Přednáška #8. Základy mikroekonomie TEORIE HER

Transkript

1 Přednáška #8 Základy mikroekonomie TEORIE HER

2 V minulé přednášce jsme si vysvětlili, co je to oligopolistické tržní uspořádání Oligopol jako tržní uspořádání stojí mezi monopolem a režimem dokonalé konkurence. Při oligopolistickém uspořádání na trhu existuje několik málo firem, které spolu soutěží. V rámci oligopolu musí každá firma sledovat chování svých konkurentů a reagovat na něj. Existuje několik modelů oligopolu, ve všech firmy musí strategicky určovat svou nejlepší reakci na chování konkurenta. Podobné způsoby interakce několika hráčů popisujeme pomocí teorie her

3 V dnešní přednášce si předvedeme základy teorie her a jejich aplikaci v ekonomii Teorie her je soubor pravidel a postupů, který (nejen) ekonomové používají k analýze rozhodovacích procesů strategicky se chovajících hráčů. Hry jsou interakce mezi hráči, například jednotlivci nebo firmami, v nichž si je každý hráč vědom toho, že výsledek závisí na chování všech hráčů. Teorie her má mnoho různých aplikací: interakce firem v rámci oligopolu, vyjednávání mezi zaměstnavatelem a zaměstnancem či mezi prodávajícím a kupcem, atd...

4 Základy teorie Statické hry Dynamické hry

5 Teorie her popisuje strategické chování hráčů maximalizujících svou výplatu Hra = soutěž mezi hráči, v níž má hlavní roli strategické chování. Akce = tah, který hráč činí v daném okamžiku hry. Strategie = seznam akcí, které hráč podnikne v závislosti na informaci v daném okamžiku hry, připravený pro všechny možné eventuality. Výplata = monetární ohodnocení výsledku hry. Strategické chování = soubor akcí, které hráč podniká, aby maximalizoval svou výplatu, a bere při tom do úvahy akce ostatních hráčů. Společná znalost = informace, které mají všichni hráči a o kterých se ví, že je všichni mají.

6 V teorii her se snažíme popsat hru a pak predikovat její výsledek Ve hře závisí optimální strategie každého hráče na chování ostatních - mluvíme o vzájemné strategické závislosti. Popis hry sestává z popisu hráčů, pravidel, možných výsledků, výplat spojených s možnými výsledky a informace, kterou hráči mají. Pravidla hry zahrnují načasování jednotlivých tahů a seznam akcí, které mohou hráči v každém tahu udělat. V případě, že každý hráč ví, jaká výplata je spojená s každým možným výsledkem, mluvíme o hrách s úplnou informací. V případě, že každý hráč, který je na tahu, ví, jaké tahy byl učiněny v minulosti, mluvíme o hrách s dokonalou informací.

7 Co se týče načasování, rozeznáváme hry statické a hry dynamické Ve statických hrách každý hráč hraje pouze jednou a všichni hráči hrají najednou. Statické hry jsou hry s úplnou, nikoli však dokonalou informací. V dynamických hrách hrají hráči sekvenčně (jeden po druhém) nebo opakovaně (v několika periodách). Dynamické hry jsou hry dokonalou a úplnou informací.

9 Statické hry se skládají ze simultánních a neopakovaných tahů Při statických hrách dělají hráči tah zároveň, pouze jednou, a mají přitom úplnou informaci. Příkladem statické hry jsou Cournotův a Bertrandův model oligopolu prezentované na minulé přednášce. Hráči zde určují své strategie zároveň, a každý z nich si vybírá takovou strategii, která maximalizuje jeho výplatu za předpokladu, že ví, jak by se měl chovat jeho protivník. Jedná se o nekooperativní hru s nedokonalou informací, kde si každý musí předem určit, jaká bude jeho akce předtím, než uvidí, co ve skutečnosti hraje jeho protivník.

10 Statické hry obvykle zapisujeme v normálním tvaru pomocí tabulky výplat Jedna z možností popisu statické hry je tzv. normální tvar, kdy se výplaty pro jednotlivé možné výsledky zapisují do tabulky, kde řádky odpovídají strategiím prvního hráče a sloupce strategiím druhého hráče. Každá kombinace akcí obou hráčů vede k možnému výsledku, kterému odpovídá kombinace výplat (x, y), kde x bývá obvykle výplata prvního hráče a y výplata druhého hráče. Příkladem hry může být oligopolistická soutěž o pasažéry na lince Los Angeles - Chicago mezi United Airlines a American Airlines, kde akcí rozumíme výši produkce (prodaných letenek) a výplatou zisk obou firem.

