze dnes interpretovt jko tbulk funkce sinus Zákldní hodnot délek tětiv které odpovídl obvodovým úhlům velikostí stnovil pomocí Pthgorov vět z prvidelných vepsných n-úhelníků K výpočtu dlších hodnot užívl důsledk tvrzení známého dnes jko Ptolemiov vět: V tětivovém konvením čtřúhelníku je součet součinů délek protilehlých strn roven součinu délek úhlopříček Poměrně čsto uváděný Ptolemiův důkz této vět je možno obrátit viz npříkld [] tk pltí:

2 Vět ptolemiovské kritérium Konvení čtřúhelník ABCD je tětivový právě tehd kdž při oznčení podle obr pltí: c bd ef A α d e D δ f c C γ b β A d D f e E c C b B b B Obr : Tětivový čtřúhelník Obr : K důkzu vět Důkz: Předpokládejme nejprve že je čtřúhelník ABCD tětivový oznčme E průsečík jeho úhlopříček B bod smetrický s bodem B podle os úsečk AC obr položme ϕ AEB Trojúhelník ACB CA B jsou shodné pltí: B AD B AC CAD ACB CBD Odtud z trojúhelníku BCE resp ze čtřúhelníku A B CD plne: ϕ AEB ECB CBE B AD Tětivový čtřúhelník A B CD má stejný obsh jko ABCD vzhledem ke pltí: sin B AD sin B CD sin ϕ Dvojím vjádřením tohoto obshu máme S S A B D S B CD bd c sin ϕ S ABCD ef sin ϕ odtud i vzth K důkzu obráceného směru zvolme krtézskou soustvu souřdnic tk b A 0 0 B 0 Souřdnice zbývjících bodů oznčme tkto: C D Podmínku přepíšeme do tvru B'

3 KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU Po umocnění úprvě dostneme: Po dlším umocnění úprvě můžeme vzth přepst do tvru rovnice 0 R Q P 3 v níž R Q P Kdž si uvědomíme že čísl jsou různá od nul výrz v závorce rovnice 3 předstvuje úplný čtverec můžeme rovnici uprvit n tvr: Pltí ted i vzth který předstvuje shodnost středů kružnic opsných trojúhelníkům ABC ABD Čtřúhelník ABCD je ted tětivový tím je vět dokázán Poznámk: První část důkzu je méně uváděnou modifikcí Ptolemeiov důkzu při níž se místo podobnosti trojúhelníků vužívjí obsh Druhá část bl převzt z článku [3] Náročnější postup nás odměnil smetrií lgebrických výrzů pěkným výsledkem N větu můžeme pohlížet jko n důsledek známé nerovnosti kterou Ptolemios zřejmě neznl:

4 Vět Ptolemiov nerovnost Pro kždé čtři bod A B C D dné rovin pltí: AB CD BC AD AC BD 4 přičemž rovnost nstne právě tehd kdž bod leží n přímce nebo kružnici tk že bod A C oddělují bod B D 3 Sdovovo kritérium V roce 003 publikovl S Sdov [5] [8] [9] následující údjně nové kritérium: Vět 3 Sdovovo kritérium Konvení čtřúhelník ABCD je tětivový právě tehd kdž při oznčení podle obr pltí: be ecd bcf fd 5 Před vlstním důkzem vět poznmenejme že Sdov nezvolil šťstnou cestu při důkzu že je 5 postčující Jeho práce má rozsh 8 strn v úvodu se píše: Tto podmínk nebl nvzdor své jednoduchosti dosud uveřejněn jeví se neočekávně těžko dokztelná Jko pomocných metod jsme použili počítčovou lgebru nelineární nlýzu K tomu je záhodno uvést že vzth 5 je znám již dlouho jko metrický vzth pro tětivový konvení čtřúhelník Uvádí jej npříkld Hdmrd v proslulé Elementární geometrii jejíž první vdání všlo koncem devtenáctého století Před druhou světovou válkou se vzth 6 dokonce vučovl n nšich středních školách N tomto místě snd nelze vnecht odstvec z Vojtěchov učebnice [7]: Tké úhlopříčk čtřúhelník tětivového vjádříme výhrdně strnmi: z rovnic e b b cos β e c d cd cos β vloučíme cos β první vnásobíme cd druhou b sečteme; dostneme A obdobným postupem f e c bd d bc b cd c bd b cd d bc

5 KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU Z těchto vzorců plnou tké výrz pro součin podíl úhlopříček: ef c bd Ptolemiov vět e d bc 6 f b cd Je zjímvé že v témže roce jko Sdov jen o něco dříve uvedli Rshid Ajibde obě kritéri v článku [4] s důkz které vužívl jen středoškolskou mtemtiku Následující důkz je snd ještě jednodušší: Důkz vět 3: Nechť je čtřúhelník ABCD vepsán do kružnice poloměru r Pk jeho obsh můžeme vjádřit jko součet obshů trojúhelníků ABD BCD nebo jko součet obshů trojúhelníků ABC ACD Z rovnosti df bcf be cde obou součtů plne vzth 6 Předpokládejme dále že pltí 6 zvolme libovolně le pevně délk b c d strn konveního čtřúhelníku ABCD velikost β povžujme z nezávisle proměnnou Pk je prvá strn vzthu 6 konstntní podíl e f předstvuje spojitou funkci proměnné β n intervlu β β Z kosinových vět pro trojúhelník ABC ACD plne že s rostoucím β roste e ted i δ Přitom zřejmě α γ f klesjí Je ted e f rostoucí spojitá funkce Nejvýše pro jednu hodnotu β může pltit 6 Stčí ukázt že vžd eistuje tkové β t β β pro něž je čtřúhelník ABCD tětivový Sndno lze ověřit že pro β β se čtřúhelník zvrhne buď v trojúhelník ABD nebo v trojúhelník BCD nebo v úsečku BD s vnitřními bod A C V kždém z těchto limitních přípdů všk bude α γ > π β δ < π Anlogick pro β β je α γ < π β δ > π Eistuje ted β t n intervlu β β pro něž pltí α γ β t δ čtřúhelník ABCD je tětivový

6 Litertur [] Engel A: Problem-Solving Strtegies IEEE Springer-Verlg New York Berlin Heidelberg 997 ISBN [] Jneček F: Vlstnosti tětivového čtřúhelník Rozhled mtemticko-fzikální roč /66 č5 str [3] Pech P: Ptolemiov nerovnost Rozhled mtemticko-fzikální roč 7 993/94 č4 str [4] Rshid MA Ajibde AO: Two conditions for qudrilterl to be cclic epressed in terms of the lengths of its sides IntJMthEducSciTechnol 003 Vol 34 No [5] Sdov S: O neobchodimom i dosttočnom uslovii vpisnnosti četrechugolnik v okružnosť Rosijskj kdemij nuk orden Lenin Institut prikldnoj mtemtiki imeni M V Keldš Moskv 003 rxiv:mthgm/04vl 8 Oct 004 [6] Seknin M Boček L Kočndrle M Šedivý J: Geometrie II SPN Prh 988 [7] Vojtěch J: Geometrie pro VI třídu reálek páté vdání JČMF Prometheus Prh 935 [8] [9] http//wwwmthrutgersedu/~zeilberg/mmriml/sdovhtml