11 Příkladem hry může být oligopolistický Cournotův model soutěže leteckých společností Předpokládejme, že každá ze společností má jen 2 možnosti - přepravit 64 tisíc nebo 48 tisích pasažérů za čtvrteltí. Do tabulky pak můžeme zapsat zisk obou společností pro všechny možné případy (v milionech USD). American Airlines qa = 64 qa = 48 United Airlines qu = , , 3.8 qu = , , 4.6

12 K řešení hry můžeme v jistých případech použít metodu dominantních nebo dominovaných strategií Řešením hry nazýváme predikci výsledku, k jakému hra povede. Tento výsledek můsí být rovnovážným stavem, tedy takovým, kde ani jeden z hráčů nemá motivaci měnit svou akci, pokud ani protivník ji nezmění. Některé hry můžeme vyřešit pomocí konceptu dominantních a dominovaných strategií. Dominantní strategie jsou takové, které vedou k vyšší výplatě než jakákoli jiná možná strategie hráče pro všechny možné kombinace strategií protivníka. Bohužel, ne každá hra má dominantní strategii.

13 K řešení hry můžeme v jistých případech použít metodu dominantních nebo dominovaných strategií American Airlines V příkladu leteckých společností je jasně dominatní strategií jak pro United tak pro qa = American 64 Airlines qa = 48prodej 64 tisíc letenek. qu = , , 3.8 United Obě společnosti Airlines tedy budou hrát tuto strategii a proto v ekvilibriu bude výsledek qu = 48 q = 3.8 q, = , 4.6 American Airlines qa = 64 qa = 48 United Airlines qu = , , 3.8 qu = , , 4.6

14 K řešení hry můžeme v jistých případech použít metodu dominantních nebo dominovaných strategií Nejsou-li ve hře dominantní strategie, můžou v ní být alespoň strategie dominované. Dominované strategie jsou takové, které vedou k nižší výplatě než jakákoli jiná možná strategie hráče pro všechny možné kombinace strategií protivníka. Hru můžeme vyřešit iterovanou eliminací dominovaných strategií - tedy postupnou redukcí tabulky hry. Ne každá hra je takovýmto způsobem řešitelná.

15 K řešení hry můžeme v jistých případech použít metodu dominantních nebo dominovaných strategií Iteraci dominovaných strategií si můžeme ukázat na rozšířené hře leteckých společností, kde přidáme možnost produkce 96 tisíc letenek jako novou strategii pro obě společnosti. American Airlines qa = 96 qa = 64 qa = 48 qu = 96 0, 0 3.1, , 2.3 United Airlines qu = , , , 3.8 qu = , , , 4.6

16 qa = 96 qa = 64 qa = 48 qu K řešení hry můžeme = 96 v jistých 0, 0 případech 3.1, 2.0 použít 4.6, 2.3 metodu United Airlines qu = , , , 3.8 dominantních nebo dominovaných strategií qu = , , , 4.6 Přidaná strategie je jasně dominovaná, proto ji eliminujeme v prvním kroku. American Airlines qa = 96 qa = 64 qa = 48 qu = 96 0, 0 3.1, , 2.3 United Airlines qu = , , , 3.8 qu = , , , 4.6

17 United Airlines K řešení hry můžeme v jistých případech použít metodu American Airlines dominantních nebo dominovaných strategií United Airlines qu = , , 3.8 qu = , , 4.6 qa = 64 qa = 48 qu = , , 3.8 qu = , , 4.6 V druhém kroku pak eliminujeme strategii produkce 48 tisíc letenek. American Airlines qa = 96 qa = 64 qa = 48 qu = 96 0, 0 3.1, , 2.3 United Airlines qu = , , , 3.8 qu = , , , 4.6

18 V ostatních případech hledáme řešení hry v Nashově ekvilibriu Jestliže není možné využít dominantní ani dominované strategie, postupujeme při řešení metodou optimální odpovědi. Optimální odpověď je taková, která maximalizuje výplatu hráče na základě jeho přesvědčení o strategii protivníků. Pokud se každý hráč drží strategie optimální odpovědi, je řešením hry Nashovo ekvilibrium. Nashovým ekvilibriem nazýváme situaci, kdy, pokud nikdo z protivníků nezmění strategii, nemůže hráč změnou strategie dosáhnout vyšší výplaty. Ne každé Nashovo ekvilibrium lze nalézt metodou dominantních či dominovaných strategií, avšak každé řešení nalezené těmito metodami je Nashovým ekvilibriem.

19 Při hledání Nashova ekvilibria můžeme uvažovat čisté nebo smíšené strategie American Airlines qa = 96 qa = 64 qa = 48 V čistých strategiích si hráč vybírá jistě právě jednu akci. qu = 96 0, 0 3.1, , 2.3 Při smíšených strategiích si hráč vybírá mezi několika akcemi United s jistými Airlines pravděpodobnostmi, které těmto akcím sám přiřazuje. qu = , , , 3.8 qu = , , , 4.6 Koncept čistých a smíšených strategií si ukážeme na případě, kde se dvě firmy rozhodují, vzda vstoupit či nevstoupit na trh: Firma 2 Nevstoupit Vstoupit Firma 1 Nevstoupit 0, 0 0, 1 Vstoupit 1, 0-1, -1 Firma 2

20 Firma 2 Nevstoupit Firma 2 Vstoupit Nashovo ekvilibrium hledáme pomocí metody optimální Nevstoupit Nevstoupit 0, 0 Vstoupit 0, 1 odpovědi Firma 1 Nevstoupit Vstoupit 01, 0-1 0, 1-1 Firma Firma 1 optimalizuje 1 odpověď na obě možné akce Firmy 2: Vstoupit 1, 0-1, -1 Firma 2 Nevstoupit Firma 2 Vstoupit Nevstoupit Nevstoupit 0, 0 Vstoupit 0, 1 Firma 1 Nevstoupit Vstoupit 01, 0-1 0, 1-1 Firma 1 Vstoupit 1, 0-1, -1 Firma 2 optimalizuje odpověď na obě Firma možné 2 akce Firmy 1: Nevstoupit Firma 2 Vstoupit Firma 1 Firma 1 Nevstoupit Nevstoupit 0, 0 Vstoupit 0, 1 Nevstoupit Vstoupit 01, 0-1 0, 1-1 Vstoupit 1, 0 Firma 2-1, -1 Nevstoupit Firma 2 Vstoupit

21 Vstoupit 1, 0-1, -1 Nashovo ekvilibrium hledáme pomocí Firma metody 2 optimální odpovědi Nevstoupit Vstoupit Firma 1 Nevstoupit 0, 0 0, 1 Výsledkem jsou dvě Vstoupit Nashova ekvilibria 1, 0 v čistých -1, -1strategiích: Firma 2 Nevstoupit Vstoupit Firma 1 Nevstoupit 0, 0 0, 1 Vstoupit 1, 0-1, -1 Teorie her není schopna rozlišit, které z těchto dvou ekvilibrií nastane. Obě ekvilibria navíc mají nepravděpodobou vlastnost - stejné firmy provádí různé akce.

22 V reálném světě nemá vždy každá situace řešení v Nashově ekvilibriu Výše zmíněná hra se někdy nazývá hra na kuře. Klasickým příkladem této hry je (ne)dávání přednosti na neznačených křižovatkách v zemích, kde neplatí pravidlo přednosti z prava. Takovou zemí je například Belgie, která má jednu z nejvyšších úmrtností při dopravních nehodách v porovnání s okolními státy.

23 Nashovo ekvilibrium můžeme též hledat ve smíšených strategiích za použití pravděpodobností Uvažujeme-li předchozí hru ve smíšených strategiích, každá firma má jistou pravděpodobnost, že vstoupí na trh, a komplementární pravděpodobnost, že na něj nevstoupí. Označíme-li tyto pravděpodobnosti p pro Firmu 1 a q pro Firmu 2, zapíšeme hru takto: Firma 2 Nevstoupit Vstoupit 1-q q Firma 1 Nevstoupit 1-p 0, 0 0, 1 Vstoupit p 1, 0-1, -1

24 Nashovo ekvilibrium můžeme též hledat ve smíšených strategiích za použití pravděpodobností Řešení hry vychází z předpokladu, že aby Firma 1 používala smíšenou strategii, musí být indiferentní mezi oběma strategiemi. Výplata Firmy 1 v případě vstupu musí být tedy stejná, jako když firma nevstoupí, tedy: (1 q) 1 + q ( 1) = (1 q) 0 + q 0, odkud snadno vyjádříme q =. Obdobně pro Firmu 2 musí platit: (1 p) 1 + p ( 1) = (1 p) 0 + p 0, odkud snadno vyjádříme p =. Strategie obou firem je tedy taková, že obě náhodně vstoupí nebo nevstoupí, s pravděpodobností 50%.

25 Metoda smíšených strategií nám pomáhat řešit hry, které nemají Nashovo ekvilibirum v čistých strategiích Důvodem pro zavedení smíšených strategií je fakt, že některé hry nemají Nashovo ekvilibrium v čistých strategiích. John Nash dokázal, že každá statická hra s konečným počtem hráčů a konečným počtem možných tahů má alespoň jedno řešení (včetně smíšených strategiích). Klasickým příkladem hry, která má řešení pouze ve smíšených strategiích, je kopání penalt.

26 1-q q Nevstoupit 1-p 0, 0 0, 1 Výsledkem hry Firma může 1 a nemusí být kooperace mezi hráči Vstoupit p 1, 0-1, -1 - vše záleží na konkrétním rozložení výplat Některá řešení označujeme jako kooperativní Firma 2 - jsou to taková, kdy je maximalizována společná výplata hráčů. Bez reklamy Představme si situaci, Bez reklamy kdy spolu2, soutěží 2 dvě 0 firmy, 3 a obě se mohoufirma rozhodnout, 1 zda investují do reklamy či nikoli. Jednen z možných výsledků je tento: Reklama Reklama 3, 0 1, 1 Firma 2 Bez reklamy Reklama Firma 1 Bez reklamy 2, 2 3, 4 Reklama 4, 3 5, 5 Nashovo ekvilibrium je zde v situaci, kdy obě firmy investují do reklamy a to maximalizuje zároveň jejich celkový možný zisk.

27 Ke kooperativnímu řešení dochází tam, kde jsou k němu hráči dostatečně motivováni strukturou výplat Před rokem 1918 používalo zubní kartáček pouze 26% obyvatel USA. V roce 1926 především díky reklamní kampani firmy Ipana vzrostlo toto číslo na 40%. To vedlo k vyšším ziskům i pro ostatní výrobce zubních kartáčků a past.

28 Některé struktury výplat zabraňují nalezení Nevstoupit kooperativního ekvilibria Firma 1 Jiná situace nastává v tomto případě: Firma 2 Vstoupit 1-q q Nevstoupit 1-p 0, 0 0, 1 Vstoupit p 1, 0-1, -1 Firma 2 Bez reklamy Reklama Firma 1 Bez reklamy 2, 2 0, 3 Reklama 3, 0 1, 1 I zde obě firmy investují do reklamy, Firma ovšem2 jejich zisk je menší, než by mohl být, kdyby Bez se reklamy firmy dohodly Reklamaa do reklamy neinvestovaly. Firma 1 Bez reklamy 2, 2 3, 4 Reklama 4, 3 5, 5

29 Některé struktury výplat zabraňují nalezení kooperativního ekvilibria Model hry, kdy je zisk v Nashově ekvilibriu menší, než by mohl být při kooperaci hráčů, nazíváme vězňovo dilema. Kooperace není možná kvůli nedůvěře mezi hráči, z nichž oba mají motivaci od dohody jednostranně odstoupit. Kooperaci lze vynutit, ale pouze v opakovaných dynamických hrách.

31 Dynamické hry jsou buď sekvenční nebo opakované po několik period V dynamických hrách provádí hráči jednotlivé tahy sekvenčně (jeden po druhém) a nebo simultánně (zároveň), ale opakovaně. V každém okamžiku hry má hráč, který je na tahu, dokonalou informaci o předchozích tazích všech ostatních hráčů. Dynamické hry většinou zapisujeme v tzv. extenzivní formě, kde jsou specifikováni všichni hráči, pořadí, ve kterém dělají jednotlivé tahy, akce, které mohou vykonat v každém tahu, informace, kterou mají, a výplaty pro všechny možné strategie.

32 Prǐḱladem hry mu zě by t oligopolisticky Stackelbergův model soutežě leteckyćh spolecňosti Příkladem sekvenční hry s dvěma úrovněmi je Stackelbergův model oligopolu, kde je v první úrovni na tahu vůdce a po něm v druhé úrovni následník. Předpokládáme, že spolu soutěží American Airlines (vůdce) a United Airlines (následník), a oba mohou v každém tahu produkovat 48, 64 nebo 96 letenek. Hru zapíšeme v extenzivním tvaru pomocí herního stromu, tedy grafu, kde každý uzel představuje rozhodnutí jedné z firem a hrany definují úplný seznam akcí, pro které se firmy mohou rozhodnout. Výplaty jsou uvedeny v koncových uzlech grafu.

33 Sekvenční hry zapisujeme ve formě herního stromu, který zobrazuje pořadí rozhodnutí Rozhodnutí vůdce Rozhodnutí následníka Zisk (vůdce,následníka) American United United (4.6,4.6) (3.8,5.1) (2.3,4.6) (5.1,3.8) (4.1,4.1) (2.0,3.1) 96 United (4.6,2.3) (3.1,2.0) (0,0)

34 Sekvenční hry řešíme hledáním ekvilibrií v jednotlivých podhrách Podhra obsahuje v všechny možné následující akce v jistém momentu hry a je podmíněna předchozími rozhodnutími hráčů: Rozhodnutí vůdce Rozhodnutí následníka Zisk (vůdce,následníka) American United United (4.6,4.6) (3.8,5.1) (2.3,4.6) (5.1,3.8) (4.1,4.1) (2.0,3.1) Podhra 96 United 48 (4.6,2.3) 64 (3.1,2.0) 96 (0,0)

35 Sekvenční hry řešíme hledáním ekvilibrií v jednotlivých podhrách K nalezení řešení potřebujeme dosáhnout dokonalého Nashova ekvilibria vzhledem k podhrám, které nastává, když strategie hráčů představují Nashovo ekvilibrium v každé podhře. K nalezení tohoto typu ekvilibria používáme zpětnou indukci: napřed určíme optimální strategii posledního hráče, pak optimální odpověď předposledního hráče, a tak dále až k hráči prvnímu. To znamená, že v každém uzlu dané úrovně hry vyřadíme všechny akce, které nevedou k maximální výplatě vzhledem k tomu, co udělají následující hráči. Takto postupujeme zpětně až k prvnímu uzlu hry.

36 Napře vyřadíme všechny akce, které nevedou k maximální výplatě, v uzlech poslední úrovně Rozhodnutí vůdce Rozhodnutí následníka Zisk (vůdce,následníka) 48 United (4.6,4.6) (3.8,5.1) (2.3,4.6) American 64 United (5.1,3.8) (4.1,4.1) (2.0,3.1) 96 United (4.6,2.3) (3.1,2.0) (0,0)

37 Podobně vyřadíme všechny akce, které neveou k maximální výplatě, v uzlu vyšší úrovně Rozhodnutí vůdce Rozhodnutí následníka Zisk (vůdce,následníka) 48 United (4.6,4.6) (3.8,5.1) (2.3,4.6) American 64 United (5.1,3.8) (4.1,4.1) (2.0,3.1) 96 United (4.6,2.3) (3.1,2.0) (0,0)

38 Akce, které zůstanou nevyřazené, představují dokonalé Nashovo ekvilibrium vzhledem k podhrám Rozhodnutí vůdce Rozhodnutí následníka Zisk (vůdce,následníka) 48 United (4.6,4.6) (3.8,5.1) (2.3,4.6) American 64 United (5.1,3.8) (4.1,4.1) (2.0,3.1) 96 United (4.6,2.3) (3.1,2.0) (0,0)

39 V sekvenčních hrách narozdíl od simultánních lze realizovat věrohodné hrozby Dosažení dokonalého Nashova ekvilibira vzhledem k podhrám vyžaduje, aby každý hráč věřil, že jeho protivníci v následujících krocích budou volit optimální strategie. Sekvenční hry se liší od simultánních mimo jiné i tak, že je snazší v nich realizovat tzv. věrohodné hrozby - tedy že hráč může provést akci, která by v případě simultánní hry snížila nejen zisk jeho protivníka, ale i jeho vlastní. V sekvenční hře již protivník vidí, že hráč skutečně tuto akci provedl a nezbývá mu než na ni reagovat. Příkladem je rozdíl mezi Stacklbergovým ekvilibriem v sekvenční hře a Cournotovým ekvilibriem v simultánní hře.

40 Při opakovaných hrách provádí hráči tahy zároveň, opakovaně po několik period Opakované hry jsou takové, ve kterých hráči opakují simultánní hru po několik kol. Jedná se o hry s téměř dokonalou informací, protože i když hráči neví, jakou akci dělá jejich protivník v aktuálním tahu, vědí, jak hrál ve všech tazích předchozích. V opakovaných hrách je možné dosáhnout kooperativního chování: Opakovaným hraním určité strategie je možné signalizovat, jaké chování hráč očekává od protivníka. V následujících kolech je možné případné odchylky od kooperativní strategie trestat.

41 Opakování hry umožňuje signalizaci mezi jednotlivými hráči Předpokládejme, že opakujeme Cournotovu soutěž mezi leteckým společnostmi: American Airlines qa = 64 qa = 48 United Airlines qu = , , 3.8 qu = , , 4.6 American Airlines může opakovanou produkcí menšího množství (q = 48) signalizovat, že by i United Airlines měla produkovat nižší množství.

42 Opakování hry umožňuje trestání nekooperativního chování v další periodě American Airlines qa = 64 qa = 48 United Airlines qu = , , 3.8 qu = , , 4.6 Pro United Airlines je sice optimální v takovém případě produkovat větší množštví (q = 64), nicméně ví, že American Airlines by na tuto strategii mohla reagovat zvýšením produkce v další periodě hry, a proto raději přistoupí na nižší produkci, která mu pak dlouhodobě přinese vyšší zisk.

43 Opakovaná hra s konečným daným počtem period nevede ke kooperativnímu chování V případě, že hráči ví, že hra je sice opakovaná, ale pouze pro omezený a pevně daný počet period, je nepravděpodobné, že dojde ke kooperativnímu chování. V poslední periodě je pro oba hráče optimální porušit dohodu, protože nemůže následovat žádný trest. Ke kooperativnímu chování tedy může dojít v periodě předposlední, ale oba hráči ví, že se budou v příští periodě chovat nekooperativně, a proto je pro ně opět optimální porušit dohodu. Pomocí zpětné indukce tak dojdeme k tomu, že se hráči nebudou chovat kooperativně v žádné periodě. Tento problém je možné vyřešit tam, kde se hra opakuje nekonečně nebo kde počet opakování není znám.

44 Opakované hry s nekonečným počtem period ke koopeartivnímu chování vedou Koopearitví chování například pozorujeme ve zvířecí říši. Většina soubojů samečků končí pouze zastrašením a odehnáním protivníka. Pokud by tomu tak nebylo, tak by nekonečným opakováním došlo k vymření všech samců daného druhu a tím k jeho zániku.

45 V této přednášce jsme si vysvětlili základy teorie her a jejich aplikaci v ekonomii Ukázali jsme si, čím se liší statické a dynamické hry. Pro statické hry jsme si definovali koncept Nashova ekvilibira v čistých i smíšených strategií. Pro dynamické hry jsme si definovali dokonalé Nashovo ekvilibrium vzhledem k podhrám a vysvětlili jsme si princip zpětné indukce. Ukázali jsme si, proč není snadné dosáhnout kooperativního chování hráčů.

46 Čerstvě nabyté znalosti budeme dále rozvíjet a procvičovat :) Na cvičení si ukážeme příklady právě předvedených konceptů: Zahrajeme si opakovanou simultánní hru na základě vězňova dilematu. Ukážeme si několik dalších her a najdeme jejich ekvilibria. Na přednášce příští týden si vysvětlíme základy dynamického rozhodování (tedy takového, které přesahuje rámec jedné periody).